Hai phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

<span class='text_page_counter'>(1)</span>HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT I. Phương pháp dùng hằng đẳng thức VD1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức : A= 2x -3 x + 1. C = 2x + 3 x + 1. B = -x + 4 x  1. D= - x- 4 x 1. Giải 3 1 x ) 2 2  3 9 9 1 = 2 x  2 x.     4 16 16 2  . A= 2x + 3 x + 1= 2(x-. 2.  3 1 = 2 x   4 8  2. 1  3 Ta thấy  x    0 nên A  8 4  Dấu bằng xảy ra  x  Vậy Min A  . 3 9  x 4 16. 1 8. *) B = - x - 4 x  1. ( Đk : x  0 ).   = -  x  2  5  5 ( Do -  x  2  0 ) . Vậy B  5 với mọi x  0   x4 x  4 5 2. 2. Dấu bằng xảy ra  x  2  x  4 Vậy Max B  5  x  4. *) C = 2x + 3 x + 1( Đk : x  0 ) Page 1 of 3 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2x  0 Ta có:  3 x  0. với mọi x  0. Suy ra C = 2x + 3 x + 1  1 với mọi x  0 Vậy Min C = 1  x  0 *) D = - x - 4 x  1 ( Đk : x  0 ).   x0 Ta có :  với mọi x  0 4 x  0 Suy ra D = - x - 4 x  1  1 với mọi x  0 Dấu bằng xảy ra khi x = 0 Vậy Max B = 1 khi và chỉ khi x = 0 Nhận xét: P  ax  b x  c(a  0) 1) a > 0 suy ra có giá trị nhỏ nhất của P a < 0 có giá trị lớn nhất của P 2) Nếu a, b trái dấu dung hằng đẳng thức Nếu a, b cùng dấu lập luận trực tiếp theo đk x  0 II.. Áp dụng BĐT Cosi – Bunhacopxki. a  0 a  b 1) BĐT Côsi :    ab  a  b  2 ab . Dấu bằng xảy ra  a = b 2 b  0 . 2) BĐT Bunhacopxki : ax  by  x2  y2 a2  b2 . Dấu bằng xảy ra  2. x y  a b. VD2: Cho M(x; y) thuộc đường thẳng: 2x + 3y = 26 (d) Tìm điểm M sao cho khoảng cánh từ M tới gốc tọa độ là nhỏ nhất. Giải Cách 1: M (x; y) ; O (0; 0). x  0  y  0 2. Suy ra OM . 2.  x2  y2.  26  2x  Hay OM  x  y  x     3  2. 2. 2. 2. 2. Page 2 of 3 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Để OM đạt giá trị nhỏ nhất thì OM2 đạt giá trị nhỏ nhất ( Dùng hằng đẳng thức để biến đổi) Cách 2: OM2  x2  y2 Mặt khác : 262  2x  3y  22  32 x2  y2   13x2  y2  2. 262 x y   52 13 2. 2. Vậy OM đạt giá trị nhỏ nhất. Cách 3:. (d). y. x y x  4    2 3  2x  3y  26  y  6. H. O. x. Kẻ OH vuông góc với (d), H thuộc (d) Khi đó OM  OH với mọi M thuộc (d) Vậy OM nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với H Mà (d) : y . 2 26 3 3 x  ; OH  d  aOH .ad  1  aOH= ; (OH): y  x 3 3 2 2.  3 x  4 y  x Vậy tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:   2 2x  3y  26  y  6. Vậy với M (4; 6) thì Om đạt giá trị nhỏ nhất. Page 3 of 3 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>