Giáo trình An toàn bảo mật dữ liệu: Phần 2 - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.47 MB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

C h ư ơ n g 3

M Ậ T M Ã K H Ó A C Ô N G K H A I

3.1. Giói thiệu chung

Trong mơ hình mật mã chúng ta nghiên cứu cho đen nay (mật mã
khóa bí mật), Alice và Bob thoả thuận chọn một cách bí mật khố k. Từ k
người ta suy ra qui tắc mã hoá ek và qui tắc giải mã dk.Trong các hệ mật
này, chúng ta thấy dk hoặc trùng với ek, hoặc dễ dàng rút ra từ ek (ví dụ
phép giải mã DES nói chung đồng nhất với phép mã hoá, chỉ khác là
lược đồ khoá thỉ đào ngược). Các hệ mật loại này được gọi là hệ mật
khoá bí mật (hoặc riêng, hoặc đối xứng), vì việc tiết lộ ek sẽ làm cho hệ
thống khơng an tồn.

Một đặc điểm của hệ mật khố bí mật là ở chỗ nó u cầu thoả thuận
về khoá giữa Alice và Bob bằng sử dụng kênh an toàn, trước khi bản mã
bất ki được truyền.Trong thực tế thực hiện điều này là rất khó.

Ý tưởng nằm sau hệ mật khố cơng khai là ở chỗ người ta có thể tìm
ra một hệ mật trong đó khơng thể tính tốn để xác định dk khi biết ek.
Nếu thế thỉ qui tắc mã ek có thể cho công khai bằng cách cơng bố nó
trong một thư mục (vì thế mới có thuật ngữ hệ mật khố cơng khai). Ưu
điểm cùa hệ mật khoá công khai là à chỗ Alice (hoặc ngiròi khác hất kỳ)
CĨ thể gửi thơng báo đã mã tới Bob (mà khơng cần liên lạc trước về khố
bí mật) bằng cách dùng qui tắc mã hố cơng khai eic- Bob sẽ là người duy
nhất có thể giải bản mã này bằng cách sử dụng qui tắc giải mã bí mật dk
của anh ta.

Ta có thể hình dung như sau: Alice đặt một vật vào hộp sắt sau đó
khố nó với cái khoá bấm do Bob để lại. Bob là người duy nhất có thể

mờ hộp vi chỉ anh ta có chìa.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

X duy nhất thoả mãn y=ek(x). Nghiệm X này ià giải mã của y. Như vậy độ
an tồn của các hệ mật khố cơng khai là độ an tồn tính tốn.

Hàm mã hố công khai ẽk của Bob phải dễ dàng tính tốn. Chúng ta
ch ú ý rằn g v i ệ c tín h h àm n g ư ợ c , n g h ĩa là v i ệ c g iả i m ã, phái k h ó đ ố i v ớ i
bất kỳ người nào ngoài Bob. Tính chất dễ tính tốn và khó đảo ngược này
thương được gọi là tính chất một chiều (tựa như bán dẫn). Chúng ta
mong muốn rằng ek là hàm một chiều.

Các hàm một chiều đóng vai trò trung tâm trong mật mã, chúng
quan trọng đối với việc thiết lập các hệ mật khố cơng khai và trong các
nội dung khác. Đáng tiếc là, mặc dù có nhiều hàm được người ta tin là
hàm một chiều, nhưng hiện nay vẫn chưa có hàm nào được chứng minh
là hàm một chiều.

Nếu ta định thiết lập hệ mật khố cơng khai thì việc tìm hàm một
chiều là chưa đù. Bob muốn có thể giải mã các thông báo nhận được một
cách có hiệu quả. Như vậy Bob cần có một cửa sập (trap door), nó chứa
thơng tin bí mật cho phép dễ dàng đảo ngược ek. Nghĩa là Bob có thể giải
mã hiệu quả vì anh ta có tri thức bí mật đặc biệt về k. Do đó ta nói rằng:
f(x) là hàm một chiều cửa sập nếu đó là hàm một chiều, nhưng nó trở nên
dễ đào nguợc khi có tri thức về cửa sập xác định. Nói chung, có những
cách để tìm cửa sập của hàm một chiều.

Sau dãy là một ví dụ về một hàm đưực coi là hàm mội chiều. Giả sử
n là tích của hai số nguyên tố lớn p và q, giả sử b là một số nguyên
dương. Khi đó ta xác định ánh xạ f : Zn -> Zn là f (x ) = x b m od n (với b
và n đã được chọn thích hợp thì đây chính là hàm mã RSA, sau này ta sẽ

nói nhiều hơn về nó).

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

- Hệ mật RSA:

Độ bảo mật của hệ RSA dựa trên độ khó của việc phân tích ra thừa
số nguyên lớn.

- Hệ mật Rabin:

Độ bảo mật của hệ Rabin cũng dựa trên độ khó của việc phân tích ra
thừa số nguyên lớn.

- Hệ mật ElGamal:

Hệ mật ElGamal dựa trên tính khó giải của bài tốn logarit rịi rạc
trên các trường hữu hạn.

- Hệ mật trên các đường cong Elliptic:

Các hệ mật này là biến tướng của các hệ mật khác (chẳng hạn như
hệ mật ElGamal), chúng làm việc trên các đường cong Elliptic chứ không
phải là trên các trường hữu hạn. Hệ mật này đảm bảo độ mật với số khoá
nhỏ hơn các hệ mật khoá công khai khác.

- Hệ mật xếp ba lô Merkle - Hellman:

Hệ này và các hệ liên quan dựa trên tính khó giải của bài toán tổng
các tập con (bài toán này là bài toán NP đầy đủ - là một lớp khá lớn các
bài tốn khơng có giải thuật được biết trong thời gian đa thức). Tuy nhiên
tất cả các hệ mật xếp ba lô khác nhau đều đã bị chứng tỏ là khơng an tồn

(ngoại trừ hệ mật Chor-Rivest).

- Hệ mậtMcEliece:

Hệ này dựa trên lý thuyết mã đại số và vẫn còn được coi là an toàn.
Hệ mật McEliece dựa trên bài toán giải mã cho các mã tuyến tính (cũng
là một bài toán NP đầy đủ).

- Hệ mật Chor-Rivest:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3.2. Hệ m ật RSA

Bài tốn phân tích thừa số

Bài tốn phân tích một số nguyên n >1 thành thừa số nguyên tố
cũng được xem là một bài toán khó thường được sử dụng trong lý
thuyết mật mã. Biết một số n là hợp số thì việc phân tích n thành thừa
số mới là có nghĩa, do đó thường khi để giải bài tốn phân tích n thành
thưa số, ta thử trước n có là hợp số hay khơng; và bài tốn phân tích n
thành thừa số có thể dẫn về bài tốn tìm một ước so của n, vì khi biết
một ước số d cùa n thì tiến trình phân tích n được tiếp tục thực hiện
bằng cách phân tích d và nịd.

Bài tốn phân tích thành thừa số, hay bài tốn tìm ước số của một số
nguyên cho trước, đã được nghiên cứu nhiều, nhưng cũng chưa có một
thuật toán hiệu quả nào để giải nó trong trường hợp tổng quát mà người
ta có xu hướng giải bài tốn này theo những trường hợp đặc biệt của số
cần phải phân tích, chẳng hạn khi n có một ước số nguyên tố p với p - 1
là B-mịn với một cận B > 0 nào đó, hoặc khi n là số Blum, tức là số có
dạng tích của hai số ngun tố lớn nào đó (n = p.q).

Ta xét trường hợp thứ nhất với (p - 1) - thuật toán Pollard như sau:
Một số nguyên n được gọi là B-mịn nếu tất cả các uớc số nguyên tố của
nó đều < B Ý chính chứa trong (p - 1) - thuật toán Pollard như sau: Giả
sừ

11

là B -m ịn. Kí liiệu Q là bội chung bó nhất của tất cả các lũy thừa cùa
các số nguyên tố q < ln/7,

ln/ỉ
tức / <

ln q
Ta có:

(Ị_JC J là số nguyên bé nhất lớn hơn x)

[lnn/lngj
e = n ?

q<B

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1 mod p. Vì vậy, nếu lấy d = gcd(aQ - 1 ,n) thì p|d. Neu d = n thì coi như
thuật tốn khơng cho ta điều mong muốn, tuy nhiên điều đó chắc không
xảy ra nếu n có ít nhất hai thừa số nguyên tố khác nhau. Từ những lập
luận đó ta có:

(p — l)-thuật tốn Pollard phân tích thành thừa số:

VÀO: một hợp số n không phải lũy thừa của một số nguyên tố
RA: một thừa số không tầm thường của n.

1. Chọn một cận cho độ mịn B

2. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên a, 2 < a < n - 1, và tính d =
gcd(a, n). Nếu d > 2 thỉ cho ra kết quả (d)

3. Với mỗi số nguyên tố q < B thực hiện:

ln n

3.1. Tính / =

ln q

3.2. Tính a mod n
4. Tính d = gcd(a - 1, n)

5. Nếu 1 < d < n thì cho ra kết quả (d). Nếu ngược lại thì thuật tốn
coi nhu khơng có kết quả.

Ví dụ 3.1. Dùng thuật tốn cho số n = 19048567. Ta chọn B = 19, và
a = 3 và tính được gcd (3, n) = 1. Chuyến sang thực hiện bước 3 ta đuợc
bảng sau đây (mỗi hàng ứng với một giá trị của q):

Bảng 3.1. Kết quả tính bước 3 của thuật (oán Pollard

Q

L A

2

24 2293244

3 15 13555889

10

16937223

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

11 6 9685355

13 6 13271154

17 5 11406961

19 5 554506

Sau đó ta tính d = gcd (554506 - 1, 19048567) = 5281. Vậy ta được
một thừa số p = 5281, và do đó một thừa số nữa là q = n/p = 3607. Cả hai
thừa số đó đều là số nguyên tố.

Chú ý rằng ở đây p - 1 = 25.3.5.11, có tất cả các ước số nguyên tố
đều < 19, do đó chắc chắn thuật tốn sẽ kết thúc có kết quả. Thuật tốn sẽ
kết thúc khơng có kết quả khi độ mịn B được chọn quá bé để không một
thùa số nguyên tố p nào của n mà p - 1 chỉ chứa các ước số nguyên tố <
B. Như vậy, có thể xem (p-l)-thuật tốn Pollard phân tích n thành thừa số
nguyên tố là có hiệu quả đối với những số nguyên n là B-mịn, người ta
tính được thời gian cần để thực hiện thuật tốn đó là cỡ o (#ln/í/ln#)
phép nhân theo mơdulo.

Bây giờ ta xét trường hợp các số nguyên Blum, tức là các số có dạng
n = p.q, tích của hai số nguyên tố lớn. Trước hết ta chú ý rằng nếu ta biết
hai số nguyên khác nhau X , V sao cho x2= y2 mod n thì ta dễ tìm được một
thừa số của n. Thực vậy, tò x2= y2 mod n ta có X2 - y2 = (x - y) (x + y)
chia hết cho n, do n không là ước số của X + y hoặc X - y nên gcd(x - y,
n) phải là một ước số của n, tức bằng p hoặc q.

Ta biết nếu n = p.q là số Blum thì phương trình đồng dư
x2= a2 mod n

có 4 nghiệm , hai nghiệm tầm thường là X = a và X = -a. Hai nghiệm

không tầm thường khác là ± b, chúng là nghiệm cùa hai hệ phương trình
đồng dư bậc nhất sau đây:

ỊX

=

a

m o d

p

í x — a

m ° d

p

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bằng lập luận như trên ta thấy rằng nếu n là số Blum, a là một số
nguyên tố với n và ta biết một nghiệm khơng tầm thường của phuơng
trình X = a2 mod n, tức biết một X

í

± a sao cho x 2= a2 m od n thỉ gcd(x-a,
n) sẽ là một ước số của n. Những điều trên đây là căn cứ cho một số
phương pháp tìm ước số nguyên tố của một số nguyên dạng Blum; ý
chung của các phương pháp đó là dẫn về việc tim một nghiệm không tầm
thường của một phương trinh dạng X = a2 mod n, chẳng hạn như phương
trình X 3 1 mod n.

Một trường hợp khá lý thú trong lý thuyết mật mã là khi ta biết hai
số a, b là nghịch đảo của nhau theo mod <ị)(n) (nhung khơng biết ộ(n)) và
tìm một phân tích thành thừa số của n. Bài toán được đặt ra cụ thể là:
Biết n có dạng Blum, biết a và b sao cho ab = 1 mod <|)(n). Hãy tìm một
ước số nguyên tố của n, hay tỉm một nghiệm không tầm thường của
phương trình x2= 1 mod n. Ta giả thiết ab - 1 = 2s.r với r là số lẻ. Ta phát
triển một thuật toán xác suất kiểu Las Vegas như sau: Ta chọn một số

ngẫu nhiên V (1 < V < n - 1). N ếu may mắn V là bội số của p hay q, thỉ ta
đuợc ngay một ước số cùa n là gcd(v, n). N ếu V nguyên tố với n, thỉ ta

tính các bình phương liên tiếp kể từ vr, được vr, v2r, v4r,... cho đến khi
được vỉ r = lmodrt với một t nào đó. số t như vậy bao giờ cũng đạt được

vỉ có 2s.r = 0 mod ộ(n) nên có v i r = 1 mod n Như vậy, ta đã tim được

' 2m r 2 ' Ắ

một sô X = V sao cho X = 1 mod n. Tât nhiên có X Ỷ 1 mod n. Nêu

cũng có X Ỷ -1 m odn thì X là nghiệm không tầm th ư ờ n g của x 2= 1 m od n,

từ đó ta có thể tìm ước số của n. Nếu không thỉ thuật toán coi như thất
bại, cho ta kết quả không đúng. Người ta có thể ước lượng xác suất cho
kết quả k h ô n g đ ú n g với một lần thử với một số V là < 1/2, do đó nếu ta

th iế t k ế th u ậ t to á n v ớ i m s ố n g ẫ u n h iê n V i, v m, th ì s ẽ c ó th ể đ ạt đư ợ c

xác suất cho kết quả khơng đúng là < l/2 m!
3.2.1. Thuật tốn mã hóa, giải mã RSA

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Cho p = c = z n ; K={(n,p,q,a,b) : ab=l mod O(n)}

Với mỗi k=(n,p,q,a,b), quy tắc mã hóa và giải mã của hệ mật RSA
được xác định như sau:

ek(x)=xb mod n

và dk(y)=yamod n (x,yeZ n).

3.2.2. Kiểm tra qui tắc giải mã

Do ab=l mod <t>(n), 0(n )= (p -l)(q -l)= O(p) O(q) nên

a b = l+ tO (n ),vớ i t là số nguyên khác 0. Chú ý rằng 0< X <n.

(*) Giả sử (x ,n )= l, ta có

ya mod n = (xb)a mod n = x 1+tll)<n) mod n = x[x°(n)mod n] mod n
= x .l mod n (v ì (x,n) =1 nên x(n> mod n= l)
= X ( do x<n ).

(**) Nếu (x,n) = d > 1 thì d=p hoặc d=q hoặc d=n.

Nếu d=n thì X = 0 và đương nhiên y = 0. Do đó yamod n = 0 = X.

Giả sử d=p khi đó do 0< X <n nên x= p. Ta có:
yamod n = xabmod n = pabmod n
Ký hiệu

u = pabmodn;
Thế thì,

u +kn = pab, 0< u <n, hay u+kpq = pab
Do đó

u = p(pab_1-k:q) = p (p t(n)-kq).

v ế phải chia hết cho p nên vế trái phải chia hết cho p, nghĩa là u
phải chia hết cho p. Nhung 0= X.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Giả sử Bob chọn p = 101 và q = 113. Thế thỉ n= 11413 và

<D(n)= 100 * 112= 11200=26.52.7.

Bob chọn b sao cho (0(n),b)= l. Giả sử b=3533. Dùng thuật tốn
ơclit mờ rộng sẽ tìm được b '1=6597 mod 11200. Vỉ thế số mũ bí mật cúa
Bob là a=6597.

Bob công bố n =11413 và b =3533 trong thư mục khoá công
khai.Bây giờ giả sử Alice muốn gửi bản rõ 9726 cho Bob. Cơ sẽ tính:

97263533 mod 11413=5761
và gửi bản mã 5761 trên kênh.

Khi Bob nhận được bản mã 5761, anh sẽ dùng số mũ bí mật cùa
mình để giải

5 76 1 6597 mod 11413=9726

Do ab=l mod 3>(n), <t>(n)= (p-l)(q-l)= O(p) <J)(q) nên ab=l+t
3>(n),với t là s ố nguyên khác 0. Chú ý rằng 0< X <n.

(*) Giả sử (x ,n )= l, ta có

ya mod n s (xb)a mod n s x 1+t®(n) mod n = x Ị x ^ m o d n] mod n
—X. 1 mod n (v ì (x,n) =1 nên x®(n) mod n= l)
=x ( do x<n )

3.2.3. Độ an toàn của hệ RSA

Độ an toàn của hệ RSA dựa trên hy vọng rằng hàm mã hoá ek(x)=xb
mod n là một chiều, tị đó đối phương khơng thể tính tốn để giải ban mã

được. Cái cửa sập cho phép Bob giải mã là kiến thức về phân tích n=p.q.
Vỉ Bob biết p và q nên có thể tính được 0 (n)= (p-l)(q-l) và sau đó tính số
mũ giải mã a nhờ thuật toán ơclit mở rộng.

Muốn biết p và q thi Oscar phải phân tích được n, vì vậy nếu bài
tốn phân tích số là khó thì Oscar sẽ khơng phân tích được n. Cho đến
nay, người ta thấy rằng bài tốn phân tích số là khó và đốn rằng việc
phá vỡ hệ RSA là tương đương với việc phân tích số nhưng đáng tế c là

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

chua chứng minh được điều đó. Một cách tổng quát, chưa có phương
pháp nào phá được hệ RSA. Nghĩa là hệ RSA vẫn được coi là an toàn.

3.2.4. Thực hiện RSA

Việc thiết lập hệ RSA được Bob tiến hành theo các bước sau :
1/ Sinh ra hai số nguyên tố lớn p và q

2/ Tính n=p.q và <t>(n)=(p-1 )(q-1)

3/ Chọn ngẫu nhiên b (0 (n)) sao cho (b, 0(n))= 1
4/ Tính a=b'*mod O(n) nhờ thuật tốn ơ clit mở rộng.

5/ Công bố n và b trong thư mục như khố cơng khai của mình.
Như đã phân tích ở trên, muốn cho hệ RSA an toàn thì n=p.q phải
lớn để khơng thể phân tích được nó về mặt tính tốn.

3.2.5. Vẩn đề điểm bất động trong RSA

Giả sử rằng cặp khóa cơng khai là (e,n)=(17,35).
Giả sử thơng báo có giá trị bằng 8.

Ta có 8 17 = 8 m od 3 5 .

Như vậy mã hóa của thơng báo vẫn là thông báo ban đầu. Nói một
cách khác với khóa mã là 17 thì thơng tin không được che dấu. Rõ ràng
là phái tránh được tình trạng này định lý sau cho ta tính được số bản tin
không thể che dấu đirợc vái m ột lira chon cho trước của (e.n)

Định lý 3.1.

Nếu các thông báo được mã bàng hệ mật RSA với cặp khóa cơng
khai (e,n) với n=p.q thì số các thơng báo không thê che dấu được bang:

N = (1 + U C L N ( e - l , p - l)X l + U C L N ( d - l , q - 1 »

Chửng minh:

Một thông báo là không thể che dấu được nếu M e = M m o d n
Ta có: M e - M m o d p v à M e = M m o d q

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

M e 1 = 1 m o d p hoặc M e 1 = 0 m od p
M e 1 = 1 m od q hoặc M e 1 = 0 m od q

Chú ý rằng phương trinh đồng dư 2 3 M e_1 = O m od p chi có một

nghiệm tương tự với q ta có được kết quả của định lý

Ví dụ 3.3. n = 35

Giả sử e = 3 ta có (1+ ƯCLN(2,4))(1+UCLN(2,6))=9

Các thơng báo không thể che dấu được là 9 thông báo sau:
{0,1,6,14,15,20,21,29,34}

Giả sử e = 17. ta có (1+ UCLN(6,4))(1+UCLN(16,6))=15
Các thông báo không thể che dấu được là 15 thông báo sau:

{0,1,6,7,8,13,14,15,20,21,22,27,28,29,34}

Giả sử p = 2p’ +1 và q = 2q’ +1 trong đó p ’ và q’ là các số nguyên
tố. Khi đó:

U C L N ( e — 1 ,2 p ') = 1; 2 hoặc p’

Nếu U C L N (e -l,2 p ') không phải là p ’ và Ư C L N (e -l,2 q ') không
phải là q' thì số thơng báo khơng thể che dấu chỉ nhiều nhất là 9.

Nếu U C L N (e -l,2 p ')= p' thi số các thông báo không thể che dấu
tối thiểu là 2(p'+l). Tuy nhiên xác suất để xảy ra điều này là rất nhỏ

(bằng 1/p’)

3.3. Hệ mật Rabin

3.3.1. Tạo khóa

Tóm lược: Mỗi đầu tạo một khố cơng khai và một khố bí mật
tương úng theo các bước sau:

(1) Tạo 2 số nguyên tố lớn, ngẫu nhiên và phân biệt p và q có kích

thước xấp xi nhau.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

(3) Khố cơng khai là n, khố bí mật là các cặp số (p, q).
3.3.2. M ã hóa và giải mã của hệ mật Rabin

M ã hoá: B phải thực hiện các bước sau:
(1) Nhận khố cơng khai của A: n.

(2) Biểu thị bản tin dưới dạng một số nguyên m nằm trong dải
Ị o , n -

1

].

(3) Tính c = m 2 m od n
(4) Gửi bản mã c cho A.

Giải ttiã.Để khôi phục bản rõ m từ c, A phải thực hiện các bước sau:

Tìm 4 căn bậc hai của c m od n là m i, m2, m3 hoặc Iti4.

(1) Thông báo cho người gửi là một trong 4 giá trị mi, m2, m3 hoặc
m4. Bằng một cách nào đó A sẽ quyết định m là giá trị nào.

3.3.3. Ví dụ
Tạo khố

A chọn các số nguyên tố p = 277 và q = 331. A tính n = p q =
91687. Khố cơng khai của A là 91687. Khố bí mật của A là cặp số (p =
277, q = 331).

M ã hoá

Giả sử rằng 6 bit cuối cùng của bản tin gốc được lặp lại trước khi
thực hiện mã hoá. Việc thêm vào độ thừa này nhằm giúp cho bên giải mã
nhận biết được bản mã đúng.

Để mã hoá bản tin 10 bit m = 1001111001, B sẽ lặp lại 6 bit cuối
cùng của Fn để có được bản tin 16 bit sau: m = 1001111001111001, biểu

diễn thập phân tư ơ n g ứ n g là m = 40596.

Sau đó B tính c = m2 modn = 40 5 962 mod91687 = 62111 rồi gửi c cho A
Giải m ã

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

m, =69654, m2 = 22033, m, = 40596, m4 =51118
Biểu diễn nhị phân tương ứng của các số trên là:

m, =10001000000010110 , m2 =101011000010001

m3 = 1001111001111001 , m4 = 1100011110101110

Vì chỉ có m3 mới có độ thừa cần thiết nên A sẽ giải mã c bằng m3 và
khôi phục lại bản tin gốc là m = 1001111001.

3.3.4. Đánh giá hiệu quả

Thuật toán mã hoá Rabin là một thuật toán cực nhanh vỉ nó chỉ cần
thực hiện một phép bình phương modulo đơn giản. Trong khi đó, chẳng
hạn với thuật tốn RSA có e = 3 phải cần tới một phép nhân modulo và
một phép bỉnh phương modulo. Thuật toán giải mã Rabin có chậm hơn
thuật toán mã hoá, tuy nhiên về mặt tốc độ nó cung tương đương với
thuật toán giải mã RSA.

3.4. Hệ m ật Elgamal
3.4.1. Bài toán logarit rời rạc
Định nghĩa 3.1.

Cho G là nhóm cylic hữu hạn bậc n, a là phần tử sinh cùa G, p là
phần tư thuộc G. Lôgarit rời rạc của /3 theo cơ số a được ký hiệu là

lo g /? , là một số nguyên X, 0 < x < n -l, thỏa mãn p = ữ x.
Ví dụ 3.4.

Cho p=101, Z ỉ01 là nhóm cyclic có bậc n=100, a =2 là phần tử sinh
của nhóm Z{01, ta có 288 = 92 (mod 101) =>log2 92 = 88 trên Z{0J.

Bỗ đề 3.1.

Cho a là phần từ sinh cùa nhóm cyclic G bậc n, p , ỵ e G t s là một
số nguyên, ta có:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

3.4.1.1. Bài tốn lơgarit rời rạc tổng qt (GDLP)

Bài tốn lơgarit rời rạc tổng quát (Generalized discrete logarithm
problem - GDLP). cho G là nhóm cyclic hữu hạn bậc n, a là phần tử sinh

của G, phần tử P e g , tìm số nguyên X, 0 < X < n-1, sao cho a x = p.
Độ khó của bài tốn lơgarit rời rạc tổng quái (GDLP) độc lập với
phần tử sinh

Chừng minh:

Cho a và y là 2 phần tử sinh của nhóm cyclic G bậc n, và peG.
'x = loga p

Đặt: y = logy p =>ax = p = Yy = ( a z y .

z = l o g a Y

ị X = z y m o d n

Vậy ta có: ị Ịog^ p _ p ) ạ oga y ) - i m odn

Điều này có nghĩa rằng bất kỳ thuật toán nào được dùng để tính

lơgarit theo cơ số a cũng có thể dùng để tính lơgarit theo cơ số Y bất kỳ,

với y cũng là phần tử sinh của G.

3.4.1.2. Bài toán lơgarit rời rạc (DLP)

Bài tốn lơgarit rời rạc {Discrete logarithm problem -DLP). cho p là
số nguyên tố, ữ là phần tử sinh của nhóm Zp, và phần tử /? E Zp, tim số
nguyên X, 0 < X < p-2, sao cho a x = p (m o d p)

Ví dụ 3.5. Xét Z jg , phần tử sinh g = 2. Ta có bảng sau:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

logỉX 18 1 13 2 16 14 6 3 8 17 12 15 5 7 11 4 10 9

Từ bảng trên ta có: 213s3 m o d l9 .

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

phải là tích của các số nguyên tố nhỏ. Nói chung bài toán logarit rời rại
trên truờng hữu hạn GF(p) có độ phức tạp lớn hơn so với trên G F (2m ).

3.4.1.3. Một số thuật toán giài bài toán logarit rời rạc
Thuât toán vét can

Vét cạn là một thuật tốn giải bài tốn tìm 1 phương án đúng tron
khơng gian n phương án.

Thuật tốn vét cạn tìm phuơng án đúng bằng cách lựa chọn lần lưc
từng phương án trong tập hợp tất cả các phương án của bài toán để tìm r
phương án tối ưu.

Trong nhiều bài tốn, khơng gian các phương án quá lớn. Do vậ)
khi áp dụng thuật toán vét cạn không đảm bảo về thời gian cũng nh
kỹ thuật.

Thuât toán bước lớn bước nhị
Tính log* /? = ? trên Zp

- Tính m=[Vn], với n là cấp của X, X là phần tử sinh.
- Tính bảng giá trị (ý, X J) với j=

- Tính bảng giá trị với i=

- Tính b ả n g g iá trị XJ c h o đ ế n kh i thỏa m ã n X J = /?. x ~ m i
Khi đó log* p = im + j

Ví dụ 3.6. Tìm log31 45 =? trên Z'61.

0(61)=6O =>m=[V60]=8

j
3Vm od61

1 6 3 2 1 1 1

Ta có

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

p . x m i = 4 5 . 1 2 ' m o d 61

i 0 1 2 3 4 5 6 7

4 5 .12‘m od61 45 52 14 46 3 36 5 60

Ta thấy tại i = 2 j = 3 thì 317 m od 61 = 4 5 .1 2 ' m od 61 = 46
Vậy log31 45 = 8.3 + 2 = 26

Tht tốn p - pollard

Nhóm G được chia thành 3 nhóm con có kích thước gần bằng nhau
dựa vào một số tính chất dễ kiểm tra. Định nghĩa dãy các phần tử nhóm

X0,X1,X2, ... bời x 0= l và:

7 ? j f „ i f x l e S l
de/

x ,+l = / ( * , ) - • x f , i f x, g S 2

a/+1

bi+ỉ =

a.x„ i f xl e S ì

Với i>0. Dùng dãy các phần tử nhóm này để định nghĩa 2 dãy khác
của các s ố nguyên a o , a i , a 2 và bo,bi,b2... thỏa mãn X, = a a '

p b' .

Với a 0 = ố0 = 0 thi:

a h ự Xi e Si

2 a, mod n, i f Xị G s 2

a, +

1,

if Xị

e s 3

bị + 1, i f Xị G S ị
2 bt mod n, i f X, e s 2

bị, i f X, G S-Ị

Thuật toán tìm chu kỳ Floyd có thể được sử dụng để tỉm 2 phần tử
của nhóm Xi và x 2j sao cho Xj=X2i Khi đó0La‘p b' = a a2'Ị3b2' và do đó

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Nếu bi ^ b2i(m o d n) (truờng hợp bị = b2i(.m od) xảy ra với xác

suất nhỏ), phương trình này có thể giải hiệu quả để xác định lo g a /?.

T huật toán

INPUT: phần tử sinh a của nhóm tuần hồn G có bận n nguyên tố,

phần từ PeG .

OUTPUT: logarith rời rạc X = \oga p
Set xo<— 1, ao<- 0, bo<—0.

For i=l,2,... do

Dùng các đại lượng xi_1, a i_1,ò Ể_1và x 2l_2, a 2t - 2l b2i- 2fà được

tính trước để tính các đại lượng Xi.CLi.b^à x 2i,a 2i,b 2i theo các công
thúc trên.

N ế u X ị = *2/thì làm:
Set r<- b,-b2, mod n

Nếu r=0 thi dừng thuật toán và Output(‘fail’)

N gược lại, tính X = r _1( a 2j — a ^ m o d n v àtrả v ề (x).

Ví dụ 3.7. (Tính logarith trong nhóm con của z383 ), phần tử a =2

là phần tử sinh cùa nhóm con G trong z383 có bậc n=191. Già sử p =

228. Phân nhóm các phần tử của G thành 3 nhóm con theo q'iy tắc X e Si
nếu X=1 (mod 3), X € s 2 nếu x=0(m od 3) và X e S3 nếu x=2(mod 3).

Bảng sau chi ra các giá trị của Xị, dị, bi, x 2t, a 2i, b2itại cuối mỗi vòng lặp.

Cuối cùng tính:

r = ị14 - b28 m od 191 — 125, r _1 = 125-1 m od 191 =

136, r -1 ( a 28 — a 14) m o d 191 = 110 Cho nên log2 228 = 110.
Bàng 3.2. Giải lôgarit rời rạc bằng thuật tốn p-pollard.

i Xi dí bi *2 i a 2i ^2 i

1 228 0 1 279 0 2

2 279 0 2 184 1 4

3 92 0 4 14 1 6

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

5 205 1 5 304 3 8

6 14 1 6 121 6 18

7 28 2 6 144 12 38

8 256 2 7 235 48 152

9 152 2 8 72 48 154

10 304 3 8 14 96 118

11 372 3 9 256 97 119

12 121 6 18 304 98 120

13 12 6 19 121 5 51

14 144 12 38 144 10 104

Thiiât toán Pohlis-Hellman

Giả sử n = p e^ p 6^ ....pịr là phân tích của n. Nếu x = loga /?thì
phương pháp ở đây là xác định Xị = jcmod p f 1 ,1 X mod. n. Mỗi số nguyên Xị được xác định bằng
c á c h tín h tư n g c h ữ s ố c ù a n ó là Iq,1\,■■ ; l e _ 1 tr o n g b iể u d iễ n c ù a Xi th e o
c ơ s ố p ,: Xị = l 0 + l lp ẵ +... + lei_ ì p f ‘ - ì , o z l j

Thuật toán

INPUT:phần tử sinh a của nhóm tuần hồn G có bậc n và phần tử
p e G

OUTPUT: logarithm rơi rạc x=logaỊi

Tìm phân tích của n: « = p ị x P2 2 ■■ p e/ , với Ẽi> 1.

For i =1 to n do
Set q<-p,, e<-ej
Set Y<- 1 and 1-1<—0
tính ã <- a n ' q

(tính lị) For j= 0 to e-1 do

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Compute lj <- log ã p

Set Xj<- 10 + liq + ...+ le.iqe'1

Dùng thuật tốn Gauss rồi tìm số nguyên X, 0 < X < n — lsa o chc
X = Xị (mod pet' ), 1 < / < r

Retum(x)

Ví dụ 3.8. Tính logarith trong z251 . Giả sử p=251. Phần từ a=71 là

phần từ sinh của z251 bậc n=250. Lấy p=210. Thế thì X=log7i210 được

tính nhu sau:

Phân tích của n là 250=2.53

(a) tính X1=X mod 2

c ó ã = a n/2 mod p = 2 5 0 v àP = p n ỉ l mod p = 250
• Vỉvậy Xi=log25o250=l

(b ) tín h x 2= X m o d 53= 10+1i5+1252

tính ã = a nl5 mod p - 20

tính Ỵ=1 và p = (/3ỵ nx»d p = 149. Dùng phép vét cạn tính
được lo=log2o 149=2

tính Y = Y- ữ 2m o d p = 21

và p = (yỡ/_1) w/25 mod /> = 113.

Dùng phương pháp vét cạn tính được lx = log20 113 = 4
tính y = y. a* 5m o d p — 115

v àp = m odp = 149. Dùng phương pháp vét cạn tính
được l2 = log20 1 49 = 2cho nên *2 = 2 + 4.5 + 2. 52 = 72

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Nhận xét Thuật tốn phân tích số ở bước 1 cần phải tìm được ước
số nhị trước; nếu bậc n không là số nguyên mịn thì thuật tốn này khơng
hiệu quả.

Thuật tốn tính chỉ số

Thuật toán

INPUT: phẩn tử sinh a của nhóm tuần hồn G bậc n, phẩn tử P e G
OUTPUT: logarith rời rạc y — loga /?

(Chọn cơ sở nhân tử S). Chọn tập con 5 = { p i,p 2, —,Ptì của G sao
cho một phần đáng kể các phần tử con của G có thể biểu diễn như là tích
của các phần tử trong G.

(Chinh các quan hệ tuyến tính gồm logarith của các phần từ trong
trong S)

Chọn ngẫu nhiên số nguyên k, 0 < k < n — lv à tính a k
Cố gắng viết a k như là tích của các phần tử trong S:

t

a k = Y \ p Ci i , C ị > 0

7=1

Nếu thành công, lấy logarith của cả 2 vế để được quan hệ tuyến tính

t

k = X c , logư p, (mod n)
/=1

Lặp lại cho đến khi nhận được t+c quan hệ tuyến tính với c là số
n g u y ê n d ư ơ n g n h ỏ (v í dụ c = 1 0 ) s a o c h o h ệ p h ư ơ n g trình đ ư ợ c c h o b ở i
t+c quan hệ có lời giải duy nhất với xác suất cao.

Tim logarith của các phần tử trong s.

Giải hệ t+c phương trình tuyến tính theo modulo n (với t ân số) đã
thu được ở bước 2 để nhận được các giá trị của loga P i , l

Tính y.

</div>