Các dạng toán trong Khảo sát hàm số

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI. KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài viết được chia làm 2 phần lớn: Phần I : Sơ lược các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số. Phần II : Hệ thống hóa các dạng toán thường gặp trong khảo sát hàm số. Phần I : SƠ LƯỢC CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.BAØI TOÁN 1 :. ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ CÓ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA. Phöông phaùp chung: Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu giá trị tuyệt đối ta có thể thực hiện như sau: Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa biến bên trong dấu giá trị tuyệt đối . Bước 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối Phân tích hàm số đã cho thành các phần không có chứa dấu giá trị tuyệt đối ( Dạng hàm số cho bởi nhiều công thức) Bước 3: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại( Vẽ chung trên một hệ trục tọa độ). * Các kiến thức cơ bản thường sử dụng: 1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối :.  A neáu A = − A neáu. A≥0 A<0. 2. Ñònh lyù cô baûn: B ≥ 0 A =B⇔ A = ±B 3. Một số tính chất về đồ thị:. a) Đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng nhau qua trục hoành b) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng c) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Gv: Trần Quang Thuận. 1 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI. * Ba daïng cô baûn: Bài toán tổng quát:. (C1 ) : y = f ( x)  Từ đồ thị (C):y=f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: (C 2 ) : y = f ( x )  (C 3 ) : y = f ( x). Daïng 1:. Từ đồ thị. (C ) : y = f ( x) → (C1 ) : y = f ( x). Caùch giaûi.  f ( x) neáu f(x) ≥ 0 (1) B1. Ta coù : (C1 ) : y = f ( x) =  (2) − f ( x) neáu f(x) < 0 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C1) như sau: • Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) • Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) ) • Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1) Minh hoïa y. y. f(x)=x^3-3*x+2. f(x)=x^3-3*x+2. f(x)=abs(x^3-3*x+2). 8. 8. y=x3-3x+2. 6. 6. y = x3-3x+2 4. 4. (C1 ) : y = x 3 − 3 x + 2. 2. 2. x. x -9. -8. -7. -6. -5. -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. -9. -8. -7. -6. -5. -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 9. (C): y = x -3x+2 y=x3-3x+2 3. -2. -2. -4. -4 -6. -6 -8. -8. Daïng 2:. Từ đồ thị. (C ) : y = f ( x) → (C 2 ) : y = f ( x) ) ( ñaây laø haøm soá chaün). Caùch giaûi. (1)  f ( x) neáu x ≥ 0 B1. Ta coù : (C 2 ) : y = f ( x) ) =  (2)  f (− x) neáu x < 0 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau: • Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) ) • Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do do tính chaát haøm chaün ) • Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ đươcï (C2) Gv: Trần Quang Thuận. 2 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Minh hoïa:. y. y. x 3 y=x -3x+2. y. y. f(x)=x^3-3*x+2. f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2. 8. 8. 6. 6. y = x3-3x+2. 3. (C 2 ) : y = x − 3 x + 2. 4. 4. 2. 2. x. x. x. x. -9. -8. -7. -6. -5. -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. -9. 9. -7. -6. -5. -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. y=x3-3x+2 (C ) : y = f ( x) → (C 3 ) : y = f ( x) -2. (C): y = x3-3x+2. -2. Daïng 3:. -8. Từ đồ thị. -4. -4. -6. -6. -8. Caùch giaûi.  f ( x) ≥ 0  B1. Ta coù : (C 3 ) : y = f ( x) ⇔  y = f ( x)  y = − f ( x) . (1) (2). B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C3) như sau: • Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) • Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) ) • Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C3). Minh hoïa:. y. y. y. f(x)=x^3-3*x+2. y. f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=x^3-3*x+2. 8. f(x)=-(x^3-3*x+2). 8. 3. y=x -3x+2 y = x -3x+2. 6. 3. (C3) : y = x3 −3x + 2. 4. 6. 4. 2. x x. -9. -8. -7. -6. -5. -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2. 9. x x. -2. -9. -8. -7. -6. -5. -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. -4. y = x -3x+2 y=x(C):3-3x+2 3. -6. -2. -4 -8. -6. -8. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá : y = − x 3 + 3x (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 3 a) y = − x 3 + 3x b) y = − x + 3 x. Gv: Trần Quang Thuận. 3 Lop12.net. c) y = − x 3 + 3x. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI x +1 (1) x −1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: x +1 x +1 x +1 x +1 b) y = d) y = c) y = a) y = x −1 x −1 x −1 x −1. Baøi 2: Cho haøm soá : y =. e) y =. x +1 x −1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ. 2.BAØI TOÁN 2 : Bài toán tổng quát:. (C ) : y = f(x) Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số :  1 (C2 ) : y = g(x). y. y M 1 y2 y1. (C1 ). x O. M2. (C2 ). (C1 ). M0. x x1 O. x2. x O. (C2 ). (C2 ). (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm chung. y. (C1 ). (C1) vaø (C2) caét nhau. (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau. Phöông phaùp chung: * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: f(x) = g(x) (1) * Khaûo saùt nghieäm soá cuûa phöông trình (1) . Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). Ghi nhớ:. Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).. Chuù yù 1 : * (1) voâ nghieäm ⇔ (C1) vaø (C2) khoâng coù ñieåm ñieåm chung * (1) coù n nghieäm ⇔ (C1) vaø (C2) coù n ñieåm chung Chuù yù 2 : * Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2). Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0). y. y0 Gv: Trần Quang Thuận. x0 O 4 Lop12.net. x 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI. AÙp duïng: 2x − 1 và đường thẳng (d ) : y = −3 x − 1 x +1. Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y = Minh hoïa:. y. f(x)=(2*x-1)/(x+1) f(x)=-3*x-1 x(t )=-1 , y(t )=t. 15. f(x)=2. `. 10. 5. -20. -15. -10. 2x − 1 x +1. (C ) : y =. -5. 5. 10. 15. -5. x 20. 25. -10. -15. -20. ( d ) : y = −3 x − 1. b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số : Ñònh lyù : f(x) = g(x) (C1) tiếp xúc với (C1) ⇔ hệ :  ' coù nghieäm ' f (x) = g (x) y. (C1 ). M x. O. ∆. (C 2 ). AÙp duïng: Ví duï: Cho ( P) : y = x 2 − 3x − 1 vaø (C ) : y =. − x 2 + 2x − 3 . Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc nhau x −1. Minh hoïa: y. f(x)=x^2-3*x-1 f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1). 15. (C ). (P). 10. 5. x. Gv: Trần Quang Thuận. -20. -15. -10. -5. 5 -5 Lop12.net. 5. 10. 15. 0912.676.613 – 091.5657.952 20. 25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá y = ( x − 1)( x + mx + m) (1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Baøi 2: Cho haøm soá y = 2 x 3 − 3 x 2 − 1 (C) Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) taïi ba ñieåm phaân bieät. Baøi 3: Cho haøm soá y = x 3 − 3x + 2 (C) Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để đường thẳng (d) caét (C) taïi ba ñieåm phaân bieät. Baøi 4 : Cho haøm soá y = x 4 − mx 2 + m − 1 (1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. x2 − 2x + 4 Baøi 5: Cho haøm soá y = (1) x −2 Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt x2 − x −1 (1) Baøi 6: Cho haøm soá y = x +1 Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt x2 + 4 x + 1 Baøi 7: Cho haøm soá y = x+2 Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị. mx 2 + x + m Baøi 8: Cho haøm soá y = (1) x −1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành taị hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ döông . x 2 + mx − 1 Baøi 9: Cho haøm soá y = (1) x −1 Định m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA ⊥ OB . x 2 + mx − 1 Bài 10: Tìm m để tiệm cận xiên của hàm số y = cắt các trục toạ độ tại hai điểm A,B sao cho x −1 dieän tích tam giaùc OAB baèng 8. x2 + 3 Baøi 11: Cho haøm soá y = x +1 2 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; ) sao cho (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm 5 phaân A,B vaø M laø trung ñieåm cuûa AB. − x 2 + 3x − 3 Baøi 12: Cho haøm soá y = (1) 2( x − 1) Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=1 Baøi 13: Cho haøm soá y = ( x − 1)( x 2 + mx + m) (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành. Xác định tọa độ tiếp điểm trong mỗi trường hợp tìm được 2. Gv: Trần Quang Thuận. 6 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI. x2 − x +1 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;1) và tiếp xúc với đồ thị x −1. Baøi 14: Cho haøm soá y =. haøm soá Baøi 15: Cho haøm soá y =. x 2 − 3x + 6 x−2. (C). 1 Tìm trên (C) tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I ( ;1) 2 2 x − 2x + 2 (C) và hai đường thẳng (d1 ) : y = − x + m & (d 2 ) : y = x + 3 Baøi 16: Cho haøm soá y = x −1 Tìm tất cả các giá trị của m để (C) cắt (d1) tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua (d2) 4 Baøi 17: Cho haøm soá y = x + (1) x Chứng minh rằng đường thẳng (d ) : y = 3 x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng (∆ ) : y = 2 x + 3. TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG 3.BAØI TOÁN 3: a. Daïng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈ (C) y. (C): y=f(x). y0 M 0 x0. ∆ x. Phöông phaùp:. Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng: y - y0 = k ( x - x0 ) Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm y0: tung độ tiếp điểm và y0=f(x0) k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0). AÙp duïng: Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x + 3 tại điểm uốn của nó. Gv: Trần Quang Thuận. 7 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI `b. Daïng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước y (C): y=f(x). y0 M 0. ∆ x. x0. Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f ' ( x0 ) = k , từ đó suy ra y0 = f ( x0 ) =? Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta sẽ được pttt cần tìm. Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .. y. y (C): y=f(x). k=a y = ax + b. (C): y=f(x). ∆. x. x. O. ∆1 ∆2. k = −1 / a. ∆ 2 : y = ax + b Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau: Định lý 1: Nếu đường thẳng ( ∆ ) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của ( ∆ ) là: k∆ = a Định lý 2: Nếu đường thẳng ( ∆ ) đi qua hai điểm A( x A ; y A ) và B(x B ; yB ) với x A ≠ x B thì hệ số. goùc cuûa ( ∆ ) laø : k∆ =. yB − y A xB − x A. Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng (∆1 ) và (∆ 2 ) . Khi đó: ∆1 // ∆ 2. ⇔ k ∆1 = k ∆2. ∆1 ⊥ ∆ 2. ⇔ k ∆1 .k ∆2 = −1. AÙp duïng: Gv: Trần Quang Thuận. 8 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 1 3 1 2 4 x + x − 2x − 3 2 3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2. x2 + 3 Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y = x +1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (∆) : y = −3 x. Ví duï1:. Cho đường cong (C): y =. c. Daïng 3:. Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA) y (C ) : y = f ( x). A( x A ; y A ) x. O. ∆ : y − y A = k(x − xA ) ⇔ y = k(x − xA ) + y A Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A và có hệ số góc là k bởi công thức: y − y A = k ( x − x A ) ⇔ y = k ( x − x A ) + y A (*) Bước 2: Định k để ( ∆ ) tiếp xúc với (C). Ta có: f(x)=k(x-x A ) + y A ∆ tieáp xuùc (C) ⇔ heä  ' coù nghieäm (1) f ( x ) = k Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.. AÙp duïng: Ví dụ1: Cho đường cong (C): y = x 3 + 3x 2 + 4 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1) 2x − 5 Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y = x−2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0). BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1 3 x − 2 x 2 + 3 x taïi ñieåm uoán vaø 3 chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất x2 + x −1 Bài 2: Cho đường cong (C): y = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (∆ ) : y = x − 2. Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) của hàm số y =. x 2 + 3x + 6 Baøi 3: Cho haøm soá y = (C) x +1 1 x 3 0912.676.613 – 091.5657.952. Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d ) : y = Gv: Trần Quang Thuận. 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI x2 + x + 1 x +1 Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). x2 + x −1 (C) Baøi 5: Cho haøm soá y = x −1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C). 1 m 1 (Cm) Baøi 6: Cho haøm soá y = x 3 + x 2 + 3 2 3 Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 7: Cho đường cong (C): y = x 3 − 3x 2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7). Bài 4: Cho đường cong (C): y =. 4.BAØI TOÁN 4: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở của phương pháp:. Xeùt phöông trình f(x) = g(x) (1) Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C1):y=f(x) và (C2):y=g(x). y. x0. Daïng 1 :. (C1 ) (C2 ) x. Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình :. f(x) = m (*). Phöông phaùp: Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:. • (C ) : y = f ( x ) : (C) là đồ thị cố định • (∆ ) : y = m : (∆) là đường thẳng di động cùng phương Ox vaø caét Oy taïi M(0;m) Bước 2: Vẽ (C) và ( ∆ ) lên cùng một hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của ( ∆ ) và (C) Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*) Gv: Trần Quang Thuận. 10 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI. (C ) : y = f ( x ). Minh hoïa:. y. m2. x O m1. ∆. y=m. (0; m ). Dạng 2: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình :. f(x) = g(m) (* *). Phöông phaùp: Ñaët k=g(m) Bước 1: Xem (**) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: • (C ) : y = f ( x ) : (C) là đồ thị cố định • (∆ ) : y = k : (∆) là đường thẳng di động cùng phương Ox. vaø caét Oy taïi M(0;k) Bước 2: Vẽ (C) và ( ∆ ) lên cùng một hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của ( ∆ ) và (C) . Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy ra m Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**).. y Minh hoïa:. K2 O M1 ∆. K (0; k ). x. y=k. AÙp duïng: Ví dụ: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4. 2) Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4 − m = 0 3 3) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 x − 9 x 2 + 12 x = m BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa caùc phöông trình : x2 x2 a. =m b. =m x −1 x −1 Bài 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0. Gv: Trần Quang Thuận. 11 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x 3 − 3mx + 2 = 0 Bài 4 :Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 2 x 2 − 4 x − 3 + 2m x − 1 = 0 Bài 5: Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: − x 3 + 3 x 2 − 2 − log2 m = 0 Baøi 6: Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình :. e3 x − 2e2 x + 3e x = m 3. Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm:. 91+. 1−t 2. − (a + 2).31+. 1−t 2. 5. BAØI TOÁN 5: BAØI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y = f ( x, m). + 2a + 1 = 0. HỌ ĐƯỜNG CONG ( m laø tham soá ). Biện luận theo m số đường cong của họ (C m ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y 0 ) cho trước. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI:. Ta coù : Họ đường cong (C m ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y 0 ). ⇔. y 0 = f ( x 0 , m). (1). Xem (1) laø phöông trình theo aån m. Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0 Cuï theå: • Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M0 • Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M0 • Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M0 Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố định của họ đường cong (C m ) AÙp duïng:. m2 Ví dụ: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y = − x + m + 1 − . Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) đi qua điểm x+m A(2;0) Ví dụ: Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 9 x + 1 (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thaúng y=x+1 TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG BAØI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m là tham số ) Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm). Gv: Trần Quang Thuận. 12 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI Bước 1: Gọi M 0 ( x0 ; y 0 ) là điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) đi qua. Khi đó phương trình:. y 0 = f ( x0 , m) nghiệm đúng ∀ m. (1). Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau: Daïng 1: Am + B = 0 ∀m Daïng 2: Am 2 + Bm + C = 0 ∀m A = 0 AÙp duïng ñònh lyù: Am + B = 0 ∀m ⇔  (2) B = 0. A = 0  Am + Bm + C = 0 ∀m ⇔  B = 0 (3) C = 0  2. Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được ( x0 ; y 0 ) 6. BAØI TOÁN 6:. TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ. x 2 + 3x + 6 Baøi 1: Cho haøm soá y = x+2 Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên . x2 + 2 x + 2 Baøi 2: Cho haøm soá y = x +1 Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ đó đến trục tung . 2x +1 Baøi 3: Cho haøm soá y = x +1 Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất x2 + 2 x − 2 Baøi 4: Cho haøm soá y = x −1 Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhoû nhaát x2 + 4x + 5 Baøi 5: Cho haøm soá y = x+2 Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng y+3x+6=0 là nhoû nhaát. Baøi 6: Cho haøm soá y = 2 x 4 − 3 x 2 + 2 x + 1 Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d):y=2x-1 là nhỏ nhaát. 1 Baøi 7: Cho haøm soá y = x + (C) x −1 Tìm hai điểm A,B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Gv: Trần Quang Thuận. 13 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Baøi 8: Cho haøm soá y =. x2 + x + 2 x −1. 5 Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I (0; ) 2 2 x Baøi 9: Cho haøm soá y = x −1 Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x-1. CÁC BAØI TOÁN VỀ SỰ ĐỐI XỨNG. 7. BAØI TOÁN 7: 2. x − x +1 (C). Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận đứng và xiên x −1 làm tâm đối xứng. x 2 + 2m2 x + m2 Baøi 2: Cho haøm soá y = (Cm) x +1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ Baøi 3: Cho haøm soá y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x + 1 − m 2 (Cm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ x 2 − 4 mx + 5m Baøi 4: Cho haøm soá y = (Cm) x−2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạđộ. Baøi 1: Cho haøm soá y =. Phần II : HỆ THỐNG HÓA CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG. KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài toán 1 :Viết PTTT với đồ thị ( C ) tại điểm M0(x0;y0) thuộc ( C ). - PTTT coù daïng (d) : y – y0 = f’(x0) (x – x0) - Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0 ⇒ y0 ⇒ f’(x0). f’(x0) ⇒ x0 ⇒ y0 - Theá vaøo tìm (d) Bài toán 2 : Viết PTTT với đồ thị ( C ) đi qua điểm A(xA;yA). - Pt đường thẳng (d) đi qua điểm A và có hệ số góc k là : (d) : y – yA = k (x – xA).  f ( x ) = g ( x ) ( đối với hàm đa thức ) - (d) tiếp xúc với ( C ) ⇔  f '( x ) = g'( x )  phương trình hoành độ điểm chung của  ( C ) và (d) có nghiệm kép ( đối với hàm phân thức). {. - Giaûi heä tìm k ⇒ x0 ⇒ y0 ⇒ (d) Gv: Trần Quang Thuận. 14 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI. Bài toán 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y = f (x) , đường thẳng (d) : y = g(x) và các đường x = a , x = b b. B1 : Ta coù S =. ∫ f (x) − g(x) .dx a. B2 : Khử dấu GTTĐ ( bằng các cách sau :dựa vào đồ thị ; xét dấu biểu thức trong dấu GTTĐ ; ñöa daáu GTTÑ ra khoûi daáu tích phaân ) B3 : Tính * Chuù yù : Keát quaû laø soá döông Chưa đủ 4 đường thì tìm cho đủ bằng cách lập pt hoành độ điểm chung ( hoặc pt tung độ điểm chung ) Bài toán 4 : Tính diện tích hình tròn xoay. (C) : y = f (x) Ox : y = 0 ( baét buoä c phaûi coù)   Hinh phaúng : x = a x = b. (C ) : x = f ( y ) Oy : x = 0 ( baét buoäc phaûi coù)   Hình phaúng : y = a y = b Quay quanh truïc O y. Quay quanh truïc O x b. Coù theå tích laø : V = π (f (x))2 dx. ∫. b. Coù theå tích laø : V = π (f (y))2 dy. ∫. a. a. * Bình phöông haøm soá f(x) roài tính. Bài toán 5 : Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình g(x) = 0 B1 : Đưa phương trình g(x) = 0 về dạng f(x) = m ( hoặc f(x) = m + C ) (1) với f(x) là đồ thị ( C ) của hàm số vừa khảo sát ở trên B2 : (1) là pt hoành độ điểm chung của ( C ) và đường thẳng (d) :y = m (hoặc (d) :y = m + C ) Soá nghieäm cuûa (1) = soá giao ñieåm cuûa ( C ) vaø (d) B3 : Dựa vào đồ thị ta có : 5 trường hợp ( sử dụng các giá trị yCT , y CĐ trong BBT ) * m<? *m=? * ? < m < ?? * m = ?? * m > ?? Gv: Trần Quang Thuận. 15 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI * Có thể chỉ hỏi 1 trường hợp ( VD : dựa vào đồ thị tìm các giá trị của m để phương trình có 4 nghieäm phaân bieät) Bài toán 6 : Biện luận số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x). B1 : PT hoành độ điểm chung : f(x) = g(x) (1) Thu gọn lại B2 : Bieän luaän. *Neáu (1) laø PT : ax + b = 0 *Neáu (1) laø PT : ax2 + bx + c = 0 Biện luận 2 trường hợp : Biện luận 2 trường hợp : a = 0 : ⇒ giaù trò tham soá m, theá vaøo PT, a = 0 : ⇒ giaù trò tham soá m, theá vaøo PT, keát keát luaän nghieäm ⇒ soá giao ñieåm luaän nghieäm ⇒ soá giao ñieåm a≠ 0 : ⇒ giaù trò m ⇒ 1 ngieäm ⇒ 1 giao a≠ 0 : ⇒ giá trị m ; tính ∆ ( hoặc ∆’) ; xét dấu ñieåm ∆ ( hoặc ∆’) ⇒ số giao điểm Bài toán 7 :Tìm m để hàm số tăng ( hoặc giảm ) trên R hay trên từng khoảng xác định B1 : TXÑ B2 : Tính y’ B3 : Để hàm số tăng hoặc giảm trên R y' ≥ 0 ( hoặc y' ≤ 0 ) ⇔ y' > 0 ( hoặc y' < 0 ) ∆ ≤ 0 ⇒ giaûi BPT tìm ⇔ ∆ < 0 ⇒ giaûi BPT tìm. đối với hàm bậc ba đối với hàm còn lại m m. Bài toán 8 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ). B2 : y’ B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > 0 ( hoặc ∆’ > 0) B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ∆ ( hoặc ∆’). Bài toán 9 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ). B2 : y’ B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > 0 ( hoặc ∆’ > 0) B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ∆ ( hoặc ∆’) Bài toán 10 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) nhận điểm uốn có hoành độ là x0. B1 : TXÑ B2 : Tính y’ , y’’ B3 : Để đồ thị có điểm uốn tại x0 thì y’’ (x0) = 0 : giải PT tìm m B4 : (Thử lại) Thế m vào y’’ = 0 . Nếu tại x0 đồ thị có điểm uốn thì nhận m Gv: Trần Quang Thuận. 16 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Bài toán 11 : Tìm m để đồ thị nhận điểm I(x0 ;y0) làm điểm uốn. B1 : TXÑ B2 :y’ ; y’’.  y' ' ( x 0 ) = 0 Giaûi heä tìm m y ( x ) = y 0  0. B3 : I(x0 ;y0) laø ñieåm uoán ⇔ . Bài toán 12 : Tìm m để đồ thị ( C ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 3 điểm phân biệt (đối với Hàm bậc 3 ). B1 : PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Tìm 1 nghiệm đặc biệt x0. 2. B2 : Chia đa thức đưa về dạng :(x – x0)( Ax + Bx + C ) = 0. (1). x − x 0 = 0. ⇔. 2 Ax + Bx + C = 0 (2). B3 : ( Cm ) caét d taïi 3 ñieåm phaân bieät ⇔ (1) coù 3 nghieäm pb ⇔ (2) coù 2 nghieäm khaùc x0. Ax 20 + Bx 0 + C ≠ 0  ⇔ A ≠ 0 ∆ > 0  Bài toàn 13 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị). - TXÑ. @ Tính :y’. - Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb) - Giải phöông trình tìm m ( Phaân tích pt baäc 3 thaønh tích cuûa pt baäc 1 vaø pt baäc 2) * Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0) Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0) Bài toán 14 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 4 điểm phân biệt (đối với Hàm bậc 4) - PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) . Đưa về PT trùng phương (1) 2. - Ñaët t = x. (t ≥ 0). 2. . PT trở thành at + bt + c = 0 (2). - ( Cm ) cắt đường thẳng d tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm pb ⇔ (2) coù 2 nghieäm döông pb ⇔ 0 < t1 < t2. Gv: Trần Quang Thuận. 17 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI.  ∆ > 0  c  ⇔ P = > 0 a  b  S = − a > 0 B4 : Giaûi heä 3 BPT tìm m Bài toán 15 : Tìm tát cả các điểm trên đồ thị có toạ độ nguyên (x, y là số nguyên) ( đối với hàm phân thức) * Chia tử cho mẫu để được dạng :y = Ax +. B cx+d. B phải là số nguyên ⇒ (cx + d) là ước của B ⇒ x ⇒ y ⇒ điểm cx+d x − 1 = 1 ⇒ x ⇒ y x − 1 = −1 ⇒ x ⇒ y  x − 1 = 2 ⇒ x ⇒ y 4 M(x ; y) VD : là số nguyên ⇒ (x – 1) là ước của 4 ⇒  x −1  x − 1 − −2 ⇒ x ⇒ y x − 1 = 4 ⇒ x ⇒ y  x − 1 = −4 ⇒ x ⇒ y * Để x, y là số nguyên thì. Bài toán 16 :Tìm tập hợp điểm.  x = c ⇒ Tập hợp các điểm M là đường thẳng x = c M   y = f ( m )  x = f ( m ) * Tìm toạ độ điểm M cần tìm M  ⇒ Tập hợp các điểm M là đường thẳng y = c  y = c  M x = f (m ) ⇒ Khử m , tập hợp các điểm M là đường : F(x, y) = 0  y = g(m ). Bài toán 17 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) tại M(x0 ; y0). B1 : TXÑ B2 : y’  y '( x0 ) = 0 B3 : Để HS có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) tại M thì :   y ( x 0 ) = y0 B4 : Giaûi heä PT tìm m B5 : Thử lại (thế m vào pt y’ = 0 ⇒ x ; Vẽ BBT nếu tại M hàm số thoả yêu cầu đề thì nhận m) Gv: Trần Quang Thuận. 18 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Bài toán 18 : Xác định m để (Cm) luôn lồi ( hoặc lõm) :( đối với hàm trùng phương). * TXÑ * Tính :y’ ; y’’ * Để đồ thị hs lồi (hoặc lõm) thì : y’’≤ 0 , ∀x ( hoặc y’’≥ 0 , ∀x ) ⇒ ∆ ≤ 0 ( hoặc ∆ ≥ 0) ; ∆ của y’’ * Giaûi bpt tìm m Bài toàn 19 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị). * TXÑ * Tính :y’ * Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb) * Giaøi phöông trình tìm m ( Phaân tích pt baäc 3 thaønh tích cuûa pt baäc 1 vaø pt baäc 2) * Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0) Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0) Bài toán 20 : Chứng minh rằng từ điểm M (a ; b) bất kỳ trên đồ thị (C) có tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) bằng 1 hằng số ( không phụ thuộc vào M) :. + Viết pt các đường tiệm cận dưới dạng tổng quát : Ax + By + C = 0 + Aùp dung công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đt ∆ : d (M, ∆) =. A.x M + B.y M + C A 2 + B2. tính khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận + Tính tích : d1.d2 ( là 2 khoảng cách trên) + Vì M ∈ (C) ⇒ b = f( a) ( thế toạ độ điểm M vào hàm số ) + Thay vaøo tích : d1.d2 ruùt goïn thaønh haèng soá * Mở rộng bài toán : Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) đạt giá trị lớn nhất : + Laøm nhö treân + Thêm 1 bước : Aùp dụng BĐT Côsi cho 2 số d1 và d2 :. d1 + d2 ≤ d1 .d2 2. Vì d1.d2 là hằng số nên (d1 + d2 ) đạt giá trị mlớm nhất = 2 d1 .d2. Gv: Trần Quang Thuận. 19 Lop12.net. 0912.676.613 – 091.5657.952.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>