Ứng dụng phương pháp gradient phối ngẫu hiệu chỉnh để nhận dạng thông số của hệ thống

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (807.33 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY

Số 71 (05/2020) No. 71 (05/2020)

Email: ; Website: />

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRADIENT PHỐI NGẪU

HIỆU CHỈNH ĐỂ NHẬN DẠNG THÔNG SỐ CỦA HỆ THỐNG

Applying modified conjugate gradient method for identifiying parameter of system 
TS. Trần Thanh Phong(1), ThS. Nguyễn Hoàng Phương(2)

(1),(2)Trường Đại học Tiền Giang
TÓM TẮT

Bài báo này nghiên cứu vấn đề giải bài toán ngược liên quan đến việc nhận dạng giá trị các thông số bất
định của hệ thống được mơ tả bởi phương trình đạo hàm riêng. Phương pháp nhận dạng trực tuyến hàm
mật độ nhiệt lượng của nguồn nhiệt di động được đề xuất dựa trên phương pháp gradient phối ngẫu hiệu
chỉnh kết hợp với phương pháp cửa sổ trượt có dự báo. Theo đó, một nhóm cảm biến cố định được đặt
trên khu vực khảo sát để đo sự tiến triển của nhiệt độ theo thời gian và không gian. Giải thuật lựa chọn
cảm biến được xây dựng để tìm ra vị trí của ba cảm biến hữu ích nhất cho việc nhận dạng trong khoảng
thời gian làm việc của cửa sổ trượt nhằm giảm thời gian tính toán. Giá trị nhiệt độ đo đạc bị tác động
bởi các nhiễu tuân theo hàm phân phối chuẩn Gauss. Kết quả nghiên cứu cho thấy, phương pháp được
đề xuất có khả năng nhận dạng tốt hàm mật độ nhiệt lượng với độ trễ thấp với 241s và sai số là 0,5K
đáp ứng yêu cầu đặt ra. Hiệu quả của phương pháp này được chứng minh bằng các kết quả số thơng qua
việc mơ phỏng.

Từ khóa: bài tốn ngược, nguồn nhiệt, nhận dạng thơng số, phương pháp gradient phối ngẫu, phương trình

đạo hàm riêng 
ABSTRACT

This paper focuses on an ill-posed inverse problem with unknown parameters of a system, which can be
described by partial differential equations (PDE). An online identification method of the density of a
mobile heating source is proposed. This approach was based on the algorithm of the predictive online
conjugate gradient method (PCGM) with automatically adaptive sliding window size, which is based on
the iterative regularization methods for the general case. Assuming that the working area is limited, a set
of fixed sensors was placed on the domain to acquire the evolutions of the temperatures in a
spatial-temporal manner. A method was built on the order to select three sensors that are the most effective for
the identification procedure by decreasing the computational time. The measurements are disturbed
according to a realistic Gaussian noise. The results of this research show that the proposed method can
be able to identify the flux density of heat source with the low delay time about 241 seconds and the
good response error about 0.5K. The effectiveness of the proposed method were illustrated by the
numerical results.

Keywords: conjugate gradient method, heat source, identification, inverse problems, partial differential

equations

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Quá trình truyền nhiệt của nguồn nhiệt
di động trong bối cảnh của các vấn đề phi
tuyến là một ví dụ có liên quan đến các
hiện tượng vật lý có thể mơ hình hóa bởi
phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Phương pháp này được đề xuất nhằm kiểm
chứng hiệu quả của phương pháp ước
lượng dựa trên phương pháp gradient phối
ngẫu (CGM) [1], [2] với việc sử dụng một
nhóm cảm biến hữu dụng. Nhóm cảm biến
này được xác định dựa trên vị trí của nhóm
cảm biến cố định được thiết lập tại không

gian di chuyển của nguồn nhiệt thông qua
một giải thuật dựa trên mối quan hệ giữa vị
trí của nguồn nhiệt và vị trí của cảm biến.
Việc này nhằm giúp loại bỏ vị trí của các
cảm biến khơng hữu ích để giảm thời gian
tính tốn của hệ thống.

Trong một vài nghiên cứu trước đây,
vấn đề giải bài toán nghịch của các hiện
tượng vật lý được mô tả bởi phương trình
đạo hàm riêng, cụ thể là quá trình truyền
nhiệt được đề xuất một cách không đầy đủ
bởi Hadamard với việc giải bài toán bằng
phương pháp lặp [3]. Phương pháp
gradient phối ngẫu cũng được sử dụng để
tối thiểu hóa sai lệch bằng kỹ thuật lặp và
chứng tỏ đây là phương pháp ổn định để
ước lượng các thơng số [4]. Tuy nhiên, nó
chỉ có thể nhận dạng riêng lẻ một thông số
của nguồn nhiệt. Hơn nữa, phương trình
truyền nhiệt tổng quát trong không gian đa
chiều rất phức tạp nên làm cho mơ hình
tốn của hệ thống trở nên cồng kềnh và gây
mất nhiều thời gian để xử lý [5], [6]. Để cải
thiện hiệu năng của phương pháp, một giải
thuật lặp có hiệu chỉnh cũng được đề xuất
để nhằm rút ngắn thời gian tính của quá
trình nhận dạng các thơng số bất định của
hệ thống cần xem xét [4], [5], [7].

Nghiên cứu này sẽ đề xuất một giải

thống một cách đầy đủ theo hướng của
Hadamard kết hợp phương pháp cửa sổ
trượt trực tuyến và giải thuật lựa chọn cảm
biến. Giải thuật nhận dạng này được xây
dựng dựa trên phương pháp gradient phối
ngẫu (conjugate gradient method) bao gồm
ba vấn đề chính cần giải quyết: vấn đề trực
tiếp (direct problem), vấn đề bổ trợ (adjoint
problem) và vấn đề độ nhạy (sensitivity
problem) [6], [8], [9] bằng mơ hình tốn
của bài toán ngược dựa trên phương pháp
CGM, phương pháp cửa sổ trượt kết hợp
với giải thuật xác định cảm biến tối ưu.

2. Nghiên cứu 
2.1. Mô tả hệ thống

Để xây dựng mơ hình thí nghiệm cho
phương pháp nhận dạng thông số của hệ
thống được đề xuất trong bài viết này, giả
sử có một nguồn nhiệt S di chuyển trên bề
mặt của một tấm kim loại bằng nhơm hình
vng  3 có kích thước cạnh bên

L

và độ dày

e

được mô tả như trong Hình 1.
Giới hạn biên của miền làm việc được ký
hiệu  2

[7], [10], [11].

Biến số không gian của hệ thống

 

x y,    L2,L2   L2,L2 được

tính bằng mét và biến số thời gian là

0, f

t   t  được tính bằng giây. Tấm

kim loại này được đốt nóng bởi hai nguồn
nhiệt lần lượt có các hàm mật độ thông
lượng nhiệt tương ứng là



 

t được tính

bằng 2

Wm được giả định bằng một đĩa
đồng chất di động D I t r



( ), I



có tâm



I(t), I( )



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Hình 1. Mơ tả hệ thống thí nghiệm
Giả định rằng các giá trị của các thông

số Ψ



 , , , , , , ( ), ( ),

  

c h t I t



0



của hệ
thống sử dụng để xây dựng cho mơ hình thí
nghiệm là biết trước và được liệt kê trong
Bảng 1 với đơn vị đo của các đại lượng
được tuân theo đơn vị đo lường trong hệ

thống đo lường quốc tế SI (tiếng Pháp: 
Système International d'unités).

Trong đó, tấm kim loại sẽ được đốt
nóng bởi hai nguồn nhiệt di chuyển trên bề
mặt (mặt phẳng xOy) của tấm kim loại để

giúp ta khảo sát quá trình truyền nhiệt trên
bề mặt và bên trong tấm kim loại này. Quỹ
đạo di chuyển của hai nguồn nhiệt được
mơ tả như trong Hình 2 (a). Đồng thời, các
hàm mật độ dòng nhiệt của các nguồn được
cho bởi hàm số có đồ thị được thể hiện như
trong Hình 2 (b). Biểu thức của hàm mật
độ công suất nhiệt tổng của cả hai nguồn
trên 



x y t, ,



được sử dụng để đốt nóng
tấm kim loại thực nghiệm được diễn đạt
như sau:



, ,



( )

 



( ),



0 otherwise

I

t if x y D I t r

x y t  

  

 (1)

Theo một cách khác, biểu thức



x y t, ,



 cịn có thể được biểu diễn một
cách liên tục và khả vi dưới dạng hàm tổng
hợp của các hàm mật độ thành phần theo

biến thời gian và theo các tọa độ trong
không gian như sau:







 





2 2



( )

, , arccotan

( ) ( )

I I I

t
x y t

x x t y y t r





 

     

 

 

(2)

Với, hệ số   được chọn nhằm

mục đích rời rạc hóa hàm mật độ dòng
nhiệt liên tục. Khoảng thời gian  có thể
được chia ra thành

N

t đoạn





1
1
0

,

t

N

i i

i

T

t t







với

t

i





i

và bước chia
rời rạc hóa được định nghĩa bởi

f t

t N



 . Để tránh mất tính tổng quát,
phương trình quỹ đạo của tất cả các vị trí
định vị bất kỳ của các nguồn nhiệt



I

( ),

I

( )



I x t y t

cũng được thành lập lại

dưới dạng các hàm rời rạc một cách tuyến
tính và được viết lại bằng cách sử dụng các
hàm nón cơ bản s ti( ) với

i



0, ,

N

t:

1
1

1 /

( ) 1 /

0 otherwise

i i

i

i i

t i if t t t

s t t i if t t t







   




    




(3)

Hàm mật độ dòng nhiệt được diễn
đạt lại như sau



( )t 



i is t( )( )



trs t( )

và phương trình quỹ đạo di chuyển của

Nguồn nhiệt

Quỹ đạo nguồn nhiệt

   





I x t ,y t

x 
y

z

h

e

L

h

x 
y

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

như sau

x t

I

( )



x s t

Ii i

( )



( )

x

I tr

s t

( )

( ) ( ) ( ) ( )

I I I

y t  y s t  y s t . Với “tr” là ký

hiệu ma trận chuyển vị.

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

-0.25
-0.2
-0.15
-0.1

-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25

X [m]

]

Trajectory of source Sensor Ci

0 500 1000 1500

1
1.5
2
2.5
3
3.5

4x 10

Time [seconde]

lux

[

Real flux Flux to be estimated Initial flux

(a) Quỹ đạo di chuyển của nguồn nhiệt (b) Mật độ dịng nhiệt

Hình 2. Hàm mật độ dòng nhệt và quỹ đạo di chuyển của các nguồn nhiệt 
2.2. Vấn đề thuận (direct problem)

Nếu tất cả các thông số được biết trong
bảng phụ lục, sự tiến triển của nhiệt độ

trong không gian và thời gian là kết quả
nghiệm của phương trình đạo hàm riêng

bậc hai:

( , , ) ( , , ) 2 ( , , )

( , , ) ( , , )

( , ,0) ( , )

( , , )

0 ( , , )

x y t x y t h x y t

c x y t x y t

t e

x y x y

x y t

x y t
n





 





  

      

 



  



 

    




(4)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

(c) Phân bố nhiệt độ tại t=900s (d) Phân bố nhiệt độ tại t=1500s
Hình 3. Phân bố nhiệt độ trên tấm kim loại theo thời gian

0 250 500 750 1000 1250 1500

280
315
350
385
420
455
490
525
560

Time [s]

rat

ure

[

Temperature evolution in time

Hình 4. Hàm mật độ dịng nhiệt và quỹ đạo di chuyển của các nguồn nhiệt

Kết quả số thu được nhờ sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM, Finite Element
Method) thực hiện trong phần mềm COMSOL MultiphysicsTM được nhúng vào phần
mềm Matlab® [12], [18]. Quá trình phân bố của nhiệt độ trên tấm nhôm theo thời gian
được thể hiện tại các thời thời điểm t=(300, 600, 900, 1500) như Hình 4. Để đánh giá độ

tin cậy của mơ hình tốn đề xuất để đơn giản hóa phương trình truyền nhiệt trong khơng
gian hai chiều, 25 cảm biến nhiệt Cn được đặt cố định trên tấm kim loại như trong Hình

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>





lệch chuẩn



1.

2.3. Phương pháp gradient phối ngẫu 
2.3.1. Hàm mục tiêu

Để nhận dạng hàm mật độ dòng nhiệt



( )t , xét rằng “nhiệt độ đo” ˆ( , )C tn tại vị trí
cảm biến Cn1,2,...,25, một vấn đề ngược có thể được thiết lập và giải nghiệm bằng việc tối

thiểu hóa một tiêu chuẩn bậc hai:

 



   



1
0
1 ˆ
, ( , , ) , , ( , , ) ,
2
f
t N
n n
n

J  x y t  C t x y t  C t dt



 





  (5)

Trong phần tiếp theo, việc thiết lập mơ hình tốn của các vấn đề sẽ được giới thiệu
nhằm tính tốn các thông số trung gian của phương pháp nhận dạng thông số bất định hệ
thống dựa trên phương pháp CGM.

2.3.2. Độ nhạy (sensitivity problem)

Xét rằng độ thay đổi của nhiệt độ



( , , )x y t được sinh ra bởi sự thay đổi của mật độ
dòng nhiệt tổng được cho bởi: 



x y t, ,



 



x y, ,t







x, ,y t









 



, , , ,

, , lim x y t x y t

x y t


 




  
  
 

Vấn đề độ nhạy của hệ thống được mô tả bởi hệ thống sau:

( , , ) ( , , ) 2 ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , 0) 0 ( , )

( , , )

0 ( , , )

x y t x y t h x y t

c x y t x y t

t e

x y x y

x y t

x y t
n









 





  
      
 

  

 
    


(6)

Trong đó, sự thay đổi của là:

   



2 2



( , , ) ( )

( , , ) ( ) arccotan

( )

( ) ( )

I I I

x y t t

t

x x t y y t r


 
 


  

     

 
 

Nghiệm của vấn đề độ nhạy ( , , )x y t

là rất hữu ích trong viêc tính tốn độ tăng
giảm k1 cho mỗi vịng lặp: k1 k k1 k1

d


  

   
Độ tăng giảm



k1

làm tối thiểu tiêu
chuẩn J



,k1







Arg m n i ,

k k
J
 
  
 



hoặc





1
1
1
0.
, k
k
k k
d

J  








 

Điều này suy ra độ tăng giảm



k1

được tính tốn cho mỗi vịng lặp là:

 

















1
1 0
2
1
0
1
, ,
, ,
ˆ
,
f
f
c
n n
c
t
k
n
N
k
C C
n
k
t
k
n
n
N

C t dt
C t d

t
t
t 
  






  









(7)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

hướng tăng giảm dk1



6Nt phải là được

biết thông qua việc tính tốn với hàm mục
tiêu, cụ thể là gradient của hàm mục tiêu
phải được tính tốn thơng qua vấn đề phối
ngẫu sau đây.

2.3.3. Vấn đề phối ngẫu (adjoint

problem)

Nhằm mục đích tính tốn gradienr
i
J
J

  
   

   i 1, 2,...,Nt cho mỗi vịng
lặp, một cơng thức Lagrange ( ( , , ), , ) x y t 

được giới thiệu như sau:





( ( , , ), , ) ( ( , , ), )

2 ( , , )
( , , )

( , , ) (

, , ) .

f

t

x y t J x y t

h x y t

x y t

c x y t x y t d dt

t e
  
 

   

  
   
       

 

 

Nếu ( , , )



x y t là nghiệm của phương
trình (4) do đó:

( ( , , ), , )



x y t 



 J( ( , , ),



x y t )

và  ( ( , , ), , )x y t   J( ( , , ),x y t ).

Độ biến thiên Lagrange có thể được
viết lại:
( , , )
( , , ) ( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
( , , ).
( , , )

x y t
x y t

 
   

  
  

 

 

 
 

 



Với



( , , )x y t được cố định để

( , , )

( , , ) 0
( , , )x y t x y t



 



  

 , và khi các

phương trình phức hợp được kiểm chứng,
nên:

( , , )
( , , )

( ( , , ), )

J x y t





 





 

 
  

 

Từ





( ( , , ), , )

( , , ), ( )

( )

x y t

J x y t t

t
 
  

 
 

và với ( ) ( , 1) ˆ ( )

n n

k

C C

d



t 



t   



t , độ
biến thiên Lagrange có thể được viết lại
như sau:





 





0 0

0 0 0

( , , )

( , , ), , ( ) ( , , ) ( , , )

2 ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) .

f c f

f f f

t N t

D n

n

t t t

x y t

x y t d t x y t C d dt c x y t d dt

t

h x y t

x y t x y t d dt x y t d dt x y t d dt

e e

       
 
    

 
  

    



      



 

Biết rằng



 



( , , ) ( )

c

n n

N

D C D C

n

E x y t d t x x  y y





  với ( ) ( )

n n

D x xC D y yC









là hàm phân phối Dirac liên quan đến cảm biến ( , )

n n

n C C

C x y và ( )



( , , )x y t , nên:













0 0

( ) 2 ( )

( ), , ( ) ( ) ( )
( )
, , ( ) ( ) ( ) .
f
f f

t
t t
f
h

E c d dt

t e

c x y t t d dt d dt

</div>

Ứng dụng phương pháp gradient phối ngẫu hiệu chỉnh để nhận dạng thông số của hệ thống

<i>L</i>

<i>e</i>

 



 











  













 















 







<i>N</i>





,

<i>T</i>

<i>t t</i>



<i>t</i>





<i>i</i>





( ),

( )



<i>I x t y t</i>

<i>i</i>



0, ,

<i>N</i>







   





<i>x t</i>

( )



<i>x s t</i>

( )



( )

<i>x</i>

<i>s t</i>

( )







 

















