Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN. Luyện thi Đại học 2012. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Hình học nói chung và hình không gian lớp 11 nói riêng là một chuyên đề tương đối khó với đa số học sinh. Khó khăn này bao gồm nhiều nguyên nhân, nhưng nhìn chung là do các em chưa được chuẩn bị kĩ càng và đầy đủ về phương pháp, thuật toán để giải bài toán. Do vậy, chúng tôi viết chủ đề này với mục đích trang bị, hệ thống cho các em một phương pháp tốt để giải quyết một lớp các bài toán hình học.. A-MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: (Kỳ thi Đại Học to àn quốc) Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc của tọa độ với B ( a;0;0 ) , D ( 0; a;0 ) , A ' ( 0;0; b ) ( a > 0, b > 0 ) . Gọi M là trung điểm cạnh CC’. a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a, b. b) Xác định tỷ số a để 2 mp(A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau. b Bài tập 2: Cho tứ diện OABC với A 0;0; a 3 , B ( a;0;0 ) , C 0; a 3;0 ( a > 0 ) . Gọi M là. (. ). (. ). trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và OM. Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O.. (. ). Biết A ( 2;0;0 ) , B ( 0;1;1) , S 0;0;2 2 . Gọi M là trung điểm SC. a) Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA, BM. b) Giả sử mp(ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. Bài tập 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết A ( a;0;0 ) , B ( - a;0;0 ) , C ( 0;1;0 ) ,. B ' ( -a;0; b ) ( a > 0, b > 0 ) . a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B’C và AC’ theo a, b. b) Cho a, b thay đổi, nhưng luôn thỏa a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B’C và AC’ lớn nhất. Bài tập 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với A ( 0; -3;0 ) , B ( 4;0;0 ) , C ( 0;3;0 ) ,. B ' ( 4;0;4 ) . a) Xác định tọa độ A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mp(BCC’B’). b) Gọi M là trung điểm A’B’. Viết phương trình mp(P) qua 2 điểm A, M và song song BC’. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A’C’ tại N. Tính độ dài MN. Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc O. Biết. (. ) (. A - 2; -1;0 , B. ). 2; -1;0 , S ( 0;0;3) .. a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với 2 đường thẳng AD và SC. b) Gọi (P) là mp qua B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(P). Bài tập 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A ( 0;0;0 ) , B (1;0;0 ) , D ( 0;1;0 ) ,. A ' ( 0;0;1) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng A’C và MN. b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mp(Oxy) một góc q với cos q = 1. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 1 Lop12.net. 6. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Bài tập 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A ( 0;0;0 ) , B ( 2;0;0 ) , C ( 0;2;0 ) ,. A ' ( 0;0;2 ) . a) Chứng minh: A’C ^ BC’. Viết phương trình mp(ABC’) b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’C lên mp(ABC’).. B-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: I- Sự cần thiết của phương pháp: + Xuất phát từ nhu cầu: có phương pháp hiệu quả hơn trong việc giải quyết các bài tập HHKG11. + Học sinh thường ngại và lúng túng khi gặp bài toán toán HHKG thuần túy. + Đáp ứng yêu cầu phát triển tư duy và nâng cao trình độ cũng như chất lượng bài học ở trường THPT. + Giải quyết kịp thời những yêu cầu giảng dạy và học Toán trong tình hình mới. II- Tư duy thuật toán: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz. Suy ra tọa độ các điểm liên quan (phụ thuộc theo giả thiết độ dài) Bước 2: Chuyễn ngôn ngữ (yêu cầu đề bài) hình học thuần túy sang ngôn ngữ (kỹ năng) tọa độ Oxyz.. II- KỸ NĂNG CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ: Loại I-TAM DIỆN: 1-Tam diện vuông. 2- Tam diện có 1 góc vuông. z. z C. 1 1. x. 1 1. O. 1. y. x. 1. O. y. Ta có thể chọn hệ tọa độ chứa góc phẳng đó.. Loại II -HÌNH CHÓP: 1-Hình chóp đều S.ABC Gốc O trùng với trọng tâm G của đáy, Oz trùng với đường cao của hình chóp.. Đáy của chóp đều S.ABC: A. z S. x. H. B. G. y. C. C. A. y. G x. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. B. 2 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 2-Hình chóp đều S.ABCD Cách chọn 1: Cách chọn 2: Gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD, Oz Gốc O trùng với tâm của hình vuông trùng với đường cao của hình chóp. ABCD, Oz trùng với đường cao của hình chóp. z z. S. S. D. C O. C. D. x A. O y. y. B. x. A. Đáy của chóp đều S.ABCD: D. B. Đáy của chóp đều S.ABCD:. C. D. C. O. y. O. A. B. x. A. y. B x. 3- Hình chóp S.ABCD có SA ^ ( ABCD ) : 3-1) Đáy ABCD là hình chữ nhật Gốc O trùng với đỉnh A của hình chữ nhật ABCD, Oz trùng với đường cao của hình chóp. z. 3-2) Đáy ABCD là hình thoi, BAC = 600 Gốc O trùng với đỉnh A của hình thoi ABCD, Oz trùng với đường cao của hình chóp. z. S. S. D. A. y A. B x. x. Đáy của chóp S.ABCD: A. D. O. C. D. y. y. B C. Đáy của chóp S.ABCD: A 60 0. B. C. x. 30 0. B. D. x. y C. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 3 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 4- Hình chóp S.ABC có SA ^ ( ABC ) : 4-1) Đáy ABC là tam giác vuông tại A. 4-2) Đáy ABC là tam giác vuông tại B. Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, Oz trùng với đường cao của hình chóp. Oz trùng với đường cao của hình chóp. z. z S. S. A. C. B. A. y. x. B x. C. y. Đáy của chóp S.ABC:. Đáy của chóp S.ABC: A. x B. C y. C. B. A. x. y. 4-3) Đáy ABC là tam giác đều. Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, Oz trùng với đường cao của hình chóp.. 4-3) Đáy ABC là tam giác cân tại A có BAC = 1200 . Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, Oz trùng với đường cao của hình chóp.. z. z. S. S. C. A. A. y. B x. 30 0. 30 0. C x. y. B. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 4 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Đáy của chóp S.ABC: Đáy của chóp S.ABC: A. A 30 0. 30 0. B. C. x. C. x. y. y. B. 5- Hình chóp S.ABCD có ( SAB ) ^ ( ABCD ) 5-1 Đáy là hình chữ nhật ABCD.. 5-2 Đáy là hình thoi ABCD có góc BAD = 1200 Gốc O trùng với trung điểm của cạnh AB, Oz trùng với đường cao của hình chóp.. Gốc O trùng với trung điểm của cạnh AB, Oz trùng với đường cao của hình chóp.. z. z S. S. B. B. C. I. I C. y. A. A. x. D. x. D. Đáy của chóp S.ABCD: A. y. 60 0. Đáy của chóp S.ABCD:. D. B. y. I. I. B x. C A. 60 0. C. y. x D. Loại III- HÌNH LĂNG TRỤ: 1- Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. 2- Hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ Gốc O trùng với đỉnh A của hình vuông ABCD, Oz trùng với đường cao của hình lăng trụ.. Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác đều ABC, Oz trùng với đường cao của hình lăng trụ.. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 5 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN. Luyện thi Đại học 2012 z. z A'. A'. C'. D' C'. B'. B'. D. A. y. C. A. B. x. y. C. 30 0. x. B. Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’:. Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’:. y. A. C. D. 30 0. x. O C y. B. B. A. x. 3- Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy làm tam giác ABC có BAC = 1200 .. 4- Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy làm tam giác ABC có BAD = 1200 .. Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác đều ABC, Oz trùng với đường cao của hình lăng trụ.. Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác đều ABC, Oz trùng với đường cao của hình lăng trụ. z. z A'. A'. B'. D' O'. B'. C'. C'. A. A. x. D. O. B. 30 0. x. y. B C. C y. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 6 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’: Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: A. A 60 0. 30 0. B. C. B. x. x. 30 0. D. y. y. C. 6- Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình chiếu của A’ trùng với tâm đáy và ΔABC đều. Gốc O trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, Oz trùng với đường cao của lăng trụ.. 5- Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình chiếu của A’ trùng với tâm đáy và ΔABC vuông. Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, Oz trùng với đường cao của lăng trụ. z. z. C'. A'. C'. A'. B'. B'. y A. C. B. C. A. I. y. G. x. x. Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’:. B. Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’:. A. A C y B. x. H. G. x. B. 7- Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’: Gốc O trùng với đỉnh A của hình chữ nhật ABCD, Oz trùng với đường cao của hình lăng trụ.. 8- Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’: Gốc O trùng với đỉnh A của hình vuông ABCD, Oz trùng với đường cao của hình lăng trụ. z. z A'. B. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. D' C'. B'. D. A x. A'. D' C'. B'. C. y. D. A. y x. C. 7 Lop12.net. B. y. C. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’: A. D. y. y D. C O. B. C. A. x. B. x. III- Chuyển ngôn ngữ hình học thuần túy sang ngôn ngữ tọa độ: Ngôn ngữ Hình Học 1) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc. 2) Xác định góc giữa hai đường thẳng 3) Chứng minh 2 đường thẳng d1 và d2 song song 4) Tính diện tích tam giác ABC 5) Tính diện tích tứ giác ABCD. Ngôn ngữ  Tọa độ d1 có vectơ chỉ phương u1 ( x1; x2 ; x3 ) .  d2 có vectơ chỉ phương u2 ( y1 ; y2 ; y3 ) .   Ycbt: u1.u2 = 0 Û x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = 0   u1.u2 cos a =   u1 . u2      ìï[ u1 , u2 ] = 0 ìu1 = ku2 hoặc í í ïî A Î d1 Þ A Ï d2 î A Î d1 Þ A Ï d2    1 S ABC = ëé AB, AC ûù 2 1   1   S ABCD = S ABC + S ACD = éë AB, AC ùû + éë AC , AD ùû 2 2. 6) Tính kho ảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d1 và d 2. M 1 Î d1 ; M 2 Î d 2    [ u1 , u2 ] .M 1M 2 Þ d(d1 ; d 2 ) =   [ u1 , u2 ]. 7) Tính kho ảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt ph ẳng. M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ); ( P ) : ax + by + cz + d = 0. 8) Tính kho ảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng. 9) Tính thể tích hình chóp S.ABC 10) Tính th ể tích hình chóp S.ABCD. 11) Th ể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ 12) Ch ứng minh CK ^ ( MNP ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Þ d ( M 0 ;( P ) ) =. ax0 + by0 + cz0 + d. a 2 + b2 + c2  M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ); d có 1vtcp a ( a1 ; a2 ; a3 ) ; N Î d  é M 0 N , a ù ë û Þ d (M 0 ; d ) =  a 1    VS . ABC = éë SA, SB ùû SC 6 VS . ABCD = VS . ABC + VS . ACD 1    1    = éë SA, SC ùû SB + éë SA, SC ùû SD 6 6    VABCD. A ' B ' C ' D ' = ëé AB, AD ûù AA '   ïìCK . MN = 0 Chỉ rõ í   ïîCK . MP = 0 8 Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN  13) Chứng minh PH // ( ABC ) ìï PH.n ABC = 0 ( ) Chỉ rõ í ïî P Ï ( ABC ) *Lưu ý: Các yêu cầu khác thì chuyển tương tự.. Luyện thi Đại học 2012. C- BÀI TẬP MINH HỌA: Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC= a 3 , (a>0) và đường cao OA= a 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM. Hư ớng dẫn: Cách 1: Ứng dụng tọa độ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó: z æa a 3 ö A O(0;0;0), A(0;0; a 3); B(a;0;0), C (0; a 3;0), M ç ; ; 0÷ . è2 2 ø  ì AB = a;0; - a 3 ïï Bước 2: Ta có: í  æ a a 3 ö ;0 ÷÷ ïOM = çç ; O C y è2 2 ø îï. (. ).   æ 3a 2 M 3a 2 3a 2 ö  B Þ é AB, OM ù = çç ; ; ÷ và OB = ( a;0;0 ) x ÷ ë û 2 2 ø è 2    OB. éë AB, OM ùû a 15 . = Lúc đó: d ( AB; OM ) =   5 é AB, OM ù ë û Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp. Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình). Þ OM // (ABN) Þ d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)). Dựng OK ^ BN , OH ^ AK ( K Î BN ; H Î AK ) Ta có: AO ^ (OBC ); OK ^ BN Þ AK ^ BN. BN ^ OK ; BN ^ AK Þ BN ^ ( AOK ) Þ BN ^ OH OH ^ AK ; OH ^ BN Þ OH ^ ( ABN ) Þ d (O; ( ABN ) = OH Từ các tam giác vuông OAK; ONB có: 1 1 1 1 1 ö 1 1 1 5 a 15 æ 1 . = + = +ç + = 2 + 2 + 2 = 2 Þ OH = 2 2 2 2 2 2 ÷ 5 OH OA OK OA è OB ON ø 3a a 3a 3a a 15 . 5 Bài tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 có các mặt bên là hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC , A1C1 , C1B1. Tính khoảng cách giữa DE và A1F . Vậy, d ( OM ; AB ) = OH =. Hư ớng dẫn: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 9 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Do các mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông cạnh a nên là hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Cách 1: Ứng dụng tọa độ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó: æa a 3 ö æa a 3 ö O(0;0;0), A1 ( 0;0;0 ) , C ( a;0; a ) , C1 ( a;0;0 ) , B1 ç ; ;0 ÷ , B ç ; ;a÷ . è2 2 ø è2 2 ø. æa ö æ 3a a 3 ö æ 3a a 3 ö Suy ra: E ç ;0;0 ÷ , D ç ; ; a ÷÷ , F çç ; ;0 ÷÷ . 4 4 è2 ø çè 4 4 ø è ø ì  æ a a 3 ö ; a ÷÷ ï ED = çç ; ï è4 4 ø Bước 2: Ta có: í ï  æ 3a a 3 ö ï A1 F = çç 4 ; 4 ;0 ÷÷ è ø î. z. A. C D. B a.   æ 3a 2 3a 2 - 3a 2 ö  æ 3a a 3 ö Þ é ED, A1 F ù = çç ; ; ; a ÷÷ . ÷ và A1 D = çç ; ë û 4 4 8 ø÷ è è 4 4 ø 30 0 y   3a 4 9a 4 3a 4 51a 2 é ù + + = Ta có: ED, A1 F = B1 ë û 16 16 64 8    A1 F. éë ED, A1 F ùû a 17 y . Lúc đó: d ( A1 F; ED ) = =   17 é ù ë ED, A1 F û Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp. Ta có: A1 F ^ ( BCC1 B1 ) . Dựng EK // A1 F Þ EK ^ ( BCC1 B1 ) .. H. A1 a. C1 x. K. F A 30 0. a. C B. x. Suy ra DK là hình chiếu vuông góc của DE lên ( BCC1 B1 ) . Dựng FH ^ DK Þ d ( ED, A1 F ) = FH . Xét tam giác DFK vuông tại F:. a 17 1 1 1 16 1 17 = + = 2 + 2 = 2 Þ FH = . 2 2 2 17 FH FK FD a a a. a 17 . 17 Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của DABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện ( B; SA; C ) bằng 60o. Kết luận: d ( A1 F; ED ) =. a 2 a 2 . ; AG = 2 3 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G lên AB, AC. Tứ giác AEGF là hình vuông a Þ AG = AE 2 Þ AE = AF = . 3 Hư ớng dẫn: Ta có: BC = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC Þ AM =. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 10 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Cách 1: Ứng dụng tọa độ æa a ö æa a ö Chọn hệ trục như hình vẽ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), G ç ; ; 0 ÷ , S ç ; ; x ÷ . è3 3 ø è2 2 ø  æ a a ö  æ 2a a   ö æ a 2a ö SA = ç ; ; x ÷ , SB = ç ; - ; - x ÷ , SC = ç - ; ; - x ÷ 3 è3 3 ø è 3 ø è 3 3 ø 2   æ ö é SA, SB ù = ç 0; ax; - a ÷ = a æç 0; x; - a ö÷ = a.n1 , với n1 = æç 0; x; - a ö÷ ë û 3 ø 3ø 3ø è è è 2   æ ö é SA, SC ù = ç -ax;0; a ÷ = -a æç x;0; - a ö÷ = -a.n2 , với n2 = æç x; 0; - a ö÷ . ë û 3 ø 3ø 3ø è è è  é   ù Mặt phẳng (SAB) có vectơ pháp tuyến n1 = ë SA, SB û .    Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến n2 = éë SA, SC ùû . Góc phẳng nhị diện ( B; SA; C ) bằng 60o.. Û cos 60 = o. z. a a 0.x + x.0 + . 3 3 a2 0+ x + 9 2. S. a2 = 2 9x + a2 a2 2 x +0+ 9. 1 a2 a = 2 Û 9 x 2 + a 2 = 2a 2 Û 9 x 2 = a 2 Û x = . 2 2 9x + a 3 E a a Kết luận: x = . B 3 y Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp. Gọi M là trung điểm của BC Þ AM ^ BC (DABC vuông cân) Ta có: SG ^ ( ABC ) Þ SG ^ BC . Suy ra: BC ^ ( SAM ). x. Û. F. A. a. C. G M. Dựng BI ^ SA Þ IM ^ SA và IC ^ SA Þ BIC là góc phẳng nhị diện ( B; SA; C ) . DSAB = DSAC (c - c - c) Þ IB = IC Þ DIBC cân tại I.. 1 a 2 a 2 . BC = ; AG = 2 2 3 AM a 2 1 . DAIM ~ DAGS Þ IM = SG. = x. = 2 2 AS 2 SG + AG BC = a 2; AM = BM = MC =. Û IM =. 3ax 2 2 9 x 2 + 2a 2. ax 2 2 x2 +. 2a 2 9. .. a 2 3.3ax 2 . = 2 2 2 2 9 x + 2a a Û 9 x 2 + 2a 2 = 3x 3 Û 9 x 2 + 2a 2 = 27 x 2 Û 18 x 2 = 2a 2 Û 9 x 2 = a 2 Û x = . 3 a Kết luận: x = . 3. Ta có: BIC = 60o Û BIM = 30o Û BM = IM .tan 30o Û. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 11 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền. x.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Bài tập 4: (Trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC). Hư ớng dẫn: Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm DABC . Gọi I là trung điểm của 3 a 3 a 3 a 3 z BC, ta có: AI = . BC = , OI = Þ OA = 2 2 3 6 S Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được: æa 3 ö M N O ( 0;0;0 ) , S ( 0;0; h ) , A ç ; 0; 0 ÷ h è 3 ø æ a 3 ö æ a 3 a ö B ; 0; 0 ÷ , B ç ; ; 0÷ , Þ I çC y 6 6 2 ø è ø è O a æ a 3 a ö æ a 3 a hö æ a 3 a hö Cç;- ; 0÷ , M ç ; ; ÷ và N ç ; - ; ÷. A x 2 ø 4 2ø è 6 è 12 4 2 ø è 12    æ ah   æ 5a 2 3 ö  a2 3 ö Þ n ( AMN ) = éë AM , AN ùû = ç ; 0; ÷ , n ( SBC ) = éë SB, SC ùû = ç - ah; 0; ÷ 24 ø 6 ø è 4 è   5a 2 1 é   ù 10a 2 2 . AMN SBC n . n 0 h S AM , AN ^ Û = Þ = Þ = = ( ) ( ) DAMN ( AMN ) ( SBC ) û 12 2ë 16 Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a. Chứng minh rằng AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD). Hư ớng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O º A; B Î Ox; D Î Oy và A' Î Oz . Þ A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1) Þ Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng(A'BD): x + y + z = a hay  x + y + z –a = 0 ÞPháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): n ( A ' BC ) = (1;1;1) và AC ' = (1;1;1) = 1.n ( A ' BC ) . Kết luận: AC' vuông góc với (A'BC) Bài tập 5: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'. Hư ớng dẫn: Cách 1: Ứng dụng tọa độ Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông nên AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a Þ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều. Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc. æa a 3 ö æ a a 3 ö æa a 3 ö æ a a 3 ö ; 0÷, C ç - ; ; 0 ÷ , A '(0; 0; a ), B ' ç ; ; a ÷ , C 'ç - ; ; a÷ A(0;0;0), B ç ; è2 2 ø è 2 2 ø è2 2 ø è 2 2 ø Ta có: B ' C '//BC , B ' C '// ( A ' BC ). Þ d ( B ' C '; A ' B ) = d ( B ' C '; ( A ' BC ) ) = d ( B '; ( A ' BC ) ).  æ a a 3 ö  æ a a 3 ö A' B = ç ; ; - a ÷ , A 'C = ç - ; ; - a÷ è2 2 ø è 2 2 ø Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 12 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 2   æ ö æ ö æ ö é A ' B, A ' C ù = ç 0; a 2 ; a 3 ÷ = a 2 ç 0; 1; 3 ÷ = a 2 .n , với n = ç 0; 1; 3 ÷ ë û è 2 ø è 2 ø è 2 ø  ’ ’ Phương trình mặt phẳng (A BC) qua A với vectơ pháp tuyến n : 3 3 a 3 0 ( x - 0 ) + 1( y - 0 ) + =0 ( z - a ) = 0 Û ( A ' BC ) : y + z 2 2 2 z a 3 3 a 3 A' C' + .a a 21 2 2 2 F Þ d ( B ', ( A ' BC ) ) = = . 7 3 B' 1+ 4 H a 21 a . Kết luận: d ( A ' B; B ' C ') = 7 Nhận xét: Ở bài tập trên chúng ta đã dùng công thức!! Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp. A a C x Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông nên 30 0 AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a D y ’ ’ ’ Þ các tam giác ABC, A B C là các tam giác đều. B Ta có: B ' C '//BC Þ B ' C '//( A ' BC ) .. Þ d ( A ' B; B ' C ') = d ( B ' C '; ( A ' BC ) ) = d ( F ; ( A ' BC ) ) .. ì BC ^ FD Ta có: í Þ BC ^ ( A ' FDA ) î BC ^ A ' D (DA'BC caân taïi A') Dựng FH ^ A ' D . Vì BC ^ ( A ' FDA ) Þ BC ^ FH Þ H ^ ( A ' BC ) 1 1 1 4 1 7 a 21 . = + = 2 + 2 = 2 Þ FH = 2 2 2 7 FH A' F FD a 3a 3a a 21 Kết luận: d ( A ' B; B ' C ') = FH = 7 Bài tập 6: Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) z Hư ớng dẫn: D + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A º O, D ÎOx; C Î Oy và B Î Oz Þ A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Þ Phương trình mặt phẳng (BCD) là: H x y z + + = 1 Û 3 x + 3 y + 4 z - 12 = 0 . C y A 4 4 3 12 Suy ra: d ( A; ( BCD ) ) = . K 34 Xét ΔA ' FD vuông có:. B. x. Bài tập 7: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Hư ớng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 13 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 d(M, (OAB)) = 3 Þ zM = 3. z Tương tự Þ M(1; 2; 3). A x y z Þ (ABC): + + = 1 a b c 1 1 2 3 M Î ( ABC ) Þ + + = 1 (1). Ta có: VO. ABC = abc (2). a b c 6 a 1 2 3 1 2 3 3 (1) Þ 1 = + + ³ 3 . . a b c a b c O c C y 1 b Þ abc ³ 27 . 6 B 1 2 3 1 x (2) Þ Vmin = 27 Û = = = . a b c 3 Bài tập 8: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c . Tính diện tích của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng 2S ³ abc ( a + b + c ) . Hư ớng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a).  ìï BC = ( -c; b;0 )   Ta có: í  Þ éë BC , BD ùû = ( ab; ac; bc ) îï BD = ( -c;0; a ) 1   1 2 2 Suy ra: S BCD = éë BC , BD ùû = a b + a 2c 2 + b 2c 2 2 2 ñpcm Û a 2b 2 + a 2c 2 + b 2c 2 ³ abc ( a + b + c ). Û a 2b 2 + a 2c 2 + b 2c 2 ³ abc(a + b + c) Theo bất đẳng thức Cachy ta có: a 2b 2 + b 2c 2 ³ 2ab 2c ü ï b 2c 2 + c 2 a 2 ³ 2bc 2 a ý ï c 2 a 2 + a 2b 2 ³ 2ca 2b þ. Coäng veá : a 2b 2 + a 2c 2 + b 2c 2 ³ abc ( a + b + c ). Bài tập 9: Cho hình lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết AA1 = 2 a và AA1 vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB1 ; M di động trên cạnh AA1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MC1 D . Hư ớng dẫn: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A1 ( 0;0;2a ) æa 3 a ö C1 ç ; ; 2a ÷ và D(0;a;a) è 2 2 ø Do M di động trên AA1 , tọa độ M ( 0;0; t ) với t Î [ 0;2 a ] . 1   Ta có : SDDC1M = éë DC1 , DM ùû 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 14 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 ì  æ a 3 a ö ;- ;a÷   ïï DC1 = ç 2 ø Þ é DG , DM ù = æç - a ( t - 3a ) ; 3 ( t - a ) ; a 3 ö÷ Ta có: í è 2 ë û è 2 ø ï  ïî DM = ( 0; - a; t - a ) z   a 2 2 2 é ù A1 Þ ë DG, DM û = (t - 3a) + 3(t - a) + 3a C1 2 a B1 4t 2 - 12at + 15a 2 = 2 2a 1 a SDDC1M = . . 4t 2 - 12at + 15a 2 D 2 2 M Giá trị lớn nhất của SDDC1M tùy thuộc vào giá trị của tham số t. Xét f ( t ) = 4t 2 - 12 at + 15a 2 ( t Î [ 0;2 a ] ). A. B. a. y. 30 0. 3a Ta có: f ( t ) = 8t - 12 a = 0 Û t = 2 /. x. C. 15 khi t =0 hay M º A. 4 Bài tập 10: (Trích đề thi Đại học khối A – 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2 a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng chứa SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S. BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Hư ớng dẫn: Phân tích: ìï( SAB ) ^ ( ABC ) * í Þ SA ^ ( ABC ) . Như vậy đường cao S.ABC là SA. ^ SAC ABC ) ( ) ( ïî ïì BC ^ ( SAB ) Þ BC ^ SB và BC ^ AB nên góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) * í ïî SB Ì ( SAB ) là góc SBA Þ SBA = 600. Suy ra: SA = AB.tan 600 = 2 3a . S + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Lập bảng biến thiên ta được giá trị lớn nhất của SDDC1M =. (. Khi đó: B ( 0;0;0 ) , A ( 2 a;0;0 ) , C ( 0;2 a;0 ) , S 2 a;0;2 a 3. Þ M ( a;0;0 ) , N ( a; a;0 ) .  ì BS = 2 a;0;2 3a ï    ï Ta có: í BM = ( a;0;0 ) Þ éë BM, BN ùû = 0;0; a2 x ï  ï BN = ( a; a;0 ) î 1    3 3 Suy ra: VS . BMN = BS. é BM, BN ù = a (đ.v.t.t) ë û 6 3 1    2 3 3 a (đ.v.t.t) Tương tự: VS . BNC = BS. éë BN , BC ùû = 6 3. (. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. ). (. a. 2. ). z. ). 15 Lop12.net. y N. A M. 2a. C. 60 0. 2a. B. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN. Luyện thi Đại học 2012. Lúc đó: VS . BCNM = VS . BNM + VS . BCN = 3a (đ.v.t.t) * Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.  ì BA = ( 2 a;0;0 )    ï Ta có: í  Þ éë BA, SN ùû = 0;4 3a2 ;2 a2 và BS = 2 a;0;2 a 3 . SN = - a; a; -2 a 3 îï    BS. éë BA, SN ùû 4 3a3 2 a 39 . = = Lúc đó: d ( SN ; AB ) =   13 é BA, SN ù a 52 ë û D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Loại I: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC Bài tập 1: (Trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD). Bài tập 2: Cho DABC vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF. a) Chứng minh H là trung điểm của SD. b) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE). c) Tính thể tích hình chóp A.BCFE. Bài tập 3: Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB). a) Tính thể tích tứ diện HA’B’C’. b) Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều. Bài tập 4: Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi a , b , g lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC). a) Chứng minh H là trực tâm của DABC. 1 1 1 1 = + + . b) Chứng minh 2 2 2 OH OA OB OC 2 c) Chứng minh cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. 3. (. ). (. ). (. ). d) Chứng minh cos a + cos b + cos g £ 3. Bài tập 5: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. a) Tính góc j giữa (OMN) và (OAB). b) Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm DANP . 1 1 1 c) Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi 2 = 2 + 2 . a b c Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết AB = 2, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 600 . a) Tính độ dài SA. b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). c) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). Bài tập 7: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. a) Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp. b) Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 16 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 Bài tập 8: (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a. Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. a) Tính diện tích DMAB theo a. b) Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a. c) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Bài tập 10: Cho tứ diện S.ABC có DABC vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K. a) Chứng minh HK vuông góc với CS. b) Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI. c) Tính sin của góc giữa SB và (AHK). d) Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD. b) Tính khoảng cách giữa BC và SD. c) Tính cosin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBD) và (SCD). Bài tập 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . a) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Bài tập 13: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng (a) đi qua AB và vuông góc với SC. a) Tìm điều kiện của h theo a để (a) cắt cạnh SC tại K. b) Tính diện tích DABK. c) Tính h theo a để (a) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC Loại 2: Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD. a) Tính diện tích DSBE. b) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). c) Mặt phẳng (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . a) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. c) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 3 2 cm. Mặt phẳng (a) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. a) Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. b) Chứng minh BD song song với (a). c) Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của DSAC . Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 17 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 d) Tính thể tích hình khối ABCDKMH. Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. a) Tính khoảng cách từ A đến (BCN). b) Tính khoảng cách giữa SB và CN. c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). 3 d) Tìm điều kiện của a và b để cos CMN = . Trong trường hợp đó tính thể tích hình 3 chóp S.BCNM. Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. DSAD đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD. a) Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD). b) Mặt phẳng (a) qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ (a) cắt các cạnh SB, SD. c) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và SO = 2a 3 , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng (a) qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại B ', C ', D ' . a) Chứng minh DB ' C ' D ' đều. b) Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD. Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 £ m £ a) . a) Tìm vị trí điểm M để diện tích DSBM lớn nhất, nhỏ nhất. a b) Cho m = , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng 3 (SAK) và (SBK). CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Loại 3: Bài tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC. a) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. b) Tính khoảng cách giữa IK và AD. c) Tính diện tích tứ giác IKNM. Bài tập 2: (Trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc phẳng nhị diện [B,A'C,D]. Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài tập 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a) Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’). b) Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’). c) Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k 0 < k < a 2 .. (. ). c-1) Chứng minh MN song song (A’D’BC). c-2) Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB. Bài tập 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M,     N thỏa AM = m AD, BN = mBB ' (0 £ m £ 1). Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’. a) Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD). b) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 18 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp DA ' BD . d) Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất. Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’. a) Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N. b) Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D. c) Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương. Bài tập 7: (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD = 600. Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. a) Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. b) Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông. Bài tập 8: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng (a) qua B và vuông góc với B’C. a) Tìm điều kiện của a, b, c để (a) cắt cạnh CC’ tại I (I không trùng với C và C’). b) Cho (a) cắt CC’ tại I. b-1) Xác định và tính diện tích của thiết diện. b-2) Tính góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy. CÁC BÀI TẬP KHÁC: Bài tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a. a) CMR: A ' C ^ ( AB ' D ') b) CMR: A’C cắt (AB’D’) tại trọng tâm G của DABC và A ' G = 1 A ' C 3 Bài tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và AD. a) Tính khoảng cách giữa 2 đt C’D và MN. b) Tính d ( A;(C ' MN )) Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Biết AB=b, AC=c, AD=d. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. a) Tính góc giữa 2 đt AN và DM. b) Tính góc giữa AN và mp(DBC). c) Tính góc giữa 2mp(ABC)&(DBC). Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA=h. Tính khoảng cách giữa 2 đt AB và SC. Bài tập 5: Chohình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA=a, SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa 2đt AB và SC. Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a) Tính theo a khoảng cách giữa 2 đt A’B và B’D. b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh A’B, CD, A’D’. Tính góc giữa 2 đt MP và C’N. Bài tập 7: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với đáy (BCD); AC=AD=4 cm, AB=3cm, BC=5cm. Tính khoảng cách từ A đến (BCD).. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 19 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>