Ứng dụng của công thức Ơ - Le

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ứng dụng của công thức Ơ - LE Mục đích yêu cầu Biết sử dụng các tính chất của luỹ thừa và công thức Ơ - letrong việc giải các bài toán lượng giác , đặc biệt là các bài toán về dãy số với các số hạng lượng giác. Ví dụ i. iα. α. 1. Phân tích thành nhân tử : 1 − e theo e 2 2. Với mọi số thực x ≠ 2kπ và n là một số tự nhiên ( n ≥ 1) Tính : S = 1 + cos x + cos 2 x + ......... + cos nx S ' = sin x + sin 2 x + ........... + sin nx Giải : α α α i  −i i  1. 1 − eiα = e 2  e 2 − e 2   . Từ đó suy ra 1 − eiα = −2i sin ix. i2x. α. i. α. e 2 (1). 2 + ...... + einx. 2. S + iS ' = 1 + e + e 1 − ei( n +1) x ⇔ S + iS ' = , điều kiện eix ≠ 1 ix 1− e Dựa vào tính chất (1) trên ta có :  n +1 .  nx . x i 2   n + 1   i 2  x ix e i e 1− e = −2i sin  x e và 1 − = − 2 sin   2  2    n +1  sin   x  nx  2  i 2   e Vậy : S + iS ' = x sin 2 Tách phần thực và phần ảo riêng ra ta được : i ( n +1) x.  n +1   n +1 sin  sin  x x 2  2  n  n    S= cos  x  và S ' = sin  x  . x x 2  2  sin sin 2 2. 1. Với mọi α ∈ ( 0 ; 2π ) , hãy xác định mođun và acgumen của các số phức sau : 1 − eiα. và 1 + eiα Hướng dẫn : phân tích theo nhân tử là e. i. α 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 − eiα và (1 − eiα )(1 + eiα ) iα 1+ e π 2π 3π 4π i i i i 2 3. a) Chứng minh rằng : 1 + e 5 + e 5 + e 5 + e 5 = π i 1− e 5 π 2π 3π 4π π b) Từ đó suy ra : sin + sin + sin + sin = cotg 5 5 5 5 10. 2. Từ đó suy ra mođun và acgumen của. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>