Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán khối 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>*****TÍNH CHIA HEÁT. A. ñònh lí chia coù dö. B. caùc pheùp chia heát- quy taéc. C. caùc vd minh hoïa: 1. cmr: A= 20062002+20062003+20062004+20062005 chia heát cho 223. Ta nhóm 2 số đầu và 2 số cuối tạo ra số 2007= 223.9 là xong/. 2. cmr với x khác -6 thì A= (x+1`)(x+3)(x+5)(x+7) chia hết cho x+6. Ta nhận thấy có số 8=3+5=1+7 nên tha nhóm lại và thành 2 tích để tạo ra x+6. 3. chi A=x95+x94+.. .+x+1 vaø B= x31+x30+…+x+1. cmr A chia heát cho B. ta nhóm từng cụm 32 số từ đầu đến cuối là tạo ra ngay A=B.X. xong. 4. cho M=n4-4n3- 4n2+16n với n chẵn và n > 4. Cmr M chia hết cho 384. Nhoùm ngay n-4 vaø taïo ra daïng tích cuûa caùc soá haïng. Sau đó ta dùng n chẵn tức là n=2k. tạo ra 16. tích 4 số liên tiếp nên chia hết cho 24.16. xong 5. c/m M=300(72006+72005+…+7+1) +50 CHIA HEÁT CHO 72007. Ta phân tích số 300= 50.6 vì số 6 có lien quan đặc biệt đến số 7 là 6=7-1. Mặt khác ta nhận thấy bên trong ngoặc là có dạng bình phương thiếu của tổng nên tạo ra HĐT xn-1. ta được KQ : 50.7.2007. xong. 6. c/m nếu n là số tự nhiên chẵn thì : A=20n+16n-3n-1 chia hết cho 323. Ta nhaän thaùy 323= 17.19 vaø nguyeân toù cuøng nhau. Ta c/m A chia heát cho 17 mvaø 19. Ta nhận thấy có số 20 và 3 rồi lại 16 và 1 đều tạo ra 17 nen nhóm lại và dùng HÑT nhö threân bta taïo ngay soá 17. Ta lại nhận thấy có 20 và1 rồi 16 và 3 nên tương tự ta tạo ra 19. 7. c/m : A= 3638 +4133 chia heát cho 77. Ta nhaän thaáy 77= 11.7 Ta chia A hết 11. ta nhận thấy 36 tạo ra 33 và 41 tạo ra 44 thì sẽ rút gọn được. Thêm bớt các đại lượng 338 và 333. zsau đó tính ntoán là được. Ta nhận thấy 36 gần 35 chia hết cho 7 và 41 gần 42 tạo ra số 1. thêm bớt số 1. 8. cmr soá : A= 1.2.3.4…2006(1+1/2+1/3+…+1/2006) chia heát cho 2007. Ta đặt m= cái trước và n là cái sau. Ta nhóm n thành từng cặp số hạng đầu và số hạng cuối như 1+1/2006 nhằm tạo ra 2007 chung còn ở trong không xét. Còn m không liên quan. 9. cmr: A=7n+2+82n+1 chia heát cho 57. Ta Nhaän xeùt 57 = 19.3. 1 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ta Nhaän xeùt coù 72 laø 49 vaø 82=64 coøn 8. Ta nhaän thaáy 49= 57-8 vaø nhoùm laïi. Còn 64= 57+7 vậy 64n và 7n nhóm lại được. Tạo ra 57. 10.cmr : M= 3n+63 chia hết cho 72 với n chẵn. Ta nhaän thaáy 72=9.8. N chaün vaø 63 chia heát cho 9 neân 9 laø xong. Ta nhận thấy n chẵn nên 32 chi 8 dư 1 vậy 3n dư 1 và kết hợp 63 là xong. 11.cho P= (a+b)(b+c)(c+a)- abc với a,b,c nguyên cmr : nếu a+b+c chia hết cho 4 thì P chia heát cho 4. Ta phân tích hết ra và nhóm lại mục đích tạo ra a+b+c để dùng. Sau đó tạo ra 2.abc thì ta biện luận sau. 12.tồn tại hay không số tự nhiên n : 10n+2007 chia hết cho 102007-1. Ta nhẩmvài số để thử xem sao. Ta đoán chắc là không được. Ta thấy 102007 -1 chia hết cho 9 vì 10=9+1 nên dự đoán số kia không chia hết cho 9. Từ 10n +2007 ta tạo ra số 9 = 10 -1 để tạo ra 2008, hoặc nhóm 10 và 1 tạo ra 2006 cũng dược là xong. 13.toång 2139+3921 coù chia heát cho 45? Ta nhaän thaáy 45=5.9. Ta thấy 21 thì thừa 1 còn 39 thiếu 1 nên thêm bớt số 1 vào là được. Ta nhaän thaáy caû 21 vaø 39 deàu chia heát cho 3 neân raát deã thaáy chia heát cho 9. 14.. *****PHÖÔNG TRÌNH NGHIEÄM NGUYEÂN. A. Nghieäm nguyeân? B. Phöông phaùp. C. Caùc ví duï minh hoïa: 1. tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: (x+1)(y+2) = 2xy. Ta thaáy coù xy neân nhaân ra vaø nhoùm laïi taïo ra : (x-1)(y-2) =4 vaø bieän luaän. Các ước số của 4. 2. tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: x2+x+6=y2. Ta thaáy ngay duøng HÑT soá 1 cho Veá traùi vaø taïo ngay HÑT soá 3 tieáp nhöng laøm theá coøn phaân soá khoù tìm nghieäm nguyeân neân nhaân 4 vaøo 2 veá. Sau đó làm như trên tạo ra: (2y+2x+1)(2y-2x-1) =23. và biện luận 3. tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: x2+y2-x-y=8. Ta nhaän thaáy coù theå duøng HÑT soá 1 cho x vaø y nhöng cuõng khoâng tieän neân tha nhân 4 vào trước tạo ra: (2x-1)2+(2y-1)2=34. 2 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 4.. 5.. 6.. 7.. 8.. Ta thaáy veá traùi coù toång hai bình phöông neân taùch VP ra? 34= 25+9=52+32. Bieän luaän – caån thaän khoâng sai nghieäm. tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình: 3x2+2y2+z2+4xy+2xz= 26-2yz. Ta nhaän thaáy coù daïng HÑT soá 1 cho 2 soá x;y vaø 3 soá x;y;z. Coøn dö soá x2. ta phan tích 26 = 02+11+52 laø sai vì caùc soá döông. Ta phaân tích 26= 25 +1= 12+32+42. Bieän luaän. tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: xy+x= 2y +2011. Ta không nhận dạng được ngay. Ta rút y theo x để xem sao. => y= -1+2009/(x-2). Vậy là xong. x-2 là các ước của 2009. tìm các ước.1;41;49 và 2009. cmr phöông trình sau khoâng coù nghieäm nguyeân: x3+y3+z3= x+y+z+2006. Ta nhaän thaáy coù lieân quan x3 – x neân chuyeån qua vaø nhoùm laïi chia heát cho 3 maø VP khoâng chia heát cho 3 laø voâ lí. tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình: 1/x+1/y+1/z =2. Ta nhận thấy vami trò của các số là như nhau nên ta giả sử x y  z. Khi đó ta Đánh giá dựa vào số 2 để tìm dược z rồi y và x. tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:x3+7x=y3+7y. với x > y >0. ta nhận thấy 2 vế như nhau về phép toán nên nếu x > y thì V.T > VP và ngược lại nên x=y. sai lầm. Ta nhaän thaáy coù khaû naêng duøng HÑT soá 7 ta ñöa veà tích vaø chuù yù x-y > 0. Neân x2+xy+y2=7. Đưa về (x-y)2= 7- 3xy từ đó 7-3xy  0. nên x=2 và y=1.. 9. 10. D. . *****SOÁ NGUYEÂN TOÁ. A. Số nguyên tố? Hợp số?phân tích thừa số nguyên tố. B. Phöông phaùp. C. Vaøi VD minh hoïa. 1. cmr với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì:A=n8+n4+1 là hợp số. Ta nhận thấy không thể làm được ngay nên phải tạo ra lượng phụ. Ta chuyển lũy thừa bằng cách dùng HĐT số 1 nên thêm vào 2n4-n4. sau đó duøng HÑT soá 3. Ta nhận thấy tích 2 số này đều lớn hơn 1 nên ta => kết quả. 2. tìm n để : P=a4+a2+1 là số nguyên tố. 3. Cmr : a= 20062007-1 là hợp số. 3 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Deã daøng nhaän thaáy coù HÑT vaø taïo 2005. 4. tìm số tự nhiên n để M là số nguyên tố. M= 12n2-5n-25. Ta nhaän thaáy caùc soá chöa lieân quan. Ta thaáy 12 vaø 25 neân taùch soá 5? Ta đoán -5 = 15-20 để tỉ lệ 12/15=20/25. đúng. Ta phaân tích laø xong. 5. tìm số p: p+94 và p+1994 đều là số nguyên tố. Ta nhaän xeùt p phaûi laø soá leû. Kiểm tra p=3 đúng. Lieäu p > 3 thì ? Ta laáy 3 laøm chuaån: xeùt p = 3k 1 laø xong. 6. . D. *****SOÁ CHÍNH PHÖÔNG. A. Soá chính phöông? Daáu hieäu chia heát cuûa soá chính phöông. Số chính phương có chữ số tận cùng là 1;4;5;6;9. Số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1. Số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1. B. Phöông phaùp. C. Moät vaøi VD minh hoïa. 1. cmr tích 4 số tự nhiên lien tiếp cộng thêm 1 là số chính phương. Ta dùng cách gọi và phân tích thành nhân tử và nhóm tạo thành HĐT là xoøng. 2. cho x=11111…1111 (có 2004 chữ số 1) và y=1000…005 ( có 2003 chữ số 0). Cmr xy+1 laø soá chính phöông. Ta coá gaéng taïo ra daïng HÑT neân ta taïo ra y= 9999….999 +6 (coù 2004 soá 9)= 9x+6. Khi đó : xy+1= x(9x+6)+1 = 9x2 +6x +1= (3x+1)2. xong. 3. tìm tất cả các số tự nhiên n : n2 -14n-256 là số chính phương . ta có n2-14n nên để tạo HĐT số 2 thù ta cần 49 vậy ta thêm vào 49. Ta được (n-7)2-305. Ta giải sử nó là số chính phương tức là: (n-7)2-305 = k2, với k là số nguyên nào đó. Khi đó: (n-7)2-k2 = (n+k-7)(n-k-7)= 305. 305 baèng bao nhieâu. 305= 5.61. khi ño ta bieän luaän tìm n vaø k. 4 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 4. cho A là số chính phương gồm 4 chữ số, nếu ta thêm mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta dược số chính phương B. hãy tìm A và B. giả sử số đó là abcd khi đó ta có ngay: abcd= m2 và abcd +1111= n2. Khi đó ta có ngay: m2-n2= 1111. tức là (m+n)(m-n)=1111. Ta thaáy ngay: 1111= 101.11. Bieän luaän tìm m vaø => A vaø B. 5. D. *****TÌM GTNN CUÛA BT. A. lyù thuyeát. B. Phương pháp. Ta biến đổi nhằm tạo ra HĐT số 1 và 2 về dạng A= ()2+()2…+a khi đó A  a. đạt được tại các BT kia bằng 0. C. Minh hoïa: 1. tìm GTNN cuûa BT M=x2+2x+3. 2. M= 4x2+4x+11. 3. 2x2-8x+10. 4. M=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6). Ta nhaän daïng thaáy soá -1+6 =2+3 neân nhoùm chuùng thaønh 2 nhoùm. Xem nhô aån phuï y=x2+5x. 5. M=x2-2x+y2-4y +7. ta duøng HÑT soá 2 cho 2nhoùm. 6. tìm GTNN cuûa M= 2/(6x-5-9x2). Ta chuyển từ GTNN sang GTLN của Mẫu số. 7. M= (3x2-8x+6)/(x2-2x+1). Ta nhận thấy MS đã là bình phương ta chỉ cần phân tích tử ra làm 2 nhóm cho goïn: 3x2-8x+6= 2x2-4x+1+(x2-4x+4) laø xong. 8. D. *****TÌM GTLN CUÛA BT. A. lyù thuyeát. B. Phương pháp. Ta biến đổi nhằm tạo ra HĐT số 1 và 2 về dạng A= -()2-()2…+a khi đó A a. đạt được tại các BT kia bằng 0. C. Minh hoïa: 1. M= 5-8x-x2. 2. M= -5x2-4x+1. 3. 5-x2+2x-4y2-4y. 4. M= (3-4x)/(x2+1). Ta thấy MS không thể phân tích được nên phân tích tử.. 5 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Phaûi taïo ra HÑT neân theâm vaøo TS=x2-4x+4-1-x2=(x-2)2-(x2+1) chia cho MS. Ta được GTNN là -1 tại x=2. Vậy GTLN? Ta tạo cách khác: có –(4x+x2+4)+7+X2 khi đó chia ta được ? khoâng. Ta phải tạo ra có x2+1 nên ta tách -4x-4x2-1+4x2+4 thế mới được. 5. M=(x4+1)/(x2+1)2. Ta phải tách ra chứ chưab thấy gì? Tách T ra có dạng x2 nên TS= x2+1)2- 2x2. khi đó M= 1- (2x/(x2+1))2 laø thaáy ngay.. Ngoài ra bài này nếu ta dùng bunhiacôpxki thì thấy ngay GTNN là ½. Cách 2 : ta tạo ra 1/M=1+2x2/(x4+1). Khi đó ta dùng  0 và 2x2/(x4+1)1. để tìm GTNN và GTLN. 6. tìm GTNN cuûa M={3x-1{2-4{3x-1{+5. Ta dùng tính chất trị tuyệt đối  0. Nếu ta Nhận xét hai trị tuyệt đối bằng 0 là sai. Phải xen ẩn phụ y={3x-1{. Khi đó: M=y2-4y+5 trong đó y  0. 7. tìm GTNN vaø GTLN cuûa: M= (x2+2x+3)/(x2+2). Ta phân tích TS= 2x2+4x+4 –x2-2x -1 nhằm tạo ra dấu – để có GTNN. Ta phân tích nhằm tạo dấu +()2 để tìm GTLN? Ts= x2+2 không được. Nhaân 2 vaøo taïo ra 2M. roài nhoùm. 8. cho x;y : 3x+y=1. tìm GTNN cuûa M=3x2+y2 vaø GTLN cuûa N=xy. Ta cứ rút ra và thay vào rồi tính bình thường. 9. tìm GTNN cuûa : 9x3-6x+5, x2+3x-1; (x2+5x+4)(x+2)(x+3). Vaø (x-1)(x3)(x2-4x+5). 10.tìm GTLN cuûa: 3-x2+4x.; -2x2+3x+1; -5x2-4x-19/5, 11.tìm GTNN cuûa : A= 2x2+2xy+y2-2x+2y +2. vaø B= x4-8xy-x3y+x2y2xy3+y4+200. 12.timg GTLN cuûa : A= -x2+2xy-4y2+2x+10y+5. vaø B= -x2-2y2-2xy+2x-2y15. 13.tìm GTNN: A= {x-7{+{x+5{; B= (2x-1)2-3{2x-1{+2. ; C= {x2+x+1{+{x2+x-12{ 14.cho a-b =1. tìm GTNNcuûa: A=a3-b3-ab. 15.cho 3a+5b=12 tìm GTLN cuûa: B=ab. 16.cho a;b > 0 vaø a+b =1. tìm GTNN cuûa: M=(1+1/a)2+(1+1/b)2. : 17.Cho x;y thoûa: 2x2+1/x+y/4 =4, tìm GTNN cuûa xy. 6 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 18.tìm GTNN của: A= x2-x+4+1/(x2-x+1). B= x2+2x+1)/(x+2). Với x > -2. 19.tìm GTLn cuûa: A=3/(4x2-4x+5). Vaø B= (x2-6x+14)/(x2-6x+12). 20. D. *****CHUYÊN ĐỀ BĐT. A. LYÙ THUYEÁT. B. PHÖÔNG PHAÙP: 1. Ñònh nghóa. 2. caùc tính chaát cô baûn. a. a > b  b < a. b. tính chaát baéc caàu. c. A > b  a +c > b+c. d. A > c vaø b > d thì a+b > c+d. e. A > b vaø c < d thì a –c < b-d. f. Nhaân . g. Lũy thừa. h. 3. các BĐT thường dùng. a. HÑT soá 1 vaø 2. b. Coâsi. c. Bu nhiacoãpki. d. Trị tuyệt đối. e. 4. các phương pháp thường dùng. a. biến đổi tương đương. b. 5. . C. minh hoïa: 1. c/m a2+b2  2ab. 2. với avà b cùng dấu cmr nếu a > b thì 1/a < 1/b. 3. c/m: a/b +b/a  2. 4. cho a ;b laø soá döông, cmr: 1/a+1/b  4/(a+b). 5. c/m BÑT coâsi cho 2 soá. 6. c/m : (a-a2+1)/(a-a2-1) < 1. Ta chuyển vế và trừ ra rồi c/m nhỏ hơn 0 vì: a-a2-1= -(a2-a+1) < 0. 7. cm : a2+b2+c2  ab+bc+ac.. nhaân2 vaøo. 7 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 8. c/m neáu a,b,c laø 3 caïnh cuûa tam giaùc thì : a2+b2+c2 < 2(ab+bc+ac). Ta dùng a-b < c < a+b. ta chuyển 1 nửa qua trái thôi, a2-ab+b2-bc+c2-ac = a(a-b)+b(b-c) +c(c-a) < ac+ab+cb. Đúng. Cộng từng vế cũng được. 9. c/m: a4+b4+c4+d4  4abcd. Neáu ta duøng coâsi thì ra ngay tuy nhieân ta coù caùch khaùc. Ta thaáy muoán duøng HÑT thì phaûi nhoùm laïi 2 soá. a4+b4  2a2b2. vaø c4+d4 2c2d2. Khi đó V.T  2( a2b2+c2d2)  4abcd. Xong. 10.c/m: 2(a2+b2)  (a+b)2. 11.c/m: 3(a2+b2+c2)  (a+b+c)2. 12.với a;b;c dương c.m: a2/b+b2/c+ c2/a  a+b+c. ta nhận dạng? Nếu ta chọn và ghép thì? Quy đồng mẫu? Sai lầm. Ta nhóm thử a2/b và b ? Dấu trừ a2/b-b = (a2-b2)/b không ra gì. Ta thêm a+b+c vào 2 vế để được dấu + xem sao. A2+b2  2ab nên a2/b +b  2a. cộng lại đúng. 13.với a;b;c dương c/.m: a2/(a+b) +b2/(b+c) + c2/(c+a)  (a+b+c)/2. Ta taïo ra a2/(a+b) ? Ta xuaát phaùt coù a2 + ? b. Phaûi coù a+b vaøo. Vạy a2 + (a+b)2  2a.(a+b). như thế không có chia 2 ở VP. Vaäy : a2 + (a+b)2/22  2a.(a+b)/2= a(a+b). => a2/(a+b)  a- (a+b)/4. Cộng lại ta được đpcm. 14. D. Boå Sung: 1. ((a+b)/2)2 > ab. 2. a2+b2+c2+d2+e2  a(b+c+d+e). 3. cho a+b=1 c/m: a3+b3+ab > ½. 4. cho x+y =2 c/m: x4+y4  2. Ta xuất phát từ (x2-y2)2  0 => x4+y4  (x2+y2)2/2. Xuất phát từ (x-y)2  0 => x2+y2  2. 5. C/M KHÔNG  3 SỐ dương a;b;c thỏa mãn cả 3 Bất đẳng thức: a+1/b <2;b+1/c<2vaø c+1/a<2 Ta dùng phương pháp p/c, giả sử cả 3 Bất đẳng thức cùng sảy ra khi đó cộng lại mới có quan hệ và ta thấy ngay vô lí. 6. a2+b2+1  ab+a+b. 7. a2+b2+c2  a(b+c). 8 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 8. (x+y+z)2  3(xy+yz+zx). 9. x2(1+y2)+y2(1+z2)+z2(1+x2)  6xyz. 10.cho a;b;c laø caùc soá khoâng aâm, c/m (a+1)(ab+1)  4ab. 11.cho a2+b2=1 vaø c2+d2=1 c/m: {ac+bd{  1. 12.cho 3 soá thoûa : xy+yz+zx =1 c/m: x4+y4+z4  16/3. 13.cho a vaø b : a+b =1, c/m: a2+b2  ½. Vaø a4+b4  1/8. 14.tìm GTNN cuûa : {x-2006{+{x-2007{. 15. E. *****CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ: A. LYÙ THUYEÁT: B. PHÖÔNG PHAÙP: 16.caùc HÑT. 17.biến đổi linh hoạt- thêm bớt. C. VAÄN DUÏNG: 1. (1+ x2)2-4x(1-x2). 2. (x2-8)2+36. 3. (x2+xy)2-(y2+xy)2. 4. x2-y2+2x+1. 5. 5x2-5xy+7y-7x. 6. 3x2+6xy+3y2-3z2. 7. ab(x2+y2)+xy(a2+b2). 8. a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b). 9. a3+b3+c3+3abc. 10.(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3. 11.x2-x-6. 12.x4+4x2-5. 13.x4+64. 14.x5+x4+1. taïo theâm x3. 15.(x2+2x)(x2+2x+4)+3. 16.(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2. 17.x4-2x3-3x2+4x+4. ta dùng đồng nhất thức để đưa về bình phương một tam thức. 18.x4+2x3-23x2-24x+144. 19.x3-9x2+26x-24. 20.x4-x3-x2+2x-2. 21.x3(x2-7)2-36x. 9 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 22.cmr: n3(n2-7)2-36n luôn chia hết cho 7 với mọi n nguyên. Nhận xét chia 7 quaù deã. 23.giaûi phöông trình: (x2-25)2-(x-5)2=0. 24.tính giá trị của biểu thức: M= 2x2+4x+xy=2y với x=88 và y=-76. 25.ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a). 26.a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2). 27.x8+4. 28.x6-1. 29.x8+x4+1. 30.x4-x3-3x2+5x -2. 31.x4+6x3+7x2-6x+1. 32.x4-13x2-36. 33.x3-4x2+4x-1. 34.x3-19x-30. nhaåm nghieäm -2. 35.x5-x4-x3-x2-x-2. 36.x9-x7-x6-x5+x4+x3+x2+1. 37.x5+x+1. 38.(x2-x)2-12(x2-x)+24. 39.(x2-x+1)2+3x(x2-x+1)+2x2. 40.(a+b+c)3-a3-b3-c3. 41.8(x+y+z)3-(x+y)3-(y+z)3-(z+x)3. 42.(x+y+z)3-(x+y-z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3. 43.cmr: n5-5n3+4n chia hết cho 120 với n nguyên. 44.n4+6n3+11n2+30n-24 chia heát cho24. 45.n3-3n2-n+3 chia heát cho 48. nleû. 46.cho a;b;c là các số hữu tỉ thỏa: ab+bc+ca =1. cmr: (a2+1)(b2+1)(c2+1) là bình phương của 1 số hữu tỉ. 47.cho a+b+c =0. tính A=(a-b)c3+(b-c)a3+(c-a).b3. 48.cho a2+b2=1; c2+d2=1 vaø ac+bd=0. c/m: ab+cd=0. 49.cho 3 soá phaân bieät a;b;c c/m: A= a4(b-c)+b4(c-a)+c4(a-b) khaùc 0. 50.phân tích ra thừa số:A=2a2b2+2b2c2+2a2c2-a4-b4-c4. 51.ccmr neáu a;b;c laø 3 caïnh cuûa tam giaùc thì A treân > 0. 52.tìm n để: n4+4 là số nguyên tố. 53.tìm n để : n1994+n1993+1 là số nguyên tố., 54.tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: x+y=xy. 55.tìm nghiệm nguyên của phương trình: p(x+y) =xy trong đó p là số nguyên tố. 56.5xy-2y2-2x2+2 =0. 10 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 57.cdmr nếu: x2-xy=a; y2-yz=b và z2-xy =c trong đó x;y;z là số nguyên. Thì ax+by+cz chia heát cho a+b+c. ta duøng: x3+y3+z3-3xyz= (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) laø xong. 58.cmr: nn+n-n2-1 chia heát cho (n-1)2. D. *****CJUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC. A. kiến thức cơ bản: B. phöông phaùp: 18.trước khi c/m cần chuẩn bị những gì? 19.tìm caùch c/m? 20.đọc và phân tích đề bài? 21.giaû thieát cho ? 22.keát luaän caàn? 23.sựi dây nối rtừ gt và kl là kiến thức nào? 24.muốn dùng kiến thức đó cần có điều kiện gì? Vd định lí pytago thì tam giác vuoâng. 25.kẽ đường phụ thế nào cho hợp lý và có lợi? 26.caùch trình baøy? 27.mở rộng bài toán? 28.đặcbiệt hóa bài toán. C. Các dạng toán thường gặp: 1. c/m hai đoạn thẳng bằng nhau.: a. phöông phaùp tam giaùc- taïo ra tam giaùc. b. Tính chaát baéc caàu. c. Tam giaùc caâ- hinhnf thang caân. d. Hình bình haønh. e. Đường trung bình. f. Cung vaø daây. g. Phản chứng. 2. c/m goùc baèng nhau? a. dùng tính chất đối đỉnh. b. Duøng tính chaát song song. c. Tam giaùc caân vaø hình thang caân. d. Tính chaát nbaéc caàu. e. Tam giác bằng nhau và tam giác đồng dạng. f. 11 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 3. c/m hai đường thẳng vuông góc. a. duøng Ñònh nghóa. b. Duøng tính chaát baéc caàu. c. Dùng đường thẳng song song. d. Dùng các tính chất của trung trực và đườngcao. e. Dùng định lí pytago đảo nếu đã cho độ dài. f. 4. c/m các đường thẳng đồng quy. a. c/m gọi  điểm của hai đường thẳng và c/m nằm trên đường thẳng thứ 3. b. Duøng caùch c/m 3 ñieåm thaúng haøng. c. Dùng các đường thẳng đặc biệt trong tam giác. d. Ta dựng qua  điểm haio đường và c/m nó có tính chất đó. e. c/m 3 đường thẳng cùng đi qua điểm đã chỉ ra trước. f. Dùng tổng độ dài AB+BC=AC thì…… g. 5. D. aùp duïng: 1. cho tam giác ABC, dựng các hình vuông: ABEF và ACGH ra miền ngoài của tam giác. Dựng AD BC, vẽ đường thẳng AD cắt FH tại M c/m : FM=MH. 2. cho Tứ giác ABCD có AD =BC , gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC, đường thẳng MN lần lượt cắt AD tại E và BC tại F.c/m góc AEM=BFM. 3. cho tam giác ABC có 3 tỷung tuyến AD;BE và CF. qua E vẽ đường thẳng // AB cắt đường thẳng vẽ từ F // BE tạ G. c.m AD//CG. 4. cho tam giác ABC dựng các hình vuông: ABDE và AØCG ra miền ngoài tam giác. Gọi H;K;L lần lượt là trung điểm của EB;BC và CG. c/m HK  KL. 5. cho tam giác ABC, dựng các hình vuông: ABEF và ACGH ra miền ngoài của tam giác. Dựng AD BC. c/m : AD ;BE và CG đồng quy. E. . *****CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VAØ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE. A. . *****CHUYÊN ĐỀ ĐỊNH LÍ FECMART. A. LYÙ THUYEÁT: B. PHÖÔNG PHAÙP: C. VAÄN DUÏNG: 12 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 1. cho caùc soá nguyeân a vaø b c/mr: a32b3 khoâng chia heát cho 19. Ta coù a18: 19 vaø b19: 19. Ta dùng HĐT số 3 để nhân lên tạo ra . Ta dùng phương pháp pc để c/m. 2. c/m: 2312 – 2310-238+234+232-1 chia heát cho 105. Ta nhaän thaáy 105= 3.5.7. 3. D. . *****CHUYÊN ĐỀ PHÉP BIÉN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG: A. LYÙ THUYEÁT: 1. Định nghĩa ánh xạ, các kiến thức liên quan. 2. Ñònh nghóa pheùp bieán hình. 3. caùc pheùp bieán hình vaø tính chaát. 4. các bước giải bài toán dựng hình. a. B1: phaân tích. b. Dựng. c. c/m d. giới hạn. 5. B. phöông phaùp: C. vaän duïng: 1. cho góc xOy và đường thẳng d. xác định A  Ox và B  Oy : đoạn thẳng AB nhận d làm trung trực. x. O y g/s đã dựng được A vàB như yêu cầu khi đó: AB nhận d làm trung trực nên theo tính chất phép đối xứng trục thì B đối xứng A qua d. mặt khác B nằm ntrên Oy nên B thỏa 2 tính chất là nằm trên Oy và đường thẳng đỗi xứng Ox qua phép đối xứng trục d. xong. 2. trên tia phân giác của góc ngoài tại mđỉnh C của ▲ ABC lấy điểm M bất kì: c/m CA+CB MA+MB. y A. M 13 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> ta caàn coù CA+CB vaø MA+MB. ta thấy nên chuyển thành 1 đoạn thaúng ta muốn CA+CB thành 1 đoạn thẳng nên ta laáy A’ đối xứng A qua cy khi đó CA+CB= BA’. Ta caàn so saùnh MA+MB vaø BA’ thì coù MA=MA’.. 3. cho ▲ ABC coù goùc A=200 vaø B= 800. treân caïnh AC laáy ñieåm M: AM=BC. Tính goùc BMC? A. đầu tiên ta nhận thấy tam giác ABC cân. taïi A. Laøm sao duøng Gt AM=BC?. Gọi d là đường trung trực của AB, gọi O đối xứng M qua d khi đó AMOB là hình thang cân. Suy ra: goùc OBA= MAB = 200 => ▲ OBC caân. M. mà góc OBC=600 nên ▲ OBC đều. Ta c/m được ▲ OMC cân tại O (góc bằng. nhau). => OM=OC, gọi I =d  AC khi đó: ▲ IAB caân taïi O. I neân goùc IAB=IBA=200 => B;I;O thaúng. haøng. Ta coù AB//MO neân ABI=MOI= 200. => OMI=200. Maø OB=OM=> MOI=2.MBO => MBO= 100.neân B. C. BMC=30.. 4. cho hình vuông ABCD và hai đường thẳng a;d. xác định 1 điểm E trên cạnh hình vuông và 1 điểm F nằm trên a: EF nhận d làm trung trực. g/s đã dựng được E và F khi đó ta có EF nhận d làm trung trực nên 14 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> E đối xứng F qua d. nên E nằm trên đa thức a’ đối xứng a qua d. maët khaùc E naèm treân hv neân E laø giao ñieåm cuûa a’ vaø hv. Bieän luaän tuøy.. 5. cho 2 đường thẳng m và n, và đường tròn (O;R). dựng hình vuông ABCD: A thuoäc ñöông troøn, C  n coøn B:D  m. ta có Nhận xét B và D là đường chéo nên là trục đối xứng của hv. Khi đó A và C đối xứng qua M. mặt khác C  n nên A là điểm đối xứng nên  n’ đối xứng n qua m. mà A  (O;R) nên A là  của đtròn và n’, sau đó => C coù ngay taâm cuûa hv neân coù B vaø D. xong. 6. hai quoác loä thaúng caét nhau taïo thaønh 1 goùc nhoïn. Laøng A naèm trong goùc nhọn đó, hãy xác định một  đường khép kín nối liền làng A với hai  đường quốc lộ đó sao cho tổng độ dài của hai  đường quốc lộ là ngắn nhất. 7. cho 2 đường tròn (O;R) và (O;R) cắt nhau tại A và B. đường thẳng d //OO’cắt haoi đường tròn tại C:D và E:F theo thứ tự C;E  (O) còn D:F  (O’). a. c/m CDO’O laø hình bình haønh. b. Cho AB =a tính CD=? c. c/m soá ño goùc CAD khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí d//O’O.. 8. cho xOy =900, điểm A cố định nằm trong góc đó. Dựng góc vuông đỉnh A có hai cạnh thay đổi cắt Ox tại B và Oy tại C. tìm vị trí của M đối xứng A qua BC. Phaàn thuaän: Ta có A và M đối xứng qua BC mà BAC=90 nên BMC=90=> Bac =BOC =BMC=90 do đó A;B;O;M và C  (I) trong đó I là trung điểm của BC. Ta có CA=CM (tính chất đối xứng) nên sđcung AC=cung CM => COA=COM. 15 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Nên M  a đối xứng đường thẳng OA qua Oy. Khi C =O thì M=D. Khi B=O thì M=E. Vậy quỹ tích M là đoạn thẳng DE. 9. cho xAy khác 1800, lấy G  miền trong góc xAy. Dựng B  tia Ax, C  Ay: G aø troïng taâm ▲ ABC. Ta coù G coá ñònh. Maø A coá ñònh neân neáu G laø troïng taâm thì I trung ñieåm BC coá ñònh. Khi đó B và C đối xứng nhau qua tâm I. Mà B  Ax nên C  a trong đó a đối xứng Ax qua I. ta dựng được C sau đó => B. xong.. 10. cho ▲ ABC, O là  điểm các trung trực, H là trực tâm, M là điểm bncủa BC. Gọi K là điểm đối xứng H qua M. c/m A và K đối xứng nhau qua O. chú ý Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi dường là hình bình haønh. 11.cho (O;R) và hai điểm A;C cố định sao cho đường thẳng AC không cắt (O). dựng hình bình hành ABDC. Tìm quỹ tích D. 12.cho (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (O) và (O’) tại các  điểm thứ hai là M và N: A là trung điểm của MN.. 13.cho điểm C di động trên (O;R) có đường kính AB cố định, trên tia AC lấy P: AC=C P. Tìm quyõ tích caùc ñieåm Qlaø ñænh cuûa hình bình haønh coù hai caïnh PA vaø PB. 14.cho goùc xOy vaø ñieåm M naèm trong goùc xOy. 16 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> a. qua điểm M dựng đường thẳng d cắt Ox tại A và Oy tại B: Mlà trung ñieåm cuûa AB. b. c/m : ▲ OAB nhận được trong cách dựng trên có diện tích nhỏ nhẩttong tất cả các tam giác tạo bỡi tia Ox và Oy và đường thẳng bất kỳ qua M.. 15.cho 1 tam giác, bằng phép tịnh tiến hãy tạo một tam iác mới có 3 cạnh có độ dài bằng 3 trung tuyến của tam ngiác đó. Từ đo => 1 trung tuyến nhỏ hơn toång hai trung tuyeán. 16.cho (O;R) vaø (O’;R) caét nhau ntaïi M vaø N. goïi A vaø B laø  ñieåm cuûa hai đường trung trực Mn với các đường trònvà nằm về cùng 1 phía đối với đường thaúng MN. c/m: MN2+AB2=4R2.. Cho 2 bán kính bằng nhau mới đúng.. 17.dựg hình thang ABCD (AB//CD), biết hai dường chéo AC=a và BD=b, góc ABC = x và đường trung bình MN=c. 18.cho (O;5), M là điểm di động trên (O;5). Gọi A là điểm cố định sao cho: OA=12. dựng hình bình hành OMBA. Tìm? a. quỹ tích điểm B khi M di động trên đường tròn. b. Quỹ tích I là  điểm 2 đường chéo hình bình hành OMBA.. 17 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 19.cho 2 điểm B và C cố định trên (O) và một điểm thay đổi trên (O). tìm quỹ tích trực tâm H của ▲ ABC. Ta lấy B’ đối xứng B qua O khi đó dùng phép tịnh tiến theo vectơ B’C. 20.cho Tứ giác ABCD có M,N,P và Q lần lượt là btrung điểm của AB;BC;CD và DA. Cmr Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi MP+ NQ = ½.(AB+BC+CD+DA). Ta nhận thấy MP phải liên quan đến AB và CD nên chắc chắn để dấu bằng sảy ra thì AB và CD phải tạo thành đường thẳng. Nên ta xét phép tịnh tiến theo vectơ BC để đưa BC về D?. Khi đó BC?D là hình bình hành nên trung điểm của CD trùng B? nên => AD? Thaúng haøng. Khi đó MẶT PHẲNG =1/2.AE= ? Tương tự. 21.cho Tứ giác ABCD có AB= 3; BC =3; CD=2 3.;góc BAD=CDA=600. tính ABC vaø BCD Ta thaáy coù: Goùc A vaø D coù lieân quan neân neáu ta taïo taïi A moät goùc lieân quan thì coù 1 soá ñieàu khaùc. Ta neân taïo hình bình haønh ? Hình bình haønh thì coù vectô baèng nhau neân taïo ra pheùp tònh tieán theo vectô DC khi đó dựa trên quan hệ cạnh bằng nhau nên => góc AEB (AECD là hình bình haønh). Dựa trên AB và AE ta có ngay ▲ Abe vuông nên có ngay BE và góc BEC kết hợp BC khi đó: nên ▲ BCE câ => góc B cà C. 22.cho ▲ AOB vaø goùc x goïi A’ laø aûnh cuûa A, B’ laø aûnh cuûa B trong pheùp quay taâm O goùc x. cmr: a. AB=A’B’. b. Góc giữa AB và A’B’ bằng x. 23.cho 3 điểm A,M,B theo thứ tự. Vẽ hai tam giác đềuAMC và BMDở cùng 1 phía đối với đường thẳng AMB. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AD và BC. c/m MỊ là tam giác đều. Ta nhaän thaáy coù MA=MC; MB=MD va hai goùc 600 neân ta duøng pheùp quay taâm M vaø 600. Khi đó ta có nagy MI=MJ và góc 600 nên có ngay tam giác đều. 24.cho ▲ ABC vuoâng caân taïi , moät ñieåm M naèm trong tam giaùc sao cho: MA=2; MB=1; MC=3. tính AMB?. 18 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Ta nhaän thaáy ngay coù AB=AC neân duøng ngay pheùp quay taâm A vaø coù goùc trong baøi laø 900 neân bieán C thaønh B vaø M thaønh D. Khi đó MAD=900. Và MA=MD; BD=CM khi đó ta tính được DM. Khi đó dùng định lí pytago đảo thì ta được ▲ MBD vuông tại M. khi đó có ngay kq: 90+45. 25.điểm M nằm trong ▲ ABC đều mà MA=3;MB=4 và MC=5. tính góc AMB? Tương tự ta xét phép quay tâm B góc 600. Khi đó ta c/m được ▲ MAD vuông khi đó ta có đpcm. 26.cho điểm M nằm giữa 2 điểm A và B. vẽ về một phía của AB các hình vuoâng AMCD vaø BMEF. c/m AE  BC. Ta nhaän thaáy M coù vò trí ñaëc bieät neân ta xeùt taïi M. Khi đó có MA=MC và ME=MB nên ta xét phép quay tâm M góc 900. Duøng tính chaát veà goùc laø xong. 27.cho ▲ ABC, trên cạnh AB và AC ta dựng ra ngoài các hình vuoângABDE,ACFG. a. c/m EC=BG vaø EC  BG. b. Gọi I,N,K và M lần lượt là trung điểm của EG,GC,CB và GE. c/m INKM laø hvuoâng. c. Goïi AH  BC. Haõy c/m I,A,H thaúng haøng. d. Nếu ▲ ABC cố định, AH=h, BC =m, thì I chuyển động trên đường naøo? Ta nhận thấy có các hình vuông nên ta dùng góc 900, ta được phép quay taâm A. Biến E thành B và G thành C. khi đó có ngay câu a. Dùng tính chất đường trung bình. c. muốn c/m I,A,H thẳng hàng khi đó phải có IA  BC. Ta có B biến thành E nên BC sẽ  với E? trong đó ? là ảnh của C trong phép quay trên. VẬY ? LAØ GÌ? Vì CAG =900 nên J;A:G thẳng hàng vậy J đối xứng G qua A. d. ta xét IH=IA+AH =1/2.EJ+h mà EJ=BC xong, đường thẳng // và cách BC là m/2+h. 28.cho b và c là hai đường thẳng //. Điểm A không nằm trên hai đường thẳng đó. Dựng M  b và N  c: ▲ AMN đều. Để đạt được ▲ AMN đều thì N là ảnh của M qua phép quay tâm A góc 600. Maø M naèm treân b neân N naèm treân b’ laø aûnh cuûa b qua pheùp quay treân. Vaäy N laø  ñieåm cuûa b’ vaø c. 19 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Ta có 2 đường thẳng b’ (gọi H là hình chiếu của A lên b khi đó có 2 H’ qua 2 phía). 29.cho 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại O và A thuộc miền trong của góc nhọn. Dựng ▲ABC vuông cân tại A trong đó B  a và C  b. vì ta caàn tam giaùc naøy vuoâng caân taïi A neân C laø aûnh cuûa B qua pheùp quay taâm A goùc 900. Tương tự bài trên. 30.cho (O;R), A laø ñieåm coá ñònh naèm trong (O) ( A khoâng truøng O), BC laø daây cung của (O), BC di động nhưng sđBC=1200. gọi I là trng điểm BC. Vẽ ▲ AIJ đều. Tìm tập hợp J. vì ta coù cung 1200 neân goùc BOC=1200. Coù I laø trung ñieåm BC neân laáy H laø ñieåm  cuûa OI baø cung BC. Khi đó góc BOI=600. Vì tam giác AIJ đều mà tìm quỹ tích của J nên ta tìm quỹ tích của I trước đã. Ta thaáy ▲ OBI vuoâng taïi I? Ta coù ? OB=R. vaø goùc 600 neân OI? Neân OI= R/2. J liên quan gì đến I? 31.cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn tâm O, bán kính AB=2R. dựng phía ngoài tam giác AMB một hình vuông MBCD. Hãy tìm quỹ tích của điểm C khi M chuyển động trên nửa đường tròn tâm O. trên tia Bx  AB tại B và nằm trên cùng phía với nửa đường tròn, ta lấy điểm O’: BO’=BO, c.m : OM  O’C. ta nhaän thaáy neáu laø hình vuoâng thì B laø ñieåm ñaëc bieät. Ta laïi thaáy: BM =BC. Neân C laø aûnh cuûa M qua pheùp quay taâm B goùc 900. Ta duøng tính chaát cuûa pheùp quay treân laø xong. 32.trong ▲ ABC, ntìm M: MA+MB+MC nhoû nhaát. Để tìm GTNN cảu tổng các đoạn thẳng ta nên dùng BĐT tam giác. Muốn dấu bằng sảy ra thì ta phải tạo thành đoạn thẳng. Vậy làm sao đưa MA và MB cùng MC về đường thẳng?. Ta duøng pheùp quay? Choïn taâm quay laø A. vaäy goùc quay laø? Nên chọn 600 vì không có góc đặc biệt. Quay ngược chiều kim đồng hồ. Quay M-> M’ vaø B-> B’. Khi đó MA+MB+MC = MM’+B’M+MC  B’C. khi M  B’C. 20 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>