Ảnh hưởng một số biện pháp kỹ thuật trồng cây giống nhân từ khí canh trong sản xuất khoai tây giống sạch bệnh tại Gia Lâm - Hà Nội và Sapa - Lào Cai

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Bài giảng đang được hoàn thiện mong các bạn thông cảm và góp ý theo địa chỉ SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phép biến đổi đại số Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số Trường hợp thường gặp hợp nx n x n  dx  x  C  du  u  C x 1 x dx  C   1 dx  x  ln x  C dx 1  x2   x  C x x  e dx  e  C . u  1 u du  C   1 du  u  ln u  C du 1  u2   u  C u u  e du  e  C. . xdx . n 1. . C.  1. 1  ax  b    ax  b  dx  a   1  C 1 1  (ax  b) dx  a ln ax  b  C 1 ( ax b ) ( ax  b )  e dx  a e  C 1 a mx  n mx  n ax au x u a dx  C   a dx  ln a  C  a du  ln a  C m ln a 1  cosudu  sin u  C  cos x.dx  sin x  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin udu   cosu  C 1  sin x.dx   cos x  C sin( ax  b) dx   cos( ax  b)  C  du a 1 2  cos2 x dx   (1  tan x).dx  tan x  C  cos2 u  tgu  C dx 1  cos2  ax  b   a tan  ax  b   C du   cot gu  C  sin 2 u 1 2 dx 1 dx  1  cot x dx   cot x  C    sin 2 x   sin 2  ax  b    a cot  ax  b   C x x  e dx  e  C 1 TQ:  f(ax + b)dx = F(ax + b) + C a  0dx  C . Mở rộng: dx x  ln tg +C sin x 2 dx x  11.   ln tg (  +C cos x 2 4 dx 1 xa  ln 14.  2 +C 2 x a 2a x  a dx 15.   ln x  x 2  a 2 +C 2 2 x a 16. x 2 a2 2 2 2 x  a dx  x  a  ln x  x 2  a 2  C  2 2 dx x 17.   arcsin  C 2 2 a a x. 10. . du u  ln tg +C sin u 2 du u  11.   ln tg (  +C cos u 2 4 du 1 ua  ln 14.  2 +C 2 u a 2a u  a du 15.   ln u  u 2  a 2 +C 2 2 u a u 2 a2 16.  u 2  a 2 du  u  a 2   ln u  u 2  a 2 +C 2 2 du u 17.   arcsin  C a a2  u2. 10. . “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. dx 1 x  arctg  C 2 a x a a x 2 a2 x 19.  a 2  x 2 dx  a  x 2  arcsin  C 2 2 a Chứng minh một số công thức cơ bản : dx x 10.   ln tg +C sin x 2 18. . du 1 u  arctg  C 2 a u a a u a2 u 19.  a 2  u 2 du  a 2  u 2  arcsin  C 2 2 a 18. . 2. 2. dx x   ln tan    +C cos x 2 4 Chứng minh :. 11. . x x x x sin 2  cos 2 sin cos 1 1 2 2 2  2 10. Ta có :   x x x x sin x 2sin x cos x 2sin cos 2 cos 2sin 2 2 2 2 2 2 x x x x sin cos d (cos ) d (sin ) 1 2 dx  1 2 dx   2  2 I     x x 2 cos x 2  sin x cos sin 2 2 2 2 x x x   ln cos  ln sin  C  ln tg  C 2 2 2  x  x  11. Ta có: cosx = sin(x+ ) = 2sin(  ) cos(  )  kết quả 2 2 4 2 4 dx 1 xa 14.  2  ln +C 2 x a 2a x  a 1 1 1  ( x  a)  ( x  a)  1  1 1  Ta có : 2      2  x  a ( x  a )( x  a ) 2a  ( x  a )( x  a )  2a  x  a x  a  Do đó : I  15. . 1  d ( x  a) d ( x  a)  1 xa   ln C    2a  x  a x  a  2a x  a. dx 2. x a Ta đặt :. 2.  ln x  x 2  a 2 +C. t  x  x 2  a  dt  (1 .  dx . x2  a dt  t. 16.  x 2  a 2 dx .  x  x2  a  )dx    dx 2   x2  a x  a  . dx 2. x a. x. . dt dt  I    ln t  C  ln x  x 2  a  C t t. x 2 a2 x  a 2  ln x  x 2  a 2 +C 2 2. Ta đặt: xdx  u  x 2  a 2 du   x2  a 2   dv  dx v  x  x 2 dx ( x 2  a 2  a 2 )dx  I  x x2  a2   x x 2  a 2   x2  a2 x2  a2. “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. dx.  x x 2  a 2   x 2  a 2 dx  a 2 . 2. x  a2.  x x 2  a 2  I  a 2 ln x  x 2  a 2 I. x 2 a2 x  a 2  ln x  x 2  a 2  C 2 2. Ví dụ 1: (SGK – ban cơ bản T 101 và 102) Tìm các nguyên hàm: 1 d. I   e 3 2x dx   e 3 2x  C 2. XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA  e x khix  0 Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số: F ( x )   2  x  x  1khix  0.  e x khix  0 là một nguyên hàm của hàm số: f ( x )   trên R.  2 x  1 khix  0 Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai trường hợp sau: - Với x  0, ta có:. e x khix  0 F ' ( x)   2 x  1khix  0. - Với x = 0, ta có:. F ( x )  F (0 ) x2  x 1  e0 F ' ( 0 )  lim  lim 1 x 0 x0 x0 x . F ( x )  F (0 ) e x  e0 F ' ( 0 )  lim  lim 1 x0 x0 x0 x . Nhận xét rằng: F’  0   F ’  0   1  F ’  0   1 , có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.  e x khix  0 Tóm lại: F ' ( x )    f ( x)  2 x  1khix  0. Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Ví dụ 2: Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm của các hàm số nào ? 1 a. F  x   x n  x   cosx + sinx + tanx + cotx + e x  a x  ln x  log a x . x x x  b. F  x   ln tan c. F  x   ln tan    2 2 4 1 d. F  x   ln x  x 2  a (a  R) e. F  x   x x 2  a  a.ln x  x 2  a  C . 2. . . Giải: a. F’  x   f  x   nx n 1 . 1 2 x. . 1 1 1 1 1  sin x  cos x    e x  a x .ln a   . 2 2 2 x x.ln a x cos x sin x. “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. x   t an  ' 2 b. F’  x   f  x    x tan 2 Nhận xét:. 1. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498.  x  ' 2 x cos 2 1 1 2    x x x s inx tan 2cos 2 tan 2 2 2. x.  sin x dx  ln tan 2  C.   x    t an  2  4   ' 1 1   c. F’  x   f  x      x      cosx t an    s in  x+  2 2 4 . Nhận xét:. 1. x  d. F’  x   f  x  . x2  a 2. . x x a. Nhận xét:. . 1 2. . /. x. 1. 2. x a. . 2. x x a. . 1 2. x a. dx  ln x  x 2  a  C. x a. e. F’  x   f  x  . Nhận xét:. . x.  co s x dx  ln tan  2  4   C. 1 2  x a  2 . x 2  adx . x2 x2  a. .  2   x  a 2 x a  a. 1 x x 2  a  a.ln x  x 2  a  C 2. . . Bài tập áp dụng. Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số F ( x) . x từ đó suy ra nguyên hàm: ln x. 1 1  )dx 2 ln x ln x Bài 2: Cho hàm số f ( x)  x 3  x . Xác định a, b, c để F  x    ax 2  bx  c  3  x I = (. là nguyên hàm của f(x). Bài 3: Xác định nguyên hàm F(x) của: I   (1  2 x  3 x 2  ...  nx n 1 )dx biết F  0   0 ..   Bài 4: Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f  x    sin x  1 sin x biết rằng F    1 4 Bài 5: Tính đạo hàm của F(x) = ln x  x 2  1  C từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số: f ( x) . 1 x2  1. Bài 6: Chứng minh rằng x 1 a. F ( x)  ln tg  C là nguyên hàm của hàm số: f ( x)  ( x  k ) 2 sin x x  1  b. F ( x )  ln tg (  )  C là nguyên hàm của hàm số: f ( x)  ( x   k ) 2 4 cos x 2 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. 1 c. F ( x)  [ x x 2  a  a ln( x  x 2  a )] là nguyên hàm của hàm số: f(x) = x 2  a . 2 Bài 7: Chứng minh rằng hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) thì hàm số f  ax  b  với a, b là hắng số a khác 1 F  ax  b   C a Áp dụng tính các nguyên hàm sau. a.  sin 5 xdx. 0 có nguyên hàm là:. b.  e3 x dx. 1 dx 2  7x Bài 8: Cho g(x) là một hàm số tuỳ ý. Cmr hàm số F ( x )  ln g ( x)  C là nguyên hàm của hàm số: c.  cos3 dx. d.. g '( x) . Áp dụng tính các nguyên hàm của các hàm số sau. g ( x) 2x cos x a.  dx b.  dx 2 1  2sin x 5 x f ( x) . c.  cot gxdx. d .  tgxdx. Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số g  x   x 2 ln x từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số: f  x   2 x ln x. Bài 10: Chứng minh: F  x   ln x  x 2  k  k  0  là một nguyên hàm của f  x  . 1 x2  k. trên các. khoảng mà chúng cùng xác định. 3 dx Áp dụng: tính I   x 2  16 0 Bài 11: Tính đạo hàm. u  x   x  x 2  1 . Suy ra nguyên hàm các hàm số sau : a. f  x  . . x  x2  1. . 2. b. h  x  . x2  1. 1. c. g  x  . x2  1. 1. . x2  1 x  x2  1. . .. Bài 12: Tìm hàm số f  x  biết rằng 1. f ’  x   2 x  1 và f 1  5 HD: f  x    f '  x  dx  x 2  x  C  f 1  1  1  C  5  C  3  f  x   x 2  x  3. x3 1 3 8x x x 2 40 3. f ’  x   4 x  x và f(4) = 0 Đs: f  x     3 2 3 2 1 x 1 3 4. f ’  x   x  2  2 và f(1) = 2 Đs: f  x     2x  x 2 x 2 x2 1 5 b 5. f ’  x   ax  2 , f '(1)  0, f (1)  4, f ( 1)  2 Đs: f  x     x 2 x 2 2. f ’  x   2 – x 2 và f  2  . 7 3. Đs: f  x   2 x . TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Bài 1: (SGK – ban nâng cao T 141) Tìm các nguyên hàm: 2010  2 x  3 2009 a. I    2 x  3 dx  C 4020 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. b. I   4sin 2 xdx  2 x  sin 2 x  C 1  cos 4 x 1 sin 4 x  dx   x  C 2 2 4  Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau: 1  cos 4 x 1 sin 4 x  tan x 1 dx   x  a. I   dx  C b. I   C 3 3 2 2 4  cos x 3cos x Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau: e x  e x e2 x  lg x a. y  b. y  c. y  sin 3 x.cos 3 x  cos3 x.sin 3 x 2 2 d. y  log a x  ln x e. y  sin mx.cos nx (m, n là hằng số) Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau:. c. I  . x  x3  3 x  m x p d. y  (  qx) 3 x 3. a. y . b. y . x 4  3x 3  2 x  m x. c. y . 1 2m  ln x  3 x x. e. y  cos px.cos qx (với m, n, p, q là các hằng số). TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA MỘT BIỂU THỨC VÀO DẤU VI PHÂN (NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỢP) Cho hàm số y  f  x  xác định trên a , b và có đạo hàm trên đoạn đó ta có 1. Vi phân của hàm số y  f  x  kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx) 2. Công thức tính: dy  y ' dx hoặc df  x   f '  x  dx Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến số 3. Vi phân của các hàm số thường gặp: 1. d  ax  b   a.dx 2. d  ax 2  bx  c    2ax  b  dx 3. d  ax3  bx 2  cx  d    3ax 2  2bx  c  dx. 11.. 4. d  cos x    sin x.dx. 12.. 5. d  sin x   cos xdx 6. d sin  ax  b    a.cos  ax  b  .dx 7. d  cos  ax  b    a sin  ax  b  dx 8. d  e. x. 9.  e ax b.   e dx   ae. 13. 14.. x. ax  b. dx. 1 dx cos 2 x 1 d  cot x   dx sin 2 x 1 d x  dx 2 x a d ax  b  dx 2 ax  b 1 d  ln x   dx x   1 x d dx  2 2 x a  x a  d  x m 1    m  1 x m. 10. d  tan x  . 15. 16..   . . Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (với a, b, c, m, n là các hằng số): 1 1  2x 2007 1. y   mx  n  2. y  3. y  4 mx  n x  2 x3  x 2 2ax  b cos x  sin x ln n x 4. y  5. 6. y  y  2 3 (ax  bx  c ) x (sin x  cos x )2008 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long 7. y . x3 3x 4  2. 10. y  13. y . 8. y . ex 3e x  5 x 2007. x ( x  1)2007. 11. y . 9. y . x 4  x 4  2 x 10. 2. x a. 16. y  cos x.sin p x 19. y  x 2 .e3 x 22. y  tan 4 x. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. 3. 25. y  tan 2 x  cot 2 x. 1 x.ln x.ln(ln x ). 12. y . (ln x  1)m x. 14. y   3 x  5 . 15. y  sin 2 x.cos 2007 x. 17. y  sin x.cos p x. 18. y  cos x.esin. 20. y  cos5 x 23. y  tan 5 x. 21. y  sin 7 x 24. y  cot 3 x. 26. y  x.e x. 2. 2. x.   27. y  sin 4  x   4 . 1. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết. Phương pháp chung: Bước 1: Biến đổi f  x  về dạng: n. f x  . . i. f i ( x ) với f i  x  có nguyên hàm trong bảng công thức và i là các hằng số.. i 1. Bước 2: Khi đó: n.  f ( x) dx     i 1. n i. f i ( x ) dx    i  f i ( x ) dx i 1. Một số kĩ thuật phân tích: 1. Nhân phân phối:  a  b  c  d   ac  ad  bc  bd 2. 3. 2. Khai triển các hằng đẳng thức  A  B   A2  2 AB  B 2 ,  A  B   A3  3 A2 B  3 AB 2  B3 … 3. Thêm bớt hạng tử X   X  B   B, X  4. Nhân liên hợp:. X .B với B  0 … B. llh A  B   A B,. 3. llh A  3 B   3 A2  3 AB  3 B 2 …. 5. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp của hàm lượng giác Với mục đích biến đổi tích thành tổng (với hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích) Chú ý: Kĩ thuật phân tích thành tổng đối với hàm phân thức dựa vào tính chất a1  a2  ...  an a1 a2 a    ...  n kết hợp với một số tính chất của hàm lũy thừa sau b b b b. “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 n. m. a. n 1 an a  n , a n  n a m , (ab) n  a n .b n ;    n ,  a m   a mn a b b. n. Một số dạng thường gặp: . Dạng 1: Tìm nguyên hàm: I   x  ax  b  dx , a  0 1 1 ax   ax  b   b  a a x2 Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I   dx   ax  b . Sử dụng đồng nhất thức x . Sử dụng đồng nhất thức x 2 . 2 1 2 2 1 1 2 a x  2  ax  b   b   2  ax  b   2b  ax  b   b 2  2  a a a . Bài tập giải mẫu: 2002 Bài 1: Tìm nguyên hàm: I   x 1  x  dx Cách 1: Sử dụng cách đồng nhất thức: x  1  1  x   x(1  x) 2002 (1  x) 2002  1  (1  x)  (1  x) 2002  (1  x) 2002  (1  x) 2003.  I   1  x . 2002. dx   1  x . 2003. dx    1  x . 2002. d (1  x)   1  x . 2003. dx. 1 1 2003 2004 1  x   1  x   C 2003 2004 Cách 2: Đổi biến số: Đặt t  1  x  x  1  t  dx  dt .  I    (1  t )t 2002 dt    t 2002 dt   t 2003dt 1 2003 1 2004 1 1 2003 2004 t  t C   1  x   1  x   C 2003 2004 2003 2004 dx Bài 2: Tìm nguyên hàm: I   2 x  4x  3 Giải : Cách 1: 1 1 1  ( x  1)  ( x  3)  1  1 1        Ta có: 2  x  4 x  3 ( x  1)( x  3) 2  ( x  1)( x  3)  2  x  3 x  1  1 d ( x  3) 1 d ( x  1) 1 1 1 x3 I     ln x  3  ln x  1  ln C 2 x3 2 x 1 2 2 2 x 1 Cách 2: Ta có: dx dx 1 x3 I  2   ln C 2 x  4x  3  x  2  1 2 x  1 . Bài 3: Tìm nguyên hàm: I  . xdx 3. 1  3x . Giải: C1: Sử dụng đồng nhất thức: x  . x. 1  3x . 3. . 1 1  3x  1 3.  1  1  3 x  1  1  1 1     3 2 2  3  1  3x   3  (1  3 x) (1  3 x)   . “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. 1 d (1  3 x) 1 d (1  3 x) 1 1     (1  3 x) 2 d (1  3 x)   (1  3 x) 3 d (1  3 x)  2 3 9 (1  3 x) 9 (1  3 x) 9 9. I. 1 1   (1  3 x)1  (1  3 x)2  C 9 18 C2: Phương pháp hệ số bất định Bài 4: Tìm nguyên hàm: I  . dx x x2 2. Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 1 1 1  ( x  1)  ( x  2)  1  1 1         2 x  x  2 ( x  1)( x  2) 3  ( x  1)( x  2)  3  x  2 x  1  1 1 1 1 1 x2 I  dx   dx  ln C 3 x2 3 x 1 3 x 1 dx Bài 5: Tìm nguyên hàm: I   4 x  4 x2  3 Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 1 1  ( x 2  3)  ( x 2  1)  1  1 1  1 dx 1 dx    2  2 I  2   2    2 2 2 2 2 x 1 2 x  3 ( x  1)( x  3) 2  ( x  1)( x  3)  2  ( x  1) ( x  3)  Bài 6: Tìm nguyên hàm: I  . x 3 dx ( x  1)10. Giải: Cách 1: 3. 3. 2. Sử dụng đồng nhất thức: x 3   x  1  1   x  1  3  x  1  3  x  1  1 x3 1 3 3 1      10 7 8 9 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1)10 dx dx dx dx 1 1 3 1 3 1 1 1 I   3  3      C 7 8 9 10 6 7 8 6 ( x  1) 7 ( x  1) 8 ( x  1) 9 ( x  1) 9 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) Cách 2: Đặt t  x  1 ta có: x  t  1 nên dx  dt 3.  t  1. (t 3  3t 2  3t  1)dt   t 7 dt 3 t 8 dt 3 t 9 dt   t 10 dt 10 10 t t 1 1 3 1 3 1 1 1     C 6 7 8 6 ( x  1) 7 ( x  1) 8 ( x  1) 9 ( x  1) 9 A. dt. . Bài 7: Tìm nguyên hàm: I  . x 2001. x. 2. 1002. . 1. dx. Giải: Ta phân tích :. x 2001. x. 2. 1002. . 1. Đặt: t . . x 2000. x. 2. 1000.  x. 1. 1000. x 2. . 1. 2.  x2   2   x 1 . x. x. 2. . 1. 2. x2 2x  dt  dx 2 2 2 x 1 x  1  . “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. 1000. 1001. 1  x2   I   2  2  x 1.  x2  1  x2  d 2   2  C  x  1  2002  x  1  dx Bài 8: Tìm nguyên hàm: I   7 x  x5 Giải: Sử dụng dồng nhất thức: 1  x 2  1  x 2 1 x2  1  x2 1 1 1 x2  1  x2 1 1 1  5 2  5 2  5  3 2  5  3 2  5  3 2 x ( x  1) x x ( x  1) x x x( x  1) x  x  1 x ( x  1) x 1 1 x2  1  x2 1 1 1 x    5  3   2 5 3 2 x x x( x  1) x x x ( x  1) 1 1 1 x 1 1 1 1  I   5 dx   3 dx   dx   2 dx    2  ln x  ln x 2  1  C 4 x x x x 1 4x 2x 2 dx Bài 9: Tìm nguyên hàm: I   5 x  x3 Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 1  x 2  1  x 2 1 x2  1  x2 1 1 1 x2  1  x2 1 1 x  3 2  3 2  3    3  2 2 3 2 x x 1 x ( x  1) x x( x  1) x x( x  1) x x x 1 . . . 1 1 x 1 1 1 dx   dx   2 dx    ln x  ln x 2  1  C 3 2 x 2x 2 x x 1 2 x dx Bài 10 : Tìm nguyên hàm: I   39 1  x  Giải: Cách 1: I . 2. 2. Sử dụng đồng nhất thức : x 2  1  x   1  1  x   2 1  x   1 2. 1  x   2(1  x)  1  1  2  1   39 39 37 38 39 1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  x2. I  . 1. 1  x . 37. dx  2 . 1. 1  x . 38. dx  . 1 39. 1  x . dx . 1 1 2 1 1 1   C 36 1  x 36 37 1  x 37 38 1  x 38. Cách 2: Đặt: t  1  x  x  1  t  dx   dt 2 1  t  dt 1 1 1 1 1 2 1 1 1  I      39 dt  2  38 dt   37 dt    C 39 38 37 38 t 37 t 36 t 36 t t t t dx Bài 11: Tìm nguyên hàm: I   . 1 ex Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 1  1  e x  – e x . Ta được:. 1  ex   ex   1 ex ex   1   I  1    1  e x 1  ex 1  ex 1  ex.   dx  .  dx  . d 1  e x  1  ex.  x  ln 1  e x   C . “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. Bài 12: Tìm các nguyên hàm sau. a. . x  x3 e x dx x3. b.  2 x 32 x 53 x dx. HD: 5. 3.  x  x3 e x x x3 e x 2  dx  (  3 )dx   x 2 dx   e x dx   x 2  e x  C 3 3  x x x 3 3 2  Vậy I   x 2  e x  C 3 (2250) x b. I   2 x 32 x 53 x dx   2 x 9 x125 x dx   (2.9.125) x dx   (2250) x dx  C ln 2250 (2250) x Vậy: I  C ln 2250 Bài 14: Tìm các nguyên hàm sau: 1 2 4 1    1  3 3 3 3 2 3 3 2 1. I    3 x  C  dx   ( x  x )dx  x  2 x  C  x x  4 4 x x x . a. I  . 2. I   3x .2 x 1 dx  e 3x .(e2 ) x dx  e  (3e2 ) x dx  e.. (3e 2 ) x 3 x.2 x 1  C  C 2  ln 3 ln(3e 2 ). 2. 5 3 4 1 5  x x 1    3 3 2 3 3 3. I   x   dx   x ( x  2 x  1)dx   ( x  2 x  x 3 )dx  ? x   Nhận xét: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích và có hằng đẳng thức thì khai triển đưa về phân thức Bài 15: Tìm các nguyên hàm sau: x3  3x 2  2 x  4 2  x3  1. I   dx    x 2  4 x  6  dx   2 x 2  6 x  2 ln x  1  C  x 1 x  1 3   3.  dx 1  e x  ex ex  dx  1    1  e x 1  e x  1  ex.  x  dx  x  ln(e  1)  C  x x dx 1 3 2 2 1  2x  1 1 3. I    dx  1  dx  x  ln(2 x  3)  C  x x x    3 3  3 2  3 ln 8 3 2 3 2 Nhận xét: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức thì thông thường ta sử dụng chia đa thức hoặc phân tích bằng cách thêm bớt. Bài 16: (dựa vào các công thức lượng giác) Tìm các nguyên hàm sau: x 1  cos x 1 1. I   sin 2 dx   dx  ( x  sin x)  C 2 2 2 1 1 1 1  2. I   sin 5 x.cos 3xdx   (sin 8 x  sin 2 x)dx    cos8 x  cos 2 x   C 2 2 8 2  4 4 2 2 2 cos x  sin x cos x  sin x 1 2sin x  1  dx   dx   dx    2  2dx   cot x  2x  C 3. I   2 2 2 sin x sin x sin x sin x   2 2 4. I   tan xdx   (1  tan x  1)dx  tan x  x  C 2. I  . 5. I   tan 4 xdx   (tan 4 x  tan 2 x  tan 2 x  1  1)dx   tan 2 x(tan 2  1)dx   (tan 2 x  1)dx   dx tan 3 x  tan x  x  C 3 tan x tan2 x  1  3 2  ln cos x  C 6. I   tan xdx   tan x.tan xdx    2 1 tan xdx   2 dx   tan xdx  2 cos  cos x  Bài tập tự giải: . “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. Bài 1: Tìm nguyên hàm: I   x 1  x  x. Bài 2: Tìm nguyên hàm: I   Bài 3: Tìm nguyên hàm:. 1 1 2003 2004 1  x   1  x   C 2003 2004 1 1 1 2 dx   1  3 x   1  3 x   C 9 18. 2002. 3. dx  . 1  3x  2005 I   x 1  x  dx. Bài 4: (SGK – Ban cơ bản T100 – T101) Tìm các nguyên hàm: x  x 1 3 6 3 a. I   dx  3 x5  6 x 7  3 x 2  C 3 5 7 2 x 1 1 b. I   2 dx  4  2 dx  2 cot 2 x  C 2 sin x cos x sin 2 x 2 hoặc phân tích 1  sin x  cos 2 x thì I  tan x  cot x  C 11  c. I   sin 5 x.cos3xdx    cos8x  cos 2 x   C 4 4  x x 2 1 2  ln 2  1 d. I   x dx  x e e  ln 2  1 e. I  . 1 1 1 x dx  ln 3 1  2x 1  x 1  2 x . 1 phân tích: 1   2 1  x   1  2 x   3 Bài 5: Tìm các nguyên hàm sau: 3 3 1 1  a. I   dx   x  3 2   x  1 2   C 3 x  3  x 1  4 4 1 3  b. I   dx   x  1 3   x  1 3   C 2 2 8 3   x  1  3 x 2  1  3  x  1. Bài 6: Tìm các nguyên hàm sau: 1 b. I   2sin 3 x cos 2 xdx   cos 5 x  cos x  C 5. a. I   tan 2 xdx  tan x – x  C c. I    2a x  3x dx . 2 a x 3x  C ln a ln 3. 2. d. I    tan x – cot x  dx  tan x  cot x – 4 x  C. cos 2 x dx   cot x – tan x  C 2 sin x.cos 2 x Bài 7: Tìm các nguyên hàm sau:. f. I   e x (2 . e. I  . 3. 4. 5. 2 x 2 3x 3 4 x 4 a. I   x  3 x  4 x dx    C 3 4 5 ( x 2  1) 2 x3 1 c. I   dx   2x   C 2 x 3 x x e. I   2sin 2 dx  x – sin x  C 2 Bài 8: Tính các nguyên hàm sau.. . e x )dx  2e x  tan x  C cos 2 x. . 1 x 3 3x 2  b. I    x 2 – 3x  dx    ln x  C x 3 2  1 d. I   e x  e x – 1 dx  e2 x  e x  C 2 2 ( x  1) e. I   dx  x  4 x  ln x  C x. “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 b.  ( 3 x  1)( x  x  2)dx. a. x( x  a )( x  b)dx c.  ( x . 1 x. )3 dx. d .  (ax 3  b) 2 dx. 3. e.  sin xdx. f .  sin 2 xcoxdx. g .  (e x  1)3 dx. h.  e x  e x  2dx. i.  e x  e  x  2 dx. k .  2 x e x dx. l.  ( x  2 3 x ) 2 dx. m.  sin 3 x cos xdx. Bài 9: Tính các nguyên hàm sau. a.  ( 3 x  x ) xdx. b.  2 cos x sin 5 xdx. e.  ( x  3 x  4 x )dx. 6 x  4 x  2 x dx 2x 1 1 f .(  3 )dx x x. g .  cot g 2 xdx. h.  tg 2 xdx. c.  cos x(cos x  1) dx. d. . Bài 10: Tính các tích phân sau: sin 6 x  cos 6 x a. f  x   cos 2 x. b. f  x  . x 2. d. f  x   sin x.sin 3 x.sin 5 x. x x 2 e. f  x   22 x.3x .5 x. g. f  x   3 x 4 x. h. f  x  . k. (ĐHKTQD 1999) f  x   tan x . sin 4 x  cos 4 x sin 2 x. 1. c. f  x  . x 1  x  2. f. f  x   sin 4 x i. f  x  . 1 3. 3. (2 x  1)  2 x  1. 1 2x  1  2 x  1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau: Định lý 1: a. Nếu.  f  x  dx  F  x   C và u    x  là hàm số có đạo hàm thì:  f  u  du.  F  u   C.. b. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt u    t  trong đó φ  t  cùng với đạo hàm φ '  t  là những hàm số liên tục, ta được:  f  x  dx     t   '  t  dt Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng cơ bản dựa trên định lý sau: Định lý 2: a. Nếu.  f  x  dx  F  x   C và u    t  là hàm số có đạo hàm trong khoảng [a,b]  ( b).  (b ). thì:.  f (u )du  F (u ).  ( a). .  ( a). “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. b. Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x  φ  t  xác định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện sau: i. Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ]. ii. φ(α)  a và φ(β)  b . b. iii. Khi đó:.  a. . f ( x) dx   f  (t ) ' (t ) dt. Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = (t) . hay u = (x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể. Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: A. Đổi biến số nghịch đặt u    x  Loại 1: Đối với hàm lượng giác: Dạng 1: Tìm nguyên hàm: I   f  cos  ax  b   sin  ax  b  dx 1 đặt u  cos  ax  b   du   sin  ax  b  dx a n TQ: I   f  cos x  sin xdx với n  R Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: dx dx a. I   b. I   6 sin x cos x sin x  cos3 x  1 Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau: dx cos3 x a. I   3 b. I   dx sin x sin 5 x Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I   f  sin x  cos xdx đặt u  sin x  du  cos xdx TQ: I   f  sin n x  cos xdx với n  R  Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: tan 4 x cos 2 x a. I   dx b. I   dx cos x cos3 x Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau: dx dx a. I   b. I   4 3 cos x sin x cos x 2 sin x  sin 2 x  sin 2 x  Dạng 3: Tìm nguyên hàm: I    2  sin 2 xdx đặt u   2   du    dx  sin 2 x cos x cos x       Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: sin 4 x sin 4 x a. I   dx b. I   dx 2007 4 4 4 4 sin x  cos x sin x  cos x  . 1 Dạng 4: Tìm nguyên hàm: I   f  tan  ax  b   dx 2 cos  ax  b  1 đặt u  tan  ax  b   du  dx 2 cos  ax  b  Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: 1 a. I   tan 3 xdx  tan 2 x  ln cos x  C 2. b. I  . dx sin x.cos3 x 3. “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long c. I  . DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. dx 2sin x  5sin x cos x  3cos 2 x. d. I  . 2. dx.  sin x  2 cos x . 2. 1 Dạng 5: Tìm nguyên hàm: I   f cot  ax  b   2 dx sin  ax  b  1 đặt u  cot  ax  b   du   2 dx sin  ax  b . Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: a. I   cot 3 xdx. b. I  . dx sin 4 x. cot10 5 x dx dx d. I   2 sin 5 x sin x  2 cos 2 x Dạng 6: Tìm nguyên hàm: I   f  sin x  cos x  sin x  cos x  dx. c. I  . đặt u   sin x  cos x   du    sin x  cos x  dx Loại 2: Đối với hàm số mũ là logarit: Dạng 7: Tìm nguyên hàm: I   f  e x  e x dx đặt u  e x  du  e x dx 1 1 Dạng 8: Tìm nguyên hàm: I   f  ln x  dx đặt u  ln x  du  dx x x 1 1 Dạng 9: Tìm nguyên hàm: I   f ln  ln x   dx đặt u  ln  ln x   du  dx x ln x x ln x 1 hoặc u  ln x  du  dx x Loại 3: Đối với hàm hữu tỷ và vô tỷ Dạng 10: Tìm nguyên hàm: I   f  x n 1 x n dx đặt u  x n 1  du   n  1 x n dx. Dạng 11: Tìm nguyên hàm: I   f Dạng 12: Tìm nguyên hàm: I  .  x. 1. dx đặt u  x  du . 1. x 2 x f  ax  b dx đặt u  ax  b  du  adx. dx. 1  1  1   1 Dạng 13: Tìm nguyên hàm: I   f  x   1  2  dx đặt u  x   du   1   dx x  x  x x   B. Đổi biến số thuận đặt x   u . . . Dạng 1: Tìm nguyên hàm: I   f x, x 2  a 2 dx với a  0 Cách 1: đặt x  a tan u  du . 1 π π dx   tan 2 x  1 dx với   u  2 cos x 2 2. Cách 2: đặt x  a cot u với 0  u  π hoặc u  x  x 2  1. . . Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I   f x, x 2  a 2 dx với a > 0. a  π π với u    ;  \ 0 sin u  2 2 a π Cách 2: đặt x  với u   0;π  \   cos u 2 Cách 1: đặt x . Hoặc u  x 2  a 2 TỔNG QUÁT BẢNG SAU:. “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. Dấu hiệu Cách chọn a 2  x2.      x  a sin t ,  2  t  2      x  a cos t , 0  t   . x2  a2.  a     ,t , , t  0 x  sin t  2 2   a  x  , t  0,  , t  cos t 2 . ax ax , ax ax. x  a cos 2t. x  a b  x . x  a   b – a  sin 2 t. Hàm có mẫu số. t là mẫu số. Hàm f(x,. t. f (x) ). Hàm f  x  . 1. f ( x). t  xa  xb.  x  a  x  b . Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm: I   x 2 x3  5dx HD: 2 udu 3 2 2 2 x3  5dx   u udu   u 2 du  u 3  C 3 3 9. Đặt u  x 3  5 suy ra u 2  x3  5  x 2 dx  Khi đó: I   x 2 Vậy I . 2 ( x3  5)3  C 9. Bài 2: Tìm nguyên hàm: I  . 1 dx 1  x2. HD: 1 d  (1  tan 2 u )du khi đó: 2 cos u dx (1  tg 2 u )du I     du  u  C 1  x 2  1  tg 2 u Bài tậptự giải:. Đặt x  tan u  dx . Bài 1: (SGK – ban cơ bản T101) Tìm các nguyên hàm: 10 3 1  x  9 a. I   1  x  dx   C b. I   x 1  x 2  2 dx  10 Bài 2: ( SGK – ban nâng cao T145 ) Tìm các nguyên hàm: 1 dx 9 x2 a. I   b. I    dx  6 1  x3  2  C 5x  4 1  x3. 5 1 1  x2  2  C  5. 2 5x  4  C 5. “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long c. I   x 4 1  x 2 dx  . DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. 5 2 1  x2  4  C  5. d. I  . dx. . x 1 x. . 2. . 2 1 x. C. Bài 3: Tìm các nguyên hàm: a. (SGK – ban cơ bản T101) I  . dx 1  x C x e e 2 e 1 x. x   2 1  e 1  1 b. I   dx  2  ln x x  x C x  e  e2 e 2  e 2 . x. C1: đặt u  e 2 C2: đặt u  e. . x 2. Bài 4: (SGK – ban nâng cao T145 – T 175) Tìm các nguyên hàm: x x 1 x 1 1 1 1 1 a. I   sin 5 cos dx  sin 6  C b. I   2 sin cos dx   sin 2  C 3 3 2 3 x x x 2 x 1 3 3     sin  2 x  1 2 1 c. I   x 2 sin  x 2  1dx   cos  x 2  1  C d. I   dx  C 2 3 2 cos  2 x  1 cos  2 x  1     1 1  1  e. I   2 cos   1 dx   sin   1  C x x   x  Bài 4: Tìm các nguyên hàm: cos x.sin 3 x 1 a. I   dx  1  sin 2 x  ln 1  sin 2 x    C 2 1  sin x 2 2 C1: đặt u  1  sin x C2: đặt u  sin 2 x C3: đặt u  sin x C4 : đặt t  3  cos 2 x 1 1 b. I   dx  tan x  tan 3 x  C 4 cos x 3 2 cos x 1 c. I   dx   15cot 7 x  42 cot 5 x  35cot 3 x   C 8 sin x 105 1 x d. I   dx  ln tan  C sin x 2 x d dx 2 C1: I    x x x x 2sin cos tan cos 2 2 2 2 sin x C2: I   dx 2 1  cos x  e. I   sin 3 x cos xdx . 2  3cos3 x  7 cos x  cos x  C 21. sin x  cos x dx   ln sin x  cos x  C sin x  cos x C1: Đồng nhất thức C2: Đặt u  sin x  cos x d  sin x  cos x  C3: I    sin x  cos x. f. I  . “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498.   2 sin  x   4  C4: I   dx   2 cos  x   4  sin x  cos x 3 2 e. I   3 dx  3  sin x  cos x   C 2 sin x  cos x Bài 5: Tìm cácnguyên hàm: cos x  sin x.cos x a. (ĐHNT TPHCM – 1997) I   dx  sin x  ln 2  sin x  C 2  sin x 1 b. (ĐH TCKT HN – 1996) I   dx  4 4 tan x  C 4 3 5 sin x.cos x Bài 6: Tìm các nguyên hàm: 2 a. I   sin 3 x cos xdx   3cos3 x  7 cos x  cos x  C 21 2 4 2 5 b. I   cos x sin xdx  sin 3 x  sin 7 x  sin11 x  C 3 7 11 Bài 7: Tìm các nguyên hàm sau: dx 1 1 1. I     6 C 2. I   e5 sin x cos xdx  e5 sin x  C. 7 x ln x ln x 5 x 3 4 e dx 1 3. I    e2x  5  e 2x dx   e2x  5  C 4. I   x  ln(e x  1)  C. 8 e 1 3 dx 1 2x  1  2x  1  C 5. I   6. I   2 dx  ln |x 2  x  3 | C. 3 x  x  3 2x  1 4 xdx 1 7. I   8. I   x 2 3 1  x3 dx  3 1  x3  C .  x  -1   1  x2  C 4 1  x2 9. I  . dx (1  x) x. 1 x.  ln. 1 x.  C (t  x ). 2 1 2 11. I   xe  x dx   .e x  C 2 tan x e dx tan x 13. I   e  C. cos 2 x. 15. I  . cos x  sin x sin x  cos x. 10. I  . xdx 1  C 2 2 (1  x ) 2(1  x 2 ). 12. I   sin x 2 cos x  1dx   14. I  . 3 1 2cos x  1  C. 3. dx 1 ex  1  ln x  C.  t  e x  x x 2 e 1 e e. dx  2 sin x  cos x  C.. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng rất thông dụng trong quá trình xác định nguyên hàm của hàm số. Phương pháp này cụ thể như sau: Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục thì:.  udv  uv   vdu. Còn đối với tích phân xác định, ta có: b.  udv  uv a. b b a.   vdu a. “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân I   f  x  dx ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:. I   f  x  dx   f1  x  . f 2  x  dx. u  f1  x   du Bước 2: Đặt:    dv  f 2  x  dx. v. Bước 3: I  uv   vdu. Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau: - Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng. - Tích phân  vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I. Một số dạng thường gặp:. sin ax    Dạng 1: I   Pn ( x) cosax dx eax  u  Pn ( x) du  P 'n ( x)dx   sin ax  sin ax    Đặt:        dv  cos ax  dx v   cosax  dx   eax  eax    Chú ý: - Ta phải tính n lần tích phân từng phần    Pn ( x).sin f ( x).dx   TQ:   Pn ( x).cos f ( x).dx  u  Pn ( x)     Pn ( x).e f ( x ) .dx  . Dạng 2: I   P( x) ln(ax)dx . dx  u  ln(ax)  du  x Đặt:    dv  P( x)dx v  P( x)dx  . TQ:.  P( x).ln. n. f ( x).dx  u  ln n f ( x). Chú ý: - Ta phải tính n lần tích phân từng phần. “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Giáo viên: Nguyễn Thành Long. DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498. sin bx  Dạng 3: I   e ax .  dx cos bx   du  aeax dx u  eax  Đặt:   1  dv  cos bxdx v  sin bx b  Đây là hai tích phân mà ta tính tích phân này phải tính luôn cả tích phân kia. Ta làm như sau - Tính  eax sin bxdx . Đặt u  eax sau khi tính tích phân từng phần ta lại có tích phân  eax cos bxdx . Ta lại áp dụng tích phân từng phần với u như trên - Từ hai lần tích phân từng phần ta có mối quan hệ giữa hai tích phân này Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính nguyên hàm: I   e x cos xdx HD: u  e x du  e x dx Đặt  khi đó   dv  cos xdx v  sin x. I   e x cos xdx  uv   vdu  e x sin x   sin xe x dx Ta tính I1   sin xe x dx. u  e x du  e x dx Đặt    dv  sin xdx v   cos x x Vậy I1   e sin xdx  uv   vdu  e x cos x   cos xe x dx Thay I1 vào I ta được 2 I  e x  sin x  cos x   C Vậy I . 1 x e (sin x  cos x)  C 2. Bài 2: Tìm nguyên hàm: I . . x ln( x . x 2  1). x2 1. dx .. Giải: Ta viết lại I dưới dạng: I .  ln( x . x. x 2  1). 2. x  1 u  ln x  x 2  1  2 x 1   .dx  Đặt:    du  x 2 x  x  1 dv  dx   x2 1  v  x 2  1 . . dx .. x 1. . dx x2 1. Khi đó:. . . . . I  x 2  1 ln x  x 2  1   xdx  x 2  1ln x  x 2  1  x  C . Một số dạng toán: Dạng 1: Tính tích phân dạng  P( x) sin axdx ,  P ( x) cos axdx , ở đây P(x) là một đa thức ẩn x. “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>