Tuyển tập đề thi chọn đội tuyển VMO các tỉnh, thành phố năm 2018 2019

Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường
Nguyễn Thế Út - Phạm Hữu Hiệp

by Mr. C
uong

T A

oM

THE ART OF MATHEMATICS
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG
QUỐC GIA CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2018 - 2019
Ho Chi Minh City - 2018


1

Đại số và giải tích.

Problem 1. Cho các số thực x, y, z không âm thay đổi và thỏa mãn
x
y
z
+
+
= 1.
x+1 y+1 z+1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

√
√
√
P = xy + yz + zx + x yz + y zx + z xy.
Chuyên KHTN Hà Nội 2018
Problem 2. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức

( a + b + c)

1 1 1
+ +
a b c

√
+4 2

√
≥ 9 + 4 2.

ab + bc + ca
a2 + b2 + c2

Ninh Bình 2018
Problem 3. Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z ≤ 1, tìm giá trị nhỏ nhất của
√
x 2 y2 + 1
y2 z2 + 1
z2 z2 + 1
T=
+

+
.
y
z
x
Sóc Trăng 2018
Problem 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a b c
+ +
b c a

2

≥ ( a + b + c)

1 1 1
+ +
a b c

.
Lạng Sơn 2018

Problem 5. Cho n là số nguyên lớn hơn 1 và { x1 , x2 , . . . , xn } là một hoán vị của {1, 2, . . . , n},(tập
hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng
n2 ( n + 1)2
.
∑ kxk (k + xk ) ≤
2
k =1
n

Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018
Problem 6. Tìm tất cả các hàng số C, sao cho tồn tại đa thức P( x ) thỏa mãn
P2 ( x ) − P x2 = Cx2018 .
1


Chuyên KHTN Hà Nội 2018
Problem 7. Cho tam thức bậc hai f ( x ) = x2 + ax + b, với a, b ∈ R. Biết rằng tồn tại duy
nhất số thực x0 sao cho f ( f ( x0 )) = 0. Chúng minh rằng a, b là các số không âm.
Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018
Problem 8. Cho đa thức p( x ) có hệ số nguyên, bậc là 2 và hệ số bậc 2 bằng 1 thỏa mãn tồn tại
đa thức Q( x ) có hệ số nguyên sao cho P( x ), Q( x ) là đa thức có tất cả các hệ số đều là 1, −1.
a) Chứng mimh rằng nếu P( x ) có nghiệm thực x0 thì | x0 | < 2,
b) Tìm tất cả các đa thức P( x ).
Lạng Sơn 2018
Problem 9. Cho đa thức P( x ) có hệ số nguyên và a, b, c là các số nguyên thỏa mãn P( a) =
1, P(b) = 2, P(c) = 3. Chứng minh rằng: a + c = 2b.
Ninh Bình 2018
Problem 10. Giải phương trình sau với 2018 dấu phân số
1

1+

= x.

1

1+
1+

...

1+

1
x
Hải Phịng 2018

Problem 11. Giải hệ phương trình:

√
( x − y)( x2 + xy + y2 − 2) = 2ln y+ √ y2 +1
x + x 2 +1

3x .2x = 3y + 2y + 1
Ninh Bình 2018
Problem 12. Xét sự hội tụ của dãy số ( xn ) biết
x0 = 2, xn+1

√
2
3
=
+ 2.
xn
xn
Ninh Bình 2018

2

Problem 13. Cho ba số dương a1 , b1 , c1 thỏa a1 + b1 + c1 = 1 và các dãy số ( an ) , (bn ) , (cn )
thỏa mãn:
an+1 = a2n + 2bn cn , bn+1 = bn2 + 2an cn , cn+1 = c2n + 2an bn , ∀n ∈ N∗ .
Xét dãy ( xn ) xác định bởi xn = a2n + bn2 + c2n , ∀n ∈ Z+ . Chứng minh:
a)
x n +1

2xn2 + ( xn − 1)2
=
, ∀ n ∈ N∗ .
2

b) ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ và tìm giới hạn đó.
Chun ĐHSP Hà Nội 2018
Problem 14. Cho P ( x ) = x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + . . . + a1 x + a0 là đa thức hệ số
thực có n nghiệm thực (n chẵn và các nghiệm không nhất thiết phân biệt). Giả sử y là số thực
dương thỏa mãn với mọi số thực t bé hơn y thì P( x ) > 0. Chứng minh rằng
n

P (0) −

n

P (y) ≥ y.
Quảng Bình 2018

Problem 15. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn hệ thức
f ( x − y) + f ( xy) = f ( x ) − f (y) + f ( x ) f (y),

∀ x, y ∈ R.
Quảng Bình 2018

Problem 16. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn
f ( f ( x ) − y2 ) = f ( x2 ) + y2 f (y) − 2 f ( xy)

∀ x, y ∈ R.
Phú Thọ 2018

Problem 17.
a) cho dãy số ( xn )n>=1 được xác định như sau:
x1 = 1, xn+1 = 1 +

n
,n ∈ N∗.
xn

xn
Đặt yn = √ , n ∈ N∗. Chứng minh dãy (yn )n≥1 có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn
n
đó.
3


b) Cho dãy số thực dương ( an )n≥1 có a1 = 1, a2 = 2 và với mọi số nguyên dương m, n đều
thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:
i) amn = am an ;
ii) an ≤ 2018n;
iii) am+n ≤ 2019( am + an ).
Chứng minh an = n với mọi số nguyên dương n.

Đà Nẵng 2018
Problem 18.
a) Cho P( x ) là đa thức hệ số thực, bậc n (n ≥ 2). Giả sử P( x ) có hệ số của bậc cao nhất
bằng 1, có n nghiệm thực phân biệt là x1 , x2 , ..., xn và đồng thời đạo hàm P ( x ) có n-1
nghiệm thực phân biệt y1 , y2 , ..., yn−1 . Chứng minh rằng:
y2 + ... + y2n−1
x12 + ... + xn2
> 1
.
n
n−1
b) Tìm tất cả các hàm số f : R → R liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện:
f ( x + y) f ( x − y) = ( f ( x ) f (y))2 .
Đà Nẵng 2018
Problem 19. Cho dãy số thực ( an )n≥1 xác định bởi:
a1 = a2 = 1, a3 = 2 và an+3 =

a n +1 a n +2 + 7
an

với mọi số nguyên dương n.
a) Chứng minh rằng an là số nguyên, với mọi số nguyên dương n.
b) Tìm giới hạn: lim

n→+∞

a2n+2 a2n + a22n+1
.
a2n a2n+1
Phú Thọ 2018

Problem 20. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn:
f ( f ( x ) − y2 ) = f ( x2 ) + y2 f (y) − 2 f ( xy)∀ x, y ∈ R.
4


Phú Thọ 2018
Problem 21. Cho số thức a khác 0 và dãy (un ) thỏa u1 = 0, un+1 (un + a) = a + 1 với mọi
n nguyên dương. Tìm giới hạn của dãy (un ).
Phổ thơng năng khiếu TP HCM 2018
Problem 22. Tìm tất cả các hàm f R+ → R+ thỏa
f ( x f (y2 ) − y f ( x2 )) = (y − x )( f ( xy)∀ x, y ∈ R+ .
Phổ thông năng khiếu TP HCM 2018

2

Số học - Tổ hợp.

Problem 23. Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên 1, 2, 3, ..., 2018. Thực hiện thuật
toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số a, b mà khơng có số nào là bội của số kia và thay thế
chúng bởi hai số là ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của a, b. Hỏi rằng ta có thể
thực hiện thuật tốn trên vơ hạn lần không? Tại sao?
Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018
Problem 24. Cho các số nguyên m, n lớn hơn 1 thỏa mãn trong n số x2 − x với x = 1, n
không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho m. Chứng minh rằng:
a) m ≥ 2n − 1.
b) m = 2n − 1 khi và chỉ khi m là số nguyên tố lẻ.
Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018
Problem 25.

Với mỗi số nguyên n > 1, ta gọi một hoán vị ( a1 , a2 , ..., an ) của tập hợp

{1, 2, ..., n} (tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên) là tốt nếu:
| a1 − 1| = | a2 − 2| = ... = | an − n| = 0.
Chứng minh rằng:
a) Khơng tồn tại hốn vị tốt nếu n lẻ.
5


b) Nếu n chẵn thì số hốn vị tốt bằng số các ước dương của n2 .
Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018
Problem 26. Bạn Thanh viết lên bảng các số 1, 2, 3, ..., 2019. Mỗi một bước Thanh xóa 2 số a
ab
. Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau
và b bất kì trên bảng và viết thêm số
a+b+1
1
khi thực hiện 2018 bước trên bảng ln cịn lại số
.
2019
Ninh Bình 2018
Problem 27.

Với số n nguyên dương đặt f (n) là số ước nguyên dương của n. Xét tập

hợp G = {n ∈ N∗ : f (m) < f (n), ∀m ∈ N, 0 < m < n} và goij pi là số nguyên tố thứ i

( i ∈ N∗ ).
a) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G và pm là ước nguyên tố của n thì ( p1 p2 ...pm ) là ước
của n.

b) Với số nguyên tố pm , gọi k, M là các số nguyên dương thỏa mãn 2k > pm và M =

( p1 p2 ...pm−1 )2k . Chứng minh rằng: Nếu n > M và n thuộc G thì n chia hết cho pm .
Ninh Bình 2018
Problem 28. Cho dãy số thực ( xn )n≥0 thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
a) xn = 0 khi và chỉ khi n = 0.
b) xn+1 = x2n + 3 + (−1)n .x2n với mọi n ≥ 0.
[ ]
]
[
2
2
(Kí hiệu [ x ] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x).
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, nếu xn là số nguyên tố thì n là số ngun tố
hoặc n khơng có ước nguyên tố lẻ.
Phú Thọ 2018
Problem 29. Chứng minh rằng:
a) Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp là hợp số.
b) Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố.
Phú Thọ 2018

6


Problem 30. Một bảng ơ vng ABCD kích thước 2018x2018 gồm 20182 ô vuông đơn vị, mỗi
ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số −1, 0, 1. Một cách điền số được gọi là đối xứng
nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điển số −1 và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền
cùng một số 0 hoặc 1. Chứng minh rằng với mỗi cách điền số đối xứng bất kì, ln tồn tại hai
hàng có các số trong mỗi ơ vng đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a1 , a2 , ..., a2018
ở hàng thứ nhất, b1 , b2 , ..., b2018 ở hàng thứ hai sao cho S = a1 b1 + a2 b2 + ... + a2018 b2018 là

một số chẵn.
Phú Thọ 2018
Problem 31. Cho p là một số nguyên tố lẻ, số nguyên dương n được gọi là "tốt" nếu tồn tại đa
thức P( x ) với hệ số nguyên, có bậc bằng p và hệ số bậc cao nhất bằng 1 sao cho n là ước số của
P(k ) với mọi số nguyên k. Một số nguyên dương mà không phải là số tốt được gọi là số "xấu".
Chứng minh rằng:
a) p là số tốt.
b) p2 là số xấu.
Đà Nẵng 2018
Problem 32. Dãy ( an )n∈Z được gọi là một "cấp số cộng hai phía" nếu với mọi số ngun n
thì an+1 − an = d là hằng số (d được gọi là cơng sai của dãy).
Kí hiệu M là tập tất cả các cấp số cộng hai phía với các số hạng nguyên và công sai lớn hơn 1.
a) Chứng minh rằng tồn tại 5 cấp số cộng thuộc M có công sai đôi một khác nhau sao cho
mỗi số nguyên bất kì đều là phần tử của một trong các cấp số cộng đó.
b) Cho m (m ∈ N, m ≥ 2) cấp số cộng thuộc M sao cho các công sai của chúng đôi một
nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên không phải là phần tử
của bất kì cấp số cộng nào trong m cấp số cộng đó.
Đà Nẵng 2018
Problem 33. Cho 2 dãy ghế được xếp đối diện nhau, mỗi dãy có 10 ghế, mỗi ghế trong một
dãy đối diện với một ghế của dãy cịn lại. Có 19 học sinh tham gia một trò chơi. Ban đầu mỗi
học sinh ngồi một ghế và còn một ghế để trống. Cứ sau 10 giây, một học sinh nào đó ngồi ở
dãy khơng có ghế trống chuyển sang ngồi ghế trống của dãy đối diện. Hỏi có tồn tại hay khơng
một thời điểm mà tồn bộ các học sinh đều được chuyển dãy và các cặp học sinh đối diện nhau
7


không thay đổi so với ban đầu?
Đà Nẵng 2018
Problem 34. Cho n = 2018.2019. Gọi A là tập hợp các bộ ( a1 ; a2 ; ...; an ) có thứ tự thỏa
k

k
và ∑in=n−k+1 ai ≤ ∀k ∈ 1; 2; 3; ..; n?
2
2

ai ∈ [0; 1]∀i ∈ 1; 2; 3; ..; n và ∑ik=1 ai ≤

Phổ thông năng khiếu TP HCM 2018

3

Hình học.

Problem 35. Cho 2 đường trịn có bán kính khác nhau (O1 ), (O2 ) cắt nhau tại X, Y sao cho

∠O1 XO2 = 90o . Gọi AB là tiếp tuyến chung ngoài của (O1 ), (O2 )( A ∈ (O1 ), B ∈ (O2 )).
Đường thẳng O2 A cắt (O1 ) lần thứ 2 tại C, đường thẳng O1 B cắt (O2 ) lần thứ 2 tại D.
AC ∩ BD = E, AD ∩ BC = F. Tiếp tuyến tại C của (O1 ) cắt AB tại M.
a) Chứng minh M là trung điểm đoạn AB.
b) Chứng minh tồn tại một đường tròn ( J ) tiếp xúc (O1 ), (O2 ) lần lượt tại C, D và bán
kính của ( J ) bằng

1
3

khoảng cách từ J đến đường thẳng AB.
Đà Nẵng 2018

Problem 36. Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn (O) và có trực tâm H.
a) Tia OA cắt lại đường trịn ( BOC ) tại điểm thứ hai khác O là A1 . Gọi A2 là điểm đối

xứng của A qua đường thẳng BC. Chứng minh ba đường thẳng A2O, H A1 , BC đồng
quy.
b) Tia BO cắt lại đường tròn (COA) tại B1 , tia CO cắt lại đường tròn ( BOA) tại C1 .
Chứng minh ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác AH A1 , BHB1 , CHC1 có một điểm
chung thứ hai khác H.
Đà Nẵng 2018
Problem 37. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O) P, Q theo thứ tự
là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAB, OAC. R là điểm đối xứng của O qua BC. Gọi
X là giao điểm của RP và CP, Y là giao điểm của RC và BQ. Chứng minh rằng BAX = YAC.
8


Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018
Problem 38. Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịn O, I là tâm đường tròn nội
tiếp. Gọi E là giao điểm của BI và AC, F là giao điểm của CI và AB; M, N lần lượt là giao
điểm thứ hai của BI và CI và đường tròn O. Đường thẳng BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác BNF tại điểm thứ hai P, đường thẳng CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CME tại
điểm thứ hai Q.
a) Chứng minh rằng tứ giác EFBQ nội tiếp một đường tròn.
b) Qua I kẻ đường thẳng ∆ vng góc với BC. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại
tiếp tứ giác EFBQ nằm trên ∆.
Chuyên ĐHSP Hà Nội 2018
Problem 39. Cho hình chữ nhật ABCD, nội tiếp đường tròn O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm các cung nhỏ BC, AD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm OM, ON. Gọi K là điểm dối xứng
với O qua M.
a) Chứng minh răng tứ giác BJDK nội tiếp đường tròn.
b) Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vng góc của I lên AB, AC. Chứng minh rằng AK ⊥ PQ.
Lạng Sơn 2018
Problem 40. Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm
của đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AB, BC, AC, đường thẳng EF cắt

đường thẳng CI, BI, AM lần lượt tại X, Y, N. Chứng minh rằng
a) Giả sử BC cố định và A thay đổi trong mặt phẳng sao cho BAC = α, 0 < α < 180o .
Chứng minh độ dài đoạn XY không đổi.
b) Giả sử tam giác ABC không cân, chứng minh rằng ba điểm N, I, D thẳng hàng và
AC
NX
=
.
NY
AB
Quảng Bình 2018
Problem 41. Cho tam giác ABC nhọn không cân, (AB < AC) có H là trực tâm, nội tiếp
đường trịn (O) BE, CF là các đường cao của tam giác ABC ( E ∈ AC, F ∈ AB). Đường
thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt đường tròn (O) tại M.
9


a) Gọi T trung điểm BC, chứng minh rằng GH ⊥ AT.
b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC (P nằm ngồi đoạn PC). Đường trịn (O) cắt AP tại I và
cắt đường trịn đường kính AP tại Q (I, Q đều khác A) AQ cắt BC tại J. Chứng minh
rằng đường thẳng I J luôn đi qua một điểm cố định.
Quảng Bình 2018
Problem 42. Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp ( I ) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt
tại các điểm D, E, F. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AD, CF với ( I ). Chứng minh rằng:
MN.FD
= 3.
MF.ND
Phú Thọ 2018
Problem 43. Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại
tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E, F. Gọi I, J lần lượt là tâm đường

tròn nội tiếp các tam giác ABE, CDF; hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q. Đường tròn
ngoại tiếp tam giác AIB cắt đoan thẳng BD tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt
đoạn thẳng AC tại N.
a) Chứng minh: BI JC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh ba đường thẳng I M, JN, PQ đồng quy.
Phú Thọ 2018
Problem 44. Đường tròn C ( tâm I) nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC
tại E, F.AM, AN là các phân giác trong, phân giác ngoài của BAC ( M, N ∈ BC). GỌi
d M , d N (d M , d N khác BC) lần lượt là các tiếp tuyến của C qua M, N
a) Chứng minh d M , d N , EF đồng quy (tại điểm D).
b) Trên AB, AC lấy cá điểm P, Q thỏa DP|| AC, DQ|| AB. Gọi R, S là trung điểm DE, DF.
CHứng minh I thuộc đường thẳng qua các trực tâm của ha tam giác DPS và DQR.
Phổ thông năng khiếu TP HCM 2018
Problem 45. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O. Dựng ra phía ngồi tam giác
ABC các hình bình hành ABMN và ACPQ sao cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác
10


CAP. Gọi G là giao điểm của AQ và BM, H là giao điểm của AN và CP. Đường tròn ngoại
tiếp các tam giác GMQ, HNP cắt nhau tại E và F (E nằm trong đường tròn (O)).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, O, E cùng thuộc một đường trịn.
Ninh Bình 2018
Problem 46. Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O), đường tròn tâm I tiếp xúc với
các tia AB, AD lần lượt tại E và F, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại điểm T.
Hai tiếp tuyến tại A và T của đường tròn (O) cắt nhau tại K. Các đường thẳng TE, TF lần
lượt cắt đường tròn (O) thứ tự tại các điểm M, N ( M, N khác T ).
a) Chứng minh rằng ba điểm K, M, N thẳng hàng.
b) Đường phân giác góc BAC cắt đường thẳng MC tại P, đường thẳng KP cắt đường thẳng
CN tại Q. Chứng minh rằng: Nếu N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ thì

bán kính đường trịn nội tiếp các tam giác ABC và ACD bằng nhau.
Ninh Bình 2018

4

Nguồn tham khảo.
[1 ] diendantoanhoc.net
[2 ] Mathscope.org

11