Giải các đề thi đại học về Hình học giải tích phẳng từ 2002 đến 2012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Giải các đề th i đại học về hình học giải tích phẳng từ 2002 đến 2012. Bµi 1 : (Khèi A-2002) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3 x  y  3  0 , các đỉnh A, B thuộc trục hoành và bán kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp b»ng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Gi¶i: B thuéc trôc Ox  B(b;0) ; B(BC): 3 x  y  3  0  3b  3  0  b  1 VËy B(1;0). AOx  A(a;0). CA  Ox  xC=xA=a,  yC= 3a  3 .VËy C(a; 3a  3 ) 1 1 AB. AC AC. AB  ( AB  AC  BC ).r  r  1 2 2 AB  AC  BC Thay: AB  a  1 ; AC= 3 a  1 ; BC=2 a  1 vµo (1) råi rót gän ta cã :. Ta cã :. a  2 3  3  a 1  2 3  2 .   3 1  a  2 3  1 1 2a  1   xG  3  x A  xB  xC   3 L¹i cã :   y  1  y  y  y   3  a  1 B C  G 3 A 3  74 3 62 3  Víi a= 2 3  3 ta ®­îc G  ;  3 3    1  4 3 6  2 3  Víi a  2 3  1 ta ®­îc G  ;  3 3   2. a 1. Bµi 2: (Khèi B-2002) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có 1 tâm I  ;0  , phương trình đường thẳng AB là x  2 y  2  0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các 2 . . đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ âm. Gi¶i: Kẻ IH  AB  phương trình (IH) có dạng: 2x+y+m=0. 1 1  I  ;0   (IH) nên : 2.  0  m  0  m  1 .Vậy phương trình (IH):2x+y-1=0 2 2 . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  x  2 y  2  H  0;1 ; 2 x  y  1. Tọa độ H thỏa mãn hệ :  HA  HB . IH . 1 5 1  ; 4 2. 1 AB  AD  2 IH  5 2.   x  2   x  2  y  1  x  2 y  2  0  y  0 Suy ra tọa độ 2 điểm A, B thỏa mãn hệ :  2   2 2 2  x  2  x   y  1  5 4  y  1   y  1  5    y  2. Gäi A(-2;0) th× B(2;2)  xC  2 xI  x A  xC  3 VËy C(3;0)   yC  2 yI  y A  yC  0. C là điểm đối xứng của A qua I, nên : .  xD  2 xI  xB  x  1 VËy D(-1;-2)  D  yD  2 yI  yB  yD  2. D là điểm đối xứng của B qua I, nên :  Bµi 3: (Khèi B-2003). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có AB=AC, 2  BAC  900 . BiÕt M(1; -1)lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC vµ G  ;0  lµ träng t©m cña tam gi¸c 3 . ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Gi¶i:   MA  3MG   1;3  A  2;0  . MA= 10  §­êng th¼ng (BC) qua M(1;-1) , nhËn vec-t¬ MA   1;3 lµm vec-t¬ ph¸p tuyÕn, nªn cã phương trình :   x  1  3  y  1  0   x  3 y  4  0 1 . B, C cßn thuéc ®­êng trßn:  x  1   y  1  10  2  2. 2. Gi¶i hÖ( 1), (2) ta ®­îc :  4;0  ;  2; 2  . Gäi B(4; 0) th× C(-2; -2) Bµi 4: (Khèi D-2003) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2  x  1   y  2   4 và đường thẳng (d): x – y – 1= 0 . Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d). Tìm tọa độ giao điểm của (C) và (C’) HD: Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) . Điểm J đối xứng với I qua (d) có tọa độ là (3; 0). Phương trình (C’) là :  x  3  y 2  4 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  x  12   y  2 2  4  x  1; y=0  Tọa độ giao điểm của (C) và (C’) thỏa mãn :  2 2  x = 3; y=2  x  3  y  4. Bµi 5: (Khèi A-2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(0; 2) và B   3; 1 . Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Gi¶i: C¸ch 1: .  §­êng th¼ng qua B vµ vu«ng gãc víi OA   0; 2  .  §­êng th¼ng quaA vµ vu«ng gãc víi BO   3;1. có phươngtrình: y+1=0 có phươngtrình: 3 x  y  2  0.  y 1  0  Gi¶i hÖ : .  x  3  Vậy tọa độ trực tâm H  3 x  y  2  0  y  1. . . 3; 1.  Đường trung trực cạnh OB có phương trình: 3 x  y  2  0 y 1.  x   3  . Vậy tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác  3 x  y  2  0  y  1.  Gi¶i hÖ : . OAB lµ : I   3;1 C¸ch 2:.  Gäi H(x;y) lµ trùc t©m cña tam gi¸c OAB. .     AH  BO  AH .BO  0  3 x  y  2  0 . .  .  BH  OA  BH .OA  0  2  y  1  0  y  1  0  y 1  0  Gi¶i hÖ : .  x  3  Vậy tọa độ trực tâm H  3 x  y  2  0  y  1. . . 3; 1. .  Trung điểm M của OA có tọa độ (0;1)Trung điểm N của OB có tọa độ (   . Lop12.net. 3 1 ;   2 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  Gäi I(x;y) lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OAB . .  .  MI  OA  MI .OA  0  y  1  .  NI .OB  0  3 x  y  2  0 y 1.  x   3  . Vậy tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác  3 x  y  2  0  y  1.  Gi¶i hÖ : . OAB lµ : I   3;1 Bµi 6: (Khèi B-2004). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;1), B(4;-3). Tìm điểm C thuộc đường th¼ng : x - 2y - 1 = 0 sao cho kho¶ng c¸ch tõ C tíi ®­êng th¼ng AB b»ng 6 Gi¶i :   AB   3; 4   Phương trình đường thẳng AB: 4  x  1  3  y  1  0  4 x  3 y  7  0  x  1  2t ; C      C 1  2t; t  y  t. (  ) :x - 2y - 1 = 0    d  C;    6 . 4 1  2t   3t  7 5. C  7;3 t  3   6  11t  3  30      43 27  27 t   C  ;   11 11  11 . Bµi 7: (Khèi D-2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với m  0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vu«ng t¹i G. HD gi¶i: x A  xB  xC   xG   m 3  G 1;   Sö dông c«ng thøc :   3  y  y A  yxB  yC G  3     m m  GA   2;   ; GB   3;   2 3      Tam gi¸c GAB vu«ng t¹i G  GA.GB  0  m  3 6. Bµi 8: (Khèi A-2005). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai dường thẳng  d1  : x  y  0;  d 2  : 2 x  y  1  0 .Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc (d1), đỉnhC thuộc (d2) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. Gi¶i: A  (d1) nên : A(t; t). C đối xứng với A qua trục Ox nên C(t; -t). Trung điểm I của DB có tọa độ I(t; 0) . 2 B, D cßn thuéc ®­êng trßn t©m I , b¸n kÝnh t :  x  t   y 2  t 2 y  0. Gi¶I hÖ : . x  0   x  2t  y2  t 2 .  x  t  C(t; -t)  (d2) , nªn :2t - t – 1 = 0; t = 1 2. Nếu xB = 0 thì xD =2. Vậy 4 đỉnh là A(1;1), B(0;0), C(1;-1), D(2;0) Nếu xD = 0 thì xB = 2. Vậy 4 đỉnh là A(1;1), B(2;0), C1;-1), D(0;0) Bµi 9: (Khèi B-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(4;6).Viết phương trình đường trßn (C) tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i ®iÓmA vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m cña (C) tíi ®iÓm B b»ng 5 Gi¶i: Gäi I lµ t©m ®­êng trßn tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i A. IA  Ox  I(2;t) IB = 5   6  2    4  t   25  t  1; t=7 2. 2. Víi t = 1 th× I(2;1); R2 = IA2 = 1. VËy (C) : (x – 2)2 +(y – 1)2 = 1 Víi t = 7 th× I (2;7); R2 = 49. VËy (C) : (x – 2)2 +(y – 7)2 = 49 Bµi 10: (Khèi D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C(2;0) và elip (E) :. x2 y 2  1 4 1. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E) biết rằng hai điểm A, B đối xứng nhau qua trục hoành  4  x02    . NÕu gäi và ABC là tam giác đều.Giải: Từ giả thiết : tọa độ hai điểm A, B là x0 ;   2      4  x02  4  x02   th× B  x0 ;   . H lµ trung ®iÓm cña AB th× H  x0 ;0  .Tam gi¸c ABC A  x0 ;   2  2     . đều nên : HC . AB 3  HC  AH 3  HC 2  3 AH 2 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  x0  2; x 0 . Víi x0 . 2 . Lo¹i x0=2 (v× x0<2) 7. 2 4 3 2 4 3 2 th× A  ;  ; B  ;   7 7  7 7  7. Bµi 11: (Khèi A-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các đường thẳng: d1; x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 Gi¶i: Ta cã M(2t;t)  d3 d  M , d1   2.d  M , d 2  . 3t  3 2.  2.. t 4 2.  9t 2  18t  9  4t 2  32t  64 y.  t  1; t=-11. Víi t = 1 th× M(2;1) Víi t = -11 th× M(-22;-11) Bµi 12: (Khèi B-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn (C): x2+y2 - 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M(-3;1). Gọi T1, T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình ®­êng th¼ng T1T2 Gi¶i: (C) cã t©m I(1;3), b¸n kÝnh 2. MI= 2 5. > R=2M n»m ngoµi ®­êng trßn (C). T   C  Gọi T  x 0 ; y0  là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì:    MT.IT  0   MT   x 0  3; y 0  1 , IT   x 0  1; y 0  3    MT.IT  0   x 0  3 . x 0  1   y 0  1 . y 0  3  0  x 02  y 02  2x 0  4y 0  0. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> T   C   x 02  y 02  2x 0  6y 0  6  0  2  2x 0  y 0  3  0    2 x  y  2x  4y  0 MT.IT  0   0 0 0 0 Vậy phương trình T1T2 là 2x + y - 3 = 0 Bµi 13: (Khèi D-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn (C): x2+y2 - 2x – 2y + 1 = 0 và đường thẳng d : x - y +3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi đường tròn (C) , tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). Gi¶i: (C) cã t©m I (1;1) , b¸n kÝnh R=1. x  t (d) :x - y +3 = 0   M (d)  M  t;3  t  y  3  t Phương trình đường tròn tâm M , bán kính 2 tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) 2 2  IM  3   t  1   3  t  1  9  t  1; t=-2 VËy M(1;1) hoÆc M(-2;1) Bµi 14: (Khèi A-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A(0,2) , B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N . Gi¶i:  M(-1;0), N(1;-2), AC   4; 4  Gọi H(x;y) là chân đường cao kẻ từ B đến AC thì :   4  x  2   4  y  2   0 BH.AC  0  x  1  H 1;1  x y  2   y  1   H  AC  4 4. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Phương trình đường tròn cần tìm có dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 .Vì H, M, N thuộc 1  a    2 2a  c  1  1   ®­êng trßn trªn,nªn: 2a  4b  c  5  b  2 2a  2b  c  2   c  2  Vậyphương trình đường tròn cần tìm là: x 2  y 2  x  y  2  0 . Bµi 15: (Khèi B-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d1 : x  y  2  0; d 2 : x+y-8=0 . Tìm tọa độ các điểm B, C lần lượt thuộc các đường thẳng d1, d2 sao cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A Gi¶i:   B(b;2-b) , C(c;8-c); AB   b  2; b  ; AC   c  2;6  c     b  2  . c  2    b  . 6  c   0 AB.AC  0 Tõ gi¶ thiÕt ta cã:   2 2 2 2  b  2   b   c  2    6  c  AB  AC.  b  1  2  b  1    b  1 c  4   2 bc  4b  c  2  0 c  4  1  c  3   2    2 2 2  b  3 b  2b  c  8c  18  b  1   c  4   3  b  1  2    c  4  1  c  5. VËy B  1;3 , C  3;5  HoÆc B  3; 1 ,C  5;3 Bµi 16: (Khèi D-2007). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn (C):  x  1   y  2   9 và đường th¼ng d: 3x-4y+m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. Gi¶i: (C) cã t©m I(1;-2); B¸n kÝnh R = 3. I 1 Tam giác PAB đều , nên API  APB  300 2 H 2 2  PI=2AI=2R=6  P (C’):  x  1   y  2   36 B A 2. P. Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  x  12   y  2 2  36 Tọa độ P thỏa mãn hệ: 3x  4y  m  0 . Theo gi¶ thiÕt hÖ cã nghiÖm duy nhÊt  (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C’).  kho¶ng c¸ch tõ t©m I cña (C’) tíi (d) b»ng 6 3  4. 2   m  m  19   6  m  11  30   5  m  41 Bµi 17: (Khèi A-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,viết phương trình chính tắc của (E) có tâm sai bằng 5 vµ h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (E) cã chu vi b»ng 20 3 Gi¶i: x 2 y2 Phương trình chính tắc của (E) có dạng : 2  2  1 (a>b>0) a b c 5 5a e  c a 3 3 Chu vi h×nh ch÷ nhËt c¬ së b»ng 20  2  2a  2b   20  a  b  5  b  5  a (0<a<5) 2. a 5 2 2 2 c a b    a   5  a   a  18a  45  0  a  15; a=3 .  3  Lo¹i a = 5. x 2 y2 Với a = 3 thì b = 2 và phương trình chính tắc của (E) là:  1 9 4 2. 2. 2. Bµi 18: (Khèi B-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn ®­êng th¼ng AB lµ ®iÓm H(-1;-1), ®­êng ph©n gi¸c trong của góc A có phương trình : x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình : 4x + 3y – 1 = 0 Gi¶i: Gäi d1: x-y+2=0; d2: 4x+3y-1=0 Gọi K là điểm đối xứng của H qua d1. (HK)  d1   HK  : x  y  m  0 . ( HK) qua H(-1;-1) nªn: (-1)+(-1)+m=0  m  2 . VËy (HK): x+y+2=0 Gọi I=(HK)  (d1) thì tọa độ I thỏa mãn:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> x  y  2  0  I  2;0   x  y  2  0   x  2.x I  x H  tọa độ K:  K  K  3;1 y  2.y  y  K I H (AC)  d 2  (AC) : 3x  4y  p  0 . (AC) l¹i qua K(-3;1) nªn: 3.(-3)-4.1+p=0  p=13 VËy (AC): 3x-4y+13=0 3x  4y  13  0  A  5;7  A=(AC)   d1  nên tọa độ A thỏa mãn:  x  y  2  0    (CH) qua H(-1;-1) vµ nhËn AH   6; 8  hay nhËn n   3;4  lµ vtpt VËy (CH): 3(x+1)+4(y+1)=0 hay : (CH): 3x+4y+7=0 3x  4y  7  0  10 3   C  ;   Tọa độ C=(CH)  (AC) thỏa mãn hệ :   3 4 3x  4y  13  0. Bµi 19: (Khèi D-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y2=16x và điểm A(1;4). Hai điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho BAC  900 . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. Gi¶i: DÔ thÊy A thuéc (P).  b2   c2  Vµ B  ;b  ; C  ;c    P  (b  c;b  4;c  4)  16   16    b 2    c 2  AB    1;b  4  , AC    1;c  4   16   16    bc   AB  AC  AB.AC  0   b  4  c  4   256  0  b+c=-  68   1 4   c  b BC  . b  c;16  . 16   b2  Đường thẳng (BC) qua điểm B  ;b  và có vtcp u  b  c;16  nên có phương trình:  16  b2   16  x     b  c  y  b   0  16x   b  c  y  bc  0  2  16   bc   y  Thay (1) vµo (2) :16x   68    y  b   bc  0  4  4x  17y   bc.  1  0 * 4  4 . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 4x  17y  0  x  17  Phương trình (*) nghiệm đúng với mọi b, c   y   y  4  4  1  0 Hay đường thẳng (BC) luôn đi qua điểm I(17;-4) cố định.. Bµi 20: (Khèi A-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm cña hai ®­êng chÐo AC vµ BD. §iÓm M(1;5) thuéc ®­êng th¼ng AB vµ trung ®iÓm E cña cạnh CD thuộc đường thẳng  : x +y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB. Gi¶i: x  t Phương trình tham số của  :  . E   E(t; 5-t) y=5-t   x N  2x I  x M Gọi N là điểm đối xứng của M qua I thì   N 11; 1  y N  2y I  y M   NE   t  11;6  t  , IE  (t  6;3  t)   t  6 NE  IE  NE.IE  0   t  11 t  6    6  t  3  t   0  t 2  13t  42  0   t  7   Víi t=6 th× NE   5;0  .   §­êng th¼ng AB qua ®iÓm M(1;5) , nhËn NE   5;0  lµm vtcp  n AB  (0;5) nªn cã phương trình: 5(y-5)=0  Hay : y = 5  Víi t=7 th× NE   4; 1 .   §­êng th¼ng AB qua ®iÓm M(1;5) , nhËn NE   4; 1 lµm vtcp  n AB  (1; 4) nªn cã phương trình: x – 1 – 4(y – 5) = 0 Hay : x – 4y + 19 = 0. Bµi 21: (Khèi B-2009). 4 vµ hai ®­êng th¼ng : 5 1 : x  y  0;  2 : x  7y  0 . Xác định tọa dộ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1), BiÕt ®­êng trßn (C1) tiÕp xóc víi c¸c ®­êng th¼ng 1 ,  2 vµ t©m K cña (C1) thuéc ®­êng trßn (C) Gi¶i: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) : (x -2)2 +y2 =. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Phương trình các phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 1 ,  2 :.  2x  y  0 xy x  7y   2 5 2  x  2y  0. d  d  1. 2. 4 2  2  x  2   y  K  d1   C    5 HÖ nµy v« nghiÖm 2x  y  0 4 2  2  x  2   y  8 4 K  d2  C   5  K ;  5 5  x  2y  0 8 4  5 5 2 5 R= d(K; 1 ) =  2 2. Bài 22: (Khối B-2009) (theo chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác cân ABC cân tại A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  y  4  0 . Xác định tọa độ các đỉnh B, C biết diện tích tam gi¸c ABC b»ng 18. Gi¶i: Gäi (d) lµ ®­êng th¼ng qua A(-1;4) vµ vu«ng gãc víi  , th× : (d) : 1 x  1  1 y  4   0  x  y  3  0 x  y  4 7 1  H ;  H   d     Tọa độ H thỏa mãn hệ  2 2 x  y  3 1  2 AH.BC  18  BC  4 2  BH  2 2  AH  1  4  4  2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> B, C thuộc đường tròn tâm H , bán kính R= 2 2 . Phương trình này có dạng: 2 2 7  1   x     y    8 Tọa độ hai điểm B, C thỏa mãn hệ : 2  2  2 2  7  1  11 3   3 5    x     y    8   x; y    ;  ,  ;    2  2   2 2   2 2   x  y  4  0   11 3  3 5  11 3  3 5 VËy: nÕu B  ;  th× C  ;   ; nÕu C  ;  th× B  ;    2 2 2 2  2 2 2 2 Bµi 23: (Khèi D-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(2;0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình: 7x – 2y -3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC. Gi¶i: 7x  2y  3  0  A 1;2  A   AD    AH   Tọa độ A thỏa mãn hệ :  6x  y  4  0  x  2x M  x A M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB  B  B  3; 2  y  2y  y  B M A  BC  AH suy ra phương trình BC qua B(3;-2) và có vtpt n  1;6  có dạng:.  x  3  6  y  2   0  x  6y  9  0. 7x  2y  3  0 3   D  0;   D   AD    BC   Tọa độ D thỏa mãn hệ :  2   x  6y  9  0  x c  2x D  x B  C  3; 1  y  2y  y  C D B. (AC) qua A(1;2) và C(-3;-1) nên có phương trình:. x 1 y2   3x  4y  5  0 3  1 1  2. Bµi 24: (Khèi A-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x  y  0 và d2: 3x  y  0 . Gäi (T) lµ ®­êng trßn tiÕp xóc víi d1 t¹i A, c¾t d 2 t¹i hai ®iÓm B vµ C sao cho tam gi¸c ABC vuông tại B. Viết phương trình của đường tròn (T) , biết tam giác ABC có diện tích 3 b»ng và điểm A có hoành độ dương. C 2 Gi¶i:. I Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> . A  d1  A a; a 3.   a  0. (AC) qua A vµ (AC)  d1 , nªn :. . . (AC):  x  a   3 y  a 3  0  x  3y  4a  0.  AC   d. 2.  x  3y  4a  0  C 2a; 2 3a  C . Gi¶i hÖ :   3x  y  0. . . (AB) qua A vµ (AB)  d 2 , nªn :. . . (AB) :  x  a   3 y  a 3  0  x  3y  2a  0.  AB   d SABC . 2.  x  3y  2a  0  a a 3  B  ;   B  Tọa độ B thỏa mãn hệ:   2   2  3x  y  0. 3 1 3  1   2   1  A ; 1 , C   ; 2   I   ;   BA.BC  3  a  2 3 3  3     2 3 2 2. 2. 1   3   IA=1. Phương trình đường tròn (T):  x     y  2  1 2 3    Bµi 25: (Khèi B-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4;1), phân giác trong của góc A có phương trình : x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. Gi¶i: Gọi D là điểm đối xứng của C qua d: x + y – 5 = 0 , thì  x  4    y  1  0  Tọa độ D (x;y) thỏa mãn:  x  4 y  1  D  4;9    5  0   2 2 Điểm A thuộc đường tròn đường kính CD, nên tọa độ  x  y  5  0 A(x;y) tháa m·n :  2 Víi x>0 nªn : A(4;1) 2 x  y  5  32    2S AC=8;  AB  ABC  6 AC B thuộc đường thẳng AD :x=4, suy ra tọa độ B(4;y) thỏa 2 m·n: AB2  AC2  BC2  36  64  64   y  1  y  7  y  5. Lop12.net. d. D B. C. A.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> VËy B(4;7) hoÆc B(4;-5)   Do d là phân giác trong của góc A nên AB và AD cùng hướng ,suy ra chỉ chọn được B(4;7). Lúc đó phương trình đường thẳng BC là: 3x-4y+16=0 Bµi 26: (Khèi D-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1) tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0). Xác định tọa dộ đỉnh C biết C có hoành độ dương. Gi¶i: IA= 74 .  §­êng trßn t©m I, b¸n kÝnh R= 74 ngo¹i tiÕp B C 2 2 Tam giác ABC có phương trình:  x  2   y  74 H Do hoành độ của A và H đều bằng 3, nên phương trình AH: I x=3. Do BC  AH nên phương trình BC : y=m ( m  7)  y  m 1  tọa độ B , C thỏa mãn hệ :  2 2  x  2   m  74  2  A 2 2 Pt(2)  x  4x  m  70  0 , Phương trình này có 2 nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất một nghiệm dương khi và chỉ khi m  70. .  . Do C có hoành độ dương nên B 2  74  m 2 ;m , C 2  74  m 2 ;m §Ó tÝnh m, ta l­u ý : AC  BH . . 74  m 2  5. . . . 74  m 2  5   m  7  (1  m)  0.  m  4m  21  0  m  7;m  3 . A lo¹i m=-7 Víi m=3 ta cã C( 65  2;3) Bài 26: (Khối D-2010) (theo chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0;2) và  là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên  . Viết phương trình đường thẳng  , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH Gi¶i: 2. Gọi tọa độ H là (a; b). Độ dài AH  a 2   b  2 . 2. y. A. Khoảng cách từ H đến trục Ox là :HB = b  a 2   b  2   b 2 1 2. H. AHC  900  H thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OA: 2 a 2   b  1  1  2  Gi¶i hÖ (1), (2) ta cã:. . H 2.  . 5  2; 5  1 , H 2. . 5  2; 5  1. Lop12.net. O. B. x.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  HoÆc : . Phương trình  có dạng:.   5  1 x   2. 5 1 x  2.  5  2y  0. 52 y0. Bµi 27: (Khèi A-2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  ; x+y+2=0 và đường tròn (C): 2 x  y 2  4x  2y  0. Gäi I lµ t©m cña (C), M lµ ®iÓm thuéc  . Qua ®iÓm M kÎ c¸c tiÕp tuyến MA, MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB cã diÖn tÝch b»ng 10. Gi¶i: §­êng trßn (C) cã t©m I(2;1) b¸n kÝnh IA = 5 1 5.2 SAIM  5  IA.AM  5  AM  2 5 2 5 IM= IA 2  AM 2  5 . Đường tròn (C’) tâm I(2;1) bán kính IM=5 có phương trình: 2 2  x  2    y  1  25 .. M  ; M   C'  Tọa độ M thỏa mãn hệ :. 2 2  x  2    y  1  25  M  2; 4   M  3;1   x  y  2  0 Bµi 28: (Khèi B-2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng  : x – y – 4 = 0 và d : 2x – y – 2=0 Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng  tại ®iÓm M tháa m·n OM.ON = 8 Gi¶i: N d  N(a;2a-2). M   M(b;b-4) 4a O, M, N th¼ng hµng  a(b-4)=(2a-2)b  b  2a 2 2 2 OM.ON=8   5a  8a  4   4  a  2    5a 2  6a  5a 2  8a  8   0. 6 5 6 2 VËy N(0;-2) hoÆc N  ;  5 5 Bài 29: (Khối B-2011)(theo chương trình nâng cao).  5a 2  6a  0  a  0; a=. 1  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có dỉnh B  ;1 . Đường tròn nội tiếp 2  tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> D(3;1) và đường thẳng EF có phương trình: y-3=0. Tìm tọa độ đỉnh A biết A có tung độ dương. Gi¶i: Do y B  y D  1  Dường thẳng BD có phương trình: y = 1  BD//EF  Tam giac ABC c©n t¹i A.  Ph©n gi¸c AD  BC . A Phương trình AD là : x = 3 5 Ta có BE=BD=  Tọa độ E thỏa mãn hệ: 2 2  1 25 2 F E  x     y  1   x  2; x   1 2 4  y  3 . C  Hoặc E(-1;3) Lúc đó phương trình BE là: B D 4x+3y-5=0 4x  3y  5  0 7 Tọa độ A thỏa mãn hệ   y   Không thỏa mãn yêu cầu đề bài 3 x  3  Hoặc E(2;3); Lúc đó phương trình BE là: 4x-3y+1=0 4x  3y  1  0  13   A  3;  Tọa độ A thỏa mãn hệ:   3 x  3 Bµi 30: (Khèi D-2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có dỉnh B  4;1 , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình: x – y – 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C. Gi¶i: Gọi E là điểm đối xứng của B qua d: x – y – 1 = 0 Phương trình đường thẳng BE: x + y + 3 = 0 B x  y  3  0  H  1; 2  Gäi H lµ giao cña d vµ BE, th×:  x  y  1  0 D H cßn lµ trung ®iÓm cña BE, nªn : H  x  2x H  x B  2 : E  E  2; 5  G  y E  2y H  y B  5 C A E F  3  7   Gäi F lµ trung ®iÓm cña AC, th× : BF  BG  F  ;1 2 2 . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Đường thẳng AC qua F, E nên có phương trình:. x2 y5   4x  y  13  0 3 6 2. 4x  y  13  0  A  4;3 Tọa độ A thỏa mãn hệ :  x  y  1  0   x C  2x F  x A Tọa độ C thỏa mãn:   C  3; 1 y  2y  y  C F A Bài 30: (Khối D-2011)(theo chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;0) và đường tròn (C): x 2  y 2  2x  4y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng  cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho tam gi¸c AMN vu«ng c©n t¹i A. Gi¶i: A (C) cã t©m I(1;-2), R= 10 . Do x A  x I  1 , nên phương trình AI là; x=1. N M Do MN  AI nên phương trình MN có dạng: y=a H Tam gi¸c AMN vu«ng c©n , nªn: MN a MN=2AH=2 d  A;MN   2 a  MH  2 I IH= d  I;MN   2  a Tam gi¸c IMH vu«ng t¹i H  IH 2  MH 2  R 2 2  2  a   a 2  10  a 2  2a  3  0  a  1;a  3 Vậy phương trình  là : y=1 hoặc y=-3 Bµi 31: (Khèi A-2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC,  11 1  N lµ ®iÓm trªn c¹nh CD sao cho CN =2ND. Gi¶ sö ®iÓm M  ;  vµ ®­êng th¼ng AN  2 2 có phương trình: 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A. Gi¶i: x  t  A  t; 3  2t  . A thuéc (AN):  B  y  3  2t A 11 1 2.   3 3 5 2 2 =MH víi H lµ d  M,AN    2 5 M ch©n ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ M tíi AN Gäi a lµ c¹nh h×nh vu«ng ABCD H. D. Lop12.net. N. C.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> a 10 ; 3 5a a 5 ; MN= NC2  MC2  AM  AB2  BM 2  2 6 2 2 2 AM  AN  MN 1 cos A   2AM.AN 2 0  MAN  45  tam gi¸c AMH vu«ng c©n 3 10 a 5 3 10 t¹i H  AM=MH. 2    a 3 2 2 2 2 3 10 A thuéc ®­êng trßn t©m M, b¸n kÝnh AM= 2 2 2 2 1   3 10   11   Tọa độ A thỏa mãn:  t     2t  3      2  2  2    t  1; t  4  A 1; 1 , A  4;5  Bài 31: (Khối A-2012)(theo chương trình nâng cao) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho dường tròn (C): x 2  y 2  8 . Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. Th× AN= AD 2  DN 2 . y. O. x 2 y2 Phương trình chính tắc của (E) có dạng: 2  2  1 a b 2 Ta cã :a=4  a  4 2. x. -2 M. Gọi  C    E   M(x; y) . Vì M là một đỉnh của hình Vu«ng t©m O , nªn : x M  y M M thuéc (C), nªn: x 2  x 2  8  y 2  x 2  4 4 4 16 M thuéc (E), nªn :  2  1  b 2  16 b 3. x 2 y2 1 Vậy phương trình (E) là:  16 16 3 Bµi 32: (Khèi B-2012). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho dường tròn ( C1 ): x 2  y 2  4 ,  C2  : x 2  y 2  12x  18  0 và đường thẳng d: x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc  C2  , tiếp xóc víi d vµ c¾t  C1  t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho AB vu«ng gãc víi d. c2 Gi¶i:  C1  có tâm tại gốc tọa độ O.Gọi I là tâm đường tròn (C) cần tìm Ta cã OI  AB ; AB  d  OI//d  phương trình OI là: x – y = 0.  x  y O A I cßn thuéc  C2  , nªn: 2x 2  12x  18  0  x  3  I  3;3 (C) tiÕp xóc víi d, nªn (C) cã b¸n kÝnh R= d  I,d   2 2 Vậy phương trình (C) là :  x  3   y  3  8 2. 2. Bài 33: (Khối B-2012)(theo chương trình nâng cao). c1. I B. c d. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC=2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình : x 2  y 2  4 . Viết phương trình chính tắc của elip (E) ®i qua c¸c ®iÓm A, B, C, D cña h×nh thoi, biÕt A thuéc Ox Gi¶i: y B H C. O. A. x. D. a Do AC=2BD, nªn OA=2OB. Gäi A(a;0) ; B(0; ). Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O 2 trªn AB, th× OH lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn néi tiÕp h×nh thoi ABCD. 1 1 1 1 1 4 Ta cã :     2  2  a 2  20  b 2  5 2 2 2 4 OH OA OB a a x 2 y2 Vậy phương trình (E) là  1 20 5. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>