Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 13: Phương pháp không gian toạ độ trong không gian

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chương 13. Phương pháp không gian toạ độ trong không gian Download tài li u h c t p t i : . om. 13.1 Hệ toạ độ trong không gian. .c. Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước. tb. . Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ, độ dài của vectơ, tổng (hiệu) của hai vectơ, tọa độ trung điểm,. tra. Bài 13.1 : Viết toạ độ của các vectơ sau đây :. ng. tọa độ trọng tâm, . . .. ao. − − − → → − → − − → − → − → → −a = 4→ j ; b = − i + 2 j ;→ c = 3 i +2 j − k.. ht tp. ://. − −a = (−3; 1; 2),→ −c = (−3; 2; 0). Bài 13.2 : Cho các vectơ → b = (1; 3; 4),→ − → → − −a , 3→ −a − 2→ −c . 1. Hãy xác định toạ độ các vectơ 3→ b , −a − 3 b + 2→ → − − → −a ,→ 2. Hãy biểu diễn vectơ d = (−1; 0; 2) theo ba vectơ → b , −c . − − − − −a và → −a + → −a − → −a | = 3, |→ Bài 13.3 : Cho hai vectơ → b tạo với nhau một góc 120◦ . Tìm |→ b | và |→ b | biết |→ b | = 5. −a = (1; −3; 4). Bài 13.4 : Cho vectơ → → − −a . 1. Tìm y0 và z0 để cho vectơ b = (2; y0 ; z0 ) cùng phương với →. −c biết rằng → −a và → −c ngược hướng và |→ −c | = 2|→ −a |. 2. Tìm tọa độ của vectơ →. Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ , biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1), C ′(4; 5; −5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.. Bài 13.6 : Trong không gian Oxyz, xét hình hộp chữ nhật ABCD.A′ B′C ′ D′ , cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA′ = 2a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A′ (0; 0; 2a). 1. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại. −−−→ 2. Xác định toạ độ DB′ .. 3. Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA′. 4. Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B′CD.. Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng.  1. Sử dụng các công thức. Lop12.net 249.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • S ∆ABC =. −−→ −−→ −−→ −−→ |[ MA, MB]| |[ MA, AB]| • d(M, AB) = = ; −−→ −−→ |AB| |AB| → −→ − −u ,→ −v ) = u . v ; • cos(→ −u |.|→ −v | |→. 1 −−→ −−→ [AB, AC] ; 2. −−→ −−→ −−→ • V h.hộp ABCD.A′ B′C′ D′ = [AB, AD].AA′ ;. • VABCD =. 1 −−→ −−→ −−→ [AB, AC].AD ; 6. → − → − −u ,→ −v ) = [ u , v ] ; • sin(→ → − → | u |.|−v | −−→ −−→ • cos A = cos(AB, AC) ; −−→ −−→ • cos(AB, CD) = cos(AB, CD) .. −−→ −−→ −−→ [AB, CD].AC • d(AB, CD) = ; −−→ −−→ [AB, CD]. − −u và → −v cùng phương khi và chỉ khi [→ −u ,→ −v ] = → 2. Hai vectơ → 0 (tương đương với tọa độ tương ứng tỉ lệ). −−→ −−→ 3. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương. −u ⊥→ −v khi và chỉ khi →→ −u .−v = 0. 4. →. .c tb ng. Bài 13.8 : Cho ba điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; 3), C(−2; 4; 1).. tra. − −a = (2; 4; 0),→ −c = (1; 2 − 1). Bài 13.7 : Cho vectơ → b = (−3; 2; 1),→ − → − − → −a ,→ −a ). 1. Tính cosin của các góc sau : (→ b ), ( b ,→ c ), (−c ,→ − → − − → −a .→ −a . 2. Tính các tích vô hướng → b , b .→ c , −c .→ − −v sao cho → −v ⊥→ −a ,→ −v ⊥→ −v | = |→ −c |. 3. Tìm toạ độ của vectơ → b và |→. om. −−→ −−→ −−→ 5. Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi [AB, AC].AD = 0.. ao. 1. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC. 2. Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.. ://. 3. Tìm điểm E trên mặt phẳng (Oxy) sao cho ABCE là hình thang với hai đáy là AB và CE.. ht tp. Bài 13.9 : Cho tam giác ABC với A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−4; 7; 5). 1. Tìm điểm D sao cho tam giác ABD nhận C làm trọng tâm. 2. Tìm độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC vẽ từ B. Bài 13.10 : Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có điểm C(−2; 2; 2) và trọng tâm G(−1; 1; 2). 1. Tìm toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC biết A nằm trên mặt phẳng (Oxy) và B thuộc Oz. 2. Gọi H là trung điểm BC, E là điểm đối xứng của H qua A. Tìm toạ độ điểm K trên đường thẳng AC để B, E, K thẳng hàng. Bài 13.11 : Cho tam giác ABC có A(2; 0; 1), B(1; −1; 2), C(2; 3; 1). 1. Chứng minh tam giác ABC có Ab là góc tù. 2. Tính chu vi tam giác ABC. 3. Tìm điểm M trên Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M. Bài 13.12 : Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1), B(0; −1; 2), C(1; 0; 3). 1. Tìm toạ độ chân đường cao H hạ từ đỉnh A của tam giác ABC. 2. Tìm toạ độ giao điểm D của đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 13.13 : Cho hai điểm A(3; 0; −1), B(1; 3; −2), C(3; −4; 1). 1. Tìm điểm M trên trục Ox sao cho MA = MB.. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 250.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2. Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oyz) sao cho NA = NB = NC. −−→ −−→ −−→ 3. Tìm điểm P trên mặt phẳng Oxy sao cho |PA + PB + PC| đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 13.14 : Tìm tọa độ điểm M trong mỗi trường hợp sau đây 1. M trên trục Oy và cách đều hai điểm A(3; 1; −4), B(−2; 3; 0). 2. M trên mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A(3; 1; −4), B(−2; 1; 0), C(4; 5; −2). Bài 13.15 : Trong không gian cho 4 điểm A(4; 2; −2), B(1; 2; −5).C(0; 1; −1), D(2; 0; −3). Chứng minh rằng : 1. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. 2. Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc với nhau. Bài 13.16 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1 B1C1 biết :. om. A(−2; 4; 1), B(1; −1; 2), A1(5; −1; 0), C1(−2; 0; 1). 1. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của lăng trụ.. .c. 2. Một mặt phẳng (P) qua A, trung điểm M của BC và trung điểm N của A1 B1 . Tìm toạ độ giao điểm của (P) với B1C1 .. . ‹. ng. 1. Xác định toạ độ các đỉnh A1 , C1 , B, D và tâm K của hình hộp. √ 59 2. Tìm điểm M trên đường thẳng AA1 sao cho K M = . 2 Bài 13.18 : Cho hình chóp S .ABCD có :. tb. Bài 13.17 : Cho hình hộp ABCD.A1 B1C1 D1 . Biết A(−3; 2; 1), C(4; 2; 0), B1(−2; 1; 1), D1(3; 5; 4).. tra. 13 S 3; 3; , A(1; 2; 3), B(−1; 4; 6), C(2; 1; 10), D(4; −1; 7). 2. ao. 1. Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật và S I⊥(ABCD), trong đó I là giao điểm của AC và BD. 2. Tính thể tích hình chóp.. ://. Bài 13.19 : Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau đây : − −a = (−1; 1; −2),→ 3. → b = (2; 3; −7) − −a = (1; 1; 0),→ 4. → b = (0; 0; 1). ht tp. − −a = (1; 1; 2),→ 1. → b = (3; 3; 6) − −a = (−2; 1; 3),→ 2. → b = (1; 3; −4). − → −a ,→ b , −c sau đây : Bài 13.20 : Xét sự đồng phẳng của bộ ba vectơ → − −a = (−3; 1; 1),→ −c = (−4; 1; 0). 1. → b = (2; 3; 5),→. − −a = (2; 1; −1),→ −c = (−2; −1; 1). 2. → b = (3; 1; 2),→. Bài 13.21 : Cho hai điểm A(−3; 2; 1), B(1; 3; −4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oxy) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn OC = 1 −−→ −−→ −−→ và các vectơ OA, OB, OC đồng phẳng. Bài 13.22 : Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(−2; 1; 3). Tìm điểm M thuộc Ox sao cho tam giác AMB có diện tích nhỏ nhất. Bài 13.23 : Cho các điểm A(1; 0; 1), B(0; 0; 2), C(0; 1; 1), D(−2; 1; 0). 1. Chứng minh A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện. 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và góc tạo bởi hai đường thẳng AC và BD. 3. Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Bài 13.24 : Cho tam giác ABC có A(−2; 0; 1), B(0; −1; 1), C(0; 0; −1). 1. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và tính bán kính của đường tròn đó. 2. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.. Download tài li u h c t p t i : . Lop12.net. Trang 251.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.25 : Cho tam giác ABC có A(0; 0; 2), B(0; 1; 0), C(1; 2; 3). 1. Tìm toạ đọ điểm S trên Oy để tứ diện S ABC có thể tích bằng 8. 2. Tìm toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC). Bài 13.26 : Cho hai điểm A(−3; −2; 1), B(1; 3; −4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oyz) sao cho các điều kiện sau được thoả mãn : −−→ −−→ −−→ OC = 1 và các vectơ OA, OB, OC đồng phẳng. Bài 13.27 : Cho ba điểm A(−2; 1; 3), B(1; 1; 1), C(−4; −3; 2). 1. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABC. 1 2. Tìm điểm D trên trục Oy sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng . 2. Vấn đề 3 : Lập phương trình của mặt cầu. om. . .c. 1. Muốn viết được phương trình mặt cầu cần biết tâm I(a; b; c) và bán kính R của mặt cầu đó. Khi đó, phương trình mặt cầu là. tb. (S ) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 .. ng. 2. Ta có A ∈ (S ) khi và chỉ khi IA = R. 3. (S ) tiếp xúc với ∆ khi và chỉ khi d(I, ∆) = R.. tra. 4. (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi d(I, (P)) = R. 5. Nếu M(x M ; y M ; z M ) thì. (b) d(M, Ox) =. È. y2M + z2M , d(M, Oy) =. ao. (a) d(M, (Oxy)) = |z M |, d(M, (Oyz)) = |x M |, d(M, (Ozx)) = |y M |. È. x2M + z2M , d(M, Oz) =. È. x2M + y2M .. ://. (c) Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox có tọa độ (x M ; 0; 0).. ht tp. (d) Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ (x M ; y M ; 0).. Bài 13.28 : Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây : 1. Nhận I(2; 0; 3) là tâm và bán kính R = 4. 2. Nhận AB làm đường kính với A(−2; 3; 5), B(0; 1; −1). 3. Nhận I(3; 4; −1) làm tâm và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). 4. Nhận I(6; 3; −4) làm tâm và tiếp xúc với trục Oz. Bài 13.29 : Lập phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau đây : 1. Có tâm trên trục hoành và đi qua hai điểm A(−2; 4; 1), B(1; 4; −5). 2. Có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz) và đi qua ba điểm A(2; −1; 5), B(2; 1; 1), C(−3; 0; 2). 3. Đi qua bốn điểm A(−1; 3; 4), B(3; 1; 5), C(−2; 1; −2), D(0; 2; 3). Bài 13.30 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 4z = 0. 1. Xác định tạo độ tâm và tính bán kính của (S ). 2. Tìm toạ độ giao điểm A, B, C (khác gốc O) của (S ) với các trục toạ độ. Tính thể tích tứ diện OABC.. Download tài li u h c t p t i : . Lop12.net. Trang 252.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.31 : Cho mặt cầu (S ) có phương trình x2 + y2 + z2 + x − y + z − 1 = 0. 1. Chứng minh rằng (Oxy) cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn này. 2. Trục Oz cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn AB. 1 Bài 13.32 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 3x − y + z + = 0. 2 1. Chứng minh rằng mặt cầu (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tìm toạ độ tiếp điểm A. 2. Chứng minh rằng mặt cầu (S ) tiếp xúc với Ox tại B. Tìm toạ độ điểm B. Bài 13.33 : Cho S (−2; 2; −3), A(−2; 2; 1), B(2; 4; 1), C(4; 0; 1), D(0; −2; 1). 1. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và S A là đường cao của hình chóp S .ABCD. Tính thể tích hình chóp đó. 2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABCD. Bài 13.34 : Cho mặt cầu (S m ) : x2 + y2 + z2 − 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0. Tìm m để (S m ) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.. om. Bài 13.35 : Cho mặt cầu (S m ) : x2 + y2 + z2 − 2mx + 2my − 4mz + 5m2 + 2m + 3 = 0. Xác định tham số m để (S m ) là một mặt cầu. Tìm tập hợp tâm I của mặt cầu (S m ) khi m thay đổi.. .c. Vấn đề 4 : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian. tb. . ng. Bước 1 : Tạo một góc tam diện (có chung đỉnh và ba cạnh đôi một vuông góc). Góc tam diện này có hai trục Ox, Oy thường nằm trên mặt đáy và trục Oz vuông góc với đáy.. tra. Bước 2 : Tìm tọa độ của bốn điểm : gốc, các điểm nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.. ao. Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm, các vectơ có liên quan, và đưa bài toán về hình học giải tích thông thường.. ://. Bài 13.36 : Cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ có cạnh bằng a. 1. Gọi I là trung điểm A′C, J là trung điểm AB′. Chứng minh rằng AJ⊥A′ I.. ht tp. 2. Gọi G là trọng tâm tam giác BA′C ′ . Chứng minh rằng B′ , G, D thẳng hàng. Bài 13.37 : Cho hình lập phương ABCD.A1 B1C1 D1 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB1, CD, A1 D1 . Tính góc và khoảng cách giữa C1 N và MP.. a Bài 13.38 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với đáy, M thuộc cạnh CD sao cho DM = và 2 3a N thuộc cạnh BC sao cho BN = . Chứng minh rằng MN⊥(S AN) từ đó suy ra mặt phẳng (S AN)⊥(S MN). 4 Bài 13.39 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của S A và BC. 1. Tính thể tích tứ diện OS MN. 2. Đường thẳng MN cắt (S BD) tại điểm P. Tính OP. 3. Gọi K là trung điểm cạnh CD, I là điểm thay đổi trên cạnh S O với OI = m. Xác định m sao cho các đường thẳng AB, S C, KI cùng song song với một mặt phẳng. Bài 13.40 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b, S A⊥(ABCD) và S C = c. Gọi E là điểm đối xứng của C qua B. −−→ −−→ −−→ 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S B, S D. Chứng minh rằng các vectơ AE, AM, AN đồng phẳng. SM SN −−→ −−→ −−→ 2. Cho M, N thay đổi lần lượt trên các tia S B, S D sao cho = x, = y. Tìm điều kiện của x, y sao cho các vectơ AC, AM, AN SD SB đồng phẳng.. Download tài li u h c t p t i : . Lop12.net. Trang 253.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 13.2 Phương trình mặt phẳng Vấn đề 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước. . 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng − −n , → (a) Vectơ → 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α). Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, các vectơ pháp tuyến luôn cùng phương.1. −u ,→ −v không cùng phương và có giá của chúng song song (hoặc nằm trên) (α) thì vectơ → −n = [→ −u ,→ −v ] là một (b) Nếu hai vectơ → vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).. Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C 2 , 0.. om. 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. .c. −n = (A; B; C) là một vectơ pháp tuyến của (α). Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x ; y ; z ) và có vectơ pháp tuyến Khi đó → 0 0 0 → −n = (A; B; C) có phương trình. tb. A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0. 3. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng :. ng. Giả sử mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là. tra. x y x + + = 1. a b c. 4. Phương trình các mặt phẳng tọa độ. ://. ao. (Oxy) : z = 0; (Oyz) : x = 0; (Ozx) : y = 0.. ht tp. Bài 13.41 : Cho hai điểm A(2; 3; −4), B(4; −1; 0). Viết phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Bài 13.42 : Cho tam giác ABC có : A(−1; 2; 3), B(2; −4; 3), C(4; 5; 6).. 1. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC. 2. Viết phương trình mặt phẳng qua A, B, C.. Bài 13.43 : Trong không gian Oxyz cho điểm M(30; 15; 6). 1. Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua các hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ. 2. Tìm tọa độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (α). Bài 13.44 : Cho điểm A(2; −3; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α) qua các hình chiếu của điểm A trên các trục toạ độ.. Bài 13.45 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Bài 13.46 : Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau đây 1. Cắt các trục tọa độ tại các điểm A(3; 0; 0), B(0; −2; 0), C(0; 0; 5). 2. Qua điểm H(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. 3. Qua điểm M(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho tam giác ABC là tam giác đều. 1. −n = (a; b; c) có a , 0 là một vectơ pháp tuyến thì ta luôn có thể chọn a = 1 hay một giá trị khác 0 bất kì Nếu →. Download tài li u h c t p t i : . Lop12.net. Trang 254.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 4. Qua điểm G(2; 3; 1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC. 5. Qua điểm N(1; 1; 1) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C sao cho OA + OB + OC là nhỏ nhất. Bài 13.47 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC nhỏ nhất. Bài 13.48 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A(4; −2; 1), B(1; 1; −2) và song song với trục Ox.. Vấn đề 2 : Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. . −n = (A; B; C) và Nếu (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và (α′ ) : A′ x + B′ y + C ′ z + D′ = 0 có các vectơ pháp tuyến tương ứng là → α → −n ′ = (A′ ; B′ ; C ′ ) thì α. om. −n và → −n ′ không cùng phương. 1. (α) và (α′ ) cắt nhau khi và chỉ khi → α α. −n và → −n ′ cùng phương và có điểm M ∈ (α) thì M < (α′ ). 2. (α) và (α′ ) song song khi và chỉ khi → α α. tb. ng. −n .→ − 4. (α) và (α′ ) vuông góc với nhau khi và chỉ khi → α n α′ = 0.. .c. −n và → −n ′ cùng phương và có điểm M ∈ (α) thì M ∈ (α′ ). 3. (α) và (α′ ) trùng nhau khi và chỉ khi → α α. Chú ý :. tra. • Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) ∥ (P) thì (Q) có dạng Ax + By + Cz + D′ = 0 với D′ , D. −n ′ sẽ có giá song song với (hoặc nằm trên) mặt phẳng (α). • Nếu (α)⊥(α′ ) khi đó → α. ao. Bài 13.49 : Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi mỗi phương trình. ://. 1. x + 2y − z + 5 = 0 và 2x + 3y − 7z + 10 = 0;. 2. 3x + 2y − z + 5 = 0 và 6x + 4y − 2z + 10 = 0;. ht tp. 3. x + 2y − z + 5 = 0 và −x − 2y + z + 10 = 0; Bài 13.50 : Cho hai mặt phẳng. (α) : 2x − my + 3z − 6 + m = 0 và (α′ ) : (m + 3)x − 2y + (5m + 1)z − 10 = 0.. Với giá trị nào của m, hai mặt phẳng đó 1. Song song với nhau.. 2. Trùng nhau.. 3. Cắt nhau.. 4. Vuông góc với nhau.. Bài 13.51 : Vẫn hỏi như bài tập 13.50 với hai mặt phẳng (α) : 2x − my + 10z + m + 1 = 0 và (α′ ) : x − 2y + (3m + 1)z − 10 = 0. Bài 13.52 : Tìm m để hai mặt phẳng (α) : (m + 2)x + (2m + 1)y + 3z + 2 = 0 và (α′ ) : (m + 1)x + 2y + (m + 1)z − 1 = 0. 1. song song.. 2. vuông góc.. 3. cắt nhau.. Bài 13.53 : Cho đường thẳng A(1; −1; 2) và mặt phẳng (α) : 2x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và song song với (α).. Download tài li u h c t p t i : . Lop12.net. Trang 255.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.54 : Cho hai điểm P(3; 1; −1), Q(2; −1; 4) và (α) : 2x − y + 3z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua hai điểm P, Q và vuông góc với mặt phẳng (α).. Bài 13.55 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 3; −2) và vuông góc với hai mặt phẳng (α) : x − 3y + 2z + 5 = 0 và (α′ ) : 3x − 2y + 5z + 4 = 0. Bài 13.56 : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(2; −1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x − y + 3z + 4 = 0. Bài 13.57 : Viết phương trình mặt phẳng (α), biết mặt phẳng (α). 1. qua điểm M(1; −1; 5), N(0; 0; 1) và cùng phương với trục Oz. 2. qua điểm M(1; −1; 5) và song song với mặt phẳng (Oxy). Bài 13.58 : Cho ba mặt phẳng. om. (α1 ) : 2x − z = 0; (α2 ) : x + y − z + 5 = 0; (α3 ) : 7x − y + 4z − 3 = 0.. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α1 ) và (α2 ) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (α3 ). Bài 13.59 : Cho hai mặt phẳng. .c. (P) : 2x − y + 3z + 1 = 0 và (Q) : x + y − z + 5 = 0.. tb. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) : 3x−y+1 = 0.. ng. Bài 13.60 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; 4; 1) và giao tuyến của hai mặt phẳng (P) : 19x − 6y − 4z + 27 = 0 và (Q) : 42x − 8y + 3z + 11 = 0.. tra. Bài 13.61 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng. ao. (β) : x + y − z + 1 = 0 và (γ) : y + z = 0. ://. đồng thời. 2. tạo với trục Oy một góc 45◦ .. ht tp. 1. vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x + 3y − z = 0.. Vấn đề 3 : Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. . Khoảng cách từ điểm M(x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 là d(M, (α)) =. |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ . A2 + B2 + C 2. Chú ý :. • Nếu (P) ∥ (Q) thì d((Q), (P)) = d(M, (P)) với M là một điểm trên (Q). • Nếu AB ∥ (P) thì d(A, (P)) = d(B, (P)). Với bài toán viết phương trình mặt phẳng khi biết khoảng cách ta thường làm như sau : − −n = (a; b; c) , → – Giả sử → 0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. – Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c. – Xét hai trường hợp ∗ Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.. ∗ Nếu a , 0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 256.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC. Bài 13.62 : Tìm trên trục Oz các điểm cách đều A(2; 3; 4) và mặt phẳng (α) : 2x + 3y + z − 17 = 0. Bài 13.63 : Tìm trên trục Oy điểm M cách đều hai mặt phẳng (α) : x + y − z + 1 = 0 và (α′ ) : x − y + z − 5 = 0. Bài 13.64 : Cho (P) : 2x − 3y + 6z + 19 = 0 và điểm A(−2; 4; 3). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). Tính. khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Bài 13.65 : Tìm trên trục tung các điểm : 1. Cách đều hai mặt phẳng. (α) : x + y − z − 1 = 0 và (α′ ) : x − y + z − 5 = 0.. om. 2. Cách đều điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (α) : x + y − z + 3 = 0.. . Bài 13.66 : Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(2; −1; 0), B(5; 1; 1) và khoảng cách từ điểm M 0; 0; 7 √ . 6 3. ‹. đến mặt. .c. phẳng (α) bằng. 1 2. tb. Bài 13.67 : Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng. ng. (P) : x − 3y + 7z + 36 = 0 và (Q) : 2x + y − z − 15 = 0. tra. đồng thời (α) cách gốc tọa độ một khoảng bằng 3.. Bài 13.68 : Cho hai mặt phẳng (P) : 3x + 2y − 2 = 0 và (Q) : 2x + y − 2z − 2 = 0.. ao. 1. Tìm trên giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Oxy) một điểm M cách đều (Q) và (Oxz). 2. Tìm tập hợp những điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).. ://. Bài 13.69 : Cho hai mặt phẳng (P) : −3x + y + z − 1 = 0, (Q) : 4x + 3y − z − 5 = 0 và hai điểm A(1; 2; 4), B(−3; 2; 2).. ht tp. 1. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Tìm tọa độ giao điểm của ∆ với ba mặt phẳng tọa độ. 2. Tìm điểm M trên ∆ sao cho M cách đều A và B. 1 3. Tìm điểm N trên ∆ sao cho tứ diện OABN có thể tích bằng . 3 Bài 13.70 : Cho mặt phẳng (P) : −2x + 3y − z + 3 = 0 và điểm A(1; 1; 1). 1. Chứng minh rằng điểm A không nằm trên (P). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). 2. Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). 3. Tìm trên trục Ox điểm M, trên mặt phẳng (P) điểm N sao cho A là trung điểm của đoạn MN. Bài 13.71 : Tìm điểm M trên trục Oy trong mỗi trường hợp sau đây : 1. M cách đều điểm A và mặt phẳng 3x + 4y − z = 0. 2. M cách đều hai mặt phẳng 3x − 2y + 2z − 1 = 0 và 4x + y − 1 = 0. 3. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng 2x + y + 2z − 3 = 0 gấp hai lần khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy).. Vấn đề 4 : Góc giữa hai mặt phẳng Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 257.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC. . −n = (A; B; C) và Nếu (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và (α′ ) : A′ x + B′ y + C ′ z + D′ = 0 có các vectơ pháp tuyến tương ứng là → α → −n ′ = (A′ ; B′ ; C ′ ) thì góc ϕ giữa hai mặt phẳng (α) và (α′ ) được tính theo công thức α. → −n .→ − α n α′ −n ,→ − cos ϕ = cos(→ α n α′ ) = → − −n ′ | . | n α |.|→ α Chú ý : Với bài toán viết phương trình mặt phẳng khi biết góc giữa hai mặt phẳng ta thường làm như sau : − −n = (a; b; c) , → • Giả sử → 0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.. • Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c. • Xét hai trường hợp – Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.. .c. om. – Nếu a , 0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.. Bài 13.72 : Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (P) : x + 2y −. √ 5z = 0 một góc bằng 60◦ .. ng. Bài 13.74 : Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2; −1) và :. tb. Bài 13.73 : Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A(2; 0; 0), B(0; 2; 0) và tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc 60◦ .. 1. vuông góc với các mặt phẳng. tra. (β) : 2x − y + 3z − 1 = 0 và (γ) : x + y + z − 2 = 0. x−1 y+1 z = = . 2 1 2 3. qua điểm B(2; 0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + 2y − z + 1 = 0.. ao. 2. vuông góc với (P) : x − y + 2z = 0 và song song với đường thẳng d :. ://. 4. qua điểm C(2; 1; 0) và tạo với (Oxy) một góc 60◦ .. ht tp. Bài 13.75 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho. (α) : mx + 2y + mz − 12 = 0 và (β) : x + my + z + 7 = 0.. Tìm tham số m để góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) bằng 45◦ . Bài 13.76 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm M(3; 0; 0) và N(0; 0; 1) đồng thời π tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc . 3 Bài 13.77 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (P) : 5x − 2y + 5z − 1 = 0 và (Q) : x − 4y − 8z + 12 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc 45◦ . Bài 13.78 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A′ B′C ′ D′ , biết A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A′ (0; 0; 1). Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng CD′ và tạo với mặt phẳng (BB′ D′ D) một góc nhỏ nhất.. Vấn đề 5 : Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. . Cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S ) tâm I(a; b; c), bán kính R. 1. Nếu d(I, (P)) > R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) không có điểm chung.. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 258.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2. Nếu d(I, (P)) = R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) có một điểm A chung. Khi đó (P) được gọi là mặt phẳng tiếp diện và A được gọi là tiếp điểm, đồng thời IA⊥(P). 3. Nếu d(I, (P)) < R thì mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Khi đó tâm J của đường tròn là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P), và bán kính r của đường tròn được tính theo công thức r2 = R2 − d2 (I, (P)). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua tâm I.. Bài 13.79 : Cho bốn điểm A(3; 6; −2), B(6; 0; 1), C(−1; 2; 0), D(0; 4; 1). 1. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua bốn điểm A, B, C, D. 2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) tại điểm A. 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(−2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x + 2y − 2z + 5 = 0.. om. Bài 13.80 :. .c. 2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 6x − 2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0). 1 Bài 13.81 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − x − y − z + = 0. 2 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và tiếp xúc với mặt cầu.. tb. 2. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu biết tiếp diện cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA = OB = OC.. 1. Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).. ng. Bài 13.82 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 4; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z − 1 = 0. 2. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).. tra. Bài 13.83 : Cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P) : x + y + z − 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).. ao. Bài 13.84 : Cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z − m2 − 3m = 0 và mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = 9. Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S ).. ://. Với m vừa tìm được, hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ). Bài 13.85 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 2x − 2z − m2 = 0 và mặt phẳng (P) : 3x + 6y − 2z − 22 = 0.. ht tp. Xác định tham số m để (P) cắt (S ) theo giao tuyến là đường tròn (C) có diện tích bằng 2π.. Bài 13.86 : Cho mặt cầu (S ) : (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 14 và điểm M(−1; −3; −2). Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và cắt (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.. Bài 13.87 : Cho mặt cầu (S ) : (x − 3)2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = 9 và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 11 = 0. Tìm điểm M trên mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là ngắn nhất.. Bài 13.88 : Xác định tâm và bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P), với (S ) : x2 + y2 + z2 − 2(x + y + z) − 22 = 0 và (P) : 3x − 2y + 6z + 14 = 0. Bài 13.89 : Cho hai mặt phẳng song song (P1 ) và (P2 ) có phương trình (P1 ) : 2x − y + 2z − 1 = 0 và (P2 ) : 2x − y + 2z + 5 = 0 và điểm A(−1; 1; 1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó. Gọi (S ) là mặt cầu bất kì đi qua A và tiếp xúc cả hai mặt phẳng (P1 ) và (P2 ). 1. Chứng minh rằng bán kính mặt cầu (S ) là một hàng số và tính bán kính đó. 2. Gọi I là tâm mặt cầu (S ). Chứng minh rằng I luôn thuộc một đường tròn cố định. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó. Bài 13.90 : Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 49 tại điểm M(7; −1; 5).. Bài 13.91 : Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − 2 = 0 và song song với mặt phẳng (P) : 4x + 3y − 12z + 1 = 0.. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 259.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 13.3 Phương trình đường thẳng Trong chương trình toán 8 12, chúng ta không xét dạng tổng quát của đường thẳng, tuy nhiên trong tài liệu này khi chúng ta viết : Cho đường thẳng ∆ :. <Ax + By + Cz + D = 0. thì chúng ta hiểu rằng đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng. : A ′ x + B ′ y + C ′ z + D′ = 0. (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) : A′ x + B′ y + C ′ z + D′ = 0.. Vấn đề 1 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng. . om. Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0 ; y0 ; z0 ).. − −u = (a; b; c) , → 1. Xác định vectơ chỉ phương → 0 của đường thẳng :. tb. .c. − −u , → −u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d. (a) Nếu → 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì → → − −n và → −n cùng vuông góc với d thì vectơ → −u = [→ −n ,→ − (b) Nếu có → 1 2 1 n 2 ] , 0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d. 2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d lần lượt có dạng. y = y0 + bt. > :. tra. d:. ng. 8 > x = x0 + at <. ://. ao. z = z0 + ct x − x0 y − y0 z − z0 hoặc d : = = ( nếu a, b, c đều khác 0). a b c. Bài 13.92 : Viết phương trình tham số và chính tắc của các đường thẳng sau :. ht tp. −u = (−1; 3; 5). 1. Đi qua điểm A(2; 0; −1) và có vectơ chỉ phương → 2. Đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và B(1; 2; 4).. Bài 13.93 : Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau, tìm một điểm mà đường thẳng đi qua và tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó, biết : 1. d :. x−2 y z+3 = = ; 3 −3 1. 2. d : x =. y−1 z = . 2 3. 3. d :. x−2 y+1 = = −z + 1. −3 2. Bài 13.94 : Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng sau, tìm một điểm mà đường thẳng đi qua và tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó, biết :. 1. d :. 8 > x = 1 + 2t <. y = −3 + t. > :. z = 5 − 3t.. 2. d :. 8 >x = 5 <. y = 2 + 3t. > :. z = 1 + t.. 3. d :. 8 >x = t <. y = 1 + 2t. > :. z = 5 − 3t.. Vấn đề 2 : Tìm điểm trên đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.  TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 260.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC. 1. Chuyển đường thẳng về dạng tham số. 8 > x = x0 + at > <. y = y0 + bt. > > :. z = z0 + ct.. 2. Điểm M nằm trên đường thẳng nên M(x0 + at; y0 + bt; z0 + ct). 3. Chuyển các đặc trưng hình học của M sang điều kiện về vectơ.. Bài 13.95 : Cho đường thẳng d có phương trình. 8 > x = 2t <. y = −1 + 3t. > :. z = 2 + 2t.. Tìm điểm M trên đường thẳng d thỏa mãn √ 6.. om. 1. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng 2x − y − z − 3 = 0 là 2. M cách đều hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz).. tb. x y z−1 ′ = = , d : y = −1 − 3t 2 3 1 > : z = −1 + t. và mặt phẳng (P) : 3x − y − z = 0.. ng. Bài 13.96 : Cho hai đường thẳng d :. 8 > x = 1 + 2t <. .c. √ 3. Hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy) nằm trên mặt cầu tâm O bán kính là 2 2.. tra. 1. Tìm điểm A trên d, điểm B trên d′ sao cho AB vuông góc với mặt phẳng (P). 2. Tìm điểm C trên d, điểm D trên d′ sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) và trọng tâm tam giác OCD nằm trên. ao. mặt phẳng (Oxz).. x−1 y = = z và mặt phẳng (P) : 2x − 3y − 2z − 6 = 0. Xác định các điểm A, B, C, D sao cho A, B 2 3 √ 196 10 nằm trên d; S nằm trên (P) và S .ABCD là hình chóp tứ giác đều nhận gốc tọa độ O làm tâm của đáy có thể tích bằng . 3. ://. Bài 13.97 : Cho đường thẳng d :. . ht tp. Vấn đề 3 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆′ trong không gian. −′ −u và đường thẳng ∆′ đi qua M ′ và có một vectơ chỉ phương → Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương → u. 0 1. ∆ và ∆′ trùng nhau khi và chỉ khi. 2. ∆ và ∆′ song song khi và chỉ khi. 3. ∆ và ∆′ cắt nhau khi và chỉ khi. 8 −′ → − −u ,→ <[→ u]= 0. −−−−→ → − −u , − :[→ M0 M0′ ] = 0 ⇔ M0 ∈ ∆ thì M0 cũng thuộc ∆′ . 8 −′ → − −u ,→ <[→ u]= 0. −−−−→ → − −u , − :[→ M0 M0′ ] , 0 ⇔ M0 ∈ ∆ thì M0 không thuộc ∆′ . 8 −′ → − −u ,→ <[→ u ] =, 0 −′ −−−−−→′ −u ,→ :[→ u ]. M0 M0 = 0.. −′ −−−−−→′ −u ,→ 4. ∆ và ∆′ chéo nhau khi và chỉ khi [→ u ]. M0 M0 , 0.. Bài 13.98 : Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau. Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó nếu chúng đồng phẳng.. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 261.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC x−1 2 x−1 2. d : 2 x−2 3. d : 4 x−1 4. d : 9 1. d :. 5. d :. y−7 z−3 ′ x−6 y+1 z+2 = ;d : = = ; 1 4 3 −2 1 y−2 z ′ x y+8 z−4 = = ;d : = = ; −2 1 −2 3 1 y z+1 ′ x−7 y−2 z = = ;d : = = ; −6 −8 −6 9 12 y−6 z−3 ′ x−7 y−6 z−5 = = ;d : = = ; 6 3 6 4 2 =. 8 > x = 9t <. y = 5t. > :. ; d′ là giao tuyến của hai mặt phẳng :. z = −3 + t (α) : 2x − 3y − 3z − 9 = 0 và (α′ ) : x − 2y + z + 3 = 0.. om. Bài 13.99 : Với các đường thẳng cho trong bài tập 13.98, trong trường hợp d và d′ chéo nhau hãy viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và (Q) song song với d′ và viết phương trình mặt phẳng (R) qua A(−1; 2; 3) đồng thời (R) song song với cả d và d′ . 8 > x = −2t <. Bài 13.101 : Cho hai đường thẳng. tb. x−1 y−2 z = = ; và d2 : y = −5 + 3t 2 −2 1 > : z = 4.. ∆:. y = −1 + t. > :. > :. y = 2t′ z = −1 + t′ .. 2. Tìm giao điểm (nếu có) của ∆ và ∆.. ://. 1. Xác định vị trí tương đối giữa ∆ và ∆′ .. và ∆′ :. ao. z = −t. 8 > x = 3 − t′ <. tra. 8 > x = 1 + 2t <. ng. d1 :. .c. Bài 13.100 : Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng cho bởi các phương trình sau :. . ht tp. Vấn đề 4 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P). −u và mặt phẳng (P) đi qua M và có một vectơ pháp tuyến → −n . Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương → 1 1. ∆ nằm trên (P) khi và chỉ khi. 8 −u .→ −n = 0 <→. : M ∈ ∆ thì M cũng thuộc (P). 0 0 8 −u .→ −n = 0 <→. 2. ∆ song song với (P) khi và chỉ khi. : M ∈ ∆ thì M không thuộc (P). 0 0. −u .→ −n , 0. 3. ∆ và (P) cắt nhau khi và chỉ khi →. Bài 13.102 : Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α), tìm giao điểm của chúng nếu có, biết : x − 12 y − 9 z − 1 = = , (α) : 3x + 5y − z − 2 = 0; 4 3 1 x+1 y−3 z 2. d : = = , (α) : 3x − 3y + 2z − 5 = 0; 2 4 3 x−9 y−1 z−3 3. d : = = , (α) : x + 2y − 4z + 1 = 0; 8 2 3 1. d :. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 262.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 4. d :. x−7 y−1 z−5 = = , (α) : 3x − y + 2z − 5 = 0; 5 1 4. 5. d là giao tuyến của hai mặt phẳng : (P) : 3x + 5y + 7z + 16 = 0 và (Q) : 2x − y + z − 6 = 0, (α) : 5x − z − 4 = 0. Bài 13.103 : Xác định giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong những trường hợp sau :. 1. d :. 8 > x = 12 + 4t <. y = 9 + 3t. > :. và (P) : 3x + 5y − z − 2 = 0.. z=1+t. 2. d là giao tuyến hai mặt phẳng : x + y + z − 2 = 0; x + 2y − z − 1 = 0 và (P) : x + y + 2z − 1 = 0.. om. Bài 13.104 : Cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) : 2kx + y − z + 1 = 0 và (α′ ) : x − ky + z − 1 = 0.. tb. .c. Với giá trị nào của k thì đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (Oyz). x − 12 y − 9 z − 1 Bài 13.105 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng d : = = và mặt phẳng (α) : 3x + 5y − z − 2 = 0. 4 3 1. ng. Vấn đề 5 : Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. . tra. −u . Khoảng cách từ điểm M(x ; y ; z ) đến đường thẳng ∆ là Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương → 0 0 0 h. ao. d(M, ∆) =. i −−−−−→ → M0 M1 , −u . −u | |→. ht tp. ://. Với bài toán viết phương trình đường thẳng khi biết khoảng cách ta thường làm như sau : − −u = (a; b; c) , → • Giả sử → 0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.. • Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c. • Xét hai trường hợp. – Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c. – Nếu a , 0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c. Chú ý : Với hai đường thẳng ∆, ∆′ và mặt phẳng (P), ta có : 1. Nếu ∆ cắt ∆′ thì khoảng cách giữa chúng bằng 0. 2. Nếu ∆ song song với ∆′ thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm M ∈ ∆′ đến ∆. 3. Nếu ∆ và ∆′ chéo nhau thì khoảng h cách giữa chúng tính theo công thức −′ −−−−−→′ −u ,→ [→ u ]. M0 M0 h= . −′ −u ,→ [→ u] 4. Nếu ∆ ∥ (P) thì khoảng cách giữa ∆ và (P) bằng khoảng cách từ một điểm thuộc ∆ đến (P).. Bài 13.106 : Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng cho trong bài tập 13.98.. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 263.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.107 : Cho đường thẳng ∆ : A(1; 0; 2).. x−1 y z+1 ′ x−6 y+1 z+2 = = ,∆ : = = , mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và điểm 2 1 3 2 −2 1. 1. Tính các khoảng cách từ A và O đến các đường thẳng ∆ và ∆′ . √ 2. Tìm điểm M trên Ox sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng 2 2. 3. Tìm điểm M trên Oy sao cho M cách đều ∆ và A. 4. Tìm điểm M trên Oz sao cho M cách đều ∆ và (P). 5. Tìm điểm M trên Ox sao cho M cách đều ∆ và ∆′ . 6. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho khoảng cách từ M đến ∆′ bằng 10.. Bài 13.108 : Cho đường thẳng d :. 8 > x = 3 + 2t <. và mặt phẳng (P) : x + y + z + 2 = 0.. y = −2 + t. > :. z = −1 − t. om. 7. Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho M cách đều ∆′ và (P).. Gọi A là giao điểm của d và (P). Viết phương trình ∆ nằm trong (P) sao cho ∆⊥d và d(A, ∆) =. .c. y = 3 + 2t. tb. Bài 13.109 : Cho đường thẳng d có phương trình. 8 > x = −1 − t <. √ 42.. > :. ng. z = 4 + 3t. √ 21 1. Tìm điểm M trên trục Ox cách d một khoảng bằng . 7. ://. ao. tra. √ x y z−1 13 42 2. Tìm điểm N trên đường thẳng = = cách d một khoảng bằng . 2 3 1 14 x+1 y−2 z Bài 13.110 : Cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng (P) : 2x + y + mz − 1 = 0. −1 2 3 √ 26 1. Tìm điểm M nằm trên giao tuyến của (P) với (Oxy) và có khoảng cách đến d bằng . 2 2. Tìm m sao cho d ∥ (P). Khi đó hãy tính khoảng cách từ d đến (P). x−1 y+3 z+2 = = . 1 2 −1. ht tp. Bài 13.111 : Cho đường thẳng d :. √ 5 2 1. Tìm điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến d là . 2 3 2. Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oyz) sao cho d(N, Oy) = d(N, Oz) = √ d(N, d). 15. Bài 13.112 : Cho đường thẳng d :. 8 > x = 2 + 4t <. y = 3 + 2t. > :. và mặt phẳng (P) : −x + y + 2z + 5 = 0.. z = −3 + t. 1. Chứng minh rằng d nằm trên (P). 2. Viết phương trình đường thẳng d′ nằm trong (P), song song với d và cách d một khoảng. √ 14.. Vấn đề 6 : Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu. . −u và mặt cầu (S ) tâm I(a; b), bán kính R. Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương → 1. Nếu d(I, ∆) > R thì mặt cầu (S ) và ∆ không có điểm chung.. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 264.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2. Nếu d(I, ∆) = R thì mặt cầu (S ) và ∆ có một điểm A chung. Khi đó ∆ được gọi là tiếp tuyến và A được gọi là tiếp điểm, đồng thời IA⊥∆. 3. Nếu d(I, ∆) < R thì mặt cầu (S ) và ∆ cắt nhau tại hai điểm A và B. Khi đó độ dài AB được tính theo công thức AB2 = R2 − d2 (I, (P)). 4. Bài 13.113 : Cho mặt cầu (S ) : (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z + 5)2 = 109 và đường thẳng d :. 8 > x = −5 + 3t <. y = −1 + 5t. > :. z = 9 − 4t.. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu. Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm trên.. om. Bài 13.114 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) : 5x − 4y + 3z + 20 = 0 và (α′ ) : 3x − 4y + z − 8 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; −1) và cắt d tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.. .c. Bài 13.115 : Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. tb. (S ) : x2 + y2 + z2 − 10x + 2y + 26z − 113 = 0 và song song với hai đường thẳng :. x y−1 z+1 = = và hai mặt phẳng 2 1 2. ao. Bài 13.116 : Cho đường thẳng d :. x + 5 y − 1 z + 13 = = ; d1 : y = −1 − 2t 2 −3 2 > : z = 8.. tra. d1 :. ng. 8 > x = −1 + 3t <. ://. (P) : x + y − 2z + 5 = 0; (Q) : 2x − y + z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).. ht tp. Bài 13.117 : Viết phương trình mặt cầu (S ) trong mỗi trường hợp sau : 1. có tâm I(1; 4; −7) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : 6x + 6y − 7z + 42 = 0. 2. có tâm H(6; −8; 3) và tiếp xúc với trục Oz. Bài 13.118 : Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z + 1 = 0 và x − y + z − 1 = 0 đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) : x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β) : x + 2y + 2z + 7 = 0. x y−1 z+1 Bài 13.119 : Cho đường thẳng d : = = và hai mặt phẳng 2 1 2 (α) : x + y − 2z + 5 = 0 và (β) : 2x − y + z + 2 = 0. 1. Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d với hai mặt phẳng (α) và (β). Tính độ dài đoạn thẳng AB. 2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và (β). Bài 13.120 : Cho điểm I(2; 3; −1) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x − 4y + 3z + 20 = 0 và 3x − 4y + z − 8 = 0. 1. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm I trên đường thẳng d. 2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB = 10. Bài 13.121 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 4x + 6y + 6z + 17 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y = 0 và 3y − 2z − 1 = 0.. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2.. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 265.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.122 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x − 2y − z + 1 = 0 và x + 2y − 2z − 4 = 0 và mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 + 4x − 6y + m = 0.. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S ) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.. Bài 13.123 : Cho ba điểm A(2; 4; 1), B(−1; 4; 0), C(0; 0; −3). 1. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. 2. Cho đường thẳng d :. 8 > x = 2 − 5t <. y = 4 + 2t. > :. z = 1.. Chứng minh rằng d cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm phân biệt. Tìm tọa độ hai giao điểm đó. Bài 13.124 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 8x − 11y + 8z − 30 = 0 và x − y − 2z = 0, mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 + 2x − 6y + 4z − 15 = 0.. om. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S ).. Vấn đề 7 : Góc giữa hai đường thẳng ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. .c. . tb. −′ −u , đường thẳng ∆′ đi qua M ′ và có một vectơ chỉ phương → Giả sử ∆ đi qua M0 và có một vectơ chỉ phương → u và mặt phẳng (P) : 0 → − ′ Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến là n = (A; B; C) thì góc ϕ giữa hai đường thẳng ∆ và ∆ ; góc ϕ giữa ∆ và (P) tính theo 2. ng. 1. −′ → −u .→ → −→ − u → − −u , u′ ) = → −u ,→ −n ) = u . n . cos ϕ1 = cos(→ và sin ϕ = cos( 2 −′ −u |.|→ −n | −u |.|→ |→ |→ u|. tra. công thức.. ao. Chú ý : Với bài toán viết phương trình đường thẳng khi biết góc ta thường làm như sau : − −u = (a; b; c) , → • Giả sử → 0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.. • Xét hai trường hợp. ://. • Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.. ht tp. – Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c. – Nếu a , 0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.. x+1 y−1 z−2 = = với trục Ox. 2 1 1 x+3 y+1 z−3 Bài 13.126 : Tìm góc tạo bởi giữa đường thẳng d : = = và mặt phẳng (α) : x + 2y − z + 5 = 0. 2 1 1 Bài 13.127 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x − z sin α + cos α = 0 và Bài 13.125 : Tìm góc tạo bởi đường thẳng d :. y − z cos α − sin α, với α là số thực. Tính góc tạo bởi đường thẳng ∆ và trục Oz.. Bài 13.128 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : ∆1 là giao tuyến của hai mặt phẳng x − ay − z − 1 = 0 và. y − 2 = 0 ; ∆2 là giao tuyến của hai mặt phẳng ax + 3y − a − 3 = 0 và z − 1 = 0. Xác định a để ∆1 và ∆2 hợp với nhau một góc 45◦ .. Bài 13.129 : Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −5; 3) và tạo với hai trục tọa độ Ox, Oy các góc bằng nhau và bằng 60◦ .. Bài 13.130 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (α) : x − y + z − 5 = 0 và ∆ :. x y−2 z = = . 1 2 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(3; −1; 1), nằm trong mặt phẳng (α) và hợp với đường thẳng ∆ một góc 45◦ .. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 266.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 13.131 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.. x+4 y−3 z+1 = = . Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi ∆ 2 1 −1. Chứng minh rằng cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. Chú ý :. • Khẳng định này còn đúng với đường thẳng ∆ bất kì. • Một khẳng định tương tự là thay đường thẳng ∆ bởi mặt phẳng (P) bất kì và góc α, β, γ lầ góc hợp bởi (P) với các mặt phẳng tọa độ. Bài 13.132 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho d:. x−3 y−4 z+3 = = và (α) : 2x + y + z − 1 = 0. 1 2 −1. Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (α).. .c. om. Bài 13.133 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y − 2 = 0 và y + z − 2 = 0 x−2 y−3 z+5 ; d2 : = = . 2 1 −1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và tạo với đường thẳng d2 một góc bằng 60◦ . Bài 13.134 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho. và (α) : 2x − y − 2z − 2 = 0.. y = −1 + 2t. ng. ∆:. tb. 8 > x = −t < > :. tra. z =2+t. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và tạo với mặt phẳng (α) một góc nhỏ nhất.. ao. Vấn đề 8 : Phương trình đường thẳng biết đường thẳng đó song song, hoặc vuông góc với đường thẳng hoặc mặt phẳng. ht tp. . ://. khác, hoặc nằm trên mặt phẳng khác. Dựa vào các quan hệ song song, vuông góc, nằm trong để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng như trong vấn đề 1. Chú ý :. → − • Nếu ∆ ∥ ∆′ thì u′ ∆ cũng là một vectơ chỉ phương của ∆. −n cũng là một vectơ chỉ phương của ∆. • Nếu ∆⊥(P) thì → P → − • Nếu ∆⊥∆′ thì u′ ∆ vuông góc với ∆. −n vuông góc với ∆. • Nếu ∆ ⊂ (P) hoặc ∆ ∥ (P) thì → P. • Khi viết phương trình theo trường hợp này phải kiểm tra tính song song hoặc nằm trong của đường thẳng cần viết.. Bài 13.135 : Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau :. 1. Đi qua M(4; 3; 1) và song song với đường thẳng ∆ :. 8 > x = 1 + 2t <. y = −3t. > :. z = 3 + 2t.. 2. Đi qua điểm M(−2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z + 1 = 0.. Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Trang 267.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 3. Đi qua điểm M(2; −1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng. ∆1 :. 8 >x = t <. x y+1 z+6 = = và ∆2 : y = 1 − 2t −1 1 −2 > : z = 0.. 4. Đi qua điểm M(1; 4; −2) và song song với các mặt phẳng (α) : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và (β) : 3x − 5y − 2z − 1 = 0. 5. Đi qua điểm A(1; 1; −2), song song với (P) : x − y − z − 1 = 0 và vuông góc với d :. x+1 y−1 z−2 = = 2 1 3. .c. om. Bài 13.136 : Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 1), song song với mặt phẳng (P) : x + 2y − z + 1 = 0 và vuông góc x+2 y z+1 với đường thẳng d : = = . 1 −2 3 Bài 13.137 : Tìm tập hợp những điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(−1; 2; 0), C(2; −3; 2). x+1 y−1 z−2 Bài 13.138 : Cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng (α) : x − y − z − 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua 2 1 3 A(1; 1; −2), song song với (α) và vuông góc với d. Bài 13.139 : Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) : 2x−y+z+5 = 0 và (α′ ) : 2x−z+3 = 0.. tb. > :. y = −1 + 3t. ng. Bài 13.140 : Cho đường thẳng ∆. 8 > x = 2 + 2t <. z = −4 + 3t.. tra. Viết phương trình đường thẳng ∆ dưới dạng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt song song với Ox và Oy.. ao. Vấn đề 9 : Phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ cắt ∆′. 1. Viết ∆′ theo tham số t hoặc t′ .. ://. . ht tp. 2. Giả sử ∆ cắt ∆′ tại A. Do A ∈ ∆′ nên A có tọa độ theo tham số t hoặc t′ . 3. Từ các dữ kiện bài toán ta thiết lập được phương trình để tìm được các tham số t và t′ . Từ đó viết được đường thẳng ∆. Chú ý :. −n ⊥→ − → − → − 1. → 1 n 2 khi và chỉ khi n 1 . n 2 = 0.. → − −n cùng phương → −n khi và chỉ khi [→ −n ,→ − 2. → 1 2 1 n 2 ] = 0 (hoặc tọa độ tương ứng tỉ lệ). −−→ −−→ 3. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC cùng phương. 4. Các bài toán dạng này có thể sử dụng phương pháp giao tuyến của hai mặt phẳng.. Bài 13.141 : Cho hai đường thẳng. 8 >x = 8 + t <. ∆1 :. y = 5 + 2t. > :. z =8−t. và ∆2 :. 8 > x = 3 − 7t′ <. y = 1 + 2t′. > :. z = 1 + 3t′ .. 1. Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343. Lop12.net. Trang 268.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>