Các chuyên đề luyện thi đại học môn toán

Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
1



PT.MPC. NGUYỄN VĂN TRUNG



CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI
ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
*****

CHUYÊN ĐỀ 1:
KHẢO SÁT HÀM SỐ -BÀI TOÁN LIÊN QUAN

DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 12-LTTN-CĐ-ĐH-NĂM 2013
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ PT.MPC
1. Nhận dạy kèm Toán, Lý, Hóa lớp 10, 11, 12 dễ hiểu, dễ nhớ.
2. Nhận dạy kèm Toán, Lý, Hóa luyện thi Đại Học bám sát nội
dung đề thi của bộ giáo dục hiện hành với nhiều mẹo, giải
nhanh chính xác Toán, Lý Hóa.




Do nhà giáo PT.MPC Nguyễn Văn Trung ba năm trung học
phổ thông 10, 11, 12 liên tục là học sinh giỏi toàn diện. Bốn năm
học Đại học liên tục là sinh viên khá và giỏi với điểm trung bình
toàn khóa 7,9 trực tiếp giảng dạy.



Địa chỉ: Số 133/8, Nguyễn Tri Phương nối dài, Phường Xuân
An, Thị xã Long Khánh-Tĩnh Đồng Nai




M
ọi chi tiết xin li
ên h
ệ
:

0917.492.457

-2 2
2
4
x
y
O
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
2




L
L


I
I

N
N
Ó
Ó
I
I


Đ
Đ


U
U



Chuyên đề “Khảo sát hàm số và bài toán liên quan” là một trong hệ thống
những chuyên đề luyện thi Đại học và Cao đẵng do PT.MPC. Nguyễn Văn Trung
phát hành. Nội dung chuyên đề được PT.MPC. Nguyễn Văn Trung hệ thống một
cách chính xác, ngắn gọn, dễ hiểu gồm 2 phần:
Phần I: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Phần II: Bài toán liên quan đến đến khảo sát hàm số
Bài tập “Khảo sát hàm số và bài toán liên quan” là một trong những bài tập mà
năm nào cũng có chiếm 2 điểm trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẵng. Vấn
đề khảo sát hàm số thường tương đối đơn giản vì nó đã có các bước sẵn rồi, chỉ
yêu cầu các thí sinh thực hiện đúng theo các bước và tính toán đúng là được, song
vấn đề bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thì lại tương đối phức tạp, vận
dụng rất nhiều kiến thức toán học đã học và thường gây không ít khó khăn cho
thí sinh. Chính vì lẽ đó mà chuyên đề này tôi chỉ tập trung vào vấn đề bài toán

liên quan đến khảo sát hàm số với hệ thống bài tập phong phú, đa dạng , phân
loại rõ ràng, dễ hiểu nhằm giũp các bạn thí sinh có thể làm nhanh, chính xác bài
toán này trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẵng. Đây là tài liệu rất hay, rất
bổ ích thiết thực đối với học sinh lớp 12 luyện thi tốt nghiệp THPT (chỉ cần làm
được 10% nội dung chuyên đề), đặc biệt là tài liệu luyện thi vào các trường Đại
học – Cao đẵng trên toàn quốc.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do công việc bận rộn, thời gian có hạn nên
khó tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót khi biên soạn và in ẩn, tôi mong nhận
được những ý kiến đóng góp quý báu và chân thành của bạn đọc. Mọi ý kiến
đóng góp xin gửi qua email:

. Hoặc qua: 0917.492.457

C
C
h
h
ú
ú
c
c


c
c
á
á
c
c

b
b
ạ
ạ
n
n


h
h
ọ
ọ
c
c


s
s
i
i
n
n
h
h


h
h
ọ

ọ
c
c


t
t
ậ
ậ
p
p


đ
đ
ạ
ạ
t
t


k
k
ế
ế
t
t


q

q
u
u
ả
ả


c
c
a
a
o
o
.
.


P
P
T
T
.
.
M
M
P
P
C
C
.

.

Nguyễn Văn Trung












Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
3



CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
******
PHẦN I: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC PHẢI NHỚ:
1. Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2

, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ <

+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ >

2. Định lí về tính đơn điệu của hàm số:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo
hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài toán 1: Xét tính đơn điệu của một hàm số y = f(x)
Bài 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
1. y = x
3
– 3x

2
2.
3 2
3
y x x
= − +
3.
3 2
2 3 1
y x x
= + −
4.
3 2
1 3
5
4 2
y x x
= − +

5.
3 2
3x 2
y x
= − +
6.
3 2
3x 1
y x
= + −

7.
3 2
3x 2
y x
= − − −
8.
3 2
3x 2
y x
= − +

9.
3 2
6x 9x 1
y x
= − + +
10.
3 2
1
2 3x
3
y x x
= − +

11.
3 2
1 1
3 3
y x x
= − +

12.
3 2
2x 9x 12x 4
y
= − + −

13.
3
3x+2
y x= +
14.
3 2
3x 4
y x
= − + −

15.
3 2
4x 6x 1
y
= − +
16.
3 2
3x 4
y x
= − +

17.
3 2
2x 1

y x
= − +
18. y = x
3
– 3x
2
+ 3
19. y =
2
3
x
3
– x
2
– 4x +
2
3
.
Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
1. y = x
4
– 2x
2
+ 1 2.
4 2
1
( ) 2
4
y f x x x
= = −

2.
4 2
8 10
y x x
= − +
3.
4 2
2 4
y x x
= −

Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
4



5.
4 2
2
y x x
= −
6.
4 2
6
y x x
= − − +

7. y = x
4
– 2x
2

Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
1.
3 2
1
x
y
x
−
=
+
2.
2 1
1
x
y
x
−
=
−

3.
2 1
2
x
y

x
+
=
−
4.
2x+1
2 1
y
x
=
−

5.
1
x
y
x
=
−
6.
2 3
1
x
y
x
+
=
+

7.

-3x-1
1
y
x
=
−
8.
2x
1
y
x
=
+

9.
x+2
2 3
y
x
=
+
10.
2x+1
1
y
x
=
+

Bài 4: Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

1
2
1
x-1
x x
y
− + −
=
2.
2
2 4
x-2
x x
y
− +
=

3.
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=
−
4.
1

4
x
y
x
= +

5.
2
2 2
x+2
x x
y
+ +
=
6.
2
1
x+2
x x
y
+ +
=

7.
2
3
2
x
y
x

−
=
+
8.
2
2
3
x x
y
x
+ −
=
+

Bài 5: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
1.
2
3x
y x
= −
2.
2
3x 2
y x
= − +

3.
2 2
y x a x
= + −

4.
2
16
y x
= −

5.
2
y = 25-x
6.
2
2x
y x
= −

7.
= − + −
2
1 4
y x x

Bài 6: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
1.
(
)
2sinx 0 2
y x x
π
= − < <
2.

[
]
sinx, 2 ;2
y x x
π π
= − ∈ −

3.
ln x
y x
= −

Bài 7:
1. Chứng minh hàm số
2
2
y x x
= −
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
2. Chứng minh hàm số
2
9
y x
= −
đồng biến trên nửa khoảng [3; +
∞
).
3. Hàm số
4
y x

x
= +
nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
4. Hàm số
3
2 1
x
y
x
−
=
+
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
5. Hàm số
2
2 3
2 1
x x
y
x
+
=
+
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
6. Hàm s
ố
2
8
y x x
= − + +

nghịch biến trên R.
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
5




Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định,
trên một đoạn hoặc một khoảng.
Loại 1: Đơn điệu trên tâp xác định.
Bài 1: Cho hµm sè y =
(
)
(
)
2512123
23
++++− xmxmx
. T×m m ®Ó hµm sè lu«n ®ång
biÕn.
Bài 2: Với giá trị nào của a, hàm số
( ) ( )
3 2
1
y f x x 2x 2m 1 x 3m 2
3
= = − + + + − +

T×m m ®Ó hµm sè lu«n nghịch biÕn.
Bài 3: Cho hàm số
(
)
3 2
f(x) mx 3x m 2 x 3
= − + − +
nghịch biến trên R ?
T×m m ®Ó hµm sè lu«n nghịch biÕn.
Bài 4: Cho hàm số
y m x mx m x
3 2
1
( 1) (3 2)
3
= − + + −
(1). Tìm tất cả các giá trị của tham
số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
Bài 5: Cho hµm sè y =
(
)
(
)
(
)
12223212
223
−++−−+− mmxmmxmx
. Chøng minh
r»ng hµm sè kh«ng thÓ lu«n lu«n ®ång biÕn.

Bài 6: Cho hàm số
mx 1
y
x m
+
=
+
.
T×m m ®Ó hµm sè
luôn
đồ
ng bi
ế
n trên t
ừ
ng kho
ả
ng
xác
đị
nh c
ủ
a nó
Bài 7:
Cho hàm s
ố

( )
2
3x mx 2

f x
2x 1
− + −
=
−
. T×m m ®Ó hµm sè luôn đồng biến trên
từng khoảng xác định của nó
Loại 2: Đơn điệu trên khoảng
(
)
a;∞−
hoặc
(
)
+∞;a

Bài 1: Cho hàm số y =
(
)
1122
3
2
223
+−−+− xmmmxx

T×m m ®Ó hµm sè luôn ®ång biÕn trong kho¶ng
(
)
+∞
;1

.

Bài 2: Cho hàm số y =
(
)
6316)2(32
23
+−+++− mxmxmx

T×m m ®Ó hµm sè luôn ®ång biÕn trong kho¶ng
(
)
+∞
;5
.
Bài 3:
Cho hàm số y =
(
)
(
)
2512123
23
++++− xmxmx

T×m m ®Ó hµm sè luôn ®ång biÕn trong kho¶ng
(
)
1;
−

∞
−
.
Bài 4:
Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
y mx m 1 x 3 m 2 x
3 3
= − − + − +

T×m m ®Ó hµm sè luôn đồng biến trên
[
)
2;
+∞
.
Bài 5: Cho hàm số
y x x mx
3 2
3 4
= + − −
(1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
( ;0)
−∞
.
Bài 6: Cho hàm số
y x m x m m x

3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
= − + + + +
có đồ thị (C
m
).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2; )
+∞

Bài 7: Cho hàm số
mx
y
x m
4
+
=
+
(1)
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
6



Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
( ;1)
−∞
.

Bài 8: Cho hàm số y =
2
26
2
+
−+
x
xmx

T×m m ®Ó hµm sè luôn nghÞch biÕn trong kho¶ng
(
)
+∞
;1
.
Loại 3: Đơn điệu trên khoảng (a; b)
Bài 1: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 4
3
y x m x m x
−
= + − + + −

T×m m ®Ó hµm sè luôn ®ång biÕn đồng biến trên (0, 3)
Bài 2: Cho hàm số y =
mmxx −+−
23

T×m m ®Ó hµm sè luôn ®ång biÕn trong kho¶ng
(
)
2;1
.
Bài 3: Cho hàm số
4 2
2 3 1
y x mx m
= − − +
(1), (m là tham số).
Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
Câu 4: Cho hàm số
1
23
++−= mxxy

Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Bài 5: Cho hµm sè y =(m - 3)x - (2m + 1 )cosx. T×m m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn.
Bài 6: Tìm m để
( ) ( )
2
4 5 cos 2 3 3 1
y m x m x m m
= − + − + − +
giảm
x
∀ ∈
ℝ

Bài 5. Tìm m để hàm số
1 1
sin sin 2 sin 3
4 9
y mx x x x
= + + +
tăng với mọi
x
∈
ℝ

Loại 5: Đơn điệu trên đoạn có độ dài
x
∆

Bài 1: Cho hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
1
1 2 1 3 2
3
y m x m x m x m
= + + − − + +
.
Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Cho hàm số
(
)

m
C
( )
( )
3
2 2
2
3
x
y f x mx m m x
= = − + + −
. Tìm m để hàm số
(
)
m
C
:
1. Đồng biến trên miền xác định.
2. Nghịch biến trên khoảng
(
)
0; 2

3. Đồng biến trên khoảng
(
)
4;
− +∞

4. Nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

5. Đồng biến trên hai khoảng
(
)
; 4
−∞ −
và
(
)
2;
+∞

Bài 2: Cho hàm số
(
)
m
C
( )
( )
3 2
2 2
3 3
x m
y f x mx m m x
= = − + + − +
. Tìm m để hàm số
(
)
m
C
:

1. Nghịch biến trên miền xác định.
2. Đồng biến trên khoảng
(
)
0; 2

3. Nghịch biến trên khoảng
(
)
6;
+∞

4. Nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.
5. Đồng biến trên hai khoảng
(
)
; 0
−∞
và
(
)
6;
+∞





Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
7



Bài toán 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẵng thức
Phương pháp: Chứng minh
(
)
(
)
(
)
, ;
f x g x x a b
> ∀ ∈

Bước 1: Viết
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

, ; 0 ;
f x g x x a b f x g x x a b
> ∀ ∈ ⇔ − ≥ ∀ ∈

Bước 2: Đặt
(
)
(
)
(
)
h x f x g x
= −
và tính
(
)
,
h x

Bước 3: Lập bảng biến thiên cho hàm h(x). Từ bảng biến thiên nhận xét để suy ra
kết qủa.
Bài 1: Chứng minh các bất đẵng thức sau:
1.sinx tanx 2x
+ >
với
0
2
x
π
< <

2.
3
tanx
3
x
x
> +
với
0
2
x
π
< <

3.
2sinx tanx 3
x
+ −
với
0
2
x
π
< <
4.
tanx sinx
>
với
0
2

x
π
< <

Bài 3: Cho hai số thực a, b thõa mãn
0 1
a b
< < <

Chứng minh rằng:
2 2
ln ln ln ln
a b b b a b
− > −
(CĐ-2009)
Bài 4: Cho hai số thực a, b thõa mãn
0
a b
< <

Chứng minh rằng:
(
)
(
)
1 1
b a a b
+ > +

VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC PHẢI NHỚ:
1. Điều kiện cần của cực trị:
* Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại
0
x
và đại cự trị tại
( )
,
0 0
0
x f x
⇒
=

2. Các địn lý:
Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) và
(
)
0
;
x a b
∈

* Định lý 1:
a.
(
)
(
)

( ) ( )
,
0 0
0
,
0 0
0, ;
0, ;
f x x x h x
x
f x x x x h

> ∀ ∈ −

⇒

< ∀ ∈ +


là điểm cực đại của hàm số f(x)
b.
(
)
(
)
( ) ( )
,
0 0
0
,

0 0
0, ;
0, ;
f x x x h x
x
f x x x x h

< ∀ ∈ −

⇒

> ∀ ∈ +


là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
* Định lý 2:
a.
(
)
( )
,
0
,
0
0
f x
x
f x

=


⇒

>


là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
b.
(
)
( )
,
0
,
0
0
f x
x
f x

=

⇒

<


là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
3. Qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
* Qui tắc 1.

Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x)= 0 hoặc f’(x) không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị


Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
8



* Qui tắc 2.
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là x
i
là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính f ”(x
i
)
Bước 4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
; ( f ”(x
i

) < 0 thì hàm số có cực đại tại x
i
)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình
f’(x) = 0 phức tạp.
II. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Phương pháp: Sử dụng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1. y = x
3
– 3x
2
2.
3 2
3
y x x
= − +
3.
3 2
2 3 1
y x x
= + −
4.
3 2
1 3
5
4 2
y x x
= − +

5.
3 2
3x 2
y x
= − +
6.
3 2
3x 1
y x
= + −

7.
3 2
3x 2
y x
= − − −
8.
3 2
3x 2
y x
= − +

9.
3 2
6x 9x 1
y x
= − + +
10.
3 2

1
2 3x
3
y x x
= − +

11.
3 2
1 1
3 3
y x x
= − +
12.
3 2
2x 9x 12x 4
y
= − + −

13.
3
3x+2
y x= +
14.
3 2
3x 4
y x
= − + −

15.
3 2

4x 6x 1
y
= − +
16.
3 2
3x 4
y x
= − +

17.
3 2
2x 1
y x
= − +
18. y = x
3
– 3x
2
+ 3
19. y =
2
3
x
3
– x
2
– 4x +
2
3
.

Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1. y = x
4
– 2x
2
+ 1 2.
4 2
1
( ) 2
4
y f x x x
= = −

2.
4 2
8 10
y x x
= − +
3.
4 2
2 4
y x x
= −

5.
4 2
2
y x x
= −
6.

4 2
6
y x x
= − − +

7. y = x
4
– 2x
2

Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1.
3 2
1
x
y
x
−
=
+
2.
2 1
1
x
y
x
−
=
−

3.
2 1
2
x
y
x
+
=
−
4.
2x+1
2 1
y
x
=
−

5.
1
x
y
x
=
−
6.
2 3
1
x
y
x

+
=
+

Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
9



7.
-3x-1
1
y
x
=
−
8.
2x
1
y
x
=
+

9.
x+2
2 3
y

x
=
+
10.
2x+1
1
y
x
=
+

Bài 4: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1
2
1
x-1
x x
y
− + −
=
2.
2
2 4
x-2
x x
y
− +
=

3.

( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=
−
4.
1
4
x
y
x
= +

5.
2
2 2
x+2
x x
y
+ +
=
6.
2
1
x+2

x x
y
+ +
=

7.
2
3
2
x
y
x
−
=
+
8.
2
2
3
x x
y
x
+ −
=
+


Bài 5: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1.
2

1
y x x
= −
2.
2
1 3x
y x
= + −

3.
3
2
6
y x x
= −
4.
(
)
3
7 5
y x x
= − +

5.
2
10
x
y
x
=

−
6.
3
2
6
x
y
x
=
−

Bài 6: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1.
2
2 2
y x x
= − +
2.
2
2x 3x 5
y
= − + +

Bài 7: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1.
2
sin
y x
=
2.

2sinx
y x
= +

3.
osx-sinx
y c
=
4.
sinx osx
y c
= +

5.
3 2sinx
y x= −
6.
3 2 osx
y x c= −

7.
2x 3
3sinx osx
2
y c
+
= + +
8.
1
osx os2x

2
y c c= +

9.
[
]
2
sin x- 3cos , 0;
y x x
π
= ∈
10.
[
]
2
sin x- 3cos , 0;
y x x
π
= ∈

Bài 8: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1.
(
)
(
)
2 ln 1
y x x
= − − −
2.

(
)
ln 2
y x x
= − +

Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x
0

Bài 1: (TNPT-2012) Xác định giá trị của tham số m để hàm số
(
)
3 2
2 1
y f x x x mx
= = − + +
đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 2: Cho hàm số:
( )
3 2 2
1
1 1
3
y x mx m m x
= − + − + +
.
a.Tìm m để hàm số để hàm số đạt cực đại tại x = 1
b. Tìm m để hàm số để hàm số đạt cực tiểu x = 3
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
10



Bài 3: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
2x 3 2 1 x 12 27 2
y m m x
= − + + + +
.
a.Tìm m để hàm số để hàm số đạt cực đại tại x = -3
b. Tìm m để hàm số để hàm số đạt cực tiểu x = -1
Bài 4: Cho hàm số
(
)
4 2
1 x -mx 2 1
y m m
= − + −
. Tìm m để hàm có cực tiểu tại x = 1.
Bài 5: Cho hàm số
2
1
x mx
y

x m
+ +
=
+
. Tìm m để hàm số đạt cực đại cực đại tại x = 2.
Bài 7: Cho hàm số
3 2
2
x x 5
3
y m m x
 
= − + − +
 
 
. Tìm m để hàm số đạt cực tại x=1. Tại x=1
hàm số đạt cực đại hay cực tiểu?
Bài 8: Cho hàm số y = x
3
– ( m + 2 )x
2
+ mx + 5. Tìm m để hàm số để hàm số đạt
cực đại tại x = -1
Bài 9: Cho hàm số
3 2
ax
y x bx c
= + + +
. Tìm a, b, c để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =
1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2.

Bài 10: Cho hàm số
( )
3
2
x
x 5 1
3
y m n x
= + + + +
. Tìm m, n để hàm số đạt cực trị là 0 và 1.
Bài 11: Cho hàm số
( )
1
q
y f x x p
x
= = + +
+
. Tìm p, q để hàm số đạt cực đại tại x =-2
và giá trị y
CĐ
=-2
Bài toán 3: Tìm tham m để hàm số có k cực trị (k =0, 1, 2, 3)
Bài 1: Tìm m để hàm số sau không có cực trị.
a.
(
)
3
2 x 2
y m mx

= − − +

b.
2
3
3 3 2
3
x
y mx x
= − + +

c.
(
)
3 2
3 3 1 4
y x x m x
= − + − +

d.
y x m x m x m
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + − + − + +

Bài 2: Tìm m để hàm số sau có 1 cực trị.
a. y =
2
3
x

3
– mx
2
– 2(3m
2
– 1)x +
2
3

b. y = x
3
–3(m +1)x
2
+ 9x - m
c.
(
)
4 2
x 2 3 2
y m x
= − + −

d.
4 2 2
2( 2) 5 5
y x m x m m
= + − + − +

Bài 3: Tìm m để các hàm số sau có 2 cực trị (cực đại, cực tiểu):
a.

(
)
3 2
x 2 1
y mx x m
= + − + −

b.
3 2 2
2
x 2
3
y mx m x
 
= − + − − +
 
 

Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
11



c.
( ) ( )
3 2
1
x 1 5 2

3
y m x m x
= − + − + +

d.
(
)
2
2 2 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+

Bài 4: Tìm m để các hàm số sau có 3 cực trị:
a.
(
)
4 2 2
x 9 3
y m m x
= − − +

b.
4 2 2
2 1y x (m )x m= − + +

c.
4 2
2 1
y x (m )x m
= − + +

d.
4 2 2
2 1
y x m x
= − +

Bài 5: Cho hàm số
y x mx
4 2
1 3
2 2
= − +
(1)
Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài 6: Cho hàm số : y = mx
4
+ (m
2
– 9)x
2
+ 10 (1) (m là tham số).
Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị.
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực trị
Bài 1: Cho hàm số

3 2 3
3 3
(1),
= − +y x mx m
m
là tham số thực.
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C
m
)
trên.
Bài 2: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
2 3 6 2 1
( )
1
m
y x m x m
C
x= + − + − −
là tham số thực.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
(C
m
) trên.
Bài 3: Cho hàm số y = x
4

– 2 mx
2
+ m
2
- m (1)
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C
m
)
trên.
Bài 4: Cho hàm số
4 2 2
( ) 2( 2) 5 5
= = + − + − +
y f x x m x m m

m
C
( )
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
(C
m
) trên.
Bài 5: Cho hàm số y = x
3
–3mx
2
+ 3(m
2
- 1)x - m

3
+4m-1(1)
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C
m
)
trên.
Bài 6: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 2 2
3 3 1 3 1 1
y x x m x m= − + + − − −

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
(C
m
) trên.
Bài 7: Cho hàm số
y x mx m x m m
3 2 2 3 2
3 3(1 )
= − + + − + −
(1)
Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x mx

= − − +
có đồ thị là (C
m
).
Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị
song song với đường thẳng d:
y x
4 3
= − +
.

Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
12



Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện
Loại 1: Cực trị thõa mãn điều kiện liên quan đến tam giác.
Dạng 1: Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị hoặc 2 điểm cực cực trị và một
điểm khác tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông hoặc tam giác vuông cân
Bài 1: Cho hàm số
4 2 2
2 1 1
y x (m )x m ( )
= − + +
,với m là tham số thực.

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác
vuông.
Bài 2: Cho hàm số
4 2 2
2 1
y x m x
= − +
(1) (m là tham số).
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông
cân.
Bài 3: Cho hàm số y = x
4
– 2 mx
2
+ m
2
- m (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông.
Bài 4: Cho hàm số
4 2 2
( ) 2( 2) 5 5
= = + − + − +
y f x x m x m m

m
C
( )
.
Tìm các giá trị của m để đồ thị
m

C
( )
của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo
thành 1 tam giác vuông cân.
Bài 5: Cho hàm số y = x
3
–3mx
2
+ 3(m
2
- 1)x - m
3
+4m-1(1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông
tại O, trong đó O là góc tọa độ.
Bài 6: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2 2 2
3 3 1 3 1 1
y x x m x m= − + + − − −

Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu
cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
Bài 7: Cho hàm số y = x
4
– 2m
2

x
2
+ 1 (1)
Tìm m để đồ thị h/s (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Bài 8: Cho hàm số
4 2
y x 2x 2 m
= − + −
có đồ thị (C
m
) với m là tham số .
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của
đồ thị (
m
C
) là một tam giác vuông cân.
Bài 9: Cho hàm số
55)2(2
224
+−+−+= mmxmxy
.
Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành một tam giác
vuông cân.
Bài 10: Cho hàm số
mmmxxy −+−=
224
22
(1) với m là tham số thực.
Định m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác
vuông.

Bài 11. Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m m
= − + − − +
(1)
Tìm m để hàm số (1) có cực trị và các điểm cực trị đó với gốc tọa độ tạo thành một
tam giác vuông tại O
Bài 12. Cho hàm số
23
23
+−−= mxxxy
(1) với m là tham số thực.
Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.

Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
13



Dạng 2: Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị hoặc 2 điểm cực cực trị và một
điểm khác tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều
Bài 1: Cho hàm số y = -x
4
+ 2 m
2
x

2
+ 1 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị tạo thành một tam giác đều.
Bài 2: Cho hàm số
(
)
m
Cmmxmxy 55)2(2
224
+−+−+=

Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Bài 3: Cho hàm số
4 2 4
y x 2mx 2m m
= − + +
(1)
Xác định m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực
tiểu của đồ thị hàm số (1) lập thành một tam giác đều.
Bài 4: Cho hàm số
y x m x m
4 2
4( 1) 2 1
= − − + −

Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m

) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Dạng 3: Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị hoặc 2 điểm cực cực trị và một
điểm khác tạo thành ba đỉnh của một tam giác biết diện tích
Bài 1: Cho hàm số
3 2 3
3 3
(1),
= − +y x mx m
m
là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện
tích bằng 48.
Bài 2: Cho hàm số y = x
4
-8 m
2
x
2
+ 1 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện
tích bằng 64.
Bài 3: Cho hàm số y = x
4
-2mx
2
+ 5 – m (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện
tích bằng
243

.
Bài 4: Cho hàm số y = -x
3
+3x
2
–m (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 cực trị, đồng thời các điểm cực trị cùng với góc tọa
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
Bài 5: Cho hàm số
(
)
(
)
3 2
3 3 1 1 3
m
y x x m x m C
= − + − + +

Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng
với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 .
Bài 6. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ m , (1).
Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu và
gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
Bài 7.Cho hàm số
4 2

2 1
y x mx m
= + − −
(1) , với m là tham số thực.
Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
tạo thành một tam giác có diện tích bằng
4 2
.
Bài 8.Cho hàm số
4 2 2
y x 2 m x 1
= − −
(1), trong đó m là tham số thực.
Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam
giác có diện tích bằng 32.
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
14



Bài 9: Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x

= − +
(1)
Gọi
A, B
lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M
thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
Bài 10: Cho hàm số
y x mx m m
4 2 4
2 2
= − + +
có đồ thị (C
m
) .
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm
cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.
Loại 2: Tìm tham số m để đồ thi hàm số có 2 điểm cực trị và một điểm khác
cho trước có độ dài liên hệ với nhau
Bài 1: Cho hàm số
4 2
2 1
y x (m )x m
= − + +
(1), m là tham số.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc
tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Bài 2: Cho hàm số Cho hàm số y = -x
3

–3x
2
+ 3(m
2
-1)x -3m
2
-1 (1). m là tham số.
Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
cách đều gốc tọa độ.
Bài 3: Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m m
= − + − − +
(1)
Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị
hàm số đến gốc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm
số đến gốc tọa độ O.
Bài 4:Cho hàm số
(
)
m
C
(
)
(
)
3 2

3 3 1 4
y f x x x m x
= = − + − +
. Tìm m để
(
)
m
C
có:
Hai điểm cực trị A; B sao cho
2 5
AB =

Loại 3: Tìm tham số m để đồ thi hàm số có 2 điểm cực trị và một điểm khác
cho trước thẳng hàng
Bài 1: Cho hàm số y =2x
3
– 3( m-1)x
2
+ m (1), m là số thực
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có cực trị, kí hiệu A, B sao cho ba điểm A, B và I(3; 1)
thẳng hàng.
Bài 2: Cho hàm số
(
)
m
C
(
)
(

)
3 2
3 3 1 4
y f x x x m x
= = − + − +
. Tìm m để
(
)
m
C
có:
Tìm m để
(
)
m
C
có hai điểm cực trị A; B sao cho AB thẳng hàng với
(
)
1; 1
C
−
.
Loại 4: Tìm tham số m để đồ thi hàm số có ba điểm cực trị và đường tròn đi
qua ba điểm này có bán kính bằng a.
Bài 1: Cho hàm số
12
24
+−= mxxy
(1)

1. Tìm cực trị của hàm số (1) khi m = 1
2.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường
tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1.
Bài 2: Cho hàm số y = x
4
– 2mx
2
+ m – 1 . (1)
Xác định m để hàm số (1) có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo
thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Loại 5: Tìm tham số m để hai điểm cực trị có hoành độ thõa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: Cho hàm số y =
2
3
x
3
– mx
2
– 2(3m
2
– 1)x +
2
3
(1), m là tham số thực.
Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x
1
và x
2
sao cho x
1

.x
2
+ 2(x
1
+ x
2
) = 1
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
–(m +2)x
2
+ (1-m )x +3 m -1 (1)
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
15



Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
− =
.
Bài 3: Cho hàm số y = x

3
–3(m +1)x
2
+ 9x - m (1)
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
− =
.
Bài 4: Cho hàm số y = x
3
–3(m +2)x
2
+ 9x - m -1(1)
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
− ≤
.
Bài 5: Cho hàm số

y x m x m x m
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + − + − + +
, với
m
là tham số thực. Xác
định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
x x
1 2
,
sao cho
x x
1 2
1
3
− >
.
Bài 6: Cho hàm số
y m x x mx
3 2
( 2) 3 5
= + + + −
, m là tham số.
Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có
hoành độ là các số dương.
Bài 7: Cho hàm số
y x mx x

3 2
4 –3
= +
.
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
x x
1 2
,
thỏa
x x
1 2
4
= −
.
Bài 8: Cho hàm số y = 1/3. x
3
– (m -1)x
2
+ 3(m-2)x + 1/3, với
m
là tham số thực.
Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
x x
1 2
,
sao cho
x x
1 2

2 1
+ =
.
Bài 9: Cho hàm số y = 1/3x
3
–1/2mx
2
+ (m
2
-3)x (1)
Tìm các giá trị m để hàm số có cực đại tại
CD
x
, cực tiểu tại
CT
x
, đồng thời
CD
x
,
CT
x
là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
5
2
.
Bài 10: Cho hàm số
y x m x m x m
3 2
(1–2 ) (2 – ) 2

= + + + +
(m là tham số) (1).
1. Tìm cực trị của hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng
thời hoành độ nhỏ hơn 1.
Bài 11: Cho hàm số
y x m x m m x
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
= − + + − − + −
(m là tham số) có đồ thị là
(C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Bài 12: Cho hàm số
3 2
1
(2 1) 3
3
y x mx m x
= − + − −
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục

tung
Bài 13: Cho hàm số
(
)
m
C
(
)
(
)
3 2
3 3 1
y f x x x m x
= = + − −
. Tìm m để
(
)
m
C
có:
a. Hai điểm cực trị A; B nằm cùng phía với trục Oy.
b. Hai điểm cực trị A; B nằm khác phía với trục Oy.
Bài 14: Cho hàm số
(
)
m
C
( )
( )
3

2 2
2
3
x
y f x mx m m x
= = − + + −
. Tìm m để:
a. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ nhỏ hơn 1.
b. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ lớn hơn -1.
c. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ nằm trong
2; 3
 
−
 

d. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ dương.
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
16



e. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ âm.
f. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ trái dấu nhau.
g. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ cùng dấu nhau.
Bài 15: Cho hàm số
3 2
1 2
3 3

y x mx x m
= − − + +
có đồ thị
m
C
( )
.
Tìm m để
m
C
( )
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ
lớn hơn 15.
Bài 16: Cho hàm số
y x x mx
3 2
3 1
= + + +
; với
m
là tham số thực.
Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
x x
1 2
,
sao cho
x x
1 2

2 3
+ =

Bài 17: Cho hàm số y = x
3
– (2m – 1)x
2
+ (2 - m)x + 2 (1), với m là tham số thực.
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ
thị hàm số (1) có hoành độ dương.
Bài 18: Cho hàm số y = x
3
– 3(m +1)x
2
+ 3m(m+2)x + 1
1. Tìm cực trị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Chứng minh rằng hàm số có cực trị với mọi giá trị của m. Xác định m để hàm số
có cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương.
Bài 19: Cho hàm số y = 1/3.x
3
-1/2(m+3)x
2
-2(m+1)x +1 (1)
Tìm m để hàm số có 2 cực trị với hoành độ lớn hơn 1.
Loại 6: Tìm tham số m để hai điểm cực trị có tung độ thõa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
–3(m +1)x
2
+ 9x - m (1)

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu sao cho y
CĐ
+y
CT
=2
Bài 2: Cho hàm số
(
)
m
C
(
)
(
)
3 2
3 3 1
y f x x x m x
= = + − −
.
2. Tìm m để
(
)
m
C
có:
a. Hai điểm cực trị A; B nằm khác phía với trục Ox.
b. Hai điểm cực trị A; B nằm cùng phía với trục Ox.
Loại 7: Tìm tham số m để hai điểm cực trị đối xứng qua một đường thẳng cho trước.
Bài 1: Cho hàm số
y x mx m

3 2
3 3 1
= − + − −
. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có
điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d:
x y
8 74 0
+ − =
.
Bài 2: Cho hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
= − + (m là tham số) có đồ thị là (C
m
)
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
y = x.
Bài 3: Cho hàm số
y x x mx
3 2
3= − +
(1).
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối
xứng với nhau qua đường thẳng d:
x y
–2 –5 0
=

.
Bài 4: Cho hàm số
y x m x x m
3 2
3( 1) 9 2
= − + + + −
(1) có đồ thị là (C
m
)
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng d:
y x
1
2
=
.
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
17



Bài 5: Cho hàm số y = - x
3
– 3x
2
+ mx + 1 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại và cực tiểu đồng thời chúng đối xứng nhau
qua đường thẳng

1 5
4 4
y x
= − −
.
Loại 8: Tìm tham số m để hai điểm cực trị cách đều đường thẳng cho trước.
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ mx +2 (1)
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số cách đều đường thẳng x –y – 1=0.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
3 2
y x x mx
= − − +
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng
y x
1
= −
.
Bài 3: Cho hàm số
(

)
m
C
(
)
(
)
3 2
3 3 1 4
y f x x x m x
= = − + − +
.
Tìm m để
(
)
m
C
có hai điểm cực trị A; B sao cho AB cách đều đường thẳng
∆
: y = 2.
Loại 9: Tìm tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tiếp xúc với
đường tròn (C) cho trước hoặc cách một điểm M cho trước 1 khoảng bằng a.
Bài 1: Cho hàm số
(
)
m
C
(
)
(

)
3 2
3 3 1
y f x x x m x
= = + − −
.
Tìm m để
(
)
m
C
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tiếp xúc với đường tròn
( ) ( )
2 2
1 1 4
x y
− + − =

Bài 2: Cho hàm số
(
)
m
C
(
)
(
)
3 2
3 3 1
y f x x x m x

= = + − −
.
Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cách góc tọa độ một đoạn khoảng bằng 1.

Bài tập tổng hợp cực trị
Bài 1: Cho hàm số
(
)
m
C
( )
( )
3
2 2
2
3
x
y f x mx m m x
= = − + + −
. Tìm m để:
1. Hàm số có cực đại nằm trên trục Oy.
2. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ nhỏ hơn 1.
3. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ lớn hơn -1.
4. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ nằm trong
2; 3
 
−
 

5. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ dương.

6. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ âm.
7. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ trái dấu nhau.
8. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm có có hoành độ cùng dấu nhau.
9. Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại điểm tại
1 2
;
x x
sao cho
(
)
3 3
1 2
x x
+
nhỏ nhất.
Bài 2: Cho hàm số
(
)
m
C
(
)
(
)
3 2
3 3 1 4
y f x x x m x
= = − + − +
. Tìm m để
(

)
m
C
có:
1. Hai điểm cực trị A; B sao cho AB thẳng hàng với
(
)
1; 1
C
−
.
2. Hai điểm cực trị A; B sao cho
2 5
AB
=

3. Hai điểm cực trị A; B sao cho AB cách đều đường thẳng
∆
: y = 2.
Bài 3: Cho hàm số
(
)
m
C
(
)
(
)
3 2
3 3 1

y f x x x m x
= = + − −
. Tìm m để
(
)
m
C
có:
1. Hai điểm cực trị A; B sao cho tam giác OAB vuông tại O.
2. Hai điểm cực trị A; B nằm khác phía với trục Ox.
3. Hai điểm cực trị A; B nằm khác phía với trục Oy.
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
18



4. Hai điểm cực trị A; B nằm cùng phía với trục Ox.
5. Hai điểm cực trị A; B nằm cùng phía với trục Oy.
6. Hai điểm cực trị A; B nằm cách đều đường thẳng y = 5.
7. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cách góc tọa độ một đoạn khoảng bằng 1.
8. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tiếp xúc với đường tròn
( ) ( )
2 2
1 1 4
x y
− + − =

9. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.

10. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có
diện tích bằng 8.

VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I. KIẾN THỨC PHẢI NHỚ:
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trong D
(
)
* max
M f x
=
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
0
0
,
* max
,
0,
* min
,
f x M x D
M f x
x D f x M

f x x D
m f x
x D f x m
≤ ∀ ∈


= ⇔

∃ ∈ =


≥ ∀ ∈

= ⇔

∃ ∈ =



2. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:
a. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
(
)
;
a b
:
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) và tìm những điểm y’ không xác định
hoặc bằng không.
Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số.
b. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) và tìm những điểm y’ không xác định
hoặc bằng không nhận các giá trị x
i

[
]
;
a b
∈
(i = 1, 2, , n)
Bước 3: Tính
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b

Bước 4: GTLN = max{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN = Min{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n

f a f x f x f x f b
}
II. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài toán 1: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]
Bài 1: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. f(x) = x
3
– 8x
2
+ 16x – 9 trên đoạn
[
]
1;3
(TNPT-BTN-2007)
2. (x) = x
3
- 3x + 1 trên đoạn
[
]
0;2
(TNPT-BXH-2007)
3.
(
)
4 2
2 1
f x x x
= − +
trên đoạn
[

]
0;2
.(TNPT-BXH-2008)
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
19



4.
4 2
( ) 2 4 3
f x x x
= − + +
trên đoạn
[
]
0;2
(TNPT2-BTN-2008)
5.
(
)
3 2
2 6 1
f x x x
= − +
trên đoạn
[
]

1;1
−
.(TNPT2-BXH-2008)
6. f(x) = x
3
– 3x - 2 trên đoạn
[
]
1;3
−
(TNTX2-2008)
7.
2 1
( )
3
x
f x
x
−
=
−
trên đoạn
[
]
0;2
(TNPT2-KPB-2008)
8.
2
( ) ln(1 2 )
f x x x

= − − trên đoạn [-2; 0]. (TNPT-2009)
9.
2
x
y x e
=
trên
[
]
3;2
−

10.
4 2
2x
y x= −
trên đoạn
[
]
0;2

11.
3 2
3x 9x 35
y x
= − − +
trên đoạn
[
]
4;4

−

12.
3 2
2x 3x 12x 10
y
= − + + −
trên đoạn
[
]
3;3
−

13.
4 3 2
8
2x 1
3
y x x
= − + +
trên đoạn
[
]
1;2
−

Bài 2: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1.
2
1 4

y x x
= + + −

2.
1 2x
y = −
trên đoạn
1
1;
2
 
−
 
 

3.
2
y x
= −
trên đoạn
[
]
3;4

4.
2
25
y x
= −
trên đoạn

[
]
3;4
−

5.
2
12 3x
y x
= + −
trên đoạn
1
1;
2
 
−
 
 

6.
2
1 x
y x
= −

7.
2
4
y x x
= + −

(ĐHKB-2003)
8.
2
1
1
x
y
x
+
=
+
trên đoạn [-1;2].(ĐHKD-2003)
Bài 2: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1.
2
3x 2
y x
= − +
trên đoạn
[
]
10;10
−

2.
2
3x 2
y x
= − +
trên đoạn

[
]
1;3

3.
2
5x 6
y x
= − +
trên đoạn
[
]
0;4

4.
2
3x 1
y x
= − +
trên đoạn
[
]
2;3
−

5.
3
3 1
y x x
= − +

trên đoạn
[
]
2;3
−

Bài 3: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1.
2cos
y x x
= + trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
(TNPT-BTN-2008)
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
20



2.
3 2sinx
y x= −
trên đoạn
0;

2
π
 
 
 

3.
(
)
osx 1 sinx
y c= +
trên đoạn
[
]
0;2
π

4.
2 osx
y x c= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 

5.
2sin sin 2x

y x
= +
trên đoạn
3
0;
2
π
 
 
 

6.
1
sinx
y =
trên đoạn
5
;
3 6
π π
 
 
 

Bài 4: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1.
3
sin 2 osx sinx 2
y x c
= − + +

2.
3
sin os2x sinx 2
y x c
= − + +

3.
3 2
os 6 os x 9 osx 5
y c x c c
= − + +

4.
4 2
os os 3
y c x c x
= + −

5.
4 3 2
3sin 8sin 2 os 2
y x x c x
= − − +

Bài toán 2: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng
Bài 1: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1.
3
3x 2

y x
= − +
trên khoảng
(
)
1;2
−

2.
4 2
8x 3
y x
= − +
trên khoảng
(
)
3;2
−

3.
2
2x 1
x
y
−
=
+
trên khoảng
1
;

2
 
− + ∞
 
 

4.
1
3
1
y x
x
= + +
−
trên khoảng
(
)
;1
−∞

5.
3 2
6x 9x
y x
= − +
trên khoảng
(
)
0;4

6.
x
y x e
= −
trên khoảng
(
)
2;1
−

7.
2x ln x
y
= −
trên khoảng
(
)
0;1

8.
2
4
x
y
x
=
+
trên khoảng
(
)

;
−∞ + ∞

10.
4
1
1
y
x
=
+
trên khoảng
(
)
;
−∞ + ∞

11.
1
osx
y
c
=
trên đoạn
3
;
2 2
π π
 
 

 

12.
1
sinx
y
=
trên đoạn
(
)
0;
π

Bài 2: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1.
sinx 2 osx
y c
= +

2.
sinx+2cos 1
sinx+cos 2
x
y
x
+
=
+

3.

2 osx
sinx osx 2
c
y
c
+
=
+ +

Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
21



4.
2 osx
sinx osx 2
c
y
c
+
=
+ +


Bài 3: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1.
2

2
2
2
x x
y
x x
+ +
=
− +

2.
2
2x 2
2x+2
y
x
−
=
−

3.
2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=

+ +

4.
2
x 2
x+1
y
x
+
=
−

5.
2
-4x 3
+1
y
x
+
=

Bài toán 3: Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên đoạn
[
]
;
a b

bằng c
Bài 1: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
2

( )
1
x m m
f x
x
− +
=
+
trên đoạn [0;1] bằng -2 (TNPT-2012)
Bài 2: Cho hàm số
2 2
4x 4 x 2
y m m m
= − + −
. Tìm m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên
đoạn
[
]
2;0
−
bằng 2.
Bài 3: Cho hàm số
2
x m
y
x m
−
=
+
. Tìm m để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn

[
]
0;1

bằng -2.


VẤN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC PHẢI NHỚ:
1. Định nghĩa các loại tiệm cận: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
a. Tiệm cận ngang: y = y
0
là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau
được thoả mãn:
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
hoặc
0
lim ( )
x
f x y
→−∞
=

b. Tiệm cận đứng: x = x
0

là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau
đựơc thoả mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0
lim , lim , lim , lim
x x x x x x x x
f x f x f x f x
+ − + −
→ → → →
= +∞ = +∞ = −∞ = −∞

c. Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (
0
a
≠
) được gọi là tiệm cận xiên nếu một
trong hai điều kiện sau thoả mãn:
lim [ ( ) (ax + b)] = 0
x
f x
→+∞
−
hoặc

lim [ ( ) (ax+b)]=0
x
f x
→−∞
−

2. Các bước tìm tiệm cận của một hàm số:
Bước 1: Tìm tập xá định của hàm số.
Bước 2: Tìm
(
)
(
)
0 0
lim ; lim
x x x x
f x f x
+ −
→ →
và
lim ( )
x
f x
→+∞
;
lim ( )
x
f x
→−∞
từ đó suy ra các đường tiệm

cận của độ thị dựa vào định nghĩa


Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
22



II. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài toán 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài 1: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:
1.
1
2x 1
x
y
−
=
−
2.
1
2
2
y
x
= +
+
3.

4
1
x
y
x
+
=
−

4.
2
1
x x
y
x
+
=
−
5.
2x 1
2
y
x
−
=
+
6.
2 3x
1
y

x
−
=
−

7.
1
2
1
y
x
= +
−
8.
1
2
x
y
x
+
=
+
9.
2
2
2x
4
x
y
x

+
=
−

Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
1.
1
2x 1y
x
= − +
2.
2
2x 4
3
x
y
x
− +
=
−

3.
3 2
2
2x
1
x
y
x
+

=
+
4.
( )
2
2
2
1
y x
x
= + +
−

5.
1
2x 3
1
y
x
= − +
+
6.
( )
2
1
1
2
y x
x
= + −

−

Bài 3: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
1.
2
1
y x x
= + +
2.
2
1 2x
y x x= + + +

3.
2
4
y x
= +
4.
1
1
y x
x
= +
−

5.
2
9
y x

= −
6.
2
2x
y x x= + +

Bài toán 2: Bài toán chứa tham số m liên quan đến đường tiệm cận
Bài 1: Cho hàm số
2
x x 2 1
1
m m m
y
x
+ − +
=
−
. Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị
cách đều gốc tọa độ O và điểm A(1; 1)
Bài 2: Cho hàm số
1
1
y x m
x
= + +
+
. Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị cắt hai
trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giac OAB bằng 18.

Bài 3: Cho hàm số

( ) ( )
ax
0
b
y f x c
cx d
+
= = ≠
+
. Biết đồ thị (C) qua A(-1; 7) và giao điểm
2 tiệm cận của ( C) là I(-2; 3). Tìm a, b, c, d










Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
23



VẤN ĐỀ 5 : KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Đề thi TN, CĐ, ĐH yêu cầu khảo sát một trong ba hàm số: bậc ba, trùng phương

và nhất biến.
Dạng 1: Hàm đa thức bậc ba
3 2
ax x x
y b c d
= + + +

I. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT HÀM ĐA THỨC BẬC BA
* Tìm tập xác định của hàm số: D = R
* Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên:
Tính đạo hàm
)('' xfy
=

 Giải phương trình
' 0
y
=
tìm các điểm
n
xxx ; ;;
21
mà tại đó đạo hàm
bằng 0 hoặc không xác định.
Hàm số đồng biến trên khoảng (….) và (…)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (….) và (…)
+) Cực trị:
 Hàm số đạt cực đại tại x =….,
C

Đ
y
=…
Hàm số đạt cực tiểu tại x =….,
CT
y
=…
+) Giới hạn:

lim ( ) ?
x
f x
→+∞
=
;

lim ( ) ?
x
f x
→−∞
=

+) Bảng biến thiên của hàm số:
* Đồ thị:
+) Điểm uốn
+) Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ:
 Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung Oy
Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox
+)Tính thêm một số điểm đặc biệt khác
+) Đồ thị:

II. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
3 2
3
y x x
= − + (TN-2006) 2.y = x
3
– 3x
2
(TN-2008)
3.
3 2
2 3 1
y x x
= + −
(TN-2008) 4.
3 2
1 3
5
4 2
y x x
= − +
(TN-2010)
5.
3 2
3x 2

y x
= − +
(CĐ-2009) 6.
3 2
3x 1
y x
= + −
(CĐ-2010)
7.
3 2
3x 2
y x
= − − −
(ĐHKA-2002) 8.
3 2
3x 2
y x
= − +
(ĐHKB-2003)
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
24



9.
3 2
1
2 3x

3
y x x
= − +
(ĐHKB-2004) 10.
3 2
6x 9x 1
y x
= − + +
(ĐHKD-2004)
11.
3 2
1 1
3 3
y x x
= − +
(ĐHKD-2005) 12.
3 2
2x 9x 12x 4
y
= − + −
(ĐHKA-2006)
13.
3 2
3x 4
y x
= − + −
(ĐHKB-2007) 14.
3 2
4x 6x 1
y

= − +
(ĐHKB-2008)
15.
3 2
3x 4
y x
= − +
(ĐHKD-2008) 16.
3 2
2x 1
y x
= − +
(ĐHKA-2010)
17. y = x
3
– 3x
2
+ 3(ĐHKB-2012) 18. y =
2
3
x
3
– x
2
– 4x +
2
3
. (ĐHKD-2012)

Dạng 2: Hàm đa thức trùng phương

4 2
ax x
y b c
= + +

I. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT HÀM ĐA THỨC TRÙNG PHƯƠNG
* Tìm tập xác định của hàm số: D = R
* Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên:
Tính đạo hàm
)('' xfy
=

 Giải phương trình
' 0
y
=
tìm các điểm
n
xxx ; ;;
21
mà tại đó đạo hàm
bằng 0 hoặc không xác định.
Hàm số đồng biến trên khoảng (….) và (…)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (….) và (…)
+) Cực trị:
 Hàm số đạt cực đại tại x =….,
C
Đ
y

=…
Hàm số đạt cực tiểu tại x =….,
CT
y
=…
+) Giới hạn:

lim ( ) ?
x
f x
→+∞
=
;

lim ( ) ?
x
f x
→−∞
=

+) Bảng biến thiên của hàm số:
* Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ:
 Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung
Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành
+)Tính thêm một số điểm đặc biệt khác
+) Đồ thị:
II. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1. y = x

4
– 2x
2
+ 1 (TN-2007) 2.
4 2
8 10
y x x
= − +
(ĐHKB-2002)
3.
4 2
2 4
y x x
= −
(ĐHB-2009) 4.
4 2
2
y x x
= −
(ĐHKD-2009)
5.
4 2
6
y x x
= − − +
(ĐHKD-2010) 6.
4 2
4 1
y x x
= − +

(ĐHKB-2011)
7. y = x
4
– 2x
2
(ĐHKA-2012
Nguyễn Văn Trung-Số 133/8-Nguyễn Tri Phương-Long Khánh-Đồng Nai- 917.492.457

Dạy kèm Toán, Lý, Hóa dễ hiểu với nhiều mẹo giải nhanh và chính xác - Trang
25



Dạng 3: Hàm hữu tỉ nhất biến
ax
x
b
y
c d
+
=
+

I. CÁC BƯỚC KHẢO SÁT HÀM HỮU TỈ NHẤT BIẾN
* Tìm tập xác định của hàm số:
/
d
D R
c
 

= −
 
 

* Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên:
Tính đạo hàm
( )
( )
2
d
' 0 0 ,
x
a bc
y x D
c d
−
= > < ∀ ∈
+
.
Hàm số đồng biến trên khoảng (….) và (…)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (….) và (…)
+) Cực trị: Hàm số không có cực trị
+) Giới hạn và tiệm cận:
Vì
lim ( )
x
a
f x
c

→+∞
=
;
lim ( )
x
a
f x
c
→−∞
=
nên y = a/d là tiệm cận ngang.
Vì
(
)
(
)
0 0
lim =?; lim ?
x x x x
f x f x
+ −
→ →
=
nên x = x
0
là tiệm cận đứng.
+) Bảng biến thiên của hàm số:
* Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ:
 Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung

Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành
+)Tính thêm một số điểm đặc biệt khác
+) Đồ thị:
II. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
3 2
1
x
y
x
−
=
+
(TN-2007) 2.
2 1
1
x
y
x
−
=
−
(TN-2007)
3.
2 1
2
x
y
x

+
=
−
(TN-2009) 3.
2x+1
2 1
y
x
=
−
(TN-2011)
4.
1
x
y
x
=
−
(CĐ-2008) 5.
-3x-1
1
y
x
=
−
(ĐHKD-2002)
6.
2x
1
y

x
=
+
(ĐHKD-2007) 7.
x+2
2 3
y
x
=
+
(ĐHKA-2009)
8.
2x+1
1
y
x
=
+
(ĐHKB-2010)

9.
1
.
2 1
x
y
x
− +
=
−

(ĐHKA-2011)
10.
2 1
1
x
y
x
+
=
+
(ĐHKD-2011) 11.
2 3
1
x
y
x
+
=
+
(CĐ-2012)