Hệ phương trình – Hướng dẫn giải các đề thi đại học: 2002 - 2012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐẠI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC : 2002 - 2012 -----------------------------------------------------Giải các hệ phương trình sau :.  3 x  y  1.   x  y . x y x y2.  23 x  5 y 2  4 y  2.  4 x  2 x 1  y  x  2 2  y2  2 3 y  x2  4.  2 3 x  x  2  y2. (B-2002 ). 1 1  x  x  y  y 3.  2 y  x3  1 . (A-2003). 1  log 1 ( y  x)  log 4 ( y )  1 5.  (A-2004) 4  x 2  y 2  25   x  y  xy  3 ( x, y  ) (A-2006) 7.  x  1  y  1  4 . 6.. ( D-2002).. (B-2003)..  x  1  2  y  1  2 3 3log 9 (9 x )  log 3 ( y )  3. ( B-2005). 1 1  x  x  y  y  5  8.  ( m tham số) (D-2007). 1 1 3 3 x   y   15m  10  x3 y3. 5  2 3 2  x  y  x y  xy  xy   4 9.  (A-2008) 5 4 2  x  y  xy (1  2 x)    4 2 2  xy  x  y  x  2 y 11.  (D-2008)  x 2 y  y x  1  2 x  2 y.  x( x  y  1)  3  0  13.  (D-2009) 5 2 ( x  y )  x 2  1  0 2  x  4 x  y  2  0 15.  (D-2010) 2 log 2 ( x  2)  log 2 ( y )  0. 10..  x 4  2 x3 y  x 2 y 2  2 x  9  2  x  2 xy  6 x  6. 12..  xy  x  1  7 y  2 2 2  x y  xy  1  13 y. (B-2008).. (B-2009).. (4 x 2  1) x  ( y  3) 5  2 y  0 14.  2 2 4 x  y  2 3  4 x  7 16.. 2 2 3 5 x y  4 xy  3 y  2( x  y )  0 ,x, y   ( A – 2011).  2 2 2  xy ( x  y )  2  ( x  y ).  x3  3 x 2  9 x  22  y 3  3 y 2 - 9 y 2 x3  x 2 y  x 2  y 2  2 xy  y  0  17.  ( A-2012) 18.  1 2 2  xy   x  2  0 x  y  x  y   2 e x  e y  x  y  19.  x 3 log 2 ( )  log 2 (4 y )  10  2. ( Đề nghị).. ………………………….. 20.. (A-2010).. ln(1  x)  ln(1  y )  x  y  2 2 2 x  5 xy  y  0. HẾT. Lop12.net. …………………………. x, y   ( D-2012). ( Đề nghị).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN GIẢI: --------***------ 3 x  y . x y. (1).  x  y. x y2. (2). 1. . . (B-2002 ).. x  y  0 x  y  0. ĐK : . (1)  ( x  y ) 2  ( x  y )3 x  y  x  y 1 --------------------------------. 2  5 y 2  4 y  2.  4 x  2 x 1  y  x  2 2  y  2 x  3 2  y  5 y  4 y  0 3x. (1) (2). ( D-2002).. ----------------------------------. 1 1  x  x  y  y 3.  2 y  x3  1  ĐK : xy  0 . Đặt : f ( x)  x . (1). (A-2003). (2) 1 x. 1 0 x  0 x2 tăng x  0 ..  f / ( x)  1 .  f(x). (1)  f ( x)  f ( y ) x y ---------------------------.  y2  2 3 y   x2  4.  2 3 x  x  2  y2 x  0 ĐK:  y  0. (1) (B-2003).. (2). Hệ đã cho tương đương :. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3 x 2 y  y 2  2  2 2 3 y x  x  2 3 x 2 y  y 2  2  ( x  y )( x  y  3 xy )  0 3 x 2 y  y 2  2    x  y   x  y  xy  0  ------------------------------. 1  (*) log 1 ( y  x)  log 4 ( y )  1 5.  4  x 2  y 2  25  ĐK: y  x  0 , y > 0. yx 3 (*)  log 4 ( )  1  x  y y 4. (A-2004). --------------------- x  1  2  y  1 ( B-2005).  2 3 (*) 3log 9 (9 x )  log 3 ( y )  3 x  1 ĐK :  0  y  2 (*)  3(1  log 3 x)  3log 3 y  3  log 3 x  log 3 y  x  y. 6.. -----------------------------------.  x  y  xy  3. ( x, y   ) (A-2006) x  1  y  1  4   x  y  3  xy (1)  (2)  x  1  y  1  4  x  1  y  1 x  0  ĐK :  ( thỏa điều kiện Cô-Si).  y  0  xy  0  x  y  3 x y (1)  x  y  3   x y 6 (*) 2 (2)  42  (12  12 )( x  1  y  1) ( B-C-S).  x+y  6 (**) Từ (*) và (**) ta được : x + y = 6 x  y  6 x  3 Ta có hệ :  Thử lại (thỏa ).   x. y  9 y  3 7. . --------------------------------. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1  x  x  y  y  5  8.  với m tham số (D-2007). 1 1 3 3 x   y   15m  10  x3 y3 ĐK: xy  0 . Đặt 1 a  x , a 2 x và 1 b y , b 2 y Hệ đã cho tương đương : a  b  5  3 3 a  b  3(a  b)  15m  10 a  b  5  2 ( Tự giải ). 2 a  b  ab  3m  1 a  b  5  ab  8  m ---------------------------------5  2 3 2  x  y  x y  xy  xy   4 9.  (A-2008).  x 4  y 2  xy (1  2 x)   5  4 TXĐ: x  , y  . Hệ phương trình đã cho tương đương :. 5  2 2 ( x  y )  xy ( x  y )  xy   4  ( x 2  y ) 2  xy   5  4 5  a  ab  b   4  a 2  b   5  4 a  x 2  y Với :  b  xy 5  2 b    a  0  ( tự giải). 4 a (2a  1) 2  0  ----------------------------------.  x 4  2 x3 y  x 2 y 2  2 x  9 10.  2  x  2 xy  6 x  6 TXĐ :. (B-2008).. x   , y  .. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Hệ đã cho tương đương :. ( x 2  xy ) 2  2 x  9  x2 xy  3 x  3    2  x2    xy  3 x  3   x( x  4)3  0  2 . ( tự giải).. ------------------------------------------.  xy  x  y  x 2  2 y 2 (1) 11.   x 2 y  y x  1  2 x  2 y x  1 TXĐ :   x  y 1 y  0. (D-2008).. (1)  x 2  ( y  1) x  (2 y 2  y )  0. (3).  x =(3y+1) 2  0 x  2 y 1 (3)   x  y  0 Vì : x  y  1 do đó trường hợp : x  y  0. ( loại). Hệ đã cho tương đương :.  x  2 y  1  x  2 y  1  x  5    y  2  x. 2 y  y. x  1  2 x  2 y  2 y  2 ------------------------------------ xy  x  1  7 y 12.  2 2 (B-2009). 2  x y  xy  1  13 y TXĐ: x   , y  . Nhận xét : Từ hệ phương trình đã cho , ta có : y  0 Hệ đã cho tương đương :. 1 x 1 x   ( x  y )  y  7 ( x  y )  y  7     ( x  1 ) 2  x  13 ( x  1 ) 2  ( x  1 )  20  0   y y y y 1 x  ( x  y )  y  7   1    x   5 y   1  x   4 y  ( tự giải) ------------------------------------------.  x( x  y  1)  3  0  13.  5 2 ( x  y )  x 2  1  0. (D-2009). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x  0 , y  . Hệ đã cho tương đương 3 3    x  y  x  1  x  y  x  1   ( 3  1) 2  5  1  0 ( 2 ) 2  3. 2  2  0 2 x x  x  x 3  x  y  1  x   2    1  x  2   x  2  TXĐ:. (Tự giải) -----------------------------------------. (4 x 2  1) x  ( y  3) 5  2 y  0 (1) 14.  2 2 4 x  y  2 3  4 x  7 3   x  4 TXĐ :  y  5  2 (1)  (2 x) 2  1 .(2 x)   (5  2 y ) 2  1 . 5  2 y   3 2 ,t . Đặt : f (t )  (t  1).t 2 3 , t .  f / (t )  3t 2  1  0 2. (A-2010).. (1)  f (2 x)  f ( 5  2 y )  2 x  5  2 y. Khi đó :. Hệ phương trình đã cho tương đương :. 2 x  5  2 y  2 2 4 x  y  2 3  4 x. 7. ( Tự giải) ----------------------------------------2  x  4 x  y  2  0  (*) 2 log 2 ( x  2)  log 2 ( y )  0 x  2 TXĐ:  y  0 (*)  2 log 2 ( x  2)  2 log 2 y  0  y  x  2 .. 15.. y  x  2. Hệ đã cho tương đương : . 2 x  4x  y  2  0. (D-2010).. ( Tự giải).. ------------------------------------3 5 x y  4 xy  3 y  2( x  y )  0 (1) ,  2 2 2 (2)  xy ( x  y )  2  ( x  y ) TXĐ: x  , y   . 2. 2. 16.. Lop12.net. x, y  , ( A  2011)..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  xy  1 (2)  ( xy  1)( x 2  y 2  2)  0   2 2 x  y  2. x  y  1 xy  1 Khi đó : (1) được viết lại là : y 4  2 y 2  1  0  y  1   .  x  y  1 2 2 * Khi: x  y  2 Khi đó : (1) được viết lại là : 5 x 2 y  4 xy 2  3 y 3  ( x 2  y 2 )( x  y )  0 .  4 x 2 y  5 xy 2  2 y 3  x3  0 (*) Đặt : f ( x)   x3  4 yx 2  5 y 2 x  2 y 3 . Ta có : f (2 y )  0  f ( x) chia hết cho (x - 2y) . Khi đó : x  2y 2 2 (*)  ( x  2 y )(  x  2 xy  y )  0  ( x  2 y )(2 xy  2)  0    xy  1 Trường hợp : x. y  1 ( đã xét rồi ! ) x  2 y Trường hợp : x  2 y , ta giải hệ :  2 ( tự giải ). 2 x  y  2 *. Khi:. ………………………………………………………... ( x  1)3  12( x  1)  ( y  1)3  12( y  1) (1)  17. Hệ đã cho tương đương :  1 2 1 2 ( x  )  ( y  )  1 (2)  2 2 1 1  1 3  3 1  1 và y   1 hay x    ;  , y    ;  2 2  2 2  2 2  1 3 3 Xét hàm : f (t )  t  12t với t    ;  .  2 2  1 3  f / (t )  3t 2  12  3(t 2  4)  0 vì t    ;  .  2 2 Từ ( 1 ) ta được : x  1  y  1  y  x  2 ( 3 ) . Thay (3) vào (2) ta được phương trình : Cách 1: Từ (2) suy ra :. x. 3 1  x  y  2 2 4 x2  8x  3  0   ( thỏa ) x  1  y   3  2 2 1 1 Cách 2 : Từ (2) suy ra : x   1 và y   1 . 2 2 1 1 Đặt : x   sin t  y   cos t (3) 2 2 Thay (3) vào (1) và đặt : a  cost - sint  a  2 khi đó ta được phương trình sau :. 2a 3  39a  41  0  a  1 thỏa điều kiện : a  2 .. t  2k1  Khi a = 1 thì :  t    2 k 2   2. 1  x  2 k1 , k2     x  3  2. Lop12.net. ( Tự giải).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Cách 3: Đặt :. s  t  y 2 với : s  4 p . x   t thay vào hệ đã cho , rồi đặt :  p  t . y  ………………………………………. 2 x  x y  x  y  2 xy  y  0  (2)  xy   x  2  0 3. 18.. 2. 2. 2. (1). x, y  . f ( y )  y 2  ( x 2  2 x  1) y  2 x3  x 2  f ( x 2 )  0  f ( y ) ( y  x 2 ) HD : Đặt.  y  x2  ( y  x 2 )  y  (2 x  1)   0    y  2x 1 ( Tự giải ) ……………………………………………... e x  e y  x  y (*)  19.  x 3 log 2 ( )  log 2 (4 y )  10  2 x  0 TXĐ :  y  0 (*)  e x  x  e y  y x Đặt f ( x)  e  x , x > 0.  f / ( x)  e x  1  e x  e0  0 , x > 0. (*)  f ( x)  f ( y )  x  y . Hệ đã cho tương đương :. x y   x 3 log 2 ( 2 )  log 2 (4 y )  10. x  y  log 2 x  1. x  2  y  2 ------------------------------------. (*) ln(1  x)  ln(1  y )  x  y  2 2 2 x  5 xy  y  0  x  1 TXĐ :   y  1 (*)  f ( x)  f ( y ) Trong đó : f ( x)  x  ln( x  1) , x  1 1 1 1  f / ( x)  1     0 ,x  0 x 1 1 x 1 (1) .  f ( x) đồng biến x  0 / Và  f ( x)  0 , x  (-1,0) (2) .  f ( x) nghịch biến x  (-1,0). 20.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Từ (1) và (2) :. (*)  x  y .. Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương :. x  y  2 2 2 x  5 xy  y  0. (Tự giải). ). ---------------------------------- HẾT --------------------------Ghi chú : Trong cách trình bày hướng giải có gì sai sót, mong quý thầy cô thông cảm!. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>