Giáo án Giải tích 12 nâng cao tiết 60-62: Các phương pháp tìm nguyên hàm

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ 2. TỔ TOÁN. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Tiết 60 -61 I.. Mục tiêu 1.Về kiến thức: - Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần . 2. Về kĩ năng: - Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số không quá phức tạp. II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên: - Lập các phiếu học tập, bảng phụ. 2. Học sinh: Các kiến thức về : - Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm, vi phân. III. Phương pháp: Gợi mở vấn đáp IV. Tiến trình bài học TIẾT 1 Kiểm tra bài cũ: (5 phút) Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm . (2 x 2  1) 5 b/ Chứng minh rằng hàm số F(x) = là một nguyên hàm của hàm số 5 f(x) = 4x(2x2 +1)4. - Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn. - Nhận xét, kết luận và cho điểm. Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số.. Tg. Hoạt động của học sinh. Hoạt động của giáo viên - Thông qua câu hỏi b/ , hướng dẫn hsinh đi đến phương pháp đổi biến số.. 5’.  4 x(2 x  1) dx = =  (2 x  1) (2 x  1)' dx 2. 2. - Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì 2 4  4 x(2 x  1) dx =.  (2 x. 5’. Ghi bảng. 2.  1) 4 (2 x 2  1)' dx. =  u 4 du =. 4. 4. 2. -Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì biểu thức ở trên trở thành như thế nào, kết quả ra sao?. u5 +C= 5. (2 x 2  1) 5 +C 5. GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO. - Phát biểu định lí 1.. Trang. 1. Lop12.net. -Định lí 1 : (sgk). GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ 2. TỔ TOÁN. Hoạt động 2 :Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng - HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng  f [u ( x)]u ' ( x)dx - Đ1: 7’. . 2x x2 1. 3. . H1:Có thể biến đổi về dạng. . . 2x. dx. x2 1 Bg: f [u ( x)]u ' ( x)dx được 2x 3. . 1 3. 2. 7’. - HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng  f [u ( x)]u ' ( x)dx Đ2:  2 x sin( x  1)dx = 2. 2. dx =  ( x  1) ( x 2  1)' dx 1. . 1. 2. - Nhận xét và kết luận.. Vd2:Tìm  2 x sin( x 2  1)dx H2:Hãy biến 2  2 x sin( x  1)dx về.  sin udu. = -cos u + C = - cos(x2+1) +C -HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng  f [u ( x)]u ' ( x)dx. H3:Hãy biến đổi. e. cos x. Đặt u = cos x , khi đó : cos x cos x  e sin xdx = -  e (cos x)' dx. - Nhận xét và kết luận.. đó suy ra kquả?. = -  e cos x (cos x)' dx. = -  e du =. +C = -. sin xdx.  f [u ( x)]u ' ( x)dx. về dạng. ecosx. Bg: 2 2 2  2 x sin( x  1)dx =  sin( x  1)( x . - Nhận xét và kết luận.. Đ3:  e cos x sin xdx =. -eu. đổi dạng. Đặt u = (x2+1) , khi đó :  f [u ( x)]u ' ( x)dx ? Từ đó suy ra  sin( x 2  1)( x 2  1)' dx =  sin udu kquả? = -cos u + C = - cos(x2+1) +C.  1)( x 2  1)' dx. Đặt u = (x2+1) , khi đó : 2 2  sin( x  1)( x  1)' dx =. u. 1 3. 2. 3 3 3 u + C = (x2+1) 3 + C 2 2. 2. 6’. . 3 3 = u 3 + C = (x2+1) 3 + C 2 2. 1  3.  1) ( x 2  1)' dx =  u du.  sin( x. 3. 2. 1  3. 2. =. dx. 2 2  ( x  1) 3 ( x  1)' dx =  u 3 du. Đặt u = x2+1 , khi đó :.  (x. x2 1 2. . 2  ( x  1) ( x  1)' dx 2. 2x 3. x 1 Đặt u = x2+1 , khi đó :. không? Từ đó suy ra kquả?. dx =. . Vd1: Tìm. Vd3:Tìm  e cos x sin xdx. ? Từ Bg: cos x cos x  e sin xdx = -  e (cos x)' dx Đặt u = cos x , khi đó : cos x cos x  e sin xdx = -  e (cos x)' dx = -  e u du = -eu + c = - ecosx + c. +C. * chú ý: có thể trình bày cách khác: cos x cos x  e sin xdx = -  e d (cosx) = - ecosx + C. GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO. Trang. 2. Lop12.net. GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ 2. TỔ TOÁN. Hoạt động 3: Củng cố ( 10 phút) . Hoạt động nhóm. Tg. Hoạt động của học sinh. - Các nhóm tập trung giải 10’ quyết . - Theo dõi phần trình bày của nhóm bạn và rút ra nhận xét và bổ sung.. Hoạt động của giáo viên. Ghi bảng. - Cho HS hđ nhóm thực hiện phiếu HT1 . - Gọi đại diện một nhóm trình bày. - Đại diện nhóm khác cho nhận xét. - GV nhận xét và kết luận.. * Chú ý: Đổi biến số như thế nào đó để đưa bài toán có dạng ở bảng nguyên hàm.. V. Bài tập về nhà: 6, 7 trang 145 VI. Phụ lục: + Phiếu học tập1: Câu 1.Tìm kết quả sai trong các kết quả sau: 2 2 1 1 2 ln x 1 dx =  ln xd (ln x) = ln 2 x + C a/  e x xdx =  e x d ( x 2 ) = e x + C ; b/  2 2 x 2 1 d (1  x ) dx = 2  c/  dx = 2 ln(1+ x ) + C ; d/  xsinxdx = -xcosx + C x (1  x ) 1 x Câu 2. Tìm kết quả sai trong các kết quả sau: 3 3 1 1 3 1 a/  e x x 2 dx =  e x d ( x 3 ) = e x + C ; b/  sin 2 x. cos xdx =  sin 2 x.d (sin x) = sin 3 x + C 3 3 3 1 d (1  x ) dx =  c/  = ln(1+ x ) + C ; d/  x cosxdx = x.sinx + C 2 x (1  x ) 1 x TIẾT 2 Hoạt động 4:Giới thiệu phương pháp tính nguyên hàm từng phần . Tg. 5’. Hoạt động của học sinh. Hoạt động của giáo viên. Đ: (u.v)’= u’.v + u.v’   (uv)' dx =  u 'vdx +  uv' dx. H: Hãy nhắc lại công thức đạo hàm một tích ? Hãy lấy nguyên hàm hai vế, suy ra  udv = ?.   udv =  (uv)'dx +  vdu. Ghi bảng.   udv = uv -  vdu. - GV phát biểu định lí 3 - Lưu ý cho HS: đặt u, dv sao cho  vdu tính dễ hơn  udv .. GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO. Trang. 3. Lop12.net. -Định lí 3: (sgk)  udv = uv -  vdu. GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ 2. 8’. Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx Khi đó du = dx, v = -cosx Ta có :  x sinxdx =- x.cosx +  cosxdx = - xcosx + sinx + C. TỔ TOÁN. - H: Từ đlí 3 hãy cho biết đặt u và dv như thế nào? Từ đó dẫn đến kq? - yêu cầu một HS khác giải bằng cách đặt u = sinx, dv = xdx thử kq như thế nào. -Vd1: Tìm.  x sinxdx. Bg: Đặt u = x,dv = sinxdx Khi đó du =dx,v =-cosx Ta có :  x sinxdx =- x.cosx +.  cosxdx = - xcosx + sinx. +C Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Tg. 5’. Hoạt động của học sinh - Học sinh suy nghĩ và tìm ra hướng giải quyết vấn đề. Đ :Đặt u = x ,dv = exdx  du = dx, v = ex Suy ra : x. Hoạt động của giáo viên. Ghi bảng. H :- Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv như thế nào ? Suy ra kết quả ?. Khi đó: 2 x x  x e dx =x2.ex-  x e dx. - Đ: Đặt u = lnx, dv= dx 1  du = dx, v = x x Khi đó :  ln xdx = xlnx -  dx. H : Hãy cho biết đặt u, dv như thế nào ? Suy ra kquả ? - Lưu ý :Có thể dùng từng phần nhiều lần để tìm nguyên hàm.. - Đăt u = lnx, dv = x2dx x3 1  du = dx , v = 3 x. GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO. Bg : Đặt u = x ,dv = exdx  du = dx, v = ex Suy ra : x. Vd3 : Tìm I=  x 2 e x dx Bg :Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex Khi đó: 2 x x  x e dx =x2.ex-  x e dx = x2.ex-x.ex- ex+C. - H : Cho biết đặt u và dv như thế nào ?. Vd4 :Tìm  ln xdx Bg : Đặt u = lnx, dv= dx 1  du = dx, v = x x Khi đó :  ln xdx = xlnx -  dx. = xlnx – x + C. 2’. dx. = x.ex – ex + C. = x2.ex-x.ex- ex+C. 5’. x. x. = x.ex – ex + C. 5’.  xe.  xe dx = x. ex -  e dx. x.  xe dx = x. ex -  e dx Đ: Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex. - Vd2 :Tìm. - Thông qua vd3, GV yêu cầu HS cho biết đối với  x 2 ln xdx. = xlnx – x + C. thì ta đặt u, dv như thế nào. Trang. 4. Lop12.net. GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ 2. TỔ TOÁN. Đ :Không được. Trước hết : 7’. Đặt t =. x  dt =. 1. dx. H : Có thể sử dụng ngay pp từng phần được không ? ta phải làm như thế nào ? + Gợi ý : dùng pp đổi biến số trước, đặt t= x.. 2 x Suy ra  sin x dx =2  t sin tdt. = -2 x .cos x +2sin x +C. Đặt t =. x  dt =. * Lưu ý cho HS các dạng thường sử dụng pp từng phần.  f ( x) sin xdx ,  f ( x) cos xdx.  f ( x )e. dx 2 x Suy ra  sin x dx =2  t sin tdt. x. = -t.cost + sint + C Suy ra:  sin x dx = = -2 x .cos x +2sin x +C. dx. đặt u = f(x), dv cònlại.  f ( x) ln xdx , đặt u = lnx,dv =f(x) dx. * Hoạt động 6 : Củng cố (Giáo viên dùng bảng phụ, cả lớp cùng chú ý phát hiện) Tg 8’. Hoạt động của học sinh. Hoạt động của giáo viên. - Cả lớp tập trung giải quyết . - Theo dõi phần trình bày của bạn và rút ra nhận xét và bổ sung.. - Treo bảng phụ và yêu cầu cả lớp chú ý giải quyết . - Gọi 2 HS trình bày ý kiến của mình. - GV nhận xét và kết luận.. Ghi bảng. V. Bài tập về nhà:7, 8, 9 trang 145 và 146 VI. Phụ lục : Dựa vào bảng sau đây, hãy cho biết gợi ý phương pháp giải nào không hợp lý. GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO. 1. Đặt u = t, dv = sint dt  du = dt, v = - cost   t sin tdt =-t.cost+  cos tdt. Đặt u = t, dv = sint dt  du = dt, v = - cost   t sin tdt =-t.cost+  cos tdt = -t.cost + sint + C Suy ra:  sin x dx =. Vd5: Tìm  sin x dx. Trang. 5. Lop12.net. GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ 2. ( Đối với. TỔ TOÁN.  f ( x)dx ) Gợi ý phương pháp giải. Hàm số f(x) = (2x+1)cosx. Đặt u = 2x+1 , dv =cosx. f(x) = xe-x. Đặt u = e-x , dv = xdx. f(x) =. x lnx. Đặt u = lnx, dv = x. f(x) = ex sinx. Đặt u = ex ,dv = sinxdx hoặc u = sinx,dv = exdx. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM – LUYỆN TẬP TIẾT 62. III. Mục tiêu 1.Về kiến thức: - Học sinh nắm vững hai pp tìm nguyên hàm . 2. Về kĩ năng: - Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số. 3. Về tư duy thái độ: - Phát triển tư duy linh hoạt. -Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác. IV. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên : - Bài tập sgk - Lập các phiếu học tập. 2. Học sinh: Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, từng phần III. Phương pháp: IV.Tiến trình bài học Kiểm tra bài cũ: (10 phút) Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm? 1 1 Áp dụng: Tìm  cos dx 2 x x Câu hỏi 2:Hãy phát biểu phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm. Áp dụng: Tìm -. Thời gian. . (x+1)e x dx. Yêu cầu một HS khác nhận xét, bổ sung. Gv kết luận và cho điểm.. Hoạt động của học sinh. - Hs1: Dùng pp đổi biến số GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO. Hoạt động của giáo viên. Ghi bảng. Thông qua nội dung kiểm tra bài cũ Giáo viên nhấn mạnh thêm sự Trang. 6. Lop12.net. GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ 2. Đặt u = sin2x - Hs2: Đặt u = sin2x  du = 2cos2xdx. TỔ TOÁN. khác nhau trong việc vận dụng hai phương pháp.. 1 - Gọi môt học sinh cho biết Bài 1.Tìm x x 2 cách giải, sau đó một học sinh sin 5 cos dx khác trình bày cách giải.  1 3 3 5  u du = 12 u6 + C Bg: x 1 Đặtu=sin  = sin62x + C 3 12 1 -Gọi môt học sinh cho biết du= cos x dx Hs1: Dùng pp đổi biến số cách giải, sau đó một học sinh 3 3 Đặt u = 7-3x2 khác trình bày cách giải. x x 2 - Hs2:đặt u=7+3x  du=6xdx Khi đó:  sin 5 cos dx = 3 3 Khi đó : 1 2 u 5 du  3x 7  3x dx =  3 1 3 1 1 2 x 1 6 1 =  u 2 du = u 2 +C 6 = u + C= sin 2 2 3 3 +C 18 18 1 = (7+3x2) 7  3 x 2 +C 3 Hoặc x 5 x cos dx H:Có thể dùng pp đổi biến số  sin 3 3 được không? Hãy đề xuất cách 1 x x Đ: Dùng pp lấy nguyên hàm từng giải? =  sin 5 d(sin ) phần. 3 3 3 Đặt u = lnx, dv = x dx 1 x = sin 6 + C 3 1 2 18 3  du = dx , v = x 2 x 3 Khi đó:. Khi đó:  sin 5 2x cos2xdx = 5’. . x lnxdx =. =. 2 2 2 x 3 3. =. 2 2 2 2 2 x x + C= 3 3 3. 3. 5’. . 3. 3. x2. 1 dx x. Bài 2.Tìm.  3x. 3. Bg: Đặt u=7+3x2  du=6xdx Khi đó :. 3. =-. 7  3 x 2 dx. 2 2 x +C 3.  3x. 7  3 x 2 dx = 1. Đ:Dùng pp đổi biến số, sau đó dùng pp từng phần. 6’. Đặt t = 3 x  9  t 2 =3x-9  2tdt=3dx. GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO. 3. 1 1 2 2 H:Hãy cho biết dùng pp nào =  u 2 du = u +C 2 2 3 để tìm nguyên hàm? - Nếu HS không trả lời được = 1 (7+3x2) 7  3 x 2 +C thì GV gợi ý. 3 Đổi biến số trước, sau đó từng phần. Bài 3. Tìm  x lnxdx. Bg: Đặt u = lnx, dv = Trang. 7. Lop12.net. x dx. GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ 2. Khi đó:  e. 3 x 9. TỔ TOÁN. dx =. 2 3. . 3. te t dt. Đặt u = t, dv = etdt  du = dt, v = et Khi đó:  te. t. dt=tet. Khi đó:. . -  e dt t. e. 3 x 9. dx=. x lnxdx = 3. 2 2 = x23 3. = t et- et + c Suy ra:. . 1 2 dx , v = x 2 x 3.  du =. . x. 3. 3 2. 1 dx x. 3. 2 2 2 2 = x2x + C= 3 3 3. 2 t 2 t te - e + c 3 3. 3. 2 = - x 2 +C 3. Bài 4. Tìm. . e. 3 x 9. dx. Bg:Đặt t = 3 x  9  t 2 =3x9  2tdt=3dx 2 Khi đó:  e 3 x 9 dx =  te t 3 dt Đặt u = t, dv = etdt  du = dt, v = et. 9’. Khi đó:  te t dt=tet -  e t dt = t et- et + c Suy ra:. . e. 3 x 9. dx=. 2 t 2 t te - e + c 3 3. Hoạt động 7: Củng cố.(10’) Với bài toán.  f ( x)dx , hãy ghép một ý ở cột trái với một ý ở cột phải để được một. mệnh đề đúng. Hàm số. Phương pháp. 1/ f(x) = cos(3x+4) 1 2/ f(x) = 2 cos (3 x  2). a/ Đổi biến số b/ Từng phần. 3/ f(x) = xcos(x2) 4/ f(x) = x3ex 1 1 1 5/ f(x)= 2 sin cos x x x. c/ Đổi biến số d/ Đổi biến số e/ Từng phần.. V. Bài tập về nhà: Tìm.  f ( x)dx. trong các trường hợp trên.. GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO. Trang. 8. Lop12.net. GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> TRƯỜNG:THPT LẤP VÒ 2. GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO. TỔ TOÁN. Trang. 9. Lop12.net. GIÁO VIÊN: TRẦN MINH TRÍ.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>