Ôn thi tốt nghiệp Toán lớp 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÂU HỎI PHỤ VD1 : Cho hµm sè y = - x3 + 3x2 - 2 y a) Kh¶o s¸t hµm sè. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sè t¹i 2 ®iÓm y’’=0 HD: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(1 ; 0) O x HÖ sè gãc k = f’(1) = 3 Vậy ta có phương trình tiếp tuyến là : y - y0 = k(x - x0) hay : y - 0 = 3(x - 1) -2  y = 3x - 3 VD 2: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – 2 + m = 0 ĐS: * m > 4: 1 n0; * m = 4: 2 n0; * 0 < m < 4: 3 n0; * m = 0: 2 n0; * m < 0: 1 n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2 d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) x  xA y  yA  HD: PT đt đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng: . ĐS: y = 2x + 2 x B  x A yB  yA VD3: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – k = 0 ĐS: * k > 4: 1 n0; * k = 4: 2 n0; * 0 < k < 4: 3 n0; * k = 0: 2 n0; * k < 0: 1 n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 HD: Thế x = -1 vào (C)  y = 3: M(-1; 3). ĐS: y = -3x d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ĐS: y = -2x + 1 VD4: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 4 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). 5. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y =  x  1 . 5. 83. 3. 27. ĐS: y =  x  2x3. 5. 115. 3. 27. ;y=  x. 3. 1)x2. VD5: Cho hàm số (Cm): y = + 3(m – + 6(m – 2)x – 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2 b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2. 9 c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: y = -1; y =  x  1 8 3 2 VD5: Cho haøm soá y=x – 6x + 9x (C).. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3 – 6x2 9x – m = 0 Giaûi: Phöông trình x3 – 6x2 + 9x – m = 0  x3 – 6x2 + 9x = m Soá nghieäm cuûa phöông trình laø soá giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m. dựa vào đồ thị ta có: Neáu m > 4 phöông trình coù 1 nghieäm. Neáu m = 4 phöông trình coù 2 nghieäm. Neáu 0< m <4 phöông trình coù 3 nghieäm. Neáu m=0 phöông trình coù 2 nghieäm. Neáu m < 0 phöông trình coù 1 nghieäm. 1 4. 6. +. y. 4. 2. 5. x. -2. 9 4. VD7: Cho hµm sè y   x 4  2 x 2  (C ) a) Kh¶o s¸t hµm sè b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Gi¶i: a) Kh¶o s¸t hµm sè Tập xác định: R Sù biÕn thiªn y   a) Giíi h¹n: lim x  b) B¶ng biÕn thiªn:. x. 9  x  0  y  1 1  4 y' = - x 3 + 4x; y' = 0    x  2  y  25 2,3  2,3 4. -∞ +∞. y’. -2 +. 0. 0 -. 0. 2 +. 25 4. y. 0. -. 25 4 9 4. -∞. -∞. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2), nghịch biến trên khoảng ( -2; 0) vµ (2; +∞) Cùc trÞ: x CD = ±2  yCD =. 25 9 ; xCT  0  yCT  4 4. §å thÞ : (H2) - §iÓm uèn: y” = - 3x2 +4; y” = 0. y. 6. 4. 2. Lop12.net. x.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x. 2 161 y 36 3. - Giao víi Ox : A(-3 ; 0) vµ B(3 ; 0) 9 4. - Giao Oy : C (0; ) (H2) b) x0 = 1  y0 = 4, y’(x0) = y’(1) = 3. Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y - 4 = 3(x 1), hay : y = 3x + 1. VD8: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x4 + 2x2 + 1 – m = 0 ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: 2 n0; * 1 < m < 2: 4 n0; * m = 1: 3 n0; * m < 1: 2 n0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2 HD: Thế y = 2 vào (C)  x =  1: M(-1; 2), N(1; 2). ĐS: y = 2 VD9: Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – 3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24. ĐS: y = 24 – 43 VD10: Cho hàm số (Cm): y = x4 – (m + 7)x2 + 2m – 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1 b) Xác định m để đồ thị (Cm) đi qua điểm A(-1; 10). ĐS: m = 1 c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x4 – 8x2 – k = 0 có 4 nghiệm phân biệt. ĐS: -14 < k < 0 VD11: Cho hµm sè: y . x  4 (C ) x 1. a) Kh¶o s¸t hµm sè. b) Xác định toạ độ giao điểm của (C) với đường thẳng d: y = 2x + 2. Viết phương trình tiếp tuyÕn cña (C) t¹i c¸c giao ®iÓm trªn. Gi¶i: a) Kh¶o s¸t hµm sè: 1.Tập xác định: D = R\{1} 2.Sù biÕn thiªn: a) ChiÒu biÕn thiªn: y' . 3  0, x  D . ( x  1) 2. Nªn hµm sè nghÞch biÕn trªn (-∞; 1) vµ (1; +∞) b) Cùc trÞ: §å thÞ hµm sè kh«ng cã cùc trÞ. c) Giíi h¹n vµ tiÖm cËn:  lim y    x = 1 là tiệm cận đứng. x 1  lim y  1  y = - 1 lµ tiÖm cËn ngang. x . d) B¶ng biÕn thiªn : x -∞ 1. y 2. Lop12.net. O. 1. x 5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> +∞ y’. -. +∞. y. -1 -1 -∞. 3.§å thÞ : (H3) - Giao víi Ox : A(4 ; 0) - Giao víi Oy : B(0 ; -4) - §å thÞ nhËn I(1 ; - 1) làm tâm đối xứng b) Hoành độ giao điểm của(C) vµ ®­êng th¼ng d lµ nghiÖm  x1  2  y1  2 x  4 2  2x  2  2x  x  6  0   Của phương trình:  x2  3  y2  5 x 1  2 3 VËy giao ®iÓm cña (C) vµ ®­êng th¼ng d lµ: M 1 (2; 2), M 2 ( ;5) 2. - Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M1 có hệ số góc là: k1  y '(2)   1 3. 1 3. Nên có phương trình là: y  2   ( x  2)  y   x . 1 3. 8 3 3 2. - Phương trình tiếp của (C) tại M2 có hệ số góc là: k2  y '( )  12 . Nên có phương trình là: 3 y  5  12( x  )  y  12 x  23 2. VD12. Cho hµm sè y . 3x  1 có đồ thị (C). x3. 1) Kh¶o s¸t hµm sè. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -1 3) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn [0; 2]. Hướng dẫn giải. 1) Hs tù kh¶o s¸t. §å thÞ: 2) Cã y ' . 10.  x  3. 2. 5  y '(1)   ; y(1)  1 8.  Phương trình tiếp tuyến: y  . 5 5 3  x  1  1  y   x  8 8 8. 3) Ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên [0; 2]. 1 3 0;2. Do đó: max y  y(0)  ; min y  y(2)  5 .  0;2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> VD13. Cho hàm số (C): y =. x 1 x3. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x. ĐS: y = -x và y = -x + 8 mx  1 VD14.: Cho hàm số (Cm): y = 2x  m a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C2) b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó HD: Chứng minh tử thức của y’ > 0 suy ra y’ > 0(đpcm) c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; 2 ). ĐS: m = 2 1 3 1 d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C2) tại điểm (1; ). ĐS: y = x  4 8 8 (m  1)x  2m  1 VD15: Cho hàm số (Cm): y = x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0 b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: m = 0 c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( 3 ; -3). ĐS: m = -4 c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung HD: Giao điểm với trục tung  x = 0, thay x = 0 vào (C)  y = -1: E(0; -1). ĐS: y = -2x – 1 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y  f ( x) trên D A. Hai cách thường dùng. Cách 1: - Lập bảng biến thiên của hàm số f ( x) trên D. - Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN . Cách 2: Nếu f ( x) liên tục trên D = [a;b] - Tìm các điểm x1 , x2 ,, xn trên khoảng (a;b) mà tại đó f , ( x) bằng 0 hoặc f , ( x) không tồn tại. - Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn ), f (b) . - Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. - Ta có min f ( x)  m, max f ( x)  M . [ a ;b ]. [ a ;b ]. B. Bài tập. 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  x3  x 2  9 x trên đoạn [-3;5]. (ĐS: min f ( x)  f (3)  45, max f ( x)  f (5)  195 ) [ 3;5]. 2.. [ 3;5]. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  x . (ĐS: min f ( x)  f (4)  6, max f ( x)  f (3)  7 ) [3;5]. [3;5]. Lop12.net. 4 trên đoạn [3;5]. x2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3.. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  2 x  1 . 2 5 trên khoảng (;  ) . x2 2. (ĐS: max f ( x)  f (3)  9 , f ( x) không có GTNN ) 5 (  ;  ) 2. 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  x  8  x 2 . (ĐS: max f ( x)  f (2)  4, min f ( x)  f ( 8)   8 ) 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  9  3x trên đoạn [-2;2]. (ĐS: min f ( x)  f (2)  3, max f ( x)  f (2)  15 ) [ 2;2]. 6.. [ 2;2]. 1 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  sin x  cos 2 x  ..   x    k 2  3 3  6 (ĐS: min f ( x)     , max f ( x)   x   k 2 ) 4 2 2  x  7  k 2  6. 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  cos3 x  cos 2 x  1 trên đoạn [0;. 3 ]. 2.  x     (ĐS: min f ( x)  1   x  , max f ( x)  1  x  0 )  2  3 x   2 8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  cos 4 x  sin 4 x . 1    (ĐS: min f ( x)   x   k , max f ( x)  1  x  k ) 2 4 2 2 x e 9. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  x trên đoạn [ ln 2 ; ln 4 ] . e e 2 4 (ĐS: min f ( x)  f (ln 2)  ) , max f ( x)  f (ln 4)  2e 4e [ln 2;ln 4] [ln 2;ln 4]. 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  ln( x  5  x 2 ) trên đoạn [-2;2]. (ĐS: min f ( x)  f (2)  0, max f ( x)  f (2)  ln 5 ) [ 2;2]. [ 2;2]. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. y = x4 – 2x2 + 1 trên đọan [-1;2]. 2. y = 1  x 2 . 3. y = x .ln x trên đọan [ 1; e ].   4. y = sin2x – x trên đọan  ;  .  6. 5. y = x – lnx + 3. x2  x  1 6. y  với x  0 x. 2. 7. y  x 4  8 x 2  16 trên đoạn [ -1;3]. 8. y = 2 x3  4 x 2  2 x  2 trên [1; 3] 9. y = 2 x3  4 x 2  2 x  1 trên [2;3] 10. f ( x)  x3  3x 2  9 x  3 trên đoạn  2; 2 11. y  4  4  x 2 . 12. f ( x)  x 4  2 x 2 . Lop12.net. 1 trên đoạn [-2 ;0] 4.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1 27. y  2 x3  3x 2  1 trên đoạn  2;  . 13.y = (x – 6) x 2  4 trên đoạn [0 ; 3]. 14. y = x+ 1  x 2 15.y = 2sin2x + 2sinx – 1 16. y  9  7 x 2 trên đoạn [-1;1]. 17. y  2 x3  3x 2  12 x  10 trên đoạn [-3;3]. 18. y  5  4 x trên đoạn [-1;1].. . 2. 2 x2  5x  4 trên đoạn [0;1]. x2 1 31. y  x  1  (x > 5 ) x 5 1 2x 32. y  trên đoạn  1;   2 3x  1  2x 1 33. y  trên đoạn [-1;0]. 1  3x 1 34. y  x3  3x 2  4 trên đoạn  1;   2. 30. y . 1 x trên đoạn [-2;-1]. x 1 20. y  x3  2 x 2  3x  4 trên đoạn [-4;0]. 3 1 21. y  x  trên khoảng ( 0 ; +∞ ). x 3 22. y  x  8 x 2  16 x  9 trên đoạn [1;3].. 19. y . x4 3 23. y    x 2  trên đoạn 2 2.  1 2   2 ; 3 . 35. y  4  x 2 1 trên khoảng (1; ) . x 1 3 37. y  x3  3x  3 trên đoạn  3;   2 4x 1 38. y  trên đoạn   5 ; 2  2  2x  3. 36. y  x . x 2  3x  6 24. y  trên khoảng (1 ; +∞ ). x 1 25. y  x3  3x  1 trên đoạn [0;2].. 26. y  x3  3x 2  9 x  35 trên đoạn [-4;4].. Chuyªn §Ò 2: Hµm Sè Mò vµ L«garit 1. Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số: aM = aN  M = N Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 1 4. 2. 2x. 2. 3 x  2. . 1 4. 2. HD: 2 x 3 x 2   2 x 3 x 2  22 x  0  x 2  3 x  2  2  x 2  3 x  0    x  3 Vậy phương trình có nghiệm: x  0, x  3. Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : HD:. 1   3. 1   3. x 2 3 x 1. 3. x 2 3 x 1.  3  3 ( x. 2. 28. y  3x  x  7 x  1 trên đoạn [0;3]. 29. y  x3  3x 2  9 x trên đoạn [-2;2]. 3. 2. 3 x 1).  31. x  1  ( x 2  3 x  1)  1  x 2  3 x  2  0   x  2 Vậy phương trình có nghiệm: x  1, x  2. Ví dụ 3: Giải phương trình sau : 2 x 1  2 x 2  36. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> HD: 2 x 1  2 x 2  36  2.2 x . 2x  36 4. 8.2 x  2 x   36  9.2 x  36.4  2 x  16  2 x  24  x  4 4 Vậy phương trình có nghiệm: x  1, x  2. Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 5x.22 x1  50 HD: 5x.22 x 1  50  5x.. 4x  50  20 x  100  x  log 20 100 2. Vậy phương trình có nghiệm: x  log 20 100 2.. Phương pháp: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số Ví dụ 1: Giải các phương trình sau :. 32 x 8  4.3x 5  27  0. HD: 38.32 x  4.35.3x  27  0.  .  6561. 3x. 2.  972.3x  27  0. (*). Đặt t  3x  0  1 t  9 2 Phương trình (*)  6561t  972t  27  0   t  1  27 1 Với t   3x  32  x  2 9 1 Với t   3x  33  x  3 27 Vậy phương trình có nghiệm: x  2, x  3. Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : 25x  2.5x  15  0 2 HD: 25x  2.5x  15  0   5x   2.5x  15  0 (*) Đặt t  5x  0 t  5 t  3 (loai). Phương trình (*)  t 2  2t  15  0  . Với t  5  5x  5  x  1 Vậy phương trình có nghiệm: x  1 Ví dụ 3: Giải các phương trình sau : 3x  2  32 x  24 HD: 3x  2  32 x  24  9.3x . 2 9  24  0  9.  3x   24.3x  9  0 (*) x 3. Đặt t  3x  0 t  3 Pt (*)  9t  24t  9  0   t   1 ( loai) 3  x Với t  3  3  3  x  1 Vậy phương trình có nghiệm: x  1 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 3.. Phương pháp: Lấy logarit hai vế 8 x.5 x. Ví dụ 1: Giải phương trình sau :. 2. 1. . 1 8. HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được 2 1 1  log8 8 x.5 x 1  log8 8 8 x x 2 1 1  log8 8  log8 5  log8 8  x  x 2  1 log8 5  1. 8 x.5 x. 2. 1. . . . . .  x  1  x 2  1 log8 5  0   x  1   x  1 x  1 log8 5  0 x 1  0   x  1 1   x  1 log8 5  0   1   x  1 log8 5  0  x  1  x  1    x.log8 5  log8 5  1  x  1  log 5 8 Vậy phương trình có nghiệm: x  1, x  1  log5 8 2. Ví dụ 2: Giải phương trình sau : 3x.2 x  1 HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được 2. 2. 3x.2 x  1  log 3 3x.2 x  log 3 1  x  x 2 log 3 2  0  x 1  x log 3 2   0 x  0 x  0 x  0    1 x    x   log 2 3 1  x log 3 2  0 log 3 2  Vậy phương trình có nghiệm: x  0, x   log 2 3. II.. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1.. Phương trình cơ bản:. a. a f ( x)  b . b. a f ( x)  b . Ví dụ 1:. b  0   b  0. Phương trình vô số nghiệm. b  0   b  0. Phương trình vô nghiệm.  f ( x)  log b. khi a  1 khi 0  a  1.  f ( x)  log b. khi a  1 khi 0  a  1. a Phương trình : a f ( x )  b    f ( x)  log a b. a Phương trình : a f ( x )  b    f ( x)  log a b. Giải bất phương trình:. 32 x 1  2  2 x  1  log 3 2  x . Vậy bất phương trình có nghiệm: S   ; . Lop12.net. 1  log 3 2   2 . 1  log 3 2 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ví dụ 2: x 1. Giải bất phương trình:. 3 1 3  3   1  3.  3.3x  1  3x  3  27.3x  9 x 1 3 1 3 x.  26.3x  12  3x  . 6 , x   13. Vậy bất phương trình có nghiệm: S   ;   2.. Phương pháp: a. b.. Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số:.  f ( x)  g ( x) a f ( x)  a g ( x)    f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) a f ( x)  a g ( x)    f ( x)  g ( x). Ví dụ 1:. Giải bất phương trình:. HD:.   3. x 2. x. khi khi. a 1 0  a 1. khi khi. a 1 0  a 1.  9 x 2  3 4  32 x  4 .  3. x 2.  9 x 2. x 16  2 x  4  x  8 x  16  x  4 7. Vậy bất phương trình có nghiệm: S   ;  7  16. . . x 1. Ví dụ 2:. Giải bất phương trình:. HD:. Ta có:  5  2  5  2   1  5  2  Phương trình (1)   5  2 . 52. x 1. . . . . 52. 1  52. 52. . x 2 3. . .  x2 3. 52. (1). . 1.  x 1  x2  3.  x 2  x  2  0  1  x  2. Vậy bất phương trình có nghiệm: S   1; 2 3.. Phương pháp:. Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.. Ví dụ 1:. Giải bất phương trình:. HD:. 5 x  52 x  26  5 x . 5 x  52 x  26. 2 25  26  0   5 x   26.5 x  25  0 (1) x 5. Đặt t  5x  0 Ta có:(1)  t 2  26t  25  0  1  t  25  1  5 x  25  50  5 x  52  0  x  2 Vậy bất phương trình có nghiệm: S   0; 2 . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ví dụ 2:. Giải bất phương trình:. HD:. 32x+1  10.3x  3  0  3.  3x   10.3x  3  0 (1). 32x+1  10.3x  3  0 2. Đặt t  3x  0 . 1 3. Ta có:(1)  3t 2  10t  3  0   t  3 . 1  3x  3  31  3x  31  1  x  1 3. Vậy bất phương trình có nghiệm: S   1;1. Ví dụ 3:. Giải bất phương trình:. HD:. x  5  x  5 Chia (*) hai vế cho 4  0 ta được: 5  2.     7.    0 (**) 2  2  . 5.4 x  2.25 x  7.10 x  0 (*) 2. x. x. 5 Đặt t     0 . 2.   5 x 0  t  1 0     1 2 x  0 2 Ta có:(**)  2t  7t  5  0   5   x   t  x  1  5   5  2 2  2 . Vậy bất phương trình có nghiệm: S   ;0 1;   I.. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Phương pháp : Biến đổi phương trình về dạng cùng cơ số:. log a M  log a N  M  N. Ví dụ 1 : Giải phương trình sau : log 2 x  log 2 ( x  3)  log 2 4 HD: log 2 x  log 2 ( x  3)  log 2 4 (1) x  0 x  0   x0 x  3  0  x  3. Điều kiện: . Do đó phương trình (1)  log 2 x( x  3)  log 2 4  x( x  3)  4 x  1  x 2  3x  4  0    x 1  x  4 (loai) Vậy phương trình có nghiệm: x  1. Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : log 2 x  log 2 x 2  log 2 9 x HD: log 2 x  log 2 x 2  log 2 9 x (1) Điều kiện: x  0 Phương trình (1)  log 2 x  2 log 2 x  log 2 9  log 2 x  2 log 2 x  log 2 9 1  log 2 x  log 2 9  log 2 x  log 2 3  x  3 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Vậy phương trình có nghiệm x  3 Phương pháp : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : log 22 x  2 log 2 x  2  0 HD: log 22 x  2 log 2 x  2  0 (1) Điều kiện: x  0 Phương trình (1)  log 22 x  log 2 x  2  0 Đặt t  log 2 x. 2.. x  2 log 2 x  1 t  1 Lúc đó: log x  log 2 x  2  0  t  t  2  0     x  1 t   2 log x   2   2  4 1 Vậy phương trình có nghiệm x  2, x  4 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : 1  log 2 ( x  1)  log x 1 4 2 2. 2. HD: 1  log 2 ( x  1)  log x 1 4 (1) x 1  0 x  1  x 1  1 x  2. Điều kiện: . (*). Phương trình (1)  1  log 2 ( x  1) . log 2 4 2  1  log 2 ( x  1)  log 2 ( x  1) log 2 ( x  1).   log 2 ( x  1)   log 2 ( x  1)  2  0 (2) 2. Đặt t  log 2 ( x  1) t  1 t  2. Lúc đó: phương trình (2)  t 2  t  2  0    x 1  2 x  3 log 2 ( x  1)  1    1   5  log ( x  1)   2 x 1  x  2  4  4. Vậy phương trình có nghiệm x  3, x  3.. thỏa (*) 5 4. Phương pháp: Mũ hóa hai vế: Ví dụ: log 3 (3x  8)  2  x Điều kiện: 3x  8  0 log 3 (3x  8)  2  x  3log3 (3. x. 8).  32 x  3x  8  32 x. 3x  1(loai ) 2   3x   8.3x  9  0   x  3x  32  x  2 3  9 Vậy phương trình có nghiệm x  2. II.. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1.. Phương trình cơ bản:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> a. f ( x)  0. b. f ( x)  0. Ví dụ 1:.  f ( x)  a b log a f ( x)  b   b  f ( x)  a. khi a  1 khi 0  a  1. ,.  f ( x)  a b log a f ( x)  b   b  f ( x)  a. khi a  1 khi 0  a  1. , Điều kiện. Giải bất phương trình:. Điều kiện. log 2 ( x  2)  3. Điều kiện x  2  0  x  2 log 2 ( x  2)  3  x  2  23  x  10. Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: S  10;   Ví dụ 2:. Giải bất phương trình:. log 1 ( x 2  7 x)  3 2.  x  7 x  0. +. Điều kiện x 2  7 x  0  . +. 1 1 log 1 ( x  7 x)  3  x  7 x     x 2  7 x   0 8 2 2. 3. 2. . +. 2. 97 97 7  2 x 2 2 2. 7 . Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm:.  97  7  2  x  7  2   97  7  2 0  x   2. +. 2.. Phương pháp:.    97 97   7    7   2 ; 7    0; 2  Hay S   2 2            . Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số:.  f ( x)  g ( x) log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  g ( x) f ( x)  0, g ( x)  0  f ( x)  g ( x) b. log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  g ( x). a.. Lop12.net. khi a  1 , khi 0  a  1. Điều kiện. khi a  1 , Điều kiện khi 0  a  1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> f ( x)  0, g ( x)  0. Ví dụ 1:. Giải bất phương trình:. log 2 ( x  5)  log 1 (3  x)  0 2. HD:. x  5  0  5  x  3 3  x  0. +. Điều kiện: . +. log 2 ( x  5)  log 1 (3  x)  0  log 2 ( x  5)  log 2 (3  x)  0 2.  log 2 ( x  5)  log 2 (3  x)  x  5  3  x  x  1. +. S   1;3. Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm:. Ví dụ 2:. Giải bất phương trình:. HD:. +. Điều kiện: . +. Lúc đó: log 0,5 ( x  1)  log 2 (2  x)   log 2 ( x  1)  log 2 (2  x). log 0,5 ( x  1)  log 2 (2  x). x 1  0  x  1   1  x  2 2  x  0 x  2.  log 2 (2  x)  log 2 ( x  1)  0  log 2  2  x  x  1   0   2  x  x  1  1   x 2  x  1  0 . +. 1 5 1 5 x 2 2. Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là :. 1  5 1  5  S ;  2 2  . Ví dụ 3: HD:. Giải bất phương trình: + +. log 5 ( x  2)  log 5 ( x  2)  log 5 (4 x  1).  x  2 x  2  0  1 Điều kiện: 4 x  1  0   x    x  2 4 x  2  0    x  2 Lúc đó: log 5 ( x  2)  log 5 ( x  2)  log 5 (4 x  1)  log 5  x  2  x  2    log 5 (4 x  1)  log 5 ( x 2  4)  log 5 (4 x  1).  x 2  4  4 x  1  x 2  4 x  5  0  1  x  5 S   2;5 . 3.. +. Phương pháp:. Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.. Ví dụ 1:. Giải bất phương trình:. HD:. + +. 2 log 0,5 x  log 0,5 x  2. Điều kiện: x  0 Đặt : t  log 0,5 x. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> +. 2 x  log 0,5 x  2  t 2  t  2  t 2  t  2  0  2  t  1 Lúc đó: log 0,5. x  4  x   0,5 2   2  log 0,5 x  1    1  x  0,5  x  2. +. Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là :. 1  S   ; 4 2  2 log 2 x  1. Ví dụ 2:. Giải bất phương trình:. HD:. +. Điều kiện: . +. Đặt : t  log 2 x. +. Lúc đó: log 2 x . +. Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là :. log 2 x . x  0 x  0  log 2 x  1  x  2. t  2 2 t2  t  2  0 log 2 x  1 t 1  1  t  1 x  4 log 2 x  2   1  x2  1  log x  1  2 2. 1  S   ; 2    4;   2 . Ví dụ 3:. Giải bất phương trình:. HD:. + + +. log 2 x  13log x  36  0. Điều kiện: x  0 Đặt : t  log x Lúc đó: log 2 x  13log x  36  0 t 2  13t  36  0  x  104 t  4 log x  4    9 t  9 log x  9  x  10. +. Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là :. S   0;10   109 ;   4. Chuyên đề 3: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân. Ví du 1: Tìm nguyeân haøm caùc haøm soá sau: a) f(x) = x3 – 3x +. 1 x. b) f(x) = 2 x + 3 x. c) f(x) = (5x + 3)5. d) f(x) = sin4x cosx Giaûi. 1 1 x4 3 2 3 a)  f ( x )dx   (x - 3x + )dx   x dx  3 xdx   dx   x  ln x  C x x 4 2 x x 2 3  C b)  f ( x )dx   (2x + 3x ) dx   2 x dx   3x dx  ln 2 ln 3 3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> d (5 x  3) (5 x  3)6  C c)  f ( x )dx   (5x+ 3) dx   (5x+ 3) 5 30 sin 5 x 4 4 C d)  f ( x )dx   sin x cosxdx   sin x d (sin x )  5 5. 5. . Ví du 2ï: Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=1+ sin3x bieát F( )= 0. 6. Giaûi. 1   1   cos3x + C. Do F( ) = 0  - cos + C = 0  C = - . 3 6 6 3 2 6 1  Vaäy nguyeân haøm caàn tìm laø: F(x)= x – cos3x - . 3 6. Ta coù F(x)= x –. VÝ dô 3: T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè. 2x 1 dx x2 2 x 2  3x  5 b)  dx 2x 1. 1 dx x  3x  2 3x  2 d ) 2 dx x  4x  4. a) . c) . c. Tim nguyen ham bang cach đổi biến số: Ph-ơng pháp giải: đặt t=u(x) VÝ dô 4. T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè a)  b) . 3. 1 dx 3x  1 3 dx 2x 1. 2. 2 x  1` dx 3 x 1 3x  1 d ) dx x 1  2. c) . d. T×m nguyªn hµm b»ng ph-¬ng ph¸p tõng phÇn: Ph-¬ng ph¸p gi¶i: Sö dông c«ng thøc:  u.dv  u.v   v.du VÝ dô 5. T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè a )  2 x.cos xdx. c)  (2 x  1)e x dx. b)  ( x  1) sin 2 xdx. d ). ln x dx x2. Các phương pháp tính tính tích phân-Đổi biến số Daïng 1: Tính tích phaân baèng ñònh nghóa vaø tính chaát. Phöông phaùp giaûi: Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng  kết quả. Ví duï: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau: a/. 3. .  ( x  1)dx. 1. 3. b/. 4. (. . 4. 4  3sin x )dx cos2 x. Lop12.net. c/. 2. . 2. x  1 dx.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Giaûi 3. a/.  (x.  1)dx =. 3. 3. 3. 1dx ( x dx  4 3.  1. 1. x. 3. 4. x). 1. . ( 1. . 81 1 3) ( 1) 24 4 4. .  4 4 1 b/  ( 2  3sin x )dx  4  dx  3  sin xdx  (4 tan x  3 cos x ) 4  2  cos x cos x      4 4. 4. 4. 4. 4. = (4 tan   3 cos  )  [4 tan(   )  3 cos(   )] =8 4. c/. 2. . 2. 4. 4. 4. 1. 2. 1. 2. 2. 1. 2. 1. x  1 dx =  x  1 dx +  x  1 dx =  (1  x )dx +  ( x  1)dx =(x-. x2 1 x2 ) 2 ( 2 2. x ) 1 =5 2. Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1: Phöông phaùp giaûi: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)  dx = u(t). dt b2: Đổi cận: x = a  u(t) = a  t =  x = b  u(t) = b  t =  ( chọn  ,  thoả đk đặt ở trên) b3: Vieát. b.  f(x)dx. về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân .. a. 1. Ví duï: Tính :  1  x 2 dx 0. . §Æt x = sint  dx = cost.dt. Víi x  [0;1] ta cã t  [0; ] §æi cËn: x = 0  t = 0 VËy. 1.  0. ;. . x= 1  t =. 2. . 1  x 2 dx =. 2. 12 1 s in2t 2  2 cos t.dt  (1 cos 2t).dt= ( t )0 =  20 2 2 4 0 2. Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng : . a2  x 2 thì ñaët x= a sint. . a2  x 2 thì ñaët x= a tgt. . x 2  a2 thì ñaët x= b. a sin t. . t  [ ; ] 2 2. . t  ( ; ) 2 2. . t  [ ; ] \ 0 2 2. Dạng 2: Tính tích phân  f[(x)] '(x)dx bằng phương pháp đổi biến. a. Phöông phaùp giaûi: b1: Ñaët t =  (x)  dt =  '( x ). dx b2: Đổi cận:. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> x = a  t =  (a) ; x = b  t =  (b) b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được . Ví duï : Tính tích phaân sau : 1. 1. 2x  1 a/ I   2 dx x x 1 0. b/ J  x 2 3.x.dx 0. Giaûi: a/ Ñaët t = x2 + x +1  dt = (2x+1) dx 3. dt x = 0  t =1 ; x = 1  t = 3. Vaäy I=  ln t t 1. Đổi cận:. b/ Ñaët t= x  3  2. Đổi cận:. t2=. x2+. 3. ln 3 1. 3  tdt = x dx 2. t3 x = 0  t = 3 ; x = 1  t = 2 . Vaäy J =  t dt  3 3. 2. 2. 3. 1 (8 3 3) 3. ác phương pháp tính tính tích phân-Từng phần Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau: . e. 2. a/ I=  x.cos x.dx. b/J=  x.ln x.dx 1. 0. Giaûi. du dx u x (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx )  v sin x dv cos x.dx. a/ Ñaët : . . Vaäy I=x cosx.  2 0. 2. -  sin x.dx = cosx 0.  2 0. = -1. du  1 .dx  u  ln x  x b/ Ñaët :   2 dv  x.dx v  x  2 e 2 e 2 x 1 e2 1 x e Vaäy J= lnx. . dx  xdx 2 1  2 x 2 2 1 1. e2 2. 1 2e x 4 1. e2  1 4. 2/ Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp: a) Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu: Phöông phaùp giaûi: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính. Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: a/. 2. ò 1. 2. 2x 1 1 1 dx =ò (1 + )dx = [ x + ln 2 x -1]12 = 1 + ln 3 2 x -1 2 x -1 2 2 1. Lop12.net. =. 1 ln 3 . 2.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> b/. 0. 0. x 3 + 3x + 1 5 x3 x2 23 2 dx =ò ( x + x + 4 + )dx = [ + + 4 x + ln x -1]-0 1 = - ln 2 x -1 x -1 3 2 6 -1. ò. -1. b) Daïng baäc1 treân baäc 2: Phöông phaùp giaûi: Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính. *Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt: Ví duï:. Tính caùc tích phaân :. 2. ò 1. 5( x -1) dx x2 - x - 6. Giaûi. 5x - 5 A B A( x - 3) + B( x + 2) 5( x -1) = + = = 2 ( x + 2)( x - 3) x - x - 6 ( x + 2)( x - 3) x + 2 x - 3. Ñaët.  A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2  A=3. cho x=3  B=2. 2 2 5( x -1) dx 3 2 16 2 Vaäy ta coù: ò 2 =ò ( + )dx = (3ln x + 2 + 2 ln x - 3 ) 1 = ln x - x -6 1 x + 2 x -3 27 1. * Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: Ví duï:. Tính caùc tích phaân :. 1. ò 0. 1. CI: ò 0. (2 x + 1)dx x2 - 4x + 4. Giaûi. 1. 1. 1. (2 x + 1)dx 2x - 4 5 d ( x 2 - 4 x + 4) 1 = ( + ) dx = + 5ò dx 2 2 2 2 ò ò x - 4x + 4 x - 4x + 4 x - 4x + 4 x - 4x + 4 ( x - 2)2 0 0 0. 5  ln 4 2 2 x +1 2 x +1 A B A( x - 2) + B = = + = Û A( x - 2) + B = 2 x + 1 CII: Ñaët 2 2 2 x - 4 x + 4 ( x - 2) x - 2 ( x - 2) ( x - 2)2 A 2 A 2  Ax -2A+B= 0    2A B 1 B 5  4x 4 =(ln x 2 . Vaäy. 1. ò 0. 5 ) x 2. 1. 1. Ví duï:. 0. Tính caùc tích phaân :I= ò. -1. 0. I=ò. Ta coù. ò 0. 0. 5 2 x + 1dx 2 5 5 =ò [ + ]dx = (2ln x-2 )   ln 4 2 2 x - 4x + 4 x - 2 ( x - 2) x-2 0 2 0. *Trường hợp mẫu số vô nghiệm:. 1. 1. -1. 0. (2 x - 3)dx x2 + 2x + 4. Giaûi: 1. 2x + 2 5 d ( x 2 + 2 x + 4) dx dx = ò ( x + 1)2 + 3 ò x 2 + 2 x + 4 - 5J x2 + 2x + 4 -1 0. 0 4 d ( x 2 + 2 x + 4) 2 ln/x +2x+4/  ln 4 ln 3 ln = 2  1 3 x + 2x + 4. Tính J=. 0. 5. ò ( x + 1) -1. 2. dx +3. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>   )  dx= 3(1  tg2 t )dt . Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t= 6  2 2. Ñaët x+1= 3tgt (t    ;  6.  J=  0. 3(1  tg2 t ) 36 dt  1dt (3  3tg2 t ) 3 0. 3 3.  6. . Vaäy I= ln. 3  4  )  5( 3 6 3. 3/ Tính tích phaân haøm voâ tæ: b. Daïng1:  R( x, n ax  b )dx. Ñaët t= n ax  b. a. b. Daïng 2:  R( x, n a. ax  b )dx cx  d. Ñaët t= n 1. Ví duï: Tính tích phaân I =. . 3. ax  b cx  d. 1  xdx. 0. Ñaët t = 1  x  Đổi cận: 3. t3=. 1-x  x=. 1-t3. Giaûi  dx= -3t2dt. 0. x=0  t=1; x=1  t=0.. 1. Vaäy I= t.( 3t )dt 3 t dt 2. 1. 3. 0. t4 3 4. 1. 0. 3 4. 4/ Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp . Daïng:  sin ax.cos bxdx , sin ax.sin bxdx , cos ax.cos bxdx . Phöông phaùp giaûi: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giaûi. . Daïng: sin n xdx; cosn xdx . Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi bieán. Ví duï : . sin  . 2 n 1. cos. 2n. xdx  sin 2 n x sin xdx xdx  (cos x ) dx 2. n. . . Daïng:  R(sin x ).cos xdx . (1 cos2 x )n sin xdx Ñaët t =cosx 1  cos 2 x   2. n. dx . Ñaëc bieät:  sin 2 n x.cos2 k 1 xdx . Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>