Sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị. 2011-2012. MỤC LỤC STT. MỤC. NỘI DUNG. TRANG. 1. MỤC LỤC. 1. 2. A.PHẦN MỞ ĐẦU. 2. 3. I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 2. 4. II. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 3. 5. III. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI. 3. 6. IV. KẾ HOẠCH THỰC HIỆN. 3. 7. B.PHẦN NỘI DUNG. 4. 8. I. CƠ SỞ LÍ LUẬN. 4. 9. II. CƠ SỞ THỰC TIỄN. 4. 10. III. THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU THUẪN. 4. 11. IV. CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. 6. 12. V. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG. 23. 13. C.PHẦN KẾT LUẬN. 24. 14. I. Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI VỚI CÔNG TÁC. 24. 15. II. KHẢ NĂNG ÁP DỤNG. 24. 16. III. BÀI HỌC KINH NGHIỆM,HƯỚNG PHÁT TRIỂN. 24. 17. IV. ĐỀ XUẤT,KIẾN NGHỊ. 24. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 1 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị. 2011-2012. A. PHẦN MỞ ĐẦU -----------  -----------. I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 1. Cơ sở lí luận: Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trước một bước, vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói chung và mỗi thầy cô giáo nói riêng gánh vác một trọng trách hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới đề ra những định hướng kịp thời. Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà trường là chủ yếu, trong mỗi nhà trường thì bản thân mỗi giáo viên phải phấn đấu tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao hiệu quả có làm được như vậy mới nâng cao được chất lượng đào tạo, gây uy tín đối với học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh và toàn xã hội. Toán cực trị là dạng toán rất gần gũi với cuộc sống và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày, nó giúp học sinh rèn luyện nếp suy nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Vì vậy nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em khá, giỏi. Toán cực trị được đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo do vậy giáo viên rất thuận lợi trong việc sưu tầm và tuyển chọn sắp xếp các dạng toán một cách hợp lý giúp cho học sinh dễ dàng áp dụng và một vấn đề là làm thế nào để học sinh nắm được phương pháp, tư duy suy luận một cách có lôgíc khi giải toán cực trị. 2. Cơ sở thực tiễn: Hiện nay bản thân đang là giáo viên dạy Toán tại trường TH-THCS Gáo Giồng, thấy được những khó khăn học sinh thường mắc phải trong quá trình giải Toán, tôi cũng luôn trăn trở và suy nghĩ để tìm ra được giải pháp nào tốt nhất, hữu hiệu nhất để giúp đỡ học sinh trong quá trình nắm bắt kiến thức về Toán cực trị.Sau nhiều năm tìm hiểu và nghiên cứu,tôi mạnh dạn đưa ra đề tài “ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT TOÁN CỰC TRỊ”, hy vọng đem lại một phần thuận lợi cho giáo viên khi thực hiện sáng kiến này trong quá trình giảng dạy cho học sinh cấp Trung học cơ sở nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng.. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 2 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị 2011-2012 II. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. - Tôi nghiên cứu, viết sáng kiến này hy vọng giúp các em học sinh lớp 8, lớp 9 nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng đặc biệt là các em học sinh giỏi có phương pháp và hướng để giải . Đồng thời qua chuyên đề này hy vọng các em được hình thành rèn luyện, củng cố kiến thức, kỹ năng trình bày một bài toán cực trị. Giúp học sinh mở rộng tầm hiểu biết thực tiễn của mình, giúp giáo dục tư tưởng đạo đức vè rèn phong cách làm việc của người lao động mới, có kế hoạch. Có phân tích tìm hướng giải quyết trước khi làm việc cụ thể. - Để thực hiện nghiên cứu đề tài này tôi sử dụng các phương pháp sau đây: + Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. + Phương pháp phân tích tổng hợp. + Phương pháp thực nghiệm. III. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI -Đề tài có thể được áp dụng đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9. -Ôn thi cho học sinh tuyển sinh vào lớp 10. IV. KẾ HOẠCH THỰC HIỆN Đề tài hiện đã và đang được áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trong những bài toán nâng cao ở lớp 9 và hướng tới áp dụng trong ôn tập cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 năm học 2011-2012.. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 3 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị. 2011-2012. B. PHẦN NỘI DUNG -----------  -----------. I. CƠ SỞ LÍ LUẬN: Vấn đề đổi mới phương pháp giảng dạy trong trường THCS là một vấn đề cấp thiết hàng đầu, đối với học sinh THCS chủ yếu là ở lứa tuổi thiếu niên các em có thói quen suy nghĩ độc lập, tuy nhiên khả năng tư duy của các em chưa phát triển hoàn chỉnh để nhận thức hoặc làm tốt vấn đề nào đó. Khi đứng trước một bài toán cực trị học sinh rất lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu, làm gì, làm như thế nào, không biết liên hệ giả thiết với các kiến thức đã học để tìm ra lời giải một công việc rất quan trọng. II. CƠ SỞ THỰC TIỄN. Toán cực trị là một nội dung thường được quan tâm trong các kỳ thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi. Vấn đề này tuy không mới mẻ nhưng tương đối khó đối với học sinh lớp 8, lớp 9, nhất là các bài toán cực trị ở mức độ được nâng cao trong khi đó kiến thức trang bị cho học sinh không được đáng kể do đó với mong muốn góp phần rèn luyện tư duy, sự sáng tạo của học sinh, khơi dậy được sự hứng thú học tập yêu thích môn toán qua các bài toán cực trị, tôi đã tìm tòi qua sách, đồng nghiệp để tìm ra những phương pháp bài tập phù hợp với học sinh, nhất là trong giai đoạn các em mới tiếp cận với các bài toán này ở lớp 8 và lớp 9. Nhằm giúp cho học sinh có cách giải nhanh gọn, hợp lý tôi đã mạnh dạn nghiên cứu sáng kiến này. III. THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU THUẪN. 1. Thuận lợi Được sự quan tâm của các ban ngành địa phương,của Ban giám hiệu nhà trường. Phụ huynh học sinh có sự quan tâm đến việc học tập của con em, nên đã tạo điều kiện để các em học tập tốt, rèn luyện tốt. Đa số các em học sinh đều chăm ngoan, học giỏi, có ước mơ, hoài bão do đó đã tạo thuận lợi cho chất lượng dạy và học. 2. Khó khăn Đa số học sinh đều có tâm lí “sợ học toán” đặc biệt là dạng toán “Tìm cực trị” nói riêng các em thường lúng túng không biết nên xuất phát từ đâu, nên bắt đầu từ cái gì do đó dễ nảy sinh tâm trạng hoang mang, lúng túng dẫn đến bó tay, bất lực. Đặc biệt GV: Nguyeãn Thò Thanh. 4 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị 2011-2012 đối với các em học sinh lớp 9 kiến thức cũ có liên quan ít nhiều đã lãng quên nên gây khó khăn không nhỏ cho các em. Qua giảng dạy, điều tra, tìm hiểu và qua kết quả kiểm tra đầu năm học 2011 2012 ở lớp 9 do tôi trực tiếp giảng dạy tôi thu được số liệu như sau: Lớp 9. Bài. TS. kiểm tra. HS. Bài số 1. 15. Điểm  5 Giỏi. Điểm <5. Khá. TB. Yếu. Kém. SL. %. SL. %. SL. %. SL. %. SL. %. 1. 6,7. 2. 13,3. 6. 40,0. 4. 26,7. 2. 13,3. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 5 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị. 2011-2012. IV. CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. 1. ĐỊNH NGHĨA a. Cho biểu thức f(x). Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện : + Với mọi x để f(x) xác định thì f(x)  M (M là hằng số) + Tồn tại x0 sao cho f(x0) = M Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện : + Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≥ m (m là hằng số) + Tồn tại x0 sao cho f(x0) = m Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x) GTLN của hàm f là m = min f(x) 1. Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định nghĩa tương tự. 2. Các bước tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thường, để tìm GTLN hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bước như sau : - Bước 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng : f(x) ≤ M hoặc f(x) ≥ m với M, m là các hằng số. - Bước 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? - Bước 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu. II) Cực trị hàm tam thức bậc hai: 1) phương pháp : Sử dụng trực tiếp định nghĩa về GTLN, GTNN thông qua việc biến đổi tổng quát một tam thức bậc hai về dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất chứa biến và hạng tử tự do. Xét Cho tam thức bậc hai : P = ax2 + bx + c (a ≠ 0) b x) + c (do a b 2 b 2 4ac  b 2 b2 = a (x + ) +c= a (x + ) + 2a 4a 2a 4a. Ta có P = ax2 +bx + c = a(x2 +. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 6 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị 2011-2012 2 4ac  b b 2 Đặt =k Do (x + )  0 nên 2a 4a b 2 b b - Nếu a > 0 thì a.(x + )  0 do dó  min P = k  x + =0x=2a 2a 2a b 2 b - Nếu a < 0 thì a.(x + )  0 do đó  max P = k  x = 2a 2a 2) Các ví dụ: a) Dạng 1: Tìm GTLN,GTNN của tam thức bậc hai. Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau. A  x2  2x  3. Giải: A  x 2  2 x  3  ( x  1)2  2  2 Dấu (( = )) Xảy ra khi x=1 Vậy GTNN của A=2 Khi x=1 Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B   x 2  2 x  6 Giải: B   x 2  2 x  6  ( x 2  2 x  1)  7  ( x  1)2  7  7 Dấu (( = )) Xảy ra khi x=1 Vậy GTNN của B = 7 khi x=1 b) Dạng 2: Tìm GTNN của biểu thức bậc cao Ví dụ 1 : Tìm GTLN của biểu thức C  x 4  6 x 3  10 x 2  6 x  9. Giải: C  x 4  6 x3  10 x 2  6 x  9 C  ( x 4  6 x3  9 x 2 )  ( x 2  6 x  9)  ( x 2  3x)2  ( x  3)2  0  x 2  3x  0. Dấu (( = )) Xảy ra <=> . x  3  0.  x  0; x  3   x3 x  3. Vậy GTNN của C = 0 Khi x=3 VÝ dô 2: Tìm GTNN của B = (x2 – x + 1)2 Giải : Mặc dù B  0 nhưng GTNN của B không phải bằng 0 vì x2 – x + 1  0 2. Ta có :. x2. 1 3 3 1  – x + 1 =  x    ≥ . Dấu "=" xảy ra  x = 2 2 4 4 . Do đó B nhỏ nhất  (x2 – x + 1 ) nhỏ nhất. 2. 9 1 3 Vậy min B =   = x= 2  4  16. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 7 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị 2011-2012 III) Cực trị của hàm phân thức: A) Kiến thức cần thiết. + Để giải dạng toán này ta chủ yếu dùng phương pháp tách phần nguyên. 1 1 1 với A > 0 thì max P = ; min P = A min A max A Bằng cách áp dụng tính chất trên ta có thể đưa bài toán tìm cực trị của phân thức về bài toán tìm cực trị của đa thức. B) Một số ví dụ. 1) Dạng 1: Tìm GTLN , GTNN của phân thức có tử là hằng số mẫu là tam thức bậc hai.. + Cho P =. Ví dụ: Tìm GTNN của N  Giải: N  Xét. 8 x  2x  5 2. 8 x  2x  5 2. x 2  2 x  5  ( x  1) 2  4  4  ( x  1) 2  4  4. Ta có ( x  1)2  4  4 . 1 1 8 8     2 2 2 ( x  1)  4 4 ( x  1)  4 4. Dấu (( = )) Xảy ra <=>x=1 Vậy GTNN của N = -2 khi x=1 2) Dạng 2: Tìm GTLN , GTNN của phân thức có tử và mẫu số là nhị thức Ví dụ 1 : Tìm x  N để. 7x  8 đạt giá trị lớn nhất. 2x  3. Giải : Đặt A =. 14 x  16 7(2 x  3)  5 7x  8 5  2A = = =7+ 2x  3 2x  3 2x  3 2x  3. Nhận thấy A lớn nhất  2A lớn nhất . 5 lớn nhất 2x  3.  2x – 3 là số dương nhỏ nhất. Mà x  N nên 2x – 3 dương nhỏ nhất bằng 1  x = 2 Vậy max(2A) = 12  maxA = 6  x = 2. Ví dụ 2 : Tìm x  Z để M =. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 7x đạt giá trị nhỏ nhất. x5. 8 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị  (x  7)  (x  5  2) 2 Giải : Ta có M = = = -1 + x 5 x5 x5 2 Để M nhỏ nhất thì nhỏ nhất  x – 5 là số âm lớn nhất. x5. 2011-2012. Mà x  Z nên x – 5 = -1  x = 4 . Vậy min M = -3 khi x = - 4. 3) D¹ng 3: T×m GTLN , GTNN cña ph©n thøc cã tö lµ nhÞ thøc, mÉu sè lµ tam thøc bËc hai. Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức. Q=. 4x  3 . x2  1. Giải :. x 2  4 x  4  x 2  1 ( x  2) 2 a/ Ta có Q = = 2 1 x2  1 x 1 Do. ( x  2) 2  0 với  x  Q  -1 với  x. Dấu “=” xảy ra  x = -2 x2  1. Vậy min Q = -1  x = -2. 4x 2  4  4x 2  4x  1 4(x 2  1)  (2x  1)2 (2 x  1)2 b/ Ta có Q = = = 4 2 x2  1 x 1 x2  1 (2 x  1)2 1 ≤ 0 với  x  Q ≤ 4. Dấu “=” xảy ra  x = 2 x2  1 1 Vậy maxQ = 4  x = 2 2) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của của phân thức là bình phương của một nhị thức. Do . 3x 2  8x  6 Ví dụ: Tìm GTNN của M = 2 . x  2x  1 Giải : ĐKXĐ : x ≠ 1 3(x 2  2 x  1)  2(x  1)  1 2 1 Ta có M = = 3   (x  1)2 x  1 (x  1)2 1 , khi đó M = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2  2 x 1 1 Dấu “=” xảy ra  y = 1  =1x=2 x 1. Đặt y =. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 9 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị Vậy min M = 2  x= 2. 2011-2012. IV) Cực trị của hàm đa thức nhiều biến: 1) Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức biết quan hệ giữa các biến. Ví dụ 1: Cho x + y = 2 Tìm GTNN của A  x 2  y 2 Giải: Ta có x + y = 2  y   x  2  2  x Thay y  2  x vào biểu thức A  x 2  y 2 Ta có: A  x 2  2  x   x 2  4  4 x  x 2  2 x 2  4 x  4 2. . . A  2 x 2  2 x  1  2  2 x  1  2  2 2. Dấu “=” xảy ra  x  1  y  1 Vậy GTNN của A=2 khi x =y=1 VÝ dô 2: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức N = 2x + 3y – 4z 2 x  y  3z  6 3x  4 y  3z  4. biết rằng x,y,z  0 và thoả mãn hệ phương trình . (1) (2). Giải : Từ hệ phương trình điều kiện ta có 5x + 5y = 10  y = 2 – x Thay (*) vào (1)  2x + 2 – x + 3z = 6  x + 3z = 4  z =. (*) 4x (**) 3. Thay (*) và (**) vào biểu thức N ta được : N = 2 x  3y  4 z  2 x  32  x  4.. 4x 16  4 x x 2  2 x  6  3x    3 3 3 3. x 2 2  ≥ . Dấu "=" xảy ra  x = 0 3 3 3 2 4 Vậy min N =  x = 0, y = 2, z = 3 3. Do x  0 nên. Ta lại có y  0 nên từ (*)  x  2 z  0 nên từ (**)  x  4, từ đó  x  2 x 2 2 2 4  ≤ + = . Dấu bằng xảy ra  x = 2 3 3 3 3 3 4 2 Vậy max N =  x = 2, y = 0, z = 3 3 Ví dụ 2 : Tìm GTNN và GTLN của biểu thức x, y, z.. Do đó. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 10 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị x  y  z  5 biết x, y, z là các số thoả mãn hệ phương trình :  xy  yz  zx  8. 2011-2012. Giải : x  y  z  5 y  z  5  x Xét hệ phương trình   2 xy  yz  zx  8 yz  8  x  5x. Do đó y, z là nghiệm của phương trình : t2 – (5 – x)t + x2 – 5x + 8 = 0 (1) Ta có  = (5 – x)2 – 4(x2 – 5x + 8 ) = -3x2 +10x – 7 Khi đó y, z có GTLN, GTNN  phương trình (1) có nghiệm. tức là  ≥ 0  -3x2 +10x – 7  0  3x2 – 10x + 7  0  (x – 1)(3x – 7)  0  1  x . 7 3. Vì vai trò x, y, z như nhau nên 1  y . 7 7 ;1z . 3 3. 7 và GTNN của x, y, z là 1. 3 2) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức nhiều đại lượng bằng cách biến đổi biểu thức đưa về các tổng bình phương. Ví dụ 1: Tìm GTNN của A  2 x 2  y 2  2 xy  2 x  3. Vậy GTLN của x, y, z là. Giải. A  2 x 2  y 2  2 xy  2 x  3. .  . .  x 2  2 xy  y 2  x 2  2 x  1  2. .  . .  x 2  2 xy  y 2  x 2  2 x  1  2. x  y  0  x  y 1 x 1  0. Dấu “=” xảy ra  . Vậy AMin  2 Khi x =y=1 Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức sau: B   x 2  5 y 2  4 xy  2 xy  2 y  5. Giải: B   x 2  5 y 2  4 xy  2 xy  2 y  5. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 11 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị. .   x  5 y  4 xy  2 x  2 y  5 2. 2. . .  . 2011-2012. .    x 2  2 2 y  1  x  4 y 2  4 y  1  y 2  6 y  9  5 2 2   x  2 y  1   y  3  5  .   x  2 y  1   y  3  5  5 2. 2. x  2 y 1  0  y  3  y 3  0 x  7. Dấu “=” xảy ra  . x  7  y  3. Vậy GTLN của biểu thức B = 5 Khi . Bài tập đề nghị: 1, Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a, 3x 2  2 x  5 b, 4 x 2  4 x  11 2, Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau: a, 5 x 2  4 x  1. c,  x 2  x  2 x 2  9 x  18  27. b, 2 x 2  8 x  1. 3, Bài 3: Tìm GTNN của các biểu thức sau: a, x  1x  2 x  6 x  7   2 b, x 4  3x3  4 x 2  3x  2006 4, Bài 4:Tìm GTNN của a, A . 3 x 2  6 x  10 x2  2x  3. b, B  x 2  2 y 2 Biết x+2y =1. V) Phương pháp bất đẳng thức. A) lý thuyết. 1, Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a, x  0 b, x  y  x  y. dấu “=” xảy ra  xy  0. c, x  y  x  y. dấu “=” xảy ra  xy  0 và x  y. d, x  y  z  x  y  z. dấu “=” xảy ra  xy  0 và yz  0 ; xz  0. 2, Bất đẳng thức Côsi: a, Cho 2 số không âm a và b ta có: ab  ab Dấu “=” xảy ra  a  b 2. b, Cho 3 số không âm a và b ta có: GV: Nguyeãn Thò Thanh. 12 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị abc 3  abc 3. 2011-2012. dấu “=” xảy ra  a  b  c. c, Tổng quát: Cho n số không âm a1 : a2 ;.....; an ta có: a1  a2  ...an n  a1.a2 ...an n. dấu “=” xảy ra  a1  a2  ....  an 3, Bất đẳng thức BunhiaCôpxki. a, Cho hai cặp số a và b; x và y ta có:. ax  by . 2. .  a 2  b2. x. 2.  y2. . dấu “=” xảy ra  ay  bx. b, Tổng quát: Cho 2n số a1 ; a2 ;.....; an. a1b1  a2b2  .....anbn . 2. dấu “=” xảy ra . . b1 ; b2 .....; bn ta có. .  a12  a2 2  ...  an 2 b12  b2 2  ...  bn 2. . a a1 a2   .....  n b1 b2 bn. B) Các ví dụ: 1) Bất đẳng thứcCôsi Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: M  x2  x  1  x2  x  1. Giải: áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có: M 2. x. 2. . . . . 2.  x  1 x2  x  1  2 4 x2  1  x2. 2 2 dấu “=” xảy ra  x  x  1  x  x  1.  x0. Vậy GTNN của M=2 khi x = 0 2) Bất đẳng thức BunhiaCopski Ví dụ 1: Tìm GTLN của A  x  1  y  2 Biết x+y = 4 Giải: TXĐ: x  1 ; y  2 Xét A2   x  1  y  2   12  12 x  1  y  2   2. x  y  3  2 4  3  2 2.  x  1,5 T / m  x 1  y  2   dấu “=” xảy ra  x  y  4  y  2,5 T / m . GV: Nguyeãn Thò Thanh. 13 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị Vậy GTLN của A  2 khi x = 1,5 ; y= 2,5 Ví dụ 2: Cho x+y =2 . Tìm GTNN của A  x 2  y 2. 2011-2012. Giải: áp dụng BĐT BunhiaCopski ta có:. 1.x  1. y   1  1x 2  y 2  x  y  2. 2. .  2 x2  y 2. . mà x+y=2 nên 2 x 2  y 2   4  x 2  y 2  2 tức là A  2 x  y  x  y 1 x  y  2. dấu “=” xảy ra  . Vậy GTNN của A = 2 khi x = y = 1 3) Sử dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức. a, A  x  2001  2004  x b, B  x  1  x  2  x  3  x  4 Giải Áp dụng BĐT x  y  x  y a, Ta có: A  x  2001  2004  x  x  2001  2004  x  3 dấu “=” xảy ra  . x  20012004  x   0.  2001  x  2004. Vậy GTNN của A=3 khi 2001  x  2004 b, x  1  x  4  1  x x  4  1  x  x  4  3. (1). x  2  x  3  x  2  3  x  x  2  3  x  1 (2). dấu “=” xảy ra của (1)  x  14  x   0  1  x  4 dấu “=” xảy ra của (2)  x  2 3  x   0  2  x  3 Khi đó: B  x  1  x  2  x  3  x  4  3  1  4 Vậy GTNN của B=4 khi 2  x  3 Ví dụ 2: Tìm GTNN của C  9 x 2  6 x  1  9 x 2  30 x  25. Giải: C  9 x 2  6 x  1  9 x 2  30 x  25. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 14 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị C. 3x  1. 2. . 2011-2012. 2. 3x  5. C  3x  1  3x  5 3x  1  5  3x  3x  1  5  3x  4. 1 3. dấu “=” xảy ra  3x  15  3x   0   x  Vậy GTNN của C=4 khi. 5 3. 1 5 x 3 3. 4) Bài tập đề nghị: a, Bài tập sử dụng BĐT Côsi Tìm GTNN của các biểu thức sau: A. 1 1  với x+y=100 và x; y  0 x y. B. x 3  với x > 2 3 x2. C  x2  y 2 . 2 với x;y cùng dấu xy. b, Bài tập sử dụng BĐT BunhiaCopski: Tìm GTLN của các biểu thức sau: A  2x  5  x2 B  x  y biết x 2  4 y 2  1. Cho xy+yz+xz = 1 Tìm GTNN của C  x 4  y 4  z 4 c, Bài tập sử dụng các BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối. A  x  4  x  3  x  5  x  1 Tìm GTLN của A B  x  2 x  1  x  2 x  1 Tìm GTNN của B. VI) Phương pháp tìm miền xác định. 1) Đưa về phương trình bậc 2 và sử dụng điều kiện   0 Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A. 6  8x x2  1. Giải: A . 6  8x x2  1. (1). Do x 2  1  0 (1)  A x 2  1 6  8 x  Ax 2  A  6  8 x  0  Ax 2  8 x  A  6  0. (2). GV: Nguyeãn Thò Thanh. 15 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị +, Nếu A=0 thì (2) có nghiệm x . 2011-2012. 3 4. +, Nếu A  0 thì (2) có nghiệm    0  '  16  A  A  6    A2  6 A  16  0  A2  6 A  16  0   A  2  A  8   0  2  A  8 T / m  A  0. Với A=-2 thì nghiệm của (2) là: x  Với A=8 thì nghiệm của (2) là: x . b' 4  2 A 2. b' 4 1   A 8 2. Vậy GTNN của A = -2 khi x=2 GTLN của A=8 khi x . 1 2. VI) Phương pháp đặt ẩn phụ: Phương pháp đặt ẩn phụ ta đưa về biến mới để biến đổi rút gọn biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn. Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức sau: A  x  5   x  1 4. 4. Giải: Đặt y=x+3 ta có x=y-3 thay vào biểu thức A Ta có: A   y  3  5    y  3  1 4. 4. A  y  2  y  2 4. 4. A  y 4  8 y 3  24 y 2  32 y  16  y 4  8 y 3  24 y 2  32 y  16 A  2 y 4  48 y 2  32  32. Dấu “=” xảy ra  y  0  x  3  0  x  3 Vậy GTNN của A=32 khi x = -3 VII) Một số phương pháp khác. 1, Bình phương hai vế của biểu thức. Có trường hợp ta không thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi tìm cực trị của bình phương biểu thức đó: Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau: M  x2  x  1  x2  x  1. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 16 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị 2011-2012 Giải: Tìm GTNN của biểu thức M đã được giải trong phương pháp bất đẳng thức Côsi ở phần trên, ngoài phương pháp đó ra ta còn có phương pháp giải khác. M  x2  x  1  x2  x  1 M 2  x2  x  1  x2  x  1  2. x. 2. . .  x  1 x2  x  1. M 2  2x2  2  2 x4  x2  1  2  2  4  M2 4 M 2. Dấu “=” xảy ra  x  0 vậy GTNN của M=2 khi x=0 Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức sau: A  3 x  1  4 5  x với 1  x  5. Giải:. . A2  3 x  1  4 5  x  9 x  9  80  16 x  24  7 x  71  24.   9 x  1 16 5  x  24 2. x  15  x . x  15  x . x  15  x . Vì x  5  7 x  35 và x  15  x   0 nên A2  35  71  0 hay A2  36 Do A  0 nên A  36 Dấu “=” xảy ra  x  5 và x  15  x  =0  x  5 2) Sử dụng bài toán phụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau: M  x2  x  1  x2  x  1. Vậy GTNN của bài toán này ta đã làm bằng hai cách nêu trên ngoài ra ta còn có cách khác nữa để giải bằng cách sử dụng bài toán phụ. Xét bài toán phụ: Chứng minh rằng:. a 2  b2  x2  y 2 . a  x   b  y  2. 2. Dấu “=” xảy ra  ay  bx áp dụng bài toán phụ ở trên ta có: M  x2  x  1  x2  x  1. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 17 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị 2. 2. 2 2 2 1  3 1 1 3  1   3    3   x       x   x    x            2  2  2 2 2   2   2     2. 2011-2012 2. =  1  3   4  2 2. Dấu “=” xảy ra . 3 1 31  x    x  x  0 2  2 2 2 . Vậy GTNN của M=2 khi x=0 Để giải bài toán theo cách này học sinh phải chứng minh bài toán phụ rồi mới được vận dụng. Ngoài cách giải trên ta còn có cách giải khác xét trong phần tiếp theo. 3, Sử dụng mp tọa độ. Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức. M  x2  x  1  x2  x  1. Giải: Xét trong cùng mặt phẳng tọa độ 0xy xét các điểm. A x; o   1 3  B  ;   2 2 . 1 3 C  ;   2  2. Ta thấy điểm B, C nằm khác nhau đối với trục hoành mà A thuộc trục hoành Xét 3 điểm A; B; C ta có: AB  AC  BC 2. 2 1  3  Ta có: AB   x     0    x 2  x  1 2  2  . 2. 2 1  3  2 AC   x     0    x  x  1 2  2   2. 2 3  1 1  3 BC           42 2   2 2  2.  AB  AC  x 2  x  1  x 2  x  1  BC  2. Dấu “=” xảy ra  A là giao điểm của BC với trục hoành A  0  x  0 Vậy GTNN của M=2 khi x=0. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 18 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị 2011-2012 Nhận xét: Tìm GTNN của biểu thức M ở đây tôi đã đưa ra 4 phương pháp để tìm, trong mỗi phương pháp đều có cách giải riêng biệt tùy theo từng bài, từng dạng bài tập ta có thể lựa chọn cách giải cho phù hợp. 4, Phương pháp xét khoảng giá trị: Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức để A  x  2  x  5  15. Dạng bài tập này ta đã có cách giải cụ thể sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối đã nêu ở phần 4.3 ở trên ngoài ra ta còn sử dụng phương pháp xét khoảng để giải. A  x  2  x  5  15. +, Nếu x<2 thì x  2  2  x x 5  5 x. Khi đó A =2 – x +5-x+15 = 22-2x <18 ( 1) +, Nếu x>5 thì x  2  x  2 x 5  x 5. Khi đó A= x- 2 +x = 5-15 = 2x+8 > 18 ( 2 ) +, Nếu 2  x  5 thì x  2  x  2 ; x  5  5  x Khi đó A = x- 2 + 5 –x +15 = 18 ( 3) Kết hợp các giá trị của A trong 3 trường hợp trên ta có: Giá trị nhỏ nhất của A = 18 khi 2  x  5 Ta cũng xét ví dụ này ngoài cách trên ta còn có cách giải khác ta xét trong phần tiếp theo sau đây: 5, Sử dụng A  A Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức: A  x  2  x  5  15 Giải: A  x  2  x  5  15 A  x  2  5  x  15. Ta có: x  2  x  2 x 5  5 x. GV: Nguyeãn Thò Thanh. 19 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trị. 2011-2012.  x2  5 x  x25 x  x  2  5  x  15  x  2  5  x  15  18  A  18. x  2  0 x  2  5  x  0 x  5. Dấu “=” xảy ra  . 2 x5. Vậy GTNN của A = 18 khi 2  x  5 Nhận xét: Qua 3 cách giải trên cả cách giải theo 4.3 ta thấy cách giải thứ 3 là đơn giải dễ hiểu hơn cả. Ta chỉ cần sử dụng giá trị tuyệt đối A  A Dấu “=” xảy ra  A  0 VIII) Ứng dụng của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . Trong khi làm chúng ta có thể gặp nhứng bài toán tìm GTLN, GTNN một cách tường minh cụ thể, cũng có khi lại gặp nó dưới dạng một dạng toán khác. Đó chính là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình:. x  4  6  x  x 2  10 x  27. x  4  0 Giải: TXĐ: 6  x  0  x 2  10 x  27  0 . 4 x6. Xét VT 2   x  4  6  x   12  12 x  4  6  x   4 2.  VT 2  4  VT  2 VP  x 2  10 x  27  x  5   2  2 2.  x4  6 x  2. Để VT  VP  . 2  x  10 x  27  2.  x  4  6  x  2  2 x  5   0.  x  4  6  x  2   x  5  x  5 thuộc TXĐ. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=5 Nhận xét:Để giải phương trình này bằng các phương pháp thông thường rất phức tạp và khó khăn nhưng giải phương trình trên bằng phương pháp đánh giá hai vế ta GV: Nguyeãn Thò Thanh. 20 Lop8.net. Trường TH-THCS Gáo Giồng.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>