Toán học - Phương pháp giải đối với một lớp tích phân đặc biệt

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỐI VỚI MỘT LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT TRẦN XUÂN ĐƯỜNG (GV Trường sĩ quan Tăng thiết giáp, Tam Dương, Vĩnh Phúc). Trong bài viết này tôi xin được trao đổi về phương pháp giải đối với một lớp tích phân đặc biệt, nhưng thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng. Tích phân tổng quát có dạng: . I   x m (a  bx n ) p dx trong đó a, b  R; a, b  0; m, n, p  Q; n, p  0 . . ( Đối với các trường hợp đặc biệt khi a  0; b  0 ; n  0 hoặc p  0 tích phân trên suy biến thành các tích phân đơn giản. Chúng ta dễ dàng tính được băng cách dùng bảng nguyên hàm ) Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại của các lũy thừa m,n,p mà chúng ta sử dụng phép đổi biến tương ứng.  Dạng 1: Nếu p  Z , thì gọi q là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi m và n, khi đó đặt x  t q . Thật vậy: Trước hết ta xét tích phân tổng quát sau đây . m1 m2. n1 n2. I   x (a  bx ) p dx trong đó m1 , m2 , n1 , n2  Z ; m2 , n2  0 . . Gọi q là bội số chung nhỏ nhất của m2 , n2 khi đó k , l  Z ; k , l  0 sao cho q  km2  ln2 . Đặt x  t q  dx  qt q 1dt . Khi x    t  1 ; x=  t  1. Từ đó ta có . m1 m2. n1 n2. I   x (a  bx ) p dx . 1.  q t. q. m1 m2. (a  bt. q. n1 n2. ) p t q 1dt. 1. 1.  q t. km2. m1 m2. (a  bt. ln2. n1 n2. ) p t km2 1dt. 1. 1.  q  t km1 (a  bt ln1 ) p t km2 1dt 1. 1.  q  t k ( m1  m2 ) 1 (a  bt ln1 ) p dt (1). 1. Do m1 , m2 , k , n1 , l , p  Z nên tích phân (1) là tích phân của hàm hữu tỉ, và dĩ nhiên việc tính tích phân mới này đơn giản hơn so với tích phân ban đầu.. Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 4.  Thí dụ 1. Tính tích phân I   1. dx . x(1  x ). Lời giải. 4. 4. 1 dx 1   x 1 (1  x 2 ) 1 dx  m  1; n  ; p  1  Z  q  2. 2 x) 1 1 x (1  Đặt x  t 2  dx  2tdt Khi x  1  t  1; x=4  t  2. Từ đó. Ta có: I  . 2. 2. tdt dt I  2 2  2 t (1  t ) t (1  t ) 1 1  2 dt 2 dt  2 2  2      2 ln t 1  ln t  1 1   1 t 1 1 t  4  2 ln . A 3.  Dạng 2: Nếu. m 1  Z , khi đó gọi r là mẫu số của p và đặt a  bx n  t r . n. Xét tích phân tổng quát trong trường hợp này: . m 1  Z; n. I   x m (a  bx n ) p dx trong đó . s p  ; s, r  Z ; s, r  0. r. m 1  Z  k  Z sao cho m  1  kn. n tr  a r  x n 1dx  t r 1dt Đặt a  bx n  t r  x n  b bn Khi x    t  1 ; x=  t  1. Từ đó ta có. Từ điều kiện. . s. I   x m (a  bx n ) r dx  . s xm n r n 1   n 1 (a  bx ) x dx  x. . s.   x m 1 n (a  bx n ) r x n 1dx  . x. n ( k 1). s n r. (a  bx ) x n 1dx. . k 1. . r 1  t r  a  r rs r 1    t t dt nb 1  b  r  k nb. 1.  t. 1. r.  a  t r  s 1dt (2). k 1. Do r , k , s  Z nên tích phân (2) là tích phân của hàm hữu tỉ.. Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  Thí dụ 2. ( Đề thi Đại học Ngoại thương, 1996) 1. Tính tích phân I   x3 1  x 2 dx . 0. Lời giải. 1. 1. 1. 1 2. Ta có: I   x3 1  x 2 dx   x3 (1  x 2 ) 2 dx  m  3; n  2; p   0. 0. m 1  2  Z. n. Đặt 1  x  t  x  1  t  xdx  tdt Khi x  0  t  1; x=1  t  0. Từ đó 2. 2. 2. 2. 1. 1. I   (1  t 2 )t 2 dt   (t 2  t 4 )dt 0. 0. 1. (. t3 t5 2  )  .A 3 5 0 15.  Nhận xét. Trong trường hợp đặc biệt khi. m 1  Z và p  Z phép đặt ẩn phụ n. trong tích phân trên có dạng a  bx n  t ta xét thí dụ sau đây:  Thí dụ 3. ( Đề thi Đại học Kinh tế quốc dân,1997) 1. Tính tích phân I   x5 (1  x3 )6 dx . 0. Lời giải. Ta có m  5; n  3; p  6 do vậy p  Z ;. m 1  Z. n. Đặt 1  x3  t  x3  1  t  3x 2 dx  dt Khi x  0  t  1; x=1  t  0. Từ đó 1. 1. I   x (1  x ) dx   x 3 (1  x 3 )6 x 2 dx 5. 0. 1. . 3 6. 0 1. 1 1 (1  t )t 6 dt   (t 6  t 7 )dt  30 30. 1 71 1 81 1 1 1 t  t    .A 0 0 21 24 21 24 168 a  bx n m 1  tr .  p  Z , khi đó gọi r là mẫu số của p và đặt  Dạng 3: Nếu xn n . Xét tích phân tổng quát trong trường hợp này . I   x m (a  bx n ) p dx trong đó . m 1 m 1 s p   Z ; s, r  Z ; r  0. n n r. m 1  p  Z  k  Z sao cho m  np  1  kn. n a  bx n a ar t r 1dt r n n 1 t  x  r  x dx    r . Đặt xn t b n (t  b) 2 Khi x    t  1 ; x=  t  1. Từ đó. Từ điều kiện. Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . . . . I   x m (a  bx n ) p dx  . x m (a  bx n ) p np n 1 x x dx x n 1 x np. p. . x. m  np 1 n. . p. . n  a  bx n  n 1 n ( k 1)  a  bx  n 1 x dx  x     x dx n n   x   x  . k 1. . . a k r 1 r rs t r 1dt ar 1  a  rp t r 1dt   t   r t  n 1 (t r  b) k 1 n 1  t  b  (t r  b) 2 . . a k r 1 t s  r 1 dt (3). n 1 (t r  b) k 1. Do r , k , s  Z nên tích phân (3) là tích phân của hàm hữu tỉ. 2.  Thí dụ 4. Tính tích phân I   1. dx x4 1  x2. .. Lời giải. 2. 2. 1  1 m 1   x 4 (1  x 2 ) 2 dx  m  4; n  2; p     p  2  Z . 4 2 n 1  x2 1 1 x 1  x2 1 tdt Đặt 2  t 2  x 2  2  xdx  2 2 x t 1 (t  1). Ta có: I  . dx. 5 . Từ đó 2 2 2 dx I   4 1  x2 1 1 x. Khi x  1  t  2; x=2  t . . 5 2. xdx x6. 1  x2 x 5 2. (t  1) tdt . 2    (t 2  1)dt 2 t (t  1) 2 2. . 2. 3.  t   t   3  3. 5 2. . 2. 7 5 8 2 .A 24. Để kết thúc bài viết mời các bạn hãy thử tính các tích phân sau: 1. 1. I   x(1  x) 2010 dx 0. 1. 4. I   x (1  4 x )5 dx 0. 7. 7. I .  0. x 3 dx 3. 1  x2. 1. 2. I   x 3 (1  x 2 ) 20 dx 0. 16. 1. 2 3. 1. 5. I   x 2 2  x 3 dx. 6. I . 0. 3. 8. I .  1. x2  1 dx x2. Lop11.com. dx x(1  4 x ). 3. I  . . 5 3. . 9. I  . 3 3. dx x x2  4 dx (1  x 2 )3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>