Bài tập Chuyên đề: Đại số tổ hợp, xác suất

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bài tập chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT. 1. I. Các bài toán về Chỉnh hợp, Tổ hợp và phép đếm A. KiÕn thøc cÇn nhí: 1. Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân 2. Ho¸n vÞ, chØnh hîp, tæ hîp Cho tËp hîp A gåm n phÇn tö (n  1) a) Ho¸n vÞ §N: Mçi kÕt qu¶ cña sù s¾p xÕp thø tù n phÇn tö cña tËp hîp A ®­îc gäi lµ mét ho¸n vÞ của n phần tử đó. Sè ho¸n vÞ cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ: Pn Pn = n! = n(n-1)…..2.1 P1 = 1; Quy ­íc: P0 = 0! = 1 b) ChØnh hîp §N: Mçi bé s¾p thø tù gåm k phÇn tö cña tËp A lµ mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö (cña tËp A). Sè chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ: Ank Ank  n(n  1)....(n  k  1) . n! ; (n, k  N * , k  n) ; Quy ­íc An0  1 (n  k )!. c) Tæ hîp §N: Mçi tËp con gåm k phÇn tö cña tËp A ®­îc gäi lµ mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö Sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ: Cnk Cnk . Ank n!  ; (n, k  N , 0  k  n) ; Chó ý: C00  C11  Cnn  Cn0  1 k ! k !(n  k )!. TChÊt: Cnk  Cnn  k ;. Cnk1  Cnk 1  Cnk. B. Bµi tËp Bài tập về PT, BPT có liên quan đến các số Pn; Cnk ; Ank Bµi 1. Gi¶i c¸c PT, BPT: a) Cn4  Cn5  3Cn61. §S: n = 6.. c) 23 An4  24( An31  Cnn  4 ). §S: n = 5.. b) Cnn21  Cnn 2  2,5 An2. §S: n  2.. d) An3  2Cnn  2  9n. §S: n = {3; 4}. Bµi 2. Gi¶i bÊt PT hai Èn n, k víi n, k  0 Pn 5  60 Ank32 (n  k )!. Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M . §S: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3). An41  3 An3 nÕu Cn21  2Cn2 2  2Cn23  Cn2 4  149 . §S: 3/4 (n  1)!. Bµi 4. Cho tËp hîp A gåm n phÇn tö (n  4). BiÕt r»ng sè tËp hîp con gåm 4 phÇn tö cña A b»ng 20 lÇn sè tËp hîp con gåm 2 phÇn tö cña A. §S: A cã 18 phÇn tö. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài tập chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT. 2. Các bài tập về phép đếm có liên quan đến hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Bài 5. Có 6 phong bì thư khác nhau và 5 tem thư khác nhau. Người ta chọn và dán 3 tem lên ba b× th­, mçi b× th­ gi¸n mét tem. Hái cã bao nhiªu c¸ch lµm nh­ thÕ? §S: 1200 c¸ch Bµi 6. (§H K D - 2004) Trong mét m«n häc, thÇy gi¸o cã 30 c©u hái kh¸c nhau gåm 5 c©u hái khã, 10 c©u hái trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hởi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hái dÔ kh«ng Ýt h¬n 2. ĐS: 56.875 cách chọn đề kiểm tra. Bµi 7. (§H K B - 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam vµ 1 n÷. §S: C124 C31.C84C21  207.900 Bµi 8. (§H K D- 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 häc sinh líp L, vµ 3 häc sinh líp H. CÇn chän 4 häc sinh ®i lµm nhiÖm vô, sao cho 4 häc sinh thuéc kh«ng qu¸ 2 trong ba líp trªn. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nh­ vËy? §S: 225 c¸ch Bµi 9. Cã 5 nhµ to¸n häc nam, 3 nhµ to¸n häc n÷, vµ 4 nhµ vËt lÝ nam. LËp mét ®oµn c«ng t¸c gåm 3 nguêi cã c¶ nam vµ n÷, cÇn cã c¶ nhµ to¸n häc vµ nhµ vËt lÝ. Hái cã bao nhiªu c¸ch? §S: 90 c¸ch Bài 10. Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số? §S: 64 c¸ch Bài 11. Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người, sao cho mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật. §S: 150 c¸ch Bài 12. Trong một chi đoàn có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong đó có một nam sinh tên là Cường, và một nữ sinh tên Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp từ 11 đoàn viên đó, gồm 6 nguời với yêu cầu có ít nhất 2 nữ ngoài ra không có mặt đồng thời cả Hoa và Cường. Hỏi có bao nhiªu c¸ch lËp? §S: 260 c¸ch. Bài 13. Cho hình thập giác đều. 1) Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác, nhưng cạnh của tam giác không là cạnh nào của thập giác đó? §S: 50 tam gi¸c 2) Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của thập giác? ĐS: 10 Bµi 14. Tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè ch½n, mçi sè cã 5 ch÷ sè khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số đó đứng cạnh nhau. §S: 360 sè Bài 15. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi trường hợp sau: 1) Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trường. 2) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường. §S: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6! Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài tập chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT. 3. II. Các bài toán liên quan đến công thức nhị thức Newton A. KiÕn thøc c¬ b¶n Công thức nhị thức Newton: Với mọi số thực a, b và n nguyên dương ta có:. a  b. n. n.   Cnk a k b n  k. (1). k 0. k k nk Sè h¹ng thø k+1 lµ Tk+1 = Cn a b. 0kn. (2). 0 1 2 2 n n Khai triển đặc biệt: 1  x   Cn  Cn x  Cn x  .....  Cn x n. (3). B. Bµi tËp C¸c bµi tËp vÒ hÖ sè trong khai triÓn nhÞ thøc Newton Bµi 16. (§H KB - 2007) T×m hÖ sè cña x10 trong khai triÓn nhÞ thøc (2+x)n , biÕt r»ng. 3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  2 Cn2  3n 3 Cn3  ...  (1) n Cnn  2048. §S: n = 11, hsè = 22. Bµi 17. (§H KD - 2007) T×m hÖ sè cña x5 trong khai triÓn biÓu thøc sau:. P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10. §S: 3320. Bµi 18. (§H KA - 2006) n. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa r»ng. x26.  1 7 trong khai triÓn nhÞ thøc Newton cña  4  x  , biÕt x . C21n 1  C22n 1  C23n 1  .....  C2nn 1  220  1 .. §S: n =10, hsè = 210.. Bµi 19. (§H KA - 2004) T×m hÖ sè cña x8 trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña biÓu thøc 2 P = 1  x (1  x) . 8. §S: 238.. Bµi 20. (§H KD - 2004) T×m c¸c sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc Newton 7. 1  3  x  4  víi x > 0. x . §S: 35.. Bµi 21. (§H KD - 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n - 3 là hệ số của x3n -3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức (x2 +1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3 = 26n. §S: n = 5. 9 3 Bµi 22. T×m c¸c sè h¹ng lµ sè nguyªn trong khai triÓn ( 3  2) . §S: 8 vµ 4536.. Bµi 23. XÐt khai triÓn (2x+2)9 = a0 + a1x + a2x2 + …+a9x9. T×m Max{ai, i = 1, 9}. §S: a5=a6.. Bài 24. Xét khai triển (x+2)n = a0 + a1x + a2x2 + …+anxn. Tìm n để Max{ai, i = 1, n}=a10. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài tập chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT. 4. III. X¸c suÊt A. Tãm t¾t lÝ thuyÕt (SGK) B. Bµi tËp Bài 25. Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất trong hai trường hợp sau: 1) Lấy được ba viên bi màu đỏ. 2) Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ. §S: 1) 35/220; 2) 140/220. Bài 26. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất để 1) Cã 4 kh¸ch nam vµ 2 kh¸ch n÷. 2) Cã Ýt nhÊt hai kh¸ch n÷. §S: 1)3/7; 2) 27/42. Bài 27. Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn nhẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1toa có 1 người, hai toa còn lại không có người nào trong 4 người đó. §S: 3/16. Bài 28. Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thư khác nhau vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng phong bì của nó. §S: 2/3. Bài 29. Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính xác suất để tích cña hai sè trªn hai tÊm thÎ lµ mét sè ch½n. §S: 13/18. Bài 30. Người ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn Vật lí, 7 cuốn Hoá học (các cuốn sách cùng loại giống nhau) để làm giải thưởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh được hai cuốn sách khác loại. Trong số 9 học sinh trên có hai bạn Ngọc và Thảo. Tìm xác suất để hai bạn đó có giải thưởng giống nhau. §S: 5/18. Bài 31. Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 7 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, hộp II có 6 viên bi mµu tr¾ng, 4 viªn bi mµu xanh. LÊy ngÉu nhiªn mçi hép mét viªn bi. BiÕt kÕt qu¶ lÊy bi ë mçi hộp là độc lập, tính xác suất của biến cố lấy được 1) A = “ hai bi cïng mµu” 2) B = “ hai bi kh¸c mµu”. §S:. Bài 32. Biết trong 20 vé số có 2 vé trúng thưởng. Chọn ngẫu nhiên 3 vé, tính xác suất để có hai vé trúng thưởng. Bài 33. Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự một kì thi. Biết khả năng đỗ của mỗi người tương øng lµ 90% vµ 70%. T×m x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè sau: 1) Cả hai đều đỗ. 2) Có ít nhất một người đỗ. 3) Chỉ có Ngân đỗ còn Nga trượt.. §S: 1) 63%;. 2) 97%;. 3) 27%.. Bài 34. Một xạ thủ được bắn hai viên đạn, xác suất bắn được điểm 10 của mỗi lần bắn là 0,7 và 0,9. Biết hai lần bắn độc lập, tính xác suất để ít nhất 1 lần bắn đạt điểm 10. Bài 35. Một xạ thủ được bắn 3 viên đạn. Xác suất để trúng cả 3 viên vòng 10 điểm là 0,008, xác suất để 1 viên trúng vào vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vào vòng dưới 8 điểm là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. (các vòng bắn độc lập với nhau). ĐS: 0,0935. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>