Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân - Chủ đề: Diện tích hình phẳng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN. Luyện thi Đại học 2010. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG. Chủ đề:. I- LÝ THUYẾT: Dạng 1: Hình H được giới hạn bởi: ì y = f ( x) ( C ) ï ïx = a í ïx = b ïîTrôc Ox. y. Dạng 2: Hình H được giới hạn bởi: ì x = f ( y) ( C / ) ï ïy = a í ïy = b ïTrôc Oy î y f(y) b. f(x). (H). (H) x O. a. a. b. x. O. Diện tích hình phẳng H tính bởi:. Diện tích hình phẳng H tính bởi:. b. S H = ò f ( x) dx. b. S H = ò f ( y ) dy. a. a. * Dạng thường gặp:. x f(x). Diện tích hình phẳng H tính bởi:. b y. c c. b. a. c. O a. S H = ò f ( x)dx + ò [ - f ( x)] dx. (H). Dạng 3: Hình phẳng giới hạn bởi: y = f ( x) , y = g ( x) và 2 đường thẳng x = a, x = b . y y f(x). f(x). (H). (H) g(x). g(x) x O. a. x. b. Diện tích hình phẳng H tính bởi:. O. a. c. b. Diện tích hình phẳng H tính bởi:. b. S H = ò [ f ( x) - g ( x)] dx. c. b. a. c. S H = ò [ f ( x) - g ( x)] dx + ò [ g ( x) - f ( x)] dx. a. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Luyện thi Đại học 2010 Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Lưu ý: 1- Trong rất nhiều bài toán, giả thiết ban đầu không có các cận. Vậy thì dễ thấy cận của tích phân cần tính là nghiệm của phương trình: f ( x) = g ( x) 2- Trong một số trường hợp tính diện tích hình phẳng bằng tích phân theo biến y ta có lời giải ngắn gọn, dể hiểu hơn nhiều so với tính tích phân theo biến x .. Nhận xét:. a) Dễ nhận thấy, công thức (*) là trường hợp đặc biệt đối với công thức (**) khi g ( x) º 0 . b) Như vậy, việc tính diện tích hình phẳng lại quy về việc tính tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ta làm rõ kỹ năng này. y Phương pháp 1: Tìm cận trung gian và lập bảng xét dấu. ĐỐI VỚI DẠNG 2: y = f(x ) Phương pháp 2: Dùng hình vẽ, với nhận xét: b. S H = ò f ( x ) - g ( x ) dx. a. a. c. b. a. c. cO. = ò f ( x ) - g ( x ) dx + ò f ( x ) - g ( x ) dx c. b. a. c. b. x. y = g (x ). = ò [ f ( x ) - g ( x ) ] dx + ò [ g ( x ) - f ( x ) ] dx b. Phương pháp 2: THUẬT TOÁN TÍNH:. S H = ò f ( x) - g ( x) dx a. Bước 1: Giải phương trình f ( x) = g ( x) .Giả sử có hai nghiệm x1 , x2. ( a < x1 < x2 < b ). Bước 2: Như vậy trên các đoạn [ a; x1 ] , [ x1 ; x2 ] , [ x2 ; b ] thì f ( x) - g ( x) không đổi dấu: Tức là: b. x1. x2. b. a. a. x1. x2. S H = ò f ( x) - g ( x) dx = ò f ( x) - g ( x) dx + ò f ( x) - g ( x) dx + ò f ( x) - g ( x) dx =. x1. x2. a. x1. ò [ f ( x) - g ( x)] dx +. ò [ f ( x ) - g ( x ) ] dx +. b. ò [ f ( x ) - g ( x ) ] dx. x2. II- VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: (Khối A- 2002) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: y = x2 - 4x + 3 , y = x + 3 Gợi ý: Gọi (C): y = x 2 - 4 x + 3 và (d): y = x + 3 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) : (*) ì x ³ -3 ì x ³ -3 ï ï x2 - 4 x + 3 = x + 3 Û íé x2 - 4 x + 3 = x + 3 Û íé x2 - 5x = 0 (1) ê ê ï 2 ï 2 î ë x - 4 x + 3 = - x - 3 î ë x - 3 x + 6 = 0 v« nghiÖm Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN é x = 0 Tháa (*) Ta có : x 2 - 5 x = 0 Û ê ë x = 5 Tháa (*). Luyện thi Đại học 2010. Cách 1: Dùng đ ồ thị. Dựa vào hình vẽ, ta thấy: x 2 - 4 x + 3 £ x + 3 "x Î [ 0;5]. y (C). 8. Lúc đó: 5. (. ). S H = ò x + 3 - x 2 - 4 x + 3 dx 0. 1. 3. 5. 0. 1. 3. = ò ( x + 3 - x 2 + 4 x - 3 ) dx + ò ( x + 3 + x 2 - 4 x + 3 ) dx + ò ( x + 3 - x 2 + 4 x - 3 ) dx 1. 3. 5. = ò ( - x 2 + 5 x ) dx + ò ( x 2 - 3 x + 6 ) dx + ò ( - x 2 + 5 x ) dx 0. 3. 1. d. 1. O æ 1 3 5 2ö1 æ1 3 3 3 ö 3 æ 1 3 5 2 ö 5 109 = ç - x + x ÷ + ç x - x + 6x ÷ + ç - x + x ÷ = (®.v.d.t) -1 2 ø 0 è3 2 2 ø3 6 è 3 ø1 è 3 Cách 2: Sử dụng chia khoảng 0 1 3 x 2 + 0 0 x - 4x + 3 Ta có: 5. S H = ò x + 3 - x - 4 x + 3 dx = 2. 0. 1. ò( x + 3- x. =. 0. 2. 0. 3. ). 2. (. 1. 5. 5. +. ). - 4 x + 3 dx. 1. 2. 5. ). 3. 3. (. ). 5. 2 2 2 ò ( x + 3 - x + 4 x - 3) dx + ò ( x + 3 + x - 4 x + 3) dx + ò ( x + 3 - x + 4 x - 3) dx 0. 1. 1. =. ò( x + 3- x. 3. - 4 x + 3 dx + ò x + 3 - x - 4 x + 3 dx + ò x + 3 - x 2 - 4 x + 3 dx. 1. =. 5. x. 2. 3. ò ( -x 0. 3. 2. 3. 5. + 5 x ) dx + ò ( x 2 - 3 x + 6 ) dx + ò ( - x 2 + 5 x ) dx = 1. 3. 109 6. (®.v.d.t). Nhận xét: Cách giải 1, tỏ ra hiệu quả hơn cách giải 2. Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: y 2 + x - 5 = 0, x + y - 3 = 0 Gợi ý: Gọi (C): x = 5 - y 2 và (d): x = 3 - y Cách 1: Tính tích phân theo biến y Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :. y (C). é y = -1 (C): 5 - y 2 = 3 - y Û y 2 - y - 2 = 0 Û ê ëy = 2 Dựa vào hình vẽ ta có:. d. 2. 1. 4. x. O -1. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN. Luyện thi Đại học 2010. æ y ö2 y + y + 2 ) dy = ç - + + 2y÷ 2 è 3 ø -1 -1 -1 æ 8 ö æ 1 1 ö -7 17 37 = ç - + 2 + 4÷ - ç - + - 2÷ = + = (®.v.d.t) 2 6 è 3 ø è 3 2 ø 3 Cách 2: Tính tích phân theo biến x Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) : é y = -1 Þ x = 4 (C): 5 - y 2 = 3 - y Û y 2 - y - 2 = 0 Û ê ëy = 2 Þ x =1 2. S H = ò éë5 - y 2 - ( 3 - y ) ùû dy =. 2. ò (-y. 2. éy = 5 - x Ta có: y 2 + x - 5 = 0 Û ê êë y = - 5 - x Lúc đó: 4. 5. (. 3. 2. y (C). d. 2. x. 4. 1. O. (PhÇn (C) phÝa trªn Ox). -1. (Phần (C) phía dưới Ox). ). 37 (®.v.d.t) 6 1 4 Ví dụ 3:(Khối B 2002) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: SH = ò éë 5 - x - ( 3 - x ) ùûdx + ò. y = 4-. 5 - x + 5 - x dx = ... =. x2 x2 ,y = 4 4 2. x2 x2 . và (P): y = Gợi ý: Gọi (E): y = 4 4 4 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (E) và (P): éx = 2 2 x2 x2 x4 x2 4= Û + - 4 = 0 Û x2 = 8 Û ê 4 4 2 32 4 ëê x = -2 2. y. 2 2. (E) x -4. O. -2 2. x2 x2 Trên é -2 2;2 2 ù thì 4 ³ và do hình đối xứng qua trục tung nên: ë û 4 4 2 2 2æ 2 2 2 2 1 x2 x2 ö 2 = SH = ò ç 4 d x 16 x d x x 2 dx = S1 - S2 ÷ ò ò ç ÷ 4 4 2ø 2 2 0 0 è 0 2 2. * Tính S1 =. ò. 16 - x dx . Đặt x = 4sin t Þ dx = 4 cos tdt 2. 0. p 4. p 4. p 4. 0. 0. (P). æ é p p ùö ç t Î ê- ; ú ÷ è ë 2 2 ûø. Þ. 2 2. 4. p 4 t =0. x=2 2: t= x =0:. Þ S1 = ò 16 - sin 2 t .4 cos tdt = 16 ò cos2 tdt = 8 ò (1 + cos2t ) dt = 2p + 4 . 0. * Tính S2 =. 1 2 2. 2 2. ò. x 2 dx =. 0. Vậy SH = S1 - S2 = 2p +. 3. x 2 2 8 = . 3 2 2 3 0 1. .. 4 (®.v.d.t) 3. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN. Luyện thi Đại học 2010. Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi ( P ) : y = x - 4 x + 5 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm có hoành độ x = 1, x = 4 . y 5 Gợi ý: B (d2) Ta có: y / = 2 x - 4 . (P) ìy = 5 * Tại điểm có x = 4 Þ í / îk1 = y (1) = 4 thì phương trình tiếp tuyến là : A ( d1 ) : y - 5 = 4( x - 4) Û y = 4 x - 11 . 2 2. ìy = 2 * Tại điểm có x = 1 Þ í / îk1 = y (1) = -2 thì phương trình tiếp tuyến là : ( d 2 ) : y - 2 = -2( x - 1) Û y = -2 x + 4. (d1) x O. æ 15 ö Ta có: ( d1 ) Ç ( d 2 ) = C ç ; -1 ÷ . è6 ø Dựa vào đồ thị ta có: 15 6. (. 15 6. 1. -1. 4. ). (. 4. C. ). SH = ò éë x 2 - 4 x + 5 - ( -2 x + 4 ) ùû dx + ò éë x 2 - 4 x + 5 - ( 4 x - 11) ùû dx 15 6. 1. =. 15 6. ò(x. 2. 4. ). - 2 x + 1 dx + ò. 15 6. 1. (. 15 4 æ x3 ö æ x3 ö 2 2 x - 8 x + 16 dx = ç - x + x ÷ 6 + ç - 4 x + 16 x ÷ 15 = .... (®.v.d.t) è 3 ø1 è 3 ø 6. ). 2. Ví dụ 5: Parabol (P): y 2 = 2 x chia hình tròn (C) tâm O, bán kính 2 2 theo tỉ số nào? Gợi ý: * Phương trình hoành độ giao điểm của (P): y 2 = 2 x ( ³ 0 ) và (C): x 2 + y 2 = 8.. é éy = 2 êx = 2 Þ ê x + 2 x = 8 ( x ³ 0) Û x + 2 x - 8 = 0 Û ê ë y = -2 êë x = -4 lo¹i 2. 2. ị Tọa độ giao điểm là: B ( 2;2 ) và C ( 2; -2 ). y. (C') 2 2. * Ta tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng OAB: 2. S1 = SOAB = ò 2 x dx + 0. 2 2. ò 2. (P). 8 8 - x dx = + I 3 2. 1. 2. 2 2. x. O. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN. Luyện thi Đại học 2010. 2 2. ò. TÝnh I =. 8 - x 2 dx. §Æt x = 2 2 sin t Þ dx = 2 2 cos tdt. 2. x=2 2: Þ x =2:. p 2 p t= 4 t=. p 2. p 2. p 2. p 4. p 4. p 4. Þ I = ò 2 2 cos t.2 2 cos tdt = 8 ò cos2 tdt = 4 ò (1 + cos2t ) dt = p - 2 * Do đó, S1 =. 8 2 +p -2 =p + 3 3. 4 (®.v.d.t). 3 Gäi S lµ diÖn tÝch h×nh trßn (C) Þ S = p R 2 = 8p (®.v.d.t).. * Do tính đối xứng qua Ox nên: SOABC = 2 SOAB = 2p +. 4ö 4 æ Gäi S2 lµ phÇn diÖn tÝch h×nh trßn cßn l¹i Þ S2 = S - S1 = 8p - ç 2p + ÷ = 6p - (®.v.d.t). 3ø 3 è 4 S1 2p + 3 3p + 2 = = KÕt luËn: VËy parabol chia ®­êng trßn thµnh hai phÇn cã tû sè . S2 6p - 4 9p - 2 3 Ví dụ 6: Chứng minh với mọi m thì đường thẳng ( d ) : y = mx + 2 luôn cắt (P): y = x 2 + 1 tại 2 điểm phân biệt . Hãy xác định m để phần diện tích giới hạn bởi đường thẳng (d) và (P) có diện tích nhỏ nhất. Gợi ý: * Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):. x 2 + 1 = mx + 2 Û x 2 - mx - 1 = 0 (1) Ta cã: D = m 2 + 4 > 0 "m. VËy (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. Gọi hai giao điểm A, B có hoành độ x1 , x2 : nghiệm của pt(1). * DiÖn tÝch h×nh ph¼ng (H) cÇn t×m lµ: æ x 3 mx 2 öx 2 mx + 2 x 1 d x = + x÷ 2 ç- + òx 2 è 3 ø x1 1 m 2 1 1 = - x23 - x13 + x2 - x12 + (x2 - x1 ) = - (x2 - x1 )éë2 x22 + x1 x2 + x12 - 3m (x1 + x2 ) - 6 ùû 3 2 6 3 1 1 4 =m 2 + 4. éë2 m 2 + 1 - 3m 2 - 6 ùû = m2 + 4 ³ "m. 6 6 3 4 VËy min S = khi m = 0. (y.c.b.t ) 3 SH =. x2. ). (. (. ). (. (. ). ). (. (. ). ). Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN : 1) (TK-2006): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường: 2) (D-2002): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường:. Luyện thi Đại học 2010. y = x 2 - x + 3, y = 2 x + 1 -3x - 1 y= và Ox, Oy. x -1. 1 3) (TK-2002): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x3 - 2 x 2 + 3 x và Ox . 3 4) (A- 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = ( e + 1) x, y = (1 + e x ) x . 5) (TK-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 0, y =. x (1 - x ) x2 + 1. 6) (TK-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x 2 , y = 2 - x 2 æ 5ö 7) (TK 2002) Tìm m Î ç 0; ÷ sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị : è 6ø 1 1 y = x 3 + mx 2 - 2 x - 2 m - và các đường thẳng x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4. 3 3 x 2 + 3x + 3 7) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c) : y = , tiệm cận xiên của đồ thị hàm số và x +1 x = 1 và x = 2 .. 8) Tính diện tích hình (H) trong các trường hợp sau: 2 ïìy = x 2 îïx = -y. 1) (H4): í. ìïy = x 2 ïîy = 2 - x. 2) (H5): í. ln x ì y = ï 2 x ïï 3) (H7): íy = 0 ïx = e ï ïîx = 1 ìïy = x 2 - 2x 4) (H8) : í 2 îïy = -x + 4x 3 3 ì 2 ïy = x + x 2 2 5) (H9): í ïy = x î ìy 2 - 2y + x = 0. 6) (H10): í. îx + y = 0. ì(C ) : y = x ï 7) í(d ) : y = 2 - x ï(Ox ) î. ì(C ) : y = e x ï 8) í(d ) : y = 2 ï(D) : x = 1 î ì y 2 = 2x + 1 îy = x -1. 9) í. ìï y = - 4 - x 2 10) í ïî x 2 + 3 y = 0 ìy = x ï 11) í x + y - 2 = 0 ïy = 0 î ì x2 y = ïï 2 12) í ïy = 1 ïî 1+ x 2 ì y 2 = 2x 13) í î y = x , y = 0, y = 3. ì y = ln x , y = 0 ï 14) í 1 ïî x = e , x = e. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 1 1 ì ïï y = sin 2 x ; y = cos 2 x 15) í ïx = p ; x = p ïî 6 3. 16) y = 4 x - x 2 ; (p) vµ. tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6) ì y = - x 2 + 6x - 5 ï 17)*** í y = - x 2 + 4 x - 3 ï y = 3 x - 15 î ìy = x ï ïï y = 1 18) í x ïy = 0 ï ïî x = e 2 ïì y = x - 1 19) í îï y = x + 5. ìï y = x 3 20) í 2 ïî y = x. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN ìï y = x 2 - 3 x + 2 ìï y = -3 x 2 - x + 2 21) í 34) í 2 ïî y = 0 ïî y = - x ìy = x 2 + 2 2 22) í ïì y = x - 4 x + 3 35) í îy = 4 - x ïî y = 3 2 ì y = x - 2x + 2 ï 23) í y = x 2 + 4 x + 5 ïy = 1 î. ìï y = x 2 - 1 24) í 2 ïî y = - x + 7 ìy = x 3 ï 25) í y = 0 ï x = -2; x = 1 î ì y = sin x - 2 cos x ï 26) í y = 3 ï x = 0; x = p î. ì ïy 27) í ïî y ìy 28) í îy. = x +3+. 2 x. =0 = x 2 + 2x = x +2. ì y = 2x 2 - 2x ï 29) í y = x 2 + 3x - 6 ï x = 0; x = 4 î. ìï y = x 2 - 5 x + 6 30) í ïî y = 6 ì y = 2x 2 ï 31) í y = x 2 - 2 x - 1 ïy = 2 î 2 ïì y = x - 3 x + 2 32) í îï y = 2 ìï y = x 2 - 5 x + 6 33) í îï y = x + 1. ì x2 = y ï 36) í x2 -x6 ï x = 0; x = 1 î. ïì y = sin x 37) í ïî y = x - p ì y = 2x 2 ï 38) í y = x 2 - 4 x - 4 ïy = 8 î ì y 2 = 2x ï 39) í2 x + 2 y + 1 = 0 ïy = 0 î ì y = ( x + 1) 2 î x = sin p y. 40) í. 2 ïì y = x - 1 41) í îï x = 2. 2 ïì x = y - 1 42) í ïî x = 2. ì x = ( y + 1) 2 ï 43) í y = sin x ïx = 0 î ì x2 ïy = 4 ï 4 44) í 2 ïy = x ïî 4 2. Luyện thi Đại học 2010 ì ï ï x = 0; ï 1 45) í x = 2 ï ï x ;y =0 ïy = 1- x 4 î ì y = 5 x -2 ï 46) í y = 0 ï x = 0; y = 3 - x î 2 ïì y = 6 x 47) í 2 ïî x + y 2 = 16 ì 2 ïy = x ï x2 ï 48) í y = 27 ï 27 ï ïî y = x 2 3 ïì y = (4 - x ) 49) í 2 ïî y = 4 x. ì ï y = log x ï 50) í y = 0 ï 1 ï x = , x = 10 10 î ìïax = y 2 (a > 0) 2 îïay = x. 51) í. ìy = x ï 52) í y = sin 2 x + x ï0 £ x £ p î. ìï y 2 = 2 x ïî27 y 2 = 8( x - 1) 2. 53) í 54). x 2 y2 + = 1 vµ hai 25 9. tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4). Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>