Đề thi học sinh giỏi 12 môn Toán - Đề 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span>K× thi häc sinh giái líp 12. M«n To¸n-. (Thời gian 180 phút,không kể giao đề ). Bµi 1 . Cho hµm sè : f(x) = x(x-1)(x-2)…(x-2006). TÝnh f'(0). 1. ( x 2  1)dx Bµi 2. TÝnh I =  x4  1 0 Bài 3 . Tìm m để phương trình : cã nghiÖm duy nhÊt.. x. x. 4  m.2  m2  3  0. Bài 4. Giải phương trình : x  1  2 2 x  1 . Bài 5. Tìm tổng các nghiệm thuộc [2;40] của phương trình: 3. 2 cos 2 x  cot g 2 x  Bµi 6. Cho. sin 3 x  1 sin 2 x.  ABC, Chøng minh r»ng (p-a)(p-b)(p-c) . víi p . abc . 2. abc 8. n. Bµi 7. TÝnh L= nlim [(1+x)(1+x2)(1+x4)…(1+x2 )], víi x <1. . 21 x  2 x  1 0 Bài 8. Giải bất phương trình: 2x  1. Bài 9. Trong không gian cho hai điểm A,B cố định có AB=10. T×m quü tÝch ®iÓm M sao cho AM=3BM. Bµi10. Chøng minh r»ng: NÕu n,k  N th×: n n n 2 n  k . c2 n  k  ( c 2 n )2.. c. ----hÕt-----. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ***. đáp án –thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 12. M«n To¸n-. §¸p ¸n –thang ®iÓm nµy gåm cã : 4 trang.. Bµi. Néi dung. Bµi 1. ®iÓm 2.0.  x=x-x0=x. Ta cã  y=f(x0+  x)-f(x0) = f(  x)-f(0)= x(x  1)(x  2)...(x  2006). Cho x0=0 mét sè gia. Suy ra . y  (x  1)(x  2)...(x  2006) x. y ' lim f (0) = x0 = lim x x0. 0.5. 1.0. (x  1)(x  2)...(x  2006). =(-1)(-2)…(-2006)=2006 ! 0.5. vËy f ' (0) =2006! Bµi 2. 2.0 Ph©n tÝch x4+1 =(x2+ 2 x+1)( x2- 2 x+1) x2  1 Ax  B Cx  D  2 Ph©n tÝch 4  2 x  1 x  2x  1 x  2x  1 1  A  2   B  1 2 §ång nhÊt hai vÕ ta ®­îc  1 C  2   1 D  2 . Lop12.net. 0.5. 1.0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1. 1. 1 dx  1 (2 x  2 )dx 1 (2 x  2 )dx  VËy I=  4 + 2 2 0 x 2  2 x  1 2 2 0 x 2  2 x  1 0 x 1. 1 1 1 1 1 2 2 = ln( x 2  2 x  1)  ln( x 2  2 x  1) = ln( ) 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2. Bµi 3. 0.5. 2.0 Giả sử x0 là nghiệm của phương trình thì -x0 cũng là nghiệm . Do tính duy nhÊt nghiÖm nªn x0=-x0  x0=0 Thay x0=0 vào phương trình ta được m= -1, m=2 Víi m=-1, ta cã pt: x. x. x. x. x. 4  2  2  0  (2  1)(2  2)  0  2  1  0  x  1 Víi m=2, ta cã pt: x. x. x. x. 4  2.2  1  0  (2  1) 2  0  2  1  0  x  1. 0.5 0.5 0.5 0.5. VËy m=-1,m=2 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. Bµi 4. 2.0 0.5. 3 §Æt t= 2 x  1  t  2 x  1 3.  x 3  1  2t Pt   3 3  x  t  2 ( t  x ) .  x 3  1  2t  x 3  1  2t 1 3  ( x  t )[( x  ) 2  t 2  2]  0   xt  2 4. 1 5 1 5 , x= . 2 2 1 5 1 5 Vậy phương trình có 3 nghiệm là: x=1, x= , x= . 2 2.  x3-2x+1=0  x=1, x=. Bµi 5. 1.0. 0.5. 2.0 §K:sinx  0,PT  2cos2x+cotg2x=sin  2sin2x+sinx-1=0   sin x  1 1    sin x  2   . x +1+. cotg2x. 3  4k   x1  2    x2   2k 6   x  5  2k  3 6. Lop12.net. 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a.Cho 2 . 3  4k  40  k  0,1,2,3,4,5 2.  5 (4k  3)  39  VËy tæng c¸c nghiÖm cña hä x1 lµ : 2 k 0 . 6. 0.5. b.Tương tự tổng các nghiệm của họ x2 là :  (  2k )  43 k 1 6. 0.5. 5  2k )  35 6. 0.5. 5. (. c.tæng c¸c nghiÖm cña hä x3 lµ :. k 0. VËy tæng c¸c nghiÖm lµ 39  +43  +35  =117  Bµi 6. 2.0. ( 2 p  a  b) 2 c 2  Theo B§T C«Si ta cã: (p-a)(p-b)  4 4 2 (2 p  b  c) a 2  Tương tự: (p-b)(p-c)  4 4 2 (2 p  a  c) b 2  (p-a)(p-c)  4 4 Nh©n vÕ víi vÕ cña 3 B§T trªn ta ®­îc : [(p-a)(p-b)(p-c)]2.  (. 0.5. 1.0. abc 2 1 ) . 4 4.  ( p  a)( p  b)( p  c) . abc (§pcm) 8. Bµi 7 Nh©n vµ chia biÓu thøc lÊy giíi h¹n víi (1-x) ta ®­îc : n. [(1  x)(1  x)(1  x 2 )(1  x 4 )...(1  x 2 )]. L= nlim . 1 (1  x). 1 [(1  x 2 )(1  x 2 )(1  x 4 )...(1  x 2 )]. = nlim =…=  (1  x). 0.5 2.0 0.5. 1.0. n. n. [1  ( x 2 ) 2 ] = lim n  1 x V× x. 2n 2 lim ( x ) =0. VËy L= 1  1 nªn n. 1 x. Bµi 8 Lop12.net. 0.5 2.0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> V×. 2 -2x+1=-2x+1+ x lµ hµm nghÞch biÕn vµ f(1)=0 nªn 2. f(x)=21-x. f(x)>f(1)=0  x<1  1-x>0. VËy f(x) cïng dÊu víi (1-x). Vì g(x)=2x-1 là hàm đồng biến và g(0) =0 nên g(x)>0  x>0. VËy g(x) cïng dÊu víi x.. f ( x) 1 x   0   0  0  x  1. Suy ra BPT g ( x) x. 1.0. 0.5 0.5. VËy tËp nghiÖm cña BPT lµ: (0;1]. Bµi 9 Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho A=(-5;0;0), B=(5;0;0). Gäi M(x;y;z) lµ ®iÓm tho· m·n AM=3BM  AM2=9BM2  (x+5)2+y2+z2=9(x-5)2+9 y2+9z2  x2+y2+z2-. 25 x +25 =0 2. 2.0 0.5 1.0. (*) Đây là phương trình mặt cầu.. Vậy quỹ tích điểm M cần tìm là mặt cầu có phương trình (*). Bµi 10. 0.5 2.0. Cố định n, với 0 . k  n , xÐt d·y sè {uk}. (2n  k )! (2n  k )! . n!(n  k )! n!(n  k )! (2n  k  1)! (2n  k  1)! n n uk 1  c2n  k 1.c2n  k 1 . n!(n  k  1)! n!(n  k  1)! n. n. Ta cã uk  c 2 n .c 2 n  k . . 0.5. u k 1 (2n  k  1)(n  k )   1 u k (n  k  1)(2n  k ). 1.0.  (2n+k+1)(n-k)  (n+k+1)(2n-k)  2nk+n  0 đúng vì 0.  k  n.. VËy {uk} lµ d·y sè gi¶m. n n Suy ra víi k  0 ta cã uk= 2 n  k 2 n  k. c .c.  (c2nn ) 2 =u0. --------HÕt-------. Lop12.net. (®pcm). 0.5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>