Bài tập Toán khối 11 - Trường THPT Hùng Vương

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN 1. Hai cung đối nhau: -x và x  3. Hai cung phụ nhau:  x và x cos( x)  cos x 2 sin( x)   sin x     sin   x   cos x cos   x   sin x tan( x)   tan x 2  2  cot( x)   cot x     tan   x   cot x cot   x   tan x 2. Hai cung bù nhau:   x và x 2  2  sin(  x)  sin x 4. Hai cung hơn kém nhau Pi:   x và x sin(  x)   sin x cos(  x)   cos x cos(  x)   cos x tan(  x)   tan x tan(  x)  tan x cot(  x)   cot x cot(  x)  cot x 5. Các hằng đẳng thức lượng giác 1 a. sin 2 x  cos 2 x  1 b. 1  tan x  cos 2 x 1 c. 1  cot x  d . tan x.cot x  1 sin 2 x 6. Công thức cộng lượng giác cos( x  y )  cos x.cos y  sin x.sin y cos( x  y )  cos x.cos y  sin x.sin y sin( x  y )  sin x.cos y  sin y.cos x sin( x  y )  sin x.cos y  sin y.cos x 7. Công thức nhân đôi nx nx sin 2 x  2sin x cos x TQ : sin nx  2sin cos 2 2 2 2 2 2 cos 2 x  cos x  sin x  2cos x  1  1  2sin x 8. Công thức nhân ba: sin 3 x  3sin x  4sin 3 x cos3 x  4cos3 x  3cos x 9. Công thức hạ bậc: 1  cos 2 x 1  cos 2 x sin 2 x  cos 2 x  2 2 10. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos x.cos y   cos( x  y )  cos( x  y ) 2 1 sin x.sin y   cos( x  y )  cos( x  y ) 2 1 sin x.cos y  sin( x  y )  sin( x  y ) 2 11 . Công thức biến đổi tổng thành tích. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 1 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. x y x y cos 2 2 x y x y cos x  cos y  2sin sin 2 2 x y x y sin x  sin y  2sin cos 2 2 x y x y sin x  sin y  2cos sin 2 2 cos x  cos y  2cos. A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 3æ 3p ö ÷ ç p <a < ÷ Bài 1: Cho sin a = ç ÷.Tính cosa ,tana ,cota . ç è 5 2ø Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 (180o < a < 270o ).Tính sina , tana, cota. Bài 3: Bài 4:. Cho tan15o = 2 -. 3. Tính sin15o ,cos15o ,cot15o. Tính A = tan x + cot x biết sinx = 1 . Tính B = 2sin x + 3cos x biết tanx = -2 3 tan x - cot x 3sin x - 2cos x 2 2 Tính C = sin x + 3sin x cos x - 2cos x biết cotx = -3 1 + 4sin 2 x. Chứng minh: a/sin x+cos 4 x=1-2sin 2 xcos 2 x; b/sin 6 x+cos 6 x=1-3sin 2 xcos 2 x (sử dụng như 1 công thức). Bài 5:. 4. c/tan 2 x = sin 2 x+sin 2 x.tan 2 x; d/sin 2 x.tanx + cos 2 x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau: 1-2cos 2 x 1+sin 2 x cosx 1 2 2 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan 2 x; c/ +tanx = 2 2 2 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx 1-cosx 4cotx sin 2 x cos 2 x g/ = ; h/1= sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx 1 tan 2 x-tan 2 y sin 2 x-sin 2 y i/ (1-cosx )(1+cot 2 x )= ; j/ = 1+cosx tan 2 x.tan 2 y sin 2 x.sin 2 y Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: A=2 (sin 6 x+cos 6 x )-3(sin 4 x+cos 4 x ); B=cos 4 x (2cos 2 x-3)+sin 4 x (2sin 2 x-3) 2. C=2 (sin 4 x+cos 4 x+sin 2 xcos 2 x ) -(sin 8 x+cos8 x ); D=3(sin 8 x-cos8 x )+4 (cos 6 x-2sin 6 x )+6sin 4 x sin 4 x+3cos 4 x-1 sin 6 x+cos 6 x+3cos 4 x-1 é pù H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin 2 x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos 2 x ;(x Î ê0; ú) ê ë 2ú û E= sin 4 x+4cos 2 x + cos 4 x+4sin 2 x ; F=. sin 6 x+cos 6 x-1 ; sin 4 x+cos 4 x-1. G=. II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT * Biết 1 HSLG khác: æ3p ö Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với ççç < x < 2p ÷ ÷ ÷ è2. æp a/ Tính cosx ; b/ Tính sin çç + èç2. ø. ö æp ö x÷÷÷, cos(p - x ), tan çç + x÷÷÷, cot (3p - x ) ø èç2 ø. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 2 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trường THPT Hùng Vương Bài 2: Tính: æp ö æp ö 2 cos ç - a÷ sin ç + a÷ tan (p - a ) ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è2 ø è2 ø A= - 2 cos a ; æp ö ÷ cot ç ç + a÷ ÷sin (p - a ) ç. Bài tập Toán khối 11. è2 ø æ3p ö æ ö æ3p ö æp ö p ÷ ÷ ÷ ç ç ç sin ç + a÷ tan + b sin b cot + a ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ è ÷ ÷ è ÷ ç2 ç2 ç2 ç2 è ø ø è ø ø B= + cot b (cot b - tan b ) æ3p ö cos (2p - b )tan (p - a ) ÷ ç cos (p - a )cot ç - b ÷ ÷ ç è2 ø. Bài 3:. Đơn giản biểu thức: æ 9p ö æ5p ö ÷ çç - a ÷ A = sin (13p + a )- cos çça + cot 12 p a + tan ; ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç2 è è ø 2ø æ 7p ö æ3p ö æ3p ö ÷ çç + a ÷ çç - a ÷ B = cos (15p - a )+ sin çça tan .cot ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ çè çè 2 ø ø çè 2 ø 2÷ æ 5p ö æ ö æ 7p ö ÷ ÷ çç9p - a ÷ çça C = sin (7p + a )+ cos çça cot 3 p a + tan + 2 tan ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ çè çè 2 çè ø ø ø 2÷ 2÷. Bài 4:. Đơn giản biểu thức:. A = sin (p + a ) + sin (2p + a ) + sin (3p + a ) + ... + sin (100p + a ). (. ). (. ). (. ). (. ). (. B = cos 1710o - x - 2sin x - 2250o + cos x + 900o + 2sin 720o - x + cos 540o - x. Bài 5:. Đơn giản biểu thức: æ19p ö tan çç - x÷ ÷ ÷.cos (36p - x ).sin (x - 5p ) çè 2 ø A= æ9p ö sin çç - x ÷ .cos (x - 99p ) ÷ ÷ çè 2 ø. Bài 6:. ). Chứng minh:. (. ). (. (. 2sin 2550o cos - 188o 1 B= + tan 368o 2cos 638o + cos98o. ). (. ) (. ). ). a / sin825o cos - 2535o + cos75o sin - 555o + tan 695o tan 245o = 0 æ 85p ö ö 2 2æ ÷ ççx - 3p ÷ b / sin ççx + + cos 207 p + x + sin 33 p + x + sin ( ) ( ) ÷ ÷= 1 çè çè ø ø 2 ÷ 2÷. Bài 7:. Cho tam giác ABC.Chứng minh:. A+ B C = cos ; 2 2 3A + B + C d / cos C + cos(A + B + 2C) = 0; e / sin A + cos =0 2 III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 15o ,75o ,105o ,285o ,3045o Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7p , 13p , 19p , 103p , 299p 12 12 12 12 12 æp ö 12 3 p Bài 10: Tính cos ç biết sin x = , ( < x < 2p ) ÷ ççè - x ÷ ÷ ø 13 2 3 a / sin(A + B) = sin A; b / cos A + cos(B + C) = 0; c / sin. Bài 11: Cho 2 góc nhọn a , b có tan a =. a+ b. 1 1 , tan b = . a/ Tính tan (a + b ) b/ Tính 2 3. ìï p ïï x + y = Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : í 4 ïï tan x.tan y = 3- 2 2 îï a/ Tính tan (x + y); tan x + tan y b/ Tính tanx , tany. c/ Tính x và y.. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 3 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trường THPT Hùng Vương æ pö 40 3p x- ÷ ÷ Bài 13: Tính tan ç biết sin x = và p < x < ç ÷ ç è ø 4. 41. Bài tập Toán khối 11. 2. æ pö o a+ ÷ ÷ Bài 14: Tính tan ç ç ÷ theo tan a . Áp dụng: Tính tg15 ç è 4ø Bài 15: Tính: A = sin 20o cos10o + sin10o cos 20o D = sin15o -. 3 cos15o. tan 25o + tan 20o 1 - tan 25o.tan 20o 3 E = sin15o + cos15o 3 B=. 1 + tan15o 1 - tan15o tan 225o - cot 81o.cot 69o F= cot 261o + tan 201o C=. Bài 16: Tính:. æ p÷ ö æ pö æ pö æ 3p ÷ ö ÷ ÷ ç ç ç a / A = cos ç x- ÷ cos x + + cos x + cos x + ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ç ç è ø ç è ø è ø ç è ø 3÷ 4÷ 6÷ 4÷ æ pö æ pö æ 2p ö æ 2p ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç b / B = tan x.tan ç x+ ÷ + tan x + tan x + + tan x+ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ è ÷ ÷tan x ç ç ç ç è è è 3ø 3ø 3ø 3ø Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x: ö÷ ö÷ ö÷ ö÷ 2 2æ 2æ 2 2æ 2æ çp çp ç2p ç2p A = cos x + cos ç + x ÷ + cos ç - x ÷ èç 3 ø÷ èç 3 ø÷. B = sin x + sin ç + x ÷ + sin ç - x ÷ ÷ èç 3 ø èç 3 ø÷. Bài 18: Chứng minh: a / cos (a + b).cos (a - b)= cos 2 a - sin 2 b = cos 2 b - sin 2 a. b / sin (a + b).sin (a - b)= sin 2 a - sin 2 b = cos 2 b - cos 2 a c / sin (a + b).cos (a - b)= sin a cosa + sin bcos b æp ö æp ö çç - a ÷ d / sin çç + a ÷ sin ÷ ÷ ÷ ÷= 2 sin a ç4 ç4 è ø è ø Bài 19:. Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin = cos cos - sin sin 2 2 2 2 2 A B C B C 4/ cos = sin cos - cos sin 2 2 2 2 2. æ pö ÷ 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC ç A,B,C ¹ ÷ ç ç è ø 2÷ A B B C C A 6/ tan tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 2 A B C A B C 7/ cot + cot + cot = cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1. ( học thuộc kết quả ) Công thức biến đổi: Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG p 2p. a / sin .sin b / cos 5x.cos 3x c / sin (x + 30o )cos (x - 30o ) 5 5 d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x; æ pö æ pö f / sin ççx + ÷ .sin çx - ÷ ÷.cos 2x; g / 4 cos (a - b).cos (b - c).cos (c - a ) ÷ çè 6 ÷ ø ççè 6 ÷ ø. Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 4 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trường THPT Hùng Vương a / cos 4x + cos3x; b / cos3x - cos 6x; d / sin (a + b)- sin (a - b); e / tan (a + b)+ tan a;. Bài tập Toán khối 11 c / sin 5x + sin x f / tan 2a - tan a. Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C 10 / cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin 2 2 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4cosA.cosB.cosC 13/ sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1 +cosA.cosB.cosC) 14/ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 - 2cosA.cosB.cosC A B C 15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos 2 2 2 ( tiếp theo Loại 5- Trang 8) Bài 23: Chứng minh D ABC vuông nếu: a / sin A =. sin B + sin C ; b / sin C = cos A + cos B; c / sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 cos B + cos C. Chứng minh D ABC cân nếu:. Bài 24:. C sin B a / sin A = 2sin B.cos C; b / tan A + tan B = 2cot ; c / tan A + 2 tan B = tan A.tan 2 B; d / = 2cos A 2 sin C Bài 25: Chứng minh D ABC đều nếu: 1 3 a / cos A.cos B.cos C = ; b / sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C; c / cos A + cos B + cos C = 8 2 D ABC Bài 26: Chứng minh cân hoặc vuông nếu: sin (B + C) sin (B - C) tan B sin 2 B 2 C a / tan A.tan B.tan = 1; b / = ; c / = 2 tan C sin 2 C sin 2 B + sin 2 C sin 2 B - sin 2 C Bài 27: Hãy nhận dạng D ABC biết: sin A a / sin 4A + sin 4B + sin 4C = 0 b / cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 c / = 2sin C cos B. B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác A có nghĩa khi B  0 (A có nghĩa) B 2) 1  s inx  1 ; -1  cosx  1. Chú ý : 1). 3) sin x  0  x  k ; s inx = 1  x = 4) cosx  0  x .  2.  2. ;. A có nghĩa khi A  0.  k 2 ; s inx = -1  x = .  2.  k 2.  k ; cosx = 1  x = k 2 ; cosx = -1  x =   k 2. 5) Hàm số y = tanx xác định khi x . . 2 Hàm số y = cotx xác định khi x  k.  k. Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx. 2) y = cos. 4) y = cos x  3x  2. 5) y =. 2. x 1 x2. 2 cos2x. 3) y = sin x  4 6) y =. 2  s inx. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 5 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trường THPT Hùng Vương  1  cosx 7) y = 8) y = tan(x + ) 4 1-sinx. 10) y =. Bài tập Toán khối 11. 9) y = cot(2x -.  3. ). 1 1  s inx 2cosx. II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx 2 sin2(-x) = sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x  D   x  D, x Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng  f ( x )  f ( x )  f ch½n   f ( x )   f ( x )  f lÎ Có x để f ( x )   f ( x )  f không chẳn, không lẻ  0 0 0. Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 4) y =. 1 tan2x 2. 3) y = sin2x + 2. 5) y = sin x + x2. 6) y = cos 3x. III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác     2  2  3   Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng   k 2 ;  k 2  2 2  Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ; k 2 . Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ;  k 2 . Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;   k 2     2  2 Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng  k  ;   k  .  . Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng    k  ;  k   Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số       3   3) y = cotx trên khoảng   ;   2  4  121 239  ; 5) y = tanx trên đoạn   6   3. 1) y = sinx trên   ;  6 3.    ;   12 6 . 7) y = tan3x trên khoảng  .  2 3 . 2) y = cosx trên khoảng  ;   3 2  13 29 . ; 4) y = cosx trên đoạn  6   3   3   4 4 . 6) y = sin2x trên đoạn   ; 8) y =sin(x +.  ) trên đoạn 3.  4 2    3 ; 3 . Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số Hàm số Khoảng y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx.  3   ;  2 .     ;   3 3.  23 25  ;   4   4.  362 481  ;   3 4  . Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 6 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K  y = A.f(x) +B đồng biến trên K nếu A > 0   nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0. Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn  ;  . .  2  . 2) y = -2cos  2 x   trên đoạn   ;  3   3 3 IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác 1  s inx  1 ; -1  cosx  1 ; 0  sin2 x  1 ; A2 + B  B Chú ý : Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số  2. 1 cos2x 2. 1) y = 2sin(x- ) + 3. 2) y = 3 –. 4) y = 1  cos(4x 2 ) - 2. 5) y = 2 s inx  3.  3. 3) y = -1 - cos 2 (2x + ) 6) y = 5cos x . 7) y = sin 2 x  4s inx + 3. 8) y =.  4. 4  3cos 2 3 x  1. Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn  a ; b  thì max f ( x)  f (b) ; min f ( x)  f (a) a ; b. a ; b. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn  a ; b  thì max f ( x)  f (a) ; min f ( x)  f (b) a ; b. a ; b. Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số  . .  . . 1) y = sinx trên đoạn   ;    2 3 3) y = sinx trên đoạn   ;0   2 .   . 2) y = cosx trên đoạn   ;   2 2 1 3. 4) y = cos  x trên đoạn  ;  4 2. C.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. I:LÍ THUYEÁT . 1/Phương trình lượng giác cơ bản . u  v  k 2 sin u = sin v   (kZ) u    v  k 2 cos u = cos v  u =  v + k2. (kZ) tanu = tanv  u = v + k (kZ) cotu = cotv  u = v + k (kZ) 2/ Phöông trình ñaëc bieät :   sinx = 0  x = k , sinx = 1  x = + k2 ,sinx = -1  x = + k2 cosx = 0  x =.  2. 2. 2. + k  , cosx = 1  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2 .. 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2  0 Caùch 1: acosx + bsinx = c . a 2  b 2 . cos( x   ) = c với cos  . a a2  b2. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 7 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. asinx +bcosx = c . a. a 2  b 2 . sin( x   ) = c với cos  . a  b2 2. .. Caùch 2 : Xét phương trình với x =  + k , k  Z Với x   + k đặt t = tan. x ta được phương trình bậc hai theo t : 2. (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm  a2 + b2 - c2  0 . Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau: 1. 3 cos x  sin x  2 , 2. cos x  3 sin x  1 3. 3 sin 3x  3 cos 9 x  1  4 sin 3 3x , 5. cos 7 x  sin 5 x  3 (cos 5 x  sin 7 x) , 7.. 3(1  cos 2 x)  cos x 2sin x. . 1 4 4 6. tan x  3cot x  4(sin x  3 cos x) 4 4 4. sin x  cos ( x . 8. sin 2 x  sin 2 x . ). 1 2. 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 . Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau: 1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1 4x cos  cos 2 x 5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6. 3 3  3  2 tan 2 x 7. 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 cos x 4sin 4 x  12cos 2 x  7 9. 6sin 2 3 x  cos12 x  4 10. 5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx : a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 . Caùch 1 :  Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .  Xeùt cos x  0 chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t = tanx. Caùch 2: Thay sin2x = sinxcosx =. 1 1 (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) , 2 2. 1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . 2. b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët aån phuï t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x =. . 2. + k ,kZ.. Baøi taäp : 1. 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 2. 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0 3. 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4 4. 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 8 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. 1 2 6/ Phöông trình daïng : a( cosx  sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .. 5. sin 2 x  sin 2 x  2cos 2 x . t 2 1 Đặt t = cosx + sinx , điều kiện  2  t  2 khi đó sinxcosx = 2 Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 1 t2 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện  2  t  2 khi đó sinxcosx = 2 Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Các phương trình lượng giác khác. Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0, 3 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7 cos x Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t =sinx  4x  cos 2 x 2/ cos ÑS : x = k3 , x=  +k3 , x =  5 +k3 4 3 4 x x  x 3/ 1+ sin sinx - cos sin2x = 2cos2 (  ) ÑS: sinx =1 v sin x = 1 2 2 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x. 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =. 4. 1 cos x. 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x 2cos2 2x. 2 2 HD : ñaët t = tanx , ÑS : x = -  + k . ÑS : x = k2 , x = .  3. 4. +k2. ÑS : cosx = 0 , cos 2x = 1. 2. 4sin22xcos2x. 7/ +cos 2x = 8/ cos 3x – cos 2x = 2. 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx. HD :ñaët t = tan. 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x 12/ tan3( x -. . 4. x 2. HD :ñaët t =cos 2x ÑS : x = k v x =  + k. ) = tanx - 1. 4. 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2. HD : Ñöa veà PT baäc hai theo sinx. ÑS : x =. 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 9 Lop11.com. . 4. + k.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 . 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x. k ÑS : x=  + 2 4  ÑS : x = +k 4   k ÑS :x =  + k v x= + 3 4 2. 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) 5/ sin3(x -.  4. ) = 2 sinx. 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0. 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin3x + cos3x = 3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 2. 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx. 6/. 1 1 10   sin x  cos x  cos x sin x 3. 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6 2 8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 2 sin x 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VAØ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC . Giaûi caùc phöông trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 5/ sin4. 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x +. x x + cos4 = 1 – 2sinx 2 2. 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin3x.. 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x cos x  sin x  sin x 10/ 1  cos x. x x  11/ sin2 (  ) tan2x – cos2 = 0 2. 4. 1 4. 12/ cotx – tanx + 4sinx =. 2. 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 cos 3 x  sin 3 x )  cos 2 x  3 15/ 5(sin x  1  2 sin 2 x. 1 sin x. 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x ) 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x. (2  sin 2 2 x)sin 3 x 18/ tan x  1  cos 4 x. 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0.. 4. x 2. 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan ). Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 10 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. cos 2 x 1  sin 2 x  sin 2 x 1  tan x 2 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =. 20/ cotx – 1 =. D. TỔ HỢP Tóm tắt giáo khoa I. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k  A mà 1  k  n . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu A kn là: A kn  n.  n  1 ...  n  k  1 . n! .  n  k !. 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k  A mà 1  k  n . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. n  n  1 ...  n  k  1 b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Ckn là: Ckn  n!  k! n  k  ! k! c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: Cho a, k  A * : Ckn  Cnn  k Ckn 1  Ckn  Ckn 1. 0  k  n  1  k  n . III. Khai triển nhị thức Newton. a  b. n. n.   Ckn a n  k b k  C0n a n  C1n a n 1b  ..  Ckn a n  k b k  ..  Cnn b n k 0. Nhận xét: – Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. – Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. – Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. – Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: Tk 1  Ckn a n  k b k – C0n  C1n  C2n  ...  Cnn  2n – C0n  C1n  C2n  C3n  ...   1 Ckn  ...   1 Cnn  0 Chú ý: k. – a  b. n. n. n.   Ckn a n  k b k là khai triển theo số mũ của a giảm dần. k 0. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 11 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Trường THPT Hùng Vương. a  b. –. n. Bài tập Toán khối 11. n.   Ckn a k b n  k là khai triển theo số mũ của a tăng dần. k 0. Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập A  0;1; 2;3; 4 . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Bài 3: Từ tập A  1, 2,3, 4,5 hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị Phương pháp giải:  Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n  Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử: A kn  n.  n  1 ...  n  k  1 . n!  n  k !. Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Bài 6: Từ tập A  0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử: Ckn . n! k! n  k  !. 0  k  n . Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Dạng 5: Tìm n  A * trong phương trình chứa Pn , A kn , Ckn Phương pháp giải: Dùng các công thức: Pn  n!.  n  1 ;. A kn  n  n  1 ...  n  k  1 . Bài 8: Tìm. nA *,. nếu có:. 2Pn  A 3n Pn 1. Bài 9: Tìm. nA *,. nếu có:. 6n  6  C3n  C3n 1 .. n!  n  k !. 1  k  n  ;. Ckn . n! k! n  k  !. 0  k  n . 1 ..  2. Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n. Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:. a  b. n. n.   Ckn a n  k b k  C0n a n  C1n a n 1b  C2n a n  2 b 2  ..  Ckn a n  k b k  ..  Cnn b n (khai. triển theo lũy thừa của a. k 0. tăng, b giảm) n. (Chú ý:  a  b n   Ckn a k b n  k khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần) k 0. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 12 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài 10: Tìm số hạng chứa. Bài tập Toán khối 11. x3. trong khai triển (11 +. x)11.. 10. Bài 11: Trong khai triển. 3   3 2 x   x . , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.. Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển. 1  x 2 1  x  . 8. Bài 13: Cho khai triển: 1  2x 10  a 0  a1x  a 2 x 2  ..  a10 x10 , có các hệ số số lớn nhất Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau 1) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3 - x)25. a 0 , a1 , a 2 ,.., a10 .. Tìm hệ. 2) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2 - x 2)25 12 æ 1ö ÷ ç 3) Số hạng không chứa x trong khai triển çx + ÷ ç x÷ è ø. 12 28 ö æ ÷ çç 3 4) 32) Số hạng không chứa x trong khai triển çx x + x 15 ÷ ÷ ÷ çè ÷ ø 5) 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển 21 æ a ö b ÷ çç 3 ÷ ççè b + 3 ÷ ø a÷ Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau 12 æx 3 ö 4 ÷ ç 1) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển ç - ÷ ç è3 x ÷ ø. æ1 2) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển çç + çx3 è 8. ö12 5÷. x ÷ ÷ ø. 2 ù8 3) Hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển é 1 + x (1 x) ê ú ë û 10. 4) Hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển (1 + x + x 2 + x 3 ) 5) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển (x 2 - x + 2)10 6) Hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển (1 + x + 3x 2)10 7) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển: 8) S(x) = (1 + x)3 + (1 + x)4 + (1 + x)5 + ... + (1 + x)50 9) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển: 10) S(x) = (1 + 2x)3 + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + ... + (1 + 2x)22. 11)Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x)10(x + 1)10 . Dạng 7: Tìm tổng có chứa Ckn Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả. Bài 16: Tính tổng: S1  C0n  C1n  C2n  ...  Cnn ; S2  C0n  C1n  C2n  ...   1k Ckn  ...   1n Cnn Bài 17: Tính tổng: S3  C02n  C22n  C2n4  ...  C2n2n ; S4  C12n  C32n  ...  C2n2n 1 Bài 18: Tính tổng: T  C0n  2C1n  22 C2n  23 C3n  ...   2 n Cnn Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 13 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. E. CAÁP SOÁ COÄNG Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai. Goïi d laø coâng sai, theo ñònh nghóa ta coù: un+1 = un + d (n = 1, 2, ...). Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều baèng nhau. Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu  u1, u2, ..., un, .... 2. Soá haïng toång quaùt Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức: un = u1 + (n - 1)d 3. Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá coäng Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là. uk . u k 1  u k 1 2. (k  2).. 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau:. n 2u1  (n  1)d  2 n S n  (u1  u n ) 2.  Sn tính theo u1 vaø d. Sn .  Sn tính theo u1 vaø un. BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Bài 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: a / 2,5,8,... tìm u15. tìmu20. b /  2  3 ,4,2  3 ,... ÑS:. a / u15  44 b / u 20  40  18 3. Baøi 2: Xaùc ñònh caáp soá coäng coù coâng sai laø 3, soá haïng cuoái laø 12 vaø coù toång baèng 30. u 2  u 5  u 3  10 u 4  u 6  26. Baøi 3: Cho caáp soá coäng: . Tìm số hạng đầu và công sai của nó. Baøi 4: Tìm caáp soá coäng coù 5 soá haïng bieát toång laø 25 vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 165. Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chuùng laø 1140. Baøi 6: Tìm chieàu daøi caùc caïnh cuûa moät tam giaùc vuoâng bieát chuùng taïo thaønh moät cấp số cộng với công sai là 25. Baøi 7: Cho caáp soá coäng  u1, u2, u3, ... Bieát u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 14 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. Tính u1 + u6 + u11 + u16. Baøi 8: Moät caáp soá coäng (an) coù a3 + a13 = 80. Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Baøi 9: Moät caáp soá coäng coù 11 soá haïng. Toång cuûa chuùng laø 176. Hieäu cuûa soá haïng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó. Baøi 10: cho caáp soá coäng (an) coù a1 = 4, d = -3. Tính a10. Baøi 11: Tính u1, d trong caùc caáp soá coäng sau ñaây: S 4  9  3 / 45 S 6  2 u 3  u10  31 4 / 2u 4  u 9  7 53 38 ÑS: 1/ u1 = vaø d = ; 2/ u1 = 3 vaø d = 4. 13 39 3 3/ u1 = 0 vaø d = ; 4/ u1 = vaø d = . 2. u 3  u 5  14 1/ S13  129 u 5  19 2 / u 9  35. Baøi 12: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u14 = 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên. Baøi 13: Cho caáp soá coäng (un) coù u1 = 17, d = 3. Tính u20 vaø S20. ÑS: u20 = 74, S20 = 910 Baøi 14: Cho caáp soá coäng (un) coù a10 = 10, d = -4. Tính u1 vaø S10. ÑS: u1 = 46, S10 = 280 Baøi 15: Cho caáp soá coäng (un) coù u6 = 17 vaø u11 = -1. Tính d vaø S11.. ÑS: d = . 18 5. vaø S11 = 187. Baøi 16: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u4 = 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. ÑS: S20 = 1350 CAÁP SOÁ NHAÂN Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội. Goïi q laø coâng boäi, theo ñònh nghóa ta coù un+1 =un.q (n = 1, 2, ...). Ñaëc bieät: Khi q = 0 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, 0, 0, ..., 0, ... Khi q = 1 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, u1, ..., u1, ... Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ..., ... Để chỉ dãy số (un) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu .. .. u1, u2, ..., un, .... 2. Soá haïng toång quaùt Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức: un = u1 q n 1 (q  0 ) Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 15 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. 3. Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là: u k  u k 1 .u k 1. (k  2). 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân. Cho một cấp số nhân với công bội q  1 u1, u2, ...,un, ... Ñònh lí: Ta coù:. qn 1 S n  u1 q 1. (q  1). BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân bieát: 1/ Caáp soá nhaân coù 6 soá haïng maø u1 = 243 vaø u6 = 1 2/ Cho q =. 1 , n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6. 4. Baøi 2: Cho caáp soá nhaân coù: u3 = 18 vaø u6 = -486. Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó Baøi 3: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân bieát:. u 4  u 2  72  u 5  u 3  144. Baøi 4: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) coù: u3=12, u5=48. Baøi 5: Tìm u vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) bieát:. u1  u 2  u 3  13  u 4  u 5  u 6  351. Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai. Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 16 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. PHẦN II. HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH  Caâu 1: Trong maët phaúng oxy,pheùp tònh tieán theo vectô v ( a; b) bieán ñieåm M(x;y) thành M’(x’;y’) . Tìm tọa độ điểm M'  Caâu 2:Trong maët phaúng oxy cho ñieåm M (1;2) .Pheùp tònh tieán theo vectô v(2;3) bieán điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N. Caâu 3: Trong maët phaúng oxy cho ñieåm A(4;5). Tìm ñieåm B(x,y) sao cho A laø aûnh cuûa  ñieåm B qua pheùp tònh tieán theo v(2;1) : Câu4 : Trong các hình sau đây, hình nào có ba trục đối xứng: A) tam giác đều B) hình chữ nhật C) Hình vuoâng D)Hình thoi Câu5: Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3). Phép đối xứng qua trục ox biến điểm M thành M’. Tìm tọa độ điểm M' Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 .Tìm ảnh  của đường thẳng d qua phép tịnh tiến vectơ v(1;1) ? Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x+5y-4=0.Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục ox. Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3).Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N? Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 3x+4y6=0, phép đối xứng qua gốc toạ độ biến d thành d’. Tìm phương trình d' Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2 =36  . Pheùp tònh tieán theo vectô v(1;2) bieán (C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C') Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2 =25 . Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C') Câu 12 :Trong các phép biến hình sau phép nào không phải là phép dời hình ? A) phép đồng dạng với tỉ số k=1 ; B) phép vị tự tỉ số k= 1 ; C) phép tịnh tiến ; D)pheùp chieáu vuoâng goùc Câu 13 : Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 +(y-3)2 =16 . Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua gốc toạ  độ biến (C) thành (C') và phép tịnh tiến v(1;4) biến (C') thành (C’'). Tìm phương trình cuûa (C''). Câu 14 :Cho hình vuông ABCD .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo .Thực hiện pheùp quay taâm O bieán hình vuoâng ABCD thaønh chính noù. Tìm soá ño cuûa goùc quay đó? Câu 15 : Phép vị tự tâm O tỉ số k (k  0) là một phép biến hình biến điểm M thành ñieåm M’ sao cho : . . A) OM = k OM '. . . B) OM ' = k OM. C) OM’ =k OM. . D) OM ' =. 1  OM k. Câu 16 : trong mp oxy cho điểm M( -2;4 ). Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N Câu 17 : trong mpoxy cho đường thẳng d có PT: 2x + y – 4 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 3 biến d thành đường thẳng d'. Tìm phương trình d'? Câu 18 : trong mpoxy cho đường tròn (C) có phương trình : ( x -1 )2 + y2 = 16. phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn (C'). Tìm phương trình (C') Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 17 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. Câu 19 : Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục có hai trục đối xứng song song là pheùp naoø sau ñaây: A) phép đối xứng trục B) phép tịnh tiến C) phép quay D) phép đối xứng tâm Câu 20 : Trong mp oxy cho điểm M(1;2) . phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép V 2 o và phép đối xứng qua trục oy biến M thành điểm N. Tìm N? Câu 21 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+ y+2=0 . phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số. 1 vaø pheùp 2. đối xứng qua trục ox biến d thành d’. Tìm phương trình d'? Caâu 22 : Trong caùc pheùp bieán hình sau ñaây pheùp bieán hình naøo khoâng coù tính chaát “biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó”: A) phép đối xứng tâm B) pheùp tònh tieán C) phép vị tự D) phép đối xứng trục Câu 23: Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)2 + (y-2)2 =4 .Phép đồng dạng có được bằ ng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k=3 và phép tịnh tiến theo  vectô V (1;2) bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C') ? Câu 24 : Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)2 + (y-2)2 =4 . Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k=3 và phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C'). Tìm (C')? Caâu 25 : Choïn khaúng ñònh sai trong caùc khaúng ñònh sau : A)phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính B) phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính C) phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính D) phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính CHÖÔNG 2. QUAN HEÄ SONG SONG Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG  VÀ  : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và  ta đi tìm hai điểm chung I ; J của  và      = I J Khi tìm điểm chung ta chú ý :   Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung J I    M  d và d    M   a  b  M trong (P)  a   ; b  . . M là điểm chung. . 1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của : a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC) 2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE) Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 18 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. 1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng : a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD) 1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM =. 1 MB ; N nằm trên AC sao cho 4. AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của : a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD) 1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC . a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD) b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN) 1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b  (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ? 1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho : AM AN  . Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD) MB NC. 1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ? 1. 10 : Trong mặt phẳng  cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của : a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD) 1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC) Vấn đề 2:. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY. Chứng minh A; B; C thẳng hàng :.  A B. Chỉ ra A ; B ; C   Chỉ ra A ; B ; C   Kết luận : A; B; C     A; B; C thẳng hàng. . C . . Chứng minh a ; b ; MN đồng quy : Đặt a  b = P Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P. . a. b. P  . M N. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 19 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Trường THPT Hùng Vương. Bài tập Toán khối 11. 2. 1: Cho hai mặt phẳng  và  cắt nhau theo giao tuyến d .Trên  lấy hai điểm A ; B nhưng không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB lần lượt cắt  tại A’ ; B’. AB cắt d tại C a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ? b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy 2. 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A ; A’ ; trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ? 2. 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng  . Gọi M ; N ; P lần lượt là giao điểm AB ; BC ; AC với . Chứng minh M; N; P thẳng hàng ? 2. 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai đường chéo ; M ; N lần lượt là trung điểm SA ; SD. Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng  không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD lần lượt tại M ; N ; R ; S . Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ? 2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ? 2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD) c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ? Vấn đề 3:. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG. Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau : b.  Giả sử : a không chéo b  Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong cùng mặt phẳng  ( đồng phẳng )  Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc. . mâu thuẫn với một điều đúng nào đó Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng.  Chứng minh hai đường thẳng tạo thành từ bốn điểm đó cắt nhau hoặc song song với nhau. . . A. . C . D. . B . A. C. . D B . . 3. 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ? Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 20 Lop11.com. a.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>