ĐÊ 16 đề THI THỬ TOÁN 12 CHUẨN đề MH 2021 (NEW)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2021
ĐỀ SỐ 16

ĐỀ THAM KHẢO BÁM SÁT ĐỀ
MINH HỌA BGD 2021

Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 50 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. Một đội văn nghệ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần chọn ra một bạn nam và một bạn nữ để hát
song ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
2
A. 24 .
B. 10 .
C. C10 .
D. 1 .
Câu 2. Cho cấp số nhân

( un ) có u1 = −2 và cơng bội q = 3 . Số hạng u2 là

A. u2 = −6 .

B. u2 = 6 .

C. u2 = 1 .

D. u2 = −18 .

2 x+1

= 125 có nghiệm là
Câu 3. Phương trình 5

A.

x=

5
2.

B. x = 1 .

x=

3
2.

C. x = 3 .

D.

3
C. 4a .

3
D. 2a .

Câu 4. Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng
3
A. 6a .

3
B. 8a .
−

1
3

f x =x
Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số ( )
.
D = [ 0; + ∞ )
D = ¡ \ { 0}
A.
.
B.
.

C.

D = ( 0; + ∞ )

.

D. D = ¡ .

Câu 6. Mệnh đề nào sau đây đúng
1

A.

ò xdx = ln x + C

1

.

B.

1
ò sin 2 xdx = cot x + C
C.
. D.

ò cos

2

x

dx = tan x + C

.

ò cos x dx =- sin x + C .

Câu 7. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao 3h là
A. V = 3Bh .

B. V = Bh .

C. V = 2 Bh .

1
V = Bh
3 .
D.

Câu 8. Cho khối nón có bán kính đáy r = 2, chiều cao h = 3. Thể tích của khối nón là
4π 3
2π 3
4π
.
.
.
A. 3
B. 3
C. 3
D. 4π 3.
Câu 9. Cho hình lập phương cạnh bằng a . Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có diện tích bằng
4 2
A. 2 .
B.
C. π a .
D. 12 3π a 2 .
2.
a
3π a
3
Câu 10. Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ


Khẳng định nào sau đây đúng?

( - 1;1) .
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( - 1;3) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
( −∞; −1) và ( 1; +∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
( - 1;1) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 11. Với a, b là hai số thực dương khác 1 , ta có log b a bằng:
1
A. − log a b .
B. log a b .
C. log a − log b .

D. log a b .

Câu 12. Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a thì có diện tích tồn phần bằng:

(

A.

)

3 +1 π a2
2

Câu 13. Cho hàm số

.

y = f ( x)

3 2
πa .
B. 2

C. 2π a .
2

xác định,liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x = −4

3 2
πa .
D. 4

B. x = 0

C. x = 3

D. x = −1, x = 1

Câu 14. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = x + 3 x − 1.
3

B. y = − x + x − 1.
4

2

C.

y=

x+2
.
x +1

D.

y=

x −1
.
x +1

y=

Câu 15. Cho hàm số
( C ) có tiệm cận đứng.
thị
A. m ≠ 0 .

x 2 − 2 x + m2 + 1
( C ) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ
x −1
có đồ thị là
B. m = 0

Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình
A.

C. m∈∅

log3−

5

( 2 x − 3) ≥ 0 là

3 
 ;2 
B.  2  .

( −∞ ; 2] .

D. m∈¡

C.

[ 2; + ∞ ) .


5− 3
 −∞;

2 
D. 
.

y = f ( x)
Câu 17. Cho hàm số
có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của m để
f ( x) = m
phương trình
có 4 nghiệm phân biệt.

.

A. 1 < m < 3 .
B. 0 < m < 3 .
C. Khơng có giá trị nào của m .
4

∫ f ( x ) dx = −2
Câu 18. Nếu 1

và
A. −8 .

4

∫ g ( x ) dx = −6
1

4

thì

B. 4 .

Câu 19. Số phức liên hợp của số phức z = 3i − 1 là
A. z = 1 + 3i .
B. z = −1 − 3i .

(1+ i) z + 5 + i =

Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn
A. 2i .
B. −2 .

D. 1 < m ≤ 3 .

∫  f ( x ) − g ( x )  dx
1

bằng

C. −4 .

D. 8 .

C. z = 1 − 3i .

D. z = 3 − i .

4 + 2i
1 − i . Tìm phần ảo của số phức w = z − 1 + 5i .
C. 2 .
D. −2i .

2
Câu 21. Cho số phức z = −2 + 3i . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức w = z là điểm nào dưới
đây?
Q ( 6; 9 )
P ( 4; 9 )
N ( −4; 6 )
M ( −5; − 12 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

H ( a; b; c )
M ( 1; −2;0 )
Câu 22. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm
là hình chiếu vng góc của điểm
x − 2 y + 1 z −1
∆:
=
=
2
1
1 . Tính a + b .
lên đường thẳng
2
a+b = −
3.
A.
B. a + b = 0 .
C. a + b = −1 .
D. a + b = 3 .
Câu 23. Trong không gian Oxyz , mặt cầu nào dưới đây có tâm thuộc đường thẳng Oz ?
2
2
2
2
2
2
A. x + y + z − 6 z + 10 = 0
B. x + y + z + 2 x + 6 z − 8 = 0
2
2

2
C. x + y + z − 6 x − 10 = 0

2
2
2
D. x + y + z + 2 z − 8 = 0


x−2 y+2 z
d:
=
=
Oxyz
1
2
3 đi qua điểm nào sau đây
Câu 24. Trong không gian
,đường thẳng
D ( 3;0;3)
A ( −2; 2;0 )
C ( 1; 2;3)
B ( 2; 2;0 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 y + 1 = 0 có tọa độ tâm I và bán kính R lần
Câu 25. Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu
lượt là
I ( 0; 2;0 ) , R = 3
I ( 0; − 2; 0 ) , R = 3
A.
. B.
.
I ( −2;0;0 ) , R = 3
I ( 2;0;0 ) , R = 3
C.
. D.
.
Câu 26. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có AB = AA′ = a, AD = 2a . Gọi góc giữa đường chéo A′C
ABCD )
và mặt phẳng đáy (
là α . Khi đó tan α bằng

A.

tan α =

Câu 27. Cho hàm số

5
5 .
f ( x)

B. tan α = 5 .
, bảng xét dấu của

f ′( x)

C.

tan α =

3
3 .

D. tan α = 3 .

như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 1 .
B. 2 .

C. 3 .

2x + 1
1− x trên đoạn [ 2;3] bằng
Câu 28. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
7
−
A. −3.
B. 4 .

C. 2 .

D. 0 .

y=

D. −5.

Câu 29. Cho a là số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn log a c + log b c = log a 2020.log b c .Mênh đề nào dưới
đây đúng?.
A. abc = 2020 .
B. ac = 2020 .
C. bc = 2020 .
D. ab = 2020 .
3

Câu 30. Số giao điểm của đồ thị hàm số
A. 0 .
B. 2 .

y = x − 3x2 + 1

và trục hoành là
C. 4 .

D. 6 .

x
x+1
[ a ; b ] . Giá trị của log ( a 2 + b2 ) bằng

Câu 31. Cho bất phương trình 4 − 5.2 + 16 ≤ 0 có tập nghiệm là đoạn
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 10 .


Câu 32. Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng
khối tròn xoay được tạo thành.

3 quay xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích V của

B. V = π .

A. V = 2π .

7
V = π.
4
C.

2

7
V = π.
8
D.

2

log 2 ( x2 +1)
x
e
dx
∫0 ( x 2 + 1) ln 2

log 2 ( x 2 +1)
x
e
dx
∫0 ( x 2 + 1) ln 2

u = log 2 ( x 2 + 1)
, nếu đặt
thì
bằng?
log 2 5
log 2 5
2
2
2
2
log 2 ( x +1)
log 2 ( x +1)
x
1
x
1
dx = ∫ eu du
e

dx = − ∫ eu du
∫0 ( x 2 + 1) ln 2 e
∫
2
2
2
( x + 1) ln 2
0
0
A.
B. 0
log 2 4
log 2 5
2
2
log 2 ( x 2 +1)
log 2 ( x 2 +1)
x
x
u
dx = ∫ 2e du
e
dx = ∫ eu du
∫0 ( x 2 + 1) ln 2 e
∫
2
( x + 1) ln 2
0
0
C.

D. 0

Câu 33. Xét

( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x 2 + 3x − 2 , trục hoành và hai đường thẳng
Câu 34. Cho hình phẳng
x = 1 , x = 2 . Quay ( H ) xung quanh trục hoành được khối trịn xoay có thể tích là
2

A.

V = ∫ x 2 − 3 x + 2 dx
1

2

C.

2

.

B.

V = π ∫ ( x 2 − 3 x + 2 ) dx
1

Câu 35. Cho số phức
A. S =- 4 .

2

V = ∫ x 2 − 3x + 2 dx
1

.

2

2

.

z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ )

D.
thỏa mãn

B. S = 4 .

V = π ∫ x 2 − 3 x + 2 dx
1

iz = 2 ( z - 1- i ) .

.

Tính S = ab.

C. S = 2.

D. S =- 2.

2
Câu 36. Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của hai nghiệm phức của phương trình z − 4 z + 9 = 0 . Tính độ
dài MN .
A. MN = 2 5 .
B. MN = 5 .
C. MN = 3 5 .
D. MN = 4 .

Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho điểm
thẳng AB có phương trình là
A. −5 x − 3 y + 3z − 14 = 0 .
C. −10 x − 6 y + 6 z − 15 = 0 .

A ( 4;3;5 )

và điểm

B ( −1;0;8 )

. Mặt phẳng trung trực của đoạn

B. −10 x − 6 y + 6 z + 15 = 0 .
15
D. −5 x − 3 y + 3z + = 0 .
2

Oxyz , cho hai điểm A ( 1; −2; −3) ; B( −1;4;1) và đường thẳng

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ
x+ 2 y− 2 z + 3
d:
=
=
1
−1
2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của
đoạn AB và song song với d ?
x y− 1 z+ 1
x− 1 y− 1 z + 1
=
=
=
=
2 .
−1
2 .
A. 1 −1
B. 1
x y− 2 z+ 2
x y− 1 z+ 1
=
=
=
=
−1
2 . D. 1
1
2 .

C. 1
Câu 39. Đánh số thứ tự cho 20 bạn học sinh lần lượt từ số thứ tự 1 đến số thứ tự 20 . Chọn ngẫu nhiên ba bạn
học sinh từ 20 bạn học sính đó. Tính xác suất để ba bạn được chọn khơng có hai bạn nào được đánh số thứ tự
liên tiếp.


799
A. 1140 .

139
B. 190 .

68
C. 95 .

27
D. 95 .

Câu 40. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a , SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SA = a (tham khảo hình vẽ). Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SD, BM bằng

a 21
A. 21 .

2a 21
B. 21 .

2a 7
C. 7 .

a 7
D. 7 .

¢
Câu 41. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Có

tất

cả

bao

g(x) = f ( 1- 2x + m) + x 2

A. 5.

(
) đê
(m + 1)x + m
( 1;2) .
nghịch biến trên khoảng

nhiêu

B. 4 .

giá

trị

ngun

m Ỵ - 10;10

hàm

số

2

C. 3 .

D. 6.

Câu 42. Khi ánh sáng đi qua một mơi trường (chẳng hạn như khơng khí, nước, sương mù, …) cường độ sẽ
I (x) = I oe- mx,
giảm dần theo qng đường truyền x, theo cơng thức
trong đó I o là cường độ của ánh sáng khi
bắt đầu truyền vào môi trường và mlà hệ số hấp thu của mơi trường đó. Biết rằng nước biển có hệ số hấp thu
m= 1,4 và người ta tính được rằng khi đi từ độ sâu 2 m xuống đến độ sâu 20 m thì cường độ ánh sáng giảm
l.1010 lần. Số nguyên nào sau đây gần với l nhất?
B. 9.
C. 10.
D. 90.
A. 8.
3
2

Câu 43. Đường cong hình bên dưới là đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d .


Xét các mệnh đề sau:
( I ) a = −1 . ( II ) ad > 0 .
( III ) d = −1 . ( IV ) a + c = b + 1 .
Tìm số mệnh đề sai.
A. 3 .
B. 1 .

C. 4 .

Câu 44. Cho hình trụ có hai đường tròn đáy

( O, R ) và ( O ', R ) , chiều cao h =

D. 2 .
3R . Đoạn thẳng AB có hai

0
đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy hình trụ sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là α = 30 . Thể
tích tứ diện ABOO ' là
3R 3
3R 3
R3
R3
.
.
.
.

A. 2
B. 4
C. 4
D. 2

π
4

π
π


f ′ ( x ) = cos  x + ÷cos 2  2 x + ÷, ∀x ∈ ¡
f x
f 0 =0
4
2


Câu 45. Cho hàm số ( ) có ( )
và
. Khi đó
bằng
5
10
5
A. 18 .
B. 9 .
C. 9 .
D. 0 .

Câu 46. Cho hàm số

f ( x)

∫π f ( x ) dx

−

4

có bảng biến thiên như sau:

 9π 
0; 
f ( 2sin x + 1) = 1
Số nghiệm thuộc đoạn  2  của phương trình
là
A. 7 .
B. 4 .
C. 5 .

D. 6 .

x
y
z
x
y
z
Câu 47. Xét các số thức x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện 9 + 16 + 25 = 3 + 4 + 5 . Tìm giá trị lớn

x+1

nhất của biểu thức T = 3
A. 15 .

y+1

+4

z+1

+5

a+ b 6
c
là
. Tính a + b
B. 13 .

C. 19 . D. 17 .


f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 2m + 1 m
Câu 48. Cho hàm số
( là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m
max f ( x ) + min f ( x ) ≥ 10
[ −30;30] là
[ 1;3]
sao cho [ 1;3]

. Số các giá trị nguyên của S trong
A. 56 .
B. 61 .
C. 55 .
D. 57 .
Câu 49. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai đáy thỏa mãn 2CD = 3 AB . Biết thể tích
126V
của khối chóp S . ABD bằng 4V và thể tích của khối chóp S .CDMN bằng 25 , trong đó M , N lần lượt nằm
SM
SA
,
SB
trên cạnh
sao cho MN song song với AB. Tỉ số MA bằng:
2
3
3
4
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 3 .

( m < 10 ) để phương trình 2 x−1 = log4 ( x + 2m ) + m có
Câu 50. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
nghiệm ?
A. 9 .
B. 10 .
C. 5 .
D. 4 .

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1A
16B
31B
46A

2A
17A
32A
47C

3B
18B
33A
48B

4B
19B
34C
49B

5C
20C
35A
50A

6B
21D

36A

7A
22_
37C

8A
23D
38A

9B
24A
39C

10D
25A
40B

11B
26A
41B

12D
27B
42B

13D
28D
43D

14D
29D
44C

15A
30C
45C

Câu 1. Một đội văn nghệ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần chọn ra một bạn nam và một bạn nữ để hát
song ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
2
A. 24 .
B. 10 .
C. C10 . .
D. 1 .
Lời giải
Chọn A
1
1
Số cách chọn một bạn nam và một bạn nữ để hát song ca là C6 .C4 = 24 cách.

Câu 2. Cho cấp số nhân

( un ) có u1 = −2 và công bội

A. u2 = −6 .

B. u2 = 6 .

q = 3 . Số hạng u2 là

C. u2 = 1 .
Lời giải

D. u2 = −18 .

Chọn A

Ta có un +1 = un .q
Suy ra u2 = u1.q = −6
Vậy u2 = −6

2 x+1
= 125 có nghiệm là
Câu 3. Phương trình 5

A.

x=

5
2.

C. x = 3 .

B. x = 1 .

D.

x=

3
2.

Lời giải
Chọn B
2 x+1
= 125 ⇔ 52 x+1 = 53 ⇔ 2 x + 1 = 3 ⇔ x = 1 .
Ta có: 5
Câu 4. Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng
3
A. 6a .

Chọn B
3
V = ( 2a ) = 8a 3

3
B. 8a .

3

3
D. 2a .

C. 4a .
Lời giải

.
f ( x) = x

−

1
3

Câu 5. Tìm tập xác định D của hàm số
.
D = [ 0; + ∞ )
D = ¡ \ { 0}
A.
.
B.
.

D = ( 0; + ∞ )
C.
.
Lời giải

D. D = ¡ .

Chọn C
Điều kiện: x > 0.
D = ( 0; +∞ ) .
Vậy
Câu 6. Mệnh đề nào sau đây đúng
1

A.

ò xdx = ln x + C

Chọn B

1

.

B.

ò cos

2

x

dx = tan x + C

1

ò sin

. C.
Lời giải

2

x

dx = cot x + C

. D.

ò cos x dx = -

sin x + C

.


Từ bảng nguyên hàm cơ bản ta chọn đáp án B.
Câu 7. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao 3h là
A. V = 3Bh .

B. V = Bh .

1
V = Bh
3 .
D.

C. V = 2 Bh .
Lời giải

Chọn A
Câu 8. Cho khối nón có bán kính đáy r = 2, chiều cao h = 3. Thể tích của khối nón là
4π 3
2π 3
4π

.
.
.
A. 3
B. 3
C. 3
D. 4π 3.
Lời giải
Chọn A
1
4π 3
V = π r 2h =
3
3
Khối nón có thể tích là
Câu 9. Cho hình lập phương cạnh bằng a . Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có diện tích bằng
4 2
A. 2 .
B.
C. π a .
D. 12 3π a 2 .
2.
a
3π a
3
Lời giải
Chọn B

3
Cạnh của hình lập phương là a ⇒ V = a .

Gọi O1 , O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy. Suy ra:

Trung điểm I của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lập phương
2

R = IA =

Bán kính:

2
2
 a 2   a 2 a 3
 AC   O1O2 
AO + IO = 
÷
÷ +
÷ = 
÷ + ÷ = 2
 2   2 
 2  2
.
2
1

2
1

2

a 3

2
S = 4π R = 4π 
÷
÷ = 3π a
2


Suy ra
.
2

Câu 10. Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây đúng?


( - 1;1) .
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( - 1;3) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
( −∞; −1) và ( 1; +∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
( - 1;1) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
Lời giải
Chọn D

Nhìn vào đồ thị hàm số

y = f ( x)

ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng

Câu 11. Với a, b là hai số thực dương khác 1 , ta có log b a bằng:
1
A. − log a b .
B. log a b .
C. log a − log b .

( −1;1) .

D. log a b .

Lời giải
Chọn B

Với a, b là hai số thực dương khác 1 và theo công thức đổi cơ số:

log b a =

1
.
log a b

Câu 12. Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a thì có diện tích toàn phần bằng:

(

)

3 + 1 π a2

A.

2

3 2
πa .
2
B.

.

C. 2π a .
Lời giải.
2

3 2
πa .
4
D.

Chọn D

a
Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a nên có đường sinh a và bán kính đáy 2 nên
3

Stp = π a 2 .
4
có diện tích tồn phần
Câu 13. Cho hàm số

y = f ( x)

xác định,liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x = −4

B. x = 0

C. x = 3
Lời giải.

D. x = −1, x = 1

Dựa vào bảng biến thiên
Chọn D.
Câu 14. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?


3
A. y = x + 3 x − 1.

4
2
B. y = − x + x − 1.

y=

C.
Lời giải

x+2
.
x +1

D.

y=

x −1
.
x +1

Chọn D
Đường cong trong hình trên khơng phải là đồ thị của hàm số bậc ba hoặc hàm số trùng phương, do
đó phương án A và B là sai.
x+2
y=
x + 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ y0 = 2 > 0 , do đó phương án C sai.
Đồ thị hàm số
Vậy phương án D đúng.
y=

Câu 15. Cho hàm số
( C ) có tiệm cận đứng.

thị
A. m ≠ 0 .

x 2 − 2 x + m2 + 1
( C ) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ
x −1
có đồ thị là
B. m = 0

C. m∈∅
Lời giải

D. m∈¡

Chọn A

D = ¡ \ { 1}
( C ) có tiệm cận đứng khi và chỉ khi x = 1 không là nghiệm của
Tập xác định
. Đồ thị
g ( x ) = x 2 − 2 x + m 2 + 1 ⇔ g ( 1) ≠ 0 ⇔ m 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 0
.

Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình
A.

log 3−

3 
 ;2 

B.  2  .

( −∞ ; 2] .

5

( 2 x − 3) ≥ 0 là
2; + ∞ )
C. [
.
Lời giải


5− 3
 −∞;

2 
D. 
.

Chọn B
Điều kiện:

x>

3
2.

log 3−
Do 0 < 3 − 5 < 1 nên

5

( 2 x − 3) ≥ 0 ⇔ 2 x − 3 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2 .

3 
 ;2 
Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là  2  .
y = f ( x)
Câu 17. Cho hàm số
có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của m để
f ( x) = m
phương trình
có 4 nghiệm phân biệt.


A. 1 < m < 3 .

.

B. 0 < m < 3 .
D. 1 < m ≤ 3 .

C. Không có giá trị nào của m .

Lời giải
Chọn A.
Đồ thị hàm số

y = f ( x)

có dạng:

.

y = f ( x)
Do đó, để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số
tại 4 điểm phân biệt thì 1 < m < 3 .
4

∫

f ( x ) dx = −2

Câu 18. Nếu 1
A. −8 .

4

và

∫ g ( x ) dx = −6
1

4

∫  f ( x ) − g ( x )  dx

thì

1

bằng
D. 8 .

C. −4 .
Lời giải

B. 4 .

Chọn B
Ta có

4

4

4

1

1

1

∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = ( −2 ) − ( −6 ) = 4

Câu 19. Số phức liên hợp của số phức z = 3i − 1 là
A. z = 1 + 3i .
B. z = −1 − 3i .

C. z = 1 − 3i .
Lời giải

.
D. z = 3 − i .

Chọn đáp án B.
Ta có z = 3i − 1 = −1 + 3i
Số phức liên hợp của số phức z = −1 + 3i là z = −1 − 3i .

(1+ i) z + 5 + i =

Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn
A. 2i .
B. −2 .

4 + 2i
1 − i . Tìm phần ảo của số phức w = z − 1 + 5i .
C. 2 .
D. −2i .
Lời giải

Chọn C
Ta có:

( 1+ i) z + 5 + i =

4 + 2i
−4 + 2i

⇔ ( 1 + i ) z = −4 + 2i ⇔ z =
⇔ z = −1 + 3i ⇒ z = −1 − 3i
1− i
1+ i


⇒ w = −1 − 3i − 1 + 5i = −2 + 2i . Vậy phần ảo của số phức w là 2 .
2
Câu 21. Cho số phức z = −2 + 3i . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức w = z là điểm nào dưới
đây?
Q ( 6; 9 )
P ( 4; 9 )
N ( −4; 6 )
M ( −5; − 12 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
2
z 2 = ( −2 + 3i ) = 4 − 12i + 9i 2 = −5 − 12i
Ta có
.
M ( −5; − 12 )
Điểm biểu diễn số phức w là điểm

.
Phân tích:
Giới hạn chương trình: Tồn bộ chương Số phức khơng được giảm tải.
Đề thi tham khảo có 5 câu Số phức: 19, 20, 21, 35, 36. Các câu 19, 20, 21 ở mức độ nhận biết, các câu
35, 36 ở mức độ thông hiểu.

Các câu 19, 20, 21 thuộc dạng các định nghĩa liên quan đến số phức (Riêng câu 21: dạng biểu diễn
hình học số phức), trong phạm vi Bài 1: Số phức. Câu 22. phép toán trên tập số phức. ##Phương trình bậc hai
với hệ số thực.

H ( a; b; c )
M ( 1; −2;0 )
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm
là hình chiếu vng góc của điểm
x − 2 y + 1 z −1
∆:
=
=
2
1
1 . Tính a + b .
lên đường thẳng
2
a+b = −
3.
A.
B. a + b = 0 .
C. a + b = −1 .
D. a + b = 3 .
Lời giải

Chọn C
H ( 2 + 2t; −1 + t;1 + t ) ∈ ∆
Giả sử uuuur
.
r
MH = ( 1 + 2t ;1 + t ;1 + t )
u
= ( 2;1;1)
Khi đó
; vectơ chỉ phương của ∆ là
.
2 ⇒ M  2;− 5;1 
uuuur r
⇔
t
=
−

÷
⇔
2.
1
+
2
t
+
1.
1
+
t

+
1.
1
+
t
=
0
(
) ( ) ( )
 3 3 3.
3
Ta có MH .u = 0
Vậy a + b = −1 .
Câu 24. Trong không gian Oxyz , mặt cầu nào dưới đây có tâm thuộc đường thẳng Oz ?
2
2
2
A. x + y + z − 6 z + 10 = 0
B.
x2 + y2 + z 2 + 2x + 6z − 8 = 0
2
2
2
C. x + y + z − 6 x − 10 = 0

2
2
2
D. x + y + z + 2 z − 8 = 0

Lời giải
Chọn D
Tọa độ điểm thuộc đường thẳng Oz có dạng: (0;0; a ) .
Ta có:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A. x + y + z − 6 z + 10 = 0 có 0 + 0 + 3 − 10 = −1 < 0 suy ra x + y + z − 6 z + 10 = 0 khơng phải
phương trình mặt cầu.

( −1)

2
2
2
R=
I ( −1;0; −3)
B. x + y + z + 2 x + 6 z − 8 = 0 có tâm
bán kính
tâm I không thuộc Oz .
2
2
2
R=

I ( 3;0; 0 )
C. x + y + z − 6 x − 10 = 0 có tâm
bán kính
khơng thuộc Oz .

( −3 )

2

2

+ 02 + ( −3) + 8 = 18
2

+ 02 + 02 = 10 = 19

suy ra

suy ra tâm I


2
2
2
R = 02 + 0 + ( −1) + 8 = 3
I ( 0;0; −1)
D. x + y + z + 2 z − 8 = 0 có tâm
bán kính
suy ra tâm I thuộc
Oz .

2

d:
Câu 25. Trong không gian Oxyz ,đường thẳng
D ( 3;0;3)
A ( −2; 2; 0 )
A.
.
B.
.

x−2 y+2 z
=
=
1
2
3 đi qua điểm nào sau đây
C ( 1; 2;3 )
B ( 2; 2;0 )
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn A
Lần lượt thay toạ độ các điểm A , B , C , D vào phương trình đường thẳng d , ta thấy toạ độ điểm
D thoả mãn phương trình d . Do đó điểm D thuộc đường thẳng d . Chọn đáp án A.

S ) : x2 + y 2 + z 2 − 4 y + 1 = 0

(
Oxyz
Câu 26. Trong không gian
, mặt cầu
có tọa độ tâm I và bán kính R lần
lượt là
A.
C.

I ( 0; 2;0 ) , R = 3

I ( −2; 0;0 ) , R = 3

.

B.

I ( 0; − 2;0 ) , R = 3

I ( 2;0;0 ) , R = 3
D.
.
Lời giải

.

.

Chọn A.
Phương trình mặt cầu

( S ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 có tâm là I ( a; b; c ) bán kính là

R = a 2 + b 2 + c 2 − d . Vậy chọn đáp án A.

Câu 27. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B ′C ′D′ có AB = AA′ = a, AD = 2a . Gọi góc giữa đường chéo A′C
ABCD )
và mặt phẳng đáy (
là α . Khi đó tan α bằng

A.

tan α =

5
5 .

B. tan α = 5 .

tan α =

C.
Lời giải

3
3 .

D. tan α = 3 .

Chọn A

ABCD )
nên hình chiếu vng góc của A′C lên (
là đường AC .
·
ABCD )
Suy ra góc giữa A′C và (
là góc giữa A′C và AC hay góc ACA′ = α .
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC vng tại B ta có:
AC 2 = AB 2 + BC 2 = a 2 + 4a 2 = 5a 2 ⇒ AC = a 5 .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AA′C vuông tại A ta có:

Ta có

AA′ ⊥ ( ABCD )

tan α =

AA′
a
5
=
=
AC a 5
5 .


Câu 28. Cho hàm số

f ( x)

, bảng xét dấu của

f ′( x)

như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 1 .
B. 2 .

C. 3 .
Lời giải

D. 0 .

Chọn B.
f′ x
Từ bảng xét dấu ta thấy ( ) đổi dấu khi qua x = 2 nên hàm số đã cho có 1 điểm cực trịCâu 29. Giá trị nhỏ
2x + 1
y=
1− x trên đoạn [ 2;3] bằng
nhất của hàm số
3
7
−
A. −3.
B. 4 .
C. 2 .
D. −5.
Lời giải

Chọn D .

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn
3
y' =
> 0,∀x∈ [ 2;3]
2
( 1− x)

[ 2;3] .

Do đó hàm số đồng biến trên trên đoạn

⇒

[ 2;3] .

min y = y( 2) = −5 ; max y = y( 3) = −
[ 2;3]

[ 2;3]

7
2.

Câu 30. Cho a là số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn log a c + log b c = log a 2020.log b c .Mênh đề nào dưới
đây đúng?.
A. abc = 2020 .
B. ac = 2020 .
C. bc = 2020 .

D. ab = 2020 .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: log a c + log b c = log a 2020.log b c
⇔

log c 2020 1
1
1
+
=
.
log c a log c b
log c a log c b (công thức đổi cơ số)

⇔ log c a + log c b = log c 2020
⇔ log c ab = log c 2020 ⇔ ab = 2020 .
3

Câu 31. Số giao điểm của đồ thị hàm số
A. 0 .
B. 2 .

y = x − 3x2 + 1

và trục hoành là
C. 4 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn C
3

y = x − 3x2 + 1
Nhận xét hàm số
là hàm số chẵn trên ¡ . Nên đồ thị đối xứng nhau qua Oy .
3
2
Xét x ≥ 0 ⇒ y = x − 3 x + 1 .
x = 0
y′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ 
2
x = 2 .
Ta có y′ = 3 x − 6 x . Cho
Bảng biến thiên


3
2
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 với x ≥ 0 giao với trục hoành là 2 giao
điểm phân biệt có hồnh độ dương.
3
y = x − 3x 2 + 1
Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số
và trục hoành là : 2.2 = 4 giao điểm.
x
x+1
[ a ; b ] . Giá trị của log ( a 2 + b2 ) bằng
Câu 32. Cho bất phương trình 4 − 5.2 + 16 ≤ 0 có tập nghiệm là đoạn

A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 10 .
Lời giải
Chọn B
x
x+1
x
x
x
Bất phương trình 4 − 5.2 + 16 ≤ 0 ⇔ 4 − 10.2 + 16 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ 2 ≤ 8 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 .

[ 1;3]

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
.
2
2
2
log ( a + b ) = log ( 1 + 32 ) = 1
a
=
1;
b
=
3
Suy ra
nên
.

Câu 33. Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng
khối trịn xoay được tạo thành.
A. V = 2π .

3 quay xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích V của
7
V = π.
4
C.
Lời giải

B. V = π .

7
V = π.
8
D.

Chọn A

S ABC = 3 ⇒ AB = BC = CA = 2 .

(

)

O ( 0;0 ) , A ( 1;0 ) , B 0; − 3
Chọn hệ trục vng góc Oxy sao cho
với O là trung điểm AC . Phương
y = 3 ( x − 1)

trình đường thẳng AB là
, thể tích khối trịn xoay khi quay ABO quanh trục AC
1

V ′ = π ∫ 3 ( x − 1) dx = π

0
(trùng Ox ) tính bởi
Vậy thể tích cần tìm V = 2V ′ = 2π .

.

2

Câu 34. Xét

log 2 ( x2 +1)
x
e
dx
∫0 ( x 2 + 1) ln 2

2

, nếu đặt

u = log 2 ( x 2 + 1)

thì

log 2 ( x 2 +1)
x
e
dx
∫0 ( x 2 + 1) ln 2

bằng?


A.
C.

2

log 2 ( x 2 +1)
x
e
dx =
∫0 ( x 2 + 1) ln 2

log 2 5

2

log 2 4

log 2 ( x 2 +1)
x
e
dx =

∫0 ( x 2 + 1) ln 2

∫
0

∫

2

1 u
e du
2

B.

log 2 ( x 2 +1)
x
e
dx = −
∫0 ( x 2 + 1) ln 2
2

log 2 ( x 2 +1)
x
e
dx =
∫0 ( x 2 + 1) ln 2

2eu du

0

D.
Lời giải

log 2 5

∫
0

1 u
e du
2

log 2 5

∫

eu du

0

Chọn A
u = log 2 ( x 2 + 1) ⇒ du =

2x
dx
( x + 1) ln 2
2

Với x = 0 ⇒ u = 0 và x = 2 ⇒ u = log 2 5
log 2 5
2
log 2 ( x 2 +1)
x
1
dx = ∫ e u du
∫0 ( x2 + 1) ln 2 e
2
0
Ta được

( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − x 2 + 3x − 2 , trục hoành và hai đường thẳng
Câu 35. Cho hình phẳng
x = 1 , x = 2 . Quay ( H ) xung quanh trục hồnh được khối trịn xoay có thể tích là
2

A.

V = ∫ x 2 − 3 x + 2 dx
1

2

C.

2

.

B.

V = π ∫ ( x 2 − 3 x + 2 ) dx
1

2

V = ∫ x 2 − 3x + 2 dx
1

.

2

2

V = π ∫ x 2 − 3 x + 2 dx

.

D.
Lời giải

1

.

Chọn C.
2

V = π ∫ ( x 2 − 3 x + 2 ) dx.
2

1
Thể tích cần tìm được tính bởi biểu thức:
z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ )
iz = 2 ( z - 1- i ) .
Câu 36. Cho số phức
thỏa mãn
Tính S = ab.

A. S =- 4 .

B. S = 4 .

C. S = 2.
Lời giải

D. S =- 2.

Chọn A
iz = 2 ( z − 1 − i ) ⇔ i ( a + bi ) = 2 ( a − bi − 1 − i ) ⇔ −b + ai = 2a − 2 + ( −2b − 2 ) i
Ta có
 −b = 2 a − 2
 2a + b = 2
a = 2
⇔
⇔
⇔
⇒ S = ab = −4.

a = −2b − 2
a + 2b = −2
b = −2
2
Câu 37. Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của hai nghiệm phức của phương trình z − 4 z + 9 = 0 . Tính độ
dài MN .

A. MN = 2 5 .

C. MN = 3 5 .

B. MN = 5 .

D. MN = 4 .

Lời giải
Chọn A.
 z = 2 + 5i
⇔
 z = 2 − 5i
z2 − 4z + 9 = 0
Do đó

(

M 2; 5

) , N ( 2; − 5 ) nên MN = 2

Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho điểm

thẳng AB có phương trình là

A ( 4;3;5 )

5 chọn A.
và điểm

B ( −1;0;8 )

. Mặt phẳng trung trực của đoạn


A. −5 x − 3 y + 3z − 14 = 0 .

B. −10 x − 6 y + 6 z + 15 = 0 .
15
D. −5 x − 3 y + 3z + = 0 .
2
Lời giải

C. −10 x − 6 y + 6 z − 15 = 0 .
Chọn C
Giả sử

( P ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

AB . Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB .

 3 3 13 
uuu

r
I =  ; ; ÷∈ ( P )
AB
= ( −5; − 3;3)
( P) .
2
2
2


Ta có:
và
là một véc tơ pháp tuyến của

Vậy phương trình mặt phẳng

( P)

là

−5 x − 3 y + 3 z −

15
=0
2
.

A ( 1; −2; −3) B( −1;4;1)
Oxyz
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm
;
và đường thẳng
x+ 2 y− 2 z + 3
d:
=
=
1
−1
2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của
đoạn AB và song song với d ?
x y− 1 z+ 1
x− 1 y− 1 z+ 1
=
=
=
=
2 .
−1
2 .
A. 1 −1
B. 1
x y− 2 z+ 2
x y−1 z+ 1
=
=
=
=
−1
2 .

1
2 .
C. 1
D. 1
Lời giải
Chọn đáp án A.
I ( 0;1; −1)
Trung điểm của AB là
.
r
x+ 2 y− 2 z + 3
d:
=
=
u
1
−1
2 có VTCP là = ( 1; −1;2) nên đường thẳng ∆ cần tìm cũng có VTCP
r
u = ( 1; −1;2)
.
x y− 1 z+ 1
∆: =
=
.
1 −1
2
Suy ra phương trình đường thẳng

Câu 40. Đánh số thứ tự cho 20 bạn học sinh lần lượt từ số thứ tự 1 đến số thứ tự 20 . Chọn ngẫu nhiên ba

bạn học sinh từ 20 bạn học sính đó. Tính xác suất để ba bạn được chọn khơng có hai bạn nào được đánh số
thứ tự liên tiếp.

799
A. 1140 .

139
B. 190 .

68
C. 95 .
Lời giải

27
D. 95 .

Chọn C

20
Gọi Ω là không gian mẫu. Số phần tử của không gian mẫu là ( )
Gọi A là biến cố cần tìm thì A là biến cố chọn được ba bạn học sinh trong đó có 2 hoặc 3 bạn được
đánh số tự nhiên liên tiếp.

n Ω = C 3 = 1140.

n( A ) = 18+ 2.17 + 17.16 = 324

Xác suất của biến cố

A

là

p ( A) = 1 − p ( A ) = 1 −

n ( A)

n ( Ω)

= 1−

324 68
= .
1140 95

Câu 41. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a , SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SA = a (tham khảo hình vẽ). Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SD, BM bằng


a 21
A. 21 .

2a 21
B. 21 .

2a 7
C. 7 .
Lời giải

a 7
D. 7 .

Chọn B

BM / / ( SDN )
Gọi N là trung điểm của AB khi đó BM / / DN nên
d ( BM ; SD ) = d ( BM ; ( SDN ) ) = d ( B; ( SDN ) ) = d ( A; ( SDN ) )
.
( SAH ) ⊥ ( SDN ) . Trong mp ( SAH ) kẻ AK ⊥ SH tại K . Khi
Kẻ AH ⊥ DN tại H . Ta có mặt phẳng
đó
d ( BM ; SD ) = d ( A; ( SDN ) ) = AK
.
1
1
1
1
1
1
4
1
1
21
2a 21
=
+ 2 =
+
+ 2 = 2+ 2+ 2 = 2
AK =

2
2
2
2
AK
AH
SA
AN
AD
SA
a
4a
a
4a . Suy ra
21 .
¢
Câu 42. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.


Có

tất

cả

bao

g(x) = f ( 1- 2x + m) + x2 -

A. 5.

(
) đê
(m + 1)x + m
( 1;2) .
nghịch biến trên khoảng

nhiêu

B. 4 .

giá

trị

ngun

m Ỵ - 10;10

hàm

số

2

C. 3 .

D. 6.

Lời gii

Chn B

g( x)

Â
Â
nghch bin ị g (x) = - 2f (1- 2x + m) + 2x - m - 1 < 0
é1- 2x + m > 4
ê
1
Þ
ê- 2 < 1- 2x + m < 0
ị f Â(1- 2x + m) > - ( 1- 2x + m)
ê
2
ë
é m- 3
êx <
é1- 2x + m > 4
ê
ê
2
Þ ê
Û ê
2
<
1
2
x
+

m
<
0
1
+
m
3+m
ê
ê
ë
ê
2
ë 2
é m- 3
ê2 £
ê
2
ém ³ 7
ê
1
+
m
3+ m Û ê
ê
êm = 1
£ 1< 2 £
1;2
ê
g( x)

ê
2
ë
Để hàm số
nghịch biến trên
thì ë 2
Vậy m = 1;7;8;9.
Hàm số

( )

Câu 43. Khi ánh sáng đi qua một mơi trường (chẳng hạn như khơng khí, nước, sương mù, …) cường độ sẽ
I (x) = I oe- mx ,
giảm dần theo quãng đường truyền x, theo công thức
trong đó I o là cường độ của ánh sáng khi
bắt đầu truyền vào môi trường và mlà hệ số hấp thu của mơi trường đó. Biết rằng nước biển có hệ số hấp thu
m= 1,4 và người ta tính được rằng khi đi từ độ sâu 2 m xuống đến độ sâu 20 m thì cường độ ánh sáng giảm
l.1010 lần. Số nguyên nào sau đây gần với l nhất?
B. 9.
C. 10.
D. 90.
A. 8.
Lời giải
Chọn B
ìï I ( 2) = I .e- 2m
e181ì,4
ù
0
18m
10

ị
e
=
l
.10
ị
l
=
; 8,8
ớ
10
ùù I ( 20) = I 0.e- 20m
10
Ta có: ïỵ
3
2
Câu 44. Đường cong hình bên dưới là đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d .


Xét các mệnh đề sau:
( I ) a = −1 .
( III ) d = −1 .
Tìm số mệnh đề sai.
A. 3 .

( II ) ad > 0 .
( IV ) a + c = b + 1 .
B. 1 .

C. 4 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn D

( I ) sai.
Dựa vào đồ thị ta thấy a > 0 . Mệnh đề
( 0;1) ⇒ d = 1 > 0 ⇒ ad > 0 . Mệnh đề ( II ) đúng, mệnh đề ( III ) sai.
Đồ thị hàm số đi qua điểm
( −1; 0 ) ⇒ a + c = b + 1 . Mệnh đề ( IV ) đúng.
Đồ thị hàm số đi qua điểm
( I ) và ( III ) .
Vậy có hai mệnh đề sai là
Câu 45. Cho hình trụ có hai đường trịn đáy

( O, R ) và ( O ', R ) , chiều cao h =

3R . Đoạn thẳng AB có hai

0
đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy hình trụ sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là α = 30 . Thể
tích tứ diện ABOO ' là
3R 3
3R 3
R3
R3
.
.
.

.
A. 2
B. 4
C. 4
D. 2
Lời giải
Chọn C

Ta có hình vẽ như sau:

Ta có: O 'O || BB ' nên
Đặt

V = VOA 'B .O 'AB '

· ,O 'O = ·AB, BB ' = ABB
) · ' = 30 .
) (
( AB
0

.


1
VABOO ' = V B .AOO ' = V B .A 'AO = V A .A 'BO = V
3 vì S∆AOO ' = S∆A 'AO
Ta có
OB = R, A 'B = R 3 tan30 = R
0

Ta có

nên ∆OA 'B đều,

S∆OA 'B =

R2 3
4 .

 R2 3  R3
1
1
÷=
VO 'OAB = V =
3R 
.
 4 ÷ 4
3
3


π
4

π
π


∫π f ( x ) dx

f ′ ( x ) = cos  x + ÷cos2  2 x + ÷, ∀x ∈ ¡
−
f x
f 0 =0
4
2


Câu 46. Cho hàm số ( ) có ( )
và
. Khi đó 4
bằng
5
10
5
A. 18 .
B. 9 .
C. 9 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn C
π
 π

f ' ( x ) = cos  x + ÷cos 2  2 x + ÷, ∀x ∈ ¡
f ( x)
f '( x)
4
2



Ta có
nên
là một nguyên hàm của
.
π

π
π  2 
π 


 2 x + ÷dx = ∫ cos  x + ÷cos  2  x + ÷÷dx
2
4
4 


 
π 
π 


= ∫ cos  x + ÷ 1 − 2sin 2  x + ÷÷dx = I
4 
4 


π
π



t = sin  x + ÷ ⇒ dt = cos  x + ÷dx
4
4


Đặt
2
π 2
π


I = ∫ ( 1 − 2t 2 ) dt = t − t 3 + c = sin  x + ÷− sin 3  x + ÷+ C
3
4 3
4


Ta có
π 2
π
 π


f  − ÷ = 0 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) = sin  x + ÷− sin 3  x + ÷
4 3
4
 4





∫ f ′ ( x ) dx = ∫ cos  x + 4 ÷ cos

π
4

π
4

−

−

2

 
π 2
∫π f ( x ) dx = ∫π  sin  x + 4 ÷ − 3 sin
4

=

π
4



3

π 

 x + ÷÷dx
4 


4

π

2

π
4



π 

∫π sin  x + 4 ÷ dx − 3 ∫π sin  x + 4 ÷1 − cos

−

2

−

4

π 

 x + ÷÷dx
4 


4
π
4

π
4

π
2 
π  
π 



= − cos  x + ÷ + ∫  1 − cos 2  x + ÷÷d  cos  x + ÷÷
4  −π 3 π 
4  
4 



−
4

4

π
4

2
π 1
π 
2
1 5


= 1 +  cos  x + ÷− cos 3  x + ÷÷ = 1 +  −1 + ÷ =
3
4 3
4   −π
3
3 9


4

Câu 47. Cho hàm số

f ( x)

có bảng biến thiên như sau:


 9π 

0; 2 
f ( 2sin x + 1) = 1
Số nghiệm thuộc đoạn
của phương trình
là
7
A. .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn A
 x = −1

f ( x ) = 1 ⇔  x = a ∈ ( 1;3 )
 x = b ∈ 3; +∞
(
).

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

sin x = −1( 1)
 2sin x + 1 = −1


a −1
f ( 2sin x + 1) = 1 ⇔  2sin x + 1 = a ∈ ( 1;3)
⇔ sin x =
, a ∈ ( 1;3 ) ( 2 )


2
 2sin x + 1 = b ∈ 3; +∞

(
)

b −1
sin x =
, b ∈ ( 3; +∞ ) ( 3)

2
Như vậy
.
 9π 
3π
7π
x=
,x =
0; 2 
2
2 .
Trên đoạn
phương trình sin x = −1 có 2 nghiệm
a −1
a −1
1 < a < 3 ⇒ 0 < a −1 < 2 ⇒ 0 <
<1
sin x =
2
2 có 5 nghiệm phân biệt thuộc

Với
. Do đó
 9π 
3π
7π
0; 2 
, các nghiệm này đều khác 2 và 2 .
Với

b > 3 ⇒ b −1 > 2 ⇔

b −1
b −1
>1
sin x =
2 vơ nghiệm.
2
. Do đó

 9π 
0; 
f ( 2sin x + 1) = 1
Vậy trên đoạn  2  phương trình
có 7 nghiệm.
f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 2m + 1 m
Câu 48. Cho hàm số
( là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m
max f ( x ) + min f ( x ) ≥ 10
[ −30;30] là
[ 1;3]

sao cho [ 1;3]
. Số các giá trị nguyên của S trong
A. 56 .

B. 61 .

C. 55 .
Lời giải

D. 57 .

Chọn B
 x=0
f '( x) = 0 ⇔ 
f ' ( x ) = 3x + 6 x = 3x ( x + 2 )
 x = −2 ⇒ f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 1;3] . Vậy trên [ 1;3] hàm
Có
,
số luôn đồng biến.
f ( 1) = 5 − 2m; f ( 3) = 55 − 2m
Có
.
5
55
( 5 − 2m ) ( 55 − 2m ) ≤ 0 ⇔ ≤ m ≤
2
2
- TH1:
2

 max f ( x ) = 5 − 2m = 2m − 5
 [ 1;3]
 max f ( x ) = 55 − 2m = 55 − 2m
min f ( x ) = 0
1;3]
[
Khi đó
và  [ 1;3]
Ta có 2m − 5 > 55 − 2m ⇔ m > 15 .
55
15 < m ≤
max f ( x ) = 2m − 5
2 thì [ 1;3]
Với
55
15
15 < m ≤
max f ( x ) + min f ( x ) ≥ 10 ⇔ 2m − 5 + 0 ≥ 10 ⇔ m ≥
[ 1;3]
[ 1;3]
2 .
2 . Do đó
5
≤ m ≤ 15
max f ( x ) = 55 − 2m
Với 2
thì [ 1;3]
5
45

≤ m ≤ 15
max f ( x ) + min f ( x ) ≥ 10 ⇔ 55 − 2m + 0 ≥ 10 ⇔ m ≤
[ 1;3]
[ 1;3]
2 . Do đó 2
.
5
55
≤m≤
2 .
Vậy 2
5
5 − 2m > 0 ⇔ m <
2.
-TH2:
25
5
max f ( x ) + min f ( x ) ≥ 10 ⇔ 55 − 2m + 5 − 2m ≥ 10 ⇔ m ≤
m<
1;3
1;3
[ ]
2 . Vậy
2.
Thì [ ]
55
55 − 2m < 0 ⇔ m >
2 .
- TH3:
35

55
max f ( x ) + min f ( x ) ≥ 10 ⇔ −5 + 2m − 55 + 2m ≥ 10 ⇔ m ≥
m>
[ 1;3]
2 . Vậy
2 .
Thì [ 1;3]

[ −30;30] , S có 61 giá trị nguyên.
Tóm lại S = ¡ . Vậy trong

Câu 49. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai đáy thỏa mãn 2CD = 3 AB . Biết thể
126V
tích của khối chóp S . ABD bằng 4V và thể tích của khối chóp S .CDMN bằng 25 , trong đó M , N lần lượt
SM
SA
,
SB
nằm trên cạnh
sao cho MN song song với AB. Tỉ số MA bằng:
2
3
3
4
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B