tài liệu toán tài chính k58ktkt nguyenvantien0405

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>HỆ PHƯƠNG TRÌNH </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH</b>

Dạng tổng qt

aij gọi là các hệ số
bj: hệ số tự do

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

...

<i>n n</i>

<i>n n</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>mn n</i> <i>m</i>

<i>a x</i>

<i>a x</i>

<i>a x</i>

<i>b</i>

<i>a x</i>

<i>a x</i>

<i>a x</i>

<i>b</i>

<i>a x</i>

<i>a x</i>

<i>a x</i>

<i>b</i>

ìï

₊

₊

₊

₌

ïï

ï

₊

₊

₊

₌

ïï

íï

ïï

ï

₊

₊

₊

₌

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH</b>

Dạng ma trận

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

...

...

...

...

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>mn</i> <i>n</i> <i>m</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>x</i>

<i>b</i>

æ

ử ổ ử ổ ử

_ữ

_ữ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ



ỗ

_ữ

₌

ỗ

_ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ

ỗ

ữ ỗ ữ ç ÷

_÷

_÷

_÷

ç

_÷

ç

_÷

ç

_÷

ç

_÷

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

_ữ

ỗ

ỗ

ỗ

ố

ứ ố ứ ố ø

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH</b>

Dạng ma trận

Ma trận A gọi là ma trận hệ số.
X: ma trận cột các ẩn số

B: ma trận hệ số tự do hay cột tự do

Nghiệm của phương trình là một bộ số:

Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều thỏa mãn.

<i>A X</i>

´

=

<i>B</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>MỘT SỐ KHÁI NIỆM</b>

Nếu số phương trình bằng số ẩn và detA≠0  Hệ

Crammer

Nếu hệ số tự do triệt tiêu  Hệ thuần nhất

Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu
chúng có cùng tập nghiệm.

Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2
 
 
 
_  _

 
 
 
 


    

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>mn</i> <i>m</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a b</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a b</i>

<i>A</i> <i>A B</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM</b>

<b>Ví dụ 1. </b>Các hệ phương trình sau có nghiệm hay khơng?

2 3 1 2 3 4

1 3 1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1 2 4 2

) 2 ) 2 1

2 2 2 1 7 4 11 5

2 2

2 4 1

)

3 4 0

2 4 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a x</i> <i>x</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>c</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7></div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>PP GIẢI HỆ CRAMER</b>

Phương pháp ma trận nghịch đảo

Phương pháp định thức

1

.

.

<i>A X</i>

=

<i>B</i>

Û

<i>X</i>

=

<i>A B</i>

<b>-Định lý. </b>Hệ Cramer với ma trận hệ số là A có nghiệm duy nhất và
nghiệm của nó được xác định bởi: xi=Di/D. Trong đó D=detA và
Di là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột
thứ i bởi cột hệ số tự do.

det

det

<i>i</i> <i>i</i>

<i>i</i>

<i>A</i>

<i>D</i>

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>D</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>PP ĐỊNH THỨC</b>

11 12 1 1 12 1

21 22 2 2 22 2

1
1
2
2
1 2
... ...
... ...
;
... ... ...
... ...
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>nn</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>nn</i>

<i>b</i>

<i>b</i>
<i>b</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>A</i> <i>B</i> <i>A</i>

<i>a a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i>

ổ ử_ữ ổ ử_ữ ổ
ỗ _ữ ỗ _ữ ç
ç _÷ ç _÷ ç
ç _÷ ç _÷ ç
ç _÷ ç _÷ ç
ç _÷ ç _÷ ç
= _ç_ç _÷_÷ = _ỗ_{ỗ ữ}_ữị = _ỗ_ỗ
ữ ữ
ỗ _ữ ỗ _ữ ỗ
ỗ _ữ ç _÷ ç
ç _÷ ç _÷
ç _÷ ç _÷
ç ç
è ứ ố ứ ố
ử
ữ
ữ
ữ
ữ

ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ _ữ
ỗ _ữ
ỗ _ứ
1
2
12 1
22 2
1 1
2
...
...
det
...
...
<i>n</i>
<i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>PP ĐỊNH THỨC</b>

Vì detA khác 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A-1. Do đó:

Ta có:

1

.

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>-VÍ DỤ 3</b>

Giải hệ phương trình sau:

Giải.

<b>Cách 1.</b> Ta có:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>VÍ DỤ 3</b>

Cách 2. Ta có:

Ta tính được:

Vậy nghiệm của hệ là:

1

3 3 0 5 18 1

1 1

12 18 12 1 18 1

18 18

12 6 6 5 36 2

<i>X</i> <i>A B</i>

       
       

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>VÍ DỤ 4</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14></div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>ĐỊNH LÝ VỀ SỐ NGHIỆM CỦA HPT TỔNG QUÁT</b>

Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình và n ẩn.

Trong trường hợp ii) hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào
n-r(A) tham số.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

i) Hệ pt có nghiệm duy nhất
ii) Hệ pt có vô số nghiệm

iii) Hệ pt vô nghiệm
iv) Hệ pt có nghiệm

<i>r A</i> <i>r A</i> <i>n</i>

<i>r A</i> <i>r A</i> <i>n</i>

<i>r A</i> <i>r A</i>

<i>r A</i> <i>r A</i>

Û = =

Û = <

Û ¹

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>PP KHỬ GAUSS - JORDAN</b>

- Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma
trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang.

- Ở dạng này ta dễ dàng nhận biết hệ có nghiệm hay
khơng và việc giải tìm nghiệm cũng đơn giản hơn.
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN</b>

(

)

<i>bdsc hang</i>

(

)

<i>r</i> <i>r</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18></div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>VÍ DỤ 6</b>

Giải và biện luận hệ phương trình:

<b>Giải.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>VÍ DỤ 6</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER</b>

Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A là ma
trận vuông.

( )

( )

( )

Đặt:

Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất:

Nếu và tồn tại thì hệ vơ nghiệm.
Nếu thì hệ vơ nghiệm
hoặc vơ số nghiệm.

Ta giải tiếp

1 1

1

det ; det ; ...; det

) 0

) 0 0

) ... 0

<i>n</i> <i>n</i>

<i>i</i>
<i>i</i>

<i>i</i>
<i>n</i>

<i>D</i> <i>A</i> <i>D</i> <i>A</i> <i>D</i> <i>A</i>

<i>i</i> <i>D</i>

<i>D</i>
<i>x</i>

<i>D</i>

<i>ii</i> <i>D</i> <i>D</i>

<i>ii</i> <i>D</i> <i>D</i> <i>D</i>

= = =

¹

=

= ¹

= = = =

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>VÍ DỤ 6</b>

Ta có:

Sinh viên tự làm tiếp

1 1

2 1 3 3

1 1 1 1 1

det 1 1 detA 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

detA 1 1 1 det 1 1

1 1 1 1 1

<i>m</i>

<i>D</i> <i>A</i> <i>m</i> <i>D</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

<i>m</i> <i>m</i>

<i>D</i> <i>D</i> <i>A</i> <i>m</i>

<i>m</i>

= = = =

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>VÍ DỤ 7</b>

Giải và biện luận hệ phương trình sau

1 2 3

1 2 3

2

1 2 3

1

4

)

)

8

2

4

<i>mx</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>ax y z</i>

<i>a x</i>

<i>mx</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>b x by z</i>

<i>x</i>

<i>by z</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>mx</i>

<i>m</i>

ì

ì

ï

₊

₊

₌

ï

_{+ + =}

ï

ï

ï

ï

ï

₊

₊

₌

ï

₊

_{+ =}

í

í

ï

ï

ï

₊

₊

₌

_{ï +}

_{+ =}

ï

ï

ï

_ïỵ

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT</b>

Hệ thuần nhất có dạng:

Hoặc dạng ma trận:
Ma trận mở rộng:

Để thuận tiện ta chỉ xét và biến đổi trên ma trận A.

11 1 12 2 1
21 1 22 2 2

1 1 2 2

0
0

0
<i>n n</i>
<i>n n</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>mn n</i>

<i>a x</i> <i>a x</i> <i>a x</i>
<i>a x</i> <i>a x</i> <i>a x</i>

<i>a x</i> <i>a x</i> <i>a x</i>

   


   



 _ _ _ _



      

. 0

<i>A X</i> 



| 0



 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>TÍNH CHẤT</b>

1. Hệ phương trình thuần nhất ln ln có nghiệm.

2. (0,0,…,0) ln là nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầm
thường.

3. Mọi tổ hợp tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhất
cũng là nghiệm. Do đó, hệ thuần nhất hoặc chỉ có

nghiệm tầm thường hoặc có vơ số nghiệm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>VÍ DỤ 8</b>

Giải hệ phương trình

Giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b>VÍ DỤ 8</b>

Hệ đã cho tương đương với hệ:

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<b>BÀI 1</b>

Cho hai ma trận:

Tìm ma trận nghịch đảo của A.
Tìm X biết: X.A=3B

1 2 3 1 2 1

3 2 4 3 1 0

2 1 0 2 1 1

<i>A</i> <i>B</i>

 

   

   

_  _ _  _

 _   

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

<b>BÀI 2</b>

Giải các phương trình sau

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3 4

0
2 2 1

3 2 5

) 2 3 6 1 )

5 4

7

7 3 10

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>b</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<b>BÀI 3</b>

Giải các hệ phương trình sau

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 9 6

) 3 5 4 ) 2 3 4 21

4 7 5 7 3 6

2 2 4

4 3 2 6

)

8 5 3 4 12
3 3 11 5 6

<i>x y</i> <i>z</i> <i>x y z</i>

<i>a</i> <i>x</i> <i>y z</i> <i>b</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i> <i>y z</i> <i>x y</i> <i>z</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>c</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<b>BÀI 4</b>

Tìm m để ma trận sau khả nghịch

1

1

1

1

1

1

1

<i>m</i>

<i>A</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

<i>m</i>

















_

_



</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

<b>BÀI 5</b>

Cho hệ phương trình tuyến tính.

A) Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất

B) Tìm a, b để hệ trên có nghiệm với mọi m

1

(

1)

(

1)

<i>x y mz</i>

<i>x my z a</i>

<i>x</i>

<i>m</i>

<i>y</i>

<i>m</i>

<i>z b</i>

ìï + +

=

ïï

ï + + =

íï

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<b>BÀI 6</b>

Giải và biện luận theo m





1 2 3

1 2 3

2

1 2 3

) 2 2 2 4

3 3 3

) 2 ( 1) ( 1) 1

1

<i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i>

<i>a m x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>mx</i> <i>y</i> <i>z m</i>

<i>b</i> <i>x m</i> <i>y m</i> <i>z m</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>mz</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<b>ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ</b>

Cơng ty Honda có hai đại lý bán xe X và Y. Hai đại lý này chỉ

chuyên bán xe Dream II và xe môtô. Doanh số bán hàng trong
tháng 8 & 9 của 2 đại lý được ghi lại như sau:

a/ Tính tốn doanh số trong 2 tháng 8 và 9 cho mỗi đại lý và mỗi
loại xe.

b/ Tính sự gia tăng doanh số từ tháng 8 đến tháng 9.

c/ Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý là 5% doanh
thu. Tính tiền huê hồng của mỗi đại lý cho mỗi loại xe nhận

được trong tháng 9.

Tháng 8

Dream II Môtô

Đại lý X $ 18,000 $ 36,000

Đại lý Y $ 36,000 $ 0

<b>Tháng 9</b>

Dream II Môtô

Đại lý X $ 72,000 $ 144,000

Đại lý Y $ 90,000 $

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

<b>GIẢI</b>

Ta có:
90000 180000
)
126000 108000
54000 108000
)
54000 108000
3600 7200
)5%.
4500 5400
<i>X</i>
<i>a A B</i>

<i>Y</i>
<i>X</i>
<i>b B A</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<b>ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ</b>

Số giờ công lao động cho mỗi sản phẩm được cho như sau:

Tiền lương tính theo giờ:

0.6 0.6 0.2

1.0 0.9 0.3

1.5 1.2 0.4

<i>cut</i> <i>assemble package</i>

<i>product A</i>

<i>M</i> <i>product B</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

<b>VÍ DỤ</b>

 _{a/ Kích thước của M, N và M*N}
 _{b/ Tính M*N và giải thích kết quả.}
 _Giải.

 _A)

 _{B) Ta có:}

 _a₁₁_{: chi phí lao động cho sản phẩm A tại nhà máy I.}

 _{Bảng kết quả của M*N cho thấy rằng chi phí lao động cho}

mỗi sản phẩm tại mỗi nhà máy.

9 11

. 14.1 17.2
19.8 24.1

<i>product A</i>

<i>M N</i> <i>product B</i>

<i>product C</i>
 
 

 
 
 





11
6

0.6 0.6 0.2 8 9$

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

<b>BÀI 1</b>

A) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm

B) Tìm ma trận nghịch đảo:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

3 2

2 3 3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>ax</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>ax</i>

  




  



 _ _ _



1 2 3

2 5 3

1 0 8

<i>A</i>

 

 

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<b>BÀI 2</b>

A) Giải phương trình:

B) Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất:

2

3 2 2

1 2 3 4

0

3 2 2 2

9 2 3 18

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 



 

1 1 2

2 1 5

1 10 6 1

<i>m</i>

<i>B</i> <i>m</i>



 

 

_  _

 _ 

</div>

<!--links-->