Bai tap Toan co so 2012 Phùng Duy Quang

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

1
<b>Bài tập Toán cơ sở </b>

<b>Chuyên đề 1. ĐỊNH THỨC - MA TRẬN </b>
<b>Bài 1.1. Tính các định thức sau </b>

a) −2010 b)

12
8
7
5
−
−
c)
3
1
6
9
−
d)
13
8
2
5
3
1
3
2
4
−

−
−

e)
1
4
2
4
2
3
5
0
1
−
−
−
f)
5
9
3
1
3
2
3
0
2
−
−
g)
1

3
2
3
1
1
3
2
4
−
−
−
h)
1
2
3
1
1
2
2
3
5
−
−

<b>Bài 1.2. Tính các định thức sau </b>

a)
6
4
3

4
1
3
2
3
3
4
1
2
2
3
0
1
−
−
−
−
−
−
b)
4
5
6
2
1
5
4
3
1
3

2
2
2
3
0
1
−
−
−
−
−

c)
5
0
8
1
4
3
1
0
3
4
2
0
2
1
3
4
5

3
2
1
0
4
3
1
2
−
−
−
−
−
−
−
d)
2
5
5
3
4
1
1
3
4
2
2
1
1
2

3
1
0
3
1
2
1
3
2
0
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−

<b>Bài 1.3. Giải phương trình sau </b>

18
3
2
9
2

2
2
3
4
3
2
1
2
2
3 2
−
−
−
−
−

− <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

= 0

<b>Bài 1.4. 1) Tính AB và BA (nếu tồn tại), biết rằng: </b>

a) A = 








−₄ ₂

0

3
2
1

; B =










 −
1
4
3
2
1
0

b) A =











−
−
−
1
1
0
1
2
1
2
0
1

; B =












−
−
−
0
1
2
3
1
2
1
2
2
2
0
1

<b>Bài 1.5. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: </b>

a) 







4
3
2
1

b) 

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2
d)










−
−
−
5
0
1
1
2
3
3
1

2
e)












−
−
−
−
−
1
2
4
1
2
1
3
1
3
2
2

4
0
3
1
2
f)












−
−
−
−
1
0
0
0
3
2
0
0

6
4
2
0
3
1
0
1

<b>Bài 1.6. Giải các phương trình A</b>×X = B, biết:

a) A = _






−
−
4
3
3
2

; B = _







8
7
6
5

b) A = _





−
−
3
4
4
5

; B = _








−2 3

2
1

c) A = _






−
−
9
3
3
1

; B = _






2
1
3
4

<b>Bài 1.7. Tìm hạng của các ma trận sau: </b>

A =












−
−
−
7
5
2
2
4
2
1
3
0
3
1
2

; B =













−
−
−
0
4
1
2
3
2
2
1
4
1
0
2

1
3
2
1

; C =













−
−
−
−
−
−
−
−
2
4
2

4
1
5
3
3
1
2
1
2
0
3
2
1
;
D =










−
−
−
−
1

3
4
3
1
2
3
2
1
3
4
0
3
2
1

<b>Bài 1.8. Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3
<b>Chuyên đề 2. MỘT SỐ MƠ HÌNH TUYẾN TÍNH </b>

<b>DÙNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ </b>
<b>Bài 2.1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau: </b>

1.
1

x ₂ ₃

1 2 3

1 2 3

- x + 2x = 1
3x - 2x + 5x = 2
-x + x - x = 2





2 .
1 3

1 2 3

1 3

x 2x 3

2x x 6x 11

x 2 4x

+ 5x = -4

− = −



− + + =

₋ ₋


3 .
1

x 2 3

1 3

1 2 3

4 + x + 2x = 1
x + x = 2
6x + x + 4x = 3





4 .

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x 2x x 2x 1

x 3x x 3x 2

x x 3x x 4

− + + = −


− − + =

₋ ₊ ₋ ₋ ₌

5.

1 2 3 4

1 2 3 4

3 4

5x x 2x x 7

2x x 4x 2x

6x 5x

1 2

1
x - 3x = 0

− + + =


+ + − =

 ₋ ₊

6.

1 2 3 4

1 2 3 4

2
2

x 2x 3x x 1

2x x x 3x 0

x
x

3 4

1 3 4

3 - x + x = -1
5x + - 4x + 6x = 1

+ − + =


− − + − =




7.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3

x 2x x 3x 1

2x x 2x 5x 2

5x 4x 3x 7x

x

1 2 4

5
3x - 3x + + 2x = 3

− + + + = −


− + + =


− + + =


8 .

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2

2 3

3x 2x 5x x 3

2x 3x x 5x 3

x 2x

x x

4

1 4

- 4x = 3
x - 4 + 9x = 22

− − + =


− + + = −


− −


 −

9.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3x 5x 2x 2

2x 7x 2x 12

x 5x 3x 9

+ − =


− + =

₋ ₊ ₊ ₌

10.

1 2 3

1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x 4x 2x 4

3x 9

3x 5x 3x 15

2x 7x 3x 13

2x 4x 5x 11

3

- x

− + = −


=

− + + = −

 ₊ ₋ ₌

− + − =


<b> </b>
11.
1 4
1 2

1 2 3

2x 7x 2

x x 7

5x 6x 3x
3
4
- 4x
- 2x
=-6
+ =


+ =

 ₋ ₊

12.

1 2 3

3 4

1

2x 5x 3x

2x 2x 3

3x
2

3 4
= 3
- 3x

- 5x + x = -12

+ −


+ − =

₋


13.
1 2

1 2 3 4

1 2 3 4

2x 3x 14

3x x 5x 3x 1

4x 2x 5x 3x 2

4
2x
− + = −


+ − + =

 ₋ ₋ ₋ ₌

14.

1 3 4 5

3 5

1 2 5

x 5x 3x 4x 2

3x 6x 6

2x 3x 5x 7

2

2x

− + + = −


+ − =

 ₋ ₊ _{= −}


<b>Bài 2.2. Tìm các giá trị của tham số a trong mỗi hệ phương trình sau để hệ có nghiệm: </b>
1.

1 2 3 4

1 2 3 4

3 4

4x x 3x x 3

x x 2x x a

x x 7

2
3x

− + + =


− − + =

 ₋ ₋ ₌

2.

1 2 3

1 3

1 2

x x x 1

x 3x 2

2x 3x 3

2
3

ax
ax
+ − =


+ + =


 ₊ ₊ ₌

3.

1 2 3

1 3

1 2

x x x 1

x x 1

x x a

2
3

ax
ax
+ − =


+ − =

 ₊ ₊ ₌

<b>Bài 2.3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau: </b>

1.

ax + y + z + t = 1
x + ay + z + t = 1
x + y + az + t = 1





2.

ax y z a
ax y 2z 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

4
3.

ax + 2z = 2
5x + 2y = 1
x - 2y + bz = 3





4.
az 1
ax+by + z =1

x+aby + z =b
x +by



 ₊ ₌

5.





=
+
+
=
+
+
=
+
+
3
2
3
2
3
2
c
z

c
cy
x
b
z
b
by
x
a
z
a
ay
x
6.





=
+
+
−
−
=
+
+
+
=
+

+
1
z
)
2
k
(
y
x
2
z
2
y
)
1
k
(
x
2
k
z

y

kx
7.

by 2z 1

(2b 1)y 3z 1

ax by (b 3)z b

ax
ax

+ + =


+ − + =

 ₊ ₊ ₊ ₌


<b> 8. </b> ₂
3
y z t 1

x z t a

x y t a

x y z a

ax
ay
az
at
+ + + =


 ₊ ₊ _{+ =}


+ + + =

 ₊ ₊ ₊ ₌


<b>Bài 2.4. Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Cho </b>
biết ma trận hệ số kỹ thuật là

0,3 0, 2 0,3
A 0,1 0,3 0, 2
0,3 0,3 0, 2

 

 

=_ _

 

 

và mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa
của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 6, 9, 8 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với
hàng hóa và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản xuất của
mỗi ngành.

<b>Bài 2.5. Cho hai ngành sản xuất có ma trận hệ số đầu vào: </b> 





=
22
21
12
11
a
a
a
a
A .

Chứng minh rằng det(E – A) > 0

<b>Bài 2.6. Một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất và có mối quan hệ trao đổi hàng hóa như </b>
sau:

<b>Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs) </b>
<b>Ngành cung ứng sản </b>

<b>phẩm (Output) </b> 1 2 3 B

1 20 60 10 50

2 50 10 80 10

3 40 30 20 40

1) Xác định tổng cầu, tổng chi phí và tổng giá trị lao động (giá trị gia tăng của mỗi
ngành)

2) Lập ma trận hệ số kỹ thuật A.

<b>Bài 2.7. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 3 ngành sản xuất: </b>











=
2
,
0
3
,
0
132
,
0

2
,
0
1
,
0
4
,
0
2
,
0
3
,
0
2
,
0

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

5
1) Giải thích ý nghĩa của con số 0,4 trong ma trận A.

2) Cho biết:













=

− −

274
,
1
573
,
0
446
,
0

34
,
0
486
,
1
786
,
0

446
,
0
701
,
0
656
,
1
)
A
E

( 1

và véc tơ cầu cuối cùng BT = (10; 5; 6). Hãy xác định tổng cầu của các ngành.
3) Tổng cầu của các ngành sẽ thay đổi thế nào nếu như cầu cuối cùng của ngành 1
tăng 1 đơn vị còn các ngành khác giữ nguyên.

<b>Bài 2.8. Cho ma trận hệ số kỹ thuật của 2 ngành sản xuất </b> 







=

4

,
0
2
,
0

2
,
0
3
,
0

A và ma trận cầu

cuối cùng _







=

100
30

B .

1) Tìm ma trận tổng cầu theo phương pháp Cramer

2) Tính (E –A)-1 và nêu ý nghĩa của phần tử ở dòng 2 cột 1 của ma trận đó.
<b>Bài 2.9. Xét nền kinh tế có 2 ngành với ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị: </b>









=

1
,
0
2
,
0

15
,
0
1
,
0

A

1. Tính định thức của ma trân D với D = A3/6
2. Cho biết mệnh đề sau đây là đúng hay là sai?

|A(E-A)-1 + E| > |(E-A)-1|

3. Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử a12; tổng các phần tử của dòng 1; tổng

các phần tử của cột 2.

4. Lập bảng I/O nếu ma trận tổng cầu là: XT = (200 400)

5. Lập bảng I/O nếu cầu cuối cùng của ngành 1 là 120 và tổng cầu của ngành 2 là 400.
6. Xác định ma trận tổng cầu nếu ma trận cầu cuối cùng là BT = (10 10)

7. Cho biết muốn tăng cầu cuối cùng của ngành 1 lên 1 đơn vị thì tổng cung của ngành
2 phải tăng bao nhiêu?

<b>Bài 2.10. Giả sử nền kinh tế có 3 ngành thuần túy với giả thiết sau đây </b>

* Ngành 1 làm ra 100 tỷ sản phẩm và ngành 1 sử dụng 20 tỷ sản phẩm của mình; 10 tỷ
sản phẩm ngành 2; 10 tỷ sản phẩm ngành 3.

* Ngành 2 làm ra 50 tỷ sản phẩm và ngành 2 sử dụng 10 tỷ sản phẩm của mình; 10 tỷ sản
phẩm ngành 1; 10 tỷ sản phẩm ngành 3.

* Ngành 3 làm ra 40 tỷ sản phẩm và ngành 3 sử dụng 8 tỷ sản phẩm của mình; 8 tỷ sản
phẩm ngành 1; 16 tỷ sản phẩm ngành 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

6

2. Tìm ma trận hệ số kỹ thuật A và giải thích ý nghĩa kinh tế của:

- Một phần tử của A
- Một cột bất kỳ của A
- Một dòng bất kỳ của A

- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của A
- Tổng các phần tử của một cột bất kỳ của A

3. Tìm ma trận Leontiev (E-A) và ma trận nghịch đảo C = (E - A)-1. Hãy giải thích ý
nghĩa kinh tế của:

- Một phần tử của C
- Một cột bất kỳ của C
- Một dòng bất kỳ của C

- Tổng các phần tử của một dòng bất kỳ của C
- Tổng các phần tử của một cột bất kỳ của C

4. Cho tổng cung của ngành 3 là 600, hãy xác định lượng giá trị chuyển dịch từ
ngành 2 sang ngành 3.

5. Cho ma trận cầu cuối cùng là BT = (20 20 10); Hãy xác định ma trận tổng cầu X.
6. Với ma trận A đã có, hãy lập bảng I/O nếu tổng cung của các ngành 2, 3 lần lượt là
80 tỷ và 60 tỷ; và cầu cuối cùng của ngành 1 là 132 tỷ.

<b>Bài 2.11. Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng: hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với hàm cung và </b>
hàm cầu như sau:

Hàng hóa 1: Qs1 = -3 + 5p1; Qd1 = 12 – 4p1 + 2p2;

Hàng hóa 2: Qs2 = -1 + 4p2; Qd2 = 15 + 2p1 - p2<b> . </b>

Hãy xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.
<b>Bài 2.12. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa: </b>






+
−
=

+
−
=

1
S

2
1
d

p
2
Q

p
p
3
18
Q

1
1

;





+
−
=

−
+
=

2
S

2
1
d

p
3
2
Q

p
2
p
12
Q

2
2

1) Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì mức giá 1, 2 phải thỏa
mãn điều kiện nào?

2) Xác định giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa.
<b>Bài 2.13. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa: </b>






+
−
=

+

−
=

1
S

2
1
d

p
2
Q

p
p
3
18
Q

1
1

;





+

−
=

−
+
=

2
S

2
1
d

ap
2
Q

p
2
p
12
Q

2
2

(a: tham số dương)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

7

2) Xác định giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa theo a.

3) Khi a tăng thì giá cân bằng của các hàm số thay đổi thế nào?
<b>Bài 2.14. Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa: </b>





+
−
=
−
+
=




+
−
=
+
−
=
2
s
2
1
d

1
S
2
1
d
p
3
2
Q
p
2
p
12
Q
;
p
2
Q
p
p
3
18
Q
2
2
1
1

1. Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?

2. Để các nhà sản xuất sẽ cung ứng hàng hóa cho thị trường thì p1, p2 phải thoả

mãn điều kiện gì?

3. Xác đinh giá và lượng cân bằng?

<b>Bài 2.15: Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hóa: </b>




+
−
=
−
+
=




+
−
=
+
−
=
2
s
2

1
d
1
S
2
1
d
p
2
20
Q
p
p
5
,
0
90
Q
;
p
2
12
Q
p
5
,
0
p
2
40

Q
2
2
1
1

1. Xác định hai mặt hàng trên là hai mặt hàng thay thế hay bổ sung?

2. Để các nhà sản xuất sẽ cung ứng hàng hóa cho thị trường thì p1, p2 phải thoả

mãn điều kiện gì?

3. Xác đinh giá và lượng cân bằng?

<b>Bài 2.16: Cho mơ hình trường 1 hàng hoá: </b> ;(a,b,c,d 0)
dp
c
Q
bp
a
Q
s
d _>



+
−
=
−

=

1. Nêu ý nghĩa kinh tế của b, d; chỉ ra mức giá cuối cùng mà người tiêu dùng có
thể chấp nhận được (mức tối đa) và mức giá tối thiểu để người sản xuất có thể khởi
nghiệp được (mức tối thiểu); từ đó chỉ ra điều kiện tồn tại trạng thái cân bằng.

2. Xác định trạng thái cân bằng

3. Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi các tham số a, b, c, d thay đổi
4. Giả sử nhà nước đánh thuế 1 đơn vị hàng trao đổi là t (đơn vị tiền tệ). hãy cho
biết số phần trăm chịu thuế của người tiêu dùng và người sản xuất

<b>Bài 2.17. Xét mơ hình kinh tế: </b>
Y = C + I0 + G0

C = 0,85Yd + 150

Yd = (1- t)Y ( t là thuế suất thu nhập)

Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng với Io = 200; Go

= 450 (đơn vị: tỷ VNĐ) và thuế suất thu nhập t = 0,2.
<b>Bài 2.18. Cho mơ hình kinh tế </b>

Y = C + Io + Go

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

8
Trong đó Y-thu nhập quốc dân, C-tiêu dùng, Io-đầu tư, Go-chi tiêu chính phủ

1. Giải thích ý nghĩa kinh tế của a,b

2. Xác định trạng thái cân bằng (Y;C) bằng quy tắc Cramer

3. Có ý kiến cho rằng khi Io và Go cùng tăng 1 đơn vị thì thu nhập Y tăng 2 đơn vị,

ý kiến này đúng hay sai?

4. Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b thay đổi.
<b>Bài 2.19. Cho mơ hình kinh tế </b>

Y = C + Io + Go

C = a + b(Y-T) (a>0; 0<b<1)
T = c + dY (c>0; 0<d<1)

Trong đó Y-thu nhập, C-tiêu dùng, T-thuế, Io-đầu tư, Go-chi tiêu chính phủ

1. Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, c, d

2. Xác định trạng thái cân bằng (Y;C;T)bằng quy tắc Cramer

3. Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b, c, d thay đổi
<b>Bài 2.20. Cho mô hình kinh tế </b>

Y = C + Io + G

C = a + b(Y-To) (a>0; 0<b<1)

G = gY (0<g<1)
b + g <1

Trong đó Y-thu nhập, C-tiêu dùng, T-thuế, Io-đầu tư, G-chi tiêu chính phủ

1. Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, g

2. Xác định trạng thái cân bằng (Y;C;G) bằng quy tắc Cramer
3. Phân tích sự biến động của trạng thái cân bằng khi a, b, g thay đổi
<b>Bài 2.21. Cho mơ hình </b>

Y = C + Io + Go

C = 150 + 0,8(Y-T)
T = 0,2Y

Trong đó Y-thu nhập, C-tiêu dùng, T-thuế, Io-đầu tư, Go-chi tiêu chính phủ

1. Tìm trạng thái cân bằng khi Io = 200, Go = 900

2. Do suy thoái kinh tế nên mức tiêu dùng cận biên đối với thu nhập sau thuế chỉ cịn
là 0,7. Gỉa sử Io = 200, thì Go phải là bao nhiêu thì ổn định được thu nhập quốc dân.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

9
C = bo + b1(Y-T)

I = ao + a1Y – a2Ro (ao, a1, a2, bo, b1>0 ; a1+b1 <1)

Y-thu nhập, C-tiêu dùng, I-đầu tư, Ro-lãi suất, Go-chi tiêu chính phủ

1. Xác định Y, C ở trạng thái cân bằng

2. Cho b0 = 200, b1 =0,7, ao =100, a1=0,2, a2=10, Ro=7, Go=500.

Khi tăng Go lên 1% thì thu nhập cân bằng tăng lên bao nhiêu %?

<b>Bài 2.23. Cho mơ hình </b>

Y = C + I + G + NX
C = 20 + 075Yd

G = 20 + 0,1Y
Yd = (1-t)Y (0<t<1)

Y-thu nhập, C-tiêu dùng, I-đầu tư, t – thuế suất, G-chi tiêu chính phủ, NX-xuất khẩu ròng,
Yd-thu nhập khả dụng

1. Cho biết ý nghĩa kinh tế của t

2. Cho I=50, NX=30, tìm t để cân đối được ngân sách.

3. Có ý kiến cho rằng đầu tư I không ảnh hưởng đến ngân sách, ý kiến đó đúng hay
sai?

<b>Bài 2.24. Cho mơ hình </b>

Y = C + Io + Go +Xo - M

C = 0,8Yd

M = 0,2 Yd

Yd = (1-t)Y

Y-thu nhập, C-tiêu dùng, Io-đầu tư, Go-chi tiêu chính phủ, Xo-Xuất khẩu, M – nhập khẩu,

Yd-thu nhập khả dụng, t-thuế suất.

1.Có ý kiến cho rằng khi Io, t khơng thay đổi thì tăng Go lên 1 đơn vị và giảm nhâp

khẩu Xo một đơn vị thì thu nhập cân bằng Y khơng đổi. Ý kiến đó đúng khơng ?

2.Gỉa sử Io=300, Go=400, Xo=288, t=0,2 thì nền kinh tế có thặng dư hoặc thâm hụt

ngân sách, thặng dư hoặc thâm hụt thương mại?

3.Cho Io=300, Xo=288, t=0,2 thì Go phải bằng bao nhiêu để thu nhập cân bằng là

2500. Cho biết trong trường hợp này nếu Go tăng thêm 1% thì nhập khẩu M thay đổi như

thế nào?

<b>Bài 2.25. Cho mơ hình </b>
Y = C + I + Go

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

10
T = 25 + 0,25Y

I = 65 – r
L = M

L = 5Y – 50r

M=Mo =1500, Go = 94

Y-thu nhập, C-tiêu dùng, I-đầu tư, r-lãi suất, Go-chi tiêu chính phủ, Mo-cung tiền,T- thuế

1. Xác định trạng thái cân bằng

2. Thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào khi tiêu dùng cận biên đối với thu nhập
sau thuế thay đổi

3. Mức thâm hụt ngân sách là bao nhiêu nếu nguồn duy nhất của chính phủ là thuế.
<b>Bài 2.26. Cho mơ hình kinh tế </b>

Y = C + I + Go;

C = a + b(Y – To);

I = d + iY

Go>0; a > 0; 0< b<1; bTo< a; d > 0; 0< i < 1; b + i < 1.

Trong đó Y, C, I lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng dân cư và đầu tư; Go, To là chi

tiêu chính phủ và thuế.

1. Tìm thu nhập quốc dân cân bằng.

2. Khi i tăng thì thu nhập quốc dân tăng hay giảm, vì sao?
<b>Bài 2.27. Cho mơ hình thu nhập quốc dân: </b>

Y = C + I + Go;

c = bo + b1Y;

I = ao +a1y – a2Ro

Trong đó a1>0; b1>0 với mọi i, đồng thời a1 + b1 < 1; Go là chi tiêu chính phủ, Ro là lãi

suất, I là đầu tư, C là tiêu dùng, Y là thu nhập.
a. Xác định Y, C ở trạng thái cân bằng

b. Với bo =200; b1 = 0,7; ao = 100; a1 = 0,2; a2 = 10; Ro = 0,7; Go = 50, khi tăng chi

tiêu chính phủ lên 1% thì thu nhập cân bằng thay đổi bao nhiêu?
<b>Bài 2.28. Cho mơ hình </b>

Y = C + Io + Go

C = 60 + 0,7Yt

Yt = (1 –t)Y

Trong đó: Y, C, Yt ,t lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng, thu nhập sau thuế, thuế suất

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

11
a. Xây dựng mô hình cân băng thu nhập quốc dân

b. Tính Y,C khi Go = 140; Io = 90 (triệu USD); t = 40%.

c. Y,C tăng hay giảm khi t tăng? Vì sao?

<b>Bài 2.29. Cho mơ hình </b>

Y = C + I + Go

C = a +bYt; Yt = (1-t)Y

I = d + xY

Go>0; a> 0; d>0; 0 < b < 1; 0 < x < 1; b(1- t) + x < 1

Trong đó Y, C, I, Yt lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng dân cư, đầu tư, thu nhập

sau thuế; Go là chi tiêu chính phủ.

a. Xây dựng mơ hình cân bừng thu nhập quốc dân.
b. Khi x tăng thì thu nhập cân bằng tăng hay giảm?

c. Tính Y,C khi biết Go = 500 (tỷ USD); a = 150; x = 0,1; b = 0,8; t= 0,4; d =100

d. Thuế suất tăng thì Y,C tăng hay giảm, vì sao?
<b>Bài 2.30. Cho mơ hình </b>

Y = C + I

C = Co +aY; 0 < a < 1

I = Io – br; b> 0

L = Lo + mY – nr; m, n > 0

MS = L

Trong đó Y: thu nhập quốc dân; I: đầu tư; C: tiêu dùng; L: mức cầu tiền; Ms: mức cung

tiền; r: lãi suất.

a) Hãy xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng

b) Với a = 0,7; b = 1800; Co =500; Lo =800; m = 0,6; n =1000; Ms =200, tính hệ số

co giãn của thu nhập, lãi suất theo mức cung tiền tại điểm cân bằng và giải thích ý nghĩa
của chúng.

<b>Bài 2.31. Xét mơ hình IS – LM với </b>
C = 0,7Y + 25;

I = 80 – 2r; G = Go;

L = 4Y – 30r; M = Mo

Tính mức thu nhập quốc dân cân bằng và lãi suất cân bằng với Go = 60; Mo = 1350 (nghìn

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

12
<b>Chuyên đề 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN </b>

<b>VÀ </b>Ứ<b>NG D</b>Ụ<b>NG TRONG PHÂN TÍCH KINH T</b>Ế

<b>Bài 3.1. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa: </b>
QS = 4P – 1

Qd = 4- P2

1) Tìm điều kiện của P để hàm cung, hàm cầu cùng dương.

2) Tìm giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá mua (giá bán) của người mua (bán)
3) Tìm giá và lượng cân bằng P,Q .

<b>Bài 3.2. Cho mơ hình thị trường </b>
Hàm cung: S = 0,1P2 + 5P + 10
Hàm cầu:

2
P

50
D

−
=

Chứng tỏ rằng mơ hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3; 5)
<b>Bài 3.3. Cho mơ hình thị trường </b>

S = 6P – 4
D = 3 – P2; P>0
1) Tìm hàm cầu đảo

2) Giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá người mua (người bán) chấp nhận là bao
nhiêu?

3) Chứng minh tồn tại điểm cân bằng thị trường này.

<b>Bài 3.4. Một doanh nghiệp sản xuất có hàm doanh thu TR = 4000Q – 33Q</b>2_{và hàm chi}

phí

TC = 3Q3 – 3Q2 + 400Q + 500

Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa.

<b>Bài 3.5. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu P = 40 – 0,03Q và hàm chi phí TC = </b>
10Q + 120. Hãy xác định sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.
<b>Bài 3.6. Cho hàm chi phí trung bình </b>

10
Q
25
,
0
Q
5
,
0
Q
12

AC₌ ₋ ₊ 2₊

1) Tìm hàm chi phí cận biên

2) Với P = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi nhuận
<b>Bài 3.7. Cho hàm doanh thu bình quân: AR = 240 – 0,5Q </b>

1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

13
Xác định lợi nhuận cận biên _Mπ và tính _Mπ tại điểm Q = 20; Q = 10

3) Có tồn tại hay khơng điểm hòa vốn thuộc (10; 20)
<b>Bài 3.8. Doanh thu trung bình AR = 240 + 12Q – 0,5Q</b>2_(Q>0)

1) Viết hàm chênh lệch giữa doanh thu cận biên và doanh thu trung bình
2) Tìm cực trị của doanh thu trung bình

<b>Bài 3.9. Cho hàm chi phí trung bình: </b>

Q
2
,
0

1
,
0
12
AC

+
+
=

1) Tính chi phí cận biên MC tại Q = 10

2) Tìm hàm chênh lệch giữa chi phí trung bình và chi phí cận biên; cho nhận xét về
hàm này.

3) Tính hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q tại Q = 10.

<b>Bài 3.10. Cầu về hàng hóa A là: D = 200P</b>-0.5_{; thị trường hàng hóa A chỉ có 2 hàm cung}

là: S1 = 5P0.5 và S2 = 4P0.75.

1) Hãy lập mơ hình thị trường hàng hóa A.

2) Thị trường có tồn tại trạng thái cân bằng khơng?
<b>Bài 3.11. Cho mơ hình thị trường 1 hàng hóa như sau </b>

P = 180 – 0.5Qd2

P = 30 + 2Qs2

1. Hãy xác định trạng thái cân bằng của thị trường.

2. Chính phủ đánh thuế t/đơn vị, phải định t là bao nhiêu để tổng thuế thu được là lớn
nhất

3. Khi t tăng 1% thì giá cân bằng có tăng 1% khơng?

<b>Bài 3.12. Hàm cầu về ngơ có dạng: D = 200 – 50p. Có 50 cơ sở giống nhau có hàm chi </b>
phí tại đó mỗi cơ sở là TC = Q2_{(Q – sản lượng ngô ở mỗi cơ sở) Xác định mức sản lượng}

Q để tối đa hóa lợi nhuận và giá cân bằng của thị trường.
<b>Bài 3.13. Cho hàm cung S, hàm cầu D về 1 loại hàng hoá: </b>

S = 0,1p2 +5p -10 D = 50/(p-2) với p là giá hàng hố

1. Với điều kiện nào của P thì cung và cầu đều dương? Với điều kiện trên hãy viết
phương trình cân bằng thị trường

2. Xác định hàm dư cầu và khảo sát tính đơn điệu của hàm này. Chứng tỏ rằng luôn
tồn tại duy nhất giá trị cân bằg trong khoảng (3,5)

<b>Bài 3.14. Cho hàm doanh thu R = 1400Q – Q</b>2_(Q>0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

14
b) Tại điểm Qo = 500, khi Q tăng lên một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu

đơn vị.

c) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Qo = 710 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận

được.

<b>Bài 3.15. Cho hàm tổng chi phí C = 2Q</b>2_{+3Q + 100 (Q>0)}

a) Tìm hàm chi phí cận biên MC(Q)

b) Tính chi phí cận biên tại mức sản lượng Qo = 2 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận

được

<b>Bài 3.16 Cho hàm cầu D = 8p – p</b>2_{(p>0). p}
o = 5

Tại mức giá po, khi tăng giá lên 3% thì lượng cầu thay đổi một lượng xấp xỉ bằng

bao nhiêu %

<b>Bài 3.17. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình qn AC(Q) và hàm chi phí </b>
cận biên MC(Q), cho biết hàm chi phí C = Q2 + 8Q + 18; Q>0

<b>Bài 3.18. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm sản xuất bình quân APL và hàm sản xuất </b>
cận biên MPL biết hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q = 60L – 3L2; L >0

<b>Bài 3.19. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q = 100</b> L (L>0) và giá của sản phẩm p =
4USD; giá thuê lao động bằng pL = 20USD. Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi

nhuận tối đa.

<b>Bài 3.20. Cho hàm tổng chi phí C = Q</b>3_{– 120Q}2_{+ 14Q (Q>0). Tìm mức sản lượng Q để}

chi phí bình qn đạt giá trị nhỏ nhất.

<b>Bài 3.21. Cho biết hàm chi phí C = Q</b>3 -7Q2 + 49Q - 4 (Q>1) và hàm cầu đảo p = 40 –Q.
Hãy xác định mức sản lượng Q cho lợi nhuận đạt cực đại.

<b>Bài 3.22. Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu R = 58Q – 0,5Q</b>2_{và hàm tổng chi}

phí C = Q 8,5Q 97Q FC
3

1 3 ₋ 2 ₊ ₊ _{; trong đó Q là sản lượng và FC là chi phí cố định}

a) Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận

b) Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức sản lượng tối đa hóa lợi
nhuận và mức lợi nhuận tối đa.

<b>Bài 3.23. Một cơng ty cạnh tranh hồn hảo có hàm tổng chi phí C = Q</b>3_{– Q}2_{+ 1 (Q}_≥_1).

a) Với giá thị trường p, hãy viết phương trình xác định hàm cung của công ty

b) Hãy phân tích tác động của giá p tới mức cung tối đa hóa lợi nhuận và tới mức lợi
nhuận tối đa của công ty.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

15
a) Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu

b) Hãy phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng và giá bán tối
ưu.

<b>Bài 3.25. Cho hàm tổng chi phí C = Q</b>3_{– 5Q}2_{+ 14Q + 144 (Q>0)}

a) Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của C theo Q, từ đó cho nhận xét về mở rộng sản
xuất

b) Tính hệ số co giãn của C theo Q tại Q = 2
<b>Bài 3.26. Cho hàm chi phí </b>

3

Q

Q
5
5000
C

2

+
+

= (Q là sản lượng)

a) Tìm hàm chi phí cận biên MC

b) Tính chi phí trung bình AC tại Q = 100

<b>Bài 3.27. Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra một sản phẩm: </b>
AC = Q2 – 12Q + 60 (Q là sản lượng)

a) Xác định các biểu thức tính sự thay đổi tuyệt đối và tương đối của AC theo Q và
cho các nhận xét

b) Xác định hàm chi phí cận biên MC và mơ tả trên cùng mặt phẳng tọa độ đồ thị hai
hàm MC, AC. Từ đó hãy nêu các nhận xét quan hệ giữa MC và AC.

<b>Bài 3.28 Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí của nhà sản xuất như sau: </b>
TR= 1400Q – 7,5Q2; TC = Q3 – 6Q2 + 140Q + 750

Hãy chọn mức sản lượng để lợi nhuận tối đa

<b>Bài 3.29. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất độc quyền, biết </b>
Hàm chi phí cận biên MC = 3Q2 – 6Q + 132

Hàm cầu đối với sản phẩm: Q = 148 - p
3
2

<b>Bài 3.30: Cho mô hình thị trường 1 hàng hố </b>
S = 0,3pa (0<a<1)

D = 0,1pbMcqd (b<0, 0<c<1, d≠0)

S, D là các hàm cung, cầu của hàng A, p là giá hàng A, M là thu nhập khả dụng, q là giá
hàng B

1. Giải thích ý nghĩa kinh tế của a?

2. Hai hàng hố nêu trong mơ hình có quan hệ thay thế hay bổ sung?

3. Tìm mối liên hệ giữa b, c, d để khi p, M, q thay đổi cùng 1 tỉ lệ thì cầu D khơng
đổi

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

16
<b>Bài 3.31: Hàm cung S và hàm cầu D của hàng A có dạng </b>

S = 0,7p – 150

D = 0,3M – 0,5p +120

P:giá hàng A, M: thu nhập khả dụng

1. Có ý kiến cho rằng lượng cân bằng không phụ thuộc vào thu nhập, ý kiến này
đúng hay sai?

2. Gỉa sử nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t, phân tích tác động của thuế
tới mức giá cân bằng.

<b>Bài 3.32. Cho mô hình thị trường hàng A dạng: </b>
Qd = D(p, Yo) (D 0;D'Y 0

'

p < o > )
Qs = S(p, To) (S'p >0;S'To <0)
P là giá hàng A, Yo là thu nhập, To là thuế

1. Phân tích ảnh hưởng của Yo, To tới giá cân bằng, giải thích ý nghĩa kinh tế của các

kết quả nhận được

2. Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng của Yo tới lượng cân bằng, dùng hàm cầu

phân tích ảnh hưởng của To tới lượng cân bằng.

<b>Bài 3.33. Gọi p là giá hàng A, q là giá hàng B, M là thu nhập, T là thuế. Mơ hình thị </b>
trường có dạng

Da = 0,8M0,4_p-0,5_q0,1

Sa = 5,4p0,3T-0,05

1) Cho biết quan hệ giữa 2 hàng hố A, B

2) Phân tích tác động của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A

3) Lượng cung Sa thay đổi thế nào khi giá hàng A tăng 7% và thuế cũng tăng 7%.
<b>Bài 3.34. Cho hàm tổng chi phí: C = Q</b>3_{– 5Q}2_{+ 14Q +75 với Q là sản lượng (Q>0)}

1) Tìm hàm VC, AVC, xác định FC

2) Tìm hệ số co giãn của C theo Q tại mức Q=10 và giải thích ý nghĩa ktế của nó
3) Tìm các hàm MC và AC, chứng minh MC cắt AC tại điểm AC cực tiểu.

<b>Bài 3.35: Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 – 3Q. Tìm hàm MR, chứng minh rằng </b>
AR, MR có cùng tung độ gốc, nhưng độ dốc của MR gấp đôi độ dốc của AR.

<b>Bài 3.36. Cho hàm tổng chi phí: C(Q) = Q</b>3 – 4Q2 + 1800Q + 150 (Q≥0)
Hàm cầu về sản phẩm của công ty là Qd = 9000 – p

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

17
3) Tìm Q* để lợi nhuận đạt cực đại.

<b>Bài 3.37. Cho hàm lợi nhuận </b>_π₌₋Q3₊3Q2 ₊7200Q₋150(Q_≥0)
1) Tính π(0)và giải thích ý nghĩa kinh tế

2) Tìm mức sản lượng Q*_{để lợi nhuận đạt cực đại}

<b>Bài 3.38. Cho hàm sản xuất </b> _L3 ₁₀_L2
3

2
Q= − +

Trong đó: Q- sản lượng, L – số đơn vị lao động sử dụng
1) Tìm tập xác định thực tế của hàm trên

2) Tìm hàm sản phẩm trung bình AP và hàm sản phẩm biên MP. Chứng minh
rằng AP =MP tại mức sản lượng Q mà AP đạt cực đại.

3) Tìm mức sử dụng lao động L* tại đó Q đạt giá trị lớn nhất.

4) Tìm hệ số co giãn của Q theo L tại mức L = 5 và giải thích ý nghĩa kinh tế.
<b>Bài 3.39. Một cơng ty có hàm tổng doanh thu TR = 58Q – 0,5Q</b>2_{và hàm tổng chi phí}

FC
Q
97
Q
5
,
8
3
Q

TC₌ 3 ₋ 2₊ ₊

1) Cho FC = 4, tìm mức cung Q* để lợi nhuận đạt cực đại
2) Phân tích ảnh hưởng của FC tới Q* và π*

<b>Bài 3.40. Hàm cầu ngược p = 200- Q; C = Q</b>2

Trong đó: P –giá; Q – sản lượng

1) Tìm mức sản lượng và mức giá cho lợi nhuận cực đại
2) Tìm hệ số co giãn của cầu tại mức tối đa lợi nhuận

3) Giả sử chính phủ đánh một lượng thuế t vào mỗi sản phẩm bán ra. tìm mức
cung tối đa hóa lợi nhuận; sản lượng đó thay đổi thế nào khi t thay đổi.
<b>Bài 3.41. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biên MR = 1800- 1,8Q</b>2

1) cho biết nếu tại mức sản lượng Q =10 mà doanh nghiệp giảm giá 1% thì mức
cầu sẽ biến động như thế nào?

2) Nếu doanh nghiệp định giá bán p = 50 thì tổng doanh thu là bao nhiêu?
3) Nếu doanh nghiệp tăng mức sản lượng cung từ 10 lên 20 thì tổng doanh thu

tăng lên bao nhiêu?

<b>Bài 3.42. Cho hàm lợi nhuận bậc hai: </b>_π(Q)₌hQ2₊ jQ₊k (Q_≥0)

Hãy cho biết các điều kiện đối với các hệ số h, j, k để hàm lợi nhuận trên thỏa mãn đồng
thời các điều kiện kinh tế sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

18
<b>Bài 3.43. Cho hàm chi phí C(Q) = aQ</b>2 + bQ + c ( )

a
2

b
Q
;
0
a> > −

1) Cho biết các điều kiện đối với a, b, c để hàm C(Q) là hàm chi phí hợp lý về mặt
kinh tế; lập hàm AC và MC.

2) Cho hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty là p = p(Q) có p’(Q) < 0. Hãy lập
hàm doanh thu, doanh thu bình quân, doanh thu cận biên.

3) Hãy lập hàm lợi nhuận; chỉ ra điều kiện để hàm lợi nhuận đạt cực đại
<b>Bài 3.44. Tìm hàm tổng chi phí, hàm chi phí bình qn trong các trường hợp sau: </b>

a) C’(Q) = MC(Q) = 15Q2_{+ 8Q + 3; FC = 100}

b) MC = 3Qe0,5Q; FC = 30
c) MC = 2e0,2Q; FC = 90

<b>Bài 3.45. Tìm hàm tổng doanh thu R(Q) trong các trường hợp sau: </b>
a) R’(Q) = 28Q – e0,3Q

b) R’(Q) = 10(1 + Q)-2

<b>Bài 3.46. Tìm hàm tổng nhập khẩu M(Y) với Y là thu nhập quốc dân nếu khuynh hướng </b>
nhập khẩu biên M’(Y) = 0,1 và M = 20 khi Y = 0.

<b>Bài 3.47. Biết tiêu dùng C bằng thu nhập Y khi Y = 100$ và khuynh hướng tiêu dùng là: </b>
C’(Y) = MPC(Y) = 0,8 + 0,1Y-0,5.

1) Tìm hàm tiêu dùng.

2) Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tăng từ 100$ lên 200$

3) Tính hê số co giãn của tiêu dùng tại mức thu nhập Y = 200$, giải thích ý nghĩa
của nó.

<b>Bài 3.48. Cho hàm đầu tư </b> 3
1
t
12
)
t
(

I = (trong đó t là biến thời gian)

1) Xác định hàm vốn K(t) khi K(0) = 25.

2) Xác định tổng lượng vốn tích lũy được trong khoảng thời gian t ∈[0;1]

<b>Bài 3.49. Cho cầu về một loại hàng hóa (D) phụ thuộc vào giá của hàng hóa đó (p) và thu </b>
nhập (Y) dạng: D = 4Y0,5 – lnp + 2

1) Tính và giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ số co giãn riêng của D theo p, theo
Y.

2) Tại mức cầu Do cho trước, giả sủa giá p tăng 1 đơn vị thì thu nhập Y phải tăng

bao nhiêu thì cầu khơng đổi.
<b>Bài 3.50. Cho mơ hình thị trường với </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

19
Hàm cầu:

2
P

50
D

−
=

Chứng minh rằng mơ hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3; 5)
<b>Bài 3.51. Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một loại sản phẩm: </b>

p
113

Qd = − ; Qs = p−1

Hãy tính thặng dự của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng.
<b>Bài 3.52. Cho S và D là hàm cung và hàm cầu một loại hàng hóa: </b>

S = 50p2 – 20
D = 0,5p-2_M2

Với p là giá một đơn vị hàng hóa, M là thu nhập của người tiêu dùng (M>0)

a. Tìm điều kiện đối với p sao cho hàm cung và hàm cầu đều nhận giá trị dương. Với
điều kiện này hãy viết mơ hình cân bằng thị trường, viết hàm dư cung và xét tính đơn
điệu của hàm này theo p.

b. Cho p;Q là giá cân bằng và lượng cân bằng. Nếu thu nhập M giảm thì sẽ tác động
như thế nào tới p;Q

<b>Bài 3.53. Y là thu nhập, S là tiết kiệm. </b>

Biết rằng mức tiết kiệm sẽ là S = -7,42 khi thu nhập Y = 5.

a. Hãy xác định hàm tiết kiệm nếu biết khuynh hướng tiết kiệm cận biên
MPS = Y – 0,4

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

20
<b>Chuyên đề 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN </b>

<b>VÀ </b>Ứ<b>NG D</b>Ụ<b>NG TRONG PHÂN TÍCH KINH T</b>Ế

<b>Bài 4.1. Cho hàm sản xuất: </b>

2
6
,
0
5
,

0 _L

3
2
K
3
1

Q 








+
=

1) Tìm năng suất cận biên của vốn và lao động

2) Với hàm sản xuất trên thì hiệu quả có tăng theo quy mơ khơng?
<b>Bài 4.2. Hàm lợi ích của hộ gia đình có dạng </b>

U(x, y) = 10xy – 3x2 – 2y2

1) Hàm lợi ích cận biên có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
2) Viết đường bàng quan tại x = 2; y =2; tìm độ dốc của đường này và giải thích ý

nghĩa của giá trị tìm được.

<b>Bài 4.3. Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm (cạnh tranh hoàn hảo). Cho biết giá của 2 </b>
loại sản phẩm lần lượt là P1, P2 và hàm tổng chi phí có dạng:

2
1
2
2
2

1 2Q QQ

Q
2

TC= + +

1) Tìm mức sản lượng cho mỗi loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa.

2) Khi P1, P2 biến động sẽ tác động như thế nào đến các mức sản lượng tối ưu.

<b>Bài 4.4. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở với hàm chi phí </b>

tương ứng: 2

2
2

2
1

1 128 0,2Q ;C 156 0,1Q

C = + = + (Q₁, Q₂ lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở

1, 2). Hàm cầu ngược về sản phẩm của cơng ty có dạng: P = 600 – 0,1Q; trong đó Q = Q1

+ Q2 và Q<6000.

1) Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sở để tối đa hóa lợi nhuận.
2) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co giãn của cầu theo giá.
<b>Bài 4.5. Một hãng độc quyền sản xuất ra một mặt hàng nhưng tiêu thụ ở hai thị trường </b>
với các hàm cầu: Q1 = 24 – 0,2P1; Q2 = 10 – 0,05P2 và hàm chi phí kết hợp là C =35 +

40Q (Q = Q1+ Q2). Hãy xác định lượng hàng hóa và giá bán để thu được lợi nhuận tối đa.

<b>Bài 4.6. Hãng kinh doanh độc quyền có các hàm cầu trên hai thị trường </b>
Q1 = 40 – 2P1 – P2; Q2 = 35 – P1 – P2

Cho biết hàm tổng chi phí: TC Q 2Q2 10
2
2

1 + +

=

1) Tìm mức sản lượng cho mỗi thị trường để lợi nhuận tối đa.
2) Hãy tính mức giá cho mỗi thị trường

<b>Bài 4.7. Nhu cầu 2 mặt hàng phụ thuộc vào giá có dạng </b>
Q1 = 40 – 2P1 – P2; Q2 = 35 – P1 – P2

và hàm tổng chi phí: TC = Q 2Q2 10
2
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

21
1) Xác định sản lượng để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.

2) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu.

<b>Bài 4.8. Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo trên </b>
đài phát thanh (x: phút) và trên đài truyền hình (y: phút). Hàm doanh thu

TR = 320x – 2x2 – 3xy – 5y2 + 540y + 2000

Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên đài truyền hình là
4 triệu đồng. Ngân sách chi cho quảng cáo là 180 triệu đồng.

1) Tìm x, y để cực đại doanh thu

2) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì doanh thu cực đại sẽ tăng
lên bao nhiêu?

<b>Bài 4.9. Cho hàm sản xuất Y = 0,3K</b>0,5_L0,5_{; Trong đó Y là sản lượng; K là vốn và L là lao}

động.

1) Tính lượng sản phẩm cận biên của vốn và lao động tại K = 4; L = 9;

2) Chứng minh rằng năng suất biên của vốn là hàm thuần nhất bậc 0.

3) Cho biết quá trình sản xuất trên có hiệu quả như thế nào với việc tăng quy mơ?
<b>Bài 4.10. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa như sau: </b>

U(x1, x2 ) = 5x10,4x02,4

Ngân sách tiêu dùng là 300USD, giá một đơn vị hàng hóa 1, 2 lần lượt là 3USD, 5USD.
1) Tìm gói hàng hóa mà tại đó hộ gia đình có lợi ích tiêu dùng đạt giá trị lớn nhất với

0
x
;
0

x1≥ 2 ≥ .

2) _{Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1USD thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?}

<b>Bài 4.11. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q =K</b>0,3_L0,5

Trong đó Q, K, L lần lượt là sản lượng, vốn, lao động.

a)Quá trình sản xuất có hàm sản lượng trên có hiệu quả như thế nào đối với việc tăng
quy mô sản xuất.

b) Tìm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động

c) Nếu doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn là 6USD; một đơn vị lao động là 2USD;
ngân sách chi cho các yếu tố đầu vào là 384USD. Tìm mức sử dụng vốn và lao

động để sản lượng tối đa.

d) Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 10USD thì sản lượng tối đa tăng bao
nhiêu?

<b>Bài 4.12. Cho hàm sản xuất Cobb – Douglas: </b>Q 30K L3(K 0;L 0)
1

3
2

>
>

= ; trong đó Q –sản

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

22

1) Tìm và giải thích ý nghĩa kinh tế của ' ₂

L
1

'

K Q Q

L
Q
;

Q
Q
K

Q ₌ ₌

∂
∂
=
=
∂
∂

tại điểm K = 27
và L = 64.

2) Tính các hệ số co giãn riêng của Q theo K và L.
Cho biết ý nghĩa tại điểm K =27; L = 64

3) Nếu K và L cùng tăng 1% thì Q tăng bao nhiêu phần trăm.

4) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô thì hiệu quả có tăng khơng?

5) Hàm số đã cho có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
6) Tại mức đầu vào K = 27; L = 64; giả sử dK = 0,1; dL = 0,3 là các mức biến động

của vốn và lao động. Tìm các mức biến động dQK; dQL và giải thích ý nghĩa kinh

tế các đại lượng đó. Tìm và giải thích ý nghĩa vi phân tồn phần dQ.
<b>Bài 4.13. Cho hàm sản xuất Y = 0,3K</b>0,5L0,5; Y- sản lượng, K- vốn; L – lao động.

1) Hãy tính sản phẩm biên của vốn và lao động tại K = 4; L = 9

2) Quá trình cơng nghệ thể hiện bằng hàm số trên có năng suất cận biên giảm dần
hay không? Hãy giải thích.

3) Nếu K tăng lên 8% và L khơng đổi thì Y tăng bao nhiêu %?
4) Viết phương trình đường mức tại K = 16; L=9

<b>Bài 4.14. Cơng ty cạnh tranh hồn hảo làm ra 3 sản phẩm với giá thị trường tương ứng là </b>
6; 8; 10; hàm tổng chi phí có dạng:

2
3
3
1
2
2
2
1
2

1 Q Q 4Q Q Q Q

Q
2

C= + + + +

Xác định mức sản lượng để lợi nhuận thu được đạt cực đại.

<b>Bài 4.15. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với 2 loại hàng hóa như sau: </b>
U(x1, x2 ) = 5 02,4

4
,
0
1 x
x

Ngân sách tiêu dùng là 300USD, giá một đơn vị hàng hóa 1, 2 lần lượt là 5USD, 3USD.
1) Tìm gói hàng hóa mà tại đó hộ gia đình có lợi ích tiêu dùng đạt giá trị lớn nhất với

0
x
;
0

x1≥ 2 ≥ .

2)Nếu ngân sách tiêu dùng tăng 10USD thì mức lợi ích tối đa tăng bao nhiêu?
<b>Bài 4.16. Hàm lợi ích của hộ gia đình có dạng </b>

U(x, y) = 10xy – 2x2 – 3y2

1)Hàm lợi ích cận biên có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?
2)Viết đường bàng quan tại x = 2; y =2; tìm độ dốc của đường này và giải thích ý
nghĩa của giá trị tìm được.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

23

Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là p1 = 2$; p2 = 5$ và thu nhập dành cho tiêu dùng

là 51$. Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng trên nếu người tiêu dùng tối đa hóa
lợi ích của mình.

<b>Bài 4.18. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U = </b> 0,25
2
6
,
0
1 x

x . Giả sử giá của các mặt hàng tương
ứng là p1 = 8$; p2 = 5$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là 680$. Hãy xác định lượng cầu

đối với các mặt hàng để người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình.
<b>Bài 4.19. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất như sau: </b>Q₌123 K2. K

a) Hãy tính MPK, MPL tại điểm (K=125, L= 100) và giải thích ý nghĩa;
b) Chứng tỏ rằng MPK giảm khi K tăng và L không đổi;

c) Chứng tỏ rằng MPL giảm khi L tăng và K không đổi.

<b>Bài 4.20. Cho biết hàm lợi ích của người tiêu dùng U = x</b>0,4_y0,7_{; trong đó x là lượng hàng}

hóa A, y là lượng hàng hóa B.

a) Hãy lập các hàm số biểu diễn lợi ích cận biên của mỗi hàng hóa. Hàm này có phù
hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng?

b) Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% và lượng hàng hóa B khơng đổi thì lợi ích tăng bao
nhiêu %.

<b>Bài 4.21. Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp như </b>

sau: 3

2
3

1
2

2
2
1
2

1 84Q 6Q Q 0,8Q 1,2Q
Q

125
45

TC= + + − + +

Hãy lập các hàm số biểu diễn chi phí cận biên của mỗi sản phẩm.
<b>Bài 4.22. Cho hàm cầu đối với một mặt hàng như sau: </b>

s

p
12
,
0
m
15
,
0
p
4
,
0
35

Q= − + +

Trong đó Q, p là lượng cầu và giá của hàng hóa đó, m là thu nhập, ps là hàng hóa thay thế.

Hãy lập hàm số biểu diễn.

a) Hệ số co giãn của cầu theo giá p;
b) Hệ số co giãn của cầu theo thu nhập;

c) Hệ số co giãn của cầu theo giá hàng hóa thay thế.

<b>Bài 4.23. Hãy đánh giá hiệu quả của quy mô qua các hàm sản xuất </b>
a) _Q₌ ₂₀_K0,4_L0,3 _{b) Q = 5K}0,6_L0,8

c) _Q₌₁₂ _K_.3 _L2  _d)_Q₌₍₂_K0,6 ₊₃_L0,7₎2
<b>Bài 4.24. Cho biết hàm lợi ích U = (x</b>1 + 3)x2

Trong đó x1 là lượng hàng hóa A, x2 là lượng hàng hóa B. Hãy chọn túi hàng để lợi ích tối

đa trong điều kiện giá hàng hóa A bằng 5$, giá hàng hóa B là 20$, ngân sách tiêu dùng là
185$.

<b>Bài 4.25. Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết </b>

hợp 2

2
2
1
2

1 5QQ Q
Q

TC= + + . Giả sử cầu đối với hàng hóa đó là p₁ =56-4Q₁; p₂ = 48-2Q₂.

Hãy xác định mức sản lượng và giá tối ưu của các sản phẩm.

<b>Bài 4.26. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại hai nhà máy với hàm chi </b>
phí cận biên như sau (Qi là lượng sản phẩm sản xuất ở nhà máy i, MCi là chi phí cận biên

của nhà máy i): MC1 = 2 + 0,2Q1, MC2 = 6 + 0,04Q2.

Cơng ty đó bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu ngược: p = 66-0,1Q. Nếu cơng ty
đó muốn tối đa hóa lợi nhuận thì phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm với giá bao nhiêu?
<b>Bài 4.26. Một công ty sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất như sau: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

24
<b>Bài 4.27. Một nhà sản xuất độc quyền sản xuất ra một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó </b>
cho hai loại khách hàng. Cho biết hàm chi phí: TC = 90 + 20Q.

Nếu nhà sản xuất đưa Q1 sản phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ nhất thì các khách

hàng này bằng lòng trả giá p1 = 50 – 5Q1 (USD) cho mỗi sản phẩm. Nếu nhà sản xuất đưa

Q2 sản phẩm ra bán cho loại khách hàng thứ 2 thì các khách hàng này bằng lịng trả giá p2

= 100-10Q2 (USD) cho mỗi sản phẩm. Hãy cho biết lượng cung tối ưu và giá tối ưu cho

mỗi loại khách hàng.
<b>Bài 4.28. </b>

1) Cho biết hàm đầu tư _I₌₄₀_.5 _t3_{và quỹ vốn tại thời điểm t = 0 là 90. Hãy xác định}
hàm quỹ vốn K(t).

2) Cho biết hàm đầu tư _I₌₆₀_.3 _t_{và quỹ vốn tại thời điểm t = 1 là 85. Hãy xác}_định
hàm quỹ vốn K(t).

3) Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC = 0,8 ở mọi mức thu nhập Y và mức
tiêu dùng thiết yếu (mức tiêu dùng khi Y =0) là 40. Hãy xác định hàm tiêu dùng C(Y).

4) Cho biết hàm cầu ngược p = 42 – 5Q – Q2_{. Giả sử sản phẩm}_{được bán trên thị}

trường với giá po= 6. Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng.

<b>Bài 4. 29. Hàm thỏa dụng của hộ gia đình khi tiêu dùng hàng hóa 1, 2 có dạng </b>

U = 0,5

2
25
,
0
1 x
x

40 ; trong đó x1, x2 là mức tiêu dùng hàng hóa 1, 2. Giá hàng được cho

như sau p1 = 4; p2 = 10.

a) Có ý kiến cho rằng hàng hóa 1 ln có thể thay thế hàng hóa 1 và tỷ lệ thay thế là
1:1. Hãy nhận xét ý kiến này.

b) Hãy xác định mức cầu hàng hóa 1, 2 của hộ gia đình nếu thu nhập là 600.
<b>Bài 4.30. Một doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo có hàm sản xuất Q = K</b>0,5_{+ L}0,5

với pK = 6; pL = 4; p = 2.

a) Hãy xác định mức sử dụng vốn, lao động tối ưu.

b) Hãy phân tích tác động của giá vốn, lao động tới mức lợi nhuận tối đa.

<b>Bài 4.31. Mức cầu một loại hàng hóa (D) phụ thuộc vào giá hàng hóa đó (p) và thu nhập </b>
của người tiêu dùng (M) có dạng như sau: D = 1,5M0,3p-0,2

Mức cung loại hàng trên (S) có dạng: S = 1,4p0,3

a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập
b) Hãy xem xét tác động của thu nhập M tới mức giá cân bằng.
<b>Bài 4.32. Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2K</b>0,4_L0,8

Trong đó K =120 + 0,1t; L = 200 + 0,3t.

a) Tính hệ số co giãn của Y theo K và theo L.

b) Tính hệ số tăng trưởng của vốn K, lao động L và Y.

c) Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất trong trường hợp này.
<b>Bài 4.33. Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc giá như sau: </b>

Q1 = 40 – 2P1 – P2; Q2 = 35 – P1 – P2.

Tổng chi phí là hàm của các sản lượng:
12

Q
2
Q

TC 2

2
2

1 + +

=

Trong đó: Pi, Qi là giá và sản lượng hàng hóa thứ i (i =1,2)

a) Xác định mức Q1, Q2 sao cho tổng lợi nhuận lớn nhất.

b) Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu tìm được ở câu a).
c) Hai mặt hàng này có thay thế lẫn nhau trong tiêu dùng khơng?

<b>Bài 4.34. Thu nhập quốc dân của một quốc gia (Y) phụ thuộc vào vốn (K), lao động được </b>
sử dụng (L) và ngân sách đào tạo 5 năm trước đó (G) như sau:Y = 0,24K0,3L0,8G0,05

</div>

<!--links-->