Tài liệu Bài tập môn cơ sở đại số ppt

Trần Mậu Quý - Cao học Toán 16 (2007-2009) 1
BÀI TẬP MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ
DÀNH CHO CAO HỌC TOÁN 16
Ngày 16 tháng 1 năm 2008
Câu 1. Cho f : M −→ N là đồng cấu R-môđun.
a) Chứng minh rằng S là một hệ sinh của M thì đồng cấu f được xác định
bởi giá trị của f trên S.
b) Tìm ví dụ chứng tỏ nếu S không phải là hệ sinh của M thì có ánh xạ
g : S −→ N không thể mở rộng thành đồng cấu môđun từ M vào N.
c) Chứng minh rằng nếu S là một cơ sở của M thì mỗi ánh xạ h : S −→ N
đều có thể mở rộng thành đồng cấu môđun từ M vàN.
Câu 2. R-môđun M được gọi là nửa đơn nếu mọi môđun con của M đều là một
hạng tử trực tiếp. Cho M là một R-môđun khác 0. Chứng minh các phát biểu
sau là tương đương:
a) M là nửa đơn.
b) M là tổng trực tiếp các môđun con đơn của M.
c) M là tổng các môđun con đơn của M.
Câu 3. Chứng minh rằng mọi môđun tự do X trên miền nguyên R là không
xoắn (tức là không có x ∈ X \ {0}, λ ∈ R \ {0} sao cho λx = 0).
Nếu X là R-môđun không xoắn với R là một miền nguyên thì có thể kết luận
được X là R-môđun tự do không?
Câu 4. Cho M là R-môđun tự do, R là miền nguyên chính. Chứng minh mọi
môđun con của M đều là R-môđun tự do.
Câu 5. Cho biểu đồ:
Y
β

X
α
//
A

α

//
β


X

//
0
Y


0
trong đó các dòng và cột đều khớp. Chứng minh β

α là toàn cấu khi và chỉ khi
α

β toàn cấu.
Câu 6. Cho X
1
, X
2
là các môđun con của X. Chứng minh dãy sau là khớp:
0 −→ X
2
/(X
1
∩ X

2
)
ϕ
−→ X/X
1
ψ
−→ X/(X
1
+ X
2
) −→ 0
L
A
T
E
X - />Trần Mậu Quý - Cao học Toán 16 (2007-2009) 2
với ϕ(x + X
1
∩ X
2
) = x + X
1
và ψ(x + X
1
) = x + (X
1
+ X
2
) .
Câu 7. Cho U, V là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K. Chứng

minh:
a) U ⊗
K
V là không gian vectơ trên trường K.
b) dim(U ⊗
K
V ) = dim
K
U . dim
K
V .
Câu 8. Cho I, J là các iđêan của vành R. Chứng minh các đẳng cấu R-môđun
sau:
a) (R/I) ⊗
R
M
∼
=
M/(IM).
b) (R/I) ⊗
R
(R/J)
∼
=
R/(I + J).
Câu 9. Cho A là R-môđun. Chứng minh nếu đồng cấu
λ : Hom(A, R) ⊗ A −→ Hom(A, R ⊗ A)
f ⊗ c −→ λ(f ⊗ c)
(λ(f ⊗ c) : A −→ R ⊗ A
a −→ f(a) ⊗ c)

là toàn cấu thì A hữu hạn sinh.
Câu 10. Cho R là vành chia được, M là R-môđun. Đặt D = Hom
R
(M, M).
Chứng minh:
a)M là một D-môđun với phép nhân ngoài được định nghĩa như sau: r.m =
r(m), ∀r ∈ D, ∀m ∈ M.
b)Tồn tại đẳng cấu vành từ R vào Hom
D
(M, M).
Câu 11. Chứng minh mọi dãy khớp ngắn
0
//
A
//
B
//
C
//
0
các R-môđun đều có thể nhúng vào một biểu đồ giao hoán:
0

0

0

0
//
U

//

V
//

W
//

0
0
//
X
//

Y
//

Z
//

0
0
//
A
//

B
//

C

//

0
0 0 0
L
A
T
E
X - />Trần Mậu Quý - Cao học Toán 16 (2007-2009) 3
trong đó các dòng và cột đều khớp, dòng giữa chẻ ra, X, Y, Z là các môđun xạ
ảnh, các dãy khớp ngắn
0
//
U
//
X
//
A
//
0
0
//
W
//
Z
//
C
//
0
có thể cho trước tùy ý.

Câu 12. Chứng minh rằng mọi môđun xạ ảnh X trên miền nguyên R là không
xoắn.
—Hết—
L
A
T
E
X - />