Bộ Đề thi học sinh giỏi Môn toán lớp 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>đề thi học sinh giỏi -MễN : TOÁN Lớp : 8 §Ò sè 1 3 Bài 1 : a) Phân tích đa thức x – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . Bài 2 : Cho x + y = 1 và x y  0 . Chứng minh rằng. 2 x  y  x y   0 y 3  1 x3  1 x 2 y 2  3. Bài 3 : Cho a2 – 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức P =. a4  a2  1 a2. a 2  2a  2009 Bài 4 : Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất M = với a  o a2 Bài 5 : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF c) Chứng minh S2FDC  16 SAMC.SFNA Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với. MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số. BD DC. Hết HƯỚNG DẪN Bài 1 : a) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 =(x–1)(x–2)2 b) Xét. A 10 x 2  7 x  5 7   5x  4  B 2x  3 2x  3 7 Với x  Z thì A  B khi  Z  7  ( 2x – 3) 2x  3 Mà Ư(7) = 1;1; 7;7  x = 5; -2; 2 ; 1 thì A  B. Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi = = =. = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4). x. 4. . x4  x  y 4  y x y  = y 3  1 x 3  1 ( y 3  1)( x 3  1).  y 4  ( x  y). xy ( y  y  1)( x 2  x  1) 2. ( 0,25 đ). ( do x+y=1  y-1=-x và x-1=- y). x  y x  y x 2  y 2  ( x  y ). xy ( x 2 y 2  y 2 x  y 2  yx 2  xy  y  x 2  x  1) x  y ( x 2  y 2  1). xy  x 2 y 2  xy ( x  y )  x 2  y 2  xy  2 . 1 GiaoAnTieuHoc.com. (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> = = =. x  y ( x 2  x  y 2  y ) = x  y x( x  1)  y ( y  1) 2 2 2 2 2. (0,25đ). xy ( x y  3). xy  x y  ( x  y )  2  x  y x( y )  y ( x). x  y (2 xy ). =. (0,25đ). xy ( x y  3) xy ( x 2 y 2  3) 2( x  y ) Suy ra điều cần chứng minh x2 y 2  3 2. 2. Bài 3 : (0,75đ) Ta có a2 - 4a + 1 = 0  a2 – a + 1 = 3a . (0,25đ) a2  a  1 =3 a. a4  a2  1 a2  a  1 a2  a  1 a2  a 1  . P= =3. a2 a a a 2 2 a  a  1 a  a  1 2a   Mà = 3+2 = 5 a a a. (0,25đ). (0,25đ). Suy ra P = 3 . 5 = 15. (0,25đ). 2008(a  2a  2008) 2008a  2.a.2008  2008 = 2008a 2 2008a 2 2007a 2  a 2  2a.2008  20082 2007 (a  2008) 2 2007   = (0,25đ) = 2008a 2 2008 2008a 2 2008 2. 2. 2. Bài 4 : ( 1 đ) M =. (0,25đ) (0,25đ). Dấu “=” xảy ra  a – 2008 = 0  a = 2008 2007 khi a = 2008 2008. Vậy giá trị nhỏ nhất của M là. (0,25đ). Bài 5 :(2,5đ) DF DC  ( Do AM//DF) (1) AM MC DE BD  ( Do AM // DE) (2) AM BM DE  DF BD  DC BC    2 ( MB = MC) Từ (1) và (2)  AM BM BM  DE + DF = 2 AM. Câu a ( 0,75đ): Lý luận được :. ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,25đ). Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành NE AE  ND AB NF FA DM DM AE     ND AC MC BM AB NE NF  => NE = NF  ND ND Câu c : ( 0,75đ)  AMC và  FDC đồng dạng. Ta có. (0,25đ) (0,5 đ) (0,25đ). 2. S  AM   AMC    S FDC  FD   FNA và  FDC đồng dạng. . S FNA  NA    S FDC  FD . 2. ( 0,25đ). 2 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2. S S FNA  DM   ND   AMC     và  S FDC  FD  S FDC  DC  2. 2. 2. S AMC S FNA  ND   DM  1  ND DM  .    .     S FDC S FDC  FD   DC  16  FD DC   S2FDC  16 SAMC.SFNA. 4. (0,25đ). . (0,25đ) ( Do x  y   0  x  y   4 xy  x  y   16 x y với x  0; y  0) 2. 2. 4. 2. 2. Bài 6 : ( 1 đ) BD 2. Kẻ MI // BC ( I  AD)  MI =. F. MI MH  ( Do MI // BC) DC HC BD MH  ( 1)  2 DC HC. Ta có :. A. N. E. ( 0,25đ)  MAH và  ACH đồng dạng ( g-g) . MH MA 1   (  ABC vuông cân tại A nên AB = AC ) AH AC 2.  AH = 2 MH  AMC vuông , ta có AH2 = MH . HC  4MH2 = MH.HC  HC = 4 MH. D. B. M. C. ( 0,25đ) A. ( 0,25đ) Thay vào (1) ta có :. BD MH 1 BD 1     2 DC 4 MH 4 DC 2. M. I H. ( 0,25đ) B. D. §Ò sè 2  x 6 1   10  x 2    Bài 1: Cho biểu thức M =  3    : x  2  6  3 x x  2 x  2 x  4 x     2. a) Rút gọn M . x2 6 1   10  x 2   x2 6 1  6   : =   x  2       : 3  x  2   x( x  2)( x  2) 3( x  2) x  2  x  2  x  4 x 6  3x x  2   6 x2 1 . M= = ( x  2)( x  2) 6 2 x 1 1 1 1 b)Tính giá trị của M khi x = : x =  x = hoặc x = 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 Với x = ta có : M = = = Với x = - ta có : M = = = 1 3 3 1 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2. M= . Bài 2: Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn 3 GiaoAnTieuHoc.com. C.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> x2 y2 z2 a b c x y z    0 và    1 . Chứng minh rằng 2  2  2  1 x y z a b c a b c ayz  bxz  cxy a b c  0  ayz + bxz + cxy = 0 HD Từ    0  x y z xyz x 2 y 2 z 2 2 xy 2 yz 2 xz x 2 y 2 z 2 2 xyc 2 yza 2 xzb x y z      1 Từ + + + = 1 2  2  2 + + + =1  2 a b c bc ac abc abc acb a b 2 c 2 ab a b c Mà ayz + bxz + cxy = 0  2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc  0) x2 y2 z2 Hay 2  2  2  1 (đpcm) a b c. Bài 3: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0. a. Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) b.Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác) (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) Vậy A< 0 3( x  1) x  x2  x 1 3( x  1) 3( x  1) 3( x  1) 3 B= 3 2 = 2 = 2 = 2 x  x  x  1 x ( x  1)  x  1 ( x  1)( x  1) x 1 3 Do x2 +1>0 nên B = 2  3 Dấu ''='' xãy ra  x = 0 = x 1 Vậy GTLN của B là 3  x = 0. Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B =. 3. Bài 5 : Cho hình vuông ABCD. Hai điểm I,J lần lượt thuộc hai cạnh BC và CD sao cho góc IAJ =450 .Đường chéo BD cắt AI và AJ tương ứng tại H và K. Tính tỉ số. B. A H. HK . IJ. Giải: Từ giả thiết góc HAJ = góc HDJ =450, suy ra tứ giác AHJD nội tiếp, từ đó góc AHJ =1v.Vậy tam giác AHJ vuông cân tại H. AH 2  (1) AJ 2 AK 2  Xét tương tự ta có (2) AI 2 Từ (1) và (2) suy ra AHK ~ AJI . Do đó 2 HK AH  = . AJ 2 IJ. K D. Suy ra. §Ò sè 3 C©u 1 4 GiaoAnTieuHoc.com. I. J. C.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Cho T=. ( x  1) 2  4 x x( x  4)  x 2  5 x  1 : . x3  x 2  2 ( x  1) 2  x( x  2). a/ Rót gän T.. b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn nhất.. HD*TX§ x  1. a/ Rót gän T=. ( x  1) 2  4 x x( x  4)  x 2  5 x  1 ( x  1) 2 x 1 : : = = 3 2 2 3 2 2 x  x 2 ( x  1).  x( x  2) x  x  2x  2x  2x  2 1. ( x  1) 2 1 1 . = 2 ( x  1)( x  2 x  2) x  1 ( x  1) 2  1. b/ Để T đạt giá trị lớn nhất thì ( x  1)2  1 nhỏ nhất mà (x+1)2 +1>1 . VËy x=-1 th× T=1 lµ lín nhÊt x 2  yz y 2  xz  Bài 2: Chứng minh rằng nếu Với x  y ; xyz  0 ; yz  1 ; xz  1. x(1  yz ) y (1  xz ). Thì :. xy + xz + yz = xyz ( x + y + z). HD Từ GT  (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz)  x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2  x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0  xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0  xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0  (x -y) xy  xyz ( x  y  z )  xz  yz  = 0. Do x - y  0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0 Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x2-4xy+5y2=16 HD Ta có: x2-4xy+5y2=16  x2-4xy+4y2+y2 = 16  (x-2y)2+y2 = 16 Vì x, y  Z nên (x-2y)  Z Tổng hai bình phương của hai số nguyên bằng 16 thì chỉ có 2 khả năng xảy ra a)  (x-2y)2=0 x=8; y=4 2 y =16 x=-8; y=-4 b). y2=0 (x-2y)2=16. . x=4; y=0 x=-4; y=0. Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên: (4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4) Câu 4 (2 điểm): Một người đi xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách nhau 80km. Một nửa giờ sau một người đi xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trước người đi xe máy 10 phút. TÝnh vËn tèc cña mçi xe, biÕt vËn tèc cña xe « t« gÊp 1,5 lÇn vËn tèc xe m¸y. 5 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> HD Gọi vận tốc của người đi xe máy là x km/h. (x > 0). => vận tốc của người đi xe ô tô là 1,5x km/h . thời gian người đi xe máy là: theo bµi ra ta cã pt:. 80 80 (h) , thời gian người đi xe ô tô là: ( h) 1,5x x. 80 80 2 = x 1,5x 3. gi¶i pt trªn ®­îc x= 40.. (ô tô đi trước 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) =. 2 (h) 3. Vậy vận tốc của người đi xe máy là 40 km/h, vận tốc của người đi. xe « t« lµ 60 km/h Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G. a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm=của BC. A b)  ABC ~  AEF c)  BDF =  CDE E d) H cách đều các cạnh của tam giác DE F Giải H a)BG  AB, CH  AB, nên BG // CH Tương tự BH  AC, CG  AC nên BH//CG Tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối song song nên nó là hình bình hành. B Do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung D điểm của mỗi đường.Vậy GH đi qua trung điểm M của BC. b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE và ACF vuông. G Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng Suy ra. AB AE AB AC   (1)  AC AF AE AF. Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2) Từ (1) và (2) suy ra  ABC ~  AEF. c) Chứng minh tương tự ta được:  BDF ~  BAC,  EDC ~  BAC, suy ra  BDF ~  EDC   BDF =  CDE d) Ta có  BDF =  CDE  900 -  BDF = 900 -  CDE  900 -  BDF = 900-  CDE   ADB -  BDF =  ADC -  CDE   ADF =  ADE Suy ra: DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Suy ra H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. Vậy H cách đều ba cạnh của tam giác DEF. §Ò sè 4 Bµi 1 a) Chøng minh r»ng ph©n sè. 3n + 1 lµ ph©n sè tèi gi¶n nN ; 5n + 2 6 GiaoAnTieuHoc.com. C.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> n2 + 4 b) Cho ph©n sè A = (nN). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 sao cho ph©n n+ 5 số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1) M d hay 1 M d  d = 1. 3n + 1 VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n. 5n + 2 29 29 b) Ta cã A = n - 5 + . §Ó A cha tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i cha tèi gi¶n. Suy ra n+ 5 n+ 5 n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c íc d¬ng lín h¬n 1 cña 29. V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5 M 29  n + 5 =29k (k  N) hay n=29k – 5. Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009  1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tæng cña c¸c sè nµy lµ : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690. 1 1 1 1 . + + = a b c a+ b+ c Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng : 1 1 1 1 . + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cã : + + =  + + =0 a b c a+ b+ c a b c a+ b+ c a+ b a+ b c(a + b + c) + ab + = 0  (a + b). =0  ab c(a + b + c) abc(a + b + c) éa + b = 0 éa = - b ê ê  (a + b)(b + c)(c + a) = 0  êb + c = 0  êb = - c  ®pcm. ê ê êc + a = 0 êc = - a ë ë 1 1 1 1 1 1 1 Từ đó suy ra : 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + + 2009 = 2009 2009 a b c a (- c) c a 1 1 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 1 1  2009 + 2009 + 2009 = 2009 . a b c a + b 2009 + c2009. Bµi 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn. Bµi 3:Tìm GTNN của B = 3x 2 + y 2 - 8x + 2xy + 16. HD : B = 3x 2 + y 2 - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) 2 + (x + y) 2 + 8  8. 7 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  MinB = 8 khi :. {xx +- 2y == 00)  {yx== -22) .. Bµi 4: §Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh (26/3).. Hai tổ công nhân lắp máy được giao làm một khối lượng công việc. Nếu hai tổ làm chung thì hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× lµm ®­îc 30% c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc trªn ®­îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian để hoàn thành Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G. a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm của BC. b)  ABC ~  AEF = c)  BDF =  CDE A d) H cách đều các cạnh của tam giác DEF E. F. Giải H a)BG  AB, CH  AB, nên BG // CH Tương tự BH  AC, CG  AC nên BH//CG Tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối song B song nên nó là hình bình hành. D Do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.Vậy GH đi qua trung điểm M của BC. b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE và ACF vuông. Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng Suy ra. C. G. AB AE AB AC   (1)  AC AF AE AF. Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2) Từ (1) và (2) suy ra  ABC ~  AEF. c) Chứng minh tương tự ta được:  BDF ~  BAC,  EDC ~  BAC, suy ra  BDF ~  EDC   BDF =  CDE d) Ta có  BDF =  CDE  900 -  BDF = 900 -  CDE  900 -  BDF = 900-  CDE   ADB -  BDF =  ADC -  CDE   ADF =  ADE Suy ra: DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Suy ra H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. Vậy H cách đều ba cạnh của tam giác DEF. VÝ dô 3. §¬n gi¶n biÓu thøc : ö ö ö 1 æ 3 æ 6 æ çç 1 + 1 ÷ çç 1 + 1 ÷ çç1 + 1 ÷ A= + + ÷ ÷ ÷ ÷ (a + b)4 è ÷ (a + b)5 è ÷. ça 3 b 3 ø ça 2 b 2 ø ça b ø (a + b)3 è Lêi gi¶i 2 2 §Æt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a + b = (a + b)2 – 2ab = S 2 - 2P 8 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S 3 - 3SP . 1 1 a+ b S 1 1 a 2 + b 2 S 2 - 2P + = = ; Do đó : + = = ; a b ab P a2 b2 a2b2 P2 1 1 a 3 + b 3 S 3 - 3SP + = = . a3 b3 a 3b3 P3 1 S 3 - 3SP 3 S 2 - 2P 6 S Ta cã : A = 3 . + 4. + 5. S P3 S P2 S P 2 2 S - 3P 3(S - 2P) 6 (S 4 - 3S 2 P) + (3S 2 P - 6P 2 ) + 6P 2 S4 = + + 4 = = 4 3 S2P3 S4P2 S P S 4P3 S P 1 1 Hay A = 3 = 3 3 . P ab VÝ dô 4. Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + . (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Lêi gi¶i C¸ch 1 x 2 - (a + b)x + ab x 2 - (b + c)x + bc x 2 - (c + a)x + ca = Ax2 – Bx + C S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) 1 1 1 + + víi : A = ; (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) a+ b b+ c c+ a B= + + ; (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b- a + c- b + a- c = 0; Ta cã : A = (a - b)(b - c)(c - a) (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) b 2 - a 2 + c2 - a 2 + a 2 - c2 B= = =0 ; (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) C= = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = = 1. (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) VËy S(x) = 1x (®pcm). C¸ch 2 Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có tèi ®a hai nghiÖm. NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0  a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x). §iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 x. 9 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Suy ra S(x) = 1 x  ®pcm. 1 VÝ dô 9. Cho x + = 3 . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : x 1 1 1 1 a) A = x 2 + 2 ; b) B = x 3 + 3 ; c) C = x 4 + 4 ; d) D = x 5 + 5 . x x x x Lêi gi¶i 2 ö 1 æ 1÷ a) A = x 2 + 2 = ç x+ ÷ - 2 = 9- 2 = 7 ; ç ç è ø x x÷ 3. æ 1ö 1 æ 1ö ÷ ç b) B = x + 3 = ç x + 3 x+ ÷ ÷ ÷= 27 - 9 = 18 ; ç ç ç ç è ø è ø x x÷ x÷ 2 ö 1 æ 1 4 2 ÷ c) C = x + 4 = ççx + 2 ÷ - 2 = 49 - 2 = 47 ; çè ø x x ÷ æ ö 5 1 1 öæ 1 ççx 3 + 1 ÷ = x + + x + = D + 3  D = 7.18 – 3 = 123. d) A.B = ççx 2 + 2 ÷ ÷ ÷ 3 çè ç øè ø x ÷ x ÷ x x5 2 ax + b c = 2 + Ví dụ 5. Xác định các số a, b, c sao cho : 2 . (x + 1)(x - 1) x + 1 x - 1 Lêi gi¶i ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x 2 + 1) (a + c)x 2 + (b - a)x + (c - b) Ta cã : 2 + = = x + 1 x- 1 (x 2 + 1)(x - 1) (x 2 + 1)(x - 1) 2 §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc 2 , ta đợc : (x + 1)(x - 1) ìï a + c = 0 ìï a = - 1 ïï ïï 2 - x- 1 1 = 2 + . í b - a = 0 Û í b = - 1 . VËy 2 ïï ïï (x + 1)(x - 1) x + 1 x - 1 ïïî c - b = 2 ïïî c = 1 3. §Ò sè 5 Bài 1 :( 1,5 điểm) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . Bài 2 : (1,5 điểm) Cho x + y = 1 và x y  0 . Chứng minh rằng. 2 x  y  x y   0 y 3  1 x3  1 x 2 y 2  3. Bài 3 : ( 2,5 điểm) a) Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9. 10 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1 x2  x  1  2 3 b) Chứng minh rằng : 3 x  x 1 c) Cho a2 – 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức P=. a4  a2  1 a2. Bài 4 : ( 1,0 điểm) Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất a 2  2a  2008 M= với a  o a2 Bài 5 : (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF c) Chứng minh S2FDC  16 SAMC.SFNA Bài 6 : ( 1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số. BD DC. Hết HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1 : ( 1,5 điểm) a) ( 0,75đ) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10 x 2  7 x  5 7   5x  4  b) (0,75đ) Xét B 2x  3 2x  3 7 Với x  Z thì A  B khi  Z  7  ( 2x – 3) 2x  3 Mà Ư(7) = 1;1; 7;7  x = 5; -2; 2 ; 1 thì A  B. Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi = = = = =. x. 4. . ( do x+y=1  y-1=-x và x-1=- y). xy ( y 2  y  1)( x 2  x  1). x  y x  y x 2  y 2  ( x  y ). xy ( x 2 y 2  y 2 x  y 2  yx 2  xy  y  x 2  x  1) x  y ( x 2  y 2  1). xy  x 2 y 2  xy ( x  y )  x 2  y 2  xy  2 . x  y ( x 2  x  y 2  y ) = x  y x( x  1)  y ( y  1) 2 2 2 2 2. xy  x y  ( x  y )  2  x  y x( y )  y ( x) xy ( x y  3) 2. ( 0,25 đ) ( 0,25 đ) ( 0,25 đ). x4  x  y 4  y x y  = y 3  1 x 3  1 ( y 3  1)( x 3  1).  y 4  ( x  y). 2. ( 0,25 đ ) ( 0,25 đ) ( 0,25 đ). =. xy ( x y  3). x  y (2 xy ). (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ). xy ( x 2 y 2  3). 11 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> =. 2( x  y ) x2 y 2  3. Suy ra điều cần chứng minh. (0,25đ). Bài 3 : ( 2,5 điểm) a) ( 0,75đ) Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1; n; n+1 ( n  Z ) Ta có ( n-1)3 +n3 + ( n+1)3 = 3n3+6n = 3n3 -3n +9n = 3n(n2 -1) +9n = 3n (n-1) (n+1) +9n 9n  9 Vì  3n(n  1)(n  1) 9. (0,25đ) (0,25đ). 3n (n-1) (n+1) + 9n  9. (0,25đ). b) (1đ) Ta có (x+1)2  0  2( x+1)2  0  2x2+4x+2  0  3x2+3x+3  x2-x+1  3(x2+x+1)  x2-x+1 (*) Tương tự, ta có từ (x-1)2  0  3(x2-x+1)  x2+x+1 (**). (0,25đ ). . 1 3 Vì x2-x+1 = ( x- )2 + > 0 2 4. (0,25đ). Chia 2 vế của bất đẳng thức (*) cho x2-x+1 1 x2  x  1  ta có 3 x2  x  1 Chia 2 vế của bất đẳng thức (**) cho x2-x+1 x2  x  1  3 suy ra đccm ta có x2  x  1 c) (0,75đ) Ta có a2 - 4a + 1 = 0  a2 – a + 1 = 3a . (0,25đ). (0,25đ) a2  a  1 =3 a. a4  a2  1 a2  a  1 a2  a  1 a2  a 1  . = 3 . a2 a a a 2 2 a  a  1 a  a  1 2a   Mà = 3+2 = 5 a a a. P=. (0,25đ) (0,25đ). Suy ra P = 3 . 5 = 15. (0,25đ). 2008(a  2a  2008) 2008a  2.a.2008  2008 = 2008a 2 2008a 2 2007a 2  a 2  2a.2008  20082 2007 (a  2008) 2 2007   = (0,25đ) = 2008a 2 2008 2008a 2 2008 2. 2. 2. Bài 4 : ( 1 đ) M =. (0,25đ) (0,25đ). Dấu “=” xảy ra  a – 2008 = 0  a = 2008 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là. 2007 khi a = 2008 2008. (0,25đ). Bài 5 :(2,5đ) DF DC  ( Do AM//DF) (1) AM MC DE BD  ( Do AM // DE) (2) AM BM DE  DF BD  DC BC    2 ( MB = MC) Từ (1) và (2)  AM BM BM  DE + DF = 2 AM. Câu a ( 0,75đ): Lý luận được :. Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành 12 GiaoAnTieuHoc.com. ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,25đ).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> NE AE  ND AB NF FA DM DM AE     ND AC MC BM AB NE NF  => NE = NF  ND ND Câu c : ( 0,75đ)  AMC và  FDC đồng dạng. Ta có. (0,25đ) (0,5 đ) (0,25đ). 2. S  AM   AMC    S FDC  FD   FNA và  FDC đồng dạng S  NA   FNA    S FDC  FD . 2. ( 0,25đ). 2. S S FNA  DM   ND   AMC     và  S FDC  FD  S FDC  DC  2. 2. 2. S S 1  ND DM   ND   DM    AMC . FNA    .     S FDC S FDC  FD   DC  16  FD DC   S2FDC  16 SAMC.SFNA. 4. (0,25đ) (0,25đ). ( Do x  y   0  x  y   4 xy  x  y   16 x y với x  0; y  0) 2. 2. 4. 2. 2. F A. N. Bài 6 : ( 1 đ) Kẻ MI // BC ( I  AD)  MI =. BD 2. E. MI MH  ( Do MI // BC) DC HC BD MH  ( 1)  2 DC HC. Ta có :. D. B. M. C. ( 0,25đ)  MAH và  ACH đồng dạng ( g-g) . MH MA 1   (  ABC vuông cân tại A nên AB = AC ) AH AC 2.  AH = 2 MH  AMC vuông , ta có AH2 = MH . HC  4MH2 = MH.HC  HC = 4 MH. ( 0,25đ) A. ( 0,25đ) Thay vào (1) ta có :. BD MH 1 BD 1     2 DC 4 MH 4 DC 2. M. I. ( 0,25đ). H B. §Ò sè 6 13 GiaoAnTieuHoc.com. D. C.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Bài 1 ( 2,0 điểm ) :  x3 1  x 3  1  x(1  x 2 ) 2    Cho biểu thức P =   x   x  : x  1 x  1 x2  2   . a) Tìm tập xác định của P rồi rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị là số nguyên. Bài 2 ( 2,5 điểm ) : a) Cho biểu thức. M=. 2 . x  2x  3 2. Với giá trị nào của x thì M có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó ? b) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 7m, đường chéo có độ dài 13m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó ? Bài 3 ( 2,5 điểm ) : a) Cho a  1 và b  1 . Chứng minh :. 1 1 2   . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ? 2 2 1  ab 1 a 1 b. m 3m 2  4m  3 1   b) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : 2 2 xm xm m x. Bài 4 ( 3,0 điểm ) : Cho ABC vuông ở A, có B = 200. Vẽ phân giác BI của ABC ( I  AC ) và lấy điểm H  AB sao cho ACH = 300 : a) Chứng minh BI2 < AB . BC ? b) Vẽ CK là phân giác của HCB, chứng minh CK // IH ? c) Tính số đo của CHI ? HD Bài 1 ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Tập xác định x  1; x  - 1 và x   + Rút gọn P =. x 2 x 2. 2 ......................................... 0,25đ. ...............................................................0,75đ. b) 1,0 điểm + Viết. P= x -. 2 x. ..............................................................................0,25đ. + Để P có giá trị nguyên thì x là ước của 2 . x =  1 ( loại ) ................0,25đ x =  2 ( nhận ) ...............0,25đ. 14 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> + Từ đó các giá trị nguyên của P là 1 và - 1 ............................................0,25đ Bài 2 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Viết M =. 2 ....................................................................0,25đ ( x  1) 2  2. + Vì ( x + 1 )2  0 với mọi x  ( x + 1 )2 + 2  2 với mọi x .............0,25đ + Có M . 2  1 nên M có giá trị lớn nhất là M = 1 .....................0,25đ 2. + Dấu “ = ” xảy ra khi x = -1. .........................................................0,25đ. b) 1,5 điểm Gọi chiều rộng là x (m) thì chiều dài là x + 7 (m), điều kiện x > 0 .............................0,25đ 2 2 2 Theo định lý Pi-ta-go thì x + ( x + 7 ) = 13 ............................................0,25đ 2 2  x + x + 14x + 49 = 169  2x2 + 14x - 120 = 0  ( x + 12 )( 2x - 10 ) = 0 Vậy x = -12 ( loại ) hoặc x = 5 ( nhận ) ...............................0,5đ Tính được diện tích của hình chữ nhật S = 60m2 ...............................................................0,5đ Bài 3 ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm + Chuyển vế và tách -. 2 1 1  =1  ab 1  ab 1  ab. ....................................0,25đ. + Nhóm, quy đồng mẫu của từng nhóm và thực hiện đúng phép cộng .........0,25đ + Đặt nhân tử chung trên tử thức để có :. (b  a ) 2 (ab  1) ................0,25đ (1  a 2 )(1  b 2 )(1  ab). + Vì a  1 và b  1 nên phân thức trên  0 ; từ đó suy ra điều cần c/m .........0,25đ b) 1,5 điểm + ĐKXĐ : x   m .............................................................................................................0,25đ + Quy đồng và khử mẫu 2 vế, đưa về PT ( m - 1 ).x = ( m - 1 )( 2m - 3 ) ........................0,25đ + Với m  1 ta có x = 2m -3 ..............................................................................................0,25đ + Để thoả mãn ĐKXĐ thì 2m - 3  m  m  3 và 2m - 3  - m  m  1 ................0,25đ Vậy khi m  1 và m  3 thì PT đã cho có 1 nghiệm x = 2m - 3 ....................................0,25đ + Với m = 1, PT có dạng 0.x = 0  mọi số thực x   1 đều là nghiệm của PT ............0,25đ. 15 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bài 4 ( 3,0 điểm ) a) 1,0 điểm ( Hình vẽ ) B. + Có BIC > A  Vẽ BIN = A ( N  BC ) ............... 0,25đ  ABI ∽ IBN ( g-g ) .............................................0,25đ  AB/ BI = BI/ BN  BI2 = AB.BN .......................... 0,25đ + Có BN < BC nên BI2 < AB.BC ..............................0.25đ. M K H A. I. b) 1,5 điểm + Tính được HCB = 400  HCK = BCK = 200 .................0,25đ N + Tam giác vuông AHC có ACH = 300  AH = CH/2 ......0,25đ (1) + Vì CK là phân giác HCB nên kết hợp với (1) C. AH 1  CH  1  BC       ......................................0,25đ (2) HK 2  HK  2  BK  BC AB BC AB   + Vẽ KM  BC tại M thì BMK ∽ BAC ( g-g )   ....................0,25đ BK BM 2 BK 2 BM BC AB AH IA AB    Kết hợp với (2)  (3) ; vì BI là phân giác ABC nên (4) .................0,25đ 2 BK BC HK IC BC IA AH  + Từ (3) & (4)   HI // CK IC HK. . ......................................................................................0,25đ c) 0,5 điểm Do HI // CK nên CHI = HCK = 200 ( 2 góc so le trong ) ............................................0,5đ. §Ò 7 C©u 1 (1,5 ®iÓm): a/ TÝnh nhanh: 999.1001+992. b/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : +/ x2-7x+10. +/ x2-2x-y2+1. C©u 2 (2 ®iÓm):. x  1 3x  4 x   3 2 4 1 1 1 1 1 1 b/ So s¸nh A vµ B biÕt: A= (1+ )(1+ 2 )(1+ 4 )(1+ 8 )(1+ 16 )(1+ 32 ) vµ B=2. 2 2 2 2 2 2. a/ Giải phương trình:. C©u 3 (2 ®iÓm): Cho T=. ( x  1) 2  4 x x( x  4)  x 2  5 x  1 : . x3  x 2  2 ( x  1) 2  x( x  2). a/ Rót gän T. 16 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn nhất. Câu 4 (2 điểm): Một người đi xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách nhau 80km. Một nửa giờ sau một người đi xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trước người đi xe máy 10 phút. Tính vận tốc cña mçi xe, biÕt vËn tèc cña xe « t« gÊp 1,5 lÇn vËn tèc xe m¸y. C©u 5: (2,5 ®iÓm): Cho ABC vu«ng t¹i A; H n»m trªn ®o¹n BC. ( H kh«ng trïng B hoÆc C).. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB, AC và HE cắt AB tại P, HF cắt AC tại Q. a/ Tø gi¸c HPAQ lµ h×nh g×? T¹i sao? b/ Chøng minh: AC.BP=AB.AQ. c/ Chøng minh ba ®iÓm: E, A, F th¼ng hµng. ------------------------ @ -----------------------HD C©u 1 (1,5 ®iÓm): a/ TÝnh nhanh: 999.1001+992 = (1000-1)(1000+1)+(100-1)2 =10002-1+1002-200+1= 1000000+10000-200=1009800. ( 0,5 ®iÓm). b/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: +/ x2-7x+10 = (x2-2x)-(5x-10)= x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5).. ( 0,5 ®iÓm). +/ x2-2x-y2+1= (x2-2x+1)-y2 = (x-1)2-y2 = (x-1+y)(x-1-y) C©u 2 (2 ®iÓm):. ( 0,5 ®iÓm). x  1 3x  4 x 4( x  1) 6(3 x  4) 3 x      3 2 4 12 12 12 20 .  4(x-1)=6(3x-4)-3x  4x-4=18x-24-3x => x= 11. a/ Giải phương trình:. . 1. . 1. 1. 1. 1. 1. 1. ( 1 ®iÓm) 1. b/ Ta cã 1   A= 1   (1+ )(1+ 2 )(1+ 4 )(1+ 8 )(1+ 16 )(1+ 32 ) 2 2 2 2 2 2  2  2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )(1+ 2 )(1+ 4 )(1+ 8 )(1+ 16 )(1+ 32 ) = (1- 4 )(1+ 4 )(1+ 8 )(1+ 16 )(1+ 32 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- 8 )(1+ 8 )(1+ 16 )(1+ 32 ) = (1- 16 )(1+ 16 )(1+ 32 ) = (1- 32 )(1+ 32 ) = (1- 64 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 => A = 2(1- 64 ) = 2 - 63 . Do 63 > 0 => 2 - 63 < 2 . VËy A<B ( 1 ®iÓm) 2 2 2 2 ( x  1) 2  4 x x( x  4)  x 2  5 x  1 : C©u 3 (2 ®iÓm): Cho T= 3 2 . TX§ x  1. x  x 2 ( x  1).2  x( x  2). = (1-. 17 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> a/ Rót gän T=. ( x  1) 2  4 x x( x  4)  x 2  5 x  1 ( x  1) 2 x 1 : : = = 3 2 2 3 2 2 x  x 2 ( x  1).  x( x  2) x  x  2x  2x  2x  2 1. ( x  1) 2 1 1 . = 2 ( x  1)( x  2 x  2) x  1 ( x  1) 2  1. ( 1 ®iÓm). b/ Để T đạt giá trị lớn nhất thì ( x  1) 2  1 nhỏ nhất mà (x+1)2 +1>1 . VËy x=-1 th× T=1 lµ lín nhÊt.. ( 1 ®iÓm). Câu 4 (2 điểm): Gọi vận tốc của người đi xe máy là x km/h. (x > 0). => vận tốc của người đi xe ô tô là 1,5x km/h . thời gian người đi xe máy là: theo bµi ra ta cã pt:. (0,5 ®iÓm ). 80 80 (h) , thời gian người đi xe ô tô là: ( h) (0,5®iÓm ) 1,5x x. 80 80 2 = x 1,5x 3. (ô tô đi trước 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) =. gi¶i pt trªn ®­îc x= 40.. 2 (h) 3. (0,5®iÓm ). Vậy vận tốc của người đi xe máy là 40 km/h, vận tốc của người đi xe ô tô là 60 km/h. (0,5®iÓm ). Câu 5: (2,5 điểm) HS vẽ hình, ghi giả thiết đúng được. a/ Tø gi¸c HPAQ lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã 3 gãc vu«ng. B. : : : PAQ = 900; HPA = 900; HQA = 900. E. (0,25 ®iÓm ). b/ Do HP// AC => PBH : ABC =>. P. H Q. AC.BP=AB.PH=>AC.BP=AB.AQ. C. c (0,75 ®iÓm ). A F. §Ò 8 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 1. x 2  7 x  6 2. x 4  2008 x 2  2007 x  2008 Bµi 2: (2®iÓm) Giải phương trình: 18 GiaoAnTieuHoc.com. (0,75 ®iÓm ) PB PH  AB AC. (0,75 ®iÓm ).

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 1. x 2  3x  2  x  1  0 2. 2. 2. 1 1  1  1 2    2. 8  x    4  x 2  2   4  x 2  2   x    x  4  x x  x  x   . Bµi 3: (2®iÓm) 1 1 1 a b c 2. T×m sè d­ trong phÐp chia cña biÓu thøc x  2 x  4 x  6 x  8   2008 cho ®a thøc. 1. CMR với a,b,c,là các số dương ,ta có: (a+b+c)(   )  9 x 2  10 x  21 .. Bµi 4: (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®­êng cao AH (H  BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §­êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m  AB . 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM 3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh:. GB HD  . BC AH  HC. 19 GiaoAnTieuHoc.com.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Bµi 1 1.. C©u. Néi dung. §iÓm 2,0. 1.1. (0,75 ®iÓm) x 2  7 x  6  x 2  x  6 x  6  x x  1  6 x  1. 0.5.  x  1x  6  1.2. 0,5. (1,25 ®iÓm). x 4  2008 x 2  2007 x  2008  x 4  x 2  2007 x 2  2007 x  2007  1.  x  x  1  2007 x  x  1 x  1  x  2007 x  x  1 4. 2. 2. 2. 2. 2. 2.  x  x  1x  x  1 2007 x  x  1 x  x  1x  x  2008  2. 2. 2. 2. 2. 2. 2.1. 0,25 0,25 2,0. x 2  3 x  2  x  1  0 (1) + NÕu x  1 : (1)  x  1  0  x  1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn x  1 ). 2. + NÕu x  1 : (1)  x  4 x  3  0  x  x  3 x  1  0  x  1x  3  0  x  1; x  3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x  1 . 2. 2.2. 0,25. 2. 0,5. 2. 2. 0,5. 2. 1 1  1  1 2    8  x    4  x 2  2   4  x 2  2   x    x  4  (2) x x  x  x    Điều kiện để phương trình có nghiệm: x  0 2 2 1 1   1   1  2   (2)  8  x    4  x 2  2   x 2  2    x     x  4  x x   x   x    . 0,25. 2. 1 1  2 2    8  x    8  x 2  2   x  4   x  4   16 x x     x  0 hay x  8 vµ x  0 . Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x  8. 20 GiaoAnTieuHoc.com. 0,5 0,25.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>