Toán học 11 - Chuyên đề Giới hạn của hàm số

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các định nghĩa: + lim f ( x )  L  ( x n ) : x n  x 0 ; lim x n  x 0  lim f ( x n )  L x x0. + Tương tự ta có các định nghĩa: lim f ( x )  L ; lim f ( x )  L ; lim f ( x )   ; lim f ( x )   x  . x  x0. x  . x  x0. 2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: a) Định lý 1: Nếu các giới hạn: lim f ( x )  L ; lim g( x )  M thì: x  x0. x  x0. +) lim [ f ( x )  g( x )]  lim f ( x )  lim g( x ) x  x0. x  x0. x  x0. + ) lim f ( x ).g( x )  lim f ( x ). lim g( x ) x  x0. x  x0. x  x0. f ( x) f ( x ) xlim  x0  (với lim g( x )  M  0 ) x  x0 g( x ) x  x0 lim g( x ). +) lim. x  x0. +) lim f ( x )  lim f ( x ) x  x0. x  x0. +) lim 3 f ( x )  3 lim f ( x ) x  x0. x  x0. +) lim f ( x )  x  x0. lim f ( x ) (với f ( x )  0 ). x  x0. b) Định lý 2: (Nguyên lý kẹp giữa) Cho f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm x 0 (có thể trừ g( x )  f ( x )  h( x ); x  K \ x 0  điểm x 0 ). Nếu  thì lim f ( x )  L g( x )  lim h( x )  L x  x0  xlim  x0 x  x0 c) Định lý 3.  lim f ( x )  L  lim f ( x )  lim f ( x )  L x  x0. x  x0. x  x0. d) Định lý 4. Nếu lim f ( x )   thì lim x x0. x x0. 1 0 f ( x). 3) Các giới hạn cơ bản +) lim C  C ; lim C  C ; lim C  C x  x0. x  x0. x  . +) lim x k  x k0 ; lim a.x k  a.x k0 (với a  0) x  x0. x  x0. +) lim x k   ; lim x 2k   ; lim x 2k 1   x  . x  . x  . 1 1  0 ; lim 0 x   x k x   x k. + ) lim. +) lim x 0. 1 1 1 sin x   ; lim 2k   ; lim 2k 1   và lim 1 k x 0 x 0 x x 0 x x x 1 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. II) CÁC DẠNG TOÁN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. ▲DẠNG 1. lim f ( x ) (với f(x) xác định tại x0) x  x0. ◘ Phương pháp: + Nếu f(x) cho bởi một công thức thì lim f ( x )  f ( x 0 ) x  x0. + Nếu f(x) cho bởi đa công thức thì ta tính lim f ( x )  lim f ( x ) ■ x  x0. x  x0. ►BÀI 1.1. Tính các giới hạn sau: 1) lim (2x 3  3 x  1). x3  x  1 x  1 3) lim 2 x  3 x  3 x 2) lim( x  7  x  2) 2 x  5  5.3 x  2  1 x 2 4) lim x  1 x3  x 4  3x 2 ...khi..x  2 ►BÀI 1.2. Cho hàm số sau: f ( x )   3 x ...khi..x  2 Tính lim f ( x ) ; lim  f ( x ) ; lim  f ( x ) . x  2. x  2. x  2.  x cos x...khi..x  0  2  x ►BÀI 1.3. Cho hàm số sau: f ( x )   ...khi..0  x  1 1  x  x 3 .......khi..x  1 a) Tính lim f ( x ) b) Tính lim f ( x ) x 0. x 1. ▲DẠNG 2. lim f ( x ).g( x )  L  ( ) với L  0 x  x0. ◘ Phương pháp: lim f ( x )  L. lim g( x )  . x  x0. L>0 L>0 L<0 L<0 ►BÀI 2.1. Tính các giới hạn sau:  1 2x  1  1) lim . 2 x 1 ( x  1) 2x  3  . x . 3. 3x  2x.    .  3 4x 2) lim .  2 x 2 ( x  2 ) 4x  4) lim (  x 2  3 x  5) x . 6) lim ( x k  x k 1  ..  x  1) , k N*. x . 7) lim. x  x0.    .  1 6x 3) lim  .  3 x 3 ( x  3 ) 7x  5) lim (2x 3  5 x 2  1) 2. lim f ( x ).g( x ). x  x0. x . 3. 8) lim. x . 2 Lop11.com. 2x 2  3x  4.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. 9) lim. x  3. 1. 10) lim. x . 2x 3  x 2. f (x) L     với L  0 x x 0 g( x ) 0  ◘ Phương pháp: lim f ( x )  L lim g( x )  0. 2 2x 4  x 2  1. ▲DẠNG 3. lim. x  x0. x x0. f (x) x x 0 g( x )     lim. L>0 g(x) > 0 L>0 g(x) < 0 L<0 g(x) > 0 L<0 g(x) < 0 ►BÀI 3.1. Tính các giới hạn sau: x2  x  3  x 2  2x  3 1) lim 2) lim x 3 x 3 x 3 x3 2x  1 4x  5 3) lim 4) lim 2 7 x 2 ( x  2) x 1 ( x  1) 3x  1 x 1 5) lim 6) lim x 2 ( x  2)( x 3  8) x 3 ( x  3 )( x 2  4 x  3 )  2x  3 7) lim x 1 x  1  2 1  x f (x)   ▲DẠNG 4. lim  x x 0 g( x )     ◘ Phương pháp: + Chia cả tử và mẫu cho xk (với k thích hợp) 1 1 + Áp dụng lim k  0 ; lim k  0 ■ x   x x   x + Chú ý:. A B  A 2B với A  0; B  0 A B   A 2B với A  0; B  0 ►BÀI 4.1. Tính các giới hạn sau: 3x 2  2x  1 1) lim x   2 x 2  3 x  5 5x 4  x 2  x 3) lim x  10 x 5  3 x  1 x 4  x 2  3x 5) lim x  ( x 3  1)(3x  1).  4 x 3  2x  9 2) lim x  x2  x  1 (2x  5)(1  x )2 4) lim x  3x 3  x  1 2x  1 6) lim x. x  4x 3  x 2  3 3. Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. (2x  1) x 2  3 8) lim x  x  5x 2 x  4x 2  x  1 10) lim x   2  3x 4 x  x  1  2x 2 12) lim x   x2  2. x 1 7) lim (1  4 x ). 3 x  x  x2  1 9) lim (1  x ). x . 2x  1 x x2 3. x 6  2x  3 x 2 11) lim x  2x 2  1 f (x) 0  ▲DẠNG 5. lim   x x 0 g( x ) 0  ◘ Phương pháp: + Phân tích tử và mẫu về dạng tích để rút gọn thừa số chung + Nhân thêm đại lượng liên hợp với A  B và 3 A  3 B ■ ►BÀI 5.1. Tính các giới hạn sau: x4  4 x 3  27 2) lim 1) lim x  2 x 2  ( 2  1)x  x 3 18  2x 2 2. . x 4  2x 2  8 3) lim 3 x 2 x  x 2  4 x  4 27  x 3 5) lim x 3 3x x 1 x 7) lim x 1 x  1  2 1  x ►BÀI 5.2. Tính các giới hạn sau: x32 1) lim x 1 x2  1 1 x  1 x 2 3) lim [ĐHĐĐ.00] x 0 1 x  1 x 3x  2  2 5) lim 2 x 2 x  7 x  18 x 1 x 7) lim x 1 x  1  2 1  x ►BÀI 5.3. Tính các giới hạn sau: 3 x5 2 1) lim x 3 x2  9 3 x 1 3) lim x 1 4x  3  1. . . . x 3 x 3 6  2 x x3  8 6) lim 2 x 2 2 x  x x3  3 3 7) lim x  3 3  x2 4) lim. x2 2 x 2 x7 3 x 2  2 x  6  x 2  2x  6 4) lim x 3 x 2  4x  3 x3  8 6) lim 2 x 2 2 x  x x2  x  2  1 x 8) lim x  1 x4  x 2) lim. x  3 2  3x 2) lim x  2 x 2  2x 1  2x  3 1  3 x 4) lim [ĐHTL.2001] x 0 x2. 2x  1  3 x 2  1 5) lim [ĐHQG.01] x 0 x 4 Lop11.com. 5  x  3 x2  7 6) lim [ĐHTCKT.01] x 1 x2  1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 4 2x  1  5 x  2 x  7  5  x2 8) lim [ĐHSPII.00] 7) lim [ĐHSPHN.01] x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 x  3 8  x 3  x  2x  7  1 9) lim [ĐHQG.97] 10) lim x 0 x 1 x x 1 3 3 4 x  1 8x  3  1 x3  9x 5 11) lim [ĐHQG.97] 12) lim x 1 x 0 x 1 x ▲DẠNG 6. lim f ( x ).g( x )  0  (  ). 3. x x 0. ◘ Phương pháp:. f (x) 0    xx0 xx0 1 0  g( x ) g( x )   + Ta viết lim f ( x ).g( x )  lim  ■ x x0 x x0 1     f (x) ►BÀI 6.1. Tính các giới hạn sau: 1  1 1 x 2) lim   1) lim ( x  3) 2 x 5 x 5  ( x  5) 3 x 3  x 9 2x  1 2x  3  3) lim 3 x 2  x  1 4) lim x 2  4x  3 2 2 x   x  5 x 2  1 x . x 3 ▲DẠNG 7. lim f ( x )  g( x )       + Ta viết lim f ( x ).g( x )  lim. x x0. ◘ Phương pháp:. L  + Rút gọn tổng [f(x) + g(x)] để đưa về dạng L.(  ) hoặc dạng   ■ 0  + Chú ý: A B  A 2B với A  0; B  0. A B   A 2B với A  0; B  0 ►BÀI 7.1. Tính các giới hạn sau: 3   1 1) lim   3  x 1  x  1 x  1 3) lim x 2  3  2x  1.  5) lim  5x. . x  . x  . 1 1   2) lim  2  2 x 3  x  4 x  3 x  5 x  6 . 3.  4  x 2 .3 1  8x 3. 4) lim. x  . . x. 2. .  x  1  3x  1. 7  6) lim 3 64 x 3  3x  2x   x   x . 1 3  7) lim   2  x 0 x x  . 5 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. ▲DẠNG 8. lim f ( x )  g( x )       x x0. ◘ Phương pháp: + Nhân thêm đại lượng liên hợp để đưa về dạng quen thuộc ■ ►BÀI 8.1. Tính các giới hạn sau:.  x  x  3  x 3) lim  3 x  x  4  x 3  5) lim  x  5 x  x  8x  7) lim x  x  1  x  2. 1) lim. 2) lim. x  . x  . 2. 3. 3. 2. .  x  1  x2  x  1.  5x  x  4  x 5  lim  x  x  x  2. x . 3. 6). x  . 2 3. 2. 4) lim. x  . 3. x. 3. 2. 3. x  . 3. x  . sin x  1 (giới hạn của các hàm số lượng giác) x 0 x ◘ Phương pháp: + Sử dụng các công thức lượng giác: 1  cos a  2 sin2 a ,… để đưa về giới hạn sin x sin f ( x ) dạng: lim  1 hoặc lim 1 ■ x 0 f ( x )0 x f (x) ►BÀI 9.1. Tính các giới hạn sau: sin 5 x sin 3x 2) lim 1) lim x  0 sin 3 x x 0 x tan 3 x 1  cos 5x 3) lim 4) lim x  0 sin 4 x x 0 x2 cos x  cos 3x cos x  cos 5 x 6) lim 5) lim 2 x 0 x 0 sin2 x x tan x  sin x 1  cos x cos 2x 7) lim 8) lim 3 x 0 x 0 x x2 1  cos x cos 2x cos 3 x 1  cos x cos 2x... cos nx 9) lim 10) lim ; n  N* 2 2 x 0 x 0 x x 1  sin x  cos x 1  cos 7x 11) lim [CĐBN.98] 12) lim [ĐHĐĐ.00] x  0 1  sin x  cos x x  0 sin2 11x x3  1 13) lim x  1 sin( x  1) ►BÀI 9.2. Tính các giới hạn sau: cos 2x  1 1  cos x 2) lim 1) lim x 0 x 0 1 x2  1 x2 1  cos x 2  1  cos x 3) lim [ĐHQG.96] 2 4) lim [CĐBN.99] x 0 x 0 1 1 x x2 ▲DẠNG 9. lim. . . 6 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. 1  x 2  cos x 5) lim [ĐHTM.99] x 0 x2 1  tan x  1  sin x 7) lim x 0 x3. cos 2x  2x  1  x x 0 x2 2x  1  3 x 2  1 8) lim [ĐHLN.00] x 0 sin x 1  3 cos 2x 2x 2  1  3 3x 2  1 10) lim 9) lim x 0 x 0 x2 1  cos x 1  cos x. cos 2x 1  cos x .3 cos 2x 11) lim 12) lim x 0 x 0 x2 x2 x2 1  cos( x 2 ) 13) lim 14) lim x  0 1  x sin x  cos x x 0 1  cos x ►BÀI 9.3. Tính các giới hạn sau (bằng phương pháp đổi biến)   1 2) lim   x  tan x 1) lim x  3  sin  x   x  2  x 2 6) lim. 2  2 cos x    x 4 sin x   4  sin 3x 6) lim    x 3 cos x   6 .    3) lim tan 2x tan  x   x  4  4. 4) lim.  1  5) lim   tan x   x   cos x  2.   cos cos x  2  7)* lim x 0 costan x  cos 2  cos 2x 9)* lim x  1 x2  x 3 sin x  4 cos x 11) lim x   x2  x  1. 1  cos x cos 2x .3 cos 3 x x 0 x2. 8)* lim. x 1 x2  2 10) lim 2 . sin x   x  x  1 x x  sin x 12) lim [HVBCVT.99] x   x  sin x. ======================================================. 7 Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>