Tiểu luận giải tích 3 Dãy số trong không gian Rn

A.MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Tốn học là mơn khoa học tự nhiên, có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và
ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Tốn học có nhiều phân mơn như Giải tích,
Đại số, Hình học…; mỗi mơn giữ một vai trị và một nhiệm vụ riêng, Giải tích
cũng vậy, có nhiệm vụ cung cấp những kiến thức quan trọng về hàm số, giới hạn
tích phân… Trong đó, dãy số và giới hạn của dãy số là một phần quan trọng của bộ
môn giải tích. Lý thuyết và các bài tốn giới hạn của dãy số thực đã được đề cập ở
hầu hết các giáo trình cơ bản về giải tích, và cũng đã được học ở Giải tích 1. Ở giải
tích 3 này, dãy số trong

là một kiến thức mới, việc nắm và hiểu sâu sắc lý

thuyết và làm thành thạo các bài tập có mối quan hệ mật thiết. Và hơn hết nắm rõ
dãy số trong không gian

sẽ giúp em hiểu và học tốt ở các phần học tiếp theo như

hàm số nhiều biến, giới hạn hàm số nhiều biến... Chính vì vậy nên em chọn đề tài:
“Dãy số trong khơng gian

” để hiểu và biết thêm nhiều kiến thức phục vụ cho

chương trình Giải tích 3 này.
2. Mục đích nghiên cứu:
Nắm và hiểu rõ kiến thức có liên quan đến dãy số và giới hạn của dãy số trong
, tìm giới hạn, chứng minh dãy số có giới hạn.
Đưa ra những bài tập khác nhau có liên quan đến giới hạn để có thể hiểu và
giải quyết các bài tập tương tự.
Nhờ khái niệm về giới hạn con người có thể nghiên cứu các vấn đề liên quan
đến sự vô hạn.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng:


Định nghĩa dãy số, giới hạn dãy số trong
Các tính chất dãy số trong

mà ở đây là dãy trong

.

, ở đây là dãy trong

Các dạng bài tập liên quan đến dãy trong
Phạm vi:
Kiến thức về dãy số trong
4. Phương pháp nghiên cứu:
Đọc tài liệu
Tổng hợp lý thuyết
Tham khảo ý kiến chuyên gia
5. Cấu trúc bài tiểu luận :
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của bài tiểu luận gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Chương 2: Các dạng bài tập liên quan


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1 Dãy số trong

:

1.1.1 Định nghĩa :
Ánh xạ u:

:
u

u(n) =

được gọi là dãy số trong
Ta thường kí hiệu:

để chỉ một dãy số trong

kí hiệu trên ta có thể dùng kí hiệu
, và dãy trong

hoặc

. Ngồi cách

để chỉ một dãy số trong

được viết:

1.1.2 Định nghĩa giới hạn dãy số :
Cho dãy

, dãy
nếu

Kí hiệu:

Nếu

hay

được gọi là có giới hạn là
:

thì

khi k

có giới hạn là a thì ta nói dãy hội tụ về a.

a


Ta nói dãy

khơng có giới hạn nếu nó khơng hội tụ nghĩa là:
,

:

Vậy dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ, dãy số khơng có giới
hạn hoặc dần tới vô cùng khi k

được gọi là dãy phân kỳ.

1.1.3 Tính chất dãy hội tụ:
Các định lý
Định lý 1: Nếu dãy

có giới hạn thì giới hạn là duy nhất.

Thật vậy, giả sử dãy
Xét d(

có 2 giới hạn là

) ta thấy : 0 d(

Vì

nên d(

)=0

Định lý 2:
Dãy

=(

khi

)
khi k

hội tụ tới a = (

khi và chỉ

.

Chứng minh:
Vì d(a,
Nên

=

=
=0

Do đó

=0
=

,

.
.

1.1.4 Nguyên lý Bolzano-Weierstrass
Mọi dãy bị chặn trong

đều có chứa một dãy con hội tụ.

Chứng minh:
Giả sử

là dãy bị chặn trong
,

),k=1,2,3,….

Khi đó với mỗi i= 1,2,…,n dãy (

) là dãy bị chặn trong

Do đó tồn tại dãy con (

) của (

Lấy dãy con (

)

Vì (

trong đó

) của (

) bị chặn nên (

) bị chặn

Do đó tồn tại dãy con (

Khi đó

) sao cho

) của (

) sao cho

=(

Tiếp tục lập luận như trên, ta tìm được dãy con
(

) của (

) sao cho

và tìm được dãy con

,

)

) của (

) sao cho

1.1.5 Tiêu chuẩn Cauchy :

Định nghĩa:
Dãy

trong

được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu
nghĩa là

,

=

sao cho

.


Nhận xét:

Từ tiêu chuẩn Cauchy suy ra : dãy

trong

khơng có giới hạn hữu

hạn khi nó thỏa mãn điều kiện phủ định của điều kiện cauchy :
,

=

sao cho

, thì :

.

Từ định nghĩa ta thấy: Mọi dãy hội tụ đều là dãy cơ bản .
Thật vậy, giả sử dãy

trong

Khi đó

,

và

. Từ đó

(với k,l

=

hội tụ tới a

sao cho

,ta có

).

Tuy nhiên điều ngược lại khơng đúng.


Định lý: Dãy hội tụ khi chỉ khi là dãy cơ bản.

Chứng minh:

=


+Ắt có: Giả sử dãy

trong

là dãy hội tụ thì

là dãy hội tụ trong R, khi đó

cũng

là dãy cơ bản.Vậy

là dãy cơ

bản.
+Điều kiện đủ: Nếu

là dãy cơ bản trong

là những dãy cơ bản trong
Thật vậy, do

thì

cũng

.

là dãy cơ bản trong

nên

,

=

sao cho

.

nghĩa là

Suy ra

tức các dãy

là các dãy cơ bản

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy (trong R) thì

đều là dãy hội tụ .Vậy

là dãy hội tụ .
Vậy dãy

hội tụ theo cauchy trong
hội tụ theo Cauchy trong

.

khi và chỉ khi các dãy


 Xét trong

các khái niệm trên được viết lại

1.2 Dãy số trong

:

1.2.1 Định nghĩa:
Ánh xạ u:

:
u

u(n)

được gọi là dãy số trong
Kí hiệu:

với

Và dãy trong

được viết

Ngồi cách kí hiệu trên ta cịn có thể kí hiệu:
dãy trong

hoặc

,

được viết:

Ví dụ:
=

=

=
=
1.2.2 Định nghĩa giới hạn dãy số :
Cho dãy

nếu
Kí hiệu:

, dãy
:

được gọi là có giới hạn là a

thì
hay

khi k


Nếu

có giới hạn là a thì ta nói dãy hội tụ về a.

Ta nói dãy

khơng có giới hạn nếu nó khơng hội tụ nghĩa là:

,

:

Vậy dãy số có giới hạn hữu hạn dược gọi là dãy hội tụ, dãy số khơng có giới
hạn hoặc dần tới vơ cùng khi k

được gọi là dãy phân kỳ.

1.2.3 Tính chất dãy hội tụ:
Các định lý
Định lý 1.1:Dãy

hội tụ về

Chứng minh:
Giả sử

,

Vì

=

=
(k=

:
Vì

)

(k=

:

)
thì

=
=

=

thì
=

Suy ra 0

và

+


Định lý 2.1: Dãy
khi

=(

)

khi k

hội tụ tới a = (

khi và chỉ

nghĩa là :

=(
Chứng minh:
Từ

suy ra d(

Khi đó

=

khi k

bất kỳ ,từ

suy ra

và

nên

và

Ngược lại, nếu

Thì

ε > 0 cho trước

<

với k

<

với k

Đặt N( ) = Max(

(

) ta có:

),

(

) sao cho:

khi k


d(

)=

<

Vậy

=

khi k

Như vậy việc khảo sát sự hội tụ của dãy điểm trong

được đưa về khảo sát

sự hội tụ của hai dãy số thực là dãy các hoành độ và dãy các tung độ.
Ví dụ:
=(

Vì:

)

=0

=

= 1 vì khi k

Vậy

0

= (0,1)

1.2.4 Nguyên lý Bolzano-Weierstrass
Mọi dãy bị chặn trong

đều có chứa một dãy con hội tụ.

Chứng minh:
Giả sử

là dãy bị chặn trong
,

trong đó

), k=1,2,…

Khi đó với mỗi i= 1,2 dãy (
Do đó tồn tại dãy con (

) là dãy bị chặn trong

) của (

) sao cho


Lấy dãy con (
Vì (

) của (

) bị chặn nên (

)
) bị chặn

Do đó tồn tại dãy con (

) của (

Khi đó

) sao cho

=(

1.2.5 Tiêu chuẩn Cauchy
Định nghĩa: Gọi dãy

trong

với

=

hội tụ tới a=(

) theo

Cauchy thỏa điều kiện :
,

=

sao cho

Ta có thể gọi dãy
kiện :

,

=

thì :

.

là dãy trong

=

và hội tụ theo cauchy theo điều

sao cho

thì

Định lý: Dãy hội tụ khi chỉ khi là dãy Cauchy .
Ta nhận thấy :
Nếu dãy
Vì

là dãy cơ bản trong

),

1,2

thì

là 2 dãy cơ bản trong

.


Đảo lại, nếu

là dãy cơ bản trong

Vì

thì

là dãy cơ bản trong

.

)=

max
Vậy dãy

trong

hội tụ theo Cauchy khi chỉ khi

theo Cauchy trong

.

1.3 Dãy số trong

:

1.3.1 Định nghĩa dãy số:
Ánh xạ u:

:

u

u(n)

được gọi là dãy số trong

.

Kí hiệu:

với

Và dãy số được viết:

=

Ngồi cách kí hiệu trên ta cịn có thể kí hiệu:
Dãy trong

được viết:

Ví dụ:
=

=
=

hoặc

là 2 dãy hội tụ


=
1.3.2 Định nghĩa giới hạn dãy số:
Cho dãy

, dãy

nếu

:

thì

Kí hiệu:

Nếu

dược gọi là có giới hạn là a

hay

khi k

có giới hạn là a thì ta nói dãy hội tụ về a.

Ta nói dãy

khơng có giới hạn nếu nó khơng hội tụ nghĩa là:
,

:

Vậy dãy số có giới hạn hữu hạn dược gọi là dãy hội tụ, dãy số khơng có giới
hạn hoặc dần tới vô cùng khi k

được gọi là dãy phân kỳ.

1.3.3 Tính chất dãy hội tụ
Các định lý
Định lý 1.2: Nếu dãy
Định lý 2.2: Dãy
chỉ khi

=(

khi k

)

hội tụ tới a = (
nghĩa là:

=(

Chứng minh:

hội tụ về
khi và


Từ

d(

suy ra

=

khi đó

bất kỳ, từ

<

Suy ra

Thì với

Đặt N(

d(
Vậy

cho trước

<

với k

<

với k

<

với k

= Max(

=

sao cho:

ta có:

<
khi k

=


Ví dụ:
=(

)

Vì:

Vậy

=(

)

1.3.4 Ngun lý Bolzano-Weierstrass
Mọi dãy bị chặn trong

đều có chứa một dãy con hội tụ

Chứng minh:
Giả sử

là dãy bị chặn trong
,

trong đó

),k=1,2,3,….

Khi đó với mỗi i= 1,2,3 dãy (

) là dãy bị chặn trong

Do đó tồn tại dãy con (

) của (

Lấy dãy con (

)

) của (

) sao cho


Vì (

) bị chặn nên (

) bị chặn

Do đó tồn tại dãy con (

Khi đó

) của (

) sao cho

=(

Tiếp tục lập luận như trên, ta tìm được dãy con
(

) của (

) sao cho

và tìm được dãy con

,

) của (

) sao cho

)
1.3.5 Tiêu chuẩn Cauchy
Định nghĩa: Gọi dãy
a=(

trong

với

=

hội tụ tới

) theo cauchy thỏa điều kiện:
,

=

sao cho

Ngồi ra ta có thể gọi dãy

thì :
=

là dãy trong

theo điều kiện
,

=

sao cho

thì:

Định lý: Dãy hội tụ khi chi khi là dãy Cauchy.
Tương tự dãy trong

ta nhận thấy:

.
và hội tụ theo cauchy


Dãy

trong

hội tụ theo Cauchy khi chỉ khi

theo Cauchy trong

là 3 dãy hội tụ

.

Thật vậy:
Nếu dãy

là dãy cơ bản trong
),

là 2 dãy cơ bản trong

.Vì

1,2,3

Đảo lại, nếu

. Vì

thì

là dãy cơ bản trong

thì

là dãy cơ bản trong

)=

max
Như vậy, ta thấy việc áp dụng các tính chất của dãy số trong

là khơng tránh

khỏi sau đây là một số tính chất và định lý cơ bản của dãy số trong
1.4 Một số tính chất và định lý cơ bản của dãy trong

Các tính chất:
Mọi dãy hội tụ đều bị chặn
Chứng minh:
Giả sử {un};{un}
Theo định nghĩa giới hạn :

:

Hay

=k

{un} bị chặn.

Nếu dãy {xn} có giới hạn là a thì mọi dãy con của dãy {x n} đều có giới hạn
là a. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng.
Chứng minh:
Giả sử có

ta chứng minh

Vì

nếu

Nếu lấy

thì

thì

.

Vậy dãy {xn} có giới hạn là a thì mọi dãy con của dãy {xn} đều có giới hạn là a.
Và điều ngược lại khơng đúng.
( Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ). Nếu {x n}, {un} là các dãy hội tụ và

có giới hạn tương ứng là a,b thì các dãy số, { x n+ un},{ xn- un}, { xn.un}, {

} cũng

hội tụ và có giới hạn tương ứng là a+b, a-b, a.b, . (Trong trường hợp dãy số
thương ta giả sử un và b khác 0).
Chứng minh:
Giả sử rằng

,

1)
Thật vậy, giả sử rằng
Cho

. Thế thì tồn tại T

,
sao cho:


và

với mọi n >T.

Từ đó,

với mọi n>T nghĩa là
=

2)
3)

Thật vậy,
Ta có

=

Vì dãy
n

(

hội tụ nên bị chặn, nghĩa là tồn tại số M>0 sao cho

với mọi

. Do đó
,

với

.

Cho

, vì

ta có

,

Từ đó
Vậy

,

hội tụ và

nên tồn tại T

sao cho

n >T


4)
Trước hết ta chứng minh rằng

Vì

nên nếu chọn

sẽ tồn tại số T

, sao cho

,

Từ đó, với mọi

ta có:

Vậy với mọi

ta có:

Vì

nên với mọi

,

=
bao giờ cũng tồn tại số T

. Do đó với mọi n max(

<

Điều đó chứng tỏ

= . (*)

ta có:

, sao cho


Áp dụng cơng thức

và (*)

ta có
Cho dãy số {xn} và {un} ,với {xn} {un}.
Nếu

{xn} = a,

{un}= b, thì ta có a

b.


Các định lý:
( Định lý kẹp). Cho dãy số {xn}, {yn}, {un} trong đó {xn}, {un} có cùng giới
hạn hữu hạn a, và N0

: n> N0 ta có :

{xn} {yn} {un}. Khi đó {yn} cũng có giới hạn là a.
( Dãy đơn điệu ). Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm mà bị chặn
dưới thì hội tụ. Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
Chứng minh:
Giả sử {un} tăng; bị chặn trên ta chứng minh
Vì {un} bị chặn trên
sup{un}= a
Ta sẽ chứng minh
Ta có
Lấy

khi đó

Vì dãy {un} tăng nên với n

(1)
thì

(2)


Từ (1)(2) ta có
hay

(đpcm)
( Bolzano Weierstrass). Từ một dãy bị chặn ln có thể trích ra một dãy

con hội tụ.
( Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu
N0

, m,n> N0

< . Dãy số {xn} được gọi là dãy hội tụ khi

và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Chứng minh:
+)Ắt có: Giả sử

cho

Từ đó

. Thế thì với

< ,

n >T và

< ,

cho trước, tồn tại số T

sao

m >T

=

<

= ,

m, n >T
+) Đủ: Theo định lý dãy {xn} hội tụ thì {xn} bị chặn.
Theo bổ đề Bolzano Weirstrass, từ {xn} rút ra một dãy con {

} hội tụ:

Ta chứng minh

cũng chính là giới hạn của dãy {xn}. Thật vậy, cho

ý; vì

nên tồn tại số

Mặt khác, theo giả thiết, tồn tại số tự nhiên
(

nhỏ tùy

sao cho với mọi

sao cho với mọi n >

, ta có

, ta có:

)

Do đó, Với mọi n >N=max(

ta có:
, tức là {xn}hội tụ

và
Nói rằng dãy {xn} là CẤP SỐ CỘNG nếu nó có dạng

Nói rằng dãy {xn} là CẤP SỐ NHÂN nếu nó có dạng

CHƯƠNG 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN
2.1 Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh sự hội tụ, phân kỳ của các dãy
sau:


Bài tập1.
Với

=

=

Với dãy

=

Giải:
Ta có:

=

>

Khi n=p ⇒

>

, =

>0 , n, n, p > n0
⇒ Dãy
Với dãy

phân kỳ .

=

Giải:
Xét

=

Chọn n =p, ⇒
>0 , n, n, p > n0

=

, =