11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (293.6 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 
Câu 1: Chứng minh rằng với a b c, , 0 thì:

4 4 4

 

  

a b c

a b c
abc

Câu 2: Cho 2 số a,b thỏa mãn điều kiện ab0. Chứng minh rằng:

2 2 3 3 6 6

(ab)(a b )(a b )4(a b )
Câu 3: Cho 3 số x y z, , 



0;2



. Chứng minh rằng:

2(x yz)(xy yzzx)4.
Câu 4: Cho 3 số a b c, , 0. Chứng minh rằng:





(1a)(1b)(1c) 1 abc
Câu 5: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:



2 2 2



1 1 1 3





 

       

  

 

a b c a b c

a b b c c a
Câu 6: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

15
2

  

     

  

b b c b c a c a b

b c a c a b a b c

Câu 7: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1

  

    

  

a b b c c a

a b c

a b b c c a

Câu 8: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng:

a b c

1 1 1 64

b c a

   

   

   

   

Câu 9: Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=abc. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

b 2 2 2

  

  

a c b a c

ab bc ca

Câu 10: Chứng minh với mọi x, y, z ta có:





4 4 2 2

x y z  1 2x xy xx 1

Câu 11: Cho a,b,c là độ dài các cạnh tam giác. Chứng minh các bấtđẳng thức
sau:

1. abbcca  a2 b2 c2  2 ab



bcca



2. abc



a b c b



 c a c



 a b



3. 2 a b



2 2 b c2 2c a2 2



a4 b4c4 0

4. a b



c



2b c



a



2c a



b



2 4abca3b3c3
5. a b a2



b



b c b2



c



c a c2



a



0

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. 4 4 4 9
a2bc 2a b ca b 2ca b c
2.

2 2 2

a b c a b c

b c a
b  c a   

Câu 13: Cho x y, là hai số dương thỏa mãn điều kiện x y4. Tìm GTNN
của biểu thức:

2 3

3 4 2

 

 x  y

A

x y .

Câu 14: Tìm GTNN của hàm số 11 4 1 72 ( 0)
2

 

      

 

y x x

x x

Câu 15: Cho x y z, , thỏa mãn 3x 3y 3z 1. Chứng minh rằng:

9 9 9 3 3 3

4
3 3  3 3  3 3 

 

  

  

x y z x y z

x y z y x z z x y

Câu 16: Cho a b c, , là ba số dương thỏa mãn 3
4

a  b c . Chứng minh rằng:
3a3b 3b3c 3c3a 3

Câu 17: Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn xyz 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

1 1 1

3 3

     

  

x y y z z x

xy yz zx

Câu 18: Chứng minh rằng với mọi x y, 0thì

2
9

(1 ) 1  1  256


  

y
x

x y .

Câu 19: Cho hai số thực x0,y0 thỏa mãn (x y xy)  x2y2xy. Tìm
GTLN của biểu thức :

3 3
1 1
 
A

x y

Câu 20: Giả sử x và y là hai số dương và x y1. Tìm GTNN của:

x y

1 x 1 y

 

 

Câu 21: Chứng minh rằng với mọi x thì :

x x x

12 15 20

3 4 5

5 4 3

     

    

     

     

Câu 22: Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

x y z  . Chứng minh

rằng: 1 1 1 1

2xyz x2yz xy2z 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1 1 1

2 2 2

x y z 82

2 2 2

x y z

     

Câu 24: Giả sử x y, là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 5
4
 
x y .

Tìm GTNN của biểu thức: S 4 1
x 4y
 

Câu 25: Cho x y z, , là các số dương. Chứng minh rằng:

4 4 4

3 3 3

x y z 1

(x y z )
yzzx  xy 2  
Câu 26: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

3 3 3

a b c 1

(a b c)
(ab)(bc) (bc)(ca) (ca)(ab) 4  

3 3 3

2 2 2

a b c 1

(a b c)
4

(bc) (ca) (ab)   

3 3 3

2 2 2

a b c 1

(a b c )
a2b b2cc2a 3  
4.

5 5 5

3 3 3

a b c

a b c
bc ca ab  
5.

4 4 4

2 2 2

a b c

bc  ca ab   
6.

5 5 5 3 3 3

3 3 3

a b c a b c

b c a

b  c  a   

Câu 27: Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

bc ca ab

a b a c b c b a c a c b

  

  

Câu 28: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của:

x y z

x 1 y 1 z 1

  

  

Câu 29: Tìm GTLN của biểu thức:

ab c 2 bc a 3 ca b 4
F

abc

    

 với a3; b4; c2

Câu 30: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta có:

2 2

(ab) (ac) 4abc(abc)
Câu 31: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:



2 2 2



2 2 2 2 2 2 3 a b c

a b b c c a

a b b c c a a b c

 

  

  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 32: a b2 b c2 c a2 1 1 1
a b c
ab c bc a ca b

  

    

  

Câu 33: a b b c c a 2 c a b

c a b a b b c a c

 

  

      

  

 

Câu 34: Cho a,b,c>0 và a.b.c=1. Chứng minh rằng:





 



 





3 3 3

a b c 3

1 b 1 c   1 a 1 c   1 a 1 b   4
Câu 35: Cho a,b,c>0 và a+b+c=16. Chứng minh rằng:

3 3 3

1 1 1 729

1 1 1 .

512

a b c

   

   

   

   

Câu 36: Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. Chứng minh rằng:

2 2 2

3 2

14
xyyzzx x y z 
Câu 37: Cho a,b,c>0 và a+b+c≤1. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

9
a 2bc b 2ca  c 2ab 
Câu 38: Cho a,b,c>0 và a.b.c=1. Chứng minh rằng:













a b c 1

.
a b c
ab a 1 bc b 1 ca c 1

  

 

     

Câu 39: Cho biết: a  b1. Chứng minh rằng:





2 1

ab. a b

64
 

Câu 40: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

3
a b c a b c
b c a abc

 
  

Câu 41: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

ab bc ca a b c

a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6
 

  

     

Câu 42: Cho a,b,c>0 và a.b.c=1. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2
a 2b 3b 2c 3c 2a 3
Câu 43: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

















2 2 2

a b b c c a

4 a b c

c a b

  

    

Câu 44: Cho x,y>0 và x+y=1. Chứng minh rằng: 3 1 3 1 4 2 3
xy

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

4 4 2 2























x

y

x

y

x

y

F

y

x

y

x

y

x

Câu 46: Với x, y, z là số thực thỏa mãn

x



y



z



2

. Tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của biểu thức

P



x



y



z



3 xyz

Câu 47: Cho

, ,

0

3

2 z y x

x

y

z







   





. Tìm giá trị nhỏ nhất:

1

4 



 

 











F

x

y

z

x

y

z

Câu 48: Với x, y, z là số dương và

x y z

. .



1

Tìm giá trị nhỏ nhất:





x

y

z

F

x

yz

y

zx

z

xy

Câu 49: Cho



, ,

0

1 x y z

x

y

z







. Tìm giá trị lớn nhất:

2 2 2

1 



x

y

z

P

x

y

z

Câu 50: Cho











, ,

0;1

. .

1 (1)

x y z

x

y

z













. Tìm giá trị nhỏ nhất:

2 2 2





F

x

y

z

Câu 51: Cho x, y là số dương. Chứng minh rằng :



2 2



3 2 2

8 x



y

 

x y



xy

Câu 52: Cho x, y, z là số dương không lớn hơn 1. Chứng minh rằng :













1

1.

3

1

2.

1

3 













x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

Câu 53: Cho



2 2 2

, ,

0

3 x y z

x

y

z







. Tìm giá trị lớn nhất :

27  

 

F

x

y

z

xyz

Câu 54: Cho



, ,

0 . .

2 x y z

x

y

z







 

. Tìm giá trị nhỏ nhất:





F

x

y

z

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

F



xy



yz



zx



(

x



y



z

)

Câu 56: Cho



, ,

0 . .

1 x y z





. Tìm giá trị nhỏ nhất:

2 2 2

3 



x

y

z

F

y

z

x

y

z

Câu 57: Cho

, ,

0

1

2 x y z

x

y

z







   





. Chứng minh rằng:

2 2 2

1

108

5 x



x



y



y



z



z



Câu 58: Cho x,y thuộc R. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:
4 4

1 





x

y

F

x

y

Câu 59: Cho





, , 0; 2

x y z
x y z

   

 



.Chứng minh rằng:







2 2 2

27

1

4

2 x

y

z

x



y



z















Câu 60: Cho



, ,

0

1 x y z

x

y

z





 

. Chứng minh rằng:













1

12 x y



z



y z



x



z x



y



Câu 61: Cho



2 2 2

4 , ,

0 x

y

z

xyz

x y z







. Chứng minh rằng:

x



y

 

z

3

Câu 62: Cho



x y z

, ,



0;1



xy

yz

zx

x

y

z









.Chứng minh rằng:

2 2 2

3 (

)

(

)

(

)

x

y

z

y

 

z

x



z

 

x

y



x



y



z



Câu 63: Cho



3 , ,

0 x

y

z

x y z



 



. Chứng minh rằng:

5 

xyz



2 

xy



yz



zx



Câu 64: Cho



3 , ,

0 x

y

z

x y z



 



. Chứng minh rằng:

2 2 2

4 x



y



z



xyz



Câu 65: Cho



3 , ,

0 x

y

z

x y z







. Chứng minh rằng:

3 3 3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 66: Cho



1 , ,

0 x

y

z

x y z







.Chứng minh rằng:

5 

27 xyz



18(

xy



yz



zx

)

Câu 67: Cho



, ,

0 xyz

xy

yz

zx

x y z







.Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

5 x y z



27 xyz



18(

x



y



z

)

Câu 68: Cho



3 , ,

0 x

y

z

x y z







. Chứng minh rằng:

xy



yz



zx



2 xyz



1

Câu 69: Cho



, ,



0; 2



3 x y z

x

y

z





 

. Chứng minh rằng:

3 3 3

9 x



y



z



Câu 70: Cho



3 , ,

0 x

y

z

x y z







. Chứng minh rằng:



2 2 2



2 2 2

2 x  y z x y z 7

Câu 71: Cho

. .

1 , ,

; 4

2 x y z













 











. Chứng minh rằng:

xy

yz

zx

17

4 



Câu 72: Cho



, , 0

x y z
x y z

  

 . Chứng minh rằng:

1.

16

2.

9

3.9

1 4(

)









 



y

z

xyz

xy

yz

zx

xyz

xy

yz

zx

Câu 73: Cho



, ,

0

3 x y z

xy

yz

zx







. Chứng minh rằng:

3(

x



y



z

)



xyz



10

Câu 74: Cho

,

0;

2 x y

 











. Chứng minh rằng: 2 2

2 2

1

3 x

y



x





Câu 75: Cho



1 ,

0 x

y

z

x y z







. Chứng minh rằng:

2 2 2

1

7 1 .

+

1

2

1

7 2 .

+

1

2 









n n n

x

y

z

y

z

x

y

z

y

z

x

Câu 76: Cho x, y, z nằm trong đoạn

 

1; 2

.Chứng minh rằng:

3 3 3

5 x



y



z



xyz

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 78: Cho



. .

1 ,

0 x y z





. Chứng minh rằng :



x



y



y



z



z



x





4 

x



y

 

z

1 

Câu 79: Cho



6

9 ,

0 x y

y z

z x

x y z







. Chứng minh rằng :

3

6 x



y

 

z

xyz



Câu 80: Cho



2 2 2

, , 0

x y z

x y z

  

 . Chứng minh rằng :

1 .

x y



y z



zx



9 xy z





2.9 xyz

 

1 4

xy



yz



zx

Câu 81: Cho

,

0;

2 x y

 











. Chứng minh rằng :

2 2

1

3 x

y



x





Câu 82: Cho

,

1 ;3

3 x y

 











. Ch

ứng minh rằng :

7

5 x

y

z

x



y



y



z



z



x



Câu 83: Cho x, y, z là số dương chứng minh rằng :

xyz



2(

x



y



z

) 8

 

5(

x



y



z

)

Câu 84: Cho



3 ,

0 x y

y z

z x

x y z







. Chứng minh rằng :

3(

x



y



z

)



xyz



10

Câu 85: Cho



2 2 2

3 ,

0 x

y

z

x y z







. Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2

x



y

 

z

x y



y z



z x

Câu 86: Cho



2 2 2

3 ,

0 x

y

z

x y z







. Chứng minh rằng :

7(

xy



yz



zx

) 12 9





xyz

Câu 87: Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:

7 7 7 4 4 4

3 3 3 3 3 3 3 3 3

a b c a b c

5
a b 3c b c 3a c a 3b

 

  

     

Câu 88: Cho x,y,z>0 .Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

( )

x 2y z  y 2z x z 2x y  x  y z
Câu 89: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz   x y z 2. Chứng
minh rằng: 3

x y z xyz

Câu 90: Cho x, y, z >0 thoả x  y z 1. Chứng minh rằng: 1 4 9 36

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Câu 91: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2y2z2 3. Chứng minh
rằng: xy yz zx 3

z  x  y 

Câu 92: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn 2 2 2

2 1

x y z  xyz .

Chứng minh rằng:

1. 3

xy z .

2. 1 1 1 4(x y z)

x y z   .

Câu 93: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a b c  1. Chứng minh
rằng: 1 1 1 2 22 1

abc
ab bc  ca   

Câu 94: Cho 3 số thực a, b, c. Chứng minh rằng:



ab

 

2 bc



24abc a



bc



Câu 95: Chứng minh với mọi số thực dương a, b, c ta có:



2 2 2



2 2 2 2 2 2 3 a b c

a b b c c a

a b b c c a a b c

 

  

  

    

Câu 96: Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn: a+b+c=1. Chứng minh rằng:
ab 16abc

Câu 97: Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn: a+b+c=4. Chứng minh rằng:
ababc

Câu 98: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

2 2 2

a b b c c a 1 1 1

a b c
ab c bc a ca b

  

    

  

Câu 99: Cho 3 số thực a, b, c thoả: a2 b 2c 22

a b c 2

  





  




. Chứng minh rằng:

4
0 a, b, c

 

Câu 100: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c[0;1] ta có:







2 2 2



1 a  b c 4 a b c

Câu 101: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

a b b c c a c a b

c a b a b b c a c

 

  

      

  

 

Câu 102: Cho 3 số thực dương a, b, c thoả a.b.c=1. Tìm GTNN của:





 



 





3 3 3

a b c

1 b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b

  

     

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

3 3 3

1 1 1

P 1 1 1

a b c

   

      

   

Câu 104: Cho 3 số thực x,y,z>0 và thoả: 1 1 1 4

x  yz  . Tìm GTLN của:

1 1 1

2x y z x 2y z x y 2z

  

     

Câu 105: Cho 3 số thực dương x,y,z thoả: x+y+z=1. Tìm GTNN của;

2 2 2

3 2

xy yz zx x y z

 

   

Câu 106: Cho 3 số thực dương x,y,z thoả: x+y+z=1. Chứng minh rằng:







x2y z 4 1-x 1 y 1 z 

Câu 107: Cho 3 số a,b,c>0 và thoả: a+b+c≤1. Tìm GTNN của:

2 2 2

1 1 1

a 2bc b 2ca c 2ab

  

  

Câu 108: Cho a,b>0 và thoả: a+b=1. Tìm GTNN của: P 1 2 1 2

ab a b
 


Câu 109: Cho a,b>0 và thoả: a.b=1. Tìm GTNN của: Q 1 1 2

a b a b
  


Câu 110: Cho 3 số a,b,c>0 và thoả: a.b.c=1. Chứng minh rằng:













a b c 1

.
a b c
ab a 1 bc b 1 ca c 1

  

 

     

Câu 111: Cho a,b>0 và thoả: a  b 1. Tìm GTLN của: Pab. a



b



2
Câu 112: Cho a,b>0 và thoả: a3b3  a b. Chứng minh: a2b2ab 1.
Câu 113: Cho 3 số a,b,c>0. Chứng minh rằng:

a b c a b c
b c a abc

 
  

Câu 114: Cho a,b,c>0 và thoả: a+b+c=3. Tìm GTLN của:

ab bc ca

a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b

  

     

Câu 115: Cho a,b,c>0 và a.b.c=1. Tìm GTLN của:

2 2 2 2 2 2

1 1 1

a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3

  

     

Câu 116: Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Tìm GTNN của:



a b





b c





c a



c a b

  

  

Câu 117: Cho x,y>0 và thoả: x+y=1. Tìm GTNN của: P 31 3 1
xy
x y

 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 118: Cho x 1
2

  . Tìm GTLN của:

 

f x  2x 5x22 x 3 2x.

Câu 119: Cho x,y,z>0 và thoả mãn: xyz(x+y+z)=1. Tìm GTNN của:
P=(x+y)(x+z).

Câu 120: Cho hai số thực x,y. Tìm GTNN của biểu thức:



 



10 10 2

16 16 2 2

2 2

1 x y 1

Q x y 1 x y .

2 y x 4

 

      

 

Câu 121: Cho 3 số a,b,c>0 và thoả: c2b2a2. Tìm GTNN của:



2 2



2 2 2

1 1 1

P b c a

a b c

 

     

 

Câu 122: Cho phương trình hai ẩn x,y: x22x2xy6y2y2 4 0. Tìm
cặp nghiệm x,y của phương trình thoả mãn tổng S=x+y đạt GTNN, GTNN.
Tính các giá trị đó.

Câu 123: Cho phương trình hai ẩn x,y:

2 2 2 2

2x 2y x y 6xy4x4y 10 0 Tìm cặp nghiệm x,y của phương
trình thoả mãn tích P=x.y đạt GTNN.

Câu 124: Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x5 + x – x + 1 > 0
Câu 125: Cho ba số a ,b ,c  [0;1],chứng minh rằng :

a + b + c – ab – bc – ca  1
Câu 126: Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng :

1
1 + a3 +

1
1 + b3 +

1
1 + c3 ≥

3
1 + abc

Câu 127: Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :
1. a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3

2. a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0
3. (a + b + c)2 9bc với a  b  c
4. a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab
Câu 128: Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng:

a + b + c ≤ 1
2 ( a

b + b2c + c2a + 1
a +

1
b +

1
c )
Câu 129: Chứng minh rằng x (0; /2) ta có:

cosx + sinx + tgx + cotgx + 1
sinx +

1
cosx > 6
Câu 130: Cho 4 số dương a ,b ,c. Chứng minh rằng :

(abc + 1)( 1
a +

1
b +

1
c )(

a
c +

c
b +

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Tìm GTNN của B = x + y + z.

Câu 132: Cho x,y,z là 3 số dương thỏa x+y+z =1.
Tìm GTNN của A=4x2+y2+z2

Câu 133: Cho x,y,z là 3 số thực dương hay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :

1 1 1

2 2 2

x y z

P x y z

yz zx xy

     

         

 

   

Câu 134: Cho x,y.z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3 3

3 3

3 3
3

2 2 2

4( ) 4( )

4( ) 2

p x y y z

x y z

z x

y z x

    

 

     

 

Câu 135: Cho a>0, b>0, c>0 và a2b2c21

.
Tìm GTNN của f a b c 1

abc

   

Câu 136: Cho x>0, y>0. Tìm GTNN của

2
3

3 x x y

f

x y x

  
   


 

Câu 137: Cho 0≤a≤b≤c≤1. Chứng minh: 1 1 (1 )(1 )(1 )
3 a b c

</div>

11





































































 



 















































<sub></sub>



<sub></sub>









<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>F</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>