đề thi học sinh giỏi vòng trường thi ngày 31 tháng 3 năm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (107.74 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
UBND HUYỆN HÒA BÌNH
<b>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b>
<i>(Đề gồm 01 trang)</i>
<b> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG</b>
<b>NĂM HỌC 2018-2019</b>
<b>MƠN : TỐN </b>
<b> LỚP : 8</b>
<b> Thời gian : 120 phút </b>
<i> (Không kể thời gian giao đề)</i>
<b>ĐỀ </b>
<b>Câu 1:( 5 điểm)</b>
a)Chứng minh rằng tích của bốn số ngun dương liên tiếp khơng là số chính
phương
b) Chứng minh: (<i>n</i>3 3<i>n</i>2 2 ) 2010<i>n</i> <i>n</i> chia hết cho 6 với mọi số dương n.
<b>Câu 2:( 5 điểm)</b>
a) Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2<sub> + y</sub>2<sub>.</sub>
b) Giải phương trình:
(x – 1)3<sub> + x</sub>3<sub> + (x+1)</sub>3<sub> = (x+2)</sub>3
<b>Câu 3:( 5 điểm)</b>
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 4
b) Cho a+b+c=1.Chứng minh rằng:
2 2 2 1
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Câu 4:( 5 điểm)</b>
<i> </i>Cho hình vng ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F
sao cho AE = AF. Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC
lần lượt tại hai điểm M, N.
a. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
b. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh
rằng: AC = 2EF.
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
---Hết---UBND HUYỆN HÒA BÌNH
<b>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO</b>
<i>(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)</i>
<b> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG</b>
<b>NĂM HỌC 2018-2019</b>
<b>MÔN : TOÁN </b>
<b> LỚP : 8</b>
<b> Thời gian : 120 phút </b>
<b>HƯỚNG DẪN CHẤM</b>
<b>Câu 1:( 5 điểm)</b>
a)Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính
phương. (2,5đ)
Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là n, n+1;n+2;n+3 0.5điểm
Ta có: <i>A n n</i> ( 1)(<i>n</i>2)(<i>n</i>3) <sub>0.5điểm</sub>
2 2
( 3 )( 3 2)
<i>n</i> <i>n n</i> <i>n</i> <sub>0.5điểm</sub>
2 <sub>3</sub> <sub>1 1</sub>
2 <sub>3</sub> <sub>1 1</sub>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <sub>0.5điểm</sub>
<i><sub>n</sub></i>2 <sub>3</sub><i><sub>n</sub></i> <sub>1</sub>
2 <sub>1</sub>
0.25điểm
Vậy tích của bốn số nguyên dương liên tiếp khơng là số chính phương 0.25điểm
b) (2,5đ)
Ta có
3 2 3 2 2
2 2
2
n 2013n 2n n 3n 2n 2010n (0,5ñ)
=n n 3n 2 2010n (0,5ñ)
=n n+1 n 2 2010n
2
(0,5ñ)
n n+1 n 2 6 (0,25đ)
Vì:
2010n 6
2
3 2
(0,25đ)
Nên : n n+1 n 2 2010n 6 (0,25ñ)
Vậy: n 2013n 2n chia hết cho 6 với mọi số dương n (0,25đ)
<b>Câu 2:( 5 điểm)</b>
a) Ta có: x + y = 2 <sub> y = 2 – x </sub> <sub>(0,25đ)</sub>
Do đó: A = x2<sub> + y</sub>2<sub> = x</sub>2<sub> + (2 – x)</sub>2
= x2<sub> + 4 – 4x + x</sub>2 <sub>(0,5đ)</sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
= 2( x2<sub> – 2x) + 4</sub> <sub>(0,5đ)</sub>
= 2(x – 1)2<sub> + 2 </sub><sub></sub><sub> 2</sub> <sub>(0,5đ)</sub>
Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1. (0,25đ)
b) Giải phương trình:
(x – 1)3<sub> + x</sub>3<sub> + (x + 1)</sub>3<sub> = (x + 2)</sub>3
x3<sub> – 3x</sub>2<sub> + 3x – 1 + x</sub>3<sub> + x</sub>3<sub> + 3x</sub>2<sub> + 3x + 1 = x</sub>3 <sub>+ 6x</sub>2<sub> + 12x + 8 (0,5đ)</sub>
x3<sub> – 3x</sub>2<sub> – 3x – 4 = 0</sub> <sub>(0,5đ)</sub>
x3<sub> – 1 – 3x</sub>2<sub> – 3x – 3 = 0</sub> <sub>(0,5đ)</sub>
(x – 1)(x2<sub> + x + 1) – 3(x</sub>2<sub> + x + 1) = 0</sub> <sub>(0,5đ)</sub>
(x2<sub> + x + 1)(x – 4) = 0</sub> <sub>(0,5đ)</sub>
Vì x2<sub> + x + 1 ≠ 0 nên x – 4 = 0</sub>
Vậy S = {4} (0,5đ)
<b>Câu 3:( 5 điểm)</b>
a) x4 4 (x4 4 4x )2 4x2 1,0đ
=
x
x
2 2
2 <sub>2</sub> <sub>2</sub>
0,5đ
=
x x
x x
2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> <sub>2</sub>
1,0đ
b) Cho a+b+c=1.Chứng minh rằng:
2 2 2 1
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Áp dụng bất đẳng thức côsi của hai số không âm
Ta có
2 2 <sub>2</sub>
<i>a</i> <i>b</i> <i>ab</i> <sub>0.25điểm</sub>
2 2 <sub>2</sub>
<i>b</i> <i>c</i> <i>bc</i> <sub>0.25điểm</sub>
2 2 <sub>2</sub>
<i>a</i> <i>c</i> <i>ac</i> <sub>0.25điểm</sub>
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được
2 2 2
2 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 2<i>ab</i>2<i>ac</i>2<i>bc</i>
0.25điểm
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2(<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> ) (<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> ) <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 2<i>ab</i> 2<i>ac</i> 2<i>bc</i>
<sub>0.5điểm</sub>
2 2 2 2
3(<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> ) (<i>a b c</i>)
<sub>0.25điểm</sub>
2 2 2
3(<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> ) 1
<sub>0.5điểm</sub>
2 2 2 1
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
<b>N</b>
<b>M</b>
<b>H</b>
<b>F</b>
<b>E</b>
<b>D</b> <b>C</b>
<b>B</b>
<b>A</b>
Vẽ hình đúng được 0,5 đ
a) Ta có DAM = ABF <sub>(cùng phụ </sub><sub>BAH</sub> <sub>) 0,25đ</sub>
AB = AD ( gt) 0,25đ
BAF = ADM = 90 0<sub> (ABCD là hình vuông) 0,25đ </sub>
ΔADM = ΔBAF<sub>(g.c.g</sub><sub> ) </sub><b><sub> 0,25đ</sub></b>
=> DM=AF, mà AF = AE (gt) 0,25đ
Nên. AE = DM
Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) 0,25đ
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành 0,25đ
Mặt khác: DAE = 90 0<sub> (gt) </sub> <sub> 0,25đ</sub>
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật
b) Ta có ΔABH ΔFAH <sub> (g.g) 0,25đ </sub>
AB BH
=
AF AH
hay
BC BH
=
AE AH<sub> ( AB=BC, AE=AF) </sub><sub> 0,25đ</sub>
Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH <sub>)</sub> <sub> 0,25đ</sub>
ΔCBH ΔEAH
<sub> (c.g.c)</sub><sub> </sub> <sub> 0,25đ</sub>
2
ΔCBH
ΔEAH
S BC
=
S AE
<sub></sub> <sub></sub>
<sub>, mà </sub>
ΔCBH
ΔEAH
S
= 4
S <sub> (gt) </sub>
2
BC
= 4
AE
<sub> nên BC</sub>2<sub> = (2AE)</sub>2
0,5đ
<sub> BC = 2AE </sub> <sub> E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD </sub><sub> </sub><sub>0,5đ</sub>
Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm
)
0,5đ<i> ( Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)</i>
</div>
<!--links-->
