Gián án Trọn bộ bài tập tự luân - lý 12

Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
phần I
con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ
chuyển động đầu dưới theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng
k = 25 N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một
đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc
310
.
π
(cm/s) theo phương thẳng đứng
hướng lên. Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dương hướng
xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải
a) Tại VTCBO
k∆l = mg
⇒ ∆l =
0,04
25
0,1.10
k
mg
==
(m
+ ω =
π===
5105
1,0
25

m
k
(Rad/s)
+ m dao động điều hoá với phương trình
x = Asin (ωt + ϕ)
Tại thời điểm t = 0 x = 2 cm > 0
v = 10π
3
(cm/s) <0
Ta có hệ 2 = ASin ϕ →Sin ϕ >0
-10π
3
= 5π.Acosϕ →cosϕ <0
Chia 2 vế tgϕ =
3
1−
⇒ ϕ =
6
5
π
(Rad) → A = 4(cm)
Vậy PTDĐ:
x = 4sin (5πt +
6
5
π
) (cm)
b) Tại VTCB lò xo dãn ∆l = 4cm
+ ở thời điểm t = 0, lò xo bị dãn ∆l = 4 + 2 = 6 (cm)
+ ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dãn 2cm lần đầu tiên thì v<0.

∆l
l
0
0(VTCB)
)
x
- ∆l
•
•
•
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
Vậy lúc đó x = -2 (cm)
Ta có: -2 = 4sin (5πt +
6
5
π
)
⇔ sin (5πt +
6
5
π
) =
2
1
−
5πt +
6
5
π
=

6
7
π
⇒ t =
15
1
(s)
( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều)
Bài 2: Cho con lắc lò xo dđđh theo phương thẳng đứng vật nặng có khối
lượng m = 400g, lò xo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ. Tại thời
điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB để lò xo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho
m vận tốc 25cm/s hướng lên ngược chiều dương Ox (g = 10m/s
2
)
a. CM vật dđđh.
b. Viết PTDĐ
Lời giải
a. Tại VTCB k∆l = mg ⇒ k∆l = 0,4.10 = 4 → ∆l =
k
4
(mét)
Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB, lò xo dãn 2,6 cm
→ x = 2,6 - ∆l = 0,026 -
k
4
( mét)
Chiều dương 0x hướng xuống ⇒ x >0
Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0
v = -0,25 m/s <0
Cơ năng toàn phần E =

3
10.25
2
2
1
2
2
1
−
=+ mvkx
(J)
Ta có phương trình:
322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1
−
=+−
⇔ k(2,6.10
-2
-
025,0)
4
2

=
k

⇔ 0,026
2
.k
2
- 0,233k + 16 = 0 ⇔ k = 250 (N/m) TM
=> k > 153,8 N/m
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
k = 94,67 (N/m) loại
Vậy k = 250 N/m → ω =
25
4,0
250
==
m
k
(Rad/s)
Tại t = 0 x = 1cm > 0
v = -25cm/s < 0
1 = Asin ; sinϕ >0 ϕ =
4
3π
Rađ
-25 = 25Acosϕ; cosϕ<0 A =
2
cm
Vậy phương trình điều hoà là x =
)

4
3
t25sin(2
π
+
(cm)
Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lượt
là k
1
= 30 (N/m) và K
2
= 30 (N/m)
được gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lượng m = 120g như hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò
xo tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng
ngang. Bỏ qua ma sát.
1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật
Lời giải
1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dương từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của vật.
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng.
Khi vật ở li độ x thì x = x
1
+ x
2
với x
1
; x
2
là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng dãn hoặc

nén).
+ Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên
x
1
=
1
k
F
−
; x
2
=
2
k
F
−
Vậy x =








+−=−−
2121
11
kk
F

k
F
k
F
Mặt khác F = - kx ⇒
kkk
111
21
=+
L
1
L
2
M
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx
''
→ mx
''
= - k.x hay x
''
= - ωx
2
với ω
2
=
)(
.
21
21

kkm
kk
m
k
+
=
Vật dao động điều hoà theo phương trình
x = Asin (ωt + ϕ)
Vậy vật dao động điều hoà
* Phương trình dao động
ω =
10
)2030(12,0
20.30
)(
.
21
21
=
+
=
+
=
kkm
kk
m
k
(Rad/s)
Khi t = 0 x = 10cm>0
v = 0 cm/s

Ta có hệ 10 = Asinϕ ; sinϕ >0 ϕ =
2
π
0 = ωAcos ; cosϕ = 0 A = 10 (cm)
Vậy phương trình dao động là
x = 10sin (10πt +
2
π
) (cm)
2. Ta coi con lắc được gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx
→ Lực phục hồi cực đại F
max
= +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu
khối lượng m = 250 (g) theo phương thẳng đứng kéo quả cầu xuống dưới
VTCB 3 cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4
2
cm/s theo phương thẳng đứng lên
trên. Bỏ qua ma sát (g = 10m/s
2
;
π
2
= 10).
1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2. Tính F
max
mà hệ lò xo tác dụng lên vật?
Lời giải

1. Chọn trục 0x thẳng đứng hướng xuống gốc 0 tại
VTCB
⇒
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
+ Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng.
+ Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi lò xo.
+ Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò xo cùng độ
cứng và chiều dài và bằng
2
1
lực đàn hồi tổng cộng)
F = 2F
0
⇔ -Kx = -2kx
⇒ K = 2k
+ Tại VTCB:
→
P
+
→
P2
=
→
0
Hay mg - 2k∆l
o
= 0 (1)
+ Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn ∆l = x + ∆l
0
Hợp lực:

→
P
+
→→
= FF2
dh
mg - 2k(∆l
0
+ x) = F (2)
Từ (1) (2) F = -2kx
Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx
''
⇒ x
''
=
x
m
k2
−
→ x = Asin (ωt + ϕ) Vậy vật DĐĐH
+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0
v = - 0,4
2
m/s = - 40
2
(cm/s)
Ta có hệ 3 = A sinϕ ; sinϕ > 0
- 40
2
= 10

2
Acosϕ ; cosϕ < 0
Biên độ A =
5
200
2.40
3
2
2
=+
cm
Ta có hệ 3 = 5sinϕ sinϕ = 0,6
-40
2
= 10
2
.5.cosϕ cos ϕ = -0,8
→ϕ
≈
2,5 Rad
PTDĐ là x = 5sin (10
2
t + 2,5) (cm)
e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật
Cả 2 lò xo coi như một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m
k
0
F
k
0

F
P
+
m
O
•
→ ϕ 143,13
0
→
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
∆l
0
=
05,0
50
10.25,0
==
K
mg
m = 5 (cm)
Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
F
đhmax
=

K (A + ∆l
0
) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)
Bài 5: Một vật có khối lượng m = 100g chiều dài không đáng kể được nối
vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L

1
, L
2
có độ cứng k
1
= 60N/m, k
2
= 40
N/m. Người ta kéo vật đến vị trí sao cho L
1
bị dãn một đoạn
∆
l = 20 (cm) thì
thấy L
2
không dãn, khi nén rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc ban
đầu. Bỏ qua ma sát và khối lượng của lò xo. Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều
dương hướng từ A
→
B,chọn t = 0 là lúc thả vật.
a) CM vật DĐĐH?
b) Viết PTDĐ. Tính chu kì T và năng lượng toàn phần E.
c) Vẽ và tính cường độ các lực do các lò xo tác dụng lên gia cố định tại A,
B ở thời điểm t=
2
T
.
Lời giải
a) CM vật DĐĐH
+ Chọn trục toạ độ như hình vẽ.

+ Khi vật ở VTCB lò xo L
1
dãn ∆l
1
lò xo L
2
dãn ∆l
2
Khi đó vật để L
1
dãn ∆l = 2cm ; L
2
khi nén k
dãn thì ∆l chính là độ biến dạng tổng cộng của vật
ở VTCB.
∆l = ∆l
1
+ ∆l
2
= 20 (cm) (1)
+ Tổng hợp lực bằng 0 :
00
02010201
=+→=+++
→→→→→→→
FFFFNP
Hay + K
1
∆l
1

- k
2
∆l
2
= 0 (2)
B
A
→
01
F
→
02
F
0
+
x
G
x
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
+ Khi vật có li độ x> 0 độ dãn của L
1
là (∆l
1
+ x) cm, L2 là (∆l
2
- x)
Tổng hợp lực
→→→→→
=+++ amFFNP
21

Hay - k
1
(∆l
1
+ x) + k
2
(∆l
2
- x) = mx''
⇔ - (k
1
+ k
2
) x = mx''
⇒ x'' =
2
21
.
ω
−=
+
− x
m
kk
với ω2 =
m
kk
21
+
−

Vậy x = Asin (ωt + ϕ) (cm) → vật DĐĐH
b) ω =
π
10
1,0
4060
21
=
+
=
+
m
kk
(Rad/s)
+ Biên độ dao động A = ∆l
2
(vì A =
2
2
2
2
0
lxx
∆
==+
ω
)
Giải (1), (2) ∆l
1
+ ∆l

2
= 20 ∆l
1
= 8cm
60∆l
1
+ 400∆l
2
= 0 ∆l
2
= 12cm -> A = 12cm
t = 0 -> x
0
= Asin ϕ = A
v
0
= ωAcosϕ = 0
Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10πt +
2
π
) (cm)
Chu kì dao động T =
2,0
10
22
==
π
π
ω
π

(s)
Năng lượng
E =
72,0)012.(,100.
2
1
2
1
22
==KA
(J)
c) Vẽ và tính cường độ các lực
+ Khi t =
1,0
2
=
T
(s) thì x = 12 sin (10.0,1Π +
2
π
) = -12 (cm)
→ ϕ =
2
π
→
P
→
0
F
0 (VΠB)

+
x
→
0
T
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
Vì vậy, tại t =
2
π
vật ở biên độ x = - A
Tại vị trí này lò xo l
1
bị nén 1 đoạn A - ∆l
1
= 12 - 8 = 4 (cm)
Lò xo L
2
bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm)
+ Lực tác dụng của lò xo L
1
và L
2
lên A, B lần lượt là
→→
21
,FF
F
1
= 60.0,04 = 2,4 (N)
F

2
= 40.0,24 = 0,6 (N) (
→→
21
,FF
cùng chiều dương)
Bài 6: Cho hai cơ hệ được bố trí như các
hình vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật
nặng có khối lượng m, m = 100g; bỏ qua ma
sát khối lượng của r
2
và lò xo dây treo k dãn.
Khối lượng k đáng kể.
1. Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật
ở VTCB.
2. Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng
rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh. Tính chu kì và biên độ dao động của vật.
Lời giải
1) Hình a
+ Chọn chiều dương ox hướng xuống, gốc 0 tại VTCB
+ Phương trình lực
→→→
=+ 0
00
FT

→→→
=+ 0
00
PT

Chiều lên ox -T
0
+ K∆l = 0
-T
0
+ mg = 0
⇒ T
0
= k∆l = mg = 0,1.10 = 1 ⇒ T
0
= 1N
∆l = 0,05 (m) = 5 (cm)
* Hình b
a
b
→
P
→
0
F
+
x
→
0
T
→
0
T
O
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:

Chọn chiều dương hướng xuống, O là VTCB
Chiếu lên Ox -T
0
+ mg = 0
-k∆l + 2T
0
= 0
⇒ T
0
= mg = 1 (N)
∆l = 10 (cm)
2) Chứng minh vật DĐĐH
Hình a: + Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l → k∆l - mg = 0
+ Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l + x
F = mg - T
T - k(∆l + x) = 0
→ F = mg - k∆l
0
- kx ⇒ F = -kx
áp dụng định luật II N → - kx = mx
''
=
xx
m
k
.
2
ω
−=−
Với ω =

m
k
→ x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà
* Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l →
2
1
k∆l - mg = 0
Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l +
2
x
mg - T = F
2T - k(∆l +
2
x
) = 0
→ F = mg -
2
1
k∆l -
x
k
4
→ F =
x
k
4
−
Hay
x
k

4
−
= mx
''
→ x =
x
m
k
4
−
= - ω
2
x với ω =
m
k
4
x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà
→ →
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
Bài 7: Một vật có khối lượng m = 400g được gắn
trên một lò xo dựng thẳng đứng có độ cứng k = 50
(N/m) đặt m
1
có khối lượng 50 g lên trên m. Kích thích
cho m dao động theo phương thẳng đứng biên độ nhỏ,
bỏ qua lực ma sát và lực cản. Tìm hiên độ dao động lớn
nhất của m, để m
1
không với khối lượng m trong quá
trình dao động (g = 10m/s

2
)
Lời giải
Khi m
1
không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = ω
2
x
Giá trị lớn nhất của gia tốc (a
max
= ω
2
A)
Nếu m
1
rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trường g
Vậy điều kiện để m
1
không rời khỏi m
a
max
< g ⇔ ω
2
A < g ⇒ A<
2
g
ω
+ ω =
m
k

→ ω
2
=
125
4,0
50
=
→ A <
125
10
= 0,08 (m) = 8cm
→ A
max
= 8cm
Bài 8: Cho 1 hệ dao động như hình vẽ, khối
lượng lò xo không đáng kể. k = 50N/m, M =
200g, có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng
ngang.
1) Kéo m ra khỏi VTCB 1 đoạn a = 4cm rồi buông nhẹ. Tính V
TB
của M sau
khi nó đi qũang đường 2cm .
2) Giả sử M đang dao động như câu trên thì có 1 vật m
0
= 50g bắn vào M
theo phương ngang với vận tốc
o
v
. Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy ra
tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất. Tìm độ lớn

o
v
, biết rằng sau khi va chạm
m
0
gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A
'
= 4
2
cm.
m
1
m
M
k
o
v
m
0
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
Lời giải
1 - Tính vận tốc TB
Một dđđh có thể coi là hình chiếu của chuyển
động tròn đều của 1 chất điểm như hình vẽ. Khoảng
thời gian vật đi từ x = 4 đến x = 2 (cm) bằng khoảng
thời gian vật chuyển động tròn đều theo cung M
1
M
2
t =

ω
π
ω
3
=
a
với ω =
2,0
50
=
m
k
= 5
π
(Rad/s)
-> t =
15
1
5
1
.
3
=
π
π
(s)
V
TB
=
)(30 scm

t
S
=
2 - Theo câu 1, M có li độ x
0
= a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn nhất
+ Ngay sau va chạm, hệ (M + m
0
) có vận tốc v
ĐLBT động lượng: (M + m
0
) v = m
0
.v
o
(1)
+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4
2
cm và tần số góc
ω
'
=
05,02,0
50
0
+
=
+ mM
k
= 10

2
(Rad/s)
Lại có v =
2
0
2''
)( xA
−
ω

= 40
2
(m/s)
Từ (1) | v
0
| =
05,0
240).5,02,0(
)(
0
+
=
+
m
vmM
= 200
2
(cm/s)

Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lượng m = 0,4kg, chiều cao h =

10cm tiết diện s = 50cm
2
được treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m. Khi
cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lượng riêng
M
1
+ ω
2
4
M
2
α
•
•
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
D = 10
3
(kg/m
3
) Kéo vật khỏi VTCB theo phương thẳng đứng xuống dưới 1
đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
1. XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.
2. CM vật dđđh, tính T
3. Tính cơ năng E
Lời giải
1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB
+ Chọn trục ox như hình vẽ
ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong chất lỏng
có chiều cao h
0

, lò xo bị dãn 1 đoạn ∆l
0

Phương trình lực : mg- F
0A
- k∆l
0
= 0
→ ∆l
0
=
k
Fmg
A0
−
(1)
Với F
0A
= Sh
0
Dg
→ ∆l
0
=
150
10.10.05,0.10.5010.4,0
34−
−
= 0,01 (m) = 1 (cm)
2) Chứng minh vật dđđh

+ Khi vật có li độ x thì lò xo dãn ∆l
0
+ x
Kéo vật xuống dưới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động
→ x
max
= 4(cm) <
2
h
→ luôn có
A
F
tác dụng vào vật khi nó dao động
dhA
FFPF
++=
→
F
= mg - S(h
0
+ x) Dg - k(∆l
0
+ x)
= mg - Sh
0
Dg- k∆l
0
- SDgx - kx
A0
F

dh0
F
0
+x
P
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
→F = - (SDg + k)x
Theo định luật 2 N: F = ma = mx
''
→ mx
''
= - (SDg + k)x ⇒ x
''
= ω
2
.x với ω
2
=
m
KSDg +
→ x = Asin (ωt + ϕ) vậy vật dao động điều hoà
+ Chu kì dao động T =
15010.10.10.50
4,0
22
2
34
+
=
+

=
−
ππ
ω
π
KSDg
m
= 0,28 (s)
3. Cơ năng E
Coi vật dao động vật được gắn vào lò xo có độ cứng k
'
= SDg+ K = 200 N/m
Biên độ dao động A = 0,04 (cm)
→ Cơ năng: E =
16,0)04,0.(200.
2
1
2
1
22'
==Ak
(J)
Bài 10: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k =
80 N/m. Một đầu của lò xo được chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc
theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt
phẳng nang là M = 0,1 (g = 10m/s
2
).
1. Tìm chiều dài quãng đường mà vật đi được cho tới lúc dùng.
2. CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.

3. Tính thời gain dao động của vật.
Lời giải
1 - Chiều dài quãng đường đo được khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến lúc
dừng lại ở đây cơ năng E =
== SFKA
ms
.
2
1
2
µ.mg.S
→ S =
m
mgM
KA
(2
10.02.,1,0.2
1,0.80
.
.
2
1
22
==
)
2 - Độ giảm biên độ
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên độ lớn A
1
sau

2
1
chu kì vật đến VT
biên độ lớn A
2
. Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đường A
1
+ A
2
2
1
KA
2
1
-
2
1
KA
2
2
= µmg (A
1
+ A
2
) → A
1
- A
2
=
k

mg.2
µ
Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A
3
thì A
2
- A
3
=
k
mg.2
µ
Vậy ∆A =
k
mg.4
µ
= const
3 - Thời gian dao động
Tính ∆A: ∆A =
01,0
80
10.2,0.1,0.4
=
(m) = 1 cm
Số chu kì thực hiện được : n =
10=
A
A
∆
(chu kỳ)

Vậy thời gian dao động là t = n.T = 3,14 (s).
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
Phần II
con lắc đơn
Bài 11:
Hai con lắc đơn chiều dài l
1
, l
2
(l
1
>l
2
) và có chu kì dao động tương ứng
là T
1
; T
2
, tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s
2
. Biết rằng, cũng tại nơi
đó, con lắc có chiều dài l
1
+ l
2
, chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều
dài l
1
- l
2

có chu kì dao động 0,9 (s). Tính T
1
, T
2
, l
1
, l
2
.
Lời giải
+ Con lắc chiều dài l
1
có chu kì T
1
=
g
l
.2
1
π
→ l
1
= g.
4
T
2
2
1
π
(1)

+ Co lắc chiều dài l
2
có chu kì T
2
=
g
l
.2
2
π
→ l
1
= g.
4
T
2
2
2
π
(2)
+ Con lắc chiều dài l
1
+ l
2
có chu kì T
3
= 2Π.
g
ll
21

+
→ l
1
+ l
2
=
81,0
4
10.)8,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 81 cm (3)
+ Con lắc có chiều dài l
1
- l
2
có chu kì T
'
= 2Π.
g
ll
21

−
→ l
1
- l
2
=
2025,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 20,25 cm (4)
Từ (3) (4) l
1
= 0,51 (m) = 51cm
l
2
= 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T
1
= 2Π 42,1
10

51,0
= (s)
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
T
2
= 2Π 1,1
10
3,0
= (s)
Bài 12:
Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo con lắc ra khỏi
VTCB một góc α
0
rồi thả không vận tốc đầu.
1. Lập BT vận tốc tương ứng với li độ góc α suy ra BT vận tốc cực đại.
2. Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc α. Suy tab t lực căng dây cực
đại, cực tiểu.
* áp dụng: l = 1m, m = 100g, α
0
= 6
0
; g = 10(m/s
2
);
π
2
= 10
Lời giải
1. BT vận tốc tương ứng với li độ α
+ Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ năng của

con lắc tại VT li giác bất kì bằng thế năng của con
lắc tại VT biên.
mgh
0
= mgh +
2
1
(mv
2
)
→ v
2
= 2g (h
0
- h)
2
(v
2
= 2gl (1 - cos)
với h
0
= l(1 - cosα)
h = l(1 - cosα)
→ v
2
= 2gl (cosα - cosα
0
)
Vậy độ lớn vt : | v | =
)cos(cosgl2

0
α−α
Vì cosα = 1- 2sin
2

2
α
khi α<< →cosα =
2
1
2
α
−
I
α
h
0
- h
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
Tương tự cos α
0
=
2
1
2
0
α
−
| v | =
)(gl

22
0
α−α
+ Vận tốc cực đại khi α

= 0, vật ở VTCB 0
| v
max
| =
gl
0
α
+ áp dụng số:
| v
max
|= 6.
33,01.10.
180
=
π
(m/s) = 33cm/s
2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc α
+ Định luật 2 N
maTPF =+=
Chiều lên phương dây treo
F
th
= -mg.cosα +T = m
aht
T = mgcosα + m.

l
v
2
= m (gcosα +
l
v
2
)
v
2
= 2gl (α
2
- α
2
) ta được
T = mg (3cosα - 2 cosα
0
) = mg (α
2
0
-
2
3
α
2
+ 1)
+ Lực căng dây cực đại khi α = 0, vật ở VTCB
T
max
= mg (α

2
0
+ 1)
Thay số
T
max
= 0,1 - 10
01,11
90
1
1
150
6
2
=+=








+







π
(N)
+ Lực căng dây cực tiểu khi α = α
0
, vật ở VT biên
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
T
min
= mg (1 -
2
1
α
2
0
)
Thay số
T
min
= 0,1.10
99,0
150
6
2
1
1
2
=















π
−
(N)
Bài 13:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lượng
m. Khi con lắc đơn đang ở VTCB, người ta truyền cho vật nặng vận tốc ban
đầu v
0
lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ. Lập bt tính vận tốc
của vật nặng và lực căng của dây treo theo li độ góc α.
Xét trường hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu.
Lời giải
* Vận tốc tương ứng với li góc α
+ Định luật lt cơ năng: cơ năng của con lắc VT li giác α
Bằng động năng của con lắc ở VTCB
2
0
2
mv

2
1
mghmv
2
1
=+
→ v
2
= v
2
0
- 2gh
v
2
= v
2
0
- 2gl(1 - cosα)
⇒ | v | =
)cos1(gl2v
2
0
α−−
Khi góc α << thì 1 - cosα = 2sin
2
2
α
=
2
2

α
| v | =
22
0
gl2v α−
I
α
h
l
T
l
0
v
P
l
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
+ Vận tốc cực đại khi α = 0 → | v
max
| = v
0
, vật ở VTCB
Thay số | v
max
| = 1m/s
+ Vận tốc cực tiểu khi α = α
0
v
0
= α
0

gk
→ v
min
= 0
* Lực căng dây
amTPF =+=
⇒ = mgcosα + T = m
aht
→ T = mgcosα + m
l
v
2
= m(gcosα +
l
v
2
)
Thay v
2
ở trên
T = mg
2cos3
gl
v
2
0
−α+









+ Khi α nhỏ: cosα = 1 -2sin
2
2
α

= 1 -
2
2
α
T = mg
)
2
3
1
gl
v
(
2
2
0
α−+
+ Lực căng dây cực đại khi α = 0, con lắc ở VTCB
T
max

= mg +
l
mv
2
0
+ Lực căng dây cực tiểu khi α = α
0
(con lắc ở VTCB)
v
0
= α
0
gl
→ α
2
0
=
gl
v
2
0
→T
min
= mg
)
gl2
v
1(mg)
gl
v

.
2
3
1
gl
v
(
2
0
2
0
2
0
−=−+
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
áp dụng
T
max
= 0,1.10 +
)N(1,1
1
1.1,0
2
=
T
min
= 0,1 . 10
)
1.10.2
1

1(
2
−
= 0,95 (N)
Bài 14:
Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội. Đồng hồ sẽ chạy nhanh
chậm thế nào khi đưa nó vào TPHCM. Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và
TPHCM lần lượt là 9,7926 m/s
2
9,7867 m/s
2
. Bỏ qua sự ảnh hưởng của nhiệt
độ. Để đồng hồ chỉ đúng giờ tại TPHCM thì phải đ/chỉnh độ cài con lắc như
thế nào?
Lời giải
+ Chu kì của con lắc đồng hồ tại Hà Nội là
T
1
= 2
1
g
l
.π
= 2 (s)
+ Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là
T
2
= 2
1
g

l
.π


0003,1
7867,9
7926,9
g
g
T
T
2
1
2
1
≈==
→T
2
= 1,0003T
1
= 2,0006 (s)
+ Vì T
2
>T=1 nên tại TPHCM đồng hồ chạy chậm trong 1 ngày, khoảng thời gian chạy
chậm là:
∆t = 24.60.60.
26
T
TT
1

21
=
−
(s)
+ Để đồng hồ tại TPHCM cũng chỉ đúng giờ thì chiều dài con lắc phải dài là:
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
→ T
'
2
= 2
2
'
g
l
.π = 2 (s)
VT T
1
= T
'
2
⇒
2
'
g
l
=
2
1
'
2

g
g
l
l
g
l
=⇒
Thay số:
→ l
'
= 1,0006 l
Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lượng là
∆l = l
'
- l = 0,0006l
VT l =
2
2
11
4
T.g
π
nên ∆l = 0,0006.
2
2
11
4
T.g
π
Thay số

∆l = 0,0006.
0006,0
4
4x7926,9
2
=
π
(m) = 0,6 mm
Bài 15:
Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài l = 1(m) và quả cầu nhỏ khối
lượng m = 100 (g), được treo tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 (m/s
2
).
1.Tính chu kỳ dao động nhỏ của con lắc.
2. Cho quả cầu mang điện tích dương q = 2,5.10
-4
tạo ra đường trường
đều có cường độ E = 1000 (v/m).
Hãy xác định phương của dây treo con lắc khi CB và chu kì dao động
nhỏ của con lắc trong các trường hợp.
a) Véctơ
E
hướng thẳng xuống dưới
b) Véctơ
E
có phương nằm ngang.
Lời giải
1 - Chu kì dao động nhỏ của con lắc
Lúc đầu T
0

= 2
8,9
1
.14,3.2
g
l
. ≈π
= 2 (s)
2 - Cho con lắc tích điện dao động trong đtrường đều
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
+ Các lực tác dụng vào con lắc:
gmP =
: Trọng lực
T: lực căng của dây
EqF
d
=
: lực điện trường
+ Coi con lắc dao động trong trường trọng lực hiệu dụng g
'
d
'
EPP +=
= m
'
g
Khi CB dây treo con lắc có phương của
'
P
và chu kì dao động nhỏ được tính theo công

thức:
T
'
= 2
'
g
1
.π
a)
E
thẳng đứng xuống dưới
+ g> 0 nên
d
F
cùng hướng với
E
, tức là thẳng
đứng xuống.
Vậy khi CB, dây trheo vẫn có phương thẳng đứng.
Ta có: P
'
= P + F
đ
⇒ mg
'
= mg + qE
⇒ g
'
= g +
m

qE
+ Chu kì dao động nhỏ của con lắc
T
'
= 2
m
qE
g
1
2
g
1
.
'
+
π=π
Thay số
T
'
= 2.3,14.
1,0
10.10.5,2
8,9
1
34 −−
+
= 1,8 (s)
β
β
β

β
β
β
VTCB
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
b) Trường hợp E nằm ngang
+)
d
E
có phương ⊥ với
P
Khi CB, dây treo lệch góc
δ
so với phương thẳng đứng, theo chiều của lực điện trường.
tg
δ
=
mg
qE
P
F
d
=
→ tg
δ
=
255,0
8,9.1,0
10.10.5,2
34

≈
−
→
δ
~ 14
0
+ Chu kì dao động của con lắc
T
'
= 2
'
g
l
π
Từ hình vẽ:
P
'
=
g
cos
g
g
cos
P
'
⊗>
α
=→
α
Do đó: T

’
= 2
δ=
δ
π cosT
g
cosl
.
0
→ T
'
= T
0
97,114cos2cos
0
≈=δ

(s)
Bài 16:
Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T
0
, tại nơi ga =
10m/s
2
. Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều
trên đường ngang thì dây treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc α
0
= 9
0
a) Hãy giải thích hiện tượng và tính gia tốc a của xe.

b) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, hãy tính chu kì T của con lắc
theo T
0
.
Lời giải
+
δ
T
d
F
'
P
P
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
a) Giải thích hiện tượng:
Trong HQC gắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng của con lắc đơn phải chịu 3
lực tác dụng.
+ Trọng lực
gmP =
+ Lực căng dây T
+ Lực quán tính
0
amF −=
Khi con lắc ở VTCB
0FTP
q
=++
q
F
ngược chiều với

0
a
nên ngược chiều với
0
v
Vậy lực
q
F
làm cho dây treo lệnh 1 góc α về phía ngược với chiều chuyển động của
xe.
tgα =
g
a
mg
ma
P
F
at
==
α<< → tgα
≈
α do đó
a
≈
gα = 10.
9.
180
π
~ 1,57 (m/s
2

)
b) Thiết lập hệ thức giữa T
0
và T
Do có thêm lực quán tính nên coi trọng lực hiệu dungc của con lắc là
'
qt
'
gmFPP =+=
(Coi con lắc dao động trong trường gia tốc ghd = g
'
)
Từ hình vẽ P
'
=
g
cos
g
g
cos
mg
cos
P
'
>
α
=⇒
α
=
α

Chu kì dao động của con lắc khi đó xác định theo công thức
+
δ
F
'
P
P
0
a
0
v
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
T = 2
'
g
l
.π
Lại có T
0
= 2
g
l
.π
⇒
α=
α
== cos
g
cosg
g

g
T
T
'
0
Vậy T = T
0
αcos
Bài 17:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối
lượng m = 0,5kg. Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi VTCB 1 góc α
0
= 6
0
rồi thả
nhẹ cho dao động. Khi dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn
coi như không đổi sau 100 dao động, li độ cực đại của con lắc là α = 3
0
coi chu
kỳ dao động của con lắc như khi không có lực cản.
1. CMR sau mỗi chu kì, li độ góc cực đại của dao động giảm 1 lượng
không đổi.
2. Để duy trì dao động của con lắc cần phải dùng một động cơ nhỏ có ma
sát tối thiểu là len. (g = 10m/s
2
, Π
2
= 10).
Lời giải
1. Chứng minh li giác cực đại sau mỗi chu kì giảm 1 lượng không đổi

+ Lúc đầu, li giác cực đại là α
0
, cơ năng của con lắc là:
E
0
= mgh
0
= mgl(1 - cosα)
1 - cosα = sin
2
2
2
0
α

→
E
0
=
2
0
mgl
2
1
α
+ Sau nửa chu kì đầu tiên vật đến VT biên có li giác cực đại là α
1
, cơ năng của con lắc
là: