Đề cương ôn tập cuối năm lớp 9 - ôn thi vào 10 (môn Toán)

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II </b>

<b>MƠN: TỐN KHỐI 9 </b>

<b>NỘI DUNG ƠN TẬP </b>

<b>A. LÍ THUYẾT</b>
<b>I. ĐẠI SỐ</b>

- Học thuộc các khái niệm: hàm số bậc nhất, bậc hai.

- Học thuộc các đại bước giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình, phương
trình bậc hai.

- Học thuộc công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu gọn

- Học thuộc hệ thức Vi-ét và điều kiện về dấu các nghiệm của phương trình
bậc hai.

<b>II. HÌNH HỌC</b>

- Học thuộc các hệ thức lượng trong tam giác vng, tỉ số lượng giác của góc
nhọn

- Học thuộc các khái niệm: Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây, góc có đỉnh bên trong, bên ngồi đường trịn.

- Học thuộc các định lý về tính chất của các loại góc trên đối với đường tròn.
- Học thuộc các cách chứng minh tứ giác nội tiếp.

- Học thuộc cơng thức tính độ dài cung trịn, đường trịn, diện tích hình quạt

trịn.

- Các khái niệm hình cơng gian, cơng thức tính

S ,S , V

xq tp của hình trụ, hình

lăng trụ, hình chóp, hình nón,…

<b>BÀI TẬP </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Câu 1</b>. Biết x₁  3 và nghiệm của phương trình

x

2



2x



m 3 0

 

(m là
tham số).

A.Khi m = 18 thì x₂ 5 B. Khi

m



6

thì x₂ 1

C. Khi

m

 

12

thì x2  5 D. Khi

m



0

thì x2  1

<b>Câu 2</b>. Tổng hoặc tích hai nghiệm của phương trình

3x

2

  

x

7

0

là:
A. x₁ x₂ 1

3



  B. x₁ x₂ 1

3

 

C. x .x₁ ₂ 7
3

 D. Cả 3 câu đều sai

Phương trình vơ nghiệm.

<b>Câu 3</b>. Cho phương trình x2 



a 1 x



a 0. Khi đó phương trình có hai
nghiệm là:

A. x₁1; x₂ a B. x₁ 1; x₂  a
C. x₁ 1; x₂ a D. x₁1; x₂ a

<b>Câu 4</b>. Gọi x ; x1 2 là nghiệm của phương trình
2

x

  

x 1 0.

Khi đó biểu thức

2 2
1 2

x



x

có giá trị là:

A. 1 B. 3

C. 1 D. 3

<b>Câu 5. </b>Nếu hai số u và v thỏa mãn u v 27  và u.v 34 thì u và v là nghiệm
của phương trình nào sau đây?

A.x227x 34 0  B. x227x 34 0 

C. x227x 34 0  D. x227x 34 0 

<b>Câu 6. </b>Với điều kiện nào sau đây của tham số m, đồ thị hàm số
y mx 2m 4   _{cắt trục hoành tại một điểm có hồnh độ dương?}

A. 0 m 2  B. m2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Câu 7. </b>Cho (P): y 1x2
2

 . Trong các điểm sau, điểm thuộc (P) là:

A. ( 4; 8) B. ( 2; 2)

C. (4; 4) D.( 8; 4)

<b>Câu 8. </b>Điều kiện của m để phương trình x2 2mx m 24 0 có hai nghiệm

1 2

x 0; x 0 là:

A. m 2 B. m 2

C. m  2 D. m 16

<b>Câu 9. </b>Cho hai đường tròn (I; 5cm) và (K; 5cm). Biết IK 5cm . Xác định vị trí
tương đối giữa hai đường trịn:

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong

C. Ngoài nhau D. Cắt nhau

<b>Câu 10</b>. Diện tích xung quanh của một hình nón có chiều cao

h



16cm

và bán

kính của đường tròn đáy

r 12cm



.

A. 200



cm2



B.

220 (cm )



2

C. 240



cm2



D.192



cm2



xq

S  .r.l

2 2

l 12 16 20(cm)<b> </b>

2
xq

S  .20.12 240 (cm )  <b> </b>

<b>Câu 11</b>. Độ dài cung

60

0 của đường tròn có bán kính bằng 3cm là:

A. 9,42cm B. 6,28cm

C. 3,14cm D.

3



cm

<b>Câu 12</b>. Cho



ABC

vuông tại A, AB = 16cm, AC = 12cm. Quay tam giác đó

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

A. 240 (cm ) 2 B. 192 (cm ) 2

C. 320 (cm ) 2 D. 280 (cm ) 2

<b>Câu 13</b>. Một hình trụ có chiều cao bằng 7cm, đường kính của đường trịn đáy

bằng 6cm. Thể tích của hình trụ này bằng:

A. 63 (cm ) 3 B. 147 (cm ) 3

C.21 (cm ) 3 D. 42 (cm ) 3

<b>Câu 14.</b> Cho hình vng nội tiếp đường trịn (O; R), chu vi của hình vng
bằng:

A. 2 2R B. 3 2R

C. 4 2R D. 6R

<b>Câu 15.</b> Diện tích của một hình quạt có số đo cung bằng

36

o của hình trịn có
bán kính 10dm bằng:

A. (dm )2 B. 10 (dm ) 2

C. 20 (dm ) 2 D. 100 (dm ) 2

<i><b>Dạng 1: Toán tổng hợp về rút gọn </b></i>
<b>Bài 1</b>. Cho hai biểu thức A 4 x

x 1



 và

1 x 2

B

x 1

x 1 x 1

  



 

Với x 0; x 1  .

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x4.
b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm các giá trị của x để A 3
2

 .

<b>Bài 2</b>. Cho biểu thức A 1 4 .2 x 6

9 x

x 3 x 1

  

_  _



 

  với x 0

 , x 9

a) Rút gọn biểu thức A.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất.

<b>Bài 3</b>. Cho hai biểu thức A x 3

x 2




 và

x 2 x 4

B x

x 3

 

 



(với x 0; x 4  )

a) Tính giá trị của A khi x 9 .
b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm giá trị của x để A.B 1
3

 .

<b>Bài 4</b>. Cho A 1 x : 1 2 x

x 1 x 1 (x 1)( x 1)

   

_   _{ }  _

 _ _ _

   

Với x 0; x 1 

a) Rút gọn A.

b) Tính A khi x 6 2 5  .
c) Tìm x để A7.

<b>Bài 5</b>. Cho hai biểu thức A x x 2 2x 8

2x 4

x 2 x 2

 

  



  và

2
B

x 6




Với x 0, x 4  và x 36 .

a) Tìm giá trị biểu thức khi x 25 .
b) Rút gọn biểu thức A.

c) Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức P A : B .

<b>Bài 6</b>. Cho biểu thức P x 2 6 : 1 1

x 1 x 2 x x 2 1 x

 _{ } _

_   _{ }_  _

      

 

Với x 0, x 1, x 4   .
a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của biểu thức P biết x 3 2 2  .
c) Tìm x để P 1

2



</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>Dạng 2: Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn và hệ thức </b></i>
<i><b>Vi-ét </b></i>

<b>Bài 7</b>. Cho phương trình

x

2



4x



m 1 0

 

.
a) Giải phương trình với m = - 11.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

x ; x

1 2 thỏa mãn

2 2
1 2

x



x



10

.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.

<b>Bài 8</b>. Cho phương trìnhx22(m 1)x 4m 0  

a) Giải phương trình với m2.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x , x₁ ₂ và x , x₁ ₂ là hai số
đối nhau.

<b>Bài 9</b>. Cho phương trình x2 mx 3 0  (1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt.

b) Gọi x ; x₁ ₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x₁2x2₂ 5m.

<b>Bài 10</b>. Cho phương trình: x2mx 1 0 

a) Giải phương trình với m2.

b) Tìm m để phương trình có các nghiệm x , x₁ ₂ thỏa mãn x₁2x2₂ 5.x x₁2 2₂

<b>Bài 11.</b> Cho phương trìnhx2 2(m 1)x 2m 5 0    (1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x ; x₁ ₂ với
mọi m.

b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho x₁0 x ₂.

<b>Bài 12.</b> Cho phương trình x22(m 2)x 2m 5 0    (1)
a) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x , x₁ ₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để

1 2 2 1

x (1 x ) x (1 x ) 4   

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Bài 13</b>. Giải các hệ phương trình sau

a) 3x y 3

2x y 7
 



 

b)
2 1
2

x 2 2y 3

6 2

1

x 2 2y 3


 
 _ _


 _ _
  

c)
8 1
5
2y 1
x 3
4 1
3
2y 1

x 3

 
 _



 _ _
 _ 

d)
80 48
7

x y x y

100 32

3

x y x y


 
 _ _


 _ _
  


<b>Bài 14</b>. Cho hệ phương trình x my 2

mx 2y 1

  



 



. Chứng minh hệ phương trình ln
có nghiệm duy nhất (x; y) với mọi tham số m. Tìm m để nghiệm (x; y) thỏa
mãn 3x 2y 1 0   

<b>Bài 15</b>. Cho hệ phương trình (m 1)x y 2

mx y m 1

   



  



Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x y  4

<b>Bài 16</b>. Cho hệ phương trình x 2y 5

mx y 4

  



 


Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x y

<i><b>Dạng 4: Các bài toán về hàm số bậc nhất và đồ thị hàm số </b></i>

y



ax

2



a



0



<b>Bài 17</b>. Cho đường thẳng d: y (m 1)x m 2    va` parabol (P):

2

x
y

2

 .

a) Tìm điểm cố định mà d ln đi qua với mọi m.

b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm có hồnh độ x , x₁ ₂ sao cho Ax2₁ x2₂ đạt

giá trị lớn nhất.

<b>Bài 18</b>. Cho đường thẳng d: y (m 1)x m   2 1 và parabol (P): yx2

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

b) Gọi x , x₁ ₂ là hoành độ các giao điểm của d và (P). Tìm các giá trị của tham
số m biết rằng x₁  x₂ 2 2

<b>Bài 19</b>. Cho đường thẳng d: y mx 1m2 m 1

2

     và parabol (P): y 1x2

2



a) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm có hồnh độ x , x₁ ₂ sao cho x₁x₂ 5.
b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở bên trái trục tung.

<b>Bài 20</b>. Cho đường thẳng d: y mx m 1  và parabol (P): yx2.

Tìm các giá trị của m đê d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , x₁ ₂ sao
cho x₁2x2₂ 2.

<b>Bài 21.</b> Cho parabol (P): yx2 và đường thẳng d: y mx 2  .
a) Với m 1, tìm tọa độ các giao điểm của (P) và d.

b) Tìm các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x , x₁ ₂
sao cho x₁2x₂ 5.

<i><b>Dạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình</b></i>
<b>Bài 22</b>. Lúc 7 giờ, một ca nơ chạy xi dịng từ bến A đến bến B dài 30km. Ca
nô nghỉ tại B 30 phút. Sau đó, ca nơ ngược dịng với vận tốc riêng không đổi
từ B về đến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc riêng của ca nơ biết vận tốc
dịng nước là 4km/h.

<b>Bài 23</b>. Hai tổ cơng nhân cùng làm một cơng việc sau 12 giờ thì xong. Họ làm
chung trong 4 giờ thì tổ I phải đi làm việc khác. Tổ II làm xong công việc cịn
lại trong 10 giờ. Tính thời gian mỗi tổ làm một mình xong cơng việc đó.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Bài 25</b>. Hai trường A và B có 435 học sinh thi đỗ vào lớp 10 đạt tỉ lệ là 87%.
Riêng trường A tỉ lệ đỗ vào lớp 10 là 85%, riêng trường B tỉ lệ đỗ và lớp 10 là
90%. Tính số học sinh dự thi vào lớp 10 của mỗi trường.

<b>Bài 26</b>. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1cm thì
diện tích của hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13cm2. Nếu giảm chiều dài đi 2cm,
chiều rộng đi 1cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm 15cm2. Tính chiều
dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho.

<b>Bài 27. </b>Hai người thợ cùng làm một cơng việc trong 15 giờ thì xong việc. Nếu
người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ rồi người thứ hai làm một mình
trong 5 giờ thì được 25% cơng việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải
làm trong bao nhiêu giờ để xong việc?

<b>Bài 28. </b>Một công nhân phải làm xong 120 sản phẩm trong thời gian quy định.

Sau khi làm được hai giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao
tác kĩ thuật nên mỗi giờ làm thêm được 3 sản phẩm. Vì vậy, người đó đã hồn
thành kế hoạch sớm hơn quy định 1 giờ 36 phút. Tính số sản phẩm người đó

dự kiến làm trong mỗi giờ.

<b>Bài 29</b>. Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau đó chạy xi dịng 48km

trên cùng một dịng sơng có vận tốc của dịng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc
của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dịng ít hơn thời gian
ngược dịng 1 giờ.

<b>Bài 30</b>. Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong

một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản
phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2
ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

gian nghỉ). Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của
dòng nước là 4km/h.

<b>Bài 32</b>. Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác
đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là
5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300km. Tìm vận tốc của mỗi
xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế- Hà Nội dài 645km.

<i><b>Dạng 6: Các bài tốn hình tổng hợp </b></i>

<b>Bài 33.</b> Cho nửa đường trịn tâm O bán kính R với đường kính AB; C là điểm

chính giữa của cung AB; điểm M thuộc cung AC. Kẻ tiếp tuyến (d) của (O; R)
tại tiếp điểm M. Gọi H là giao điểm của BM và OC. Từ H kẻ một đường thẳng
song song với AB, đường thẳng đó cắt (d) tại E.

a) Chứng minh tứ giác OHME là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh EH = R.

c) Kẻ MK vng góc với OC tại K. Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp tam
giác OBC đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMK.

<b>Bài 34</b>. Cho đường tròn (O; R), từ điểm K ở bên ngồi đường trịn kẻ các tiếp
tuyến KB, KD (với B, D là các tiếp điểm), cát tuyến KAC (với A nằm giữa K và
C). Gọi I là trung điểm của BD. Biết I, O không thuộc đường thẳng AC.

a) Chứng minh: KAB ∽KBC và AB.CD AD.BC .
b) Chứng minh tứ giác AIOC nội tiếp.

c) Kẻ dây CN của (O; R) sao cho CN BD . Chứng minh ba điểm A, I, N thẳng
hàng.

<b>Bài 35</b>. Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua tâm. Dây PQ của (O)

vng góc với AB tại H (HAHB). Gọi M là hình chiếu vng góc của Q trên
PB; QM cắt AB tại K.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

b) Chứng minh tam giác QAK cân.

c) Tia MH cắt AP tại N, từ N kẻ đường thẳng song song với AK, đường
thẳng đó cắt QB tại I. Chứng minh ba điểm P, I, K thẳng hàng.

<b>Bài 36</b>.

<b>1.</b>Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R. C là trung điểm của OA, vẽ dây
MN vng góc với AO tại C. K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là

giao của AK và MN.

a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp;
b) Chứng minh tam giác MBN đều;

c) Tìm vị trí điểm K trên cung nhỏ MB sao cho KM + KN + KB đạt giá trị lớn
nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R.

<b>2.</b>Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 30_(cm2_{), biết đường kính đáy}

của hình trụ bằng 6cm. Tính thể tích của hình trụ đó.

<b>Bài 37</b>. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB AC) nội tiếp đường tròn (O; R).
Vẽ đường kính AD, tiếp tuyến với đường trịn (O; R) tại D cắt BC tại E.

Vẽ OH vng góc với BC (H BC) .
a) Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp.
b) Chứng minh ED2 EC.EB.

c) Từ C vẽ đường thẳng song song với EO cắt AD tại I. Chứng minh HI song
song với AB.

d) Qua D vẽ đường thẳng song song với EO cắt AB và AC lần lượt tại M và
N. Chứng minh DM DN .

<b>Bài 38</b>. Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường

trịn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt
cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

b) Chứng minh DA.DE = DB.DC.

c) Chứng minh CFD OCB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE,
chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Cho biết DF = R, chứng minh tan AFB = 2.

<b>Bài 39</b>. Cho ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường
trịn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK.

a) Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O).

c) Tính bán kính của đường trịn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm.

<b>Bài 40</b>. Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên
cung lớn BC sao cho AC > AB và AC > BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung
nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là
giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE.

a) Chứng minh rằng: DE // BC.

b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn.
c) Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F.

Chứng minh hệ thức: 1
CE =

1
CQ +

1
CF.

<b>Bài 41</b>. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường

tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa
điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By. Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax,
By lần lượt tại P và Q; AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.

a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường trịn.
b) Chứng minh góc PCQ = 900_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Bài 42</b>. Cho đường trịn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường trịn đó
(C khác A , B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ
BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F.

a) Chứng minh rằng FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC.

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh rằng IC là
tiếp tuyến của đường tròn (O) .

<i><b>Dạng 7: Một số bài toán nâng cao </b></i>

<b>Bài 42</b>. Giải phương trình: x4 3x3 2x23x 1 0 
<b>Bài 43</b>. Giải phương trình: 2(x44) 3x210x 6

<b>Bài 44</b>. Giải phương trình: x 3x 2  3 2x  x3x2 x 1
<b>Bài 45. </b>Giải phương trình: x 3.x 4 2x42010x 2010

<b>Bài 46</b>. Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y 1 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S ₂ 1 ₂ 1

xy

x y

 



<b>Bài 47</b>. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn abc 1 .

Chứng minh ₂ 1 ₂ ₂ 1 ₂ ₂ 1 ₂ 1

2
a 2b 3 b 2c 3c 2a 3

<b>Bài 48</b>. Cho ba số thực không âm a, b, c và a b c 3   . Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: K 3a 1  3b 1  3c 1

<b>Bài 49</b>. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c 1  

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P b c  c a  a b

<b>Bài 50</b>. Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn:
a 1, b 1,c 1   và ab bc ca 9   .

</div>

<!--links-->