Bài giảng Đề tham khảo HSG lớp 9

ĐỀ THAM KHẢO THI HSG KHỐI 9
MÔN: TOÁN
TG: 150’ (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: Cho là hai số
,x y
thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện
0, 0, 1x y x y> < + =
a) (2đ) Rút gọn biểu thức:
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
:
y x y x y x
A
xy y x
x y
x y
 
−
 
= − +
 
−
−
−
 

b) (1đ) Chứng minh rằng:
4A < −

Bài 2: (3đ)Giải hệ phương trình
2 2 2
6
7
14
x y z
xy yz zx
x y z

+ + =

+ − =


+ + =

Bài 3: (3đ) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
4 2 2 4 4 2 6 10 34 0x y z xy xz yz y z+ + − − + − − + =
Hãy tính
( ) ( ) ( )
2010 2010 2010
4 4 4S x y z= − + − + −
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa
nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A
và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.
1. Chứng minh:

a) (1đ) CD = AC + BD
b) (1đ) AC.BD = R
2

2. (2đ) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác ABCD có diện tích nhỏ nhất.
Bài 5: a) (3đ) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n, luôn có:
( )
1 1 1
n+1 1 1n n n n n
= −
+ + +
c) (1đ) Tính tổng
1 1 1 1
S= ...
2+ 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2011 2010 2010 2011
+ + + +
+ + + +

Bài 6: a) (2đ) Giải phương trình:
6 3 1 2 0x x x x+ + − − + − − =
b) (1đ) Cho các số thực a, b, c, thỏa điều kiện a + b + c =0.
Chứng minh rằng ab + 2bc + 3ca
≤
0
ĐÁP ÁN
Bài 1:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 3
2
2
2 2
3
2
:
2
:
.
2
:

2
:
:
.
.
y x y x y x
A
xy y x
x y
x y
y x y x y x
xy y x y x
y x x y x y
y x y x y x
xy y x
y x y x
y x y x y x
y x
xy
y x
y x y x y x
xy
y x
y x
y x
xy y x x y
y x
xy
 
−

 
= − +
 
−
−
−
 
 
−
= − +
 
− +
− − +
 
 
 
−
= − +
 
−
− −
 
 
 
− + −
−
=
 
−
 

 
− − −
=
−
−
−
=
− +
−
=
( )
( )
2
2 2
y x
xy
y x
−
=
−
( vì
0, 0, 1x y x y> < + =
) (2đ)
b)
( ) ( )
2 2
4
1
4 4
y x y x xy

A
xy xy xy
− + −
= = = − < −
vì
0xy <
(1đ)
Bài 2:
( )
( )
( )
2 2 2
6 1
7 2
14 3
x y z
xy yz zx
x y z

+ + =

+ − =


+ + =

Từ (1) và (3)
( )
( )
2

2 2 2 2
6 14 22x y z x y z⇒ + + − + + = − =
2 2 2 22
11(4)
xy yz xz
xy yz xz
⇔ + + =
⇔ + + =
Từ (2)
7xy yz xz⇒ + = +
Thay vào (4) ta được
7 11 2xz xz xz+ + = ⇒ =
( )
( )
2
7 9
6 9 0
6 9 0 3
y x z xz
y y
y y y
⇒ + = + =
⇔ − − =
⇔ − + − = ⇔ =
1
2
3
2
2
1

x
z
x z
xz
x
z
 =



=
+ =



⇒ ⇔


=
=




=



Vậy hệ phương trình có hai bộ nghiệm(x; y; z) là (1; 3; 2) và (2; 3; 1) (3đ)
Bài 3:

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
4 2 2 4 4 2 6 10 34 0
4 4 4 2 6 9 10 25 0
4 4 3 5 0
2 3 5 0
3 0 3
5 0 5
2 0 4
x y z xy xz yz y z
x xy xz y z yz y y z z
x x y z y z y z
x y z y z
y y
z z
x y z x
+ + − − + − − + =
⇔ + − − + + + + − + + − + =
⇔ − + + + + − + − =
⇔ − + + − + − = 
 
− = =

 
 
⇔ − = ⇔ =
 
 
− − = =
 
Suy ra:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2010 2010 2010
2010 2010 2010
2010
2010
4 4 4
4 4 3 4 5 4
1 1 1 1 0
S x y z= − + − + −
= − + − + −
= − + = − + =

(3đ)
Bài 4:
1a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau của
(O) có: CM = AC; MD = BD
Suy ra: CD = CM + MD = AC + BD (1đ)
b) Ta có: OC; OD lần lượt là phân giác của 2 góc kề
bù
·

MOA
và
·
MOB
nên
·
0
90COD =
COD∆
vuông tại O,
MO CD⊥
nên:
2
. .OM CM MD AC BD= =
2
.AC BD R⇒ =
(1đ)
2. Tứ giác ABCD có
µ µ
0
90A B= =
nên ABCD là
hình thang vuông nên:
( )
2
2
2 2 . 2 . 4
2
ABDC
ABDC

S AB AC BD R CD R AB R
S R
= + = ≥ =
⇒ ≥
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi AB = CD hay M là chính giữa nửa đường tròn.
Vậy
( )
2
ABDC
ax S 2m R=
(2đ)
Bài 5: a) Ta có:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1
n+1 1
1 . 1
1
1 . 1 . 1
n n n
n n n n
n n
n n n n n n
=
+ +
+ + +
+ −

=
+ + + + −
1 1 1
. 1 1
n n
n n n n
+ −
= = −
+ +
(3đ)
a) Áp dụng đẳng thức ở trên lần lượt với n = 1; 2; 3; …; 2010 ta có:
1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 2010 2011
S = − + − + + −
y
x
D
C
M
O
BA
1 2011
1 1
2011
2011
= − = −
(1đ)
Bài 6:
a)

6 3 1 2 0x x x x+ + − − + − − =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
6 3 1 2
3
6 3 1 2
3
6 3 2 6 3 1 2 2 1 2
x x x x
x
x x x x
x
x x x x x x x x
⇔ + + − = + + −
≥


⇔

+ + − = + + −


≥


⇔

+ + − + + − = + + − + + −



( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
3
2 6 3 1 2
3
4 4 6 3 6 3 1 2
3
4 4 6 3 3 18 2
x
x x x x
x
x x x x x x
x
x x x x x x
≥


⇔

+ + − = + −


≥


⇔


+ + − + + − = + −


≥


⇔

+ + − + + − = − −


( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
3
3
3 0
6 3 3
6 3 3
x
x
x
x x x
x x x

≥
≥


 

⇔ ⇔ − ≥
 
+ − = −



+ − = −


( ) ( ) ( )
2
3
3 3
6 3 3
x
x x
x x x

≥


⇔ ≤ ⇔ =


+ − = −


Vậy
{ }
3S =

( 2đ)
b) a + b + c = 0
b c a⇒ + = −
và a + b = -c
Do đó: ab + 2bc + 3ca = ab + ca + 2bc + 2 ca = a(b + c) + 2c(b + a) = -a
2
-2c
2

0
≤
(1đ)