Tài liệu Đề tham khảo HSG Toán 9

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể phát đề)
Câu 1:(5 điểm)
a/ Chứng minh
1
3
3
.2
33
33
=








−
+









−
+−
+
x
x
x
xx
xx
(Với
10
≥
x
và
3
≠
x
)
b/ Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng :
9.
=






−
+
−
+

−






−
+
−
+
−
ac
b
cb
a
ba
c
b
ac
a
cb
c
ba
Câu 2: (5 điểm)
Cho biểu thức P =
)
21
1).(
248

2
82
2
(
232
2
2
2
x
x
xxx
x
x
xx
−−
−+−
−
+
−
a. Tìm điều kiện xác đònh của P
b. Rút gọn biểu thức P
c. Tìm giá trò của x để giá trò của biểu thức P bằng 0
Câu 3: ( 5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, IB, CD. Gọi E là
giao điểm của DI và KJ.
a/ Chứng minh tứ giác KIEB là hình bình hành.
b/ Cho AB = 8cm; BC = 5cm. Tính diện tích của tứ giác KIEB.
Câu 4: ( 5 điểm)
a/ Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3a ; AC = 4a. Hãy tính theo a độ dài đường
cao AH và các đoạn thẳng mà nó đònh ra trên cạnh huyền.

b/ Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD và đường cao CE cắt AD tại H. Chứng
minh rằng: DA.DH = DB.DC
. . . . . .Hết. . . . . .
ĐỀ THAM KHẢO
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu 1:
a/ Ta có








−
+








−
+−
+
x
x

x
xx
xx
3
3
.2
33
33

=
( ) ( )
( )( )








−+
+









−
+−
+
33
3
.2
33
3
33
xx
x
x
xx
x
(1 điểm)
=
( )
( )
3
1
.3
−
−
x
x
(0,5 điểm)
= 1 (đpcm) (0,5 điểm)
b/ Đặt
a
cb

x
−
=
;
b
ac
y
−
=
;
c
ba
z
−
=
Khi đó ta có
( )
z
yx
y
xz
x
zy
zyx
zyxVT
+
+
+
+
+

+=








++++=
3
111
(0,5 điểm)
Ta có
( )( )
bc
a
bc
abcbc
cb
a
bc
babacc
cb
a
c
ba
b
ac
cb

a
x
zy
2
22
2
.
.
=
−+−
−
=
−+−
−
=






−
+
−
−
=
+
(0,5 điểm)
Tương tự ta biến đổi được
ac

b
y
xz
2
2
=
+
và
ab
c
z
yx
2
2
=
+
(0,5 điểm)
Suy ra :








+++=
ab
c
ac

b
bc
a
VT
222
23

( )
abc
cba
333
2
3
++
+=

( )
[ ]
abc
cbcb
33
3
2
3
+++−
+=

( )
9
6

3
=
+−
+=
abc
cbbc
(vì b + c = -a) (1 điểm)
Vậy
9.
=






−
+
−
+
−






−
+
−

+
−
ac
b
cb
a
ba
c
b
ac
a
cb
c
ba
(đpcm) (0,5 điểm)
Câu 2:
a. ĐKXĐ của biểu thức là
0
≠
x
và
2
≠
x
(1 điểm)
b. Ta có
P =
)
21
1)(

248
2
82
2
(
232
2
2
2
x
x
xxx
x
x
xx
−−
−+−
−
+
−
2
2
22
2
2
2
2
.
)4()4(2
2

)4(2
2
x
xx
xxx
x
x
xx
−−








+−+
−
+
−
=
(1 điểm)
2
2
2
2
2
2
2

.
)4)(2(
2
)4(2
2
x
xx
xx
x
x
xx
−−








+−
−
+
−
=
(0,5 điểm)
2
2
2
22

22
.
)4)(2(2
4)2)(2(
x
xxx
xx
xxxx
−−+
+−
−−−
=
(0,5 điểm)
x
x
x
xx
xx
xx
2
1)2)(1(
.
)4)(2(2
)4(
22
2
+
=
−+
+−

+−
=
(1 điểm)
c. Khi P = 0 thì
0
2
1
=
+
x
x
(0,5 điểm)
 x + 1 = 0
 x = -1 (0,5 điểm)
Câu 3:
a/ Ta có IBKD là hình bình hành (vì IB = DK ; IB // DK)
=> EI // KB (1) (1 điểm)
Mặt khác, ta có
JBKJIE
∆=∆
(g.c.g)
=> EI = KB (2) (1 điểm)
Từ (1) và (2), suy ra KIEB là hình bình hành. (1 điểm)
b/ S
KIEB
= KI . IB (0,5 điểm)
= BC .
AB.
2
1

(0,5 điểm)
= 5 .
2
1
. 8 = 20 (cm
2
) (1 điểm)
Câu 4:
a. Theo đònh lí Py – ta – go ta có :
BC =
aaa 5)4()3(
22
=+

Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
BC . AH = AB . AC
5
12
5
4.3. a
a
aa
BC
ACAB
AH
===⇒
(1 điểm)
5
9
5

)3(
22
a
a
a
BC
AB
BH
===
(1 điểm)
HC = BC – BH = 5a –
5
16
5
9 aa
=
(1 điểm)

b. Chứng minh : DA.DH = DB.DC
Xét hai tam giác vuông ABD và CHD, có:
DCHDAB
ˆˆ
=
( Cùng phụ với góc ABC)
ABD
∆⇒
đồng dạng với
CHD
∆
(1 điểm)

⇒
DH
DB
DC
DA
=

⇒
DA.DH = DB.DC (1 điểm)

A
B CH
A
B CD
E
H