Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>TRƯỜNG THCS NGUYỄN</b>
<b>THI MINH KHAI</b>

<b>*******</b>

<b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7</b>

<i>Năm học 2017 - 2018</i>

<b>MÔN THI : TỐN</b>

<i>Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)</i>

<b>Bài 1 </b><i>(3 điểm)</i>

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a để khi ghép nó vào bên phải số 2004 thì được một số tự
nhiên chia hết cho 2003.

<b>Bài 2 </b><i>(5 điểm) </i>

Cho hai hàm số : f(x) = |x – 1| + 1 và g(x) = |x – 2| + 2.
1. Tìm x để f(x) – 2g(x) = -3 ;

2. Tìm x để f(x) = g(f(2)).
<b>Bài 3 </b><i>(3 điểm) </i>

Chứng minh rằng không thể tìm được các số nguyên x, y, z thoả mãn :
|x – y| + |y – z| + |z – x| = 2005.

<b>Bài 4 </b><i>(3 điểm) </i>

Tìm x biết : 3x2 4 2004x2  1 3 4x .2 _.
<b>Bài 5 </b><i>(6 điểm)</i>

Cho ∆ABC có A 50  0_vàB 20 .  0 _{Trên tia phân giác BE (E thuộc AC) của}ABC _lấy
điểm F sao cho sao cho FAB 20 .  0 _{Gọi I là trung điểm của AF, EI cắt AB ở K.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>HƯỚNG DẪN GIẢI</b>
<b>Bài 1 </b><i>(3 điểm)</i>

Đặt a a a ...a 1 2 n (n ∈ N*, a ,a ,...,a1 2 nlà các chữ số, a10)
Số tự nhiên cần tìm có dạng : 2004a a ...a1 2 n

Theo giả thiết, ta có : 2004a a ...a1 2 n ⋮ 2003 _ 2004.10n + a a ...a1 2 n ⋮ 2003

 2003.10n + 10n + a a ...a1 2 n ⋮ 2003 _ 10n + a a ...a1 2 n ⋮ 2003 (vì 2003.10n ⋮ 2003)
Xét các trường hợp :

- Với n = 1, ta được 10 + a1 ⋮ 2003 _ không tìm được a1 vì 10 < 10 + a1 < 20.
- Với n = 2, ta được 100 + a a1 2 ⋮ 2003

 không tìm được a a1 2 vì 100 < 100 + a a1 2 < 200.
- Với n = 3, ta được 1000 + a a a1 2 3 ⋮ 2003

 không tìm được a a a1 2 3 vì 1000 < 1000 + a a a1 2 3 < 2000.

- Với n = 4, ta được 10000 + a a a a1 2 3 4 ⋮ 2003 _ 10000 + a a a a1 2 3 4 - 5.2003 ⋮ 2003
Hay a a a a1 2 3 4 - 15 ⋮ 2003 (1)

Nhận xét : 999 < a a a a1 2 3 4 < 10000 _ 984 < a a a a1 2 3 4 - 15 < 9985 (2)
Vì a a a a a 1 2 3 4 phải là số tự nhiên nhỏ nhất nên từ (1) và (2) suy ra :

1 2 3 4

a a a a _{- 15 = 2003} _ a a a a_{1 2 3 4}_{= 2018}
Vậy số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là a = 2018.
<b>Bài 2 </b><i>(5 điểm) </i>

1. f(x) – 2g(x) = -3  |x – 1| + 1 – 2(|x – 2| + 2) = -3
 |x – 1| - 2|x – 2| = 1 (1)
Xét các trường hợp :

- Nếu x < 1 thì x – 1 < 0 và x – 2 < 0  |x – 1| = 1 – x, |x – 2| = 2 - x
(1) trở thành : 1 – x – 2(2 – x) = 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 3x = 6  x = 2 (không thoả mãn 1  x < 2)

- Nếu x  2 thì x – 1 > 0 và x – 2  0  |x – 1| = x – 1, |x – 2| = x - 2
(2) trở thành : x – 1 – 2(x – 2) = 1  x – 1 – 2x + 4 = 1

 -x = -2  x = 2 (thoả mãn x  2)
Vậy giá trị của x cần tìm là x = 2.

2. f(2) = |2 – 1| + 1 = 2  g(f(2)) = g(2) = |2 – 2| + 2 = 2.

Do đó f(x) = g(f(2))  |x – 1| + 1 = 2  |x – 1| = 1 

x 1 1
x 1 1

 



 _ _

 _

x 2
x 0


 _

Vậy với x ∈ {0 ; 2} thì f(x) = g(f(2))

<b>Bài 3 </b><i>(3 điểm) </i>

Không giảm tổng quát có thể giả sử x  y  z.
Khi đó x – y  0, y – z  0, z – x  0

 |x – y| + |y – z| + |z – x| = 2005  x – y + y – z + x – z = 2005
 2(x – z) = 2005 (*)

Vì x, z ∈ Z nên vế trái (*) là số nguyên chẵn, còn 2005 là số lẻ nên không tìm được x,
z thoả mãn (*).

Vậy không thể tồn tại các số nguyên x, y, z thoả mãn điều kiện đề bài.
<b>Bài 4 </b><i>(3 điểm) </i>

Vì x2_₀__x__3x2_{+ 4}__{4, 2004x}2_{+ 1}_₁_ 3x2_1 __2, 2004x2_1 _₁

 3x24 2004x21  3 (dấu bằng xảy ra  x = 0) (1)
Mặt khác, 3 – 4x2__{3 (dấu bằng xảy ra}__{x = 0)} ₍₂₎

Từ (1) và (2) suy ra 3x2 4 2004x2  1 3 4x2

 3x24 2004x2  1 3 4x23  x = 0.
Vậy x = 0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

1. Vì BE là tia phân giác của ABC nên

   0 0

1 2 ABC 20

B B 10

2 2

   

Xét AEF có : A 1BAC A   2 500  200 300
   0 0 0

1 2 2

F A B 20 10 30 _(vìF1 là góc ngoài của _FAB).
Suy ra AEF cân tại E  EI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao  EI  AF
Hay EK  AF.

2. Vì E 3 là góc ngoài của _AEB nên E 3 BAE B   2 500100600

AEF cân tại E nên đường trung tuyến EI đồng thời là đường phân giác của AEF .

Suy ra

   0  1 0 0 ₀

1 2 AEF 180 2A 180 2.30

E E 60

2 2 2

 

    

Xét BCE và BKE có :
  0

2 3
E E 60
BE là cạnh chung

  0
1 2
B B 10

</div>

<!--links-->