PDE Fourier Series (slide)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (872.2 KB, 67 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1></div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

CHƯƠNG 0

Nhắc lại về phương trình vi phân

-Phương trình tách biến
-Phương trình tuyến tính

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

CHƯƠNG 1. CHUỖI FOURIER

Chuỗi Fourier đầy đủ

Chuỗi Fourier sin
Chuỗi Fourier cosin
Hội tụ và khả vi

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

KHAI TRIỂN TAYLOR

Một hàm khả vi vơ hạn lần có thể khai triển thành dạng
chuỗi Taylor quanh điểm x0 nằm trong khoảng xác định.

Dạng như sau:

Trong đó:















)

(

n

n
n

x

c

x

f

 

 

!

n

x

f

c

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

VÍ DỤ

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

ĐỊNH NGHĨA HÀM TUẦN HOÀN

Một hàm số xác định trên R gọi là tuần hoàn nếu tồn tại
số T>0 sao cho:

Giá trị nhỏ nhất của T gọi là chu kỳ cơ bản hay đơn giản là
chu kỳ của hàm f.

Dễ thấy nếu f là hàm tuần hoàn với chu kỳ T thì:



x T



f

 

x x R

f    



x nT



f

 

x x R

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VÍ DỤ

Hàm sinx và cosx là các hàm tuần hoàn với chu kỳ
Hàm và là các hàm tuần hoàn với chu kỳ 2L

Nhận xét. Chuỗi hàm dưới đây có tuần hồn khơng? Chu
kỳ là bao nhiêu?





















cos

sin

2

1

n

n
n

L

x

n

b

L

x

n

a

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8></div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

BIỂU DIỄN HÀM TUẦN HỒN

Vì mỗi hàm cos(nx) và sin(nx) đều có chu kỳ nên bất cứ
tổ hợp tuyến tính nào của các hàm này đều là các hàm
tuần hoàn với chu kỳ .

Nhưng các tổ hợp tuyến tính này là liên tục

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

VÍ DỤ

Hàm xung hay hàm sóng bình phương

Là hàm tuần hồn chu kỳ nhưng khơng liên tục trên R.



x



f

 

x
f

x
x
x

f  












 




2
&

0
,
1

0
,

0
)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

FOURIER (1976 – 1830)

Bài báo “Lý thuyết giải tích của nhiệt lượng” năm 1822
Mỗi hàm f(x) với chu kỳ có thể được biểu diễn bằng một
chuỗi lượng giác vô hạn dạng:

Chuỗi này gọi là chuỗi Fourier.

Biểu diễn một hàm thành chuỗi Fourier được ứng dụng nhiều
trong toán đặc biệt là trong phương trình đạo hàm riêng.















cos

sin

2

1 )

(

n

nx

b

nx

a

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

CHUỖI FOURIER CỦA HÀM CÓ CHU KỲ

Sinh viên cần nhớ các tích phân sau:

Các hàm cos(nx) và sin(mx) tạo thành một tập trực giao tương hỗ của
hàm trên khoảng

Hai hàm thực u và v gọi là trực giao trên khoảng [a,b] nếu:

0
sin
.
cos
,
,
0
sin
.
sin
,
,
0
cos
.
cos

























 
dx
nx
mx
m
n

L
m
n
dx
nx
mx
m
n
m
n
dx
nx
mx

   

0

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

BIỂU DIỄN FOURIER

Giả sử hàm f(x) liên tục từng khúc chu kỳ biểu diễn bởi một
chuỗi Fourier

Giả sử:

-Chuỗi bên phải hội tụ về f với mọi x

-Khi chuỗi được nhân với một hàm liên tục bất kỳ thì chuỗi

nhận được sẽ tích phân từng số hạng được.















cos

sin

2

1 )

(

n

nx

b

nx

a

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ a0

Lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy hệ số a0 được xác định bởi công thức:

 

0 0

1
0

2

1 sin

cos

2

1 a

dx

a

dx

x

f

nxdx

b

nxdx

a

dx

a

dx

x

f

n
n
n













































  



 












f

x

dx

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ ai

Nhân hai vế với cosnx và lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy các hệ số ai được xác định bởi công thức:

 

m m

 

n

n
n
n
n
n
a
nxdx
x
f
a
mxdx
mx
a
mxdx
x
f
mxdx
nx
a
mxdx
x
f
mxdx
nx
b
mxdx
nx
a

mxdx
a
mxdx
x
f




























































 



  


cos
cos
.
cos
cos
cos
.
cos
cos
cos
.
sin
cos
.
cos
cos
2
1
cos
1
1
0

 

cos



1 ,

2 ,

3 ,...



</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

BIỂU DIỄN FOURIER – HỆ SỐ bi

Nhân hai vế với sinmx và lấy tích phân hai vế ta có:

Vậy các hệ số bi được xác định bởi công thức:

 

m m

 

n

n
n
n
n
n
b
nxdx
x
f
b
mxdx
mx
b
mxdx
x
f
mxdx
nx
b
mxdx

x
f
mxdx
nx
b
mxdx
nx
a
mxdx
a
mxdx
x
f




























































 


  


sin
sin
.
sin
sin
sin
.
sin
sin
sin
.
sin
sin
.
cos
sin
2
1
sin

1
1
0

 

sin



1 ,

2 ,

3 ,...



</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

ĐỊNH NGHĨA. CHUỖI FOURIER VÀ HỆ SỐ FOURIER

Cho f(x) là hàm liên tục từng khúc chu kỳ xác định với
mọi x. Khi đó chuỗi Fourier của hàm f(x) là chuỗi:

Trong đó:















cos

sin

2

1 )

(

n

nx

b

nx

a

x

f

 

cos



0 ,

1 ,

2 ,

3 ,...



1 





n

nxdx

x

f

a

n






 

sin



1 ,

2 ,

3 ,...



1 





n

nxdx

x

f

b

n




</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

CHÚ Ý

Có thể chuỗi Fourier của một hàm không hội tụ về hàm tại
những điểm xác định trong TXĐ của hàm số. Do đó thay vì
viết dấu = ta sử dụng ký hiệu sau:

Phần sau (mục hội tụ) sẽ nói rõ hơn về vấn đề này.

Ta xét chuỗi Fourier của hàm liên tục từng khúc vì nhiều
hàm trong ứng dụng chỉ liên tục từng khúc chứ không liên
tục.















cos

sin

2

1 )

(

n

nx

b

nx

a

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

MỞ RỘNG HÀM

Nếu hàm ban đầu chỉ xác định trên khoảng [- , và giả sử
f()=f(- )

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

VÍ DỤ

Cho hàm tuần hoàn chu kỳ được xác định:

a) Sinh viên vẽ đồ thị

b) Tìm chuỗi Fourier

 

























t

x
x

f

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

VÍ DỤ

Ta có:

 















































2
2
2
0
1
cos
1
cos
1
sin
1
sin

1
cos
1
cos
cos
1
cos
1
cos
1
2
2
0
2
0
0
0
0
0


n
n
n
n
n
nx
n
a
nxdx

n
n
nx
x
nxdx
x
a
nxdx
dv
x
u
TPTP
nxdx
x
nxdx
x
f
nxdx
x
f
a
n
n
n



















 

2
1
1
1
0
0
0







   




 f x dx f x dx xdx

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

VÍ DỤ

Ta có:

 





</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

VÍ DỤ

Vậy chuỗi Fourier cần tìm:

 


















le

n n

n

nt

n

nt

x

f

sin

1 cos

2 )

(

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

VÍ DỤ. HÀM SĨNG BÌNH PHƯƠNG



x



f

 

x
f

x
x
x

f  












 




2
&

0
,
1

0
,

0
)

(

 












f

x

nxdx

b

n

1 sin

 









 f x dx

a0 1

 












f

x

nxdx

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

VÍ DỤ

Ta có chuỗi Fourier của hàm sóng bình phương

 













2 1 , ,

1
2

sin
2

2
1
~













x
k

x
f

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

TÍNH CHẤT

Nếu hàm f(x) tuần hồn với chu kỳ 2 thì ta có:

Có nghĩa là tích phân của hàm f(x) trên các khoảng có độ
dài đúng bằng 2 ln bằng nhau.

Do đó, ta hay đưa khoảng tính tích phân về khoảng [0, 2 ]
để có các cơng thức thuận tiện hơn.

 



 



  






a

a f x dx

dx
x

f

 









2
0

sin
1

cos
1

nxdx
x

f
b

nxdx
x

f
a

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27></div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT (ĐẦY ĐỦ)

Xét hàm f(x) liên tục từng khúc và có chu kỳ là P=2L
Ta muốn xây dựng chuỗi Fourier cho hàm này.

Đặt hàm g như sau:

Dễ thấy:

 

















Lu

f

u

g



u



f L



u



f Lu L f Lu g

 

u

g  


























 







 2 2

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT (ĐẦY ĐỦ)

Như vậy hàm g(u) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2pi. Giả
sử có chuỗi Fourier tương ứng

Với:















cos

sin

2

1 )

(

n

nu

b

nu

a

u

g

 

cos

 



0 ,

1 ,

2 ,

3 ,...



1 





n

du

nu

u

g

a

n






 

sin

 



1 ,

2 ,

3 ,...



1 





n

du

nu

u

g

b

n




</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

BIẾN ĐỔI

Đặt:

f

 

x

f

Lu

g

 

u

L

x

u

Lu

x





</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

BIẾN ĐỔI

Ta có:
Trong đó:

 






















cos

sin

2

1

n
n
n

L

x

n

b

L

x

n

a

x

f



 





 

sin



1 ,

2 ,

3 ,...



</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

ĐỊNH NGHĨA CHUỖI FOURIER VÀ HỆ SỐ FOURIER

Cho hàm f(x) liên tục từng khúc và có chu kỳ 2L xác định
với mọi x. Khi đó chuỗi Fourier của hàm f(x) là chuỗi.

Trong đó:

 




 







1

0 cos sin

2
1
n
n
n
L
x
n
b
L
x
n
a
a
x

f  

 





 

sin



1,2,3,...



</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

TÍNH CHẤT

Nếu hàm f(x) tuần hồn với chu kỳ 2 thì ta có:

Có nghĩa là tích phân của hàm f(x) trên các khoảng có độ
dài đúng bằng 2 ln bằng nhau.

Do đó, ta hay đưa khoảng tính tích phân về khoảng [0, 2]

để có các cơng thức thuận tiện hơn.

 



 



  

L
a
a
L

L f x dx f x dx

 






L
n

dx
L

x
n
x

f
L

b

dx
L

x
n
x

f
L

a

2
0

sin
1

cos
1

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

VÍ DỤ

Cho hàm tuần hoàn với chu kỳ P=2L=4:

Đáp án

 



















2
,
0

,
2
0
0
2
1
2
0
1
x
x
x
x
f

 















...
2
5
sin
5
1

2
3
sin
3
1
2
sin
4
2
sin
1

4 n x t t t

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

VÍ DỤ

Xét hàm số sau:

Đồ thị hàm số:

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

TÍNH TỐN HỆ SỐ FOURIER

Ta có:

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ

Như vậy, theo định lý 2.5, trên [-2,2] ta có:

Chú ý hàm ban đầu có điểm nhảy tại x=0.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

ĐỊNH LÝ HỘI TỤ

Giả sử f là hàm tuần hồn, trơn từng khúc. Khi đó chuỗi
Fourier của nó hội tụ:

a) Đến giá trị f(x) tại mỗi điểm mà ở đó f liên tục

b) Đến giá trị tại mỗi điểm mà tại đó f khơng liên tục.

Chú ý.

là giá trị trung bình các giới hạn

trái và phải của hàm f tại điểm x.

Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn, trơn từng khúc hội tụ đến 
giá trị trung bình của hàm số với mọi x.

 



 



 f x

x
f

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

VÍ DỤ

Cho f(x) là hàm chu kỳ 2 với f(x)=x2 nếu 0<x<2

Nếu x là số nguyên chẵn thì giá trị f(x) xác định bởi:

Hãy tìm chuỗi Fourier của hàm này.

 



 



 f x

x
f

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

VÍ DỤ

Đáp án:

Nếu thay x=0 ta có:

Nếu thay x=1 ta có:

 











1
1 2
2
sin
4
cos
4
3
4
n
n n
t
n
n
t
n
x
f 




 

6
...
3
1
2
1
1

6
1
1
4
3
4
0
2
2
2
2
1 2
1 2
2

















 n

n n n

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

CHUỖI FOURIER SINE VÀ COSINE

Hàm chẵn và hàm lẻ

Hàm số f(x) xác định với mọi x gọi là chẵn nếu

Hàm số f(x) xác định với mọi x gọi là lẻ nếu

Tính chất:

- Hàm chẵn đối xứng qua Oy

- Hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O



x



f

 

x

f





,





x



f

 

x

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

ĐỒ THỊ

Đồ thị chuỗi Fourier

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

ĐỒ THỊ HÀM CHẴN – LẺ

Hàm chẵn: đối xứng qua Oy

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

VÍ DỤ

+ Tích hai hàm chẵn  Hàm chẵn
+ Tích hai hàm lẻ  Hàm chẵn

+ Tích một hàm chẵn và một hàm lẻ  Hàm lẻ

+ Chuỗi Fourier của các hàm chẵn chỉ gồm các phần tử
cosine

+ Chuỗi Fourier của các hàm lẻ chỉ gồm các phần tử sine

 

sin ;

 

2 1



 x g x x n

x

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

TÍNH CHẤT

Nếu f(x) là hàm chẵn và tuần hoàn với chu kỳ 2L thì:

+ Hàm: là hàm chẵn

+ Hàm: là hàm lẻ

+ Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ trên miền đối xứng

 

L

x

n

x

f

cos



 

L

x

n

x

f

sin



 



 



 











a
a

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

TÍCH PHÂN HÀM CHẴN – LẺ

Trên tập xác định đối xứng.

Hàm chẵn có tích phân gấp 2 lần trên 1 nửa miền.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

ÁP DỤNG VỚI HỆ SỐ FOURIER

Nếu f(x) là hàm chẵn.

Nếu f(x) là hàm lẻ.

Khai triển Fourier sẽ chỉ có chuỗi hàm sine hoặc cosine

 

sin

0

1 





L

n

dx

L

x

n

x

f

L

b



 

cos

0

1 





L

n

dx

L

x

n

x

f

L

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

MỞ RỘNG CHẴN VÀ LẺ

Nếu hàm số tuần hoàn với mọi t thì chuỗi Fourier xác định duy
nhất.

Tuy nhiên nếu hàm số chỉ xác định trong khoảng 0<x<L nhưng
ta vẫn muốn biểu diễn giá trị hàm này dạng chuỗi hàm Fourier
thì???

1. Mở rộng hàm số ra toàn khoảng (-L,L) tức là mở rộng giá trị
hàm số trên (-L,0)

2. Mở rộng tuần hoàn ra toàn trục số theo cơng thức

3. Tìm chuỗi Fourier



x

L



f

 

x

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

CHÚ Ý

- Với mỗi cách mở rộng trên (-L,0) khác nhau sẽ cho chuỗi
Fourier khác nhau

- Các chuỗi đều hội tụ về hàm ban đầu trên (0,L) nhưng
sẽ khác nhau trong khoảng (-L,0)

- Ta thường đưa ra các mở rộng tự nhiên:

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

HAI CÁCH MỞ RỘNG

1. Mở rộng chẵn

2. Mở rộng lẻ

 















0 x

L

t

f

L

x

t

f

x

f

E

 















0 x

L

t

f

L

x

t

f

x

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

KHAI TRIỂN FOURIER SINE

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

KHAI TRIỂN FOURIER COSINE

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

VÍ DỤ

Khai triển hàm f(x)=x trên theo 2 cách

a) Hàm chẵn

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Ta mở rộng f(x)=x trên (- ,0)
Ta có:

Hay

VÍ DỤ - HÀM CHẴN

 















0 x

f







,





,

)

(

x



x





</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Khai triển Fourier:

VÍ DỤ - HÀM CHẴN

 















1

0 cos sin

2 n n n L
x
n
b
L
x
n
a
a
x

f  




n
n
a
a
b
0
0














 





0 2

0 2 1

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Ta mở rộng f(x)=x trên (- ,0)
Ta có:

Hay

VÍ DỤ - HÀM LẺ

 















0 x

f



</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Khai triển Fourier:

VÍ DỤ - HÀM LẺ

 















1

0 cos sin

2 n n n L
x
n
b
L
x
n
a
a
x

f  




n
n
a
a

b
0
0
















1
1
0
sin
1
2
sin
2
,
0
/
n
n
n
n
n
nx

nxdx
x
b
a

b Chuoãi :



</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

CHUỖI FOURIER SINE VÀ COSINE

Định nghĩa. Giả sử hàm số f(x) liên tục từng khúc trong
khoảng [0,L]. Khi đó:

Chuỗi Fourier cosine của hàm f là chuỗi:

Chuỗi Fourier sine của hàm f là chuỗi:

 

 







 



L
n
n
n dx
L
x
n
x
f

L
a
L
x
n
a
a
x
f
0
1

0 cos 2 cos

2



 

 







 



L
n
n
n dx
L
x
n
x
f
L

b
L
x
n
b
a
x
f
0
1

0 sin 2 sin

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59></div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

VI PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý. Giả sử hàm số f là liên tục với mọi x, tuần hồn
với chu kỳ 2L, có đạo hàm là f’ và đạo hàm của nó trơn
từng khúc với mọi x.

Khi đó, chuỗi Fourier của f’ là chuỗi:

Nhận được bằng việc lấy vi phân từng phần chuỗi:

 















1
cos
sin
'
n
n
n
L
x
n
b
L
n
L
x
n
a
L
n
x

f    

 















1

0 cos sin

2 n n n L

x
n
b
L
x
n
a
a
x

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý. Giả sử hàm số f là liên tục với mọi x, tuần hồn
với chu kỳ 2L và chuỗi Fourier:

Có thể khơng hội tụ. Khi đó:

và chuỗi bên vế phải hội tụ với mọi x.

 














1

0 cos sin

2 n n n L

x
n
b
L
x
n
a
a

x

f



 






 














1
0

0 2 sin cos 1

n
n
n

x
L
x
n
b
L
x
n
a
n
L
x
a
dt
t

f



</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

ĐỊNH LÝ 2.13

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

ĐỊNH LÝ 2.13

ii) Nếu f liên tục trên [0,L] và f(0)=f(L)=0 và f’ là trơn

từng khúc trên [0,L]. Khi đó chuỗi Fourier sine của

hàm f có thể lấy đạo hàm theo từng thành phần và

chuỗi kết quả chính là chuỗi Fourier cosine của f’.

Chuỗi này hội tụ đến f’ tại nhưng điểm mà f’’ tồn tại.

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64></div>
(65)<div class='page_container' data-page=65></div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

BÀI TẬP 1

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

BÀI TẬP 2

</div>

PDE Fourier Series (slide)

<b>CHƯƠNG 0</b>

<b>CHƯƠNG 1. CHUỖI FOURIER</b>

<b>KHAI TRIỂN TAYLOR</b>











)

(

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>c</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

<sub> </sub>

!

<i>n</i>

<i>x</i>

<i>f</i>

<i>c</i>

<b>VÍ DỤ</b>

<b>ĐỊNH NGHĨA HÀM TUẦN HOÀN</b>





 





 

<b>VÍ DỤ</b>



















cos

sin

2

1

<i>L</i>

<i>x</i>

<i>n</i>

<i>b</i>

<i>L</i>

<i>x</i>

<i>n</i>

<i>a</i>

<b>BIỂU DIỄN HÀM TUẦN HỒN</b>

<b>VÍ DỤ</b>





 

<b>FOURIER (1976 – 1830)</b>













cos

sin

2

1

)

(

<i>nx</i>

<i>b</i>

<i>nx</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<b>CHUỖI FOURIER CỦA HÀM CÓ CHU KỲ </b>







   