tài liệu xstk 022019 nguyenvantien0405

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>C L</b>

<b>NG </b>

<b>ƯỚ</b>

<b>ƯỢ</b>

<b>THAM S</b>

<b>Ố</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>ƯỚC LƯỢNG</b>

• _{Ước lượng điểm}

• _{Ước lượng khoảng trung bình, tỷ lệ, phương sai}
• _{Ước lượng chênh lệch hai trung bình, chênh lệch}

hai tỷ lệ

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Ước lượng</b>

• _{Tổng thể có tham số} chưa biết.

• _{Ta muốn xác định tham số này.}
• _{Lấy một mẫu ngẫu nhiên cỡ n.}

• _{Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của}

tham số  của tổng thể.

• _{Ước lượng điểm: dùng một giá trị.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Thống kê mẫu và Ước </b>

<b>lượng điểm</b>

• <b>_{Định nghĩa.}</b>_{Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn) của}

tổng thể. Một hàm của các biến ngẫu nhiên

<i>X</i>₁, <i>X</i>₂, ..., <i>X_n</i> được gọi là thống kê mẫu (statistic).

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>6.1 Ước lượng điểm</b>

• _{Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số}

 chưa biết của tổng thể.

• _{Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào}

đó của mẫu ngẫu nhiên.

• _{Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng}

được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho
tham số .

• _{Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Ước lượng khơng chệch (ƯLKC)</b>

• Thống kê T(X₁;X₂;…;X_n) gọi là ước lượng khơng
chệch của tham số  nếu:

• _{Nếu E(T)}__{thì ước lượng T gọi là một ước lượng}

chệch (ƯLC) của tham số .

• _{Độ chệch của ước lượng:}

E(T)



</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Ví dụ 1</b>

• _{Theo lý thuyết mẫu ta có:}

 







 





 

 

*2 2
2 ₂
2 2
1
<i>E X</i>
<i>E S</i>
<i>n</i>
<i>E S</i>
<i>n</i>
<i>E S</i>

<i>E F</i> <i>p</i>














*2 2 2

2 ₂

la ULKC cua
la ULKC cua

, la ULKC cua
la UL chech cua

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Ước lượng KC tốt hơn</b>

• _{Cho X, Y là hai ULKC của tham số}.

• _{Có nghĩa là:}
• _Nếu:

• _{Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ}

hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số 

nhiều hơn).

 

 

<i>E X</i>





<i>E Y</i>





 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Ví dụ 1.</b>

• _{Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn).}

a) CMR: các thống kê sau:

đều là các ước lượng không chệch của



.

b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt
hơn.

1 2
1 2

1 1 2 ₂

  


 ; <i>X</i> <i>X</i> ; <i>_n</i> <i>X</i> <i>X</i> ... <i>Xn</i>

<i>Z</i> <i>X</i> <i>Z</i> <i>Z</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Ước lượng hiệu quả</b>

• _{Thống kê T(X}₁_;X₂_;…;X_n_{) gọi là ước lượng hiệu quả}

của tham số  nếu:

•

_{T là ULKC của}

_

•

_{V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây}

dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.

• _{Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>BĐT Cramer-Rao</b>

• _{Biến nn gốc X có hàm mật độ hoặc cơng thức tính}

xác suất có chứa tham số θ dạng f(x,θ) và thỏa mãn
một số điều kiện nhất định.

• _{Cho T là một ƯLKC của θ. Ta ln có:}

• _{Vậy ULKC nào thỏa mãn dấu “=“ thì đó là ULHQ}

 









2

1

ln ,

<i>V T</i>

<i>f X</i>
<i>nE</i>



 _ _ 

 

 _ 

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Ví dụ 2.</b>

• _{Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì}

vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê:

a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng

không chệch của



.

b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.





1 2 1 2

1

2

...

...

2

;

1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>X</i>

<i>X</i>

<i>nX</i>

<i>X</i>

<i>X</i>

<i>X</i>

<i>Z</i>

<i>X</i>

<i>n n</i>

<i>n</i>

















</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Ví dụ 3</b>

Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR: là ước

lượng hiệu quả nhất của tham số μ.

<b>Giải.</b>

Dễ thấy, là ước lượng không chệch và:

Hàm ppxs của tổng thể:

•

 

2

<i>Var X</i>

<i>n</i>













 2

2
2
1
, ,
2
<i>x</i>

<i>f x</i> <i>f x</i> <i>e</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>Ví dụ 3</b>

• _{Ta có:}

• _Và:

















2
2
2

2

2











_









_







 









_

_

_









ln

ln

,

<i>x</i>

<i>f x</i>

<i>_x</i>





2

2

2 4 2

1

1

<i>X</i>

<i>E</i>



<i>E X</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Ví dụ 3</b>

• _{Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:}

• _{Vậy thống kê là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất trong}

các ước lượng khơng chệch của tham số μ của tổng
thể
•

 









 

2
2
1
ln ,

<i>Var T</i> <i>Var X</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>Các ULHQ</b>

• _{Ta chứng minh được:}

2 *2 2

.

,

.

.

<i>X la ULHQ cua</i>

<i>S S la ULHQ cua</i>

<i>F la ULHQ cua p</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17></div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>6.2 Ước lượng khoảng</b>

Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa vào mẫu
ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho:

P(a <  <b)=(1 - ) khá lớn.

Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham số

 với độ tin cậy (1 - ) .

Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn.
Dạng khoảng tin cậy:

• _{: khoảng tin cậy hai phía}

• _{: khoảng tin cậy bên trái (tối đa)}
•

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<b>Ước lượng khoảng</b>

• _{(a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng.}
• _{(1 -}): độ tin cậy của ước lượng.

• _{|b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy.}
• _{ε : độ chính xác (sai số).}

• _{Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 -}) là bao nhiêu thì phù
hợp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<b>Nguyên tắc ULK</b>

• _{Với mẫu đã chọn, tìm thống kê T có ppxs xác định}

và chứa tham số cần ước lượng.

• _{Với độ tin cậy (1-α) cho trước tìm cặp số α}₁_{; α}₂_sao

cho:

• _{Tìm các giá trị tới hạn mức (1- α}₁_{) và α}₂
• _{Ta có:}

• _{Biến đổi tương đương tìm khoảng UL cho tham số}

cần tìm.

1 2













1 1 2



1

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

<b>6.2.1. Ước lượng trung bình</b>

• _{Tổng thể có phân phối chuẩn}
• _{Ước lượng điểm khơng chệch:}
• _{Độ tin cậy:}

• _{Phân phối thống kê mẫu:}

• <b>_{Chú ý:}</b>_{t(n) hội tụ về N(0;1) khi n>30}

•













 

~ 0;1 ~

<i>X</i> <i>n</i> <i>X</i> <i>n</i>

<i>Z</i> <i>N</i> <i>Z</i> <i>t n</i>

<i>S</i>

 



 

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>Khoảng tin cậy cho phân phối chuẩn</b>

• _{Ta có:}

• _{Từ đó:} 0

/ 2



/ 2





1 



/2

<i>z</i>_

/2

<i>z</i>_





/2 /2



1

<i>P</i>



<i>z</i>

_



<i>Z</i>



<i>z</i>

_

 







/2 /2 1

 



 _ 
 _ _ _  _{ }
 
<i>X</i> <i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>Khoảng tin cậy cho phân phối Student</b>

• _{Ta có:}

• _{Từ đó:} 0

/ 2



/ 2





1 



1;
2

 
 _  _
 
<i>t n</i>

1; 1; 1

2 2
 

 _ _ _ _
 _  _   _  _  
 
   
 

<i>P</i> <i>t n</i> <i>Z t n</i>





1; 1; 1

2 2

 

 _ 
   
 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _{ }
 _ _ _ _
<i>X</i> <i>n</i>

<i>P</i> <i>t n</i> <i>t n</i>

<i>S</i>





???

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>Khoảng tin cậy</b>

• _{Khoảng tin cậy hai phía}_ biết σ

• _{Khoảng tin cậy hai phía}_ chưa biết σ

• _{Chú ý:}





2

; _ 

  

  

<i>X</i> <i>X</i> <i>z</i>

<i>n</i>



;



1;

2

    
   _  _
 
<i>S</i>

<i>X</i> <i>X</i> <i>t n</i>

<i>n</i>
/2
1; 30
2 

 
  
 
 

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

<b>Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu</b>

• <b>_{Khi ước lượng hai phía}</b>_{, sai số hay độ}
chính xác:

• _{Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:}
2

1;
2

<i>S</i>

<i>z</i> <i>hay</i> <i>t n</i>

<i>n</i> <i>n</i>












 _  _
 
2 2
/2
2 1
<i>z</i>

<i>n</i>  


 
_ _ 
 

2
2
2
1;
2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>6.2.2. Ước lượng hiệu hai kỳ vọng tốn </b>

• _{Sinh viên tự tính tốn}

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

<b>6.2.2. Ước lượng hiệu hai kỳ vọng toán </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

<b>6.2.3 Ước lượng phương sai</b>

• _{Tổng thể có phân phối chuẩn}

• _{Ước lượng điểm khơng chệch: S*}2 hay S2
• _{Độ tin cậy:}

• _{Phân phối thống kê mẫu:}

• <b>_{Chú ý:}</b>_{(n) hội tụ về N(n;2n) khi n>30}

•

 









2
*2

2 2

2 2

1

~ <i>n</i> <i>S</i> ~ 1

<i>nS</i>

<i>Z</i>  <i>n</i> <i>Z</i>  <i>n</i>

 



</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

<b>Khoảng tin cậy</b>

• _{Khoảng tin cậy hai phớa} bit à

ã _{Khong tin cy hai phớa} chưa biết µ

*2 *2
2 2
;
; ;1
2 2
<i>nS</i> <i>nS</i>

<i>n</i>  <i>n</i> 

 
 
 
 
   
 _ 
   
 
   
 

  2   2

2 2

1 1

;

1; 1;1

2 2

<i>n</i> <i>S</i> <i>n</i> <i>S</i>
<i>n</i>  <i>n</i> 

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30></div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

<b>6.2.5. Ước lượng xác suất p </b>

• <b>_{Bài tốn hai phía.}</b>_{Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về}

tính chất A nào đó).

• _{Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30).}
• _{Tìm (a,b) sao cho:}





1

<i>P a</i>



<i>p b</i>



 









1



~



0;1



<i>F</i>

<i>p</i>

<i>n</i>

<i>Z</i>

<i>N</i>

<i>p</i>

<i>p</i>





</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Ước lượng hai phía cho p

• B1. Với độ tin cậy (1-α), ta chọn α1; α2

• _{B2. KƯL của thống kê Z}

• _{B3. KƯL của tham số p}
sau khi biến đổi và xấp

xỉ

<i>�</i> <i>ớ</i> <i>��</i> <i>�</i>

√

<i>�</i> (1<i>−</i> <i>�</i>)





~

0;1

<i>Z</i>

<i>N</i>

0
/ 2

/ 2





1 



/2

<i>z</i>_

/2

<i>z</i>_





/2 /2



1

<i>P</i>



<i>z</i>

_



<i>Z</i>



<i>z</i>

_

 







1

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<b>Khoảng tin cậy cho p</b>

• _{Hai phía:}



<i>F</i>  ; <i>F</i> 







2

1

<i>F</i> <i>F</i>

<i>z</i>

<i>n</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<b>Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu</b>

• <b>_{Khi ước lượng hai phía}</b>_{, độ dài khoảng ước}
lượng:

• _{Sai số (độ chính xác của ước lượng):}
• _{Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:}





2

1

2 2<i>z</i> <i>F</i> <i>F</i>

<i>n</i>



  





2

2
2

1

1

<i>F</i> <i>F z</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35></div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

<b>Bài 1</b>

• _{Trong kho hàng xí nghiệp A có rất nhiều sản phẩm. Lấy}

nn 100 sp cân lên ta thấy

a) Các sp từ 1050 gr trở lên là sp loại 1. Ước lượng

trọng lượng trung bình của các sp loại 1 với độ tin cậy
98% (giả sử trọng lượng sp có pp chuẩn)

<b>Xi (gr)</b> 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

<b>Bài 1</b>

b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại 1 với độ tin cậy
98% và độ chính xác 3% thì cần điều tra thêm bao
nhiêu sản phẩm nữa.

c) Giả sử trong kho để nhầm 1000sp của xí nghiệp B và
trong 100 sp lấy ra có 9 sp của xí nghiệp B. Hãy ước

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

<b>Bài 2</b>

• _{Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là}

bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả
sau:

• _{Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2}

trường hợp:

a) Biết kỳ vọng là 20?
b) Không biết kỳ vọng?

<b>X</b>

19,

5

2

0

20,

5

<b>n</b>

<b>i</b>

5

1

8

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<b>Bài 3</b>

• _{Năng suất lúa một vùng (tạ/ha) là bnn có phân phối}

chuẩn. Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ha ta có số liệu sau:

• _{Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với độ tin}

cậy 95%

• _{Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho phương}

sai của năng suất.





100 ₂

1

37,9; <i>_i</i> 1059

<i>i</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

<b>Bài 4</b>

• _{Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột do một máy đóng bao}

sản xuất ta có:

• _{Giả thiết trọng lượng các bao bột là bnn có phân}

phối chuẩn. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình

 với độ tin cậy 95%.

2

39,8; 0,144

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

<b>Bài 5</b>

• _{Một lơ hàng có 5000 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên 400}

sản phẩm từ lơ hàng thì thấy có 360 sản phẩm loại A.
a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng với

độ tin cậy 96%?

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

<b>Bài 6</b>

• _{Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt}

2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ. Sau đó người
ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị đánh dấu.
Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

<b>Bài tập</b>

• _{4.2 – 4.13}

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

<b>Ví dụ</b>

• _{Một tổ chức nghiên cứu tiếp thị được thuê để ước}

lượng số trung bình lãi suất cho vay cơ bản của các ngân
hàng đặt tại vùng phía tây của Hoa Kỳ.

• _{Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 50 ngân hàng được chọn}

trong nội bộ vùng này, và lãi suất cơ bản được ghi nhận
cho từng ngân hàng.

• _{Trung bình và độ lệch chuẩn cho 50 lãi suất cơ bản là x =}

1.8 % và s = 0.24

• _{A) Hãy ước lượng số trung bình lãi suất cơ bản cho tồn}

khu vực, và tìm biên sai số đi cùng với ước lượng đó.

• _{B) Tìm một khoảng tin cậy 90% cho số trung bình tỷ lệ}

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

• _{Một sự gia tăng tỷ lệ tiết kiệm của người tiêu dùng}

thường ñược gắn chặt với sự thiếu tin tưởng vào
nền kinh tế và ñược cho là một chỉ báo về một xu
hướng suy thoái trong nền kinh tế. Chọn mẫu ngẫu
nhiên n = 200 tài khoản tiết kiệm tại một cộng ñồng
địa phương cho thấy một sự gia tăng trung bình

trong tài khoản tiết kiệm là 7.2% trong vòng 12

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46></div>

<!--links-->