phép tính vi phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.82 MB, 26 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

PHÉP TÍNH VI PHÂN

HÀM MỘT BIẾN

CHƯƠNG 1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa hàm một biến

• ChoD, Elà tập con của tập số thực R.Hàm số flà

một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tửxtrong
tậpDvới duy nhất một phần tửf(x)trong tậpE.

a f a

1
f

D f E

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa hàm một biến

• D: miền xác định (domain)

• E: miền giá trị (range)

• x:biến độc lập (independent variable)
• f(x): biến phụ thuộc (dependent variable)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm số

• Cho hàm số:

• Đồ thị của hàm f là tập hợp tất cả các điểm (x,y)
thỏa y=f(x) với xD.

• Ký hiệu đồ thị hàm f là G(f). Ta có:

• Biểu diễn tập G(f) lên mặt phẳng Oxy ta được
một đường (cong hoặc thẳng), đường này gọi là
đồ thị của hàm số f.

f D E

G f x f x x D

Đồ thị hàm số

• Đồ thị hàm số y=2x+x2

f

Đồ thị hàm số

domain mxd
range

mgt y f x

0 x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tiêu chuẩn đường thẳng đứng

• Đường cong trong mặt phẳngOxylà đồ thị của

hàm f khi và chỉ khi khơng có đường thẳng
đứng nào cắt đường congnhiều hơn một điểm.

• Chú ý: đường thẳng đứng trong Oxy có dạng:
x=a

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

0 x

y

Đây là đồ thị của hàm một biến

x a

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

0 x

y

Đây khơng phải là đồ thị của hàm một biến

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm xác định từng khúc

• Được định nghĩa khác nhau trên mỗi tập con

khác nhau của miền xác định.

Ví dụ 1: Hàm giá trị tuyệt đối

Ví dụ 2:

, 0

???

, 0

x x

f x x mxd

x x

1 , 1

???

, 1

x x

f x mxd

x x

Hàm xác định từng khúc

0 x

y

y x

, 0

x x

f x

x x

0 0

f

Hàm xác định từng khúc

0 x

y

1
1

y x

0 1

1 0

2 4

f
f
f

1 , 1

, 1

x x
f x

x x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính đối xứng

• Hàm số chẵn: f là hàm chẵn trên miền D nếu:

• Hàm số lẻ: f là hàm lẻ trên miền D nếu:

• Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy là trục đối xứng.

• Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O là tâm đối
xứng.

x D x D v f x f x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Hàm số sau đây là chẵn, lẻ hay khơng chẵn
khơng lẻ?

• Giải:

• Vậy hàm f(x) là hàm lẻ.

5 4

) ) 1

) ) 3

a f x x x b g x x

c h x x x d k x x

5 5

x x x x f x

f x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

b) Ta có:

Vậy g là hàm chẵn.
c)

Vậy hàm h không chẵn, không lẻ.

4 4

1 x 1 x g

g x x

2 2

h x x x

x

h x x x

h x h x h x h x

x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

d) Tập xác định:

Vì:

Nên hàm số đã cho có tập xác định khơng đối
xứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.

; 3

D

4 D ; 3 mà 4 D

Hàm số tăng, giảm

• Hàm số f tăng trên khoảng I nếu:

• Hàm số f giảm trên khoảng I nếu:

• Đồ thị hàm số tăng đi lên từ trái sang phải.

• Đồ thị hàm số giảm đi xuống từ trái sang phải.

1 2 1 2 , 1, 2

x x f x f x x x I

1 2 1 2 , 1, 2

x x f x f x x x I

Ví dụ

y f x

b

a0 c x

y

d

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số ngược

• Định nghĩa hàm 1-1:Hàm số f gọi là hàm 1-1
nếu nó khơng nhận cùng một giá trị nào đó 2
lần trở lên. Nghĩa là:

• Tiêu chuẩn đường nằm ngang:Hàm f là hàm
1-1 khi và chỉ khi khơng có đường thẳng nằm
ngang nào cắt đồ thị của nó tại nhiều hơn một
điểm.

1 2 , 1 2

f x f x x x

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Hàm f là hàm 1-1; hàm g không là hàm 1-1.

1
2

10
21

5
6

1
2
3

3
15
8

f

g

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Hàm số sau có là hàm 1-1?

• Ta có:

• Theo định nghĩa f là hàm 1-1.

3
f x x

3 3

1 2 1 2 1 2

x x x x f x f x

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Đồ thị hàm số

f(x)=x3

• Ta thấy mọi đường
nằm ngang chỉ cắt
đồ thị tại một điểm
duy nhất. Khơng có
đường nào cắt
nhiều hơn một
điểm. Vậy f là hàm
1-1.

x
y

Ví dụ

• Hàm số: g(x)=x2có phải hàm 1-1?

• Đáp số:

Vì 1-1 nhưng g(1)=1=g(-1) nên hàm đã cho
khơng là hàm 1-1.

Tuy nhiên xét riêng trên miền [0, +) thì hàm g là
hàm 1-1.

Vì: 2 2

1 2 1 2 1 2

1, 2 0;

x x x x g x g x

x x

Ví dụ

• Xét trên tồn

trục số g
khơng là 1-1.

• Xét trên miền
[0; +) hàm g
là 1-1.

0 x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số ngược

Định nghĩa:

• Cho f là hàm 1-1, có miền xác định A và miền
giá trị B.

• Hàm ngược của hàm f kí hiệu là f-1, có miền xác

định B, miền giá trị A.

• Được xác định theo hệ thức sau:

1 ,

f y x f x y y B

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Hàm số ngược của hàm f.

2
3

10
21

5
6
f

1 10 1

f
1
2
3

10
21

5
6

1 10

f

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Chú ý

• Miền xác định của f-1= miền giá trị của f.

• Miền giá trị của f-1= miền xác định của f.

• Ta thường ký hiệu y là biến phụ thuộc và x là
biến độc lập nên hàm số ngược thường viết
dạng:

y f x f y x

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Hàm ngược của hàm:

• Là:

• Vì:

f x x

1 1/3

f x x x

1/3 1/3

f y f x x x

Cách tìm hàm ngược

1. Viết:

2. Giải phương trình trên tìm x theo y (nếu
được).

3. Hốn đổi x và y. Ta có kết quả:

y f x

y f x

Ví dụ

• Tìm hàm ngược của hàm:

• Giải:

• Hốn đổi:

• Vậy hàm ngược:

3 2

f x x

3 2 3 2 3 2

y x x y x y

3 2

y x

1 2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tìm hàm ngược của:

• Chú ý: trên miền đã cho g là hàm 1-1 nên có hàm
ngược.

• Ta có:

• Hốn đổi: Vậy hàm ngược:

2, 0

g x x x

2 2

, 0

y x x x y x y

y x x g 1 x x 0 x

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Chú ý

• Từ định nghĩa ta có:

• Đồ thị hàm ngược f-1đối xứngvới hàm f qua

đường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứ
nhất)

1
1

) ,

i f f x x x A

ii f f x x x B

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị

Đồ thị hàm ngược

f-1đối xứngvới

hàmf quađường
thẳngy=x(phân
giác góc phần tư
thứ nhất)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Các phép tốn hàm số

• Cho hai hàm số f, g có miền xác định là A, B. Khi đó:
• Tổng và hiệu của f và g:

• Tích của f và g:

• Thương của f và g:

. . ; :

f g x f x g x mxd A B

, :

f g x f x g x mxd A B

: 0

f x

f x mxd x A B g x

g g x

Hàm số hợp

• Cho hai hàm:

• Thỏa:

• Khi đó tồn tại hàm hợp:

• Ta có:

: :

f X R g Y R

o

f g X Z

h x f g x f g x

g Y X

o

f g h

Ví dụ

• Cho

• Ta có:

2
3;

g x x f x x

2 2

3 3

o
o

f g x f g x f x x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Cho hai hàm số:

• Xác định và chỉ ra miền xác định của các hàm
sau:

; 2

f x x g x x

) ; ; ;

) o ; o ; o ; o
f
a f g f g fg

g
b f g g f f f g g

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giải

• Ta có:

• Vậy:

: 0;

f x x mxd A

2 : ;2

g x x mxd B

2 : 0;2

f g x x x mxd A B

2 : 0;2

f g x x x mxd A B

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giải

• Vậy:

. 2 : 0;2

fg x x x mxd A B

: \ 0 0;2 \ 2 0;2

f x

x

g x

mxd A B x g x

0 2 2

: ;

2
2

x x

f g x f g x f x

mxd

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giải

: 0 4 : 0; 4

2 0

g f x g f x g

x

DK x mx

x

d

x

: 0;

x

f f x f f x f x x

mxd

Giải

0 2 2 2

g g x g g x g x x

2 0 2

: 2 2

2 4

2 2 0

: 2;2

x x

DK x

x
x

mxd

Ví dụ

• Cho hàm số:

• Tìm các hàm f, g, h sao cho:

• Đặt:

• Khi đó:

cos 9

F x x

0 0
F f g h

9, cos ,

h x x g x x f x x

0 0 0 0

2 2

9 cos 9

cos 9 cos 9

f g h x f g h x f g x

f g x f x

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

CÁC LOẠI

HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm tuyến tính

• Ta nói y là hàm tuyến tính của x nếu:

• Đồ thị hàm y là một đường thẳng cắt trục tung
tại điểm có tung độ b, hệ số góc là a.

y

ax

b

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đa thức

• Hàm P gọi là một đa thức nếu:

• a0,a1, …, an: hệ số của đa thức

• n: bậc của đa thức (an0)

• Miền xác định: D=R

1 2

1 ... 2 1 0

n n

P x a x a x a x a x a

n

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm hữu tỷ

• Dạng:

• Trong đó P, Q là các đa thức.

• Miền xác định: là tập các giá trị x thỏa Q(x)0.

• Ví dụ:

P x
f x

Q x

5 2

3 1 ; : 3

x x

f x mxd x R x

x

Hàm đại số

• Sử dụng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia,
lấy căn các hàm đa thức ta được hàm đại số.

• Ví dụ:

2 5

1 2 4

2 3

f x x x

x

g x x x x

x x

Hàm lũy thừa

• Dạng:

• >0 : hàm số tăng.

• <0 : hàm sốgiảm

• Đồ thị hàm số ln đi qua điểm (1,1) và đi
quagốc (0,0) vàkhông quagốc nếu<0.

, , 0

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lũy thừa

Giá trị của Miền xác định

Z * \ 0

Q 0;

hay * 0;

• Miền xác định:tùy thuộc vào số mũ

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số mũ

• Dạng:

• Miền xác định:D=R.
• Miền giá trị: (0; +).
• Nếua>1: hàm sốtăng.

• Nếu0<a<1: hàm sốgiảm.

• Đồ thị hàm số ln đi qua điểm (0,1), nằm
phía trên vàtiệm cận với trục hồnh.

,(

0,

1)

x

y

a a

a

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm số 2

và (1/3)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số mũ

• Tính chất:

.
.

. .

, , ; 0

x y x y
x

x y x

y x

y
x x y

x x x

m
n m
n

i a a a

a

ii a a

a a

iii a a

iv a b a b

v a a m n N n

Hàm logarit cơ số a

• Dạng:

• Miền xác địnhD= (0; +),miền giá trị: R
• Là hàmsố ngược của hàm số mũy=ax.

• Logarit với cơ số e (e≈2.71828) gọi là logarit cơ số tự
nhiên.

log ,a 0, 1

y x a a

log y

a

y x x a

logex lnx

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị log

2

x và log

1/3

x

Hàm số tăng nếu a>1
và giảm nếu 0<a<1

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm logarit

• Tính chất:

log

log ( . ) log log

log log log

log ( ) log

log log .log
a

a a a

a a

x

a a b

i x y x y

x

ii x y

y

iii x x

iv x a

v c b c

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm logarit

• Tính giá trị sau:

• Giải:

2 2 2 10

) log 80 log 5 ? )log 10.log 4

a b

2 2 2 2 2

)log 80 log 5 log log 16 log 2 4

a

1/2

2 10 2 1

2 2

)log 10.log 4 log 10 .log 4

1log 0.log 4 1log 4

2 1 2 1

b

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lượng giác

• 1. Hàm sin, cos:

• Tập xác địnhR,
• Tập giá trị là [-1, 1]
• Tuần hồn với chu kỳ 2π.

sin ; cos

y x y x

sin 2 sin ,

cos 2 cos ,

x k x k Z

Hàm lượng giác

• Đồ thị hàm

sin x và cosx
trên [-2;
2]

Hàm lượng giác

• 2. Hàm tan:

• Điều kiện xác định:

• Tập giá trị làR.

• Tăng trên các khoảng:

• Tuần hồn với chu kỳπ.
tan

y x

x k

( , )

2 k 2 k

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm tan(x)

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

4. Hàm lượng giác

• 3. Hàm cot:

• Điều kiện xác định:

• Tập giá trị làR.

• Tăng trên các khoảng:

• Tuần hồn với chu kỳπ.
cot

y x

x

k

( ,k k )

cot

x

k

cot ,

x

k

Z

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Quan hệ hàm lượng giác

• Ta hay dùng cơng thức sau:

• Sinh viên tự ôn lại các kiến thức lượng giác.

2 2

sin

) sin cos 1 ) tan

cos
cos

) cot ) tan .cot 1

sin

1 1

) 1 tan ) 1 cot

cos sin

x

i x x ii x

x
x

iii x iv x x

x

v x vi x

x x

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm arcsinx

• Đồ thị hàm sinx trên [-;]

• Đồ thị y=sinx trên [-/2;/2]

Hàm lượng giác ngược

1. Hàm arcsin: (đọc là ác – sin) hay sin-1

Là hàm ngược của hàm y=sin(x)

Tập xác định:[-1,1]. Tập giá trị:

Là hàm lẻ, tăng.

arcsin

sin

y

x

,
2 2

arcsin sin

2 2

y x x y y

Hàm arcsinx

• Đồ thị hàm arcsin x:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Đồ thị hàm sin(x) và arcsin(x)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tính:

• Giải:

1 1 1

)sin ) tan arcsin

2 3

a b

1 1 1

sin ì sin à ;

2 6 v 6 2 v 6 2 2

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tính:

• Đặt:

• Vậy:

1
) tan arcsin

b

1 1

arcsin sin à

3 3 2 2

x x v x

1 1

tan arcsin tan

3 x 2 2

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tìm

• Giải:

1 1 7 1

)sin sin )sin sin )sin sin 2

6 6

a b c

) ; sin sin

6 2 2 6 6

a

Ví dụ

• Ta có:

• Tính trực tiếp:

7 7 7

; sin sin

6 2 2 6 6

1 7 1 1

sin sin sin

6 2 6

ì sin à ;

6 6 2 2

v v

Hàm lượng giác ngược

2. Hàm arccos: (đọc là ác – cô sin) hay cos-1

Là hàm ngược của hàm y=cos(x)

Tập xác định:[-1,1]. Tập giá trị: [0;]
Là hàm giảm.

arccos

cos

y

x

arccos

cos , 0

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm arccos x

y=cosx trên miền [0; 2]

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm arccos(x) và cos(x)

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm lượng giác ngược

3. Hàm arctan: (đọc là ác – tang)
Là hàm ngược của hàm y=tan(x)

Là hàm lẻ, tăng.
Tập xác định: R.
Tập giá trị:

arctan

tan

y

x

/ 2; / 2

arctan tan ,

2 2

y x x y y

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Đơn giản biểu thức:

• Ta có:

1
cos tan x

tan tan ,

2 2

y x x y y

2 2

1 1

1 tan cos

cos 1 tan

1 1

cos

1 tan 1

y y

y

y x

Hàm lượng giác ngược

4. Hàm arccot: (đọc là ác – cô tang)
Là hàm ngược của hàm y=cot(x)

Tập xác định: R. Tập giá trị:
Là hàm giảm.

arccot

cot

y

x

arccot cot , 0

y x x y y

Hàm siêu việt

• Các hàm không phải hàm đại số gọi là hàm siêu
việt.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Một số hàm trong phân tích Kinh tế

• Hàm sản xuất: Q=Q(L)

• Hàm doanh thu: R=R(Q)

• Hàm chi phí: C=C(Q)

• Hàm lợi nhuận: π= π(Q)=R(Q)-C(Q)

• Hàm cung: Qs=S(p), tăng theo p

• Hàm cầu: Qd=D(p), giảm theo p

• Ghi chú: L là lao động; Q là sản lượng; p là giá

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

• Giới hạn dãy số

• Giới hạn hàm số

• Tính chất

• Cơng thức giới hạn cơ bản

• Vơ cùng lớn

• Vơ cùng bé

• Ngắt bỏ vơ cùng bé tương đương

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Dãy số

• Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tự
nhiên khác 0.

• Ta thường ký hiệu dãy số là (un).

• ungọi là số hạng thứ n của dãy.
*

u N R

n u n

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Dãy số

• Cho dãy số:

• Ta có:

• Hỏi:

• Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu?

2 1

n
u n

n

1 2 3

1 2; 1; 4;...

2. 1 5

1
1

u u u

100 ? 999 ? 9999999 ?

u u u

Dãy số

• 10 giá trị đầu của dãy:

n un

1 2

2 1

3 0.8

4 0.714285714
5 0.666666667
6 0.636363636
7 0.615384615

8 0.6

9 0.588235294
10 0.578947368

• Các giá trị tiếp theo:

n un

100 0.507537688
101 0.507462687

9999 0.500075011
10000 0.500075004
10000000 0.500000075
100000000 0.500000008
1000000000 0.500000001
10^9

Dãy số

• Nhận xét:

• Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số0.5.

• Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và0.5

càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10
-9).

• Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăng
n lên và có thểnhỏ tùy ýmiễn làn đủ lớn.
• Vậy ta nói giới hạn của dãy số là0.5.

2 1

n
u n

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa giới hạn dãy số

• Dãy số (un) có giới hạn là a nếu:

• Chênh lệch(un) và a có thểnhỏ tùy ýkhin đủ lớn.

• Ký hiệu:

0 0 0 .

0, n :n n un a

lim
lim

n

n n

n
n

u a hay u a

hay u a

nhỏ tùy ý n đủ lớn Chênh lệch

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Chứng minh:

• Bước 1. Lấy>0

• Bước 2. Lập hiệu:

• Bước 3. Tìm điều kiện của n để:(nếu có)

1 1

lim 0, 5

2 1 2

n

n
n

n

u a

n

u a

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Bước 4. Chọn n0, viết lại dưới dạng định nghĩa

và kết luận.

• Giải.

• Với mọi>0. Ta có:
n

n

u a

n n

1 1 3

2 1 2 2 2 1

3 3 1

2 1

2 4 2

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Chọn

• Ta có:

Vậy theo định nghĩa:

3 1

2 2

n

0 0

3 1 1

0, :

2 2 n 2

n n n u

1
lim

n
n u

Ví dụ

• Chứng minh giới hạn sau bằng định nghĩa:

lim 1

n

n
n

Hệ quả

• Số a khơng là giới hạn của dãy (un) nếu:

• Tồn tại>0 sao cho với mọi n0đều tồn tại n1>n0

để chênh lệch giữa un1và a lớn hơn.

• Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cách
giữa dãy (un) và a. Độ chênh lệch giữa (un) và a

không thể nhỏ tùy ý.

0 1 0

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vơ cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến +khi và chỉ khi:

• (un) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủ
lớn.

• Ký hiệu:

0 0

0, 0 : n .

A n n n u A

lim

n

n

u

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vô cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến -khi và chỉ khi:

• (un) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủ
lớn.

• Ký hiệu:

0 0

0, 0 : n .

A n n n u A

lim n

n u

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất

• 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.

• 2. Cho lim ; limn n tồn tại hữu hạn. Khi đó:
n u n v

) lim lim lim

) lim . lim . lim
lim

) lim , lim 0

lim

) lim lim

n n n n

n n n

n n n n

n n n

n
n n

n

n n

n n n

n n

a u v u v

b u v u v

u
u

c v

v v

d u u

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất

• Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa:

• Nếu:

lim

) lim lim , lim 0

) lim 0 lim 0

n

n n v

v

n n n

n n

e u u u

f u u

n n n

u v z n n

lim n lim n

n u n z a thì nlimvn a

Minh họa

n n n

u v z n n

a

Ví dụ

• Tìm giới hạn dãy số:

• Ta có:

• Vậy:

sin 5

) )

n

n n n

n

a u b v

n n

2 2

sin 1

0 0

1 1

n

n
u

n n

lim

n

0 lim

n

0

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cơng thức giới hạn

6) lim 0 0 7) lim 1,

ln
ln

8) lim 0 0 9) lim 0

n p

n n

p p

n

n n

a n p

n
n n
n e
1) lim
0
2) lim
0 0
n
n
C C
n

0 , 1

3) lim
, 1
n
n
q
q
q
1
4) lim 1

n

n n e 5) lim 1

n
a
n
a
e
n

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Các dạng vơ định

• Có 7 dạng vơ định:

• Quy tắc cần nhớ:

0 0

; ; ; 0. ; 1 ; 0 ;

ln n n an n! , 0;a 1

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tìm giới hạn dãy số

• Biến đổi đại số (nhân liên hợp, các hằng đẳng
thức …)

• Chia tử và mẫu cho biểu thức khác 0 (thường
chia cho nhay an…)

• Dùng cơng thức giới hạn dãy số e.

• Dùng định lý kẹp

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tìm các giới hạn sau:

2 2 2

2 3

) lim 1

1 1 1

) lim ...

1.2 2.3 1

1 2 ...

) lim
) lim
1 1
n
n
n
n

a n n

b
n n
n
c
n
n n
d
n n

Ví dụ

• Tìm các giới hạn sau:

1 1
1
1

1
2 3
) lim
2 3
2 3
) lim
2 3
5.2 3.5
) lim
100.2 2.5
6 5
) lim
5 6
n n
n n
n
n n
n n
n
n n
n n
n
n n
n
n n
a
b
c
d

Ví dụ

• Tìm các giới hạn sau:

2
3
3 1
2
2
2
) lim 1

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tìm các giới hạn sau:

2 3

sin
) lim

1
arctan
) lim

sin cos
) lim

1.sin !

) lim

n

n n

a
n

n
b

n

n n

c

n

n n

d

n

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn hàm số

• Để có cái nhìn trực

quan về giới hạn
hàm số ta xét ví dụ
sau.

• Cho hàm số:

2 2

f x x x

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn hàm số

• Bảng giá trị của hàm số khi x gần 2 (nhưng
khơng bằng 2)

• Ta có: x f(x) x f(x)

1 2 3 8

1.5 2.75 2.5 5.75
1.75 3.3125 2.2 4.64

1.9 3.71 2.1 4.31
1.95 3.8525 2.05 4.1525
1.99 3.9701 2.01 4.0301
1.995 3.985025 2.005 4.015025
1.999 3.997001 2.001 4.003001

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn hàm số

• Từ bảng giá trị và đồ thị ta thấy. Khix dần về 2

(cả 2 phía) thì giá trị củaf(x) dần về 4. Có nghĩa
là giá trị f(x) có thểgần 4 một cách tùy ýnếu ta
chọnx đủ gần 2.

• Ta nói: Giới hạn của hàm số f(x)=x2-x+4khi x

dần đến 2 bằng 4.

2
2

lim 2 4

x x x

Định nghĩa

• Giới hạn của hàm sốf(x)khix dần đến abằngL

nếu giá trị củaf(x)có thểgần Lmột cáchtùy ý
khi lấy giá trị của x đủ gần a nhưng x khơng
bằng a.

• Ký hiệu:

• Dạng toán học:

lim

x a f x L

lim

0, 0, :0

x af x L

x D x a f x L

Ví dụ

• CMR:

• B1. Lấy>0 tùy ý.

• B2. Lập hiệu:

• B3.Khi x gần 2. Từ bất phương trình trên giải:

2
2

lim 2 4

x x x

4 2

f x x x

2 ???

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• B3.Vì x gần 2 nên ta có thể giả sử:

• Ta có:

• Vậy:

1; 3 2 1 4

x x

2 2 2 1 4 2

x x x x x

2
4

2 2 2

4 x

x x x

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• B4. Viết lại theo định nghĩa:

• Kết luận:

0, : 0

4 x 2 x x 2 4

2
2

lim 2 4

x x x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa

• Ta chỉ quan tâm đến giá trị

hàm số f(x) khi x gần a nhưng
xa. Do đó ta khơng quan
tâm việc hàm số có xác định
tại a hay khơng.

• Chẳng hạn hàm f(x)=sinx/x

khơng xác định tại 0. Nhưng
ta có:

x (sinx)/x

1 0.841470985

0.5 0.958851077

0.4 0.973545856

0.3 0.985067356

0.2 0.993346654

0.1 0.998334166

0.01 0.999983333

0.005 0.999995833
0.001 0.999999833
0

sin

lim 1

x

x
x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn bên trái

• Định nghĩa:Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
đến a từbên tráibằng L nếu giá trị của hàm số

f(x)có thểgần Lmột cáchtùy ýkhi giá trị củax
đủ gần a và x nhỏ hơn a.

• Ký hiệu: lim

x a f x L

lim

0, 0, :0

x a f x L

x D a x f x L

Giới hạn bên trái

L
f x

y f x

0 x

x
y

a

lim

x a f x L

Giới hạn bên phải

• Định nghĩa:Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
đến a từbên phảibằng L nếu giá trị của hàm số

f(x)có thểgần Lmột cáchtùy ýkhi giá trị củax
đủ gần a và x lớn hơn a.

• Ký hiệu:

lim

x a

f x

L

lim

0, 0, :0

x a f x L

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn bên trái

L

f x
y f x

x

x
y

a

lim

x a f x L

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định lý

lim
lim

lim
x a
x a

x a

f x L

• Hàm số f có giới hạn L khi x tiến tới a khi và chỉ
khi:

• f có giới hạn trái và giới hạn phải tại a.

• Hai giới hạn đó bằng nhau

• Bằng L

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Luật tính giới hạn

• Cho các giới hạn sau tồn tại hữu hạn:

• Ta có:

lim ; lim

x af x x ag x

1.lim 2.lim 3.lim n n

x aC C x ax a x ax a

5. lim . lim . lim

x a f x g x x a f x x ag x

4. lim lim lim

x a f x g x x a f x x ag x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Luật tính giới hạn (tt)

lim

6. lim lim 0

lim
x a

x a x a

x a

f x
f x

g x

g x g x

9. limn n
x a x a
8. limn n lim

x a f x x af x

7. lim n lim n

x a f x x af x

Với điều kiện
các biểu thức

có nghĩa

Tính chất

• Nếu f là một đa thức hay một hàm hữu tỷ và a
nằm trong tập xác định của f thì:

• Nếu và tồn tại giới hạn:
thì:

lim

x af x f a
,

f x g x x a

lim

x ag x L

lim lim

x af x x ag x L

Ví dụ

• Tính:

• Giải:

2
2

2 2

2 1

)lim 3 4 ) lim

5 3

x x

x

a x x b

x

2 2

) lim 3 4 2 3.2 4 2

x

a x x

2. 2 1

2 1 7

) lim

5 3 5 3. 2 11

x

x
b

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tính:

• Ta có:

• Mà:

• Vậy:

2
2

lim ???

2
x

x
x

2 4 2 2

2, 2

2 2

x x

x

x x

lim 2 4

x x

2 2

lim lim 2 4

x x

x

x
x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vơ cực

• Xét:

• Khi x gần 0, f(x) có thể
lớn một cách tùy ý chứ
f(x) khơng dần đến một
số nào đó.

• Ta nói: giới hạn hàm số
tại x=0 không tồn tại và

viết:

2
1
f x

x

2
0

1
lim
x x

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vơ cực

• Cho hàm f xác định về 2 phía điểm a, trừ điểm
a.

• Nếu giá trị f(x) có thể lớn tùy ý khi x đủ gần a,
xa. Ta nói:

• Nếu giá trị f(x) có thể nhỏ tùy ý khi x đủ gần a,
xa.

lim

x a

f x

lim

x a

f x

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Giới hạn vơ cực

x

y x a

lim
x a f x

Định lý kẹp

• Nếu khi x gần a (có thể trừ
điểm a) và:

• Thì:

f x g x h x

lim lim

x af x x ah x L

lim

x ag x L

Công thức giới hạn

sin

1. lim 1

x

x
x

1
0

3. lim 1 x

x x e

7. lim 1

x
x

e
x
0

1 1

5. lim

x
x

x

0
tan

2.lim 1

x

x
x

1
4. lim 1

x

x x e

2
0

1 cos 1

6.lim

2
x

x
x

0
ln 1

8.lim 1

x

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Cơng thức giới hạn

arcsin

9. lim 1

x

x
x

11. lim arctan
2

x x

13. lim arcco t

x x
0
arctan
10.lim 1
x
x
x

12. lim arctan
2

x x

14. lim arcco t 0

x x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Nhận dạng và tính giới hạn sau

2 3

2 1 3

. lim

. lim 1

sin 2
. lim
sin 3
ln ln
. lim

. lim
x
x
x
x
x x
x
x
a
x

b x x

x
c

x

x a a

d
x
e e
e
x
0
0
0
0
0

0
0
0

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Nhận dạng và tính giới hạn:

. lim 1

ln 1

. lim

. lim tan

2
x
x

x e

x

a x e

x
b

x e

c x x

.0
0
0
0.

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Nhận dạng và tính giới hạn:

2
1
0
2
2
2
2
2
2
. lim cos
5
. lim

5 4
5 3
. lim
4
x
x
x
x
x
x
a x
x x
b
x
x
c
x
1
1
5

Vơ cùng bé

• Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là vơ cùng bé
(VCB) khi xa nếu:

• Ví dụ:

sinx là VCB khi x0 vì:
1/x là VCB khi xvì:

lim 0

x af x

lim sin 0

x x

lim 0

x x

Tính chất

1. Tổng hữu hạn các VCB là một VCB.
2. Tích hai VCB là một VCB.

3. Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một
VCB.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa

• Chof(x); g(x)là hai VCB khixa. Giả sử:

1. Nếuk=0thìf(x) làVCB bậc caohơng(x).

Ký hiệu: f(x)=0(g(x))

2. Nếukhữu hạn, khác 0 ta nóif(x)vàg(x)là haiVCB
cùng cấp

3. Nếuk=1thìf(x)vàg(x)là haiVCB tương đương.

Ký hiệu: f(x) ~ g(x)

4. Nếuk=ta nóif(x)làVCB bậc thấphơng(x).
lim

x a
f x

k
g x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Các VCB tương đương khi x



0

1) sin 2) tan

3)arcsin 4)arctan

5) 1 cos 6) 1 1

7) 1 8) 1 ln

9) ln 1 10) log 1

x x

a

x x x x

e x a x a

x x x x

a

• Đây là các VCB khi

x



0

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

• Các VCBbậc caobị ngắt bỏ.

• Giới hạn có dạng 0/0

• Các dạng khác ta biến đổi để xuất hiện dạng
0/0.

Tổng hữu hạn các VCB
lim

Tổng hữu hạn các VCB

x a

VCB bậc của tử
lim

VCB ba

thấp nhất
thấp nha

äc át của ẫum

x a

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tính:

• Ta có:

• Vậy:
x
x
I
x
5
0
1 1
lim
arctan

x x x khi x

x x

1/5

51 1 1 1 1

0
5

arctan
x x
x
x
I
x x
5
0 0
1

1 1 5 1

lim lim

arctan 5

Ví dụ

• Tính:

• Ta có:

• Vậy:

x

x x

J

x2 3x

ln 1 tan

lim

sin

x x x x x

khi x

x x

3 3

ln 1 tan tan

0
sin

x x x

x x x x

I

x2 3x x2 x3 x2

0 0 0

ln 1 tan

lim lim lim 1

sin

Ví dụ

• Tính:
x
x
x x
x
x
x
x
x
e x
K
x
e e
L
x
e
M
x
e x
N

x x
2
2
0
sin 5
0
1
1
4 3
0
cos 3
lim
2
sin
lim 2

ln 1 2

sin 1

lim 1

1 cos 1 1

lim

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Vơ cùng lớn

• Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là vô cùng lớn
(VCL) khi xa nếu:

• Ví dụ:

x a f x hay
lim

) ; ;cot laø VCL khi .
sin

) tan laø VCL khi .

i x x

x x

ii x x hay x

1 1

2 2

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Định nghĩa

• Chof(x); g(x)là hai VCL khixa. Giả sử:

1. Nếu k=thìf(x) làVCL bậc caohơng(x).
2. Nếukhữu hạn, khác 0 ta nóif(x)vàg(x)là haiVCL

cùng cấp

3. Nếuk=1thìf(x)vàg(x)là haiVCL tương đương.

Ký hiệu: f(x) ~ g(x)

lim

x a
f x

k
g x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

• Các VCLbậc thấpbị ngắt bỏ.

• Giới hạn có dạng/.

Tổng hữu hạn các VCL
lim

Tổng hữu hạn các VCL

x a

VCL bậc của tử
lim

VCL ba

cao nhaát
cao nhaá

äc t của ẫum

x a

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Tính:

• Ta có:

• Vậy:

x

x x x

I

x x

2
2

4 2 3

lim

x x x

khi x

x x

2 2

2
4
4

2
2

4 2 3 2 3 3

lim lim

2
4

x x

x x x x x x

I

x x

Ví dụ

x x

x x x

e e x

J

x x x

ln 1 ln

lim lim lim 1

x

x x

3 3 3 2

3
2

3 7

lim
x

x x x

K

x x

3 2 2

3 3

3
2

3 2 1 32 8

lim

2 1

x

x
x
3 3

3
2
3

lim 3

Liên hệ VCB và VCL

• Định lý: Xét q trình xa:

• Nếu f(x) là VCB thì: là VCL.

• Nếu f(x) là VCL thì: là VCB.

g x
f x

g x

f x

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Chú ý khi thay thế hàm tương đương

• Cho f(x)~f1(x) và g(x)~g1(x)

• Khi đó:

f x g x f x1 g x1 f x1 g x1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Thay thế sai

x x

x x x

x

x3 3

0 0

tan sin

lim lim

x x

x x x

x

3 3

0 0

tan sin tan

lim lim

x x

x

x x x

x3 x3

0 0

tan sin sin

lim lim

x x

x x x x

2 2

0 2 0 2

1 cos 1 cos

lim lim

sin

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Liên tục

• Liên tục tại một điểm

• Liên tục trái

• Liên tục phải

• Điểm gián đoạn

• Liên tục trên khoảng

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm số liên tục tại một điểm

• Định nghĩa 1.Hàm y=f(x) được gọi là liên tục tại x0nếu

xác định tại điểm này và:

• Định nghĩa 2.Hàm số f(x) liên tục tại x0khi và chỉ khi:
x x0f x f x0

lim

Nếu hàm không liên tục tại x0ta nói hàm gián

đoạn tại điểm này.

x x0 f x f x0

0, 0 : 0

Liên tục trái – Liên tục phải

• Hàm số f(x) liên tục trái tại x0:

• Hàm số f(x) liên tục phải tại x0:

• Định lý:f(x) liên tục tại x0khi và chỉ khi f(x) liên

tục trái và phải tại x0.

x x0 f x f x0
lim

xlimx0 f x f x0

Điểm gián đoạn

• Cho x0là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số

1. Điểm gián đoạn loại 1:

• Tồn tại hữu hạn:

2. Điểm gián đoạn loại 2:nếu không là điểm gián đoạn
loại 1

- Một trong hai giới hạn không tồn tại.
- Hoặc tồn tại nhưng bằng.

x x0 f x x x0 f x
lim ; lim

điểm khử được
điểm nhảy

ta nói là .
ta nói laø .

x x x x

f x f x x

0
0

lim lim

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Liên tục trên khoảng

• f liên tục trên(a;b)nếu f liên tục tạimọi điểm
thuộc(a;b).

• f liên tục trên[a;b)nếu f liên tục tại mọi điểm

thuộc(a;b) vàliên tục phải tại a.

• f liên tục trên(a;b]nếu f liên tục tại mọi điểm
thuộc(a;b) vàliên tục trái tại b.

• f liên tục trên[a;b]nếu f liên tục tại mọi điểm
thuộc(a;b); liên tụcphải tại avà liên tụctrái tại
b.

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tính chất hàm số liên tục

• Cho f(x) và g(x) là 2 hàm liên tục tại x0. Khi đó:

• Cho f(x), g(x) là hai hàm liên tục trên [a,b]. Khi đó:

liên tục tại .
Nếu liên tục tại .

0 0

. ; ; .

. 0

i f x f x g x f x g x x

f x

ii g x thì x

g x

liên tục trên .
Nếu liên tục trên .

liên tục trên .

. ; ; . ;

. 0 ;

. ;

i f x f x g x f x g x a b

f x

ii g x thì a b

g x

iii f x a b

Bài giảng Tốn cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Hàm sơ cấp

• Hàm sơ cấp cơ bản:

• Hàm sơ cấp:là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ
bản bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán:
cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và phép hợp

1. 2.

3. 0 1

4. log 0 1

5. sin ; cos ; tan ; cot

6. arcsin ; arccos ;
arctan ; arc cot

x

a

y C y x

y a a

y x a

y x y x y x y x

y x y x

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Sự liên tục của hàm sơ cấp

Định lý.Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định

của nó.

Ví dụ: Tìm các khoảng liên tục của hàm số:

) ;2 2;

) 3;

) 1;

a
b
c
2

3 5

)

) 3

) ln 1

3 2 , 1

) 1

2 , 1

x x

a f x
x

b g x x

c h x x

x x x

d k x x

x

) ;

: ;1 1;

k

d D
Lien tuc

Kiểm tra 30’

1.Tìm tập xác định hàm số:
2. Tìm giới hạn sau:
a)

2
3

2
0

0 3

ln 1 sin 3

2 3

lim

2 1

cos 2
) lim

ln 1 sin

1 2 1

) lim

arctan sin
n

n
x
x

x

f x x

n
n

e x

b

x
x
c

</div>

phép tính vi phân

PHÉP TÍNH VI PHÂN

HÀM MỘT BIẾN

CHƯƠNG 1

Định nghĩa hàm một biến

Định nghĩa hàm một biến

Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số

Tiêu chuẩn đường thẳng đứng

Ví dụ

Ví dụ

Hàm xác định từng khúc

Hàm xác định từng khúc

Hàm xác định từng khúc

Tính đối xứng

Ví dụ

Ví dụ

Ví dụ

Hàm số tăng, giảm

Ví dụ

Hàm số ngược

Ví dụ

Ví dụ

Ví dụ

Ví dụ

Ví dụ

Hàm số ngược

Ví dụ

Chú ý

Ví dụ

Cách tìm hàm ngược

Ví dụ

Ví dụ

Chú ý

Đồ thị

Các phép tốn hàm số

Hàm số hợp

Ví dụ

Ví dụ

Giải

Giải

Giải

Giải

Ví dụ

<b>CÁC LOẠI </b>

<b>HÀM SỐ THƯỜNG GẶP</b>

Hàm tuyến tính

<i>y</i>

<i>ax</i>

<i>b</i>

Đa thức

Hàm hữu tỷ

Hàm đại số

Hàm lũy thừa

Hàm lũy thừa

Hàm số mũ

,(

0,

1)

<i>y</i>

<i>a a</i>

<i>a</i>

Đồ thị hàm số 2

<sub>và (1/3)</sub>

Hàm số mũ

Hàm logarit cơ số a

Đồ thị log

x và log

x

Hàm logarit

Hàm logarit

Hàm lượng giác

Hàm lượng giác

Hàm lượng giác

Đồ thị hàm tan(x)

4. Hàm lượng giác

<i>x</i>

<i>k</i>

cot