Bài giảng Tích phân - Trường THPT Đặng Thúc Hứa

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Së GD & §t nghÖ an Tr−êng THPT §Æng thóc høa. sin4x + cos2x. ∫ sin x + cos x dx 6. 6. tÝch ph©n 6 6 dx 1 ( x +1) - ( x -1) I= ∫ 8 = dx = ... x +1 2 ∫ x 8 +1. Gi¸o viªn : Ph¹m Kim Chung Tæ : To¸n. N¨m häc : 2007 - 2008. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ". 12. ∫. bµi gi¶ng tÝch ph©n. . Ph¹m Kim Chung. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. “ Thực ra trên mặt đất lμm gì có đ−ờng, ng−ời ta đi lắm thì thμnh đ−ờng thôi ! ” - Lç TÊn -. Viết một cuốn tμi liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có t− t−ởng lớn của một nhμ viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán lμ có hạn .. Khi tôi có ý t−ởng viết ra những điều t«i gom nhÆt ®−îc t«i chØ mong sao qua tõng ngμy m×nh sÏ lÜnh héi s©u h¬n vÒ m«n To¸n s¬ cÊp..qua tõng tiÕt häc nh÷ng häc trß cña t«i bít b¨n khoăn, ngơ ngác hơn.. Vμ nếu còn ai đọc bμi viết nμy nghĩa lμ đâu đó tôi đang có những ng−ời thầy, ng−ời bạn cùng chung một niềm đam mê sự diÖu k× To¸n häc .. dx ∫ x8 + 1. =. Thö gi¶i mét bμi to¸n khã…... nh−ng ch−a thËt hμi lßng ! ⎡ ⎤ 1 ( x + 1) - ( x - 1) 1 ( x + 1) ⎣( x - 2x + 1) + ( 2 - 1) x ⎦ 1 (x = dx = dx + 6. 2∫. (x. 4. 2. 6. + 1) - ( 2x 2. 1 x2 + 1 dx + ∫ 4 2 x + 2x 2 + 1. (. ). 2∫. 2 2. ). 2 -1 2. 4. (x ( x + 1) x. 4. 2. ∫ (x. 4. 2. 2. + 1) - ( 2x 2. ). 2 2. 2. )(. ). - 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1. dx +. 2∫. 2. (. ) (. ). - 1) ⎡ x 4 - 2x 2 + 1 + 2 + 1 x 2 ⎤ ⎣ ⎦ dx 2 4 2 2 x + 1 2x ( ) ( ). 1 x2 - 1 dx + ∫ 4 2 x + 2x 2 + 1. (. ). 2 +1 2. ∫ (x. (x 4. 2. - 1) x 2. )(. ). - 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1. 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 1 1+ 2 1- 2 ⎜ 1+ 2 ⎟ dx ⎜ 1 - 2 ⎟ dx 2 -1 2 + 1 1 1 x ⎠ x ⎠ ⎝ ⎝ x x = ∫ dx + + dx + 2 2 ∫ ⎡⎛ 1 ⎞2 ∫ ⎡⎛ 1 ⎞ 2 2 2 2 ⎛ 2 2 ⎤ ⎡⎛ ⎤ ⎤ ⎡⎛ ⎤ 2∫⎛ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥ ⎢ ⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥ ⎜x - ⎟ +2+ 2 ⎜x + ⎟ - 2- 2 x⎠ x x x x x ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ d⎜x - ⎟ d⎜x - ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x - ⎟ 2 1 2 1 2 + 1 2 + 1 1 1 x x x x x⎠ x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ + + ∫ + = ∫ 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2 2 ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 4 2 4 2 4 2 4 2 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥ ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎜x - ⎟ +2+ 2 x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦. (. ). (. (. (. ). (. ). ). (. (. ). (. 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎜x + ⎟ - 2+ 2 2+ 2 2- 2 2- 2 2 + 2 x x⎠ ⎠ = u+ v+ ln ⎝ + ln ⎝ +C 1⎞ 1⎞ 8 8 16 16 ⎛ ⎛ ⎜x + ⎟+ 2- 2 ⎜x + ⎟+ 2+ 2 x⎠ x⎠ ⎝ ⎝. (. Víi x -. ). ). (. ). (. (. 1 = 2 + 2 tgu = 2 - 2 tgv x. ). ). ). (. ). ). (Nếu dùng kết quả nμy để suy ng−ợc có tìm đ−ợc lời giải hay hơn ?.. ) _____________________________. Th¸ng 12 – n¨m 2007. __________________________________. Lop10.com. (Trang. 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. PhÇn lý thuyÕt. §Þnh nghÜa : Gi¶ sö f(x) lμ mét hμm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng K, a vμ b lμ hai phÇn tö bÊt k× cña K, F(x) lμ một nguyên hμm của f(x) trên K . Hiệu số F(b) - F(a) đ−ợc gọi lμ tích phân từ a đến b của f(x) vμ đ−ợc kí hiệu lμ b b ∫a f ( x )dx . Ta dùng kí hiệu F ( x ) a để chỉ hiệu số : F(b) – F(a) b. C«ng thøc Newton – Laipnit :. ∫ f ( x )dx =. F (x). a. 1. VÝ dô :. 2 ∫ x dx = 0. b = F(b) – F(a) a. x3 1 1 3 1 = (1 − 03 ) = 3 0 3 3 b. Chó ý : TÝch ph©n. ∫ f ( x )dx. chØ phô thuéc vμ f, a vμ b mμ kh«ng phô thuéc vμo kÝ hiÖu biÕn sè tÝch ph©n . V× vËy ta. a. b. cã thÓ viÕt : F(b) – F(a) =. ∫ f ( x )dx =. b. b. a. a. ∫ f ( t )dt = ∫ f ( u )du .... a. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n . a. 1.. ∫ f ( x )dx = 0 a. 2.. b. a. a. b. ∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx b. 3.. b. b. a. a. ∫ ⎡⎣αf ( x ) ± βg ( x )⎤⎦dx = α ∫ f ( x )dx ± β∫ g ( x )dx a. e. e e e e 3⎞ 1 ⎛ VD : ∫ ⎜ 2x + ⎟dx = 2∫ xdx + 3∫ dx = x 2 + 3 ln x = ( e2 − 1) + 3 (1 − 0 ) = e2 + 2 1 1 x⎠ x 1⎝ 1 1. 4.. c. b. a. a. c. ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx b. 1. VD :. ∫. −1. 0. x dx =. ∫. −1. 1. 0. 1. 0. −1. 0. x dx + ∫ x dx = − ∫ xdx + ∫ xdx = −. x2 0 x2 1 + =1 2 −1 2 0. b. 5. f(x) ≥ 0 trªn ®o¹n [a ; b] ⇒. ∫ f ( x )dx ≥. 0. a. b. 6. f(x) ≥ g(x) trªn ®o¹n [a ; b] ⇒. b. ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx a. a. VD : Chøng minh r»ng :. π 2. π 2. 0. 0. ∫ sin2xdx ≤ 2∫ sinxdx b. 7.. m ≤ f(x) ≤ M. trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ m(b – a) = m ∫ dx ≤ a. b. b. a. a. ∫ f ( x )dx ≤ M ∫ dx = M(b – a). 2. 1⎞ 5 ⎛ VD : Chøng minh r»ng : 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x⎠ 2 1⎝ 5 1 trªn ®o¹n [1; 2] ta cã : max y = ; min y = 2 HD . Kh¶o s¸t hμm sè y = x + [1;2] [1;2] 2 x. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. 2 2 2 2 2 2⎛ 1⎞ 5 2 1⎞ 5 1⎞ 5 ⎛ ⎛ Do đó : 2∫ dx ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ ∫ dx ⇒ 2x ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x ⇒ 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ 1 1 x 2 x 2 x 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1. PhÇn ph−¬ng ph¸p. Ph−ơng pháp đổi biến số : t = v(x) . 1 x dx VD . TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ 2 0 x +1 §Æt : t = x 2 + 1 . Khi x= 0 th× t=1, khi x=1 th× t=2 . dt Ta cã : dt = 2xdx ⇒ = xdx . Do đó : 2 1 2 2 1 x 1 dt 1 I=∫ 2 dx = ∫ = ln t = ln 2 1 2 21 t 2 0 x +1 b. b. a. a. ∫ f ( x )dx = ∫ g ( v ( x ) )v' ( x ) dx. Quy tr×nh gi¶i to¸n .. B−ớc 1 . Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hμm liên tục, đổi cận . B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt v ( b). ∫. B−íc 3 . TÝnh. g ( t )dt .. v(a). Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : e2. ∫. 1.. e. 2. dx x ln x. 2.. 3.. 2. 1. π 2. 5.. ∫ ( 2x − 1) 1. dx ∫π sin3 x. 6.. 3. 1. dx. x 2 dx ∫0 x 3 + 1. 4.. 2. 4. dx. ∫ ( 2x + 1). 7.. x +1. 0. dx. ∫ x (1 + 1. 4. x. xdx 4 −1. ∫x. ). Ph−ơng pháp đổi biến số : x = u(t) . 1. VD . TÝnh tÝch ph©n :. sinx. ∫. 1 − x 2 dx. 0. π ⎛ ⎡ π π⎤⎞ §Æt x = sint ⎜ t ∈ ⎢ − ; ⎥ ⎟ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t= 2 ⎣ 2 2⎦ ⎠ ⎝ π ⎤ ⎡ VËy víi x = sint th× x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ vμ dx = costdt . ⎣ 2⎦. O. cosx. 1. Do đó : ∫ 1 − x dx = 2. 0. π 2. ∫. 1 − sin t cos tdt =. 0. 2. π 2. π 2. ∫ cos t cos tdt = ∫ cos 0. 2. tdt =. 0. π 2. π 1 + cos 2t 1⎛ 1 π ⎞ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ 2 = =∫ 2 2⎝ 2 ⎠0 4 0 b. Quy tr×nh gi¶i to¸n .. ∫ f ( x )dx a. B−ớc 1 . Đặt x = u(t), t ∈ ⎡⎣α; β⎤⎦ sao cho u(t) có đạo hμm liên tục trên đoạn ⎡⎣α; β⎤⎦ , f(u(t)) đ−ợc xác định trên đoạn ⎣⎡α; β⎦⎤ vμ u ( α ) = a; u ( β ) = b .. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt β. B−íc 3 . TÝnh. ∫ g ( t )dt. .. α. Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 1 2. 1. dx 1. ∫ 1 + x2 0. 2.. ∫. 4. x. ∫. 1− x. 0. 1. 1. dx. 3.. 2. ∫x 0. 5 2. 1. 2. ∫. 1 − x 2 dx. 5. x. 0. 3. 2. 1 + x 2 dx. 6.. 0. dx + x +1 5+x dx ( §Æt x=5cos2t) 5−x. ∫ 0. Ph−ơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t) 1. VD1 . TÝnh tÝch ph©n : I =. ∫. 1 + x 2 dx. 0. t2 − 1 2t t2 + 1 Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx = dt . Do đó : 2t 2 1− 2 1− 2 4 1− 2 1− 2 1− 2 1 t + 2t 2 + 1 1⎛ 1 1 ⎞ − t2 − 1 t2 + 1 I= ∫ . 2 dt = − dt tdt 2 dt dt ⎟ = = − + + ⎜ 3 ∫ ∫ ∫ ∫ ⎜ 2t 2t 4 −1 t 4 ⎝ −1 t t 3 ⎟⎠ −1 −1 −1. §Æt. C¸ch (1). = −. 1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x =. 1− 2 1 t2 1 − 2 1 1 1− 2 − ln t + 2 = − ln 8 −1 2 8t 2 −1 −1. (. ). 2 −1 +. 2 2. π ⎡ π⎤ C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t = 4 ⎣ 4⎦ 1 dt . Do đó : vμ dx= cos2 t 1. ∫. 1 + x 2 dx =. 0. π 4. ∫ 0. 1 1 + tg 2 t dt = cos 2 t. π. 2. π 4. 2. π 4. ∫ 0. π. π. 4 4 1 1 1 cos t dt dt dt = = = 2 3 4 ∫ ∫ cos t cos t 0 cos t 0 cos t. π 4. ∫ 0. d ( sin t ). (1 − sin t ) 2. 2. =. 2. π. ⎤ 1 1 4 ⎡ (1 − sin t ) + (1 + sin t ) ⎤ 14⎡ 1 = ∫⎢ + ⎥ d ( sin t ) = ∫ ⎢ ⎥ d ( sin t ) = 4 0 ⎣ (1 − sin t )(1 + sin t ) ⎦ 4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ π. π. π. ⎤ d ( sin t ) 1 ⎡ 1 1 1 4 d (1 − sin t ) 1 4 1 4 d (1 + sin t ) = = ∫⎢ + + ∫ + ∫ ⎥ d ( sin t ) = − ∫ 2 4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ 4 0 (1 − sin t ) 2 0 (1 − sin t )(1 + sin t ) 4 0 (1 + sin t )2 π π π π 1 2 1 ⎡ 1 1 ⎤ 1 1 + sin t 1 sin t 1 1 + sin t = − ln 2 − 1 + = .⎢ . ln − + = + ln 4 4 4 4 2 ⎥ 2 2 4 ⎣1 − sin t 1 + sin t ⎦ 0 4 1 − sin t 0 2 cos t 0 4 1 − sin t 0. (. ). B×nh luËn : Bμi to¸n nμy cßn gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Cßn víi 2 c¸ch gi¶I trªn râ rμng khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép tính toán đơn giản hơn. Nh−ng ng−ợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán dμi dòng vμ nếu quả thật không khá tích phân thì ch−a hẳn đã lμ đ−ợc hoặc lμm đ−ợc mμ lại dμi dòng hơn . 1. VD2 . TÝnh tÝch ph©n : I =. ∫ 0. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. 1 1 + x2. dx. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. t2 − 1 2t t2 + 1 dt . Do đó : Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx = 2t 2 1− 2 1− 2 −2t t 2 + 1 1 I= ∫ 2 . dt = − dt = 2 ∫ t + 1 2t t −1 −1 1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x =. §Æt. C¸ch (1). 1− 2. = − ln t. −1. = − ln. (. ). 2 −1. π ⎡ π⎤ C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t = 4 ⎣ 4⎦ 1 dt . vμ dx= cos2 t 1. Do đó :. ∫ 0. π 4. 1 1 + x2. dx = ∫ 0. π. π. π. 4 4 4 cos t 1 1 cos t dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt = 2 2 2 2 cos t cos t cost cos t 1 + tg t 0 0 0. 1. =. π 4. d ( sin t ). ∫ (1 − sin t ) 2. =. 0. π 1 1 − sin t ln 4 = − ln 2 1 + sin t 0. (. ). 2 −1 .. Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 2. 1.. ∫. 2. x 2 − 1dx. 2.. 1. 1 2. 4.. ∫1+ 0. x − 4x + 3 2. ∫. x2 − 1. 1. −1. dx. 5.. ∫ 1+. −2. 0. x2. dx. 3.. 1 − 2x − x. 6.. 2. x 2 + 2x + 2dx. −1 1. dx. ∫. ∫x+ 0. xdx x2 − 1. Chú ý : Khi đứng tr−ớc một bμi toán tích phân, không phải bμi toán nμo cũng xuất hiện nhân tử để chúng ta sử dụng ph−ơng pháp đổi biến số . Có nhiều bμi toán phải qua 1 hay nhiều phép biến đổi mới xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ ( sẽ nói đến ở phần Phân Loại Các dạng Toán ). Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Nếu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm số có đạo hμm liên tục trên đoạn [a; b] thì : b b b u x v' x dx = u x .v x - v ( x )u' ( x ) dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫a a ∫a hay b. ∫ u ( x )dv = ( u ( x ) .v ( x ) ) a. b b - v ( x )du a ∫a. π 2. VD1. TÝnh. ∫ x cos xdx 0. ⎧du = dx ⎧u=x §Æt ⎨ , ta cã : ⎨ ⎩dv = cos xdx ⎩ v = sin x. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. π 2. π. π 2 π π π ∫0 x cos xdx = ( x sin x ) 2 − ∫0 sin xdx = 2 + cosx 2 = 2 − 1 0 0 Nhận xét : Một câu hỏi đặt ra lμ đặt. ⎧u = cosx ⎨ ⎩ dv = xdx. cã ®−îc kh«ng ?. π 2. Ta h·y thö :. π. π ⎛ x2 ⎞ 12 2 = x cos xdx cosx ⎜ ⎟ 2 + ∫ x sin xdx , râ rμng tÝch ph©n ∫0 ⎝ 2 ⎠ 0 20. π 2. ∫x. 2. sin xdx cßn phøc t¹p h¬n tÝch. 0. phân cần tính . Vậy việc lựa chọn u vμ dv quyết định rất lớn trong việc sử dụng ph−ơng pháp tích phân từng phần . Ta hãy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhất ! 2 ln x VD2. TÝnh ∫ 5 dx x 1 1 ⎧ ⎪u = 5 Ta thử đặt : ⎨ x ⎪⎩ dv = ln xdx. rõ rμng để tính v= ∫ ln xdx lμ một việc khó khăn !. 1 ⎧ ⎪⎪ du = x ta cã : ⎨ ⎪ v = 1 dx = − 1 ∫ x5 ⎪⎩ 4x 4 2 2 ln x ln 2 1 ⎛ 1 ⎛ ln x ⎞ 2 1 dx + ⎜− Do đó : ∫ 5 dx = ⎜ − 4 ⎟ + ∫ 5 = − 1 x 4x 4 x 64 4 ⎝ 4x 4 ⎝ ⎠ 1 1. ⎧ u = ln x ⎪ Gi¶i . §Æt ⎨ 1 ⎪⎩dv = x 5 dx. ⎞ 2 15 ln 2 − ⎟1= 256 64 ⎠. Nhận xét : Từ 2 VD trên ta có thể rút ra một nhận xét ( với những tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u vμ dv ph¶i tho¶ m·n : 1 du đơn giản, v dễ tính . 2 TÝch ph©n sau. ( ∫ vdu ) phải đơn giản hơn tích phân cần tính ( ∫ udv ) .. Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 1. x ∫ xe dx. 1.. ∫. 3x. 2 . xe dx. 0. 6 . x sin xdx. ∫ ( x − 1)cosxdx. e. ∫. 7. e x cosxdx. 0. π 6. 4.. 0. π 2. 2. 3.. 0. π 2. ∫. π 2. 1. 5. ∫. ∫. 1. 0. 5.. 2. e. 10.. ∫x e. 2 −x. dx. 0. 0. 9. 2x ln ( x − 1)dx. 8. ln xdx. 1. ∫ ( 2 − x ) sin 3xdx. ∫ ( ln x ) dx 2. 1. Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó !. PhÇn ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n. TÝch ph©n cña c¸c hμm h÷u tû. A. D¹ng : I = ∫. P (x) dx ax + b. ª 0974.337.449. ( a ≠ 0). ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 6.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 12. ∫. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Ph¹m Kim Chung. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫. α α dx = ln ax + b + C ax + b a. TÝnh I1 = x + 1 dx ∫ x −1 2 TÝnh I2 = x − 5 dx ∫ x +1 x3 TÝnh I3 = ∫ 2x + 3 dx Ph−¬ng ph¸p : Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc P(x) cho nhÞ thøc : ax+b, ®−a tÝch ph©n vÒ d¹ng : α dx ( Trong đó Q(x) lμ hμm đa thức viết d−ới dạng khai triển ) I = ∫ Q ( x ) dx + ∫ ax + b. B. D¹ng : I = ∫. P (x) dx ax + bx + c. ( a ≠ 0). 2. 1. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c cã hai nghiÖm ph©n biÖt . C«ng thøc cÇn l−u ý : I =. ☺ TÝnh I =. ∫x. 2. u' ( x ). ∫ u ( x ) dx = ln u ( x ) + C. 2 dx −4 Cách 1. ( ph−ơng pháp hệ số bất định ). ⎧A + B = 0 2 A B = + ⇒ 2 ≡ (A + B) x + 2(A − B) ⇒ ⎨ ⇔ 2 x −4 x −2 x +2 ⎩A − B = 1. Do đó : I =. ∫x. 2. 1 ⎧ ⎪⎪ A = 2 ⎨ ⎪B = − 1 ⎪⎩ 2. 1 x −2 2 1 1 1 1 +C dx = ∫ dx - ∫ dx = ln 2 x+2 −4 2 x −2 2 x+2. C¸ch 2. ( ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ) 2 1 ⎡ 2x 2x − 4 ⎤ 1 dx = ⎢ ∫ 2 dx − ∫ 2 dx ⎥ = ln x 2 − 4 − ln x + 2 + C Ta cã : I = ∫ 2 x −4 2⎣ x −4 x −4 ⎦ 2 α dx < Tæng qu¸t >TÝnh I = ∫ 2 x − a2 2x TÝnh I = ∫ dx 9 − x2 3x + 2 TÝnh I = ∫ 2 dx x −1 x2 TÝnh I = ∫ 2 dx x − 5x + 6 TÝnh I =. 3x 3 ∫ x 2 − 3x + 2 dx. Ph−¬ng ph¸p : Khi bậc của đa thức P(x) <2 ta sử dụng ph−ơng pháp hệ số bất định hoặc ph−ơng pháp nhảy tÇng lÇu. Khi bậc của đa thức P(x) ≥ 2 ta sử dụng phép chia đa thức để đ−a tử số về đa thức có bậc < 2 .. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 7.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. 2. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c = ( αx + β )2 cã nghiÖm kÐp . C«ng thøc cÇn l−u ý : I =. TÝnh I = ∫ TÝnh I =. u' ( x ) 1 +C dx = − 2 u(x) (x). ∫u. d ( x − 2) 1 1 dx = ∫ =− +C 2 x 2 − 4x + 4 x −2 ( x − 2). ∫ 4x. 2. 4x dx . − 4x + 1. dt ⎧ ⎪ dx= §Æt : 2x – 1 = t ⇒ ⎨ 2 , lúc đó ta có : ⎪⎩2x = t + 1 t +1 dt dt 2 I = 2∫ 2 dx = 2∫ + 2∫ 2 = 2 ln t − + C t t t t 2 x −3 TÝnh I = ∫ 2 dx x − 4x + 4 x3 TÝnh I = ∫ 2 dx x + 2x + 1. Ph−ơng pháp : Để tránh phức tạp khi biến đổi ta th−ờng đặt : αx + β = t ⇒ x =. t −β vμ thay vμo biÓu thøc α. trªn tö sè .. 3. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c v« nghiÖm . TÝnh I =. ∫x. 2. 1 dx +1. §Æt : x = tgα ⇒ dx =. I=. 1. ∫ cos α ( tg α + 1) dα = ∫ dα = α + C 2. 2. < Tæng qu¸t > TÝnh I = ∫. TÝnh I = TÝnh I = TÝnh I =. C. D¹ng : I = ∫. 1 dx x + a2. , víi. . HD §Æt. 2. ( tgα = x ). x = atgα ⇒ dx =. a dα , ta cã : cos 2 α. dα α = +C a a 2 ∫ x 2 + 2x + 2 dx 2x + 1 ∫ x 2 + 2x + 5 dx x2 ∫ x 2 + 4 dx x3 ∫ x 2 + 9 dx. I=. TÝnh I =. 1 dα , ta cã : cos2 α. ∫. P (x) dx ax + bx 2 + cx + d 3. (a ≠ 0). 1. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm béi ba.. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 8.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. C«ng thøc cÇn l−u ý : I =. ☺ TÝnh I = ∫. 1. ( x − 1). 1. 1. ( x − 1). 3. 3. dx = ∫ ( x − 1) d ( x − 1) =. 1. x 3. TÝnh I = ∫. x2 − 4. ( x − 1). (1 − x ). dx = −. 3. 1 2 ( x − 1). 2. TÝnh I = ∫. dx. 3. dx. x4. ( x + 1). 3. +C= −. (1 − x ). 1 2 ( x − 1). −2. −2. +C = −. 2. +C .. 1 2 ( x − 1). 2. +C. +C 1 = x − m , víi x > 0 xm. dx. 3. x3. ( x − 1). ( n ≠ 1). −2. −2. −3. §Æt : x – 1 = t ta cã : I = ∫ TÝnh I = ∫. 1 +C ( n − 1) x n −1. ( x − 1). dx = ∫ (1 − x ) d (1 − x ) =. Chó ý :. ( x − 1). dx = −. −3. ( x − 1). NÕu x < 1 , ta cã : I = − ∫. TÝnh I = ∫. n. dx. 3. NÕu x > 1 , ta cã : I = ∫. VËy : I = ∫. 1. ∫x. t +1 ⎛1 1 dt = ∫ ⎜ 2 + 3 t3 t ⎝t. 1 1 ⎞ ⎟dt = − − 2 + C t 2t ⎠. dx. 2. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã hai nghiÖm . 1 dx ☺ TÝnh I = ∫ 2 ( x − 1)( x + 1). §Æt : x + 1 = t , ta cã : I =. 1. ∫ t ( t − 2 ) dt = ∫ t 2. 3. dt − 2t 2. C¸ch 1 < Ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu > 1 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t 2 − 4t − 4 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t + 2 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3 2 ⎞ = − ⎜ − ⎜ − ⎜ + ⎟ Ta cã : 3 ⎟= ⎟= t − 2t 2 t 3 − 2t 2 4 ⎝ t 3 − 2t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t t2 ⎠ 3t 2 − 4t 1 ⎛3 2 ⎞ 3 1 3 2 ∫ t3 − 2t2 dt − 4 ∫ ⎜⎝ t + t2 ⎟⎠dt = ln t − 2t − 4 ln t + 2t + C . Cách 2 < Ph−ơng pháp hệ số bất định >. Do đó : I =. 1 ⎧ ⎪B = − 2 ⎧ −2B = 1 ⎪ 1 1 At + B C ⎪ ⎪ 2 = + ⇒ 1 ≡ ( A + C ) t + ( −2A + B ) t − 2B ⇒ ⎨−2A + B = 0 ⇒ ⎨ A = − 3 2 2 4 t − 2t t t−2 ⎪ A+C =0 ⎪ ⎩ 1 ⎪ ⎪ C=4 ⎩. Do đó :. ∫t. 3. ª 0974.337.449. 1 1 ⎡t + 2 1 ⎤ 1 ⎡1 2 1 ⎤ 1⎡ 2 ⎤ dt = − ∫ ⎢ 2 − dt = − ∫ ⎢ + 2 − dt = − ⎢ln t − − ln t − 2 ⎥ + C 2 ⎥ ⎥ − 2t 4⎣ t t − 2⎦ 4⎣t t t − 2⎦ 4⎣ t ⎦ ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 9.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. Ph−ơng pháp “nhảy tầng lầu” đặc biệt có hiệu quả khi tử số của phân thức lμ mét h»ng sè . Ph−ơng pháp “hệ số bất định” : bậc của đa thức trên tử số luôn nhỏ hơn bậc mÉu sè 1 bËc . TÝnh I =. 2x + 1. ∫ x ( x − 2 ) dx 2. §Ó sö dông ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ta sÏ ph©n tÝch nh− sau : 2x + 1 2 1 = + x2 ( x − 2) x ( x − 2) x2 ( x − 2) TÝnh I = ∫. x2. ( x − 1) ( x + 2 ) 2. dx x2. Sử dụng ph−ơng pháp hệ số bất định : Do đó : x 2. =. Ax + B. ( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1) 2 ≡ ( x + 2 )( Ax + B ) + C ( x − 1) 2. x=-2, suy ra : C =. Cho :. 2. +. C x+2. 4 9. x=0 , suy ra : B = −. 2 9. 5 9 Ph−ơng pháp trên gọi lμ ph−ơng pháp “gán trực tiếp giá trị của biến số” để tìm A, B, C. x3 − 1 TÝnh I = ∫ 3 dx x + 2x 2 + x. x=1, suy ra : A =. 3. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã ba nghiÖm ph©n biÖt . ☺ TÝnh I =. ∫ x (x. 1 2. − 1). dx. 1 ⎡ 3x 2 − 1 3x 2 − 3 ⎤ 1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤ ⎢ 3 ⎥= ⎢ 3 − − ⎥ x ( x − 1) 2 ⎢⎣ x − x x ( x 2 − 1) ⎥⎦ 2 ⎣ x − x x ⎦ 1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤ 1 3 − ⎥ dx = ln x 3 − x − ln x + C Do đó : I = ∫ ⎢ 3 2⎣ x − x x⎦ 2 2 1 A B C C¸ch 2 . Ta cã : = + + ⇒ 1 ≡ A ( x 2 − 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1) x ( x 2 − 1) x x − 1 x + 1. C¸ch 1. Ta cã :. 1 2. =. Cho. x=0, suy ra A = -1 . 1 x=1, suy ra B = 2 1 x=-1, suy ra C = 2 1 2 Do đó : I = − ln x + ln x − 1 + C 2. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 10.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 12. ∫. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Ph¹m Kim Chung. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. TÝnh I =. x +1 dx 2 − 4). ∫ x (x. TÝnh I = ∫. x2 dx ( x 2 − 1) ( x + 2 ) x3 dx − 1) ( x − 2 ). TÝnh I =. ∫ (x. TÝnh I =. ∫ ( 2x + 1) ( 4x. 2. dx 2. + 4x + 5 ). §Æt : 2x + 1 =t ⇒ dx =. I=. dt , ta cã : 2. 1 dt 1 ⎡ 3t 2 − 6 3t 2 − 18 ⎤ 1 ⎢ = − dt dt ⎥ = ln t 3 − 6t − 3 ln t + C 3 ∫ ∫ ∫ 2 2 2 t ( t − 6 ) 24 ⎢ t − 6t 24 − t t 6 ⎥ ( ) ⎣ ⎦. 4. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm (kh¸c béi ba) 1 ☺ TÝnh I = ∫ 3 dx x −1 §Æt x – 1 = t ⇒ dx = dt , ta cã : ⎤ 1 ⎡ dt t+3 dt 1 ⎡ t 2 + 3t + 3 t 2 + 3t ⎤ dt = I= ∫ 2 = ⎢∫ 2 dt − ∫ 2 dt ⎥ = ⎢ ∫ − ∫ 2 3⎣ t t + 3t + 3 ⎥⎦ t ( t + 3t + 3 ) 3 ⎢⎣ t ( t + 3t + 3 ) t ( t + 3t + 3 ) ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 dt 1 2t + 3 3 dt ⎥ = 1 ln t − 1 ln t 2 + 3t + 3 − α 3 + C ( Víi x = 3 tgα ) dt − ∫ = ⎢∫ − ∫ 2 2 3 ⎢ t 2 t + 3t + 3 2 ⎛ 2 3 2 3⎞ 3⎥ ⎢ ⎜t + ⎟ + ⎥ 2⎠ 4 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 1 TÝnh I = ∫ dx 2 x ( x + 1). ∫ x (x. TÝnh I =. 1. 2. + 2x + 2 ). dx. x2 ∫ x 3 + 1 dx x3 TÝnh I = ∫ 3 dx x −8 1 TÝnh I = ∫ 3 dx x − 3x 2 + 3x − 2. TÝnh I =. Tóm lại : Ta th−ờng sử dụng hai phép biến đổi :. Tö sè lμ nghiÖm cña mÉu sè . Tử số lμ đạo hμm của mẫu số . vμ ph©n thøc ®−îc quy vÒ 4 d¹ng c¬ b¶n sau : 1 1 1 ↔ dx = ln ax + b + C { ax + b øng víi ∫ ax + b a u' u' dx = ln u + C ↔ { u øng víi ∫ u. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 11.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. u' u' 1 +C (n ≥ 2) ↔ { ∫ n dx = un u n 1 ( ) un-1 øng víi 1 1 a ↔ dx = + C , víi x + d = atgα { ∫ 2 2 2 2 a ( x + d ) + a øng víi ( x + d ) + a. D. D¹ng : I = ∫. Q (x) dx < P(x) lμ ®a thøc bËc cao> Vμ mét sè kÜ thuËt t×m nguyªn hμm . P (x). 1. Kĩ thuật biến đổi tử số chứa nghiệm của mẫu số . dx. TÝnh I =. ∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 ). HD : I =. ∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 ) dx. TÝnh I =. ∫x. 4. ∫x. 6. x ( x + 7 ) − ( x − 1)( x + 8 ) dx + 10x 2 + 9. 2 2 dx 1 ( x + 9 ) − ( x + 1) HD : I = ∫ 2 = ( x + 1)( x 2 + 9 ) 8 ∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 9 ). TÝnh I =. dx + 6x 4 − 13x 2 − 42 dx. HD : I =. ∫ (x. TÝnh I =. ∫ 5x. 5. ∫x. 7. dx − 10x 3. TÝnh I =. ∫ (x. 2. TÝnh I =. ∫x. TÝnh I =. ∫ ( x + 1) ( x. 2. − 3 )( x 2 + 2 )( x 2 + 7 ). dx + 20x. 4 4 1 dx 1 ( x + 4) − x HD : I = ∫ = 5 x ( x 4 + 4 ) 20 ∫ x ( x 4 + 4 ). TÝnh I =. HD : I =. 4 4 dx 1 x − ( x − 10 ) = ∫ x 3 ( x 4 − 10 ) 10 ∫ x 3 ( x 4 − 10 ). 8. dx. − 2 )( 2x 2 + 1)( 3x 2 − 4 ). dx − 10x 6 + 35x 4 − 50x 2 + 24 dx 4. + 4x 3 + 6x 2 + 4x − 9 ). x 2 dx ∫ x4 − 1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 4 x −1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 4 x +1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 6 x −1. TÝnh I =. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 12.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. x 6 dx ∫ x6 − 1 dx TÝnh I = ∫ 100 3x + 5x dx TÝnh I = ∫ 2 x ( 2x 50 + 7 ). TÝnh I =. (1 − x ) dx ∫ x (1 + x ) 2000. TÝnh I =. 2000. 2. Kĩ thuật đặt ẩn phụ với tích phân có dạng : I = ∫ ☺ TÝnh I = ∫. x3 + x + 1. ( x − 2). 30. P(x). ( ax + b )α. dx. ( α ≠ 1). dx. ⎧ dx = dt §Æt x – 2 = t ⇒ ⎨ , ta cã : ⎩x = t + 2 I=. ∫. ( t + 2). 3. +t+3. t 30. TÝnh I =. x4. ∫ ( x − 3). TÝnh I = ∫. 45. dt =. t 3 + 6t 2 + 13t + 11 1 1 1 ⎤ ⎡ 1 + C =… dt = − ⎢ +6 + 13 + 11 30 26 27 28 ∫ t 27t 28t 29t 29 ⎥⎦ ⎣ 26t. dx. 3x 4 − 5x 3 + 7x − 8. ( x + 2). 50. dx. Chú ý : Với loại toán nμy trong cuốn “Tích Phân – T.Ph−ơng ” đã sử dụng ph−ơng pháp khai triển Taylor nh−ng tôi cảm thấy cách lμm nμy không nhanh hơn lại gây nhiều phức tạp cho học sinh nên đã kh«ng nªu ra .. 3. Kĩ thuật biến đổi tử số chứa đạo hμm của mẫu số . xdx 4 −1 §Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt x 3 dx TÝnh I = ∫ 4 x +1 2 x −1 ☺ TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 1⎞ ⎛ 1 d⎜ x + ⎟ 1− 2 2 x −1 x⎠ ⎝ x dx = I= ∫ 4 dx = ∫ ∫ ⎛ 1 ⎞2 1 x +1 2 x + 2 ⎜x + ⎟ − 2 x x⎠ ⎝ 2 x +1 TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 x2 TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 ( x 2 − 1) dx TÝnh I = ∫ 4 x − 5x 3 − 4x 2 − 5x + 1 ( x 2 + 1) dx TÝnh I = ∫ 4 x + 2x 3 − 10x 2 − 2x + 1. TÝnh I =. ∫x. ( ). ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. = 2. 1 2 2. ln. x2 − x 2 + 1 x2 + x 2 + 1. Th¸ng 12 – n¨m 2007. +C. ___________________. Trang. 13.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. TÝnh I = ∫. (x. 2. − 2). x 4 − 3x 3 + 11x 2 − 6x + 4 ( x2 + 3). dx. TÝnh I = ∫. dx x 4 − 2x 3 − 2x 2 + 6x + 9 dx TÝnh I = ∫ 4 x + x2 + 1 dx TÝnh I = ∫ 4 x − 3x 2 + 4 B×nh luËn : Lo¹t bμi to¸n nμy lμm t«i kh¸ Ên t−îng víi phÐp chia c¶ tö sè vμ mÉu sè cho x 2 . Qu¶ thËt t«i lu«n cè g¾ng t×m tßi xem liÖu m×nh cã thÓ nghÜ ra mét ph−¬ng ph¸p nμo kh¸c hay h¬n ch¨ng, nh−ng …” bã tay.com “ . ThÕ míi hiÓu to¸n häc : “lu«n tiÒm Èn nh÷ng vÎ đẹp lμm ng−ời ta sửng sốt”. x5 TÝnh I = ∫ 6 dx x +1 x TÝnh I = ∫ 6 dx x −1 1 dt §Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt , ta cã : I = ∫ 3 2 t −1 x3 TÝnh I = ∫ 6 dx x −1 x4 + 1 TÝnh I = ∫ 6 dx x +1 3 2 1 d(x ) 1 d(x ) x3 + x + ∫ 6 TÝnh I = ∫ 6 dx HD : I = ∫ 6 3 x +1 2 x +1 x +1 3 1 x2 x d ( x2 ) TÝnh I = ∫ 6 HD : I = ∫ dx 2 ( x 2 )3 + 1 x +1. TÝnh I = ∫. (x. + 1)( x 2 + 2x − 1). 2. dx x 6 − 14x 3 − 1 1 ⎞⎛ 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 1 + 2 ⎟⎜ x − + 2 ⎟ ⎜ x − + 2⎟ 1⎞ x ⎠⎝ x x ⎛ ⎠ dx = ⎝ ⎠ HD : I = ∫ ⎝ d⎜x − ⎟ 3 ∫ x⎠ ⎛ 3 1 ⎞ ⎝ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ x − ⎟ + 3 ⎜ x − ⎟ − 14 ⎜ x − 3 ⎟ − 14 ⎜ x ⎝ ⎠ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ 19 x dx TÝnh I = ∫ 2 ( 3 + x10 ) HD . I =. ∫. x10 .10x 9. (3 + x ). 10 2. TÝnh I = ∫ TÝnh I = ∫. ª 0974.337.449. dx =. x 99. ( 2x. 50. − 3). 7. x 2n −1. ( ax. n. + b). k. 1 x10 d ( x10 ) ∫ 10 ( 3 + x10 )2. dx. dx. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 14.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. 4. KÜ thuËt chång nhÞ thøc . C¬ së cña ph−¬ng ph¸p : a b. §Ó t×m nguyªn hμm cã d¹ng : I =. ( ax + b ). ∫ ( cx + d ). n. ,. c d ⎛ ax + b ⎞ dx , ta dùa vμo c¬ së : ⎜ ⎟ = 2 ⎝ cx + d ⎠ ( cx + d ). m. vμ ph©n tÝch biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n vÒ d¹ng : dx ⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞ I = k∫ f ⎜ = k∫ f ⎜ ⎟ ⎟d⎜ ⎟ 2 cx + d ⎝ ⎠ ( cx + d ) ⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠. VD . TÝnh. ( 3x − 5 ) 12 ( x + 2). 10. I= ∫. 10. ⎛ 3x − 5 ⎞ dx = ∫ ⎜ ⎟ ⎝ x+2 ⎠. 10. dx. ( x + 2). 2. =. 11. 1 ⎛ 3x − 5 ⎞ 1 ⎛ 3x − 5 ⎞ ⎛ 3x − 5 ⎞ ⎜ ⎟ d⎜ ⎟= ⎜ ⎟ +C 11 ∫ ⎝ x + 2 ⎠ x + 2 121 ⎝ ⎠ ⎝ x+2 ⎠. (7x − 1) dx 101 ( 2x + 1) 99. TÝnh I = ∫ TÝnh I = ∫. dx. ( x + 3). 5. ( x + 5). 3. ⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 1 1 ⎥ 5 5 6 2 5 ⎢ 6 ∫ 2 ⎛x +3⎞ ⎣ x+5 8 ⎛x +3⎞ ⎛ x + 3 ⎞ ( x + 5) ( x + 5) ⎦ x 5 + ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝x +5⎠ ⎝ x +5⎠ ⎝ x +5⎠ Để tránh sự đồ sộ trong tính toán ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ nh− sau : 1 dt ⎧ dx = 2 ⎪ 2 x+3 ⎪ ( x + 5) =t⇒⎨ , nªn ta cã : §Æt x+5 ⎪x + 5 − 2 = t ⇒ 1 = 1− t ⎪⎩ x + 5 x+5 2 dx. HD . I = ∫. =∫. 1. 1. ⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 1 1 ⎥ 5 ⎢ 6 ∫ 2 ⎛x+3⎞ ⎣ x+5 ⎦ ⎜ ⎟ ⎝x+5⎠ TÝnh I = ∫ TÝnh I = ∫ §Æt. dx. 6. =. dx. ( x + 5). 2. 1 ( t − 1) dt 27 t5 6. dx. ( x + 5). 6. 2. =∫. dx. ( 3x − 2) ( 3x + 4 ) 7. 3. dx. ( 2x − 1) ( 3x − 1) 3. 4. 3x − 1 1 1 =t⇒− dx = dt vμ = 2t − 3 2 2x − 1 2x − 1 ( 2x − 1). Do đó ta có : I =. ª 0974.337.449. dx. ∫ ( 2x − 1) ( 3x − 1) 3. 4. =. ∫. dx. ( 2x − 1). 7. ⎛ 3x − 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2x − 1 ⎠. ___________________________. Lop10.com. 4. = −∫. ( 2t − 3 ). 5. dt. t4. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 15.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. TÝch ph©n cña c¸c hμm l−îng gi¸c. A. Sö dông thuÇn tuý c¸c c«ng thøc l−îng gi¸c . 1 − cos2x 1 + cos2x C«ng thøc h¹ bËc : sin2 x = ; cos 2 x = 2 2 VD . T×m hä nguyªn hμm : ∫ cos2 xdx. ∫ cos. 2. xdx =. ∫. 1 + cos2x 1 1 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos2xd ( 2x ) = x + sin 2x + C 2 2 4 2 4. Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm : 1.. ∫ sin. ∫. 2. ∫. 2. 4. sin 5xdx. ∫. 2 . cos 4 xdx. xdx. ∫. 3. cos 4 3xdx. ∫. 4. 4 6 . cos x sin xdx. 5 . sin 5xdx. 2. − sin 3x + 3 sin x cos3x + 3cosx C«ng thøc h¹ bËc : sin3 x = ; cos 3 x = 4 4 Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm :. 1.. ∫ sin. 6. 2 . ∫ cos6 3xdx. xdx. 3.. ∫ cos. 6. 4xdx. Công thức biến đổi tích thμnh tổng : 1 sin a.sin b = ⎡⎣ cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ⎤⎦ 2 1 cosa.cosb = ⎡⎣cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤⎦ 2 1 sin a.cosb = ⎡⎣ sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤⎦ 2 VD . T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2x.cosxdx 1. 1. 1. 1. 1. ∫ sin 2xcosxdx = ∫ 2 [ sin 3x + sin x ] dx = 6 ∫ sin 3xd ( 3x ) + 2 ∫ sin xdx = − 6 cos3x − 2 cosx + C Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm : 1.. ∫ sinxcos3xdx. ∫. 2 . cosx.cos2x.cos3xdx. 3.. ∫ cos4x.sin 5x.sin xdx. C«ng thøc céng : cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b. cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a sin ( a − b ) = sin a cos b − sin b cos a. VD .. dx. = Bμi tËp :. 1.. cos ⎡⎣( x + 5 ) − ( x − 5 ) ⎤⎦. 1. 1. ∫ sin 2x − sin10x = 2cos10 ∫ cos ( x + 5 ) cos ( x − 5 ) = 2cos10 ∫ ⎡⎣cot g ( x − 5 ) + tg ( x + 5 )⎤⎦dx sin ( x − 5 ) 1 +C ln 2cos10 cos ( x − 5 ). dx. ∫ sin 2x − sin x. 2.. dx. ∫ sin x + sin 3x. 3.. dx. ∫ 1 − sin x. B. TÝnh tÝch ph©n khi biÕt d(ux)) . π 2. VD . TÝnh. ∫ sin x.cosxdx 2. 0. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 16.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. §Æt t=sinx, t ∈ ⎡⎣0; 1⎤⎦ . Khi x=0 th× t=1, khi x= π 2. 1. 0. 0. 2 2 ∫ sin x.cosxdx = ∫ t dt =. π thì t=1 vμ dt = cosxdx . Do đó : 2. t3 1 1 = 3 0 3. Víi lo¹i tÝch ph©n nμy häc sinh cã thÓ tù s¸ng t¹o ra mét lo¹t c¸c bμi to¸n, t«i thö ®−a ra mét vμi ph−¬ng ¸n : BiÕt d(sinx) cosxdx . π 2. π 2. π 2. cosx 2. ∫ n dx ( n ∈ N * , n ≠ 1) π sin x. 1. ∫ sin n x.cosxdx 0. 3.. 4. ∫ ( sin 3x ). ( cos3x ). 5. dx. π 2. 1. ∫ cos x.sin xdx 0. 4. ∫ ( sin 2x ) ( cos2x ) 7. 100. dx. π 4. 1. ∫ ( tg x + tgx ) dx. 3.. 1 dx cos 4 x. d(cotgx). 5. ∫. −. π 4. sin x 2. ∫ dx 3 0 cos x. 0. sin3 x dx 5 x 0. ∫ cos. dx cos2n x. 3. 6.. ∫ ( tg. 5. ( tg3x ) ∫0 ( cos3x )6 dx 7. x + tg 4 x + tg3 x + tg2 x + 1) dx. 1 dx . sin 2 x. π 2. 1. ∫ ( cotg 3 x + cotgx ) dx π 4. π 2. ( cotg5x ) ∫ ( cos5x )8. 10. cosx dx 5 sin x π. 2. ∫. 3.. dx. 4. 1 4. ∫ 4 dx sin x BiÕt d( sinx ± cosx ). 0. π 4. sin x 2. ∫ dx ( n ∈ N * , n ≠ 1) n cos x 0 sin xdx 5. ∫ cos3 x − 1. π 4. 3. 1. ∫. cosxdx x + 3 sin x + 2. 1 dx . cos2 x. BiÕt d(tgx). π 4. 2. π 4. n. BiÕt. ∫ sin. xdx. −sinxdx .. BiÕt d(cosx). 4. ∫. 5.. 3. π 4. 4 10. ∫ tg. ( cos x − sin x ) sin x + cosx. dx 5. ∫ 2n sin x ( cosx ± sinx) dx. 6.. ∫ ( cotg. 5. x + cotg 4 x + cotg 3 x + cotg 2 x ) dx. π 2. dx. cos2x dx + sin 2x 1 π. 2. ∫ 4. 2cosx − 3 sin x dx 4. ∫ 2 sin x − 3cosx + 1. 5. ∫. BiÕt d ( a sin2 x ± bcos2 x ± c sin 2x ± d ). 3.. cos2x. ∫ ( sin x + cosx ). 3. dx. ( sin 2x + 2cos4x ) dx cos2x − sin 4x. (a ∓ b ± c) sin2xdx. sin 2x sin 2x dx 2. ∫ 3 sin2 x + cos 2 x 2 sin2 x − 4 sin xcosx + 5cos 2 x Biết d(f(x)) với f(x) lμ một hμm l−ợng giác bất kì nμo đó . 1 cos3 + 1 = VD . Chän f(x) = sinx + tgx ⇒ d ( f ( x ) ) = cosx + 2 cos x cos2 x. 1. ∫. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 17.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. Nh− vËy ta cã thÓ ra mét bμi to¸n t×m nguyªn hμm nh− sau :. ( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1). ∫. dx cos2 x Để tăng độ khó của bμi toán bạn có thể thực hiện một vμi phép biến đổi ví dụ :. ( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1). sin x (1 + cosx ) ( cos3 x + 1). 1 ⎞ ⎛ = sin x (1 + cosx ) ⎜ 1 + ⎟ cos x cos x cos3 x ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ Từ đó ta có bμi toán tìm nguyên hμm : ∫ sin x (1 + cosx ) ⎜ 1 + ⎟ dx cos3 x ⎠ ⎝ Dĩ nhiên để có một bμi tìm nguyên hμm nhìn đẹp mắt lại phụ thuộc vμo việc chọn hμm f(x) vμ khả năng biến đổi l−ợng giác của bạn ! 1 1 4 + = VD . T«i chän hμm sè : f(x) = tgx – cotgx ⇒ d ( f ( x ) ) = , nh− vËy t«i cã thÓ ra mét bμi cos2 x sin2 x sin2 2x 2. =. 3. to¸n nh×n “ t¹m ®−îc “ nh− sau : T×m hä nguyªn hμm :. ∫. ( tgx - cotgx )2007 sin 2 2x. dx. Nếu thấy ch−a hμi lòng ta thử biến đổi tiếp xem sao ?. cos 2 x − sin2 x 2cos2x ( tgx - cotgx ) 22007 cos2007 2x = ⇒ = 2 sin x.cosx sin 2x sin 2x sin2009 2x cos2007 2x dx .. Cã thÓ b¹n sÏ thÊy buån khi bμi to¸n nμy l¹i VËy b¹n sÏ cã mét bμi to¸n míi : T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2009 2x cã c¸ch gi¶i ng¾n h¬n con ®−êng chóng ta ®i ! Nh−ng dẫu sao cũng phải tự an ủi mình : “ Thực ra trên mặt đất lμm gì có đ−ờng ..” ☺ Chẳng lẽ chúng ta không thu lượm được điều gì chăng ? Nhưng tôi lại có suy nghĩ khác, biết đâu những nhà viết sách lại xuất phát từ những ý tưởng như chúng ta …??? Hãy thử xét sang một dạng toán khác : 2007. Ta cã : tgx − cot gx =. C. Tạo ra d(u(x)) để tính tích phân . π 4. VD . TÝnh tÝch ph©n :. dx. ∫ cosx 0. Râ rμng bμi to¸n kh«ng xuÊt hiÖn d¹ng :. ∫ f ( u ( x ) )u'( x ) dx = ∫ f ( u )du. Vậy để lμm đ−ợc bμi toán, một ph−ơng pháp ta có thể nghĩ đến lμ tạo ra d( u(x)) nh− sau : π π π π 6 6 dx cosxdx 6 d ( sin x ) 1 1 − sin x 1 1 ∫0 cosx = ∫0 cos2 x = ∫0 1 − sin2 x = 2 ln 1 + sin x 6 = 2 ln 3 0. B¹n cã nghÜ r»ng m×nh còng cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o ra d¹ng to¸n nμy !. T¹o d(sinx) cosxdx . dx 1. ∫ 4 sin xcosx sin2 x dx 4. ∫ cosx T¹o d(cosx) dx 1. ∫ sin xcosx. tg 4 x dx cosx cos2 xdx 5. ∫ cos3x. 2. ∫. 3.. dx. ∫ cos. 3. x. 6.. ∫. dx 3. 5. sin xcosx. −sinxdx .. dx 2. ∫ 3 sin x. π 2. 3.. cos3 x ∫π sin5 x dx 4. ª 0974.337.449. ___________________________. Lop10.com. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 18.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 12. ∫. Ph¹m Kim Chung. bµi gi¶ng tÝch ph©n. Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa. 2007. dx. 4. ∫. 5. ∫. sin x ( cos3 x − 1). π 4. 4 sin3 x ∫ 1 + cosx. 3.. ∫ ( sin x ). π 4. sin2 x dx 2 0 1 + cos x. 1. ∫ tg 3 xdx. 2. ∫. 4. ∫ tg 8 xdx. 5. ∫. 0. −. d(cotgx) π 2. 1. ∫ cotg 3 xdx π 4. 1 dx sin 4 x. 4. ∫. 6.. 1 dx . cos2 x. T¹o d(tgx). T¹o. dx sin xcos 6 x. d( tg. ( cosx )3. dx 2 sin2 x − 5 sin xcosx − 3cos2 x. 6.. 1. ∫ ( sin x − 2cosx ). 2. dx. 1 dx . sin 2 x 2. ∫. ( cotg5x ) ∫ ( sin 5x )8. 10. 1 dx sin2 x − 2cos 2 x. 3.. dx. dx. ∫ sin. 5.. 2n. x. 1 1 x dx . < Phép đặt ẩn phụ t= tg > . x 2 cos2 2 2 dx 1 dx 1. ∫ 2. ∫ 3. 2cos3x + 7 sin 3x 3 sin x + cosx 7 sin x − 5cosx sin x − cosx + 1 dx 4. ∫ 5. ∫ 2 sin x + 2cosx + 3 3 ( sin x + 4cosx ). T¹o. dx 3. x ) 2. dx. ∫ 2 sin x + 5cosx + 3. D. s¸ng t¹o bμi tËp NÕu ®−îc phÐp hái, t«i sÏ hái r»ng b¹n cã c¶m thÊy nhµm ch¸n khi b¹n cø suèt ngµy «m lÊy mét cuèn s¸ch tham kh¶o vµ lµm hÕt bài tập này đến bài tập khác, mà đôi lúc bạn vẫn cảm giác rằng khả năng giải toán của mình không giỏi lên. Còn tôi đam mê môn Toán từ khi t«i biÕt thÕ nµo lµ s¸ng t¹o .. B¹n cã muèn thö xem m×nh cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o hay kh«ng ? Dù khả năng sáng tạo bài tập đ−ợc xuất phát từ những bản chất rất sơ đẳng, có thể bạn sáng tạo một bài toán mà bạn đã bắt gặp ở một cuốn sách nào đó.. nh−ng dẫu sao nó vẫn mang “ dáng dấp “ của bạn . Tôi mạn phép t− duy để cùng tham khảo cho “ vui “ ! Tôi sẽ lấy một hμm số f(x) nμo đó mμ tôi thích, rồi đạo hμm để tìm d(f(x)) . h T«i chän : f ( x ) = sin4 x + cos4 x , f' ( x ) = 4 ( sin3 xcosx − cos3 x sin x ) = 2.sin 2x ( sin2 x − cos 2 x ) = − sin 4x π 2. Một bμi toán đơn giản đ−ợc tạo ra : Tính. sin4x. ∫ sin x + cos xdx 4. 4. 0. Một bμi toán nhìn khá đẹp mắt, bạn đã gặp ở đâu ch−a ? Nếu gặp bμi toán nμy tr−ớc khi bạn biết sáng tạo bạn gi¶i quyÕt nã nh− thÕ nμo ? Để tăng khả năng “ đánh lừa trực giác “ bạn có thể tạo mẫu số thμnh một hμm số hợp nμo đó quen thuộc , ví dụ : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : π 2. 1.. ∫ 0. π 2. sin4x 4. 4. sin x + cos x. ª 0974.337.449. dx. 2.. ∫ 0. π 2. sin4x. ( sin x + cos x ) 4. 4. ___________________________. Lop10.com. 2007. dx. 3.. sin4x. ∫ cos 2 ( sin x + cos x )dx 4. 4. 0. Th¸ng 12 – n¨m 2007. ___________________. Trang. 19.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>