Bài soạn ĐỀ THI HSG HUYỆN SON NAM 2010-2011

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THANH HÀ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2009 – 2010 – LỚP 9
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150’
Đề bài
Câu 1: (1,0 đ)
Tính B =
4 7 4 7+ − −
Câu 2: (2,5 đ)
Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m-1)x+(m-2)y=2
a) Vẽ (d) với m =3
b) Chứng minh d luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
c) Tìm m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
Câu 3: (2,0 đ) Cho biểu thức:
P =
3 9 3 1 1 1
2 :
1
2 1 2
x x
x
x x x x
 
+ −
+ + −
 ÷
 ÷
−
+ − − +

 
a) Rút gọn P
b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên
c) Tính giá trị của P với
4 2 3x = −
Câu 4: (1,0 đ) Với
1
2
x ≥ −
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2 5 2 2 3 2P x x x x= + + + + −
Câu 5: (3.5 đ)
1. Cho tam giác vuông cân ABC (góc A = 90
0
, AB=AC). Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho
1
3
MC
MA
=
. Kẻ
đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt tia BM tại K. Kẻ BE vuông góc với CK.
a) Chứng minh : tứ giác ABEC là hình vuông
b) Chứng minh:
2 2 2
1 1 1

AB BM BK
= +
c) Biết BM = 6cm. Tính các cạnh của tam giác MCK.
2. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1, hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi R
1

và R
2
lần lượt là bán kính các
đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng
2 2
1 2
1 1
4
R R
+ =
Đáp án:
Câu 1: (1 đ)
2
B= 4+ 7 - 4- 7 >0
B =2
B= 2(vì B >0)
Câu 2: (2,5 đ)
b) 2(m-1)x+(m-2)y=2 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
⇔
m(2x+y)=2+2x+2y luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
2 0
2 2 2 0
1
2

x y
x y
x
y
+ =

⇔

+ + =

=

⇔

= −

Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định (1:-2) với mọi m
Câu 3: (2,0 đ)
a) Rút gọn P
ĐKXĐ:
0, 1x x≥ ≠
P =
2
( 1)x +
b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên
2
1 1

( 1)
P
x
=
+
là số tự nhiên
2
( 1)x⇔ +
là ước của 1, mà
1x +
>0
⇔

1x +
=1
⇔
x =0 (tm)
Vậy x =0 thì
1
P
là số tự nhiên
c) Tính giá trị của P với
2
4 2 3 ( 3 1)x = − = −
P = 3
Câu 4: (1,0 đ) Với
1
2
x ≥ −
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2
2
2
ax
2 5 2 2 3 2
3 3
ó 2 5 2 (2 1)( 2)
2
3x+3+4 x+3 4 10 ( 3 2)
ây P
2 2
2 1 2
5 1
3 2 0
m
P x x x x
x
C x x x x
x x
V
x x
P khi x
x
= + + + + −
+
+ + = + + ≤
− − + −
≤ =
+ = +



= ⇔ =

+ − =


Câu 5: (3.5 đ)
1. Cho tam giác vuông cân ABC (góc A = 90
0
, AB=AC). Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho
1
3
MC
MA
=
. Kẻ
đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt tia BM tại K. Kẻ BE vuông góc với CK.
a) Chứng minh : tứ giác ABEC là hình vuông
b) Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
AB BM BK
= +
ΔABK=ΔEFB
BM=BF⇒
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam
giác vuông BFK có
2 2 2
2 2 2
1 1 1

BE
1 1 1
BF BK
AB BM BK
= +
⇔ = +
F
E
K
A
B
C
M
c) Biết BM = 6cm. Tính các cạnh của tam giác MCK.
Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông ABM có:
AB
2
+ AM
2
= BM
2

AB
2
+(2/3AB)
2
= BM
2
AB =
18

13
(cm)
·
·
·
1 1 6
MC = AC= AB=
3 3
13
3
ó tg
2
3 6 9
tg . . ( )
2
13 13
3
cm
C KMC tg AMB
KC KMC MC cm
MK cm
⇒
= =
⇒ = = =
=
Cách 2:
1
18
6 2
13

CKM ABM
MK CK CM
MB AB AM
MK CK
∆ ∆
⇒ = =
⇒ = =
:
2. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1, hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi R
1

và R
2
lần lượt là bán kính các
đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng
2 2
1 2
1 1
4
R R
+ =
- Kẻ đường thẳng d là trung trực của AB cắt AC, BD lần lượt
tại K và I.
- Chứng minh được I và K lần lượt là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC và ABD.
Từ B kẻ BM // AC cắt d tại M
⇒
BM BD⊥
- tứ giác AMBK là hình thoi
⇒

BM = AK = R
2

- Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác
vuông MBI có
2 2 2
2 2
2
1 2
2 2
1 2
1 1 1
1 1 1
( )
2
1 1
4
BI MB BH
AB
R R
R R
+ =
⇔ + =
⇔ + =
D
d
M
K
I
H

O
A
C
B