Ôn thi vào 10 môn Toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BAØI TAÄP PHAÀN RUÙT GOÏN Baøi 1 : P = 14  6 5  14  6 5 .  x 2 x  2  x 1 2) Cho biÓu thøc : Q=   .  x  2 x  1 x  1  x   a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tìm x để Q > - Q. c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên. 1) §¬n gi¶n biÓu thøc :. Hướng dẫn : 1. P = 6 2. a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiÓu thøc rót gän : Q =. 2 . x 1. b) Q > - Q  x > 1. c) x = 2;3 th× Q  Z Baøi 2 : Cho biÓu thøc P =. 1 x 1. . x x x. a) Rót gän biÓu thøc sau P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x =. 1 2. .. Hướng dẫn : x 1 a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiÓu thøc rót gän : P = . 1 x 1 b) Víi x = th× P = - 3 – 2 2 . 2 Baøi 3 : Cho biÓu thøc : A =. x x 1 x 1  x 1 x 1. a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x =. 1 4. c) Tìm x để A < 0. d) Tìm x để A = A. Hướng dẫn : a) §KX§ : x  0, x  1. BiÓu thøc rót gän : A = 1 th× A = - 1. 4 c) Víi 0  x < 1 th× A < 0. d) Víi x > 1 th× A = A.. b) Víi x =. 1 Lop10.com. x . x 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1  3   1 Baøi 4 : Cho biÓu thøc : A =    1   a  3  a  a 3 a) Rót gän biÓu thøc sau A. 1 b) Xác định a để biểu thức A > . 2 Hướng dẫn : 2 a) §KX§ : a > 0 vµ a  9. BiÓu thøc rót gän : A = . a 3 1 b) Víi 0 < a < 1 th× biÓu thøc A > . 2  x  1 x  1 x 2  4x  1  x  2003 Baøi 5 : Cho biÓu thøc: A=  .   . x2  1  x  x 1 x 1 1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. 2) Rót gän A. 3) Với x  Z ? để A  Z ? Hướng dẫn : a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠  1. x  2003 b) BiÓu thøc rót gän : A = víi x ≠ 0 ; x ≠  1. x c) x = - 2003 ; 2003 th× A  Z . Baøi 6 : Cho biÓu thøc:. . .  x x 1 x x 1  2 x  2 x 1  A=  .  :  x x x  1 x  x  . a) Rót gän A. b) Tìm x để A < 0. c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên. Hướng dẫn : x 1 a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = . x 1 b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0. c) x = 4;9 th× A  Z..  x2 x 1  x 1 Baøi 7 : Cho biÓu thøc: A =    :  x x  1 x  x  1 1  x  2   a) Rót gän biÓu thøc A. b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2. Hướng dẫn : 2 a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = x  x 1 b) Ta xét hai trường hợp :. 2 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> +) A > 0  +) A < 2 . 2 x  x 1 2. > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1). < 2  2( x  x  1 ) > 2  x  x > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2) x  x 1 Tõ (1) vµ (2) suy ra 0 < A < 2(®pcm).. a 3. Baøi 8 : Cho biÓu thøc: P =. a 2. . a 1 a 2. . 4 a 4 (a  0; a  4) 4a. a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9.. Hướng dẫn : 4 a) §KX§ : a  0, a  4. BiÓu thøc rót gän : P = a 2 b) Ta thÊy a = 9  §KX§ . Suy ra P = 4  a  a  a  a  Baøi 9 : Cho biÓu thøc: N = 1   1    a  1   a  1   1) Rót gän biÓu thøc N. 2) Tìm giá trị của a để N = -2004. Hướng dẫn : a) §KX§ : a  0, a  1. BiÓu thøc rót gän : N = 1 – a . b) Ta thÊy a = - 2004  §KX§ . Suy ra N = 2005. Baøi 10 : Cho biÓu thøc P . x x  26 x  19 2 x   x2 x 3 x 1. x 3 x3. a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x  7  4 3 c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Hướng dẫn : x  16 a ) §KX§ : x  0, x  1. BiÓu thøc rót gän : P  x 3 103  3 3 b) Ta thÊy x  7  4 3  §KX§ . Suy ra P  22 c) Pmin=4 khi x=4..  2 x Baøi 11 : Cho biÓu thøc P    x  3 . x x 3. . 3x  3   2 x  2  :  1 x  9   x  3 . 1 c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. 2 Hướng dẫn : 3 a. ) §KX§ : x  0, x  9. BiÓu thøc rót gän : P  x3 3. a. Rót gän P.. b. Tìm x để P  . Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> b. Víi 0  x  9 th× P  . 1 2. c. Pmin= -1 khi x = 0.  a 1  a 1 1  Bµi 12: Cho A=    4 a  .  a   víi x>0 ,x  1 a 1 a  a 1  a. Rót gän A. .  10  6 . 4 . b. TÝnh A víi a = 4  15 .. 15. . ( KQ : A= 4a )  x 3 x   9 x x 3 x 2 Bµi 13: Cho A=   1 :     víi x  0 , x  9, x  4 . x 2 x  3   x 9   x x 6 a. Rót gän A. b. x= ? Th× A < 1. c. Tìm x  Z để A  Z 3 (KQ : A= ) x 2. 15 x  11 3 x  2 2 x  3 víi x  0 , x  1.   x  2 x  3 1 x x 3 a. Rót gän A. b. T×m GTLN cña A. 1 c. Tìm x để A = 2 2 25 x d. CMR : A  . (KQ: A = ) 3 x 3. Bµi 14: Cho A =. Bµi 15: Cho A =. x2 x 1 1   x x 1 x  x 1 1 x. víi x  0 , x  1.. a . Rót gän A. b. T×m GTLN cña A .. ( KQ : A =. x ) x  x 1. 1 3 2   víi x  0 , x  1. x 1 x x 1 x  x 1. Bµi 16: Cho A = a . Rót gän A. b. CMR :. 0  A 1. ( KQ :. A=. x ) x  x 1.  x  5 x   25  x x 3 x 5 Bµi 17: Cho A =   1 :     x 5 x  3   x  25   x  2 x  15 a. Rót gän A. b. Tìm x  Z để A  Z 4 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ( KQ :. 2 a 9 a  3 2 a 1   a 5 a 6 a  2 3 a a. Rót gän A. b. Tìm a để A < 1. Bµi 18: Cho A =. c. Tìm a  Z để A  Z. 5 ) x 3. A=. víi a  0 , a  9 , a  4.. ( KQ : A =. a 1 ) a 3.  x x 7 1   x 2 x 2 2 x  Bµi 19: Cho A=      :   víi x > 0 , x  4. x  4 x  4 x  2 x  2 x  2     a. Rót gän A. x9 1 b. So s¸nh A víi ( KQ : A = ) A 6 x 3 3  x y x  y  :  Bµi20: Cho A =   x y yx    a. Rót gän A.. b. CMR : A  0. ( KQ :. . x y.  2. xy. víi x  0 , y  0, x  y. x y. A=. xy. ). x  xy  y. x x 1 x x 1  1   x 1 x 1    x     .  x x x x  x   x 1 x  1  a. Rót gän A.. Bµi 21 : Cho A =. b. Tìm x để A = 6. ( KQ :. A=. . . ). 2 x  x 1 x.   x 4 3   x 2 x  Bµi 22 : Cho A =   :     x x 2 x 2  x x  2    a. Rót gän A b. TÝnh A víi x = 6  2 5 (KQ: A = 1 x ). . Víi x > 0 , x  1.. víi x > 0 , x  4.. 1   1 1  1  1 Bµi 23 : Cho A=  víi x > 0 , x  1.   :   1 x 1 x   1 x 1 x  2 x a. Rót gän A 3 b. TÝnh A víi x = 6  2 5 (KQ: A= ) 2 x  2x 1 1   x4  Bµi 24 : Cho A=  3  : 1  víi x  0 , x  1.     x  x  1  x  1 x  1   a. Rót gän A. 5 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> b. Tìm x  Z để A  Z. (KQ:. A=. x ) x 3.  1   1 2 x 2 2  Bµi 25: Cho A=     :   víi x  0 , x  1. x  1 x  1 x x  x  x  1 x  1     a. Rót gän A. b. Tìm x  Z để A  Z x 1 c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A= ) x 1  2 x x 3x  3   2 x  2  Bµi 26 : Cho A =     1 víi x  0 , x  9 : x  3 x  9   x  3  x 3  . a. Rót gän A. 1 b. Tìm x để A < 2 3 ( KQ : A = ) a 3  x 1 x 1 8 x   x  x  3 1  Bµi 27 : Cho A =      :   víi x  0 , x  1. x  1 x  1 x  1 x  1 x  1     a. Rót gän A 4 x b. TÝnh A víi x = 6  2 5 (KQ: A= ) x4 c . CMR : A  1 Bµi 28 :. 1  x 1  1 Cho A =   : x 1  x  2 x 1  x x a.. Rót gän A. (KQ:. víi x > 0 , x  1. A=. x 1 ) x. b.So s¸nh A víi 1.  x 1 1 1 8 x   3 x 2 Cho A =     : 1   Víi x  0, x  9  3 x 1 3 x 1 9x 1   3 x 1  a. Rót gän A. 6 b. Tìm x để A = 5 c. Tìm x để A < 1. x x ( KQ : A = ) 3 x 1  x 2 x  2  x2  2x  1 Bµi30 : Cho A =   víi x  0 , x  1.  . x  1 2 x  2 x  1   a. Rót gän A. b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0 c. TÝnh A khi x =3+2 2 6 Bµi 29 :. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> d. T×m GTLN cña A. (KQ:. A=. x (1  x ) ).  x2 x 1  x 1 Bµi 31 : Cho A =     : 2  x x 1 x  x 1 1 x . víi x  0 , x  1.. a. Rót gän A. b. CMR nÕu x  0 , x  1 th× A > 0 , (KQ: Bµi 32 :. 4 1  x2 x  Cho A = 1   : x 1 x 1  x 1 . A=. 2 ) x  x 1. víi x > 0 , x  1, x  4.. a. Rót gän b. Tìm x để A =. 1 2.  x 1 x  2 x  3   x  3 2  Bµi 33 : Cho A =     :   víi x  0 , x  1. x 1   x 1 x 1  x 1 a. Rót gän A. b. TÝnh A khi x= 0,36 c. Tìm x  Z để A  Z  x   x 3 x 2 x 2  Bµi 34 : Cho A= 1     :   víi x  0 , x  9 , x  4.  1 x   x  2 3  x x  5 x  6  a. Rót gän A. b. Tìm x  Z để A  Z x 2 c. Tìm x để A < 0 (KQ: A= ) x 1. BAØI TAÄP PHAÀN HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT Baøi 1 : 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). 2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành. Hướng dẫn : 1) Gäi pt ®­êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng : y = ax + b. 2  a  b a  3 Do ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hÖ pt :    4   a  b b  1 7 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> VËy pt ®­êng th¼ng cÇn t×m lµ y = 3x – 1 2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 b»ng . 3 Baøi 2 : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy. Hướng dẫn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3  m – 2 < 0  m < 2. 2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 3 Thay x= 3 ; y = 0 vµo hµm sè y = (m – 2)x + m + 3, ta ®­îc m = . 4 y  x  2 3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt :   y  2x  1  (x;y) = (1;1). Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần : (x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + 3. 1 Víi (x;y) = (1;1)  m = 2 Baøi 3 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. Hướng dẫn : 1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2  m = -1. Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta ®­îc : m = -3. Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có  x0  1 y0 = (m – 1)x0 + m + 3  (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0    y0  2 Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).. Baøi4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phương trình đường thẳng AB. 2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Hướng dẫn : 1) Gäi pt ®­êng th¼ng AB cã d¹ng : y = ax + b.. 1  a  b a  2 Do ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 1) vµ (2 ;-1) ta cã hÖ pt :    1  2 a  b b  3 VËy pt ®­êng th¼ng cÇn t×m lµ y = - 2x + 3. 8 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi m 2  3m  2  m = 2. qua ®iÓm C(0 ; 2) ta cÇn :  2 m  2m  2  2 Vậy m = 2 thì đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2) Baøi 5 : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định Êy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2  1 . Hướng dẫn : 1) m = 2. 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có 1   x0  2 y0 = (2m – 1)x0 + m - 3  (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0   y   5  0 2 1  5 Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định ( ; ). 2 2 Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau : 6x 4x  5 y= ;y= vµ y = kx + k + 1 c¾t nhau t¹i mét ®iÓm. 4 3 Baứi 7 : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) vµ B(-3; -1). Baøi 8 : Cho hµm sè : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : 1) §i qua ®iÓm A(1; 2003). 2) Song song víi ®­êng th¼ng x – y + 3 = 0.. Chủ đề :. Phương trình – bất phương trình bậc nhất một ần Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn .. A. kiÕn thøc cÇn nhí : 1. Phương trình bậc nhất : ax + b = 0. Phương pháp giải : + Nếu a ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất : x =. a . b. + Nếu a = 0 và b ≠ 0  phương trình vô nghiệm. + Nếu a = 0 và b = 0  phương trình có vô số nghiệm. 9 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ax  by  c  a' x  b' y  c'. 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :. Phương pháp giải : Sö dông mét trong c¸c c¸ch sau : +) Phương pháp thế : Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phương trình thứ 2 ta được phương trình bậc nhất 1 ẩn. +) Phương pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau). - Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó. - Gi¶i ra mét Èn, suy ra Èn thø hai. B. VÝ dô minh häa : Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau đây : x x  2 a) §S : §KX§ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S = 4 . x -1 x  2 2x 3 - 1 b) 3 =2 x  x 1 Gi¶i : §KX§ : x 3  x  1 ≠ 0. (*) 2x 3 - 1 3 Khi đó : 3 = 2  2x = - 3  x = 2 x  x 1 3 3 3 3 Víi  x = thay vµo (* ) ta cã ( ) + +1≠0 2 2 2 3 VËy x = lµ nghiÖm. 2 Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình theo m : (m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1) + NÕu m  2 th× (1)  x = - (m + 2). + NÕu m = 2 th× (1) v« nghiÖm. Ví dụ 3 : Tìm m  Z để phương trình sau đây có nghiệm nguyên . (2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0. Gi¶i : 4 Ta có : với m  Z thì 2m – 3  0 , vây phương trình có nghiệm : x = - (m + 2) . 2m - 3 để pt có nghiệm nguyên thì 4  2m – 3 . Gi¶i ra ta ®­îc m = 2, m = 1. Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 7x + 4y = 23. Gi¶i : 23 - 7x x 1 a) Ta cã : 7x + 4y = 23  y = = 6 – 2x + 4 4 V× y  Z  x – 1  4. Gi¶i ra ta ®­îc x = 1 vµ y = 4. BAØI TAÄP PHAÀN HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Baứi 1 : Giải hệ phương trình: 2x  3y  5 a)  b) 3x  4y  2. x  4y  6  4x  3y  5. 2x  y  3 c)  5  y  4x 10. Lop10.com. x  y  1 d)  x  y  5.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 5 2 x  x  y  2  f)   3  1  1, 7  x x  y. 2x  4  0 e)  4x  2y  3. Baứi 2 : Cho hệ phương trình : mx  y  2  x  my  1 1) Giải hệ phương trình theo tham số m. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn : Baứi 3 : Cho hệ phương trình: x  2y  3  m  2x  y  3(m  2) 1) Giải hệ phương trình khi thay m = -1. 2) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Baứi 4 : Cho hệ phương trình: (a  1)x  y  a cã nghiÖm duy nhÊt lµ (x; y).  x  (a  1)y  2 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 5. 2x  5y 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức nhËn gi¸ trÞ nguyªn. xy Baứi 5 : Cho hệ phương trình: x  ay  1 (1)  ax  y  2 1) Gi¶i hÖ (1) khi a = 2. 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.. mx  y  n Baứi 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình   nx  my  1 cã nghiÖm lµ 1; 3 .. . . a  1x  y  4 Baứi 7 : Cho hệ phương trình  (a lµ tham sè). ax  y  2a 1) Gi¶i hÖ khi a = 1. 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y  2. x - (m  3)y  0 Baứi 8 (trang 22): Cho hệ phương trình :  (m lµ tham sè). (m - 2)x  4y  m - 1 a) Gi¶i hÖ khi m = -1. 11 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> b) Gi¶i vµ biÖn luËn pt theo m.. x - m y  0 Baứi 9 : (trang 24): Cho hệ phương trình :  (m lµ tham sè). mx  4y  m  1 a) Gi¶i hÖ khi m = -1. b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên. c) Xaùc ñònh moïi heä coù nghieäm x > 0, y > 0. Bài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vaän toác cuûa moãi xe. HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h. Bài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa. Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A. Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng. 4 Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 4 giờ thì đầy bể. 5 6 Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới nay bể . Nếu 5 một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể. Đáp số : 8 giờ. Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C. Hường dãn : x  y  10 x  2,5 Ta coù heä pt :    100x  20y  400  y  7,5 Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C. Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dịch ban đầu. Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu.  ( x  200)  y  200 .100%  50% x  400  Theo baøi ra ta coù heä pt :     y  1000  ( x  200) .100%  40%  y  500 Vậy nồng độ phần trăm của dung dịch axít ban đầu là 40%. Phương trình bậc hai định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp 12 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> a) Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất - hoặc vô nghiệm - hoặc vô số nghiệm b)Nếu a  0 Lập biệt số  = b2 – 4ac hoặc  / = b/2 – ac *  < 0 (  / < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm b *  = 0 (  / = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = 2a b/ (hoặc x 1,2 = - ) a / *  > 0 (  > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: b  b  x1 = ; x2 = 2a 2a (hoặc x1 =.  b /  / a. ; x2 =.  b /  / ) a. 2. Định lý Viét. Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì b S = x1 + x2 = a c p = x1x2 = a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) của phương trình bậc 2: x2 – S x + p = 0 3.Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai. Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phương tr×nh .Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < 0 < x2 )  p = x1x2 < 0   0  Hai nghiệm cùng dương( x1 > 0 và x2 > 0 )   p  0 S  0    0  Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < 0 vµ x2 < 0)   p  0 S  0 .   0  Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x2 > x1 = 0)   p  0 S  0    0  Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0)   p  0 S  0  13 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)TÝnh nhÈm nghiÖm. Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) c a. . Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =. . Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -. . c a Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và   0 thì phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m. b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Phương trình cần tìm là : x2 – S x + p = 0 c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 x  x2 S 1 1   1 *) = x1 x 2 x1 x 2 p 2. 2. x1 x 2 x1  x 2 S2  2p =   p x 2 x1 x1 x 2 *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 x  x 2  2a 1 1 S  2a   1  *) x1  a x 2  a ( x1  a )( x 2  a ) p  aS  a 2 (Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện   0 ) d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trước .Tìm nghiÖm thø 2 C¸ch gi¶i:  Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:   0 (hoÆc /  0 ) (*) - Thay x = x1 vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của tham sè - §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®­îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) để kết luận +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn   0 (hoÆc /  0 ) mµ ta thay lu«n x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có  < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước. *). . §ª t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm 14 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình (như cách 2 tr×nh bÇy ë trªn) +) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tæng 2 nghiÖm sÏ t×m ®­îc nghiÖm thø 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm được nghiÖm thø 2 B . Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0 Gi¶i. / 2 2 Ta cã  = (m + 1) – 2m + 10 = m – 9 + Nếu / > 0  m2 – 9 > 0  m < - 3 hoặc m > 3 .Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biÖt: x1 = m + 1 - m 2  9 x2 = m + 1 + m 2  9 + NÕu / = 0  m =  3 - Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = 4 - Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = -2 / + Nếu  < 0  -3 < m < 3 thì phương trình vô nghiệm KÕt kuËn:  Với m = 3 thì phương trình có nghiệm x = 4  Với m = - 3 thì phương trình có nghiệm x = -2  Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. . x1 = m + 1 - m 2  9 x2 = m + 1 + Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm. m2  9. Bài 2: Giải và biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0 Hướng dẫn  Nếu m – 3 = 0  m = 3 thì phương trình đã cho có dạng 1 2 * Nếu m – 3  0  m  3 .Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số / = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - Nếu / = 0  9m – 18 = 0  m = 2 .phương trình có nghiệm kép b/ 2  x1 = x 2 = =-2 a 23 - Nếu / > 0  m >2 .Phương trình có hai nghiệm phân biệt m3 m2 x1,2 = m3 / - Nếu  < 0  m < 2 .Phương trình vô nghiệm KÕt luËn: 1 Với m = 3 phương trình có nghiệm x = 2 Với m = 2 phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2. - 6x – 3 = 0.  x=-. 15 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Với m > 2 và m  3 phương trình có nghiệm x1,2 = Với m < 2 phương trình vô nghiệm. m3 m2 m3. Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 b) 17x2 + 221x + 204 = 0 c) x2 + ( 3  5 )x - 15 = 0 d) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 Gi¶i a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0 c  2009 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 =  a 2 b) 17x2 + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 , c 204 x2 = -   = - 12 a 17 c) x2 + ( 3  5 )x - 15 = 0 cã: ac = - 15 < 0 . Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -( 3  5 ) = - 3 + 5 x1x2 = - 15 = (- 3 ) 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5 (hoÆc x1 = 5 , x2 = - 3 ) 2 d ) x –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 cã : ac = - 6 7 < 0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có x 1  x 2  3 - 2 7  x 1 x 2  - 6 7  3(-2 7 ) Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 7 Bài 4 : Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Hướng dẫn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 Suy ra : x1 = 2 m 1 HoÆc x2 = 3 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*) * m- 3 = 0  m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0  x = - 1  x1  1 * m – 3  0  m  3 (*)    x 2  2m  2 m3  16 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phương trình : x2 – 3x – 7 = 0 a) TÝnh: A = x12 + x22 B = x1  x 2 C=. 1 1  x1  1 x 2  1. D = (3x1 + x2)(3x2 + x1). 1 1 vµ x1  1 x2  1 Gi¶i ; Phương trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phương trình có hai nghiệm ph©n biÖt x1 , x2 . Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23. b) lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là. + (x1 – x2)2 = S2 – 4p =>. B = x1  x 2 =. S 2  4 p  37. ( x1  x 2 )  2 1 1 S 2 1    = x1  1 x 2  1 ( x1  1)( x 2  1) p  S  1 9 2 2 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2 = 10x1x2 + 3 (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta cã : 1 1 1    (theo c©u a) S= x1  1 x 2  1 9 1 1 1   p= ( x1  1)( x 2  1) p  S  1 9 1 1 VËy vµ là nghiệm của hương trình : x1  1 x2  1 1 1 X2 – SX + p = 0  X2 + X - = 0  9X2 + X - 1 = 0 9 9. +C=. Bài 6 : Cho phương trình : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè) 1. Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k 2. Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0 Gi¶i. 1. Phương trình (1) là phương trình bậc hai có:.  = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 -. 6 9 k+ ) 5 5. 3 9 36 3 36 = 5(k2 – 2. k + + ) = 5(k - ) + > 0 với mọi giá trị của k. Vậy phương 5 25 25 5 5 tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu  p < 0 17 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 1 1 7 + )<0  - k2 + k – 2 < 0  - ( k2 – 2. k + 2 4 4 1 2 7 < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu  -(k - ) 2 4 víi mäi k 3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) Vì phương trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2  x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) 5 87 = (k – 1)[(2k - )2 + ] 4 16 5 87 Do đó x13 + x23 > 0  (k – 1)[(2k - )2 + ] >0 4 16 5 87 > 0 víi mäi k)  k – 1 > 0 ( v× (2k - )2 + 4 16 k>1 VËy k > 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 7: Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số) 1. Giải phương trình (1) với m = -5 2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m 3. Tìm m để x1  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phương trình (1) nói trong phÇn 2.) Gi¶i 1. Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9 2. Cã / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5 1 1 19 1 19 = m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 víi mäi m 2 4 4 2 4 Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 3. Vì phương trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4 Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4) 1 19 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ] 2 4 1 19 19 1 1 2 => x1  x 2 = 2 (m  ) 2  = 19 khi m + =0 m=2 4 4 2 2 1 Vậy x1  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = 2. Bài 8 : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số) 9 1) Giải phương trình khi m = 2 2) Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m 3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia. 18 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Gi¶i: 9 vào phương trình đã cho và thu gọn ta được 2 5x2 - 20 x + 15 = 0 phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3 2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phương trình đã cho trở thành; 5x – 5 = 0  x = 1 + Nếu : m + 2  0 => m  - 2 .Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt sè :  = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt 2m  1  5 2m  4 2m  1  5 2(m  3) m  3    1 x2 = x1 = = 2(m  2) 2(m  2) 2(m  2) m  2 2m  4 Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m 3)Theo câu 2 ta có m  - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trường hợp m3 9 Trường hợp 1 : 3x1 = x2  3 = giải ra ta được m = (đã giải ở câu 1) m2 2 m3 11 Trường hợp 2: x1 = 3x2  1= 3. (tho¶ m·n ®iÒu  m + 2 = 3m – 9  m = m2 2 kiÖn m  - 2) 11 KiÓm tra l¹i: Thay m = vào phương trình đã cho ta được phương trình : 2 15x2 – 20x + 5 = 0 phương trình này có hai nghiệm 5 1 x1 = 1 , x 2 = = (tho¶ m·n ®Çu bµi) 15 3. 1) Thay m = -. Bài 9: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số . 1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1) 2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu. 3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai. Gi¶i 3 1.+ NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0  x = 4 / 2 + NÕu m  0 .LËp biÖt sè  = (m – 2) – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m =-m+4 /  < 0  - m + 4 < 0  m > 4 : (1) v« nghiÖm / = 0  - m + 4 = 0  m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp b/ m  2 4  2 1   x1 = x 2 = -  a m 2 2 / > 0  - m + 4 > 0  m < 4: (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt m2 m4 m2 m4 x1 = ; x2 = m m Vậy : m > 4 : phương trình (1) vô nghiệm 1 m = 4 : phương trình (1) Có nghiệm kép x = 2 19 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 0  m < 4 : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: m2 m4 m 3 m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = 4 c m3 2. (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu  <0  <0 a m  m  3  0  m  3   m  0 m  0     m  3  0  m  3   m  0 m  0 m  3 Trường hợp  kh«ng tho¶ m·n m  0. x1 =. m2 m4 m. ;. x2 =. m  3 Trường hợp   0<m<3 m  0 3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm /  0  0  m  4 (*) (ở câu a đã có) - Thay x = 3 vào phương trình (1) ta có :. 9m – 6(m – 2) + m -3 = 0  4m = -9  m = - §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m = -. 9 4. 9 tho¶ m·n 4. *) Cách 2: Không cần lập điều kiện /  0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm được m = -. 9 .Sau đó 4. 9 vào phương trình (1) : 4 9 9 9 - x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0  -9x2 +34x – 21 = 0 4 4 4  x1  3 / cã  = 289 – 189 = 100 > 0 =>   x2  7 9  9 Vậy với m = - thì phương trình (1) có một nghiệm x= 3 4 *)§Ó t×m nghiÖm thø 2 ,ta cã 3 c¸ch lµm 9 7 Cách 1: Thay m = - vào phương trình đã cho rồi giải phương trình để tìm được x2 = 4 9 (Như phần trên đã làm) 9 C¸ch 2: Thay m = - vµo c«ng thøc tÝnh tæng 2 nghiÖm: 4. thay m = -. 20 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>