Gián án BT dãy số_cấp số cộng_cấp số nhân

BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ
Bài 1: Giải các bài toán sau bằng phương pháp chứng minh quy nạp.
1) CMR:
1 1 1
... 1
1 2 3 1n n n
+ + + >
+ + +
2) CMR:
1 3 5 2 1 1
. . ....
2 4 6 2 2
3 4
n
n
n
+
<
+
+
3) CMR: n(2n
2
– 3n + 1) chia hết cho 6.
4) 11
n+1
+ 12
2n – 1
chia hết cho 133.
5) 1+
1

2
+
1 1
...
3
n
n
+ + >
6) 1+
1 1 1
...
2 3 2 1
n
n
+ + + <
−
7)
2
3 3 3
( 1)
1 2 ...
2
n n
n
+
 
+ + + =
 
 
Bài 2: Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau:

1)
1 2
2 1
1, 1
, 3
n n n
u u
u u u n
− −
= =


= + ≥

2) u
n
= 3
n
– 2
n
3)
2
2
sin os
4 3
n
n n
u c
π π
= +

Bài 3: Viết số hạng tổng quát của một dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng
của nó:
a) Đều chia hết cho 3
b) Chia cho 5 dư 2.
Bài 4: Cho dãy số u
n
= 5.4
n-1
+ 3
a) Chứng minh rằng u
n+1
= 4u
n

– 9 với mọi n ≥ 1
b) Hãy cho dãy số
( )
n
u
bởi hệ thức truy hồi.
Bài 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau:
1
1
3
5 ( 1)
n n
u
u u n
+
=



= ≥

Bài 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau:
1
1
3
2, 1
n n
u
u u n
+
=


= + ≥

Bài 7: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a)
2
1
1
n
u
n
=
+
b)
2 1

2
n
n
n
u
−
=
c)
1
2
n
n
u
 
= −
 ÷
 
d) u
n
= 3
n
– n
e)
1
3
2
n
n
n
u

+
=
f)
2
n
n
n
u
=
g)
2
3
n
n
u
n
=
Bài 8: Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
a)
b) Dãy số (b
n
) với b
n
=
Bài 9: Trong các dãy sau, dãy nào bị chặn trên, dãy nào bị chặn dưới, dãy nào bị chặn.
a)
2 1
n
u n
= −

b)
1
( 1)
n
u
n n
=
+
c)
2 1
5.3
n
n
u
−
=
d)
1
3
n
n
u
 
= −
 ÷
 
Page 1
BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Bài 10: Chứng minh rằng dãy số
( )

n
u
với u
n
=
2
2
2 1
2 3
n
n
+
−
là một dãy số bị chặn
Bài 11: Chứng minh rằng:
( )
n
u
với
5 2
2 5
n
n
u
n
+
=
+
là một dãy số tăng và bị chặn.
Bài 12: Cho dãy số:

1
1
2
1
2
n
n
u
u
u
+
=



+
=


CMR: Dãy số này giảm và bị chặn dưới.
Bài 13: Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
1
2
1
2
4

, 1
4
n
n
u
u
u n
+
=



+
= ∀ ≥


Chứng minh rằng
( )
n
u
là một dãy số không đổi.
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG
Bài 14: Cho một cấp số cộng
( )
n
u
có: u
1
= 1 và u
2

= 5
a) Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho
b) Tìm u
2
, u
3
, u
4
.
c) Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng.
Bài 15: Tìm số hạng đầu tiên và công sai của các cấp số cộng sau:
a)
( )
n
u
thỏa mãn
2 3 5
4 6
10
26
u u u
u u
− + =


+ =

b)
( )
n

u
thỏa mãn
7 3
2 7
8
75
u u
u u
− =


=

c)
( )
n
u
thỏa mãn
17 20
2 2
17 20
9
153
u u
u u
− =



+ =



Bài 16: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng bình
phương của chúng bằng 120.
Bài 17: Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 25 và tổng bình
phương của chúng bằng 165.
Bài 18: Cho một cấp số cộng
( )
n
u
có u
5
+ u
19
= 90. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của
( )
n
u

Bài 19: Cho một cấp số cộng
( )
n
u
có u
2
+ u
5
= 42 và u
4
+ u

9
= 66. Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên
của cấp số cộng đó.
Bài 20: Cho cấp số cộng tăng
( )
n
u
có: u
1
3
+ u
15
3
= 302094 và tổng 15 số hạng đầu bằng 585. Hãy tìm
số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
Bài 21: Tìm m để các phương trình sau có các nghiệm lập thành một cấp số cộng:
a) x
4
– 2(m+1)x
2
+ 2m + 1 = 0
b) mx
4
– 2(m-1)x
2
+ m – 1 = 0
c) x
3
– 3x
2

+ mx + 2 – m = 0
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN
Bài 22: Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau:
a)
5
9
96
192
u
u
=


=

b)
3 5
2 6
90
240
u u
u u
+ =


− =

c)
20 17
3 5

8
272
u u
u u
=


+ =

d)
2 5
3 4
6 1
3 2 1
u u
u u
+ =


+ = −

Page 2
BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Bài 23: Cho 5 số lập thành một cấp số nhân. Biết công bội bằng ¼ số hạng đầu tiên và tổng 2 số hạng
đầu bằng 25.
Bài 24: Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân biết rằng tổng 3 số hạng đầu là
4
16
9
và theo thứ tự

chúng là số hạng thứ nhất, thứ 4, thứ 8 của 1 cấp số cộng.
Bài 25: Cho 3 số khác nhau lập thành một cấp số cộng, bình phương của các số ấy lập thành một cấp
số nhân. Tìm 3 số đó.
Bài 26: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
1
2
1
2
3 10, 1
n n
u
u u n
+
=



= − ≥


Chứng minh rằng (u
n
) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.
Bài 27: Hãy tính tổng 12 số hạng đầu tiên của một cấp số nhân (u
n
) biết rằng:
2 5
3 3

1 3
8 5 5 0
189
u u
u u

− =


+ =


Bài 28: Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng:
a) (ab+bc+ca)
3
= abc(a+b+c)
3
b) (a+b+c)(a-b+c)=a
2
+ b
2
+ c
2
c)
2 2 2 3 3 3
3 3 3
1 1 1
a b c a b c
a b c
 

+ + = + +
 ÷
 
Bài 29: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm lập thành một cấp số nhân:
x
3
– 3mx
2
+ 4mx + m – 2 = 0
Bài 30: Tính các tổng sau:
1) S= 1+4+16+…+65536
2) S= 3-15+75-…-234375
3) S= 1+4.2+7.2
2
+ 10.2
3
+…+288.2
99
4) S= 1+2.3+3.3
2
+…+100.3
99
5) S = 6+66+666+…+
{
66...6
ch÷ sè 6n
6)
2
1 3 2 1
...

2 2 2
n
n
S
−
= + + +
7) S=
2 2 2
2
2
1 1 1
3 3 ... 3
3 3 3
n
n
     
+ + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
Page 3