Tài liệu ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MÔN TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP PHẦN 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.. a. a / /(P)  a  (P)   (P). II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.. d  (P)  d / /a  d / /(P) a  (P)  a / /(P)   d / /a a  (Q) (P)  (Q)  d . d. a (P). (Q). a d. (P). ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.. (P)  (Q)  d   d / /a (P) / /a (Q) / /a . d a Q. P. §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.. (P) / /(Q)  (P)  (Q)  . P Q. 1. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau. ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia. ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.. a, b  (P)   (P) / /(Q) a  b  I a / /(Q), b / /(Q) . (P) / /(Q)  a / /(Q)  a  (P) . P. a b I. Q a P Q. R. (P) / /(Q)  (R)  (P)  a  a / / b (R)  (Q)  b . a. P. b. Q. B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt a  mp(P)  a  c, c  (P) phẳng đó. P. II. Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P).. a. c. d. d  a,d  b  a, b  mp(P)  d  mp(P) a, b caét nhau  P. 2. Lop10.com. a. b.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).. a. a  mp(P), b  mp(P) b  a  b  a'. b. a'. P. §2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. II. Các định lý: ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).. Q. a  mp(P)  mp(Q)  mp(P)  a  mp(Q) . a. P. (P)  (Q)  (P)  (Q)  d  a  (Q) a  (P),a  d . P a. Q. d. ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P). (P)  (Q)  A  (P)  a  (P)  A  a a  (Q). ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.. (P)  (Q)  a   a  (R) (P)  (R) (Q)  (R) . P a A. Q. P. R. 3. Lop10.com. a. Q.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. §3.KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cáchgiữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH. O. O H. a. 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). d(a;(P)) = OH. O. a. H. P. 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d((P);(Q)) = OH. O. P. H. Q. 4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. d(a;b) = AB. H. P. a. b. A. B. §4.GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.. a. a'. b'. b. 2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.. a. P. 4. Lop10.com. a'.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. 3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. b. a. Q. P. 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì S'  Scos  , trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).. S. A. C.  B. C. THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN: 1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: a) Thể tích khối hộp chữ nhật: b) Thể tích khối lập phương: 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: 3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:. 3. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:. B : diện tích đáy  h : chieàu cao. V=Bh với . V=abc với a, b, c là ba kích thước V=a3 với a là độ dài cạnh B : diện tích đáy 1 V= Bh với  3  h : chieàu cao Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC  VSA ' B' C ' SA ' SB' SC' V. . . B, B' : diện tích hai đáy h B  B' BB' với  3  h : chieàu cao. D. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY: 1. Hình Khối trụ:. trụ-. R : bán kính đáy Sxq  2Rl với  l : đườngsinh R : bán kính đáy Vtrụ  R 2 h với   h : đường cao. 5. Lop10.com. R. l. h.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. 2. Hình nón – Khối nón. R : bán kính đáy Sxq  Rl với  l : đườngsinh R : bán kính đáy 1 Vnón  R 2 h với  3  h : đường cao. h. l. R. 3.Hình nón cụt – Khối nón cụt:. 4. Mặt cầu – Khối cầu:. Sxq  (R  R ')l. R'. 1 Vnoùncuït  (R 2  R '2  RR ')h 3 R,R ' : bán kính 2 đáy  với l : đườngsinh  h : đường cao . h. l R. S  4R 2 với R : bán kính mặt cầu Vcaàu . 4 3 R với R : bán kính khối cầu 3. R. PHẦN 2: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. Đáp án và biểu điểm:(1đ) S. D. C I. O A. B. Ta có S.ABCD là khối chóp đều và AB = a nên đáy là hình vuông cạnh a, suy ra diện tích đáy là S = a2. Gọi O là tâm của hình vuông và I là trung điểm A  600 là góc giữa mặt của cạnh BC, ta có SIO. 0,25đ. 0,25đ. bên và mặt đáy của khối chóp đã cho. Trong tam giác vuông SOI, ta có:. 0,25đ 6. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. A  a tan 600  a 3 SO  OI tan SIO 2 2 Thể tích của khối chóp là: 1 1 a 3 a3 3 V  SABCD .SO  a2  3 3 2 6. 0,25đ. Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Đáp án và biểu điểm(1đ) S. G. O. A. D. H. I. B. C. Từ giả thiết ta có SAB là tam giác đều cạnh a. Gọi G và I lần lượt là tâm của tam giác đều SAB và tâm của hình vuông ABCD. Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta có OG(SAB), OI (ABCD) Từ đó ta suy ra tứ giác OIGH là một hình chữ nhật ( với H là trung điểm của BC) nên OG = a IH = 2 Ký hiệu R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Trong OGA vuông tại G ta có:. R  OA  OG 2  GA 2 . 0,5đ. 0,25đ. a2 3a2 a 21   4 9 6. 0,25đ. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a 3 , AC = a, mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC. Đáp án và biểu điểm:(1đ) S. B. H. C. A. 7. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. Gọi H là trung điểm của BC. Do SBC đều nên SH  BC. Mà (SBC)  (ABC) nên SH(ABC)  SH là đường cao của hình chóp S.ABC. Diện tích đáy của hình chóp là 1 a2 3 AB.AC  2 2 có ABC vuông. 0,25đ. 0,25đ. SABC . Ta. tại. A. nên. BC  AB2  AC2  a2  3a2  2a. 0,25đ. BC 3 a 3 Hơn nũa SBC đều  SH= 2 Thể tích của khối chóp là: 1 a3 VS.ABC  SABC .SH  3 2. 0,25đ. Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’= b và đường thẳng AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ theo a và b. Đáp án và biểu điểm(1đ) A'. C'. B'. b. 60 A a. C. H B. Ký hiệu h và V tương ứng là chiều cao và thể tích của khối lăng trụ đã cho, ta có: 1 1 VACA ' B'  VB'.ACC ' A '  V  VB'.ABC  2 2  1 1 1 1  V   V  hSABC    V  V   2 3 3  3  2. 0,25đ. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên A ' AH  600 do đó (ABC), ta có A’H = h và A. 0,25đ. h  AA '.sin 60  b 3 Thể tích khối lăng trụ là 0. a2 3 3 2 V  h.SABC  b 3  a b 4 4 Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm là 1 VACA ' B'  a2 b 4. 0,25đ. 0,25đ. 8. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. PHẦN 3: CÁC BÀI TẬP ÔN LUYỆN a3 2 ) 12 2) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể 1 tích khối chóp.(ĐS: a3 tan  ) 6 3) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC biết AB = a và SA = b. Tính thể tích khối chóp.(ĐS: 1 2 a 3b2  a2 ) 12 A =600. Đường 4) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = a C. 1) Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.(ĐS:. chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc 300. a) Tính độ dài đoạn AC’.(ĐS: 3a) b) Tính thể tích của khối lăng trụ.(ĐS: a3 6 ) 5) Hình chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc của đường cao với mặt bên là 300. a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp cụt.(ĐS:. 11 3 2 a ) 4. 7 3a3 b) Tính thể tích của khối chóp cụt.(ĐS: ) 24 6) Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tương ứng.(ĐS: Sxq  4R 2 ; Vtru  2R 3 ). b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho.(ĐS: 4R3) 7) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. a 6 ) 3 8) Một khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC. a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.(ĐS: 300). b) Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. (ĐS:. a3 3 b) Tính thể tích của khối lăng trụ.(ĐS: ) 8 c) Chứng minh mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật. 9) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết BB’=AB=h và góc của B’C làm với mặt đáy bằng . A A a) Chứng minh rằng BCA .  B'CB. 1 3. b) Tính thể tích của khối lăng trụ.(ĐS: h3 cot  ). h2 c) Tính diện tích thiết diện tạo nên do mặt phẳng ACB’ cắt khối lăng trụ.(ĐS: 1  cos2  ) 2sin  10) Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp trong đường tròn đường kính AD; SD là đoạn thẳng có độ dài a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). a) Chứng minh SAC và SAB là những tam giác vuông. b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp S.ABDC.(ĐS: 9. Lop10.com. 4a2 3 ) 3.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. c) Tìm một điểm cách đều 5 điểm A, B, C, D, S. 11) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy, góc của cạnh SC với mặt bên SAB là . Cho SA = a. asin  A a) Chứng minh rằng BSC .   và AB  cos 2 b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.(ĐS:. a3 sin 2  ) 3cos2. 12) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. a) Tính độ dài đường cao AH của khối tứ dĩện.(ĐS:. a 6 ) 3. b) Gọi M là một điểm bất kỳ trong khối tứ diện. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 4 mặt của tứ diện là một số không đổi. A 13) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và ASB  2 . a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.(ĐS: a2 (1  cot ) ) b) Tính thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.(ĐS:. a3 12. cot 2   1 ). a3 c) Định  để thể tích khối nón là .(ĐS: arc cot 2 ) 12 14) Một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân (AB = AC = a). Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ góc . A B . a) Chứng minh rằng AC'.  2 2  b) Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ. (ĐS: a2 1  cos 2  ) sin    c) Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ và tính thể tích khối cầu tương ứng.(ĐS:. a3 ) 6sin3 . 15) Một hình nón có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón tương ứng.(ĐS: 1 Sxq  R 2 2 , V  R 3 ) 3 b) Tính bán kính đáy của hình trụ nội tiếp trong hình nón ấy, biết rằng thiết diện qua trục của hình R trụ là một hình vuông. (ĐS: ) 3 16) Cho hình cầu tâm O đường kính SS’= 2R. Mặt phẳng vuông góc với SS’ cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn này. Đặt SH = x (R < x < 2R). a) Tính độ dài các cạnh của tứ diện S.ABC theo R và x.(ĐS: AB  BC  CA  3x(2R  x) , SA  SB  SC  2Rx ) b) Tính x để cho S.ABC là một tứ diện đều. Trong trường hợp này, tính thể tích của khối tứ diện. 4 8R 3 3 R , V= ) 3 27 17) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.. S.ABC. (ĐS: x . a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.(ĐS:. a3 3 ) 6. 10. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. 15 ) 5 c) Mặt phẳng (P) qua CD cắt SA tại M; SB tại N. Tứ giác CDMN là hình gì. 18) Trong mp(P) cho tam giác đều ABD nội tiếp đường tròn đường kính AC = 2R. Trên đường vuông góc với mp(P) tại C, lấy điểm M sao cho CM = 2R.. b) Tính góc của cạnh bên SC với mặt phẳng đáy. (ĐS: arctan. 2R 3 3 ) 3 b) Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh I.ABD là hình chóp tam giác đều.. a) Tính thể tích của khối chóp M.ABCD theo R.(ĐS:. R3 3 ) 4 19) Cho hình nón đỉnh S, bán kính đáy R. Trên đáy của hình nón lấy một lục giác đều ABCDEF. Mp(SAB) hợp với mặt đáy của hình nón góc .. c) Tính thể tích khối chóp I.ABD theo R. (ĐS:. a) Tính diện tích thiết diện qua trục của hình nón.(ĐS:. R 2 3 tan  ) 2. 3 3 R tan  ) 4 20) Một hình nón có bán kính đáy R và chiều cao h. Xét hình trụ có chiều cao 2x nội tiếp trong hình nón. 2R 2 (h  2x)2 x . a) Chứng minh rằng thể tích của khối trụ là V  2 h h b) Định x để V đạt giá trị lớn nhất.(ĐS: x  ) 6 ---------------------------------. b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCDEF. (ĐS:. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN *** A/. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ : @ Phần chung cho cả nâng cao và cơ bản : I/. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN : Hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc trong không gian gồm ba trục x’Ox , y’Oy, z’Oz vuông góc    nhau từng đôi một . Gọi i , j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’Ox , y’Oy , z’Oz . Điểm O được gọi là gốc toạ độ .Các mặt phẳng (Oxy) , (Oxz), (Oyz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ . Không gian gắn với hệ toạ độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz . II/. TOẠ ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM : Trong không gian cho một điểm M tuỳ ý .  Oxyz    Khi đó ta có OM  xi  yj  zk và gọi bộ ba số (x ; y ; z) là toạ độ điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz đã cho . Ta viết M = ( x ; y ; z ) hoặc M ( x ; y ; z ) . III/. TOẠ ĐỘ CỦA MỘT VECT Ơ:      Trong không gian Oxyz cho a với a  a1i  a2 j  a3 k .   Khi đó bộ ba số ( a1 , a2 , a3 ) được gọi là toạ độ của a đối với hệ toạ độ Oxyz đã cho . Ta viết a =(  a1 , a2 , a3 ) hay a ( a1 , a2 , a3 ). IV/. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ :   Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) và một số k . Khi đó ta có :. 11. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh.   a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 )  ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 ). a1  b1    * Lưu ý : a) a  b  a2  b2 . a  b  3 3  b) 0  (0;0;0).    c) a và b ( 0) cùng phương  có một số k sao cho a1  kb1 b1  ka1   a2  kb2 hay b2  ka2 a  kb b  ka 3 3  3  3 d) Nếu A  ( x A , y A , z A ), B  ( xB , yB , z B ) thì  • AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A ) . • Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là : x  x y  yB z A  z B M( A B ; A ; ) 2 2 2 V/. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG :   a) Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) .  Ta c ó : a.b  a1b1  a2b2  a3b3 . b) Độ dài của một vectơ :    Cho vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , ta c ó a  a.a  a12  a22  a32 . c) Khoảng cách giữa hai điểm A  ( x A , y A , z A ), B  ( xB , yB , z B ) là  AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2  ( z B  z A ) 2.   d) Gọi  là góc giữa hai vectơ a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) .  a1b1  a2b2  a3b3 a.b   Ta có : cos   cos(a , b )     a .b a12  a22  a32 b12  b22  b32   Và a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0 VI/. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU : Trong không gian Oxyz mặt cầu tâm I = ( a ; b ; c ) bán kính r có phương trình : ( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  r 2 . Phương trình : x 2  y 2  z 2  2 Ax  2 By  2Cz  D  0 với A2  B 2  C 2  D  0 là phương trình của mặt cầu tâm I ( -A ; -B ; -C ) có bán kính r  A2  B 2  C 2  D . * NHẮC LẠI : Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu : Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) và mặt cầu ( S ) có phương trình : ( ) : Ax  By  Cz  D  0. ( S ) : ( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  r 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I ( a ; b ; c ) của (S) trên mặt phẳng (α) thì IH là khoảng cách từ I đến (α) .. 12. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. Vậy IH  d ( I ,  )  a) b). Aa  Bb  Cc  D. A2  B 2  C 2 Nếu IH > r thì ( )  ( S )   , tức là mặt phẳng (α) không có điểm chung với mặt cầu (S) . Nếu IH = r thì ( )  ( S )  H  , ta nói (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H và (α). gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu . Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt cầu (S) và mặt phẳng (α) . Lưu ý rằng khi đó (α) vuông góc với bán kính IH tại H  ( S ) . c) Nếu IH < r thì giao ( )  ( S ) là một đường tròn có tâm là H và bán kính là. r   r 2  IH 2 . @ Phần riêng dành cho nâng cao :  Tích có hướng của hai vectơ :     Tích có hướng (hay tích vecto) của hai vec tơ u a, b, c  và v a ', b ', c ' là một vecto,kí hiệu là u , v    (hoặc u  v ),được xác định bằng tọa độ như sau:    b c c a a b  u , v    ; ;   bc ' b ' c; ca ' c ' a; ab ' a ' b    b ' c ' c ' a ' a ' b '   * Tính chất của tích có hướng :             1. u , v   u ; u ; v   v tức là u , v .u  0; u ; v .v  0       2. u , v   u . v .sin(u , v ) .      3. u , v   0  u , v cùng phương . * Ứng dụng của tích có hướng : a) Tính diện tích hình bình hành :.   Nếu ABCD là hình bình hành thì S ABCD   AB, AD  . b) Tính thể tích khối hộp : Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì thể tích hình hộp đó là :    V   AB, AD  . AA 1 * Lưu ý : Thể tích khối tứ diện ABCD bằng thể tích khối hộp có ba cạnh là 6 1    BA ,BC ,BD. Như vậy : VABCD   BA, BC  .BD . 6 B/. CÁC BÀI TẬP MẪU: @ DÀNH CHO CẢ NÂNG CAO VÀ CƠ BẢN : Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz . 1) Cho ba điểm A ( 1 ; 0 ;-2 ) , B ( 2 ; 1 ;- 1 ) , C ( 1 ; -2 ; 2 ) . a) Chứng minh rằng A , B , C là ba đỉnh của tam giác . b) Tính chu vi của tam giác ABC. c) Tìm toạ độ trung điểm I của cạnh BC. d) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. e) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. f) Tính góc BAC. Bài giải : 13. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh.      AB  (1;1;1) a)   Không tìm được số k : AB  k AC tức là hai vectơ AB, AC không cùng phương AC  (0; 2; 4)  Ba điểm A ,B ,C không thẳng hàng tức là A , B , C là ba đỉnh của tam giác . b) AB  3 AC  2 5.  Chu vi của tam giác ∆ ABC = AB + AC + BC =. 3  2 5  19 .. BC  19 c) Vì I là trung điểm của cạnh BC nên : xB  xC 3   x  I  xI  2  2   y  y 3 1 1 1   B C   yI   . Vậy I ( ;  ; ) .  yI  2 2 2 2 2   z  z 1   B C  zI  2  zI  2    1    d) G là trọng tâm ∆ ABC  OG  (OA  OB  OC ) ( O là gốc toạ độ ) 3 x A  xB  xC 4    xG  3 3  y  yB  yC 4 1 1 1    yG  A   . Vậy G ( ;  ;  ) . 3 3 3 3 3  z A  z B  zC  1   zG  3 3  e) ABCD là hình bình hành B. C.    AB  DC A D  2  1  1  xD  xD  0 .    1  0  2  yD   yD  3 1  (2)  2  z z  1 D   D Vậy D ( 0 ; -3 ; 1 ) .     AB. AC 1.0  1.(2)  1.4 1 A f) Ta có : cos BAC .  cos( AB, AC )      3.2 5 15 AB . AC. A Từ đó suy ra: BAC  750 2 '12, 42 '' 2) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ,biết A (1; 0 ; 1 ) , B ( 2 ; 1 ; 2 ) , D ( 1; -1 ; 1 ) và C’(4 ;5 ; -5 ) . Tìm toạ độ của các đỉnh còn lại ? Bài giải : 2  1  xC  1  xC  2     Ta có : AB  DC  1  0  yC  (1)   yC  0 . Vậy C (2 ; 0 ;2 ) . 2  1  z  1 z  2 C   C. 14. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh C. B. A. D C'. B'. A'. D'.   AA  CC   A(3;5; 6)   Tương tự , từ BB  CC   B(4;6; 5)   DD  CC   D(3; 4; 6) 3) a) Tìm điểm M thuộc y’Oy sao cho M cách đều A ( 3 ; 1 ;0 ) và B ( -2 ; 4;1 ). b) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho N cách đều A ( 1; 1 ;1 ) , B ( -1 ;1 ; 0 ) và C ( 3 ; 1 ; -1 ) . Bài giải : a) Vì M  yOy nên M(0;y;0).. MA  MB  MA2  MB 2. Ta có :  (3  0) 2  (1  y ) 2  (0  0) 2  (2  0) 2  (4  y ) 2  (1  0) 2 11  10  2 y  21  8 y  y  6 11 Vậy M (0; ;0) . 6 b) N  (Oxz )  N ( x;0; z ) . Ta có :  NA2  NB 2  NA  NB  NC  NA2  NB 2  NC 2   2 2   NA  NC 2 2 2 2 2 2  ( x  1)  (0  1)  ( z  1)  ( x  1)  ((0  1)  z  2 2 2 2 2 2  ( x  1)  (0  1)  ( z  1)  ( x  3)  (0  1)  ( z  1) 5  x   6  y   7  6  5 7 Vậy N ( ;0;  ) . 6 6 4) Viết phương trình mặt cầu (S) biết rằng : a) (S) có tâm I ( -1 ; 2 ;3 ) và qua điểm A ( -2 ; 1 ; 1 ) . b) (S) có đường kính AB với A ( 6 ; 2 ;-5 ) và B ( -4 ; 0 ; 7 ) . c) (S) có tâm I ( 1 ; 4 ; -7 ) và tiếp xúc với mặt phẳng : ( ) : 6 x  6 y  7 z  42  0 . Bài giải : a) Vì (S) qua A(-2;1;1)  bán kính của (S) là : r  IA  (2  1) 2  (1  2) 2  (1  3) 2  6. Vậy phương trình của (S) là : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  6 . 15. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. b) (S) có đường kính AB nên tâm của mặt cầu (S) là trung điểm I của AB và bán kính r . AB . 2. x A  xB   xI  2  xI  1  y A  yB     yI  1 . Vậy tâm I(1;1;1) . Ta có :  yI  2  z  1  I z A  zB  z  I  2  AB 248   62 . Bán kính r  2 2 Vậy phương trình của (S) là : ( x  1) 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  62 . c) (S) tiếp xúc mặt phẳng ( ) : 6 x  6 y  7 z  42  0 nên bán kính của (S) là : 6 x  6 yI  7 z I  42 121 r  d ( I , ( ))  I   11 11 36  36  49 Vậy mặt cầu (S) có phương trình : ( x  1) 2  ( y  4) 2  ( z  7) 2  121 . 5) Lập phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A ( 1 ; 1 ;0 ) , B ( 3 ; 1 ;2 ) , C ( -1 ; 1 ;2) D ( 1 ; -1 ;2 ) .Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó . Bài giải : Giả sử mặt cầu (S) có phương trình dạng : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0(a 2  b 2  c 2  d  0). 1  1  0  2a  2b  d  0(1) 9  1  4  6a  2b  4c  d  0(2)  Do (S) đi qua A(1;1;0) , B(3;1;2) , C(-1;1;2) , D(1;-1;2) nên ta có :  1  1  4  2a  2b  4c  d  0(3) 1  1  4  2a  2b  4c  d  0(4) Lấy (1) - (2) , (1) – (3) , (1) –(4) ta được : 12  4a  4c  0  4  4a  4c  0 4  4b  4c  0  Giải hệ này ta được : a= -1 ; b = -1 ; c = -2 . Thay các giá trị này vào (4) ta được d = 2. x2  y 2  z 2  2x  2 y  4z  2  0 Vậy phương trình mặt cầu là : Tâm của mặt cầu (S) là I(1;1;2) và bán kính r  a 2  b 2  c 2  d  1  1  4  2  2 6 ) Lập phương trình mặt cầu (S) qua ba đi ểm A ( -2 ; 4 ;1 ) , B ( 3 ; 1 ;-3 ) , C ( -5 ;0 ;0 ) và có t âm nằm trên mặt phẳng : (P) : 2x + y – z + 3 = 0 . Bài giải : Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0(a 2  b 2  c 2  d  0). ( (S) có tâm I(-a;-b;-c)) Vì (S) qua A ,B ,C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình : 16. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. 4  16  1  4a  8b  2c  d  0 9  1  9  6a  2b  6c  d  0   25  10a  d  0 2( a )  (b)  (c)  3  0 Giải hệ trên ta được : a= -1 ; b = 2 ; c = -3 ; d = -35 . Vậy mặt cầu (S) có phương trình : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  35  0 . 7) Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : x 2  y 2  z 2  9  0 và song song với mặt phẳng (Q) : x + 2y -2z +15 = 0 . Bài giải : • (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính r = 3 . • (P) song song với (Q) nên phương trình (P) có dạng : x + 2y -2z + m = 0 m  3  m  9 • (P) tiếp xúc với (S)  d (O, ( P ))  r  3 • Vậy có hai mặt phẳng thoả đề bài : (P) : x + 2y -2z +9 =0 và (P’): x + 2y -2z -9 = 0 . 8) Cho mặt cầu (S) : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z  5  0 và hai đường thẳng x  5 y 1 z  3 (d1 ) :   2 3 2  x  7  t  (d 2 ) :  y  1  t z  8  a) Lập phương trình mặt phẳng ( ) song song d1 , d 2 và tiếp xúc với (S) . b) Xác định toạ độ tiếp điểm của (S) với ( ) ? Bài giải : a) * (S) có tâm I(2 ;-1;3) và bán kính r = 3  * (d1 ) có vectơ chỉ phương là a1  (2; 3; 2) .  (d 2 ) có vectơ chỉ phương là a2  (1; 1;0) .    * Vì ( ) song song d1 , d 2 nên ( ) nhận n  a  b  (2; 2;1) làm vectơ pháp tuyến . Do đó phương trình ( ) có dạng : 2x + 2y +z + m = 0 . Vì ( ) tiếp xúc với (S) nên : 4 23 m d ( I , ( ))  r  3 22  22  12 m  4  5 m  9    m  14 Vậy có hai mặt phẳng ( ) thoả mãn đề bài : (1 ) : 2 x  2 y  z  4  0. ( 2 ) : 2 x  2 y  z  14  0 b) Xét đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (1 ), ( 2 ) . Lúc đó (d) có vectơ chỉ phương là   a  n  (2; 2;1) . Phương trình tham số của (d) là :.  x  2  2t  (d ) :  y  1  2t (t  A ) z  3  t  17. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. * Tiếp điểm A của (S) với (1 ) chính là giao điểm của (d) và (1 ) và toạ độ của A là nghiệm của hệ :.  x  2  2t  y  1  2t   z  3  t 2 x  2 y  z  4  0 Giải hệ này ta được : A(0;-3;2) . * Tiếp điểm B của (S) với ( 2 ) chính là giao điểm của (d) và ( 2 ) và toạ độ của B là nghiệm của hệ :  x  2  2t  y  1  2t   z  3  t 2 x  2 y  z  14  0 Giải hệ này ta được : B(4;1;4) . 9) Cho điểm A ( 1 ; 2 ;3 ) và mặt cầu (S) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  16 a) Tìm các giao điểm M , N của đường thẳng OA với (S) ? b) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M và N . Bài giải :  a) Đường thẳng OA có vectơ chỉ phương là OA  (1; 2;3) x  t   (OA) :  y  2t  z  3t  Toạ độ giao điểm M , N của đường thẳng OA với mặt cầu (S) là nghiệm hệ : x  t  y  2t    z  3t ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  16(1) Thay x , y , z vào (1) ta được phương trình : (t  1) 2  (2t  2) 2  (3t  3) 2  16 1 Giải phương trình trên ta được : t = 1 và t   7 1 2 3 Vậy M(1;2;3) và N ( ;  ;  ) . 7 7 7 b) Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) và bán kính r = 4.  Mặt phẳng (1 ) tiếp xúc với (S) tại M ,suy ra (1 ) có vectơ pháp tuyến là IM  (0; 4;0) . Vậy phương trình của mặt phẳng (1 ) là : 0( x – 1 ) + 4( y – 2 ) + 0( z – 3 ) = 0 hay 4y – 8 = 0 .  8 12 24 Mặt phẳng ( 2 ) tiếp xúc với (S) tại N ,suy ra ( 2 ) có vectơ pháp tuyến là IN  ( ; ;  ) 7 7 7 Vậy phương trình của mặt phẳng ( 2 ) là : 8 1 12 2 24 3  ( x  )  ( y  )  ( z  )  0 hay 8 x  12 y  24 z  8  0  2 x  3 y  6 z  2  0 . 7 7 7 7 7 7 2 10) Cho mặt cầu (S) : ( x  3)  ( y  2) 2  ( z  1) 2  100 và mặt phẳng ( ) : 2 x  2 y  z  9  0 a) Chứng minh rằng (S) và ( ) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T) . b) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (T) ? Bài giải : 18. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. a) Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính r = 10 . 2.3  2(2)  1  9 6 Ta có : d ( I , ( ))  4  4 1 Vậy d ( I , ( ))  r nên (S) cắt ( ) theo giao tuyến là đường tròn (T) . b) Gọi J là tâm của (T) thì J là hình chiếu của I lên ( ) . * Xét đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với ( ) . Lúc đó (d) có vectơ chỉ phương là   a  n  (2; 2; 1) . Phương trình tham số của (d) là :.  x  3  2t  (d ) :  y  2  2t (t  A ) z  1 t   x  3  2t  y  2  2t  * Toạ độ của J là nghiệm của hệ :  z  1 t 2 x  2 y  z  9  0 Giải hệ này ta được : J(-1;2;3) . * Gọi r’ là bán kính của (T) , ta có : r   r 2  d 2 Với d là khoảng cách từ I đến ( ) . Ta có : d = 6 Vậy r   100  36  8 . Tóm lại : J(-1;2;3) và r’= 8 . @ BÀI TẬPRIÊNG DÀNH CHO NÂNG CAO : 1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 1) , B(-1 ; 1 ; 2) , C(-1 ; 1 ; 0) , D(2 ; -1 ; -2). a) Chứng minh rằng A , B , C , D là bốn đỉnh của một tứ diện . b) Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó . c) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . d) Tính thể tích tứ diện ABCD và từ đó hãy suy ra độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A . Bài giải : a) Để chứng minh A , B ,C ,D là bốn đỉnh của một tứ  diện ta chứng    minh A , B ,C ,D không đồng phẳng . Điều này tương đương với ba vectơ BA, BC , BD không đồng phẳng. Ta có : A. B H. D. K C.    BA  (2; 1; 1), BC  (0;0; 2), BD  (3; 2; 4).    BA, BC   (2; 4;0).        BA, BC  .BD  2.3  4.(2)  0.(4)  2  0    Vậy BA, BC , BD không đồng phẳng . 19. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh. b) Ta có : S BCD. 1   1   BC , BD   2 2. 2. 2. 2. 0 2 2 0 0 0    13 . 2 4 4 3 3 2. BC  2 2S 1 2 13 S BCD  BC.DK  DK  BCD   13 2 BC 2  CD  (3; 2; 2) Nếu gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD 2p là chu vi tam giác đó thì S BCD  p.r . Ta có. : 2p = BC + BD + CD = 2 +. 29  17  p . 2  29  17 2. S BCD 2 13 .  p 2  29  17 c) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Vì 00    900 nên  bằng hoặc bù với góc giữa   hai vectơ AB và CD . Vậy :   AB.CD   cos   cos( AB, CD)    AB CD Do đó : r . Ta có :.   AB (2;1;1), CD(3; 2; 2)   AB.CD  (2).3  1.(2)  1.(2)  10   AB  6, CD  17  cos  . 10. . 10 102. 6. 17 Từ đó ta suy ra góc  . 1    1 1 d) Ta có : VABCD   BA, BC  .BD  2  . 6 6 3. 1 3. 3VABCD 1 1 Gọi AH là đường cao của tứ diện ABCD . Khi đó : VABCD  AH .S BCD  AH   3  3 S BCD 13 13 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;3;1) và đường thẳng d có phương trình : x  2 y 1 z 1 . Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng đường thẳng d .   1 2 2. Bài giải : Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A , tiếp xúc với đường thẳng d . Ta có : R  d ( A, d )   d qua M(-2;1;-1) và có vectơ chỉ phương là a (1; 2; 2) MA(4; 2; 2) 2.   MA, a     Vậy R   a. 2. 2 2 2 4 4 2   2 2 2 1 1 2. 2. . 10 2 3. 12  22  (2) 2 Vậy phương trình mặt cầu là : 200 ( x  2) 2  ( y  3) 2  ( z  1) 2  . 9 -------------------------------------. 20. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>