Đề tài Sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh một số bất đẳng thức phức tạp khác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Lêi c¶m ¬n T«i xin tr©n thµnh c¶m ¬n: Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o tØnh H­ng Yªn. Ban Giám hiệu trường THPT Nam Khoái Châu. Các thầy, cô giáo tổ Toán trường THPT Nam Khoái Châu. Đã động viên, khích lệ và tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy!. H­ng Yªn:11. 2008.. 1 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PhÇn i. Më §Çu Lý do chọn đề tài Chúng ta đang bước vào những thập niên đầu tiên của thế kỉ XXI, thế kỉ của khoa häc, c«ng nghÖ vµ th«ng tin. Trong thÕ kØ nµy víi sù tiÕn bé nhanh chãng cña khoa häc c«ng nghÖ, mét sù chuyÓn biÕn mang tÝnh c¸ch m¹ng vÒ kinh tÕ đang diễn ra trên phạm vi toàn cầu. Người ta gọi là sự chuyển dịch lên nền kinh tế tri thức, trong đó tri thức đóng vai trò then chốt đối với sự phát triển kinh tế xã hội loài người. Một xã hội muốn có được sự phồn vinh phải dựa vào “tri thức”, dựa vào tư duy sáng tạo và tài năng sáng chế của con người. Xã hội càng phát triển thì người ta càng quan tâm và đòi hỏi nhiều hơn đến giáo dục. Bởi thế ngành giáo dục phải không ngừng đổi mới và nâng cao chất lượng giáo dục góp phần vào việc đào tạo ra những con người mới phù hợp với xu hướng phát triển của thời đại. Để đáp ứng được những điều đó nền giáo dục trên thế giới nói chung và Việt Nam nói riêng đã và đang có một số phương hướng nhằm đổi mới PPDH đảm bảo cho việc đào tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chất, năng lực, tri thức đáp ứng được nhu cầu đòi hỏi cấp bách về nguồn nhân lực trong xu thế hiện nay. Những phương pháp chủ yếu đang được triển khai là: tích cực hoá quá trình dạy học; cá thể hoá việc học tập; thực hiện công nghệ đào tạo; dạy học lấy học sinh làm trung t©m… Trong chương trình Đại số ở trường phổ thông, Bất đẳng thức là một phần toán chứa đựng lượng kiến thức rất rộng, rất hay nhưng cũng được coi là rất khó đối víi HS, kÓ c¶ mét sè GV cßn ch­a nhiÒu kinh nghiÖm. ViÖc d¹y HS gi¶i to¸n BÊt đẳng thức cũng gặp nhiều khó khăn do đa phần các bài toán đòi hỏi tư duy rất cao, suy luận rộng và phải linh hoạt khi đi tìm cách giải do đó dẫn đến việc tiếp thu kiến thức và cách giải phần toán này cũng có nhiều hạn chế: HS ngại phải đào sâu suy nghĩ, thường thụ động khi giải toán, thường HS chỉ quen dùng phương pháp biến đổi tương đương khi gặp bài toán Bất đẳng thức, khi điều này không khả quan thì trở lên lúng túng không biết nên bắt đầu từ đâu, đặc biệt là đối với những bài toán có sử dụng bất đẳng thức phụ. Với những lý do trên đây tôi xin trình bày một số bài toán có sử dụng Bất đẳng thức phụ để chứng minh các BĐT phøc t¹p kh¸c ®em l¹i lêi gi¶i ng¾n gän, tù nhiªn, dÔ hiÓu vµ dÔ tr×nh bµy phÇn 2 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> nào đó giúp cho việc khai thác, dạy học chủ đề BĐT được thuận lợi hơn và có hiệu quả cao hơn; với tên đề tài: “Sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh một số bất đẳng thức phức tạp khác” hay “Sử dụng bất đẳng đơn giản để chứng minh bất đẳng thức phức tạp ”. * Mục đích của ta không phải là giải bài toán phụ mà chỉ vì ta hy vọng rằng khi xét nó ta sẽ đi gần tới cách giải bài toán ban đầu. Cái đích ta muốn đạt tới là cách giải bài toán ban đầu, cách giải bài toán phụ chỉ là một phương tiện ta nhờ đó mà đạt tới mục đích. Việc tìm bài toán phụ là một quá trình suy luận quan trọng, khả năng đặt bài toán phụ một cách rõ ràng, hiểu thấu được mục đích của nó chỉ là một phương tiện để đạt tới mục đích chính, là một thành công tinh tế của trí tuệ. V× vËy viÖc d¹y hay häc c¸ch vËn dông nh÷ng bµi to¸n phô mét c¸ch th«ng minh lµ rÊt quan träng . C¸i lîi mµ ta cã ®­îc khi xÐt bµi to¸n phô, cã thÓ mang nh÷ng tÝnh chÊt kh¸c nhau. Ta có thể dùng kết quả của bài toán phụ để làm cách giải cho bài toán khác. Ta khảo sát một cách thông minh bài toán phụ loại tương tự với hy vọng là nó sẽ bổ ích, nó cho ta điều kiện làm quen với những phương pháp nhất định, những phép tính nhất định, với các công cụ mà cuối cùng chúng ta có thể dùng nó để giải bài toán ban đầu. Tuy nhiên thời gian và sức lực của chúng ta để giải bài toán phụ, không phải được dùng trực tiếp cho mục đích của chúng ta. Nếu việc khảo s¸t bµi to¸n phô kh«ng cã kÕt qu¶ th× thêi gian vµ søc lùc bá ra lµ v« Ých. V× vËy cÇn ph¶i cã kinh nghiÖm chän bµi to¸n phô theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Ch¼ng h¹n bµi to¸n phô cã thÓ dÔ lµm h¬n bµi to¸n xuÊt ph¸t, nã cã thÓ tá ra bæ Ých vµ quyÕn rò ghª gím. §«i khi bµi to¸n phô chØ cã lîi ë chç lµ nã míi vµ nã ®em l¹i nh÷ng kh¶ n¨ng ch­a khai th¸c. Chóng ta chän bµi to¸n phô v× viÖc t×m ra c¸ch gi¶i trùc tiÕp bµi to¸n ban ®Çu kh«ng cã kÕt qu¶ vµ chØ dÉn tíi sù mÖt mái. VËy làm thế nào để tìm ra bài toán phụ? Việc giải bài toán ban đầu thường phụ thuộc vào chỗ có tìm ra bài toán phụ thích hợp hay không?. Khổ nỗi trong khi lại không có một phương pháp nào toàn năng cho phép tìm được bài toán phụ, cũng như không có một phương ph¸p toµn mü lu«n dÉn tíi c¸ch gi¶i.. 3 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> PhÇn II. Néi Dung Trông phần này tôi xin được trình bày 4 bài toán Bất đẳng thức đơn giản có trong chương trình phổ thông, qua đó khai thác – vận dụng các Bất đẳng thức đó vào chứng minh một số Bất đẳng thức phức tạp khác. Bµi to¸n 1. (Bµi 6, §¹i sè 10 n©ng cao, trang 110; Bµi sè 4, §¹i sè 10 ban c¬ b¶n, trang 79). Chøng minh r»ng: NÕu a  0 vµ b  0 th× a3+b3  a2b + ab2. (1) Chøng minh. Cách 1: (Dùng PP biến đổi tương đương). Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  a3+b3 - a2b + ab2  0  a2(a-b) – b2(a - b)  0  (a-b)(a2 – b2)  0  (a-b)(a-b)(a-b)  0  (a-b)2(a+b)  0. B§T sau cïng. này luôn đúng với mọi a, b nên BĐT đã cho đúng với mọi a  0 và b  0, và dấu b»ng x¶y ra khi a = b hoÆc a = b = 0. Cách 2: (Dùng PP biến đổi tương đương). Ta cã: : a3+b3  a2b + ab2  (a+b)(a2 – ab + b2)  ab(a+b)  (a+b)(a2– ab +b2 - ab)  0  (a-b)2(a+b)  0.Đây là BĐT đúng.. Cách 3: (Dùng PP biến đổi tương đương). Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  a(a2-b2)–b(a2 – b2)  0  (a2-b2)(a-b)  0  (a-b)2(a+b)  0. Đây là BĐT đúng.. Cách 4: (Dùng PP đặt ẩn phụ ). Ta xét các trường hợp sau: +) Nếu a = 0 thì BĐT đã cho trở thành b3  0. (Luôn đúng vì b  0 ). +) Nếu a > 0 thì đặt b = t.a, t  0. Thay vào BĐT đã cho ta được: a3+t3a3  ta3+t2a3  1+t3  t +t2  (t+1)(t2-t +1)  t(t +1)  (t +1)(t2 –t +1 -t) )  0  (t +1)(t - 1)2  0. Đây là BĐT đúng.. C¸ch 5: (Dïng B§T C«si cho 2 sè kh«ng ©m). ¸p dông B§T C«si cho 2 sè kh«ng ©m lµ a3 vµ ab2, b3 vµ a2b ;Ta cã: a3 + ab2  2 a 3ab 2 = 2a2b; b3 + a2b  2 b3a 2b = 2ab2 . Céng theo tõng vÕ 2 B§T trªn l¹i víi nhau,ta cã B§T cÇn chøng minh. 4 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = 0 hoÆc a=b. C¸ch 6: (Dïng B§T C«si cho 2 sè ). Ta xét các trường hợp: +) Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì BĐT luôn đúng. +) NÕu a > 0 vµ b > 0 th× ta chia c¶ 2 vÕ cña B§T cho ab > 0 ta ®­îc: a 2 b2 + = a+b. b a. Khi đó áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là a2 a2 +b  2 b = 2a, b b. a2 b2 vµ b, vµ a, Ta ®­îc: b a. b2 b2 +a  2 a = 2b; a a. Céng theo tõng vÕ hai B§T l¹i víi nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. C¸ch 7: (Dïng B§T C«si cho 3 sè kh«ng ©m). Ta ¸p dông B§T thøc C«si cho 3 sè kh«ng ©m a3, a3 vµ b3; b3, b3 vµ a3; Ta cã: a3 + a3 +b3  3a2b; b3 +b3 +a3  3ab2 . Céng theo tõng vÕ 2 B§T l¹i víi nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. C¸ch 8: (Dïng B§T C«si cho 2 sè kh«ng ©m). Ta biến đổi vế trái của BĐT đã cho, như sau VT(1) = a3+b3 = (a +b)(a2 +b2-ab), mµ ¸p dông B§T C«si cho 2 sè kh«ng ©m a2 vµ b2. Ta cã: a2 +b2  2ab. Do đó VT(1) = (a +b)(a2 +b2-ab)  (a +b)(2ab - ab) = (a +b)ab = a2b + ab2 = VP(1). VËy B§T ®­îc chøng minh. Bây giờ ta sẽ áp dụng BĐT(1) để chứng minh một số BĐT phức tạp khác: Bài toán 1.1: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: a 3  b3 b3  c 3 c 3  a 3    a  b  c. 2ab 2bc 2ca. Chøng minh. Ta sÏ sö dông B§T (1) nh­ sau: 5 Lop10.com. (1.1).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ta cã a3+b3  a2b + ab2  a3+b3  ab(a+b)  còng cã:. b3  c 3 b  c c 3  a 3 c  a  ,  2bc 2 2ca 2. a 3  b3 ab ; Tương tự, ta  2ab 2. .Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i víi. nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bµi to¸n 1.2: Cho a, b, c. Chøng minh r»ng: a 3 b3 c 3    ab  bc  ca. b c a. (1.2). Chøng minh. Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  a3  - b3 + a2b + ab2  a3  b(-b2+ a2b + ab2) . a3 b3 c3  -b2+ ab + a2 .Tương tự ta có:  c 2  bc  b 2 ,   a 2  ca  a 2 . Khi đó b c a. céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 1.3: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1  3 3  3  . 3 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 3. (1.3). Chøng minh. Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  a3+b3 + abc  a2b + ab2 +abc  a3+b3 + abc  ab(a+b+c) 1 1 c   , Tương tự , ta có: 3 a  b  abc ab(a  b  c) abc(a  b  c) 3. 1 b  c  abc 3. 3. . a 1 b , 3  ; 3 abc(a  b  c) c  a  abc abc(a  b  c). Céng c¸c B§T nµy l¹i víi nhau theo tõng vÕ ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 1.4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 abc  2  2  . (1.4) 2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a 3. Chøng minh. 6 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  a3  - b3 + a2b + ab2  2a3 +a3  2a3 - b3 + a2b + ab2  3a3  a3 - b3 +a3+ a2b + ab2  3a3  ( a3 - b3 ) + (a3+ a2b + ab2).  3a3  (a - b)(a2 + ab +b2) +a(a2 +ab +b2)  3a3  (a2 + ab +b2)(2a - b)  a3  2a  b . a 2  ab  b 2. Hoàn toàn tương tự cho các biểu thức còn lại, ta có:. b3 c3  2b  c, 2  2c  a. b 2  bc  c 2 c  ca  a 2. Khi đó cộng các vế của 3 BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh. Bài toán 1.5: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 5b3  a 3 5c 3  b3 5a 3  c 3    a  b  c. ab  3b 2 bc  3c 2 ca  3a 2. (1.5). Chøng minh. Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  -a3  b3 - a2b - ab2  5b3- a3  5b3+b3 - a2b - ab2  5b3- a3  6b3 - a2b - ab2  5b3- a3  2b(ab + 3b2) – a(ab + 3b2)  5b3- a3  (ab + 3b2)(2b –a). . 5b3  a 3  2b  a .Tương tự, ta có: ab  3b 2. 5c 3  b3 5a 3  c 3  2c  b;  2a  c . bc  3c ca  3a 2. Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i ta cã B§T cÇn chøng minh. Bài toán 1.6: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 19b3  a 3 19c 3  b3 19a 3  c 3    3(a  b  c). ab  5b 2 bc  5c 2 ca  5a 2. (1.6). Chøng minh. Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  -b3  a3 - a2b - ab2  19a3 – b3  20b3 - a2b - ab2  19a3 – b3  4b(ab+5b2) - a(ab+5b2)  19a3 – b3  (ab+5b2)(4b – a) . 19b3  a 3  4b  a .Tương tự ta có: ab  5b 2. 19c 3  b3 19a 3  c 3  4 c  b ,  4a  c. bc  5c 2 ca  5a 2. Céng theo tõng vÕ ta cã B§T cÇn chøng minh. 7 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài toán 1.7: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 29a 3  b3 29b3  c 3 29c 3  a 3    4(a  b  c). ab  6a 2 bc  6b 2 ca  6c 3. (1.7). Chøng minh. Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  -b3  a3 - a2b - ab2  29a3-b3  30a3 - a2b - ab2  29a3-b3  5a(ab+6a2)–b(ab+6a2).  29a3-b3. . (ab+6a2)(5a-b). . 29a 3  b3  5a  b . ab  6a 2. Tương tự ta có:. 29b3  c 3 29c 3  a 3  5 b  c ,  5c  a. Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn bc  6b 2 ca  6c 2. l¹i víi nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 1.8: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 41a 3  b3 41b3  c 3 41c 3  a 3    5(a  b  c). ab  7 a 2 bc  7b 2 ca  7c 2. (1.8). Chøng minh. Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  -b3  a3 - a2b - ab2  41a3 –b3  42a3 - a2b - ab2  41a3 –b3  6a(ab + 7a2) - b(ab + 7a2)  41a3 –b3  (ab + 7a2)(6a – b) 41a 3  b3 41b3  c 3 41c 3  a 3  6a  b. Tương tự ta có :  6b  c,  6c  a.  ab  7 a 2 bc  7b 2 ca  7c. Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 1.9: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 3a 3  7b3 3b3  7c 3 3c 3  7 a 3    3(a 2  b 2  c 2 )  (ab  bc  ca). 2a  3b 2b  3c 2c  3a. (1.9). Chøng minh. Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  3a3+7b3  2a3 +6b3 + a2b + ab2  3a3+7b3  (2a +3b )(a2 +2b2) - ab(2a + 3b )  3a3+7b3  (2a +3b )(a2 + 2b2 –. ab) 3a 3  7b3  a 2  2b 2  ab. 2a  3b. 8 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tương tự ta có:. 3b3  7c 3 3c 3  7 a 3  b 2  2c 2  bc,  c 2  2a 2  ca. 2b  3c 2c  3a. Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i vè nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 1.10: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 4a 3  5b3  3a 2b  10ab 2 4b3  5c 3  3b 2c  10bc 2 4c 3  5a 3  3c 2 a  10a 2c    3a  b 3b  c 3c  a  5(a 2  b 2  c 2 )  (ab  bc  ca).. Chøng minh. Ta cã: a3+b3  a2b + ab2  4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3  3a3 +4b3-2 a2b +11ab2  4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3  (3a +b)(a2 +4b2) - ab(3a +b)  4a3 +5b3 -3a2b +10ab2 b3  (3a +b)(a2 +4b2- ab) 4a 3  5b3  3a 2b  10ab 2  a 2  4b 2  ab. Tương tự ta có: 3a  b 4b3  5c 3  3b 2c  10bc 2 4c 3  5a 3 3c 2 a  10ca 2 2 2  b  4c bc,  c 2  4a 2  ca. 3b  c 3c  a. Céng c¸c B§T trªn l¹i víi nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 2: Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 4   . a b ab. (2). Chøng minh. Cách 1: (Dùng PP biến đổi tương đương). Ta cã B§T. 1 1 4 ab 4     a b ab ab ab.  (a+b)2  4ab  (a-b)2  0. BĐT này luôn đúng với mọi a, b nên BĐT (2) đúng. với a,b dương. Cách 2: (Dùng BĐT Côsi cho 2 số dương ). áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là 1 1 1  2  a b ab. a+b  2 ab . 1 1 , ta cã: a b. 2 , lại áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là a và b, ta có: ab 1 2  . Tõ 2 B§T trªn ta ®­îc B§T (2). ab a  b. 9 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài toán 2.1: Cho a, b là các số dương.Chứng minh rằng: 1 1 1   . 2 4a  4b 8ab (a  b) 2. (2.1). 2. Chøng minh. Ta vận dụng BĐT ( 2) để chứng minh BĐT (2.1) như sau: Ta áp dụng BĐT (2) cho 2 số dương là 4a2 +4b2 và 8ab. Ta có: 1 1 4 1 1 1   2  2   . 2 2 2 4a  4b 8ab 4a  4b  8ab 4a  4b 8ab (a  b) 2 2. §©y lµ B§T (2.1) cÇn chøng minh. Bài toán 2.2: Cho a, b, c là các số dương.Chứng minh rằng: 1 1 1 4 4 4      . a b c 2a  b  c a  2b  c a  b  2c. (2.2). Chøng minh. Ta chøng minh B§T (2.2) b»ng B§T (2) nh­ sau: 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 1           4(  ). a b a c ab ac a b a c ab ac 1 1 4   .Do a  b a  c 2a  b  c. Tương tự ta cũng có:. 1 a. 1 b. 1 a. 1 c. đó:    . L¹i. cã. 16 2 1 1 16     . 2a  b  c a b c 2a  b  c. 1 2 1 16 1 1 2 16    ;    . Céng theo tõng vÕ a b c a  2b  c a b c a  b  2c. c¸c B§T trªn l¹i víi nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bµi to¸n 2.3: Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 1 1      . abc abc abc a b c. (2.3). Chøng minh. Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có: a+b-c và a-b+c đều là ác số dương. Ta ¸p dông B§T (2) nh­ sau:. 10 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1 1 4 1 1 4      abc abc abcabc a  b  c a  b  c 2a . 1 1 2    abc abc a. Tương tự ta cũng có: 1 1 2   ; abc abc b . 1 1 2   abc abc c. Céng c¸c kÕt qu¶ trªn l¹i víi nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 2.4: Cho a, b, c đều dương. Chứng minh rằng: ac bd ca bd     4. ab bc cd d a. (2.4). Chøng nminh. Để vận dụng được BĐT (2) để chứng minh BĐT(2.4), ta viết lại BĐT(2.4) như sau: B§T. (2.4)  (a  c)(. 1 1 1 1  )  (b  d )(  )  4. ab cd bc d a. Khi đó, ta có:. 1 1 4 1 1 4(a  c)    (a  c)(  ) . Tương tự ab cd abcd ab cd abcd (b  d )(. ta cã:. 1 1 4(b  d )  ) . Céng theo tõng vÕ 2 B§T trªn l¹i víi nhau ta bc d a abcd. ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 2.5: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: . 1 1 1 1 1 1 1 1     4(    ) a b c d 2a  b  c 2b  c  d 2c  d  a 2d  a  b. Chøng minh. Ta ¸p dông B§T (2) nh­ sau: 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 1           4(  ) a b a c ab ac a b a c ab ac . 2 1 1 1 1 16     4(  ) a b c ab ac 2a  b  c. 11 Lop10.com. (2.5).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 2 1 1 16    ; b c d 2b  c  d 2 1 1 16 Tương tự ta có:    ; c a d 2c  a  d 2 1 1 16    d a b 2d  a  b. Céng c¸c B§T trªn l¹i víi nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 2.6: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 8     . ab bc cd d a abcd. (2.6). Chøng minh. Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT (2.6) như sau; Ta có: 1 1 4   ; ab cd abcd 1 1 4   ; bc d a abcd. Céng theo tõng vÕ 2 B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 2.7: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1     4(    ) a b c d 3a  b 3b  c 3c  d 3d  a. (2.7). Chøng minh. Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT (2.7) như sau; Ta có: 1 1 1 1 4 4 3 1 4 4 16           . a a a b aa ab a b 2a a  b 3a  b. Tương tự ta có:. 3 1 16   ; b c 3b  c 3 1 16   ; c d 3c  d 3 1 16   ; d a 3d  a. Céng c¸c B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 2.8: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1      . (2.8) a  3b b  3c c  3a a  2b  c a  b  2c 2a  b  c. 12 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chøng minh. Ta vận dụng BĐT (2) để chứng minh BĐT (2.8) như. sau; Ta cã:. 1 1 4 1 1 2 . Tương tự, ta      a  3b a  b  2c a  3b  a  b  2c a  3b a  b  2c a  2b  c. cã: 1 1 2   ; b  3c 2a  b  c a  b  2c . 1 1 2   c  3a 2b  a  c b  2a  c. Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i ta cã B§T cÇn chøng minh. Bài toán 2.9: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1    2(   ) pa pb pc a b c. (2.9). Víi p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c. Chøng minh. Ta áp dụng BĐT (2) cho 2 số dương là p - a và p – b ; Ta được: 1 1 4 1 1 4 1 1 4         . pa pb pa pb p  a p b 2p  a b pa pb c. Tương tự ta có: 1 1 4   ; pb pc a 1 1 4   . pc pa p. Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i víi nhau, ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bµi to¸n 2.10: Bài toán 3: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 9    a b c abc. (3). Chøng minh. Để chứng minh BĐT (3) ta sử dụng BĐT Cối cho 3 số dương là nh­ sau: 13 Lop10.com. 1 1 1 , , vµ a, b, c a b c.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Ta cã:. 1 1 1 1    3.3 , a b c abc a  b  c  3.3 abc . Khi đó ta có:. 3. 1 3  abc a  b  c. 1 1 1 9    . §©y lµ B§T cÇn chøng minh. a b c abc. Bây giờ ta sẽ sử dụng bài toán (3) để chứng minh một số BĐT khác. Bài toán 3.1: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3    . 2a  b 2b  c 2c  a a  b  c. (3.1). Chøng minh. Ta vận dụng BĐT (3) cho 3 số dương là 2a+b, 2b+c, 2c+a ta có: 1 1 1 9 1 1 1 9        2a  b 2b  c 2c  a 2a  b  2b  c  2c  a 2a  b 2b  c 2c  a 3(a  b  c) 1 1 1 3     2a  b 2b  c 2c  a a  b  c. §©y lµ B§T cÇn chøng minh. Bài toán 3.2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 9    2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 4(a  b  c). (3.2). Chøng minh. Ta vận dụng BĐT (3) để chứng minh BĐT (3.2) như sau; Ta áp dụng cho 3 số dương là: 2a+b, 2b+c và 2c+a, ta có: 1 1 1 9    2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 2a  b  c  2b  c  a  2c  a  b 1 1 1 9     2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 4(a  b  c). Bài toán 3.3: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1    3(   ). a b c 2a  b 2b  c 2c  a. Chøng minh.. 14 Lop10.com. (3.3).

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Ta vận dụng BĐT (3) cho 3 số dương là a, a và b ta có: 1 1 1 9 2 1 9       a a b aab a b 2a  b. Tương tự ta có:. 2 1 9 2 1 9   ;   . Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i b c 2b  c c a 2c  a. víi nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 3.4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: a b c 3    bc ca ab 2. (3.4). Chøng minh. áp dụng BĐT (3) cho 3 số dương là b+c, c+a, a+b ta có: 1 1 1 9 1 1 1 9     (a  b  c)(   ) b  c c  a a  b 2(a  b  c) bc ca ab 2 abc abc abc 9     bc ca ab 2 a b c 9 a b c 3  1 1 1      bc ca ab 2 bc ca ab 2. §©y lµ B§T cÇn chøng minh. Bài toán 3.5: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 2 3  2 2 ( 2 )2 4 4 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a a b c 4. (3.5). Chøng minh. Ta viÕt l¹i B§T cÇn chøng minh nh­ sau: 1 1 1 3  2 2  2 2 ( 2 )2 . 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a a b b c c a a b c 4. Ta áp dụng BĐT (3) cho 3 số dương là a4 + b4 + c4, a2b2 + b2c2 + c2a2 và a2b2 + b2c2 + c2a2; Ta ®­îc: 1 1 1 9  2 2  2 2  4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 a b c a b b c c a a b b c c a a  b  c  2a b  2b 2c 2  2c 2 a 2 . 1 1 1 3 2  4   ( 2 ) a  b 4  c 4 a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 a  b2  c2 4. §©y lµ B§T cÇn chøng minh. 15 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bµi to¸n 3.6: Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n a+b+c  3. Chøng minh r»ng: 1 1 1 3    . 1 a 1 b 1 c 2. (3.6). Chøng minh. Ta áp dụng BĐT (3) cho 3 số dương là 1+a, 1+b và 1+c; Ta được: 1 1 1 9 1 1 1 9        1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 3  a  b  c 1 1 1 9 1 1 1 3         1 a 1 b 1 c 3  3 1 a 1 b 1 c 2. §©y lµ B§T cÇn chøng minh. Bài toán 3.7: Cho a, b, c là các số dương và thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh r»ng: 1 1 1  2  2 9 a  2bc b  2ca c  2ab. (2.7). 2. Chøng minh. Vì a, b, c là các số dương nên a2+2bc, b2+2ca và c2+2ab cũng là các số dương. Ta áp dụng BĐT(3) cho 3 số dương là a2+2bc, b2+2ca và c2+2ab. Ta được: 1 1 1 9  2  2  2 2 a  2bc b  2ca c  2ab a  2bc  b  2ca  c 2  2ab 1 1 1 9 1 1 1 9  2  2  2   2  2  2  2 2 a  2bc b  2ca c  2ab (a  b  c) a  2bc b  2ca c  2ab 1 1 1 1  2  2  2 9 a  2bc b  2ca c  2ab 2. §©y lµ B§T cÇn chøng minh. Bµi to¸n 3.8: Cho x tho¶ m·n. 2 13  x  . Chøng minh r»ng: 3 2. 1 1 1 3    3 x  2 x  10 13  2 x 7. (2.8). Chøng minh. Ta viÕt l¹i B§T cÇn chøng minh nh­ sau:. 1 1 1 3    . V× 3 x  2 10  x 13  2 x 7. 2 13 x nên 3x-2 > 0, 10- x >0, 13-2x >0. Do đó áp dụng BĐT (3) cho 3 số 3 2. dương là 3x-2, 10- x, 13-2x; 16 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Ta cã: 1 1 1 9 1 1 1 9        3 x  2 10  x 13  2 x 3 x  2  10  x  13  2 x 3 x  2 10  x 13  2 x 21 1 1 1 3     3 x  2 10  x 13 x  2 7. §©y lµ B§T cÇn chøng minh. Bài toán 4: Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 1 4  ab (a  b) 2. (4). Chøng minh. Cách 1:(Dùng PP biến đổi tương đương) Ta có BĐT (4)  (a  b) 2  4ab  (a  b) 2  0 . Đây là BĐT đúng. Bây giờ ta sẽ vận dụng BĐT (4) để chứng minh các BĐT khác. Cách 2: (Dùng BĐT Côsi cho 2 số dương ). Ta áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là a và b, ta có: (. ab. ab 2 1 4 )   2 ab (a  b) 2. Bài toán 4.1: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 3    (2a  b)(2c  b) (2b  c)(2a  c) (2b  a )(2c  a ) (a  b  c) 2. Chøng minh. Ta vận dụng BĐT (4) cho 2 số dương là 2a+b và 2c+b ta có: 1 4 1 4    2 (2a  b)(2c  b) (2a  b  2c  b) (2a  b)(2c  b) (2a  2b  2c) 2 1 1   (2a  b)(2c  b) (a  b  c) 2. Tương tự ta có: 1 1  , (2b  c)(2a  c) (a  b  c) 2 . 1 1  (2b  a )(2c  a ) (a  b  c) 2. Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i víi nhau ta®­îc B§T cÇn chøng minh. 17 Lop10.com. (4.1).

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Bài toán 4.2: Cho a, b, c ,d là các số dương. Chứng minh rằng: ac bd 4   . (a  b)(c  d ) (a  d )(b  c) a  b  c  d. (4.2). Chøng minh. Ta áp dụng BĐT(4) cho 2 số dương là a+b và c+d, ta có: 1 4 ac 4(a  c)    . 2 (a  b)(c  d ) (a  b  c  d ) (a  b)(c  d ) (a  b  c  d ) 2. Tương tự cho 2số dương a+d và b+c ta có:. bd 4(b  d )  . (a  d )(b  c) (a  b  c  d ) 2. Céng vÕ víi vÕ 2B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 4.3: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: 3 2 ab 12    . a  b c  d (a  c)()b  d a  b  c  d. (4.3). Chøng minh. Ta cã:. 3 2 1 1   2a  b  3(c  d )  (2a  2b  3c  3d ) . ab cd (a  b)(c  d ) (a  b)(c  d ). áp dụng BĐT (4) cho 2 số dương là a+b và c+d Ta. cã:. 1 4 1 4(2a  2b  3c  3d ) .   (2a  2b  3c  3d )  2 (a  b)(c  d ) (a  b  c  d ) (a  b)(c  d ) (a  b  c  d ) 2. Do đó, ta có:. 3 2 8a  8b  12c  12d   . ab cd (a  b  c  d ) 2. Tương tự ta cũng có:. ab 4(a  b)  . (a  c)(b  d ) (a  b  c  d ) 2. Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i víi nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 4.4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ( a  b) 2 (b  c) 2 (c  a ) 2    4(a  b  c) . abc bca cab. Chøng minh. Ta cã:. ( a  b) 2 ( a  b) 2 c 1 .   ( a  b) 2 c a  b  c ( a  b  c )c ( a  b  c )c. 18 Lop10.com. (4.4).

<span class='text_page_counter'>(19)</span> áp dụng BĐT (4) cho 2 số dương là a+b-c và c ta có: 1 4 4   . 2 ( a  b  c )c ( a  b  c  c ) ( a  b) 2. Do. đó. 1 4 ( a  b) 2 2 ( a  b) c  ( a  b) c  4c   4c. ( a  b  c )c ( a  b) 2 abc 2. Tương tự, ta có: (b  c) 2  4a; bca (c  a ) 2  4b. cab. Céng theo tõng vÕ c¸c B§T trªn l¹i víi nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 4.5: Cho a, b dương và thoả mãn a+b =1. Chứng minh rằng; 1 1  2 6 ab a  b 2. (4.5). Chøng minh. Ta viÕt l¹i B§T cÇn chøng minh nh­ sau:. 1 1 1   2  6 .B©y giê ta ¸p 2ab 2ab a  b 2. dụng BĐT (2) cho 2 số dương là 2ab và 2ab và a2 + b2 ; áp dụng BĐT (4) cho 2 số dương là a và b; Ta có: 1 1 4 1 1 4 1 1  2    2    2 4 2 2 2 2 2 2ab a  b 2ab  a  b 2ab a  b ( a  b) 2ab a  b 2 1 1 1 1 4   2 2ab 2 ab 2 (a  b) 2. Céng theo tõng vÕ 2 B§T trªn l¹i ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 4.6: Cho a, b dương và thoả mãn a+b  1. Chứng minh rằng: 2 3  2  14 ab a  b 2. (4.6). Chøng minh. Ta viÕt l¹i B§T cÇn chøng minh nh­ sau:. 1 3 3   2  14 . B©y giê ta ¸p 2ab 2ab a  b 2. dụng BĐT (2)cho 2 số dương là 2ab và a2 + b2; áp dụng BĐT (4) cho 2 số dương lµ 19 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> a vµ b; ta cã: 3 3 1 1 4 4  2  3(  2 )3 3  12; 2 2 2 2 2ab a  b 2ab a  b 2ab  a  b ( a  b) 2 1 1 1 1 4 14    2 2 2ab 2 ab 2 (a  b) 21. Céng theo tõng vÕ 2 B§T trªn l¹i víi nhau ta ®­îc B§T cÇn chøng minh. Bài toán 4.7: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 4 1 1 1 2    (   ) ab bc ca 3 a  b b  c c  a. (4.7). Chøng minh. Ta áp dụng BĐT (4) cho 2 số dương là a và b, b và c, c và a; Ta được: 1 4 1 4 1 4  ;  ;  . Céng theo tõng vÕ ta ®­îc: 2 2 ab (a  b) bc (b  c) ca (c  a ) 2 1 1 1 1 1 1    4(   ) 2 2 ab bc ca (a  b) (b  c) (c  a ) 2 1 1 1 1 4 1 1 1  (   ) (   ). (4.7.1) 2 2 3 ab bc ca 3 (a  b) (b  c) (c  a ) 2. MÆt kh¸c, ta cã: 1 1 1 abc 8(a  b  c) 4(a  b)  (b  c)  (c  a )       ab bc ca abc (a  b)(b  c)(c  a ) (a  b)(b  c)(c  a ) 1 1 1  4[   ] (b  c)(c  a ) (c  a )(a  b) (a  b)(b  c) 2 1 1 1 4 2 2 2  (   ) [   ].(4.7.2) 3 ab bc ca 3 (b  c)(c  a ) (c  a )(a  b) (a  b)(b  c). Céng theo tõng vÕ 2 B§T (4.7.1) vµ (4.7.2) ta ®­îc B§T cÇn chøng minh.. PhÇn III. KÕt luËn Như vậy chúng ta thấy rằng bất đẳng thức trong toán học ở trường phổ thông đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh. Các bài toán 20 Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>