Toán 11: ĐT, MP không không gian, QH song song – Chinh phục giảng đường

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.6 MB, 224 trang )

CHƯƠNG 2 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG 1

1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1

1 Mở đầu về hình học khơng gian 1

2 Các tính chất thừa nhận 1

3 Điều kiện xác định mặt phẳng 1

4 Hình chóp và tứ diện 2

B CÁC DẠNG TOÁN 3

Dạng 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 3

Dạng 2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ đồng quy 3

Dạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 3

Dạng 4. Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp 3

Dạng 5. Dựng đường thẳng đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau 4

Dạng 6. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng và bài toán chứng minh giao tuyến

đi qua điểm cố định 4

C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 4

D BÀI TẬP RÈN LUYỆN 9

E CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 11

1 Câu hỏi lý thuyết 11

2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 14

3 Thiết diện 19

4 Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy 21

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 53

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 53

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong khơng gian 53

2 Các định lí và tính chất 53

B CÁC DẠNG TỐN 53

Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng bằng quan hệ song song 53

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song 55

Dạng 3. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui 58

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 59

D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 65

ĐÁP ÁN 94

3 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 95

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 95

1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 95

2 Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng 95

B CÁC DẠNG TOÁN 96

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 96

1 Ví dụ minh họa 96

2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 98

Dạng 2.Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi biết một mặt phẳng song song

với đường thẳng cho trước 101

1 Các ví dụ minh họa 101

Dạng 3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng 103

1 Các ví dụ minh họa 104

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 105

ĐÁP ÁN 146

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

A Tóm tắt lí thuyết 147

1 Định nghĩa 147

2 Tính chất 147

3 Định lý Ta-lét (Thalès) 148

4 Hình lăng trụ và hình hộp 148

5 Hình chóp cụt 149

B CÁC DẠNG TOÁN 150

Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song 150

1 Các ví dụ minh họa 150

Dạng 2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β) biết (α) qua điểm A;

song song với mặt phẳng(γ) 151

1 Các ví dụ minh họa 152

Dạng 3. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước154

1 Các ví dụ minh họa 154

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 156

D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 163

ĐÁP ÁN 204

5 PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHƠNG GIAN 205

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 205

B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 205

C BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 206

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 207

ĐÁP ÁN 213

ÔN TẬP CHƯƠNG II 213

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>2</b>

<b>ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG</b>

<b>KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG</b>

<b>BÀI</b>

<b>1.</b>

<b>ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT</b>

<b>PHẲNG</b>

<b>A</b> <b>TÓM TẮT LÝ THUYẾT</b>

<b>1</b> <b>MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN</b>

Hình học khơng gian có các đối tượng cơ bản là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ thuộc:
Trong không gian:

<b>1</b> Với một điểmA và một đường thẳngdcó thể xảy ra hai trường hợp:
ĐiểmA thuộc đường thẳng d, kí hiệuA∈d.

ĐiểmA khơng thuộc đường thẳng, kí hiệuA /∈d.

<b>2</b> Với một điểmA và một mặt phẳng (P) có thể xảy ra hai trường hợp:
ĐiểmA thuộc mặt thẳng(P), kí hiệuA∈(P).

ĐiểmA khơng thuộc đường thẳng, kí hiệuA /∈(P).

Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm khơng thẳng hàng cho
trước.

Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một
đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết đã biết của hình học phẳng đều đúng.

Định lí 1. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của
đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

<b>3</b> <b>ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG</b>
Có bốn cách xác định trong một mặt phẳng:

Cách 1: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng
của mặt phẳng, kí hiệu(ABC).

A B

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

d
A

Cách 3: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳnga, bcắt nhau, kí hiệu
(a, b).

P a

Cách 4: Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b song song, kí
hiệu(a, b).

Định nghĩa 1. Cho đa giác A1A2. . . An và cho điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối

S với các đỉnhA1, A2, . . . , Anta đượcnmiền đa giácSA1A2, SA2A3, . . . , SAn−1An. Hình gồmntam

giác đó và đa giácA1A2A3. . . An được gọi là hình chópS.A1A2A3. . . An.

A3 A4

Trong đó:

ĐiểmS gọi là đỉnh của hình chóp.

Đa giácA1A2. . . An gọi là mặt đáy của hình chóp.

Các đoạn thẳngA1A2, A2A3, . . . , An−1An gọi là các cạnh đáy của hình chóp.

Các đoạn thẳngSA1, SA2, . . . , SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp.

Các miền tam giácSA1A2, SA2A3, . . . , SAn−1An gọi là các mặt bên của hình chóp.

Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,. . .thì hình chóp tương ứng gọi
là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,. . .

4

Hình chóp tam giác cịn được gọi là hình tứ diện.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Dạng 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp giải:

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai
điểm chung đó là giao tuyến.

4

! <sub>Điểm chung của hai mặt phẳng</sub> <sub>(α)</sub> <sub>và</sub> <sub>(β)</sub> <sub>thường được tìm như sau</sub>

Tìm hai đường thẳnga,blần lượt thuộc (α)và(β), đồng thời chúng cùng

nằm trong mặt phẳng (γ) nào đó.

Giao điểmA=a∩b chính là điểm chung của (α) và(β).

A
β

α
γ
b

Dạng 2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ đồng quy

Phương pháp giải:

Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của
hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên
thẳng hàng.

Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc
đường đường thẳng cịn lại.

Dạng 3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp giải:

Tìm giao điểm của đường thẳngd và mặt phẳng(P) ta cần lưu ý một số trường hợp sau

<i><b>1</b></i> Nếu trong(P) có sẵn một đường thẳng ∆cắt d tại M thì M =d∩(P).

<i><b>2</b></i> Nếu trong(P) chưa có sẵn đường thẳng ∆cắt d thì ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1. Chọn một mặt phẳng (Q) chứa d.
Bước 2. Tìm giao tuyến ∆ = (Q)∩(P).

Bước 3. Trong(Q) gọi M =d∩∆. Khi đó, M là giao điểm giữa d và (P).

P
Q

∆

P
Q

M
∆

P
Q

Dạng 4. Xác định thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp

Phương pháp giải:

Để xác định thiết diện của hình chóp S.A1A2...An cắt bởi mặt phẳng (α), ta tìm giao điểm của mặt

phẳng(α) với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

hình chóp).

Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Dạng 5. Dựng đường thẳng đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp giải: Để dựng đường thẳng dđi qua O và cắt d1; d2, ta dựng giao tuyến của hai mặt

phẳng(O, d1) và (O, d2), khi đó d= (O, d1)∩(O, d2).

d
O

Dạng 6. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng và bài toán chứng minh giao tuyến
đi qua điểm cố định

Phương pháp giải:

Để tìm tập hợp giao điểmI của hai đường thẳng thay đổi a, bta chọn

hai mặt phẳng cố định (α) và (β) cắt nhau lần lượt chứa a, b. Khi đó

I =a∩b⇒

I ∈a⊂(α)

I ∈b⊂(β) ⇒I ∈d= (α)∩(β)

Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và(β).

d
I

α
β

Để chứng minh đường thẳngd đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau:

- Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng (δ) và(γ).

- Chứng minh dlà giao tuyến của hai mặt phẳng (δ) và(γ), khi đó dđi qua điểm cố định J.

Ví dụ 1. Cho hình chópS.ABCD, đáyABCDlà tứ giác có các cặp cạnh đối khơng song song, điểm
M thuộc cạnhSA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng

(SAC) và(SBD).

<b>1</b> <b>2</b> (SAC)và (M BD).

(M BC) và(SAD).

<b>3</b> <b>4</b> (SAB) và(SCD).

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>1</b> Trong(ABCD), gọiO=AC∩BD. Khi đó,

O ∈AC ⊂ (SAC)

O∈BD⊂ (SBD) ⇒O∈(SAC)∩(SBD).
Lại cóS ∈(SAC)∩(SBD).

VậySO = (SAC)∩ (SBD).
<b>2</b> VìO=AC∩BD nên

O ∈AC ⊂ (SAC)

O ∈BD⊂ (M BD) ⇒O∈(SAC)∩(M BD).
Dễ thấy,M ∈(SAC)∩(M BD).

VậyOM = (SAC)∩(M BD).

D
S

c) Trong(ABCD), gọiF =BC∩AD. Khi đó,

F ∈BC⊂(M BC)

F ∈AD⊂(SAD) ⇒F ∈(M BC)∩(SAD).
Mặt khác,M ∈(M BC)∩(SAD).

VậyF M = (M BC)∩(SAD).

d) Trong(ABCD) gọiE =AB∩CD, ta có

E∈AB⊂(SAB)

E∈CD⊂(SCD) ⇒E ∈(SAB)∩(SCD).
Dễ thấy,S ∈(SAB)∩(SCD).

VậySE = (SAB)∩(SCD).

Ví dụ 2. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lấy các điểmD, E và F sao cho DE cắt AB tại
I,EF cắtBC tạiJ,F D cắt CAtại K. Chứng minhI, J, K thẳng hàng.

-Lời giải.
Ta có







I =DE∩AB
DE ⊂(DEF)
AB⊂(ABC)

⇒I ∈(DEF)∩(ABC) (1)
Tương tựJ =EF∩BC

⇒

J ∈EF ∈(DEF)
J ∈BC⊂(ABC)

⇒J ∈(DEF)∩(ABC) (2)

K=DF∩AC ⇒

K∈DF ⊂(DEF)
K∈AC⊂(ABC)

⇒K∈(DEF)∩(ABC) (3)

B
D

C
E

Từ (1),(2) và (3) ta có I, J, K là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) nên chúng thẳng

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCDvới đáyABCD có các cạnh đối diện khơng song song với
nhau vàM là một điểm trên cạnh SA.

<b>1</b> Tìm giao điểm của đường thẳngSB với mặt phẳng(M CD).
<b>2</b> Tìm giao điểm của đường thẳngM C và mặt phẳng(SBD).

-Lời giải.

<b>1</b> Tìm giao điểm của đường thẳngSB với mặt phẳng(M CD).
Ta cóSB⊂(SAB).

Trong(ABCD) gọiE =AB∩CD.
Khi đó,(SAB)∩(M CD) =M E.
Trong(SAB), gọiN =SB∩M E.
VậyN =SB∩(M CD).

<b>2</b> Tìm giao điểm của đường thẳngM C và mặt phẳng(SBD).
Ta cóM C ⊂(M DE).

Dễ thấy(M DE)∩(SBD) =DN.
Trong(M DE), gọiK =M C∩DN.
VậyM C ∩(SBD) =K.

D
A

B
M

E
K

Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang vớiADlà đáy lớn vàP là một điểm
trên cạnhSD.

a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P AB) là hình gì?

b) GọiM, N lần lượt là trung điểm của các cạnhAB, BC. Thiết diện của hình chóp cắt bởi(M N P)
là hình gì?

-Lời giải.

a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB∩CD. Trong mặt phẳng (SCD) gọi Q = SC ∩EP. Ta có
E∈AB nên EP ⊂(ABP)⇒Q∈(ABP), do đóQ=SC∩(ABP). Thiết diện là tứ giác ABQP.

E
S

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

b) Trong mặt phẳng(ABCD) gọiF, G lần lượt là các giao điểm của M N vớiAD vàCD.
Trong mặt phẳng(SAD) gọiH =SA∩F P.

Trong mặt phẳng(SCD) gọi K=SC∩P G.

Ta cóF ∈M N, do đó F ∈(M N P) nên F P ⊂(M N P)⇒H∈(M N P).
Vậy

H∈SA

H∈(M N P) ⇒H =SA∩(M N P).

Tương tựK =SC∩(M N P). Nên thiết diện là ngũ giác QM N KP H.

N
G
S

B
A

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình thang với đáy lớn là AB. Một mặt phẳng
(P) quay quanhAB cắt các cạnhSC,SD tại các điểm tương ứngE,F.

Tìm tập hợp giao điểm I củaAF vàBE.

<b>1</b> <b>2</b> Tìm tập hợp giao điểm J củaAE vàBF.

-Lời giải.
<b>1</b>

Phần thuận.

Ta cóI =AF ∩BE ⇒

I ∈AF
I ∈BE
Lại có

AF ⊂(SAD)

BE ⊂(SBC) ⇒F ∈(SAD)∩(SBC).
Trong(ABCD) gọiH =AD∩BC

⇒

H∈AD
H∈BC ⇒

H ∈(SAD)
H ∈(SBC)
⇒SH= (SAD)∩(SBC)⇒I ∈SH.

Giới hạn.

KhiE chạy đến C thìF chạy đếnD vàI chạy đến H.
KhiE chạy đến S thìF chạy đếnS vàI chạy đến S.

H
A

D
F

C
E
I
S

O
J

Phần đảo.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Trong(SBH)gọiE =SH∩BI khi đó(ABEF)là mặt phẳng quay quanh ABcắt các cạnh SC,SD
tạiE,F và I là giao điểm củaAF vàBE.

Vậy tập hợp điểmI là đoạnSH.
<b>2</b> Ta cóJ =AE∩BF ⇒

J ∈AE
J ∈BF ⇒

J ∈(SAC)

J ∈(SBD) ⇒J ∈(SAC)∩(SBD).
NhưngSO= (SAC)∩(SBD) nên J ∈SO.

KhiE chạy đến chạy đếnC thìF chạy đến Dvà J chạy đếnO.

KhiE chạy đến S thìF chạy đếnS vàJ chạy đến S.

Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm J là đoạnSO.

Ví dụ 6. Cho tứ diệnABCD,Olà điểm thuộc miền trong tam giácBCD,M là một điểm trên cạnh
AB.

<b>1</b> Dựng đường thẳng đi quaM cắt cảAO vàCD.

<b>2</b> GọiN là một điểm trên cạnh BC sao cho ON không song song vớiBD. Dựng đường thẳng đi
quaN cắt AOvà DM.

-Lời giải.

<b>1</b> Trong(BCD), gọi P =BO∩CD.
Trong(ABN), gọiI =P M∩AO.

Đường thẳng M P chính là đường thẳng đi qua M cắt cảAOvà CD.

C
O
B

D
P

<b>2</b> Trong(BCD), gọi E=N O∩BD.
Trong(ABD), gọiG=DM∩AE.
Trong(N AE), gọi F =AO∩N G.

Đường thẳng N Gchính là đường thẳng đi quaN cắt cảAO vàDM.
A

E
F

B
M

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>D</b> <b>BÀI TẬP RÈN LUYỆN</b>

Bài 1. Cho tứ diện ABCD,O là một điểm thuộc miền trong tam giácBCD,M là điểm trên đoạnAO.
<b>1</b> Tìm giao tuyến của mặt phẳng(M CD) với các mặt phẳng(ABC).

<b>2</b> Tìm giao tuyến của mặt phẳng(M CD) với các mặt phẳng(ABD).

<b>3</b> GọiI,J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC vàBD sao cho IJ không song song với CD. Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng (IJ M) và(ACD).

-Lời giải.

<b>1</b> Trong(BCD) gọiN =DO∩BC,
trong(ADN) gọiP =DM∩AN
⇒

P ∈DM ⊂(CDM)
P ∈AN ⊂(ABC)
⇒P ∈(CDM)∩(ABC).
Lại cóC∈(CDM)∩(ABC)
⇒P C = (CDM)∩(ABC).

<b>2</b> Tương tự, trong (BCD) gọiQ=CO∩BD,
trong(ACQ) gọiR=CM ∩AQ

⇒

R∈CM ⊂(CDM)
R∈AQ⊂(ABD)
⇒R∈(CDM)∩(ABD).

Mặt khác Dlà điểm chung thứ hai của (M CD) và(ABD)
nên DR= (CDM)∩(ABD).

C
A

F
N
J

P M
Q

O
K

c) Trong (BCD) gọi E =BO∩CD,F =IJ∩CD,K =BE∩IJ. Trong(ABE) gọi G=KM∩AE.
Có

F ∈IJ ⊂(IJ M)

F ∈CD ⊂(ACD) ⇒F ∈(IJ M)∩(ACD).
Ta lại có

G∈KM ⊂(IJ M)

G∈AE⊂(ACD) ⇒G∈(IJ M)∩(ACD). Vậy F G= (IJ M)∩(ACD).

Bài 2. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC, BC và G là trọng tâm của tam giác
ABC. Mặt phẳng(α)đi quaAC cắtSE, SB lần lượt tạiM, N. Một mặt phẳng(β)đi quaBC cắtSD, SA
tương ứng tạiP vàQ.

a) Gọi I =AM∩DN, J =BP∩EQ. Chứng minh rằng S, I, J, Gthẳng hàng.
b) Gọi K=AN ∩DM, L=BQ∩EP. Chứng minh rằng S, K, Lthẳng hàng.

-Lời giải.

<b>1</b> Ta cóS∈(SAE)∩(SBD) (1)
G=AE∩BD⇒

G∈AE ⊂(SAE)
G∈BD⊂(SBD)
⇒

G∈(SAE)

G∈(SBD) (2)

I =AM ∩DN ⇒

I ∈DN ⊂(SBD)
I ∈AM ⊂(SAE)
⇒

I ∈(SBD)

I ∈(SAE) (3)

J =BP ∩EQ⇒

J ∈BP ⊂(SBD)
J ∈EQ⊂(SAE) ⇒

J ∈(SBD)
J ∈(SAE) (4)

B
G

E
I

A D C

M
N P
Q

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Từ (1),(2),(3) và (4) ta có S, I, J, G là điểm chung của hai mặt phẳng (SBD) và (SAE) nên chúng
thẳng hàng.

b) Ta có S∈(SAB)∩(SED.) (1)

K=AN∩DM ⇒

K ∈AM ⊂(SAB)
K ∈DM ⊂(SED) ⇒

K ∈(SAB)

K ∈(SED). (2)

L=BQ∩EP ⇒

L∈BQ⊂(SAB)
L∈EP ⊂(SED) ⇒

L∈(SAB)

L∈(SED). (3)

Từ (1),(2),(3) ta có S, K, L là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SED) nên chúng thẳng
hàng.

Bài 3. Cho hình chóp tứ giácS.ABCD,M là một điểm trên cạnhSC,N là trên cạnhBC. Tìm giao điểm
của đường thẳngSD với mặt phẳng(AM N).

-Lời giải.

Ta cóSD⊂(SCD).

Trong (ABCD), gọiE =AN ∩CD.

Khi đó,(SCD)∩(AM N) =M E.
Trong (SCD), gọiF =SD∩M E.
VậyF =SD∩(AM N).

D
M

B
N

Bài 4. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD là một hình bình hành tâmO. GọiM, N, P là ba điểm trên
các cạnhAD, CD, SO. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (M N P).

-Lời giải.

E A B

O
K
M

C
F
H

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E, K, F lần lượt là giao điểm của M N với DA, DB, DC. Trong mặt
phẳng(SDB) gọi H=KP ∩SB.

Trong mặt phẳng(SAB) gọiT =EH∩SA.
Trong mặt phẳng(SBC) gọiR=F H ∩SC .
Ta có

E ∈M N

H ∈KP Suy ra EH⊂(M N P).

Ta có

T ∈SA

T ∈EH Suy raT =SA∩(M N P).

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Bài 5. Cho tứ diệnABDC. Hai điểmM,N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho AM
AB 6=

AN
AC.
Một mặt phẳng(P)thay đổi luôn chứa M N, cắt các cạnhCD và BDlần lượt tại E và F.

a) Chứng minhEF ln đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp giao điểmI củaM E và N F.

c) Tìm tập hợp giao điểmJ củaM F và N E.

-Lời giải.

J
F

D
N

O I

a) Trong(ABC) gọiK =M N∩BC thì K cố định và

K ∈M N
K ∈BC ⇒

K ∈(M N P)
K ∈(BCD)
Lại cóEF = (P)∩(BCD)⇒K ∈EF.

VậyEF luôn đi qua điểm K cố định.
b) Phần thuận.

Trong(P) gọi I =M E∩N F ⇒

I ∈M E⊂(M CD)

I ∈N F ⊂(N BD) ⇒I ∈(M CD)∩(N BD).
GọiO=CM∩BN ⇒OD= (M CD)∩(N BD)⇒I ∈OD.

Giới hạn.

KhiE chạy đếnC thìF chạy đến B vàI chạy đến O.
Khi KhiE chạy đếnD thìF chạy đến Dvà I chạy đếnD.

Phần đảo.

GọiI là điểm bất kì trên đoạnOD, trong(M CD)gọiE =M I∩CD, trong(N BD)gọiF =N I∩BDsuy
ra(M N EF)là mặt phẳng quay quanhM N cắt các cạnhDB,DC tại các điểmE,F vàI =M E∩N F.
Vậy tập hợp điểmI là đoạnOD.

c) Gọi J =M F ∩N E⇒

J ∈M F ⊂(ADB)

J ∈N E ⊂(ACD) ⇒J ∈(ADB)∩(ACD).
MàAD= (ADC)∩(ADB).

KhiE chạy đếnC thìF chạy đến B vàJ chạy đến A.
Khi KhiE chạy đếnD thìF chạy đến Dvà I chạy đếnD.

Từ đó ta có tập hợp điểmJ là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạnAD.

<b>E</b> <b>CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM</b>

<b>1</b> <b>CÂU HỎI LÝ THUYẾT</b>

Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

B. Qua3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.

D. Qua4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

-Lời giải.

Mệnh đề “Qua2điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì qua 2điểm phân biệt, tạo được
1đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vơ số mặt phẳng đi qua
2điểm đã cho.

Mệnh đề “Qua3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì trong trường hợp3 điểm
phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vơ số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân
biệt thẳng hàng.

Mệnh đề “Qua4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng” sai. Vì trong trường hợp4 điểm
phân biệt thẳng hàng thì có vơ số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt
phẳng khơng đồng phẳng thì sẽ tạo khơng tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4điểm.

Chọn đáp án C

Câu 2. Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân
biệt từ các điểm đã cho?

A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.

-Lời giải.

Với3điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Khi đó, với 4điểm khơng
đồng phẳng ta tạo được tối đaC3<sub>4</sub>= 4 mặt phẳng.

Chọn đáp án B

Câu 3. Trong mặt phẳng (α), cho 4 điểm A, B, C, D trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Điểm S
khơng thuộc mặt phẳng (α). Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởiS và 2 trong 4 điểm nói trên?

A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.

-Lời giải.

Với điểm S không thuộc mặt phẳng (α) và 4 điểmA, B, C, D thuộc mặt phẳng (α), ta có C2<sub>4</sub> cách chọn 2
trong4điểmA, B, C, Dcùng với điểmS lập thành1mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là6.

Chọn đáp án C

Câu 4. Cho5 điểmA, B, C, D, E trong đó khơng có4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng
tạo bởi 3trong 5 điểm đã cho?

A. 10. B. 12. C. 8. D. 14.

-Lời giải.

Với3điểm phân biệt không thẳng hàng, ta ln tạo được1mặt phẳng xác định. Ta cóC3<sub>5</sub> cách chọn3điểm
trong5 điểm đã cho để tạo được 1mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 10.

Chọn đáp án A

Câu 5. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A. Ba điểm phân biệt. B. Một điểm và một đường thẳng.

C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm phân biệt.

-Lời giải.

Mệnh đề “Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp3điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vơ số mặt
phẳng chứa3 điểm thẳng hàng đã cho.

Mệnh đề “Một điểm và một đường thẳng” sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi
đó ta chỉ có1 đường thẳng, có vơ số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

Mệnh đề “Bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4điểm phân biệt thẳng hàng thì có vơ số mặt
phẳng đi qua4điểm đó hoặc trong trường hợp4điểm mặt phẳng khơng đồng phẳng thì sẽ không tạo
được mặt phẳng nào đi qua cả4 điểm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Câu 6. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tứ giác
ABCD?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

-Lời giải.

4 điểmA, B, C, D tạo thành1 tứ giác, khi đó 4 điểmA, B, C, D đã đồng phẳng và tạo thành1 mặt phẳng
duy nhất là mặt phẳng(ABCD).

Chọn đáp án A

Câu 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu 3 điểmA, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng(P) và (Q) thìA, B, C thẳng hàng.

B. Nếu A, B, C thẳng hàng và (P),(Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của (P) và
(Q).

C. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt thìA, B, C khơng thẳng
hàng.

D. Nếu A, B, C thẳng hàng và A, B là2 điểm chung của (P) và (Q) thì C cũng là điểm chung của (P)
và(Q).

-Lời giải.

Hai mặt phẳng phân biệt khơng song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.

Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng”
sai. Vì:

Nếu(P) và(Q) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vơ số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết
luậnA, B, C thẳng hàng.

Mệnh đề “NếuA, B, C thẳng hàng và(P),(Q)có điểm chung là A thìB, C cũng là 2 điểm chung của
(P) và(Q)” sai. Vì:

Có vơ số đường thẳng đi quaA, khi đó B, C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của (P) và(Q).

Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt thì A, B, C
khơng thẳng hàng” sai. Vì:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm A, B, C là 3
điểm chung của2 mặt phẳng thìA, B, C cùng thuộc giao tuyến.

Chọn đáp án D

Câu 8. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vơ số điểm chung khác nữa.

B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

D. Hai mặt phẳng cùng đi qua3 điểmA, B, C không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.

-Lời giải.

Nếu2mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2mặt phẳng có vơ số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.

Chọn đáp án B

Câu 9. Cho 3 đường thẳngd1, d2, d3 không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định

nào sau đây đúng?

A. 3đường thẳng trên đồng quy.

B. 3đường thẳng trên trùng nhau.

C. 3đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.

D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai.

-Lời giải.

Nếu3đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1mặt phẳng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Chọn đáp án A

<b>2</b> <b>TÌM GIAO TUYẾN HAI MẶT PHẲNG</b>

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD(ABkCD). Khẳng định nào sau đây

sai?

A. Hình chóp S.ABCDcó 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng(SAC) và(SBD)là SO (O là giao điểm củaAC vàBD).

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng(SAD) và(SBC)là SI (I là giao điểm củaAD và BC).

D. Giao tuyến của hai mặt phẳng(SAB) và(SAD) là đường trung bình củaABCD .

-Lời giải.

Hình chópS.ABCDcó 4 mặt bên:(SAB),(SBC),(SCD),(SAD).
là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

O ∈AC ⊂(SAC)⇒O ∈(SAC)

O ∈BD⊂(SBD)⇒O ∈(SBD) ⇒ O là điểm chung thứ hai
của hai mặt phẳng(SAC) và(SBD).

⇒(SAC)∩(SBD) =SO.

Tương tự, ta có(SAD)∩(SBC) =SI.

(SAB)∩(SAD) =SA màSAkhơng phải là đường trung bình của
hình thangABCD.

Vậy “Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung
bình củaABCD” là mệnh đề sai.

I
A

D C

Chọn đáp án D

Câu 11. Cho tứ diện ABCD. GọiG là trọng tâm của tam giácBCD. Giao tuyến của mặt phẳng(ACD)
và(GAB) là

A. AM (M là trung điểm của AB). B. AN (N là trung điểm của CD).

C. AH (H là hình chiếu củaB trên CD). D. AK (K là hình chiếu của C trên BD).

-Lời giải.

Alà điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng(ACD) và(GAB).
Ta cóBG∩CD=N

⇒

N ∈BG⊂(ABG)⇒N ∈(ABG)
N ∈CD⊂(ACD)⇒N ∈(ACD).

⇒N là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng(ACD)và (GAB).
Vậy(ABG)∩(ACD) =AN.

C
G

B D

Chọn đáp án B

Câu 12. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giácBCD.LấyE, F là các điểm lần lượt
nằm trên các cạnh AB, AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I thì I khơng phải là điểm chung của hai mặt
phẳng nào sau đây?

A. (BCD) và(DEF). B. (BCD) và(ABC). C. (BCD)và (AEF). D. (BCD) và(ABD).

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

ĐiểmI là giao điểm của EF vàBC,
mà








EF ⊂(DEF)
EF ⊂(ABC)
EF ⊂(AEF)

⇒








I = (BCD)∩(DEF)
I = (BCD)∩(ABC)
I = (BCD)∩(AEF)
.

I
C
B

F D

Chọn đáp án D

Câu 13. Cho tứ diệnABCD. GọiM, N lần lượt là trung điểm củaAC, CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(M BD) và(ABN) là

A. đường thẳngM N.

B. đường thẳngAM.

C. đường thẳng BG (Glà trọng tâm tam giác ACD).

D. đường thẳngAH (H là trực tâm tam giácACD).

-Lời giải.

B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng(M BD) và(ABN).
VìM, N lần lượt là trung điểm của AC, CD nên suy ra AN, DM
là hai trung tuyến của tam giácACD.

GọiG=AN ∩DM ⇒

G∈AN ⊂(ABN)⇒G∈(ABN)
G∈DM ⊂(M BD)⇒G∈(M BD)
⇒Glà điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng(M BD)và(ABN).
Vậy(ABN)∩(M BD) =BG.

B D

M
G

Chọn đáp án C

Câu 14. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểmAD
vàBC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SM N) và(SAC) là

A. SD. B. SO (O là tâm hình bình hànhABCD).

C. SG(Glà trung điểm AB). D. SF (F là trung điểm CD).

-Lời giải.

S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SM N) và
(SAC).

GọiO=AC∩BDlà tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng(ABCD), gọi T =AC∩M N
⇒

O ∈AC ⊂(SAC)⇒O ∈(SAC)
O ∈M N ⊂(SM N)⇒O ∈(SM N)

⇒Olà điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng(SM N)và(SAC).
Vậy(SM N)∩(SAC) =SO.

B N C

A D

Chọn đáp án B

Câu 15. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiI, J lần lượt là trung điểmSA, SB.
Khẳng định nào sau đây sai?

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

C. (SBD)∩(J CD) =J. D. (IAC)∩(J BD) =AO (O là tâm ABCD).

-Lời giải.

Ta cóIJ là đường trung bình của tam giác SAB
⇒IJkABkCD⇒IJ kCD ⇒IJ CDlà hình thang.
Ta có

IB⊂(SAB)

IB⊂(IBC) ⇒(SAB)∩(IBC) =IB.
Ta có

J D⊂(SBD)

J D⊂(J BD) ⇒(SBD)∩(J BD) =J D.

Trong mặt phẳng (IJ CD), gọiM =IC∩J D ⇒ (IAC)∩
(J BD) =M O.

M
I

B C

O
A

Chọn đáp án D

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD(ADkBC). Gọi M là trung điểm CD.
Giao tuyến của hai mặt phẳng(M SB)và (SAC) là

A. SI (I là giao điểm của AC vàBM). B. SJ (J là giao điểm của AM vàBD).

C. SO (O là giao điểm của AC vàBD). D. SP (P là giao điểm của AB vàCD).

-Lời giải.

S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng(M SB) và (SAC).

Ta có

I ∈BM ⊂(SBM)⇒I ∈(SBM)
I ∈(AC)∈(SAC)⇒I ∈(SAC)

⇒I là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng(SAC) và(SAC).
Vậy(M SB)∩(SAC) =SI.

B C

A D

Chọn đáp án A

Câu 17. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và B. Giao
tuyến của(IBC) và(KAD) là

A. IK. B. BC. C. AK. D. DK.

-Lời giải.

ĐiểmK là trung điểm củaBC suy ra K∈(IBC)⇒IK ⊂(IBC).
ĐiểmI là trung điểm của AD suy raI ∈(KAD)⇒IK ⊂(KAD).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng(IBC) và (KAD) làIK.

A
I

C
K

B D

Chọn đáp án A

Câu 18. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang với . Gọi là giao điểm củaAC vàBD. Trên
cạnhSB lấy điểmM. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(ADM) và(SAC).

A. SI. B. AE,E là giao điểm của DM vàSI).

C. DM. D. DE,E là giao điểm của DM vàSI).

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Ta cóAlà điểm chung thứ nhất của (ADM) và (SAC).
Trong mặt phẳng(SBD), gọi E=SI∩DM. Ta có:

E∈SI màSI ⊂(SAC)suy ra E ∈(SAC).
E∈DM màDM ⊂(ADM) suy raE ∈(ADM).
Do đó E là điểm chung thứ hai của (ADM) và(SAC).
VậyAE là giao tuyến của(ADM) và(SAC).

C
D

A B

Chọn đáp án B

Câu 19. Cho tứ diện ABCDvà điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. GọiI và J lần lượt là hai
điểm trên cạnhBC vàBD sao choIJ không song song vớiCD. Gọi H, K lần lượt là giao điểm củaIJ với
CD củaM H vàAC. Giao tuyến của hai mặt phẳng(ACD) và(IJ M) là

A. KI. B. KJ. C. M I. D. M H.

-Lời giải.

Trong mặt phẳng(BCD), IJ cắtCD tại H⇒H ∈(ACD).
ĐiểmH ∈IJ suy ra bốn điểm M, I, J, H đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng(IJ M),

M H cắtIJ tạiH vàM H ⊂(IJ M).
Mặt khác

M ∈(ACD)

H∈(ACD) ⇒M H ⊂(ACD).
Vậy(ACD)∩(IJ M) =M H.

D
H

J
C

M
K

Chọn đáp án A

Câu 20. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.
Trên đoạn BDlấy điểm P sao cho BP = 2P D. Giao điểm của đường thẳngCD và mặt phẳng(M N P)là
giao điểm của

A. CD vàN P. B. CD vàM N. C. CD và M P. D. CD và AP.

-Lời giải.

Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa CD. Do N P không song
song CD nên N P cắt CD tại E. Điểm E ∈ N P ⇒ E ∈
(M N P). Vậy CD∩(M N P) tại E.

Cách 2. Ta có

N ∈BC

P ∈BD ⇒ N P ⊂ (BCD) suy ra N P, CD
đồng phẳng. Gọi E là giao điểm của N P và CD mà N P ⊂
(M N P) suy ra CD∩(M N P) =E.

Vậy giao điểm củaCD và (M N P) là giao điểm E củaN P vàCD.

C
N

P
B

Chọn đáp án A

Câu 21. Cho tứ diệnABCD. GọiE vàF lần lượt là trung điểm củaAB vàCD;Glà trọng tâm tam giác
BCD. Giao điểm của đường thẳngEG và mặt phẳng(ACD) là

A. Điểm F. B. Giao điểm của đường thẳng EGvà AF.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

-Lời giải.

VìGlà trọng tâm tam giác BCD,F là trung điểm của CD
⇒G∈(ABF).

Ta cóE là trung điểm của AB
⇒E∈(ABF).

Gọi M là giao điểm của EG và AF mà AF ⊂ (ACD) suy ra M ∈
(ACD).

Vậy giao điểm củaEGvà (ACD) làM =EG∩AF.

M
G

B
E

D
F

Chọn đáp án B

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Gọi I
là giao điểm củaAM với mặt phẳng(SBD). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. IA# »=−2IM# ». B. IA# »=−3IM# ». C. IA# »= 2IM# ». D. IA= 2,5IM.

-Lời giải.

GọiO là tâm hình bình hànhABCD suy ra O là trung điểm của AC.
NốiAM cắtSO tại I màSO ⊂(SBD)suy ra I =AM∩(SBD). Tam
giácSAC cóM, Olần lượt là trung điểm củaSC, AC. MàI =AM∩SO
suy raI là trọng tâm tam giácSAC ⇒AI = 2

3AM ⇔IA= 2IM. Điểm
I nằm giữa Avà M suy raIA# »= 2M I# »=−2IM# ».

B C

O
A

Chọn đáp án A

Câu 23. Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
(ABCD). Trên đoạnSC lấy một điểmM không trùng vớiS vàC. Giao điểm của đường thẳngSDvới mặt
phẳng(ABM) là

A. Giao điểm của SDvà AB.

B. Giao điểm của SDvà AM.

C. Giao điểm của SDvà BK (với K =SO∩AM).

D. Giao điểm của SDvà M K (với K=SO∩AM).

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Chọn mặt phẳng phụ(SBD) chứaSD.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBD) và (ABM). Ta cóB là
điểm chung thứ nhất của(SBD)và (ABM).

Trong mặt phẳng(ABCD), gọi O =AC∩BD. Trong mặt phẳng
(SAC), gọiK =AM∩SO. Ta có:

– K∈SO màSO ⊂(SBD) suy raK ∈(SBD).

– K∈AM màAM ⊂(ABM) suy raK ∈(AM B).

Suy ra K là điểm chung thứ hai của BCD và (M N P). Do đó

(SBD)∩(ABM) =BK.

Trong mặt phẳng(SBD), gọiN =SD∩BK. Ta có:N ∈BK, mà
BK∩(ABM) suy raN ∩(ABM). Mặt khác N ∈SD.

VậyN =SD∩(ABM).

M
N

C
O

Chọn đáp án C

Câu 24. Cho bốn điểm A, B, C, S không cùng ở trong một mặt phẳng. GọiI, H lần lượt là trung điểm của
SA, AB. Trên SC lấy điểmK sao cho IK không song song vớiAC (K không trùng với các đầu mút). Gọi
E là giao điểm của đường thẳngBC với mặt phẳngIHK. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. E nằm ngồi đoạnBC về phíaB. B. E nằm ngồi đoạnBC về phía C.

C. E nằm trong đoạnBC. D. E nằm trong đoạnBC vàE6=B, E6=C .

-Lời giải.

Chọn mặt phẳng phụ(ABC) chứaBC.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và
(IHK). Ta có H là điểm chung thứ nhất của
(ABC) và (IHK). Trong mặt phẳng (SAC),
do IK không song song với AC nên gọi F =
IK∩AC. Ta có:

B
H

F C

K
I

F ∈AC màAC ⊂(ABC) suy ra F ∈(ABC).
F ∈IK mà IK ⊂(IHK) suy raF ∈(IHK).

Suy raF là điểm chung thứ hai của (ABC) và(IHK). Do đó (ABC)∩(IHK) =HF.
Trong mặt phẳng(ABC), gọi E=HF ∩BC. Ta có:

E∈HF màHF ⊂(IHK)suy ra E ∈(IHK).
E∈BC.

Vậy E=BC∩(IHK).

Chọn đáp án D

<b>3</b> <b>THIẾT DIỆN</b>

Câu 25. Cho tứ diện ABCD. GọiM, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC, E là điểm trên cạnh
CD vớiED= 3EC.Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diện ABCDlà

A. Tam giácM N E.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

C. Hình bình hànhM N EF với F là điểm trên cạnh BDmà EF kBC.

D. Hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD màEF kBC.

-Lời giải.

Tam giácABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Suy raM N là đường trung bình của tam giácABC ⇒M N kBC.
TừE kẻ đường thẳngdsong song vớiBC và cắtBD tạiF ⇒EF kBC.
Do đóM N kEF suy ra bốn điểmM, N, E, F đồng phẳng vàM N EF là hình
thang.

Vậy hình thangM N EF là thiết diện cần tìm.

C
E
F

B D

N
M

Chọn đáp án D

Câu 26. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳngCD
lấy điểmM nằm ngoài đoạnCD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng(HKM) là

A. Tứ giác HKM N vớiN ∈AD.

B. Hình thang HKM N vớiN ∈AD vàHK kM N.

C. Tam giác HKL vớiL=KM∩BD.

D. Tam giác HKL vớiL=HM∩AD.

-Lời giải.

Ta cóHK, KM là đoạn giao tuyến của(HKM) với (ABC) và (BCD).
Trong mặt phẳng (BCD), do KM không song song vớiBD nên gọiL=
KM∩BD.

Vậy thiết diện là tam giácHKL.

D
L
B

Chọn đáp án C

Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằnga(a >0). Các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm củaSA, SB, SC.Mặt phẳng (M N P)cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng

A. a2. B. a

2 . C.

4. D.

a2
16.

-Lời giải.

GọiQlà trung điểm của SD.

Tam giác SAD có M, Q lần lượt là trung điểm của SA, SD suy
raM QkAD.

Tam giácSBC cóN, P lần lượt là trung điểm củaSB, SC suy ra
N P kBC.

Mặt khácADkBC suy raM QkN P vàM Q=N P ⇒M N P Q
là hình vng.

Khi đó M, N, P, Q đồng phẳng ⇒ (M N P) cắt SD tại Q và
M N P Q là thiết diện của hình chópS.ABCD với(M N P).
Vậy diện tích hình vngM N P Q là

SM N P Q=

SABCD

4 =
a2

4 .

Q
M

B C

O
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Câu 28. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằnga. Gọi Glà trọng tâm tam giácABC. Mặt phẳng (GCD)
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là

A. a

2√<sub>3</sub>

2 . B.

a2√2

4 . C.

a2√2

6 . D.

a2√3
4 .

-Lời giải.

GọiM, N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN ∩M C =G.
Dễ thấy mặt phẳng(GCD) cắt đường thắng AB tại điểmM.

Suy ra tam giác M CD là thiết diện của mặt phẳng (GCD) và tứ diện
ABCD.

Tam giácABD đều, cóM là trung điểmAB suy ra M D= a
√

3
2 .
Tam giácABC đều, cóM là trung điểm AB suy ra M C = a

√
3
2 .

N H

D
M

GọiH là trung điểm củaCD
⇒M H ⊥CD ⇒S∆M CD=

2·M H ·CD
VớiM H =√M C2<sub>−</sub><sub>HC</sub>2 <sub>=</sub>

…

M C2<sub>−</sub>CD
2

4 =
a√2

2 .
VậyS∆M CD =

1
2·

a√2
2 ·a=

a2√2
4 .

Chọn đáp án B

Câu 29. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. GọiM, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AC,BC,P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng(M N P) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích
là

A. a

2√<sub>11</sub>

2 . B.

a2√2

4 . C.

a2√11

4 . D.

a2√3
4 .

-Lời giải.

Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC. Suy ra
N, P, D thẳng hàng. Vậy thiết diện là tam giácM N D.

Xét tam giác M N D, ta có M N = AB

2 = a; DM = DN =

AD√3
2 =
a√3.

Do đó tam giácM N D cân tạiD.

GọiH là trung điểm M N suy ra DH⊥M N.
Diện tích tam giác

S4M N D =

2M N·DH =
1
2M N·

DM2<sub>−</sub><sub>M H</sub>2 <sub>=</sub> a
2√<sub>11</sub>

4 .

C
N P
B

Chọn đáp án C

<b>4</b> <b>BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY</b>

Câu 30. Cho tứ diện ABCD. GọiM, N lần lượt là trung điểm củaAB và CD. Mặt phẳng (α) qua M N
cắtAD, BC lần lượt tại P vàQ. BiếtM P cắtN Q tạiI. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. I, A, C . B. I, B, D . C. I, A, B . D. I, C, D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Ta có (ABD) ∩ (BCD) = BD. Lại có

I ∈M P ⊂(ABD)
I ∈N Q⊂(BCD)

⇒I thuộc giao tuyến của(ABC) và(BCD)

⇒I ∈BD⇒I, B, D thẳng hàng.

P
D

Q N

B
M

Chọn đáp án B

Câu 31. Cho tứ diện SABC. GọiL, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM
không song song với AB, LN không song song với SC. Mặt phẳng (LM N) cắt các cạnh AB, BC, SC lần
lượt tạiK, I, J. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. K, I, J. B. M, I, J. C. N, I, J. D. M, K, J .

-Lời giải.
Ta có

M ∈SB suy M là điểm chung của(LM N) và(SBC).
I là điểm chung của(LM N) và(SBC).

J là điểm chung của(LM N) và(SBC).

Vậy M, I, J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của(LM N) và
(SBC).

N C

K
B

J
I

M
L

Chọn đáp án B

Câu 32. Cho tứ diện ABCD. GọiGlà trọng tâm tam giác BCD,M là trung điểm CD,I là điểm ở trên
đoạn thẳngAG, BI cắt mặt phẳng(ACD) tại J. Khẳng định nào sau đâysai?

A. AM = (ACD)∩(ABG). B. A, J, M thẳng hàng.

C. J là trung điểm của AM. D. DJ = (ACD)∩(BDJ).

-Lời giải.

Ta cóAlà điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và(GAB).
DoBG∩CD =M ⇒

M ∈BG⊂(ABG)⇒M ∈(ABG)
M ∈CD⊂(ACD)⇒M ∈(ACD)

⇒M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng(ABG)và (ACD)
⇒(ABG)∩(ACD) =AM.

Ta có







BI ⊂(ABG)
AM ⊂(ABM)

(ABG)≡(ABM)

⇒AM, BI đồng phẳng.
⇒J =BI∩AM ⇒A, J, M thẳng hàng.

C
G

M
I

Ta có

DJ ⊂(ACD)

DJ ⊂(BDJ) ⇒DJ = (ACD)∩(BDJ). Điểm I di động trênAG nên J có thể không phải là
trung điểm củaAM.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Câu 33. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BD sao cho EF
cắtBC tạiI, EGcắtAD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?

A. CD, EF, EG. B. CD, IG, HF. C. AB, IG, HF. D. AC, IG, BD.

-Lời giải.

Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳngd1, d2, d3đồng

quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng d1 vàd2

là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β); đồng thời d3

là giao tuyến(α) và(β).
GọiO=HF ∩IG. Ta có:

O∈HF màHF ⊂(ACD) suy ra O∈(ACD).
O∈IGmà IG⊂(BCD) suy ra O∈(BCD).
Do đó O∈(ACD)∩(BCD) (1).

Mà (ACD)∩(BCD) = CD (2). Từ (1) và (2), suy ra O ∈
CD.

Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy.

C I

O
D
B

Chọn đáp án B

Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD khơng phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm . Gọi
là giao điểm của đường thẳngSDvới mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Ba đường thẳngAB, CD, M N đôi một song song.

B. Ba đường thẳngAB, CD, M N đôi một cắt nhau.

C. Ba đường thẳngAB, CD, M N đồng quy.

D. Ba đường thẳngAB, CD, M N cùng thuộc một mặt phẳng.

-Lời giải.

Gọi I = AD ∩BC. Trong mặt phẳng (SBC), gọi
K = BM ∩SI. Trong mặt phẳng (SAD), gọi N =
AK∩SD.

Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SDvới mặt
phẳng(AM B). GọiO=AB∩CD. Ta có:

O∈ABmàAB⊂(AM B)suy raO∈(AM B).
O∈CD màCD ⊂(SCD) suy ra O∈(SCD).
Do đó O∈(AM B)∩(SCD) (1).

Mà(AM B)∩(SCD) =M N (2).
Từ(1)và (2), suy raO ∈M N.

Vậy ba đường thẳng AB, CD, M N đồng quy.

K
M

O
B

C
A

Chọn đáp án C

Câu 35. Khi cắt hình chóp tứ giácS.ABCDbởi một mặt phẳng, thiết diện khơngthể là hình nào?

A. Ngũ giác. B. Lục giác. C. Tam giác. D. Tứ giác.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Ta có hình chóp tứ giác S.ABCD gồm 5 mặt lần lượt là (SAB), (SBC),
(SCD),(SAD)và (ABCD) nên thiết diện là tứ giác có tối đa5 cạnh. Do đó
thiết diện khơng thể là hình lục giác.

C
D

A B

Chọn đáp án B

Câu 36. Cho hai đường thẳng avàb. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận avà bchéo nhau?

A. avàb khơng cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.

B. avàb khơng có điểm chung.

C. avàb là hai cạnh của một tứ diện.

D. avàb nằm trên hai mặt phẳng phân biệt.

-Lời giải.

avàb khơng cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào thìavà blà hai đường thẳng chéo nhau.

Chọn đáp án A

Câu 37. Tứ diện ABCD có bao nhiêu cạnh?

A. 4. B. 6. C. 8. D. 3.

-Lời giải.

Ta thấy tứ diệnABCD có 6 cạnh.

D
A

Chọn đáp án B

Câu 38. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.

C. Hai đường thẳng khơng song song thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng khơng cắt nhau và khơng song song thì chéo nhau.

-Lời giải.

Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song.

Hai đường thẳng khơng song song thì chéo nhau hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.
Hai đường thẳng khơng cắt nhau và khơng song song thì chéo nhau hoặc trùng nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung là câuđúng.

Chọn đáp án B

Câu 39. Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 cạnha. Các điểmE vàF lần lượt là trung điểm củaC0B0
vàC0D0. Tính diện tích thiết diện của khối lập phương cắt bởi mặt phẳng (AEF).

A. 7a

2√<sub>17</sub>

24 . B.

a2√17

4 . C.

a2√17

8 . D.

7a2√17
12 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

Thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng
(AEF) là ngũ giác AKEF H.

Ta chia ngũ giácAKEF H thành hai phần: hình thang
cânEF HK đáy EF và tam giác AHK cân tạiA.
Khi đóSAKEF H =SEF HK+S4AHK.

Vì4J D0H v4ADH (g−g)
⇒ D

0<sub>H</sub>
DH =

D0J
DA =

1
2.
Suy raD0H = 1

3DD
0 <sub>=</sub> 1

3a.

A B

D0 C0

D C

B0 I
K
J
M
H
E
F
A0

Tính diện tích4AHK.

Xét4ADH vng tạiD, ta có AH2=AD2+DH2=a2+4a

9 =
13a2

9 ⇒AH =
a√13

3 .
Ta cóHK=B0D0 =a√2.

Do đó nửa chu vi4AHK làp= AH+AK+HK

2 =

2√13 + 3√2
6 .
Khi đóS4AHK=

p(p−AH)(p−AK)(p−HK) = a

2√<sub>17</sub>

6 .

Tính diện tích hình thangEF HK.
KẻF M ⊥HK. Ta cóEF = 1

0<sub>D</sub>0 <sub>=</sub> a

√
2
2 .
DoEF HK là hình thang cân nên HM = 1

2(HK−EF) =
1
2

a√2−a
√
2
2
å
= a
√
2
4 .
Xét4HD0F vng tạiD0, ta có HF2 =HD02+D0F2 = a

2
9 +
a2
4 =
13a2
36 .
Xét4F M H vng tại M, ta có F M2=F H2−M H2 = 13a

36 −
a2

8 =
17a2

72 ⇒F M =
a√34

12 .

VậySEF HK =

F M ·(EF +HK)

2 =

a√2 +a

√

2
2

a√34
12

2 =

a2√17
8 .

Vậy diện tích của ngũ giác AKEF H làSAKEF H =S4AHK+SEF HK =

a2√17
8 +

a2√17
6 =

7a2√17
24 .

Chọn đáp án A

Câu 40.

Cho tứ diện đềuABCDcó cạnh bằng2. GọiGlà trọng tâm tam giácABC.
Cắt tứ diện bởi mặt phẳng(GCD). Tính diện tích của thiết diện.

A. √3. B. 2√3. C. √2. D. 2

√
2
3 .
D
B
G
A C

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng(GCD) là∆N CD.
CóAM =CN = AB

√
3
2 =

√
3.
⇒AG= 2

3AM =
2√3

3 .

Xét∆DGAvng tại Gcó:DG=√DA2<sub>−</sub><sub>AG</sub>2 <sub>=</sub> 2

√
6
3 .
NênS∆N CD =

2DG·CN =
√

B
G

A C

N M

Chọn đáp án C

Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
củaBC, CD, SA. Mặt phẳng(M N P) cắt hình chópS.ABCD theo thiết diện là

A. Tam giác. B. Lục giác. C. Ngũ giác. D. Tứ giác.

-Lời giải.

GọiI, J là giao của đường thẳngM N vàAB, AD.
GọiF là giao điểm của đường thẳngSB vàP I.
GọiE là giao điểm của đường thẳngSD vàP J.
Khi đó thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặt
phẳng(M N P)là ngũ giác M N EP F.

D
J

I
P

F
A

Chọn đáp án C

Câu 42. Hãy chọn mệnh đề đúngtrong các mệnh đề sau.

A. Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì mặt phẳng đó sẽ cắt đường thẳng
cịn lại.

B. Hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt nhau theo một giao tuyến song song
với một trong hai đường thẳng đó.

C. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì đường thẳng đó sẽ cắt đường
thẳng cịn lại.

D. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì cắt nhau theo một giao tuyến đi qua điểm chung đó.

-Lời giải.

Ta có tính chất sau: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì mặt phẳng đó sẽ cắt
đường thẳng cịn lại.

Chọn đáp án A

Câu 43. Cho hai đường thẳng phân biệt a;b và mặt phẳng(α). Hãy chọn mệnh đềđúngtrong các mệnh
đề sau

A. Nếuak(α) vàbk(α) thì akb. B. Nếu ak(α) và b⊥(α) thì a⊥b.

C. Nếu ak(α) vàb⊥athì b⊥(α). D. Nếuak(α) và b⊥a thìbk(α).

-Lời giải.
- Với

ak(α)

bk(α) thì achưa chắc song song vớib, vì khia,bcùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng có thể
cắt nhau⇒ đáp án sai.

- Với

ak(α)

b⊥a thì b chưa chắc vng góc với(α), vì khi b cùng nằm trong một mặt phẳng vớia thìbk(α)
⇒ đáp án sai.

- Với

ak(α)

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

- Với

ak(α)

b⊥(α) ⇒a⊥b⇒ đáp án đúng.

Chọn đáp án B

Câu 44. Cho hình chóp tam giác S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của
CA,CB.K là điểm trên cạnh SA sao choKA= 2KS. Thiết diện của mặt phẳng(IJ K) với hình chóp có
diện tích là

A. a

2√<sub>51</sub>

144 . B.

5a2√51

288 . C.

5a2√51

144 . D.

a2√51
288 .

-Lời giải.

B
J

C
S

A I

Thiết diện là hình thang cân IJ HK có
Đáy lớnIJ = a

2.
Đáy nhỏHK= a

Cạnh bênHJ2 <sub>=</sub><sub>BH</sub>2<sub>+</sub><sub>BJ</sub>2<sub>−</sub><sub>2BH</sub><sub>·</sub><sub>BJ</sub><sub>·</sub><sub>cos 60</sub>◦ <sub>=</sub> 13a2
36 .
Chiều caoh2 <sub>=</sub><sub>HJ</sub>2<sub>−</sub>

Å<sub>IJ</sub><sub>−</sub><sub>HK</sub>

ã2

= 13a

36 −

144 =
51a2

144 ⇒h=
a√51

12 .
Vậy diện tích thiết diện làS= (HK+IJ)h

2 =

5a2√51
144 .

Chọn đáp án C <sub></sub>

Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm
củaBC,CD,SA. Mặt phẳng(M N P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình

A. Tam giác. B. Lục giác. C. Ngũ giác. D. Tứ giác.

-Lời giải.

GọiI,J lần lượt là giao của đường thẳngM N vàAB,
AD.

GọiF =SB∩P I;E =SD∩P J.

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
(M N P)là ngũ giác M N EP F.

B C

D
M

N
S

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Câu 46. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hànhABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng(SAD)
và(SBC)là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A. AC. B. BD. C. AD. D. SC.

-Lời giải.

Do BC k AD nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và
(SBC) là một đường thẳng đi qua điểm S và song song với
AD.

D C

Chọn đáp án C

Câu 47. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và
BC. Giao tuyến của (SM N) và (SAC) là:

A. SK (K là trung điểm củaAB). B. SO (O là tâm của hình bình hànhABCD).

C. SF (F là trung điểm của CD). D. SD.

-Lời giải.

Ta cóS∈(SM N)∩(SAC). (1)
Trong mặt phẳng(ABCD), gọiO=AC∩BD. Suy raO là điểm chung
thứ hai của hai mặt phẳng(SM N) và(SAC). (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SM N) và
(SAC).

B C

O
N

D
A

Chọn đáp án B

Câu 48. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC; G là trọng tâm của
4BCD. Khi đó, giao điểm của đường thẳngM Gvà mp (ABC) là

A. ĐiểmA.

B. Giao điểm của đường thẳngM Gvà đường thẳng AN.

C. Điểm N.

D. Giao điểm của đường thẳngM Gvà đường thẳng BC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Trong mặt phẳng(AN D) :AN ∩M G=E.
E∈AN, AN ⊂(ABC)⇒E ∈(ABC).
E∈M G.

⇒E=M G∩(ABC).

Vậy giao điểm của đường thẳngM Gvà mặt phẳng (ABC)là
E,(E =AN ∩M G).

B D

G
C
N

Chọn đáp án B <sub></sub>

Câu 49. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, BAC’ = 30◦. Mặt

phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn thẳng SA tại M sao cho SM = 2M A. Diện tích thiết diện của
(P) và hình chópS.ABC bằng

A. 25

9 . B.

9 . C.

9 . D. 1.

-Lời giải.

QuaM dựng mặt phẳng song song với (ABC) cắtSB, SC tại N, P.
Khi đó M N

AB =
SM

SA =
2

3. Tương tự ta có
N P
BC =

2
3,

M P
AC =

2
3.
4ABC và 4M N P đồng dạng với tỉ số

k= 2

3 ⇒S∆U N P =

6S∆ABC =
4
9·

2 ·AB·AC·sinBAC =
16

9 .

B
A

C
P

Chọn đáp án C

Câu 50. Hình chóp tam giác có số cạnh là

A. 3. B. 6. C. 4. D. 5.

-Lời giải.

Xét hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh là SA,SB,SC,AB, BC và CA. Vậy
hình chóp có số cạnh là6.

A
B

C
S

Chọn đáp án B

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

A. 8. B. 12. C. 20. D. 6.

-Lời giải.

Hình chóp tứ giác có4 cạnh bên và 4cạnh đáy nên có 8 cạnh.

Chọn đáp án A

Câu 52. Hình chóp tam giác có số cạnh là

A. 3. B. 6. C. 4. D. 5.

-Lời giải.

Xét hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh là SA,SB,SC,AB, BC và CA. Vậy
hình chóp có số cạnh là6.

A
B

C
S

Chọn đáp án B

Câu 53. Hình chóp tứ giác có tất cả bao nhiêu cạnh?

A. 8. B. 12. C. 20. D. 6.

-Lời giải.

Hình chóp tứ giác có4 cạnh bên và 4cạnh đáy nên có 8 cạnh.

Chọn đáp án A

Câu 54. Cho tứ diệnS.ABC. Trên các cạnhSA, SB, AC lần lượt lấy các điểmD, E, F sao choDE vàAB
khơng song song. Tìm giao điểm M củaBC và (DEF).

A. M với M =DF ∩BC. B. M vớiM =DE∩BC.

C. M với M =N F ∩BC, N =DE∩AB. D. M vớiM =EF ∩BC.

-Lời giải.

Do DE không song song AB nên DE∩AB = N ⇒
N ∈(DEF).

GọiM =N F ∩BC ⇒

M ∈N F
M ∈BC (1).
Mặt khácN F ⊂(DEF) (2)

Từ (1) và (2) suy ra M = BC ∩ (DEF) với M =
N F ∩BC, N =DE∩AB.

A
F
S

B
N

Chọn đáp án C

Câu 55. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA= 1, SB= 2, SC = 3. Gọi Glà trọng tâm tam giácABC.
Mặt phẳng(P) đi qua trung điểm củaSGcắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tạiA0, B0, C0. Tính giá trị nhỏ
nhất của biểu thức T = 1

SA02 +

1
SB02 +

1
SC02.

A. 7

18. B. 1. C.

7 . D.

49
36.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

GọiM là trung điểm của BC và M0 =SM ∩(P),
Ta đi chứng minh SB

SB0 +
SC

SC0 = 2

SM
SM0.

DựngBE kCF kB0C0 ⇒M là trung điểm củaEF.
Khi đó SB

SB0 =
SE
SM0 và

SC
SC0 =

SF
SM0.

⇒ SB
SB0 +

SC
SC0 =

SE+SF
SM0 = 2

SM
SM0.

Một cách tương tự áp dụng vào tam giácSAM ta có SA
SA0 +

2SM
SM0 =

3SG
SI .
Khi đó 1

SA0 +
2
SB0 +

3
SC0 =

3SG

SI = 6 (với I là trung điểm SG).

B
S
C
M
B0
C0
E
F
M0

Ta có36≤ 1 + 22+ 32

1
SA02 +

1
SB02 +

1
SC02

⇒ 1
SA02 +

1
SB02 +

1
SC02 ≥

36
14 =

18
7 .

Chọn đáp án C <sub></sub>

Câu 56. Khối lăng trụ bát giác có tất cả bao nhiêu đỉnh?

A. 8. B. 16. C. 24. D. 12.

-Lời giải.

Khối lăng trụ bát giác có16 đỉnh.

Chọn đáp án B

Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,
AD vàGlà trọng tâm tam giác SBD. Mặt phẳng(M N G) cắtSC tại điểm H. Tính SH

SC.

A. 2

5. B.

4. C.

3. D.

2
3.

-Lời giải.

GọiO là tâm hình bình hành ABCD,I là giao điểm củaM N
vàAC.

Ta có IG cắt SC tại H khi đó

H ∈IG⊂(M N G)

H ∈SC ⇒ H =
SC∩(M N G).

Xét tam giác SOC có I,G, H thẳng hàng suy ra theo định lý
Menelaus ta được IO

IC ·
GS
GO ·

HC
HS = 1.
Mà IO

IC =
1

GC = 2 suy ra
HC
HS =

3
2. Vậy

SH
SC =
2
5.
A
M
G
B C
D
S
H
I
O
N

Chọn đáp án A

Câu 58. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = a, SC = 3a,ASB’ = CSB’ = 60◦,CSA’ = 90◦. Gọi G là

trọng tâm tam giácABC. Tính độ dài đoạn thẳngSG.

A. a
√

3 . B.

a√15

3 . C.

a√7

3 . D. a
√

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Tam giác SAB đều nên AB = a, tam giác SAC vuông tại S nên
AC=a√10.

Áp dụng định lý hàm sốcosvào tam giácSBC tính đượcBC =a√7.
GọiM là trung điểm AC, ta có SM = AC

2 =
a√10

2 .

Xét4ABC :BM = a

√
6

2 ⇒ BG=
2
3BM =

a√6
3 .

Xét4SBM :SB2+BM2 =SM2 nên tam giác SBM vuông tạiB.
Xét4SBG:

SG2 =SB2+BG2 =a2+2a

3 =
5a2

3 ⇒SG=
a√15

3 .
A
S
C
B

M
G

Chọn đáp án B

Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. I
là giao điểm củaAN với(SBD),J giao điểm củaM N với(SBD). Tính tỉ số IB

IJ.

A. 4. B. 3. C. 7

2. D.

11
3 .

-Lời giải.

Gọi O = AC ∩BD, SO∩AN = I. Suy ra I =
AN∩(SBD). Trong mặt phẳng(ABN), gọiBI∩
M N =J hay M N∩(SBD) =J.

Xét tam giác SAC có AN, SO là các trung tuyến
nênI là trọng tâm của tam giácSAChay AI

AN =
2
3
. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IAB

với M, J, N thẳng hàng: N I

N A ·
M A
M B ·

J B

J I = 1 ⇔
1

3·
1
1 ·

J B

J I = 1 hay
J B

J I = 3 suy ra
IB
IJ = 4.

A
M
I
B
O
J

C
D
N
S

Chọn đáp án A

Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SD, N là trọng tâm
giácSAB. Đường thẳng M N cắt mặt phẳng(SBC) tại điểm I. Tính tỉ số IN

IM.

A. 3

4. B.

3. C.

2. D.

2
3.

-Lời giải.

GọiE là trung điểm củaAB và F là giao điểm của DE với

BC. Khi đó(SDE)∩(SBC) =SF.

Trong tam giác F CD có EB là đường trung bình nên E là
trung điểmDF. Khi đó trong tam giác SDF có F M, SE là
trung tuyến và SN

SE =
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Mặt khác, theo trên thì I là giao điểm củaM N với (SBC) nên I sẽ trùng vớiF, hay IN
IM =

2
3.

Chọn đáp án D

Câu 61. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình chữ nhật tâmO, điểm M nằm trên cạnhSB sao
cho SM = 1

3SB. Giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (M AC) nằm trên đường thẳng nào sau
đây?

A. Đường thẳngM C. B. Đường thẳngM O. C. Đường thẳngM A. D. Đường thẳng AC.

-Lời giải.

Trong (SBD) gọiI =SD∩OM.
Khi đó,I =SD∩(AM C).

A B

C
D

O
S

Chọn đáp án B

Câu 62. Cho tứ diện ABCD. GọiG là trọng tâm tam giácBCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên
đoạn thẳngAG. Đường thẳng BI cắt mặt phẳng(ACD) tạiJ. Khẳng định nào sau đâysai?

A. AM = (ACD)∩(ABG). B. A, J, M thẳng hàng.

C. DJ = (ACD)∩(BDJ). D. J là trung điểm củaAM.

-Lời giải.

Trong mặt phẳng(AM B) nốiBI cắtAM tạiJ ⇒J =BI∩(ACD).
J là trung điểm của AM là khẳng định sai.

Thật vậy giả sử J là trung điểm AM. Gọi N là trung điểm BM , K là
trung điểmJ M,KN cắtAG tại H

Khi đóAJ = 2

3AK ⇒IH =
1
2AI.
GN

GB =
1

4 ⇒GH =
1
4GI.
Cộng vế ta được 3

4GI =
1
2AI ⇒

AI
AG =

3
5.
DoI bất kì trênAG nên khẳng định trên sai.

M G N

B
I

J
K

Chọn đáp án D

Câu 63. Cho tứ diện ABCDvàM, N, P lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, AD mà không trùng với các
đỉnh của tứ diện. Thiết diện của tứ diệnABCD khi cắt bởi mặt phẳngM N P là:

A. Một tam giác. B. Một ngũ giác. C. Một đoạn thẳng. D. Một tứ giác.

-Lời giải.

Thiết diện của tứ diện ABCDkhi cắt bởi mặt phẳng (M N P) là tam giác 4M N P

Chọn đáp án A

Câu 64. Cho hình lăng trụABC.A0B0C0. Cắt hình lăng trụ bởi một mặt phẳng ta được một thiết diện. Số
cạnh lớn nhất của thiết diện thu được là bao nhiêu?

A. 5. B. 4. C. 3. D. 6.

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Lăng trụ đã cho có tất cả 5mặt nên số cạnh của thiết diện
khơng quá5.

GọiM,N,R lần lượt là các điểm trên cạnhBC,AB,B0C0
sao cho3M B=M C,N A=N B,3P C0=P B0. Khi đó thiết
diện của lăng trụ ABC.A0B0C0 cắt bởi mặt phẳng (M N P)
là hình ngũ giác M N P QR.

Y
R
Q

A0
X

C0
P

Chọn đáp án A

Câu 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
củaSB, SD, OC. Gọi giao điểm của (M N P)với SAlà K. Tỉ số KS

KA là

A. 2

5. B.

3. C.

4. D.

1
2.

-Lời giải.

Trong (SBD) có M N∩SO=H.
Trong (SAC) có P H∩SA=K.
⇒(M N P)∩SA tạiK.

Ta có M N là đường trung bình của tam giác SBD nên H là
trung điểm SO ⇒ P H là đường trung bình của tam giác SOC
⇒P KkSC⇒ KS

KA =
P C
P A =

1
3.

D
C
N

H
M

O P

Chọn đáp án B

Câu 66. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0, gọi M là trung điểmCD, (P) là mặt phẳng đi qua M và song
song vớiB0Dvà CD0. Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P)là hình gì?

A. Ngũ giác. B. Tứ giác. C. Tam giác. D. Lục giác.

-Lời giải.

Trong (CDD0C0), kẻ đường thẳng qua M song
songCD0 cắtDD0, C0D0 tại E, F.

Trong (CDA0B0), kẻ đường thẳng qua M song
songB0DcắtB0C, A0B0 tại H, K.

Trong (A0B0C0D0),KF cắtB0C0, A0D0 tạiI, J.
Trong (BCC0B0),IH cắtBC tạiG.

Thiết diện là ngũ giácM EJ IG

B
B0

G
C0

M
D

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Câu 67. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, I là trung điểm củaSA. Thiết diện
của hình chóp S.ABCDcắt bởi mặt phẳng (IBC) là

A. Tam giácIBC. B. Hình thang IJ BC (J là trung điểm của SD).

C. Hình thang IGBC (G là trung điểm củaSB). D. Tứ giácIBCD.

-Lời giải.

B C

D
J

A
I

Ta cóIJ kADkBC suy ra bốn điểmB, C, J, I cùng nằm trên mặt phẳng IBC. Thiết diện là hình thang
IJ BC.

Chọn đáp án B

Câu 68. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiM, N vàP lần lượt là trung điểm
của các cạnhSA,BC,CD. Hỏi thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (M N P)là hình gì?

A. Hình ngũ giác. B. Hình tam giác. C. Hình tứ giác. D. Hình bình hành.

-Lời giải.

Trong(ABCD), gọiK, I lần lượt là giao điểm của
N P vớiAB và AD.

Trong(ABS), gọiRlà giao điểm củaM K vớiSB.
Trong(SAD), gọiQlà giao điểm củaM I vớiSD.
Thiết diện tạo bởi (M N P) cắt hình chóp là ngũ
giácM QP N R.

A
R

C
N

P
M

Chọn đáp án A

Câu 69. Hình chóp tứ giác có số cạnh là

A. 6. B. 8. C. 4. D. 12.

-Lời giải.

Số cạnh của hình chóp có đáy là đa giácnđỉnh là 2ncạnh.
Nên hình chóp tứ giác có8 cạnh.

Chọn đáp án B

Câu 70. Khi cắt hình chóp tứ giácS.ABCDbởi một mặt phẳng, thiết diện khơngthể là hình nào?

A. Ngũ giác. B. Lục giác. C. Tam giác. D. Tứ giác.

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

C
D

A B

Chọn đáp án B

Câu 71. Cho hai đường thẳng avàb. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận avà bchéo nhau?

A. avàb khơng cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.

B. avàb khơng có điểm chung.

C. avàb là hai cạnh của một tứ diện.

D. avàb nằm trên hai mặt phẳng phân biệt.

-Lời giải.

avàb khơng cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào thìavà blà hai đường thẳng chéo nhau.

Chọn đáp án A

Câu 72. Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là một hình chữ nhật. Mệnh đề nào sau
đây là mệnh đề đúng ?

A. Tứ diện là một tứ diện đều.

B. Tứ diện có bốn đường cao đồng quy.

C. Ba cạnh của tứ diện cùng chung một đỉnh nào đó vng góc từng đơi một.

D. Một cặp cạnh đối diện nào đó của tứ diện phải vng góc.

-Lời giải.

Khơng làm mất tính tổng qt, giả sử (P) ∩(BCD) = M N; (P) ∩
(ABD) =N P; (P)∩(ACD) =P Qvà (P)∩(ABC) =M Q. Thiết diện
của tứ diệnABCDcắt bởi mặt phẳng(P)là hình chữ nhậtM N P Q, suy
raM N kP Q.

Vì (P)∩(BCD) = M N; (P)∩(ACD) = P Q; (ACD)∩(BCD) = CD
màM N kP Qnên suy ra CDkM N kP Q. (1)
Chứng minh tương tự, ta suy raABkM QkP N. (2)
Mặt khác, do M N P Q là hình chữ nhật nên M Q ⊥ M N nên từ (1) và
(2)⇒M Q⊥CD⇒CD⊥AB.

Vậy hai cạnh đối diện của tứ diện làCD vàABphải vng góc với nhau. A

C
M
D

N
P

Chọn đáp án D

Câu 73. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng
phân biệt từ các điểm đã cho?

A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.

-Lời giải.

Vì 4 điểm khơng đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có 4 mặt

Chọn đáp án B

Câu 74. Cho hai đường thẳng avàb. Điều kiện nào sau đây đủ để kết luận avà bchéo nhau?

A. avà bkhơng nằm trên bất kì mặt phẳng nào. B. a vàbkhơng có điểm chung..

C. avà blà hai cạnh của một tứ diện.. D. a vàbnằm trên hai mặt phẳng phân biệt.

-Lời giải.

B sai vìavà bcó thể song song.

C saivì avàbcó thể cắt nhau.

D sai vìavà bcó thể song song.

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Câu 75. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớnAD. Gọi M, lần lượt là hai trung

điểm của AB, CD. Gọi (P) là mặt phẳng đi quaM N và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết
diện của(P) và hình chóp là

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình thang. D. Hình vng.

-Lời giải.

Giả sử mặt phẳng(P)cắt (SBC) theo giao tuyếnP Q.

Khi đó doM N kBC nên theo định lý ba giao tuyến song song hoặc đồng
quy áp dụng cho ba mặt phẳng(P);(SBC);(ABCD)thì ta được ba giao
tuyếnM N;BC;P Qđơi một song song.

Do đó thiết diện là một hình thang.

B
M

C
N
P

Chọn đáp án C

Câu 76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của (SAB) và (SCD)
là:

A. Đường SO vớiO là tâm hình bình hành. B. Đường thẳng qua S và cắt AB.

C. Đường thẳng quaS và song song vớiAD. D. Đường thẳng quaS và song song với CD.

-Lời giải.

Xét hai mặt phẳng(SAB) và(SCD), ta có:












S ∈(SAB)∩(SCD)
AB⊂(SAB)

CD ⊂(SCD)
ABkCD

⇒(SAB)∩(SCD) =SxkABkCD.

A B

C
D

Chọn đáp án D

Câu 77. Trong khơng gian cho ba hình dưới, hình nào là hình biểu diễn của một hình tứ diện?

(H1) (H2) (H3)

A. Khơng có hình nào. B. Chỉ có hình (H1).

C. Chỉ có hình (H1),(H2). D. Cả ba hình(H1),(H2),(H3).

-Lời giải.

Chọn đáp án D <sub></sub>

Câu 78. Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác là

A. Tập rỗng.

B. Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác đó.

C. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa tam giác tại tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác đó.

D. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa tam giác tại trực tâm của tam giác đó.

-Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

Câu 79. Cho hình chóp S.ABCD, với ABCD là hình

bình hành. Cắt hình chóp bằng mặt phẳng(M N P), trong
đóM,N,P lần lượt là trung điểm các cạnhAB,AD,SC.
Thiết diện nhận được sẽ là:

A. Lục giác. B. Tam giác.

C. Tứ giác. D. Ngũ giác.

-Lời giải.

Trong mặt phẳng đáy(ABCD)gọiM N∩CD =D1,M N∩

BC=B1.

Khi đó trong mặt phẳng (SBC) thì B1P ∩SB = E và

trong mặt phẳng(SCD) thì D1P ∩SD=K.

Vậy thiết diện là ngũ giác M EP KN.

Chọn đáp án D

E <sub>A</sub>

C
N

B
B1

D
D1

P K

Câu 80. Tìm khẳng định saitrong các khẳng định sau:

A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

B. Nếu ba điểm phân biệtM,N,P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.

C. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng cịn có vơ số điểm chung khác nữa.

D. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

-Lời giải.

Chọn đáp án A

Câu 81. Trong mặt phẳng(α), cho bốn điểmA,B,C,Dtrong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm
S khơng thuộc mặt phẳng (α). Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và hai trong bốn điểm nói trên?

A. 6. B. 8. C. 4. D. 5.

-Lời giải.

B C

D
A

Có6 mặt phẳng là:(SAB),(SBC),(SCD),(SAD),(SAC),(SBD).

Chọn đáp án A

Câu 82. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Qua2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.

B. Qua3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

C. Qua 3 điểm khơng thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.

D. Qua4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

-Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

Chọn đáp án C
Câu 83. Trong không gian, cho 4 điểm khơng đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng
phân biệt từ các điểm đã cho?

A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.

-Lời giải.

Chọn đáp án B <sub></sub>

Câu 84. Trong mặt phẳng (α), cho 4 điểmA, B, C, D trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Điểm S
khơng thuộc mặt phẳng (α). Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởiS và 2 trong 4 điểm nói trên?

A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.

-Lời giải.

Chọn đáp án C

Câu 85. Cho5điểmA, B, C, D, Etrong đó khơng có4điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng
tạo bởi 3trong 5 điểm đã cho?

A. 10. B. 12. C. 8. D. 14.

-Lời giải.

Chọn đáp án A

Câu 86. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A. Ba điểm phân biệt. B. Một điểm và một đường thẳng.

C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm phân biệt.

-Lời giải.

Mệnh đề “Ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp3điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vơ số mặt
phẳng chứa3 điểm thẳng hàng đã cho.

Chọn đáp án C

Câu 87. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tứ giác
ABCD?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

-Lời giải.

4 điểmA, B, C, D tạo thành1 tứ giác, khi đó 4 điểmA, B, C, D đã đồng phẳng và tạo thành1 mặt phẳng
duy nhất là mặt phẳng(ABCD).

Chọn đáp án A

Câu 88. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu 3 điểmA, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng(P) và (Q) thìA, B, C thẳng hàng.

B. Nếu A, B, C thẳng hàng và (P),(Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của (P) và
(Q).

C. Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt thìA, B, C không thẳng
hàng.

D. Nếu A, B, C thẳng hàng và A, B là2 điểm chung của (P) và (Q) thì C cũng là điểm chung của (P)

và(Q).

-Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng”
sai. Vì:

Nếu(P) và(Q) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vơ số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết
luậnA, B, C thẳng hàng.

Mệnh đề “NếuA, B, C thẳng hàng và(P),(Q)có điểm chung là A thìB, C cũng là 2 điểm chung của
(P) và(Q)” sai. Vì:

Có vơ số đường thẳng đi quaA, khi đó B, C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của (P) và(Q).

Mệnh đề “Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt thì A, B, C
khơng thẳng hàng” sai. Vì:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm A, B, C là 3
điểm chung của2 mặt phẳng thìA, B, C cùng thuộc giao tuyến.

Chọn đáp án D

Câu 89. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vơ số điểm chung khác nữa.

B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

D. Hai mặt phẳng cùng đi qua3 điểmA, B, C khơng thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.

-Lời giải.

Nếu2mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2mặt phẳng có vơ số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.

Chọn đáp án B

Câu 90. Cho 3 đường thẳng d1, d2, d3 không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định

nào sau đây đúng?

A. 3đường thẳng trên đồng quy.

B. 3đường thẳng trên trùng nhau.

C. 3đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.

D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai.

-Lời giải.

Nếu3đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1mặt phẳng.

Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3
điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1
mặt phẳng xác định,3đường thẳng sẽ cùng thuộc 1mặt phẳng.

Chọn đáp án A

Câu 91. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD(ABkCD). Khẳng định nào sau đây

sai?

A. Hình chóp S.ABCDcó 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng(SAC) và(SBD)là SO (O là giao điểm củaAC vàBD).

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng(SAD) và(SBC)là SI (I là giao điểm củaAD và BC).

D. Giao tuyến của hai mặt phẳng(SAB) và(SAD) là đường trung bình củaABCD .

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

Hình chópS.ABCDcó 4 mặt bên:(SAB),(SBC),(SCD),(SAD).
là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

O ∈AC ⊂(SAC)⇒O ∈(SAC)

O ∈BD⊂(SBD)⇒O ∈(SBD) ⇒ O là điểm chung thứ hai
của hai mặt phẳng(SAC) và(SBD).

⇒(SAC)∩(SBD) =SO.

Tương tự, ta có(SAD)∩(SBC) =SI.

(SAB)∩(SAD) =SA màSAkhơng phải là đường trung bình của
hình thangABCD.

Vậy “Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung
bình củaABCD” là mệnh đề sai.

I
A

D C

Chọn đáp án D <sub></sub>

Câu 92. Cho tứ diện ABCD. GọiG là trọng tâm của tam giácBCD. Giao tuyến của mặt phẳng(ACD)
và(GAB) là

A. AM (M là trung điểm của AB). B. AN (N là trung điểm của CD).

C. AH (H là hình chiếu củaB trên CD). D. AK (K là hình chiếu của C trên BD).

-Lời giải.

Alà điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng(ACD) và(GAB).
Ta cóBG∩CD=N

⇒

N ∈BG⊂(ABG)⇒N ∈(ABG)
N ∈CD⊂(ACD)⇒N ∈(ACD).

⇒N là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng(ACD)và (GAB).
Vậy(ABG)∩(ACD) =AN.

C
G

B D

Chọn đáp án B

Câu 93. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giácBCD.LấyE, F là các điểm lần lượt
nằm trên các cạnh AB, AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I thì I khơng phải là điểm chung của hai mặt
phẳng nào sau đây?

A. (BCD) và(DEF). B. (BCD) và(ABC). C. (BCD)và (AEF). D. (BCD) và(ABD).

-Lời giải.

ĐiểmI là giao điểm của EF vàBC,
mà









EF ⊂(DEF)
EF ⊂(ABC)
EF ⊂(AEF)

⇒







I = (BCD)∩(DEF)
I = (BCD)∩(ABC)
I = (BCD)∩(AEF)
.

I
C
B

F D

Chọn đáp án D

Câu 94. Cho tứ diệnABCD. GọiM, N lần lượt là trung điểm củaAC, CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(M BD) và(ABN) là

A. đường thẳngM N.

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

C. đường thẳng BG (Glà trọng tâm tam giác ACD).

D. đường thẳngAH (H là trực tâm tam giácACD).

-Lời giải.

B là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng(M BD) và(ABN).
VìM, N lần lượt là trung điểm của AC, CD nên suy ra AN, DM
là hai trung tuyến của tam giácACD.

GọiG=AN ∩DM ⇒

G∈AN ⊂(ABN)⇒G∈(ABN)
G∈DM ⊂(M BD)⇒G∈(M BD)
⇒Glà điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng(M BD)và(ABN).
Vậy(ABN)∩(M BD) =BG.

B D

M
G

Chọn đáp án C

Câu 95. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểmAD
vàBC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SM N) và(SAC) là

A. SD. B. SO (O là tâm hình bình hànhABCD).

C. SG(Glà trung điểm AB). D. SF (F là trung điểm CD).

-Lời giải.

S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SM N) và
(SAC).

GọiO=AC∩BDlà tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng(ABCD), gọi T =AC∩M N
⇒

O ∈AC ⊂(SAC)⇒O ∈(SAC)

O ∈M N ⊂(SM N)⇒O ∈(SM N)

⇒Olà điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng(SM N)và(SAC).
Vậy(SM N)∩(SAC) =SO.

B N C

A D

Chọn đáp án B

Câu 96. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiI, J lần lượt là trung điểmSA, SB.
Khẳng định nào sau đây sai?

A. IJ CD là hình thang. B. (SAB)∩(IBC) =IB .

C. (SBD)∩(J CD) =J. D. (IAC)∩(J BD) =AO (O là tâm ABCD).

-Lời giải.

Ta cóIJ là đường trung bình của tam giác SAB
⇒IJkABkCD⇒IJ kCD ⇒IJ CDlà hình thang.
Ta có

IB⊂(SAB)

IB⊂(IBC) ⇒(SAB)∩(IBC) =IB.
Ta có

J D⊂(SBD)

J D⊂(J BD) ⇒(SBD)∩(J BD) =J D.

Trong mặt phẳng (IJ CD), gọiM =IC∩J D ⇒ (IAC)∩
(J BD) =M O.

M
I

B C

O
A

Chọn đáp án D

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

Giao tuyến của hai mặt phẳng(M SB)và (SAC) là

A. SI (I là giao điểm của AC vàBM). B. SJ (J là giao điểm của AM vàBD).

C. SO (O là giao điểm của AC vàBD). D. SP (P là giao điểm của AB vàCD).

-Lời giải.

S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng(M SB) và (SAC).

Ta có

I ∈BM ⊂(SBM)⇒I ∈(SBM)
I ∈(AC)∈(SAC)⇒I ∈(SAC)

⇒I là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng(SAC) và(SAC).
Vậy(M SB)∩(SAC) =SI.

B C

A D

Chọn đáp án A

Câu 98. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và B. Giao
tuyến của(IBC) và(KAD) là

A. IK. B. BC. C. AK. D. DK.

-Lời giải.

ĐiểmK là trung điểm củaBC suy ra K∈(IBC)⇒IK ⊂(IBC).
ĐiểmI là trung điểm của AD suy raI ∈(KAD)⇒IK ⊂(KAD).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng(IBC) và (KAD) làIK.

A
I

C
K

B D

Chọn đáp án A

Câu 99. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang với . Gọi là giao điểm củaAC vàBD. Trên
cạnhSB lấy điểmM. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(ADM) và(SAC).

A. SI. B. AE,E là giao điểm của DM vàSI).

C. DM. D. DE,E là giao điểm của DM vàSI).

-Lời giải.

Ta cóAlà điểm chung thứ nhất của (ADM) và (SAC).
Trong mặt phẳng(SBD), gọi E=SI∩DM. Ta có:

E∈SI màSI ⊂(SAC)suy ra E ∈(SAC).
E∈DM màDM ⊂(ADM) suy raE ∈(ADM).
Do đó E là điểm chung thứ hai của (ADM) và(SAC).
VậyAE là giao tuyến của(ADM) và(SAC).

S
M

C
D

A B

Chọn đáp án B

Câu 100. Cho tứ diệnABCDvà điểmM thuộc miền trong của tam giác ACD. GọiI vàJ lần lượt là hai
điểm trên cạnhBC vàBD sao choIJ không song song vớiCD. Gọi H, K lần lượt là giao điểm củaIJ với
CD củaM H vàAC. Giao tuyến của hai mặt phẳng(ACD) và(IJ M) là

A. KI. B. KJ. C. M I. D. M H.

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

Trong mặt phẳng(BCD), IJ cắtCD tại H⇒H ∈(ACD).
ĐiểmH ∈IJ suy ra bốn điểm M, I, J, H đồng phẳng.
Nên trong mặt phẳng(IJ M),

M H cắtIJ tạiH vàM H ⊂(IJ M).
Mặt khác

M ∈(ACD)

H∈(ACD) ⇒M H ⊂(ACD).
Vậy(ACD)∩(IJ M) =M H.

D
H

J
C

M
K

Chọn đáp án A

Câu 101. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. GọiM, N lần lượt là trung điểm của AC vàBC.
Trên đoạn BDlấy điểm P sao cho BP = 2P D. Giao điểm của đường thẳngCD và mặt phẳng(M N P)là
giao điểm của

A. CD vàN P. B. CD vàM N. C. CD và M P. D. CD và AP.

-Lời giải.

Cách 1. Xét mặt phẳng BCD chứa CD. Do N P không song
song CD nên N P cắt CD tại E. Điểm E ∈ N P ⇒ E ∈
(M N P). Vậy CD∩(M N P) tại E.

Cách 2. Ta có

N ∈BC

P ∈BD ⇒ N P ⊂ (BCD) suy ra N P, CD
đồng phẳng. Gọi E là giao điểm của N P và CD mà N P ⊂
(M N P) suy ra CD∩(M N P) =E.

Vậy giao điểm củaCD và (M N P) là giao điểm E củaN P vàCD.

C
N

P
B

Chọn đáp án A

Câu 102. Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam
giácBCD. Giao điểm của đường thẳngEGvà mặt phẳng (ACD) là

A. Điểm F. B. Giao điểm của đường thẳng EGvà AF.

C. Giao điểm của đường thẳng EGvàAC. D. Giao điểm của đường thẳngEGvà CD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

VìGlà trọng tâm tam giác BCD,F là trung điểm của CD
⇒G∈(ABF).

Ta cóE là trung điểm của AB
⇒E∈(ABF).

Gọi M là giao điểm của EG và AF mà AF ⊂ (ACD) suy ra M ∈
(ACD).

Vậy giao điểm củaEGvà (ACD) làM =EG∩AF.

M
G

B
E

D
F

Chọn đáp án B

Câu 103. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm củaSC. Gọi
I là giao điểm củaAM với mặt phẳng(SBD). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. IA# »=−2IM# ». B. IA# »=−3IM# ». C. IA# »= 2IM# ». D. IA= 2,5IM.

-Lời giải.

3AM ⇔IA= 2IM. Điểm
I nằm giữa Avà M suy raIA# »= 2M I# »=−2IM# ».

B C

O
A

Chọn đáp án A

Câu 104. Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
(ABCD). Trên đoạnSC lấy một điểmM không trùng vớiS vàC. Giao điểm của đường thẳngSDvới mặt
phẳng(ABM) là

A. Giao điểm của SDvà AB.

B. Giao điểm của SDvà AM.

C. Giao điểm của SDvà BK (với K =SO∩AM).

D. Giao điểm của SDvà M K (với K=SO∩AM).

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

Chọn mặt phẳng phụ(SBD) chứaSD.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SBD) và (ABM). Ta cóB là
điểm chung thứ nhất của(SBD)và (ABM).

Trong mặt phẳng(ABCD), gọi O =AC∩BD. Trong mặt phẳng
(SAC), gọiK =AM∩SO. Ta có:

– K∈SO màSO ⊂(SBD) suy raK ∈(SBD).

– K∈AM màAM ⊂(ABM) suy raK ∈(AM B).

Suy ra K là điểm chung thứ hai của BCD và (M N P). Do đó
(SBD)∩(ABM) =BK.

Trong mặt phẳng(SBD), gọiN =SD∩BK. Ta có:N ∈BK, mà
BK∩(ABM) suy raN ∩(ABM). Mặt khác N ∈SD.

VậyN =SD∩(ABM).

M
N

C
O

Chọn đáp án C

Câu 105. Cho bốn điểm A, B, C, S không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi I, H lần lượt là trung điểm
củaSA, AB. Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC (K không trùng với các đầu mút).
GọiE là giao điểm của đường thẳngBC với mặt phẳngIHK. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. E nằm ngoài đoạnBC về phíaB. B. E nằm ngồi đoạnBC về phía C.

C. E nằm trong đoạnBC. D. E nằm trong đoạnBC vàE6=B, E6=C .

-Lời giải.

Chọn mặt phẳng phụ(ABC) chứaBC.

B
H

F C

K
I

F ∈AC màAC ⊂(ABC) suy ra F ∈(ABC).
F ∈IK mà IK ⊂(IHK) suy raF ∈(IHK).

Suy raF là điểm chung thứ hai của (ABC) và(IHK). Do đó (ABC)∩(IHK) =HF.
Trong mặt phẳng(ABC), gọi E=HF ∩BC. Ta có:

E∈HF màHF ⊂(IHK)suy ra E ∈(IHK).
E∈BC.

Vậy E=BC∩(IHK).

Chọn đáp án D

Câu 106. Cho tứ diệnABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh ABvà AC, Elà điểm trên cạnh
CD vớiED= 3EC.Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diện ABCDlà

A. Tam giácM N E.

B. Tứ giác M N EF vớiF là điểm bất kì trên cạnh BD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

D. Hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD màEF kBC.

-Lời giải.

Vậy hình thangM N EF là thiết diện cần tìm.

C
E
F

B D

N
M

Chọn đáp án D

Câu 107. Cho tứ diệnABCD. GọiH, K lần lượt là trung điểm các cạnhAB, BC. Trên đường thẳngCD
lấy điểmM nằm ngoài đoạnCD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng(HKM) là

A. Tứ giác HKM N vớiN ∈AD.

B. Hình thang HKM N vớiN ∈AD vàHK kM N.

C. Tam giác HKL vớiL=KM∩BD.

D. Tam giác HKL vớiL=HM∩AD.

-Lời giải.

Ta cóHK, KM là đoạn giao tuyến của(HKM) với (ABC) và (BCD).
Trong mặt phẳng (BCD), do KM không song song vớiBD nên gọiL=
KM∩BD.

Vậy thiết diện là tam giácHKL.

D
L
B

Chọn đáp án C

Câu 108. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDcó cạnh đáy bằng a(a >0). Các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm củaSA, SB, SC.Mặt phẳng (M N P)cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng

A. a2. B. a

2 . C.

4. D.

a2
16.

-Lời giải.

GọiQlà trung điểm của SD.

Tam giác SAD có M, Q lần lượt là trung điểm của SA, SD suy
raM QkAD.

Tam giácSBC cóN, P lần lượt là trung điểm củaSB, SC suy ra
N P kBC.

Mặt khácADkBC suy raM QkN P vàM Q=N P ⇒M N P Q
là hình vng.

Khi đó M, N, P, Q đồng phẳng ⇒ (M N P) cắt SD tại Q và
M N P Q là thiết diện của hình chópS.ABCD với(M N P).
Vậy diện tích hình vngM N P Q là

SM N P Q=

SABCD

4 =
a2

4 .

Q
M

B C

O
A

Chọn đáp án C

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

A. a

2√<sub>3</sub>

2 . B.

a2√2

4 . C.

a2√2

6 . D.

a2√3
4 .

-Lời giải.

GọiM, N lần lượt là trung điểm của AB, BC suy ra AN ∩M C =G.
Dễ thấy mặt phẳng(GCD) cắt đường thắng AB tại điểmM.

Suy ra tam giác M CD là thiết diện của mặt phẳng (GCD) và tứ diện
ABCD.

Tam giácABD đều, cóM là trung điểmAB suy ra M D= a
√

3
2 .
Tam giácABC đều, cóM là trung điểm AB suy ra M C = a

√
3
2 .

N H

D
M

GọiH là trung điểm củaCD
⇒M H ⊥CD ⇒S∆M CD=

2·M H ·CD
VớiM H =√M C2<sub>−</sub><sub>HC</sub>2 <sub>=</sub>

…

M C2<sub>−</sub>CD
2

4 =
a√2

2 .
VậyS∆M CD =

1
2·

a√2
2 ·a=

a2√2
4 .

Chọn đáp án B

Câu 110. Cho tứ diện đềuABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. GọiM, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AC,BC,P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng(M N P) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích
là

A. a

2√<sub>11</sub>

2 . B.

a2√2

4 . C.

a2√11

4 . D.

a2√3
4 .

-Lời giải.

Trong tam giác BCD có: P là trọng tâm, N là trung điểm BC. Suy ra
N, P, D thẳng hàng. Vậy thiết diện là tam giácM N D.

Xét tam giác M N D, ta có M N = AB

2 = a; DM = DN =

AD√3
2 =
a√3.

Do đó tam giácM N D cân tạiD.

GọiH là trung điểm M N suy ra DH⊥M N.
Diện tích tam giác

S4M N D =

2M N·DH =
1
2M N·

DM2<sub>−</sub><sub>M H</sub>2 <sub>=</sub> a
2√<sub>11</sub>

4 .

C
N P
B

Chọn đáp án C

Câu 111. Cho tứ diệnABCD. GọiM, N lần lượt là trung điểm của ABvà CD. Mặt phẳng (α)qua M N
cắtAD, BC lần lượt tại P vàQ. BiếtM P cắtN Q tạiI. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. I, A, C . B. I, B, D . C. I, A, B . D. I, C, D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

Ta có (ABD) ∩ (BCD) = BD. Lại có

I ∈M P ⊂(ABD)
I ∈N Q⊂(BCD)

⇒I thuộc giao tuyến của(ABC) và(BCD)
⇒I ∈BD⇒I, B, D thẳng hàng.

P
D

Q N

B
M

Chọn đáp án B

Câu 112. Cho tứ diệnSABC. GọiL, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnhSA, SB vàAC sao choLM
không song song với AB, LN không song song với SC. Mặt phẳng (LM N) cắt các cạnh AB, BC, SC lần
lượt tạiK, I, J. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. K, I, J. B. M, I, J. C. N, I, J. D. M, K, J .

-Lời giải.
Ta có

M ∈SB suy M là điểm chung của(LM N) và(SBC).
I là điểm chung của(LM N) và(SBC).

J là điểm chung của(LM N) và(SBC).

Vậy M, I, J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của(LM N) và
(SBC).

N C

K
B

J
I

M
L

Chọn đáp án B

Câu 113. Cho tứ diệnABCD. GọiGlà trọng tâm tam giácBCD,M là trung điểmCD,I là điểm ở trên
đoạn thẳngAG, BI cắt mặt phẳng(ACD) tại J. Khẳng định nào sau đâysai?

A. AM = (ACD)∩(ABG). B. A, J, M thẳng hàng.

C. J là trung điểm của AM. D. DJ = (ACD)∩(BDJ).

-Lời giải.

Ta cóAlà điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và(GAB).
DoBG∩CD =M ⇒

M ∈BG⊂(ABG)⇒M ∈(ABG)
M ∈CD⊂(ACD)⇒M ∈(ACD)

⇒M là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng(ABG)và (ACD)
⇒(ABG)∩(ACD) =AM.

Ta có







BI ⊂(ABG)
AM ⊂(ABM)

(ABG)≡(ABM)

⇒AM, BI đồng phẳng.
⇒J =BI∩AM ⇒A, J, M thẳng hàng.

C
G

M
I

Ta có

DJ ⊂(ACD)

DJ ⊂(BDJ) ⇒DJ = (ACD)∩(BDJ). Điểm I di động trênAG nên J có thể khơng phải là
trung điểm củaAM.

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

Câu 114. Cho tứ diệnABCD. GọiE, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnhAB, AC, BD sao choEF
cắtBC tạiI, EGcắtAD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?

A. CD, EF, EG. B. CD, IG, HF. C. AB, IG, HF. D. AC, IG, BD.

-Lời giải.

Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳngd1, d2, d3đồng

quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng d1 vàd2

là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β); đồng thời d3

là giao tuyến(α) và(β).
GọiO=HF ∩IG. Ta có:

O∈HF màHF ⊂(ACD) suy ra O∈(ACD).
O∈IGmà IG⊂(BCD) suy ra O∈(BCD).
Do đó O∈(ACD)∩(BCD) (1).

Mà (ACD)∩(BCD) = CD (2). Từ (1) và (2), suy ra O ∈
CD.

Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy.

C I

O
D

Chọn đáp án B

Câu 115. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDkhơng phải là hình thang. Trên cạnhSC lấy điểm . Gọi
là giao điểm của đường thẳngSDvới mặt phẳng . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Ba đường thẳngAB, CD, M N đôi một song song.

B. Ba đường thẳngAB, CD, M N đôi một cắt nhau.

C. Ba đường thẳngAB, CD, M N đồng quy.

D. Ba đường thẳngAB, CD, M N cùng thuộc một mặt phẳng.

-Lời giải.

Gọi I = AD ∩BC. Trong mặt phẳng (SBC), gọi
K = BM ∩SI. Trong mặt phẳng (SAD), gọi N =
AK∩SD.

Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SDvới mặt
phẳng(AM B). GọiO=AB∩CD. Ta có:

O∈ABmàAB⊂(AM B)suy raO∈(AM B).
O∈CD màCD ⊂(SCD) suy ra O∈(SCD).

Do đó O∈(AM B)∩(SCD) (1).

Mà(AM B)∩(SCD) =M N (2).
Từ(1)và (2), suy raO ∈M N.

Vậy ba đường thẳng AB, CD, M N đồng quy.

K
M

O
B

C
A

Chọn đáp án C

Câu 116. Cho tứ diện ABCD.GọiI,J và K lần lượt là trung điểm của AC, BC vàBD.Giao tuyến của
hai mặt phẳng(ABD)và (IKJ) là đường thẳng

A. KD. B. KI.

C. qua K và song song vớiAB. D. Khơng có.

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

Ta có








(IJ K)∩(ABD) =K
IJ ⊂(IJ K), AB⊂(ABD)
IJ kAB

⇔ (IJ K)∩(ABD) =KM kIJkAB.

D
M

C
I

B
J

Chọn đáp án C

Câu 117. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A. Ba điểm. B. Một điểm và một đường thẳng.

C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm.

-Lời giải.

Sửa lại cho đúng: Ba điểm không thẳng hàng.

Sửa lại cho đúng: Một điểm và một đường thẳng khơng chứa điểm đó.

Chọn đáp án C

Câu 118. Cho tam giác ABC,lấy điểmI trên cạnh AC kéo dài. Mệnh đề nào sau đây làsai?

A. A∈(ABC). B. I ∈(ABC). C. (ABC)≡(BIC). D. BI 6⊂(ABC).

-Lời giải.

Ta cóI ∈(ABC), B∈(ABC)⇔BI 6⊂(ABC). <sub>B</sub> <sub>C</sub>

A
I

Chọn đáp án D

Câu 119. Cho tam giácABC. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh tam giác
ABC?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

-Lời giải.

Ta cóABC là tam giác ⇔ba điểmA, B, C khơng thẳng hàng. Vậy

có duy nhất một mặt phẳng chứaA, B, C. B

A
C

Chọn đáp án D

Câu 120. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt
phẳng phân biệt từ các điểm đó?

A. 6. B. 4. C. 3. D. 2.

-Lời giải.

Giả sử bốn điểm đó là tứ diện ABCD. Có các mặt phẳng đó là:

(ABC), (ABD), (ACD), (BCD). A

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

Chọn đáp án B

Câu 121. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác ABCD có các cạnh đối khơng song song. Giả sử
AC∩BD=O vàAD∩BC =I. Giao tuyến của hai mặt phẳng(SAC) và(SBD)là

A. SC. B. SB. C. SO. D. SI.

-Lời giải.
Ta có








(SAC)∩(SBD) =S
O ∈AC ⊂(SAC)
O ∈BD⊂(SBD)

⇔(SAC)∩(SBD) =SO.

O
B

I
D

Chọn đáp án C

Câu 122. Cho hình chópS.ABCDvới đáy là tứ giácABCD.Thiết diện của mặt phẳng(α) tùy ý với hình
chóp khơng thể là

A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác.

-Lời giải.

Hình chóp tứ giác có tất cả 5 mặt nên thiết diện khơng thể là lục giác.

Chọn đáp án A

ĐÁP ÁN

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

<b>BÀI</b>

<b>2.</b>

<b>HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI</b>

<b>ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG</b>

<b>A</b> <b>TĨM TẮT LÝ THUYẾT</b>

<b>1</b> <b>VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN</b>

Cho hai đường thẳngavàb trong khơng gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối vớia vàb.

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b, khi đó theo kết quả tronh hình học
phẳng ta có ba khả năng sau.

avà b cắt nhau tại điểm M, ta kí hiệu a∩b=M.

avà b song song với nhau, ta kí hiệu akb.

avà b trùng nhau, ta kí hiệu a≡b.

Trường hợp 2: Khơng có mặt phẳng nào chứa cảa và b, khi đó ta nói avà b là hai đường
thẳng chéo nhau.

<b>1</b> Trong khơng gian, qua một điểm cho trước khơng nằm trên đường thẳnga có một và chỉ một
đường thẳng song song vớia.

<b>2</b> Nếu ba mặt phẳng phân biệt đơi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc
đồng qui hoặc đơi một song song.

<b>3</b> Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
<b>4</b> Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song

a b

γ
α

b
γ
α

d
α

Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng bằng quan hệ song song

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng(α) và(β) có điểm chungM và lần lượt chứa hai đường thẳng

song song dvà d0 thì giao tuyến của (α) và (β) là đường thẳng đi qua M song song với dvà d0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

-Lời giải.

B C

Ta có











AB⊂(SAB)
CD ⊂(SCD)
ABkCD

S ∈(SAB)∩(SCD)

⇒(SAB)∩(SCD) =dkABkCD, S∈d.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD là hình thang với các cạnh đáy làAB vàCD. Gọi

I, J lần lượt là trung điểm của các cạnhAD vàBC và Glà trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng(SAB) và(IJ G).

-Lời giải.

D
I

C
B
N

J
E

Ta cóABCD là hình thang vàI, J là trung điểm củaAD, BC nên IJ//AB.

Vậy












G∈(SAB)∩(IJ G)
AB⊂(SAB)
IJ ⊂(IJ G)
ABkIJ

⇒(SAB)∩(IJ G) =M N vớiM N đi quaGvà song songABvớiM ∈SA, N ∈

SB.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD là hình thang với các cạnh đáy làAB vàCD. Gọi
I, J lần lượt là trung điểm của các cạnhAD vàBC vàG là trọng tâm của tam giácSAB. Tìm điều
kiện củaAB vàCD để thiết diện của (IJ G) và hình chóp là một hình bình hành.

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58>

D
I

B
N

J
E

Dễ thấy thiết diện là tứ giác M N J I.

Do G là trọng tâm tam giác SAB và M N k AB nên M N
AB =

SG
SE =

3 (E là trung điểm của AB)
⇒M N = 2

3AB.
Lại có IJ = 1

2(AB+CD). Vì M N k IJ nên M N IJ là hình thang, do đó M N IJ là hình bình hành khi
M N =IJ ⇔ 2

3AB=
1

2(AB+CD)⇔AB= 3CD.

Vậy để thết diện là hình bình hành khi AB= 3CD.

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau

<i><b>1</b></i> Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường

thẳng song song trong mặt phẳng.

<i><b>2</b></i> Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.

<i><b>3</b></i> Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng

(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

<i><b>4</b></i> Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là một hình thang với đáy lớnAB. GọiM, N lần
lượt là trung điểm củaSA vàSB. Khẳng định nào sau đây là đúng

</div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

N
M

B
P

Ta cóM N là đường trung bình của tam giácSAB nên M N kAB.
Lại cóABCD là hình thang ⇒ABkCD.

Vậy

M N kAB

CDkAB ⇒M N kCD.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là một hình thang với đáy lớnAB. GọiM, N lần
lượt là trung điểm củaSA vàSB. GọiP là giao điểm của SC và(ADN),I là giao điểm của AN và
DP. Khẳng định nào sau đây làđúng?

-Lời giải.

N
M

B
P

Trong (ABCD) gọiE =AD∩BC, trong (SCD) gọiP =SC∩EN.
Ta cóE∈AD⊂(ADN) ⇒EN ⊂(AN D)⇒P ∈(ADN).

VậyP =SC∩(ADN).
DoI =AN ∩DP ⇒

I ∈AN
I ∈DP ⇒

I ∈(SAB)

I ∈(SCD) ⇒SI = (SAB)∩(SCD).

Ta có










AB⊂(SAB)
CD ⊂(SCD)

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60>

Ví dụ 3. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà một hình thang với đáyADvàBC. BiếtAD=a,
BC=b. GọiI vàJ lần lượt là trọng tâm các tam giácSADvàSBC. Mặt phẳng(ADJ)cắtSB, SC
lần lượt tạiM,N. Mặt phẳng(BCI) cắtSA, SD tại P, Q. Khẳng định nào sau đây làđúng?

-Lời giải.

A
P

B C

D
Q

N F
M

Ta cóI ∈(SAD)⇒I ∈(SAD)∩(IBC).

Vậy











AD⊂(SAD)
BC ⊂(IBC)
ADkBC

(SAD)∩(IBC) =P Q

⇒P QkADkBC (1)

Tương tựJ ∈(SBC)⇒J ∈(SBC)∩(ADJ)

Vậy











AD⊂(ADJ)
BC ⊂(SBC)
ADkBC

(SBC)∩(ADJ) =M N

⇒M N kADkBC (2)

Từ(1)và (2)suy ra M N kP Q.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết
AD =a, BC =b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng(ADJ)
cắtSB,SC lần lượt tạiM,N. Mặt phẳng(BCI) cắt SA,SDtại P,Q. Giải sử AM cắtBP tại E;
CQcắtDN tạiF. TínhEF theo a, b.

-Lời giải.

A
P

B C

D
Q

N F
M

</div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

Ta cóE=AM∩BP ⇒

E∈(AM N D)

E∈(P BCQ) ;F =DN ∩CQ⇒

F ∈(AM N D)
F ∈(P BCQ) .
Do đó EF = (AM N D)∩(P BCQ). Mà

ADkBC

M N kP Q ⇒EF kADkBC kM N kP Q.
TínhEF:

GọiK=CP ∩EF ⇒EF =EK+KF
Ta cóEKkBC ⇒ EK

BC =
P E

P B (1),P M kAB⇒
P E
EB =

P M
AB.
Mà P M

AB =
SP
SA =

2
3 ⇒

P E
EB =

2
3.
Từ(1)suy ra EK

BC =
P E
P B =

P E
P E+EB =

1
1 +EB

P E
= 2

5 ⇒EK=
2
5BC =

2
5b.
Tương tựKF = 2

5a.
VậyEF =EK+KF = 2

5(a+b).

Dạng 3. Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui

Phương pháp:

Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a, b lần lượt đi qua hai

trong bốn điểm trên và chứng minha, b song song hoặc cắt nhau, khi đó A, B, C, D thc mp(a, b).

Để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng qui ngồi cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh

a, b, c lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng (α), (β), (δ) trong đó có hai giao tuyến cắt

nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta đượca, b, c đồng qui.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là
trung điểm của các cạnh bênSA,SB,SC vàSD. Chứng minh M E ,N F ,SO đồng qui .

-Lời giải.

A
M

C
O

D
E

F
I

Trong (SAC) gọiI =M E∩SO, dễ thấy I là trung điểm củaSO, suy ra F I là đường trung bình của tam
giácSOD.

VậyF I kOD.

Tương tự ta cóN I kOB nên N, I, F thẳng hàng hayI ∈N F.

Vậy minhM E ,N F ,SO đồng qui .

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

-Lời giải.

A
M

C
O

D
E

F
I

DoM E∩N F =I nên M E và N F xác định một mặt phẳng. Suy raM, N, E, F đồng phẳng.
<b>C</b> <b>BÀI TẬP RÈN LUYỆN</b>

Bài 1. Cho tứ diệnABCD. GọiM, N lần lượt là trung điểm của các cạnhAB vàAC. Tìm giao tuyến của
hai mặt phẳng(DM N) và(BCD).

-Lời giải.

DoM, N lần lượt là trung điểm củaAB, ACnênM N kBC. Khi
đó












D∈(DM N)∩(DBC)
M N ⊂(DM N)
BC ⊂(DBC)
M N kBC

Vậy(DM N)∩(DBC) =dkM N kBC vớiD∈d.

D
A

M
N

Bài 2. Cho hình chópS.ABC. GọiG1, G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC vàSAB.

<b>1</b> Chứng minhG1G2 kAC.

<b>2</b> Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(BG1G2)và (ABC).

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

a) Chứng minhG1G2 kAC.

GọiM, N lần lượt là trung điểm củaAB, BC. DoG1, G2 là trọng

tâm các tam giácSBC và SAB nên
SG1

SN =
2
3;

SG2

SM =
2
3 ⇒

SG1

SN =
SG2

SM ⇒G1G2kM N.
Mặt khác, lại có G1G2 kAC.

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(BG1G2)và (ABC).

Vì











B ∈(BG1G2)

G1G2 ⊂(BG1G2)

AC ⊂(ABCD)
G1G2 kAC

⇒(BG1G2)∩(ABCD) =dkACkG1G2.

D
S

N
M

Bài 3. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành.

<b>1</b> Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(SAB) và(SCD).

<b>2</b> Gọi M là một điểm trên cạnh SC. Xác định giao điểm N của SD với (ABM). Tứ giác ABM N là
hình gì?

<b>3</b> Giả sửI =AN ∩BM. Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khiM chạy trên cạnh SC.

-Lời giải.

D
S

M
N

a) Ta có












S ∈(SAB)∩(SCD)
ABkCD

AB⊂(SAB)
CD ⊂(SCD)

⇒(SAB)∩(SCD) =dkABkCD vớiS ∈d.

b) Ta có












M ∈(SCD)∩(ABM)
ABkCD

AB⊂(ABM)
CD⊂(SCD)

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

Trong mặt phẳng(SCD), gọiN =d0∩SD. Suy raN =SD∩(ABM). DoM N kAB nên tứ giácABM N
là hình thang.

c) Gọi∆ = (SAD)∩(SBC) thì∆là đường thẳng cố định. Mặt khác, vì

I =AN ∩BM ⇒

I ∈AN ⊂(SAD)

I ∈BM ⊂(SBC) ⇒I ∈(SAD)∩(SBC)⇒I ∈∆.

Từ đó,I là điểm cố định.

Bài 4. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm
của các cạnhSA, SB, SC, SD.

<b>1</b> Chứng minhM N P Q là một hình bình hành.

<b>2</b> GọiI là một điểm trên cạnhBC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IM N).

-Lời giải.

a) Ta cóM N kAB;M N = 1

2AB và P QkCD;P Q=
1

2CD. Từ
đó, suy ra M N =P Qvà M N kP Q.

VậyM N P Q là hình bình hành.
b) Ta có












I ∈(IM N)∩(ABCD)
AB⊂(ABCD)

M N ⊂(IM N)
ABkM N

⇒(IM N)∩(ABCD) =IJ kABkM N với J ∈AD.
Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(IM N)là hình thang

M N IJ. B

D
S

M
N

Bài 5. Cho tứ diệnABCD. GọiI, J lần lượt là trung điểm củaBC vàBD,E là một điểm thuộc cạnhAD
(E khácA vàD).

<b>1</b> Xác định thiết diện của tứ diện với(IJ E).

<b>2</b> Tìm vị trí của điểm E trên ADsao cho thiết diện là hình bình hành.

<b>3</b> Tìm điều kiện của tứ diệnABCD và vị trí của điểmE trên ADsao cho thiết diện là hình thoi.

-Lời giải.
a) Ta có








F ∈(IJ F)∩(ACD)
IJ ⊂(IJ F), CD⊂(ACD)
IJ kCD

⇒(IJ F)∩(ACD) =F E kCD k
IJ.

Thiết diện là tứ giácIJ EF.

b) Để thiết diện IJ EF là hình bình hành thìIJ k=EF màIJ k= 1
2CD
nênEF k= 1

2CD, hayEF là đường trung bình trong tam giácACD ứng
với cạnhCD, do đó E là trung điểm của AD.

c) Để thiết diện IJ EF là hình thoi thì trước tiên nó phải là hình bình
hành, khi đó E là trung điểm của AD.

Mặt khácIJ EF là hình thoi thìIJ =IF, màIJ = 1

2CD, IF =
1
2AB⇒
AB=CD.

Vậy điều kiện để thiết diện là hình thoi là tứ diện ABCD có AB =CD
vàE là trung điểm củaAD.

J
E
F

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

<b>1</b> Hãy xác định các điểmI ∈AC vàJ ∈DN sao cho IJ kBM.
<b>2</b> TínhIJ theo a.

-Lời giải.

a) Trong(BCD), từDkẻ đường thẳng song song với
BM cắtBC tạiK. NốiK vàN cắtAC tạiI. Trong
(IKD), từ I kẻ đường thẳng song song với DK cắt
DN tại J.

Khi đóIJ kBM.

D
A

M
N

I
J

b) DoBM là đường trung bình của tam giácCKD nên KD= 2BM = 2·a
√

3
2 =a

√
3.
GọiH là trung điểm của BC. Khi đó

HN kAC⇒ N K
N I =

KH
HC =

3HC
HC = 3
⇒N K= 3N I ⇒KD= 3IJ ⇒IJ = 1

3KD=
a√3

3 .

Bài 7. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang. Một mặt phẳng(α)cắt các cạnhSA, SB, SC
vàSD lần lượt tại các điểmM, N, P, Q.

<b>1</b> Giả sửM N∩P Q=I,AB∩CD =E. Chứng minhI, E, S thẳng hàng.
<b>2</b> Giả sử∆ = (IBC)∩(IAD) và∆⊂(α). Chứng minhM QkN P kABkCD.

-Lời giải.

a) Ta có SE = (SAB) ∩ (SCD) I = M N ∩ P Q ⇒

I ∈M N ⊂(SAB)

I ∈P Q⊂(SCD) ⇒ I ∈ (SAB)∩(SCD), hay I ∈ SE. b) Vì












I ∈(IAD)∩(IBC)
AD//BC

AD⊂(IAD)
BC ⊂(IBC)

⇒(IAD)∩(IBC) = ∆kABkDC, I ∈∆.

Mặt khác theo giả thiết∆⊂(α)nên











∆⊂(α)
BC⊂(SBC)
∆kBC

(α)∩(SBC) =N P

⇒N P k

BCk∆.

D
S

B C

M
N

I
P

Tương tự ta cũng có M QkADk∆. Vậy M QkN P kBC kADk∆.
Bài 8. Cho hình chópS.ABCD có đáy là hình thang vớiADkBC. GọiM là một điểm di động trong tứ
giác ABCD. Qua M vẽ các đường thẳng song song với SA, SB cắt các mặt (SBC) và(SAD) lần lượt tại
N, P.

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

<b>2</b> Tìm tập hợp điểmM sao cho M N·M P lớn nhất.

-Lời giải.

a) Gọi E = AM ∩BC, F =BM ∩AD. Từ M kẻ các đường thẳng
song song vớiSA, SBlần lượt cắtSE, SF tại N, P. ThìN, P là các
điểm cần dựng.

b) Ta có M N
SA =
EM
EA,
M P
SB =
F M
F B =

AM
AE nên
M N
SA +
M P
SB =
EM
EA +
AM

EA = 1. Theo BĐT Cauchy ta có
M N·M P =SA·SB·M N

SA ·
M P

SB .
≤ SA·SB

4
Å

M N
SA +
M P
SB
ã2

= SA·SB
4 .
Vậy M N ·M P = SA·SB

4 khi
M N
SA =
M P
SB =
1

2 hay M là trung
điểm của AE và BF, do đó tập hợp điểm M là đường trung bình
của hình thangABCD.

A
B C
D
S
F
E
M
P
N

Bài 9. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà một hình thang với đáyAD=avàBC=b. GọiM, N, P
lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD vàSB.

<b>1</b> Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(ADP) và (SBC).

<b>2</b> Tìm độ dài đoạn giao tuyến của(ADP)và (SM N)nằm bên trong hình chóp.

-Lời giải.

a) Ta có










P ∈(ADP)∩(SBC)
ADkBC

AD⊂(ADP)
BC ⊂(SBC)

⇒(ADP)∩(SBC) =P QkADkBC, Q∈SC.
b) Gọi I =AP ∩SM, J =DQ∩SN. Khi đó

IJ= (ADP)∩(SM N).

Dễ thấyI, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SCD. Gọi
K=IJ∩P D, ta có IJ=IK+KJ suy ra

IK
AD =

P I
P A =

3 ⇒IK =
1
3AD=

1
3a.
Tương tự

J K
P Q =

DI
DQ =

3 ⇒J K =

2
3P Q=

2
3 ·

1
2BC=

1
3b.
VậyIJ =IK +KJ = 1

3(a+b).

A
B C
D
S
P Q
M N
I J

Bài 10. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD là hình bình hành. GọiI, J lần lượt là trọng tâm các tam
giác SAB và SAD. M là điểm trên cạnh SA sao choM A= 2M S. Xác định thiết diện của hình chóp với
mặt phẳng(M IJ)

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>

Kéo dài M I cắt ABtại K, kéo dàiM J cắtAD tại L

Ta có(M IJ)∩(SAB) =M K;(M IJ)∩(SAD) =M L;(M IJ)∩

(ABCD) =KL.

Vậy mặt phẳng(M IJ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là
tam giácM KL.

S
M
I
J
A
B C
D
L
K

Bài 11. Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M và
song song vớiSA, SB vàSC cắt các mặt(SBC),(SCA),(SAB) lần lượt tại các điểmA0, B0, C0.

<b>1</b> Nêu cách dựng các điểmA0, B0, C0.
<b>2</b> Chứng minh M A

0
SA +

M B0
SB +

M C0

SC có giá trị khơng đổi khi M di động trong tam giácABC.

<b>3</b> Xác định vị trí của M để tíchM A0·M B0·M C0 lớn nhất.

-Lời giải.

S
C0
B0
A0
A
B
C
E
F
I
M

<b>1</b> GọiE =AM∩BC, trong(SAE) vẽ đường thẳng đi quaM và song song vớiSAcắtSE tạiA0 thìA0
là điểm cần dựng.

Các điểmB0, C0 được dựng tương tự.
<b>2</b> Ta cóM A0kSA nên M A

0
SA =

M E
AE =

SM BC

SABC

(1)
Tương tự M B

0
SB =

IM
IM =

SM AC

SABC

(2); M C
0
SC =

F M
F C =

SM AB

SABC

(3)
Cộng các đẳng thức (1), (2) và (3) ta được M A

SA +

M B0
SB +

M C0
SC = 1.
<b>3</b> Ta có

M A0·M B0·M C0 =SA·SB·SC·M A

0
SA ·

M B0
SB ·

M C0

SC ≤SA·SB·SC

Ö<sub>M A</sub>0

SA +
M B0

SB +
M C0

è3

=
SA·SB·SC

Đẳng thức xảy ra khi M A
0
SA +

M B0
SB +

M C0
SC =
1
3 ⇒
EM
EA =
IM
IB =
F M

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>

ABC.

Vậymax (M A0·M B0·M C0) =SA·SB·SC
27

Bài 12. Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng (α) cắt bốn cạnhAB, BC, CD, DAlần lượt tại M, N, P.Q.
Chứng minh rằng M A·N B ·P C ·QD ≤ AB·BC·CD·AD

16 . Khi đẳng thức xảy ra thì M N P Q là hình
gì?

-Lời giải.

DoM, N, E, F đồng phẳng nên theo đinh lí Menelauyt trong
khơng gian ta có M A

M B ·
N B
N C ·

P C
P D ·

QD
QA = 1
Do đó

(M A.N B.P C.QD)2 =

= (M A.N B.P C.QD) (M B.N C.P D.QA)(1)
Theo BĐT Cauchy ta có

M A.M B≤

Å<sub>M A</sub><sub>+</sub><sub>M B</sub>

ã2

= AB

4
N B.N C ≤

Å<sub>N B</sub><sub>+</sub><sub>N C</sub>

ã2

= BC

4
P C.P D≤

Å<sub>P C</sub> <sub>+</sub><sub>P D</sub>

ã2

= CD

4
QD.QA≤

Å<sub>QD</sub><sub>+</sub><sub>QA</sub>

ã2

= AD

D
Q

M
A

B
N

P
C
Nhân theo vế các BĐT trên và kết hợp với (1) thu được:

M A·N B·P C·QD≤ AB·BC·CD·AD

<b>D</b> <b>CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM</b>

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.

C. Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt nhau và khơng song song thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt khơng chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.

-Lời giải.

Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi
chúng không đồng phẳng).

Chọn đáp án A

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vơ số điểm chung khác.

B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.

C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

-Lời giải.

Mệnh đề “Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vơ số điểm chung khác” sai vì trong trường
hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.

Mệnh đề “Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vơ số điểm chung khác” sai vì hai đường
thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.

Mệnh đề “Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng khơng đồng phẳng” sai vì hai đường thẳng
song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và khơng có điểm chung.

Chọn đáp án D

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>

B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.

C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.

D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt
phẳng song song..

-Lời giải.

Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.

Chọn đáp án C

Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.

B. Hai đường thẳng khơng có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.

C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.

D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.

-Lời giải.

Mệnh đề “Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung” sai vì hai đường thẳng chéo nhau thì
chúng khơng có điểm chung.

Mệnh đề “Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng” sai vì có thể
xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.

Mệnh đề “Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau” sai
vì có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.

Chọn đáp án B

Câu 5. Cho hai đường thẳng chéo nhauavàb. LấyA, BthuộcavàC, Dthuộcb. Khẳng định nào sau đây

đúng khi nói về hai đường thẳngAD vàBC?

A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.

C. Song song với nhau. D. Chéo nhau.

-Lời giải.

Theo giả thiết, avàb chéo nhau⇒avà bkhông đồng phẳng.
Giả sửAD vàBC đồng phẳng.

NếuAD∩BC =I ⇒I ∈(ABCD)⇒I ∈(a;b).

Màa vàbkhơng đồng phẳng, do đó, khơng tồn tại điểm I.
NếuADkBC ⇒avàb đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó ADvà BC chéo nhau.

C
D
a

Chọn đáp án D

Câu 6. Cho ba mặt phẳng phân biệt (α), (β), (γ) có (α)∩(β) =d1;(β)∩(γ) =d2;(α)∩(γ) =d3. Khi

đó ba đường thẳng d1, d2, d3

A. đôi một cắt nhau. B. đôi một song song.

C. đồng quy. D. đôi một song song hoặc đồng quy.

-Lời giải.

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc
đôi một song song.

Chọn đáp án D

Câu 7. Trong không gian, cho 3 đường thẳnga, b, c, biếtakb,avàcchéo nhau. Khi đó hai đường thẳng
bvà c

A. trùng nhau hoặc chéo nhau. B. cắt nhau hoặc chéo nhau.

C. chéo nhau hoặc song song. D. song song hoặc trùng nhau.

-Lời giải.

Giả sửbkc⇒cka(mâu thuẫn với giả thiết).

</div>
<span class='text_page_counter'>(70)</span><div class='page_container' data-page=70>

Câu 8. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, ctrong đó akb. Khẳng định nào sau đây

sai?

A. Nếu akcthì bkc.

B. Nếu ccắt athìc cắtb.

C. Nếu A∈avà B∈bthì ba đường thẳng a, b, AB cùng ở trên một mặt phẳng.

D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua avàb.

-Lời giải.

Nếuccắt athìc cắtbhoặc cchéo b.

Chọn đáp án B

Câu 9. Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và điểm M ở ngoài a và ngồi b. Có nhiều nhất bao nhiêu
đường thẳng qua M cắt cảavàb?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.

-Lời giải.

GọiP là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng avà M; Qlà mặt phẳng tạo bởi
đường thẳngb vàM.

Giả sửclà đường thẳng quaM cắt cả avàb.
⇒

c∈P

c∈Q ⇒c=P ∩Q.

Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cảavàb.

b
M

Chọn đáp án A

Câu 10. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, cchéo nhau từng đơi. Có nhiều nhất bao nhiêu đường
thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vơ số.

-Lời giải.

GọiM là điểm bất kì nằm trên a.

Giả sử dlà đường thẳng qua M cắt cả b và c. Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với
mặt phẳng tạo bởiM và c.

Với mỗi điểm M ta được một đường thẳngd.

Vậy có vơ số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳnga, b, c.

Chọn đáp án D

Câu 11. Cho tứ diệnABCD. GọiI, J lần lượt là trọng tâm các tam giácABC vàABD. Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau?

A. IJ song song vớiCD. B. IJ song song vớiAB.

C. IJ chéo CD. D. IJ cắtAB.

-Lời giải.

GọiM, N lần lượt là trung điểm của BC, BD.

⇒M N là đường trung bình của tam giácBCD⇒M N kCD (1).
I, J lần lượt là trọng tâm các tam giácABC vàABD⇒ AI

AM =
AJ
AN =

2
3 ⇒
IJkM N (2).

Từ(1)và (2)suy ra IJ kCD.

B I C

J
N

Chọn đáp án A

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có AD khơng song song với BC.GọiM, N, P, Q, R, T lần lượt là trung
điểmAC, BD, BC, CD, SA, SD.Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?

A. M P và RT. B. M Qvà RT. C. M N vàRT. D. P QvàRT.

</div>
<span class='text_page_counter'>(71)</span><div class='page_container' data-page=71>

Ta có: M, Q lần lượt là trung điểm củaAC, CD ⇒M Qlà đường trung
bình của tam giácCAD⇒M QkAD(1).

Ta có: R, T lần lượt là trung điểm của SA, SD ⇒ RT là đường trung
bình của tam giácSAD⇒RT kAD(2).

Từ(1),(2) suy ra:M QkRT.

M N
B

P
A

D
Q
T

Chọn đáp án B

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm
SA, SB, SC, SD.Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song vớiIJ?

A. EF. B. DC. C. AD. D. AB.

-Lời giải.

Ta có IJ k AB (tính chất đường trung bình trong tam giác SAB) và
EF kCD (tính chất đường trung bình trong tam giác SCD).

MàCD kAB (đáy là hình bình hành)
⇒CDkABkEF kIJ.

B C

A
J

D
I

Chọn đáp án C

Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. P, Q là hai
điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳngCD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳngM P, N Q.

A. M P kN Q. B. M P ≡N Q. C. M P cắtN Q. D. M P, N Qchéo nhau.

-Lời giải.

Xét mặt phẳng(ABP).

Ta có:M, N thuộcAB⇒M, N thuộc mặt phẳng(ABP).
Mặt khác:CD∩(ABP) =P.

Mà:Q∈CD⇒Q /∈(ABP)
⇒M, N, P, Q không đồng phẳng.

B D

M
N

P
Q

Chọn đáp án D

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. Gọidlà giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. dquaS và song song vớiBC. B. dqua S và song song với DC.

C. dquaS và song song vớiAB. D. dqua S và song song với BD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(72)</span><div class='page_container' data-page=72>

Ta có







(SAD)∩(SBC) =S

AD⊂(SAD), BC ⊂(SBC)
ADkBC

⇒(SAD)∩(SBC) =SxkADkBC (với d≡Sx).

B C

A D

Chọn đáp án A

Câu 16. Cho tứ diện ABCD. GọiI và J theo thứ tự là trung điểm của AD vàAC, G là trọng tâm tam
giácBCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng(GIJ) và (BCD) là đường thẳng

A. qua I và song song với AB. B. qua J và song song vớiBD.

C. qua Gvà song song vớiCD. D. quaGvà song song với BC.

-Lời giải.
Ta có








(GIJ)∩(BCD) =G
IJ ⊂(GIJ), CD⊂(BCD)
IJ kCD

⇒(GIJ)∩(BCD) =GxkIJkCD.

B
G
C

D
I

Chọn đáp án C

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi (ACI) lần
lượt là trung điểm củaAD vàBC vàG là trọng tâm của tam giácSAB. Giao tuyến của(SAB) và(IJ G)
là

A. SC. B. đường thẳng qua S và song song vớiAB.

C. đường thẳng qua Gvà song song với DC. D. đường thẳng quaG và cắtBC.

-Lời giải.

Ta có:I, Jlần lượt là trung điểm củaADvàBC⇒IJlà
đường trung bình của hình thangABCD⇒ IJ kAB k
CD.

Gọid= (SAB)∩(IJ G)Ta có:Glà điểm chung giữa hai

mặt phẳng(SAB) và (IJ G)

Mặt khác:

(SAB)⊃AB; (IJ G)⊃IJ
ABkIJ

⇒Giao tuyếndcủa(SAB)và(IJ G)là đường thẳng qua
Gvà song song với ABvà IJ.

C
D

A
I

B
J
Q

Chọn đáp án C

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA.Thiết diện
của hình chóp S.ABCDcắt bởi mặt phẳng (IBC) là

A. Tam giácIBC. B. Hình thang IBCJ (J là trung điểm SD).

C. Hình thang IGBC (G là trung điểmSB). D. Tứ giácIBCD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(73)</span><div class='page_container' data-page=73>

Ta có







(IBC)∩(SAD) =I

BC ⊂(IBC), AD⊂(SAD)
BC kAD

,
suy ra(IBC)∩(SAD) =IxkBCkAD.
Trong mặt phẳng(SAD):

IxkAD,gọi Ix∩SD=J ⇒IJ kBC.

Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là
hình thangIBCJ.

A
I

B C

D
J

Chọn đáp án B

Câu 19. Cho tứ diện ABCD, M vàN lần lượt là trung điểmAB vàAC.Mặt phẳng(α)qua M N cắt tứ
diệnABCD theo thiết diện là đa giácT. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. T là hình chữ nhật.

B. T là tam giác.

C. T là hình thoi.

D. T là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành.

-Lời giải.

D
K
N

I D

Trường hợp(α)∩AD=K. Suy raT là tam giácM N K. Do đó A và C sai.

Trường hợp(α)∩(BCD) =IJ,vớiI ∈BD, J∈CD;I, J không trùngD.Suy raT là tứ giác.

Chọn đáp án D

Câu 20. Cho hai hình vng ABCDvàCDIS khơng thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng4.Biết tam giác
SAC cân tại S, SB= 8.Thiết diện của mặt phẳng (ACI)và hình chóp S.ABCDcó diện tích bằng

A. 6√2. B. 8√2. C. 10√2. D. 9√2.

-Lời giải.

GọiO=SD∩CI; N =AC∩BD.

⇒O, N lần lượt là trung điểm củaDS, DB⇒ON = 1

2SB= 4.
Thiết diện của mp(ACI) và hình chóp S.ABCD là tam giác
OCA.

Tam giác SAC cân tại S ⇒ SC = SA ⇒ 4SDC = 4SDA
⇒CO=AO(cùng là đường trung tuyến của2đỉnh tương ứng)
⇒ 4OCAcân tạiO⇒S4OCA =

2ON·AC=
1
2·4·4

√

2 = 8√2.

S I

A
B

D
N
C

Chọn đáp án B

Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm củaSA và SB.GọiP là giao điểm của SC và (AN D).Gọi I là giao điểm củaAN
vàDP.Hỏi tứ giácSABI là hình gì?

</div>
<span class='text_page_counter'>(74)</span><div class='page_container' data-page=74>

-Lời giải.

GọiE=AD∩BC, P =N E∩SC. Suy raP =SC∩(AN D).
Ta có S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAB) và
(SCD); I = DP ∩AN ⇒ I là điểm chung thứ hai của hai mặt
phẳng(SAB) và(SCD).

Suy raSI = (SAB)∩(SCD).

MàABkCD⇒SI kABkCD. VìM N là đường trung bình của
tam giácSABvà chứng minh được cũng là đường trung bình của
tam giácSAI nên suy ra SI =AB.

VậySABI là hình bình hành.

S I

C
P
A

D
E

Chọn đáp án A

Câu 22. Cho tứ diệnABCD.Các điểmP, Qlần lượt là trung điểm củaAB vàCD;điểmRnằm trên cạnh
BC sao cho BR= 2RC.GọiS là giao điểm của mặt phẳng(P QR) và cạnhAD.Tính tỉ số SA

SD.

A. 2. B. 1. C. 1

2. D.

1
3.

-Lời giải.

S
P

D
B

GọiI là giao điểm củaBD vàRQ. NốiP vớiI,cắt ADtại S.
Xét tam giácBCD bị cắt bởiIR,ta có DI

IB ·
BR
RC ·

QD = 1⇔
DI

IB ·2·1 = 1⇔
DI
IB =

1
2.
Xét tam giácABD bị cắt bởiP I, ta có AS

SD ·
DI
IB ·

P A = 1⇔
SA
SD·

2 ·1 = 1⇔
SA
SD = 2.

Chọn đáp án A

Câu 23. Cho tứ diệnABCD và ba điểmP, Q, Rlần lượt lấy trên ba cạnhAB, CD, BC.ChoP RkAC và
CQ= 2QD. Gọi giao điểm củaAD và(P QR) làS.Chọn khẳng định đúng?

A. AD= 3DS. B. AD= 2DS. C. AS = 3DS. D. AS =DS.

</div>
<span class='text_page_counter'>(75)</span><div class='page_container' data-page=75>

A
S
P

C
Q
D
B
R
I

GọiI là giao điểm củaBD vàRQ. NốiP vớiI,cắt ADtại S.
Ta có DI

IB ·
BR
RC ·

QD = 1 mà
CQ

QD = 2 suy ra
DI
IB ·
BR
RC =
1
2 ⇔
DI
IB =
1
2·

RC
BR.
VìP R song song vớiAC suy ra RC

BR =
AP
P B ⇒

DI
IB =

1
2 ·

AP
P B.
Lại có SA

SD·
DI
IB ·

P A = 1⇒
SA
SD ·

1
2·

AP
P B ·

P A = 1⇔
SA

SD = 2⇒AD= 3DS.

Chọn đáp án A

Câu 24. GọiGlà trọng tâm tứ diệnABCD.GọiA0 là trọng tâm của tam giácBCD.Tính tỉ số GA
GA0.

A. 2. B. 3. C. 1

3. D.

1
2.

-Lời giải.

A
M
G
C
D

A0
B
E

GọiE là trọng tâm của tam giác ACD, M là trung điểm củaCD.
NốiBE cắtAA0 tại Gsuy ra Glà trọng tâm tứ diện.

Xét tam giácM AB, có M E
M A =

M A0
M B =

3 suy ra A

0<sub>E</sub> <sub>k</sub><sub>AB</sub><sub>⇒</sub> A0E
AB =

1
3.
Khi đó, theo định lí Talet suy ra A

0<sub>E</sub>
AB =

A0G
AG =

1
3 ⇒

GA
GA0 = 3.

Chọn đáp án B

Câu 25. Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giácBCDkhơng cân. GọiM, N lần lượt là trung điểm của
AB, CD và Glà trung điểm của đoạn M N. Gọi A1 là giao điểm củaAG và (BCD). Khẳng định nào sau

đây đúng?

A. A1 là tâm đường tròn tam giác BCD. B. A1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD.

C. A1 là trực tâm tam giác BCD. D. A1 là trọng tâm tam giác BCD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(76)</span><div class='page_container' data-page=76>

C
P

D
B

Mặt phẳng(ABN)cắt mặt phẳng(BCD) theo giao tuyếnBN.
MàAG⊂(ABN) suy ra AGcắt BN tại điểm A1.

QuaM dựng M P kAA1 với P ∈BN. CóM là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm BA1 ⇒BP =

P A1. (1)

Tam giácM N P có M P kGA1 và Glà trung điểm của M N.

⇒A1 là trung điểm củaN P ⇒P A1 =N A1. (2)

Từ(1), (2) suy ra BP =P A1 =A1N ⇒

BA1

BN =
2

3. Mà N là trung điểm của CD, do đó, A1 là trọng tâm
của tam giácBCD.

Chọn đáp án D

Câu 26. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng qua trung điểmM củaBC, song song vớiBDvà SC là hình gì?

A. Tam giác. B. Ngũ giác. C. Lục giác. D. Tứ giác.

-Lời giải.

GọiN, P, Rlần lượt là trung điểm CD, SD vàSB.
GọiI là giao điểm củaAC vàM N.

TừI kẻ IQ song song vớiSC.

Ta cóM RkIQkN P kSC⇒(M N P QR)kSC. (1)
Ta cóM N kBD⇒(M N P QR)kBD. (2)

Từ(1)và (2)ta được thiết diện cần tìm là ngũ giác M N P QR.

B C

N
S

P
R

Chọn đáp án B

Câu 27. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt nhau thì song song.

B. Hai đường thẳng khơng cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau.

C. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì song song với nhau.

-Lời giải.

“Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể song song.
“Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt nhau thì song song” là sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo
nhau.

“Hai đường thẳng khơng cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau” là đúng.

“Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì song song với nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể
chéo nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(77)</span><div class='page_container' data-page=77>

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình thang vớiAD kBC. Giao tuyến của (SAD) và
(SBC) là

A. Đường thẳng đi quaS và song song vớiAB. B. Đường thẳng đi qua S và song song với AC.

C. Đường thẳng đi quaS và song song vớiAD. D. Đường thẳng đi quaS và song song với CD.

-Lời giải.
Ta có








S ∈(SAD)∩(SBC)
BC kAD

BC ⊂(SBC); AD⊂(SAD)

Suy ra giao tuyến của(SAD) và(SBC) là đường thẳng đi qua
S và song song với AD.

D
S

A
B

Chọn đáp án C

Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm thuộc đoạn SB

(M khác S và B). Mặt phẳng(ADM)cắt hình chóp S.ABCDtheo thiết diện là

A. Hình bình hành. B. Tam giác. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.

-Lời giải.
Ta có

M ∈(ADM)∩(SBC)
ADkBC

⇒(ADM)∩(SBC) =M xkADkBC.
Trong mặt phẳng(SBC), gọiN =M x∩SC.

Do đó,ADN M là thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng(ADM).
VìADkM N vàM N < AD nên ADN M là hình thang.

C
B
N

M
A

Chọn đáp án D

Câu 30. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi M, N, K lần lượt là trung
điểm của CD, CB, SA. Gọi H là giao điểm của AC và M N. Giao điểm của SO với (M N K) là điểm E.
Hãy chọn cách xác định điểmE đúng nhất trong bốn phương án sau

A. E là giao của M N vàSO.

B. E là giao của KN và SO.

C. E là giao của KH và SO.

D. E là giao của KM vàSO.

B C

D
M
K

H
O
N

</div>
<span class='text_page_counter'>(78)</span><div class='page_container' data-page=78>

Trong (SAC) :KH∩SO ≡E suy ra SO∩(M N K)≡E.

D
M
K

H
O
N

Chọn đáp án C

Câu 31. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình bình hành. Giao tuyến của (SAB) và(SCD) là

A. Đường thẳng đi quaS và song song vớiAB. B. Đường thẳng đi qua S và song song với BD.

C. Đường thẳng đi quaS và song song vớiAD. D. Đường thằng đi quaS và song song với AC.

-Lời giải.

Ta có ABk CD và AB ⊂(SAB),CD ⊂(SCD) nên giao tuyến của

(SAB)và (SCD) là đường thẳng đi quaS và song song với AB. S

B C

Chọn đáp án A

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD, đáyABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD)
và(SBC)là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A. AC. B. DC. C. AD. D. BD.

-Lời giải.
Ta có








S∈(SAD)∩(SBC)
ADkBC

AD⊂(SAD), BC ⊂(SBC)

⇒ (SAD)∩(SBC) =d, dđi qua Svà dkADkBC.

D C

A B

Chọn đáp án C <sub></sub>

Câu 33. Cho tứ diệnABCDcóM,N là hai điểm phân biệt trên cạnhAB. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. CM vàDN chéo nhau. B. CM và DN cắt nhau.

C. CM vàDN đồng phẳng. D. CM và DN song song.

</div>
<span class='text_page_counter'>(79)</span><div class='page_container' data-page=79>

Giả sử CM và DN đồng phẳng. Khi đó, ta có A, B cùng thuộc
mặt phẳng(M N DC), suy ra A,B,C,D đồng phẳng, trái giả thiết
ABCD là tứ diện.

VậyCM và DN chéo nhau.

M
N

B D

Chọn đáp án A

Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình bình hành. Lấy hai điểm M và N trên hai cạnh
SB, SD sao cho SM = 2M B; SN = 2N D, đường thẳng SC cắt mặt phẳng (AM N) tại C0. Tính tỉ số
k= SC

0
SC.

A. k= 3

4. B. k=
2

3. C. k=
1

3. D. k=
1
2.

-Lời giải.

A
O

B C

C0 N

D
G

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, G là giao điểm củaM N và SO. Dễ thấy G là trọng tâm tam
giácSAC, suy ra SC

0
SC =

1
2.

Chọn đáp án D

Câu 35. Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi theo ba giao tuyến d1, d2, d3, trong đó d1 song

song vớid2. Khi đó vị trí tương đối của d2 vàd3 là

A. chéo nhau. B. cắt nhau. C. song song. D. trùng nhau.

-Lời giải.

Đây là nội dung hệ quả của định lý về ba giao tuyến trong Sách Giáo Khoa.

Chọn đáp án C

Câu 36. Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì

A. ba đường thẳng đó tạo thành một tam giác. B. ba đường thẳng đó đồng quy.

C. ba đường thẳng đó trùng nhau. D. khơng có ba đường thẳng như vậy.

-Lời giải.

Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đơi một cắt nhau thì ba đường thẳng đó
đồng quy.

Chọn đáp án B

Câu 37. Tìm mệnh đề saitrong các mệnh đề sau

</div>
<span class='text_page_counter'>(80)</span><div class='page_container' data-page=80>

B. Tồn tại duy nhât một đường thẳng đi qua một điểm và vng góc với một mặt phẳng.

C. Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.

D. Hai đường thẳng khơng đồng phẳng thì khơng có điểm chung.

-Lời giải.

Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu
điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì khơng tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với
đường thẳng cho trước.

Chọn đáp án A

Câu 38. Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đơi một thì ba giao tuyến của chúng sẽ có bao nhiêu vị
trí tương đối?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

-Lời giải.

Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đơi một thì ba giao tuyến song song hoặc đồng quy.

Chọn đáp án B

Câu 39. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang, gọiO là giao điểm của hai đường chéoAC
vàBD. BiếtABkCD vàAB = 3

2CD. GọiN là trung điểm cạnhSB vàP là giao điểm của đường thẳng
DN với mặt phẳng(SAC). Tính tỉ số P O

P S.

A. 2

5. B.

7. C.

7. D.

3
5.

-Lời giải.

DựngOK kSB,K∈DN.
Suy ra P O

P S =
OK
SN =

OK
N B =

DO
DB.
Mà AB

CD =
3
2 ⇒

OB
OD =

3
2.

Suy ra P O

P S =
2
5.

C
O
K

B
N

Chọn đáp án A

Câu 40. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm củaAB, AC,E là điểm trên cạnhCD sao
choED= 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E) và tứ diệnABCD là

A. Tam giácM N E.

B. Hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD sao choEF kBC.

C. Tứ giác M N EF vớiF là điểm bất kỳ trên cạnh BD.

D. Hình bình hànhM N EF với F là điểm trên cạnh BDsao cho EF kBC.

-Lời giải.

•Thiết diện là tứ giác M N EF

•M N kEF vàM N 6=EF nênM N EF là hình thang.

D
F

E
N

Chọn đáp án B

Câu 41. Cho tứ diện ABCD. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho M C = 2M B, các điểmN, P lần lượt là
trung điểm củaBD, AD. GọiQ là giao điểm củaAC với mặt phẳng(M N P),tính tỉ số QC

</div>
<span class='text_page_counter'>(81)</span><div class='page_container' data-page=81>

A. QC

QA =

2. B.
QC
QA =

2. C.
QC

QA = 2. D.
QC
QA =

1
2.

-Lời giải.

QM chính là giao tuyến của mặt phẳng (M N P) với mặt phẳng(ABC).
Và doN P kAB nên QM kAB.Suy ra

QC
QA =

M C
M B = 2.

C
M

D
Q

Chọn đáp án C

Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ADk BC,AD = 2BC. Gọi M là trung
điểmSA. Mặt phẳng(M BC) cắt hình chópS.ABCD theo thiết diện là

A. một hình bình hành. B. một tam giác.

C. một hình tứ giác (khơng là hình thang). D. một hình thang (khơng là hình bình hành).

-Lời giải.

Gọi N là giao của SD và mặt phẳng (M BC). Do các mặt phẳng
(M BC) và (SAD) lần lượt chứa hai đường song song là BC và AD,
nên giao tuyến của chúng cũng song song với hai đường đó, tứcM N k
AD.Suy raN là trung điểm củaSD.

Khi đó,M N là đường trung bình của tam giácSAD, suy ra M N =
1

2AD=BC.Vậy, thiết diệnBCN M là một hình bình hành.

B C

A D

Chọn đáp án A

Câu 43. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trọng tâm của hai tam giác ABC và ACD. Khi đó ta có

A. M N cắtBC. B. M N kBD. C. M N cắtAD. D. M N kCD.

-Lời giải.

GọiI là trung điểm của đoạnAC ⇒ DN
DI =

BM
BI =

2
3
⇒M N kBD.

I
A

B C

Chọn đáp án B

Câu 44. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với đường thẳng thứ ba thì song song
với nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với nhau thì chúng cắt nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với đường thẳng thứ ba thì vng góc với nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(82)</span><div class='page_container' data-page=82>

-Lời giải.

Mệnh đề “ Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng thứ ba vng góc với đường thẳng thứ nhất thì
cũng vng góc với đường thẳng thứ hai ” là mệnh đề đúng.

Chọn đáp án D

Câu 45. Cho tứ diệnABCD. GọiM vàN lần lượt là trung điểmAB vàAC,E là điểm trên cạnhCD với
ED= 3EC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng(M N E) và tứ diện ABCD là

A. Tam giácM N E.

B. Tứ giác M N EF vớiF là điểm bất kì trên cạnh BD.

C. Hình bình hànhM N EF với F là điểm trên cạnh BDmà EF kBC.

D. Hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD màEF kBC.

-Lời giải.

M và N lần lượt là trung điểm AB và AC nên M N k BC và M N =
1

2BC.

QuaE kẻ đường thẳng song song vớiBC, cắtBDtạiF thìEF kM N.
Ta có EF

BC =
DE
DC =

4 ⇒EF =
3

4BC > M N.

Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng(M N E) và tứ diệnABCD là là hình
thangM N EF.

C
B

D
N

Chọn đáp án D

Câu 46. Trong không gian cho đường thẳng∆và điểmO khơng nằm trong∆. QuaO có mấy đường thẳng
song song với∆?

A. 2. B. 3. C. 1. D. Vô số.

-Lời giải.

QuaO có duy nhất một đường thẳng song song với∆.

Chọn đáp án C

Câu 47. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì cắt nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt khơng song song thì chéo nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì khơng chéo nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.

-Lời giải.

Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì có ba vị trí tương đối là: song với nhau, trùng nhau
và cắt nhau. Do đó hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì khơng chéo nhau.

Chọn đáp án C

Câu 48. Cho hai đường thẳng phân biệt avàb trong khơng gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữaavà
b?

A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.

-Lời giải.

Hai đường thẳng phân biệtavàbtrong khơng gian có3vị trí tương đối: Cắt nhau, chéo nhau và song song

với nhau.

Chọn đáp án A

Câu 49. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Giao tuyến của
hai mặt phẳng(ABD)và (IJ K) là đường thẳng

A. KD. B. qua K và song song với AB.

C. KI. D. quaI và song song vớiJ K.

</div>
<span class='text_page_counter'>(83)</span><div class='page_container' data-page=83>

Ta có điểmK là điểm chung của hai mặt phẳng (ABD)và (IJ K).
Mặt khác ta cóIJ kAB,IJ ⊂(IJ K),AB⊂(ABD).

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng(ABD)và(IJ K)là đường thẳng
đi qua điểmK và song song vớiAB.

D
A

Chọn đáp án B

Câu 50. Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau.

A. Khơng có đường thẳng nào cắt cả ba đường thẳng đã cho.

B. Có đúng hai đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.

C. Có vơ số đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.

D. Có duy nhất một đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.

-Lời giải.

Chọn đáp án C

Câu 51. Trong không gian cho hai đường thẳng song song avà b. Kết luận nào sau đây đúng?

A. Nếuc cắtathì cvàb chéo nhau. B. Nếu ckathìckbhoặcc≡b.

C. Nếu c vàachéo nhau thìc vàb chéo nhau. D. Nếucvàa cắt nhau thìc vàb cắt nhau.

-Lời giải.

Cho hai đường thẳngavàbsong song, nếu đường thẳngc song song vớiathìcsong song hoặc trùng với b.

Chọn đáp án B

Câu 52. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là CD. GọiM là trung điểm của
cạnhSA,N là giao điểm của cạnhSB và mặt phẳng(M CD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. M N và SDcắt nhau. B. M N kCD.

C. M N và SC cắt nhau. D. M N vàCD chéo nhau.

-Lời giải.

Hai mặt phẳng(SAB)và(M CD)lần lượt chứa hai đường thẳng song
songAB,CD vàM N là giao tuyến của chúng nên M N kCD.

A
D

B
N
S

Chọn đáp án B

Câu 53. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD là hình bình hành. GọiGlà trọng tâm tam giác ABC và
M là trung điểm SC. GọiK là giao điểm của SDvới mặt phẳng(AGM). Tính tỉ số KS

KD.

A. 1

2. B.

3. C. 2. D. 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(84)</span><div class='page_container' data-page=84>

Gọi N, P lần lượt là giao điểm của AG với CB, CD ta có
K=P M∩SD. GọiLlà trung điểm củaKDthìCLkM K. Suy
raK là trung điểm củaSL. Do vậyKD= 2KS, hay KS

KD =
1
2.

L
K

M
S

Chọn đáp án A

Câu 54. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng khơng song song thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.

C. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.

-Lời giải.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và khơng có điểm
chung.

Chọn đáp án B

Câu 55. Cho tứ diện đều ABCDcó cạnh bằng a. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của tam giácBCDvà

ACDvà Glà giao điểm của AG1 và BG2. Tính diện tích của tam giác GAB.

A. a

2√<sub>3</sub>

8 . B.

3a2√2

8 . C.

3a2√3

8 . D.

a2√2
8 .

-Lời giải.

GọiM, H lần lượt là trung điểm CD, AB.
Ta cóAM =BM = a

√
3

2 nên4ABM cân tạiM, suy raM H ⊥AB, dẫn
tớiM H =√AM2<sub>−</sub><sub>AH</sub>2<sub>=</sub>

…

3a2

4 −

a2
4 =

a√2
2 .
Diện tích4ABM làSABM =

AB·HM
2 =

a2√2
4 .
Lại có M G1

M B =
M G2

M A =
1

3 ⇒G1G2 kAB⇒
BG
GG2

= AB
G1G2

= 3.

Dẫn tới SABG=

4SABG2 =
1

2SABM =
a2√<sub>2</sub>

8 .

D
B

M
C
G

Chọn đáp án D <sub></sub>

Câu 56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M, N lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB và SC. Gọi I, J theo thứ tự là giao điểm của AN, M N với mặt phẳng (SBD). Tính k =

IA
IN +

J M
J N.

A. k= 4. B. k= 5. C. k= 2. D. k= 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(85)</span><div class='page_container' data-page=85>

Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó SO là giao tuyến của
(SBD) và (SAC) nên I là giao điểm củaAN vàSO.

Vì O, N là trung điểm AC, SC nên I là trọng tâm tam giác SAC,
suy ra IA

IN = 2.

GọiK là giao điểm của M C và BD, khi đó SK là giao tuyến của
(SBD) và (SM C) nên J là giao điểm của M N vàSK.

VìO, M là trung điểm AC, AB nênK là trọng tâm tam giácABC,
suy raCK = 2M K.

GọiG là trung điểm của KC thì N Glà đường trung bình 4SKC
nên SK k N G. Lại có K là trung điểm M G nên J là trung điểm
M N hay J M

J N = 1.
Vậyk= 3.

A B

O
K
M

G
D

C
J

Chọn đáp án D

Câu 57. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình bình hành. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng qua trung điểmM củaBC, song song vớiBDvà SC là hình gì?

A. Tam giác. B. Ngũ giác. C. Lục giác. D. Tứ giác.

-Lời giải.

GọiN, P, Rlần lượt là trung điểm CD, SD vàSB.
GọiI là giao điểm củaAC vàM N.

TừI kẻ IQ song song vớiSC.

Ta cóM RkIQkN P kSC⇒(M N P QR)kSC. (1)
Ta cóM N kBD⇒(M N P QR)kBD. (2)

Từ(1)và (2)ta được thiết diện cần tìm là ngũ giác M N P QR.

B C

N
S

P
R

Chọn đáp án B

Câu 58. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt nhau thì song song.

B. Hai đường thẳng khơng cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau.

C. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì song song với nhau.

-Lời giải.

“Hai đường thẳng khơng cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau” là đúng.

“Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì song song với nhau” là sai vì hai đường thẳng đó có thể
chéo nhau.

Chọn đáp án B

Câu 59. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình thang vớiAD kBC. Giao tuyến của (SAD) và
(SBC) là

A. Đường thẳng đi quaS và song song vớiAB. B. Đường thẳng đi qua S và song song với AC.

C. Đường thẳng đi quaS và song song vớiAD. D. Đường thẳng đi quaS và song song với CD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(86)</span><div class='page_container' data-page=86>

Ta có








S ∈(SAD)∩(SBC)
BC kAD

BC ⊂(SBC); AD⊂(SAD)

Suy ra giao tuyến của(SAD) và(SBC) là đường thẳng đi qua
S và song song với AD.

D
S

A
B

Chọn đáp án C

Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm thuộc đoạn SB
(M khác S và B). Mặt phẳng(ADM)cắt hình chóp S.ABCDtheo thiết diện là

A. Hình bình hành. B. Tam giác. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.

-Lời giải.

Ta có

M ∈(ADM)∩(SBC)
ADkBC

⇒(ADM)∩(SBC) =M xkADkBC.
Trong mặt phẳng(SBC), gọiN =M x∩SC.

Do đó,ADN M là thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng(ADM).
VìADkM N vàM N < AD nên ADN M là hình thang.

C
B
N

Chọn đáp án D

Câu 61. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi M, N, K lần lượt là trung
điểm của CD, CB, SA. Gọi H là giao điểm của AC và M N. Giao điểm của SO với (M N K) là điểm E.
Hãy chọn cách xác định điểmE đúng nhất trong bốn phương án sau

A. E là giao của M N vàSO.

B. E là giao của KN và SO.

C. E là giao của KH và SO.

D. E là giao của KM vàSO.

B C

D
M
K

H
O
N

</div>
<span class='text_page_counter'>(87)</span><div class='page_container' data-page=87>

Trong (SAC) :KH∩SO ≡E suy ra SO∩(M N K)≡E.

D
M
K

H
O
N

Chọn đáp án C

Câu 62. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d . Đường thẳng a song
song với cả hai mặt phẳng(P),(Q). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a,dtrùng nhau. B. a,dchéo nhau. C. asong song d. D. a,dcắt nhau.

-Lời giải.

Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Chọn đáp án C

Câu 63.

Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình bình hành tâm

O. GọiM, N, K lần lượt là trung điểm củaCD, CB,SA. H là
giao điểm của AC và M N. Giao điểm của SO với (M N K) là
điểm E. Hãy chọn cách xác định điểm E đúng nhất trong bốn
phương án sau.

A. E là giao của M N vớiSO.

B. E là giao của KN với SO.

C. E là giao của KH với SO.

D. E là giao của KM vớiSO.

D M C

B
N
K

A E

-Lời giải.

GọiE=KH∩SO⇒

E∈KH⊂(KM N)

E∈SO ⇒E =SO∩(KM N).

Chọn đáp án C

Câu 64. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) sẽ:

A. Song song với hai đường thẳng đó.

B. Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

C. Trùng với một trong hai đường thẳng đó.

D. Cắt một trong hai đường thẳng đó.

-Lời giải.
Theo lý thuyết

Chọn đáp án B

Câu 65. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.

C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt khơng chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.

-Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(88)</span><div class='page_container' data-page=88>

Chọn đáp án A
Câu 66. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vơ số điểm chung khác.

B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.

C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

-Lời giải.

Mệnh đề “Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vơ số điểm chung khác” sai vì hai đường
thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và khơng có điểm chung.

Chọn đáp án D

Câu 67. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau
đây đúng khi nói về hai đường thẳngAD vàBC?

A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.

C. Song song với nhau. D. Chéo nhau.

-Lời giải.

Theo giả thiết, avàb chéo nhau⇒avà bkhông đồng phẳng.
Giả sửAD vàBC đồng phẳng.

NếuAD∩BC =I ⇒I ∈(ABCD)⇒I ∈(a;b).

C
D
a

Chọn đáp án D

Câu 68. Trong không gian, cho 3 đường thẳnga, b, c, biếtakb,avàcchéo nhau. Khi đó hai đường thẳng
bvà c

A. trùng nhau hoặc chéo nhau. B. cắt nhau hoặc chéo nhau.

C. chéo nhau hoặc song song. D. song song hoặc trùng nhau.

-Lời giải.

Giả sửbkc⇒cka(mâu thuẫn với giả thiết).

Chọn đáp án B

Câu 69. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, ctrong đóakb. Khẳng định nào sau đây

sai?

A. Nếu akcthì bkc.

B. Nếu ccắt athìc cắtb.

C. Nếu A∈avà B∈bthì ba đường thẳng a, b, AB cùng ở trên một mặt phẳng.

D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua avàb.

-Lời giải.

Nếuccắt athìc cắtbhoặc cchéo b.

Chọn đáp án B

Câu 70. Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và điểm M ở ngoài a và ngoài b. Có nhiều nhất bao nhiêu
đường thẳng qua M cắt cảavàb?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.

</div>
<span class='text_page_counter'>(89)</span><div class='page_container' data-page=89>

GọiP là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng avà M; Qlà mặt phẳng tạo bởi
đường thẳngb vàM.

Giả sửclà đường thẳng quaM cắt cả avàb.
⇒

c∈P

c∈Q ⇒c=P ∩Q.

Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cảavàb.

b
M

Chọn đáp án A

Câu 71. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, cchéo nhau từng đơi. Có nhiều nhất bao nhiêu đường
thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vơ số.

-Lời giải.

GọiM là điểm bất kì nằm trên a.

Giả sử dlà đường thẳng qua M cắt cả b và c. Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với
mặt phẳng tạo bởiM và c.

Với mỗi điểm M ta được một đường thẳngd.

Vậy có vơ số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳnga, b, c.

Chọn đáp án D

Câu 72. Cho hình chóp S.ABCD có AD khơng song song với BC.GọiM, N, P, Q, R, T lần lượt là trung
điểmAC, BD, BC, CD, SA, SD.Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?

A. M P và RT. B. M Qvà RT. C. M N vàRT. D. P QvàRT.

-Lời giải.

Ta có: M, Q lần lượt là trung điểm củaAC, CD ⇒M Qlà đường trung

bình của tam giácCAD⇒M QkAD(1).

Ta có: R, T lần lượt là trung điểm của SA, SD ⇒ RT là đường trung
bình của tam giácSAD⇒RT kAD(2).

Từ(1),(2) suy ra:M QkRT.

M N
B

P
A

D
Q
T

Chọn đáp án B

Câu 73. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm
SA, SB, SC, SD.Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song vớiIJ?

A. EF. B. DC. C. AD. D. AB.

-Lời giải.

Ta có IJ k AB (tính chất đường trung bình trong tam giác SAB) và
EF kCD (tính chất đường trung bình trong tam giác SCD).

MàCD kAB (đáy là hình bình hành)
⇒CDkABkEF kIJ.

B C

A
J

D
I

Chọn đáp án C

</div>
<span class='text_page_counter'>(90)</span><div class='page_container' data-page=90>

A. M P kN Q. B. M P ≡N Q. C. M P cắtN Q. D. M P, N Qchéo nhau.

-Lời giải.

Xét mặt phẳng(ABP).

Ta có:M, N thuộcAB⇒M, N thuộc mặt phẳng(ABP).
Mặt khác:CD∩(ABP) =P.

Mà:Q∈CD⇒Q /∈(ABP)
⇒M, N, P, Q không đồng phẳng.

B D

M
N

P
Q

Chọn đáp án D

Câu 75. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. Gọidlà giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. dquaS và song song vớiBC. B. dqua S và song song với DC.

C. dquaS và song song vớiAB. D. dqua S và song song với BD.

-Lời giải.
Ta có









(SAD)∩(SBC) =S

AD⊂(SAD), BC ⊂(SBC)
ADkBC

⇒(SAD)∩(SBC) =SxkADkBC (với d≡Sx).

B C

A D

Chọn đáp án A

Câu 76. Cho tứ diện ABCD. GọiI và J theo thứ tự là trung điểm của AD vàAC, G là trọng tâm tam
giácBCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng(GIJ) và (BCD) là đường thẳng

A. qua I và song song với AB. B. qua J và song song vớiBD.

C. qua Gvà song song vớiCD. D. quaGvà song song với BC.

-Lời giải.
Ta có








(GIJ)∩(BCD) =G
IJ ⊂(GIJ), CD⊂(BCD)
IJ kCD

⇒(GIJ)∩(BCD) =GxkIJkCD.

B
G
C

D
I

Chọn đáp án C

Câu 77. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi (ACI) lần
lượt là trung điểm củaAD vàBC vàG là trọng tâm của tam giácSAB. Giao tuyến của(SAB) và(IJ G)
là

A. SC. B. đường thẳng qua S và song song vớiAB.

C. đường thẳng qua Gvà song song với DC. D. đường thẳng quaG và cắtBC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(91)</span><div class='page_container' data-page=91>

Ta có:I, Jlần lượt là trung điểm củaADvàBC⇒IJlà
đường trung bình của hình thangABCD⇒ IJ kAB k
CD.

Gọid= (SAB)∩(IJ G)Ta có:Glà điểm chung giữa hai
mặt phẳng(SAB) và (IJ G)

Mặt khác:

(SAB)⊃AB; (IJ G)⊃IJ
ABkIJ

⇒Giao tuyếndcủa(SAB)và(IJ G)là đường thẳng qua
Gvà song song với ABvà IJ.

C
D

A
I

B
J
Q

Chọn đáp án C

Câu 78. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA.Thiết diện
của hình chóp S.ABCDcắt bởi mặt phẳng (IBC) là

A. Tam giácIBC. B. Hình thang IBCJ (J là trung điểm SD).

C. Hình thang IGBC (G là trung điểmSB). D. Tứ giácIBCD.

-Lời giải.
Ta có








(IBC)∩(SAD) =I

BC ⊂(IBC), AD⊂(SAD)
BC kAD

,
suy ra(IBC)∩(SAD) =IxkBCkAD.
Trong mặt phẳng(SAD):

IxkAD,gọi Ix∩SD=J ⇒IJ kBC.

Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là
hình thangIBCJ.

A
I

B C

D
J

Chọn đáp án B

Câu 79. Cho tứ diện ABCD, M vàN lần lượt là trung điểmAB vàAC.Mặt phẳng(α)qua M N cắt tứ
diệnABCD theo thiết diện là đa giácT. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. T là hình chữ nhật.

B. T là tam giác.

C. T là hình thoi.

D. T là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành.

-Lời giải.

D
K
N

I D

Trường hợp(α)∩AD=K. Suy raT là tam giácM N K. Do đó A và C sai.

Trường hợp(α)∩(BCD) =IJ,vớiI ∈BD, J∈CD;I, J không trùngD.Suy raT là tứ giác.

</div>
<span class='text_page_counter'>(92)</span><div class='page_container' data-page=92>

Câu 80. Cho hai hình vng ABCDvàCDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng4.Biết tam giác
SAC cân tại S, SB= 8.Thiết diện của mặt phẳng (ACI)và hình chóp S.ABCDcó diện tích bằng

A. 6√2. B. 8√2. C. 10√2. D. 9√2.

-Lời giải.

GọiO=SD∩CI; N =AC∩BD.

⇒O, N lần lượt là trung điểm củaDS, DB⇒ON = 1

2SB= 4.
Thiết diện của mp(ACI) và hình chóp S.ABCD là tam giác
OCA.

Tam giác SAC cân tại S ⇒ SC = SA ⇒ 4SDC = 4SDA
⇒CO=AO(cùng là đường trung tuyến của2đỉnh tương ứng)
⇒ 4OCAcân tạiO⇒S4OCA =

2ON·AC=
1
2·4·4

√

2 = 8√2.

S I

A
B

D
N
C

Chọn đáp án B

Câu 81. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm củaSA và SB.GọiP là giao điểm của SC và (AN D).Gọi I là giao điểm củaAN
vàDP.Hỏi tứ giácSABI là hình gì?

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vng. D. Hình thoi.

-Lời giải.

Suy raSI = (SAB)∩(SCD).

MàABkCD⇒SI kABkCD. VìM N là đường trung bình của
tam giácSABvà chứng minh được cũng là đường trung bình của
tam giácSAI nên suy ra SI =AB.

VậySABI là hình bình hành.

S I

C
P
A

D
E

Chọn đáp án A

Câu 82. Cho tứ diệnABCD.Các điểmP, Qlần lượt là trung điểm củaAB vàCD;điểmRnằm trên cạnh
BC sao cho BR= 2RC.GọiS là giao điểm của mặt phẳng(P QR) và cạnhAD.Tính tỉ số SA

SD.

A. 2. B. 1. C. 1

2. D.

1
3.

-Lời giải.

S
P

D
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(93)</span><div class='page_container' data-page=93>

GọiI là giao điểm củaBD vàRQ. NốiP vớiI,cắt ADtại S.
Xét tam giácBCD bị cắt bởiIR,ta có DI

IB ·
BR
RC ·

QD = 1⇔
DI

IB ·2·1 = 1⇔
DI
IB =

1
2.
Xét tam giácABD bị cắt bởiP I, ta có AS

SD ·
DI
IB ·

P A = 1⇔
SA
SD·

2 ·1 = 1⇔
SA
SD = 2.

Chọn đáp án A

Câu 83. Cho tứ diệnABCD và ba điểmP, Q, Rlần lượt lấy trên ba cạnhAB, CD, BC.ChoP RkAC và
CQ= 2QD. Gọi giao điểm củaAD và(P QR) làS.Chọn khẳng định đúng?

A. AD= 3DS. B. AD= 2DS. C. AS = 3DS. D. AS =DS.

-Lời giải.

A
S
P
C
Q
D
B
R
I

GọiI là giao điểm củaBD vàRQ. NốiP vớiI,cắt ADtại S.
Ta có DI

IB ·
BR
RC ·

QD = 1 mà
CQ

QD = 2 suy ra
DI
IB ·
BR
RC =
1
2 ⇔
DI
IB =
1
2·
RC
BR.
VìP R song song vớiAC suy ra RC

BR =
AP
P B ⇒

DI
IB =

1
2 ·

AP
P B.
Lại có SA

SD·

DI
IB ·

P A = 1⇒
SA
SD ·

1
2·

AP
P B ·

P A = 1⇔
SA

SD = 2⇒AD= 3DS.

Chọn đáp án A

Câu 84. GọiGlà trọng tâm tứ diệnABCD.GọiA0 là trọng tâm của tam giácBCD.Tính tỉ số GA
GA0.

A. 2. B. 3. C. 1

3. D.

1
2.

-Lời giải.

A
M
G
C
D
A0
B
E

GọiE là trọng tâm của tam giác ACD, M là trung điểm củaCD.
NốiBE cắtAA0 tại Gsuy ra Glà trọng tâm tứ diện.

Xét tam giácM AB, có M E
M A =

M A0
M B =

3 suy ra A

0<sub>E</sub> <sub>k</sub><sub>AB</sub><sub>⇒</sub> A0E
AB =

1
3.
Khi đó, theo định lí Talet suy ra A

0<sub>E</sub>
AB =

A0G
AG =

1
3 ⇒

GA
GA0 = 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(94)</span><div class='page_container' data-page=94>

Câu 85. Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giácBCDkhơng cân. GọiM, N lần lượt là trung điểm của
AB, CD và Glà trung điểm của đoạn M N. Gọi A1 là giao điểm củaAG và (BCD). Khẳng định nào sau

đây đúng?

A. A1 là tâm đường tròn tam giác BCD. B. A1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD.

C. A1 là trực tâm tam giác BCD. D. A1 là trọng tâm tam giác BCD.

-Lời giải.

C
P

D
B

Mặt phẳng(ABN)cắt mặt phẳng(BCD) theo giao tuyếnBN.
MàAG⊂(ABN) suy ra AGcắt BN tại điểm A1.

QuaM dựng M P kAA1 với P ∈BN. CóM là trung điểm của AB suy ra P là trung điểm BA1 ⇒BP =

P A1. (1)

Tam giácM N P có M P kGA1 và Glà trung điểm của M N.

⇒A1 là trung điểm củaN P ⇒P A1 =N A1. (2)

Từ(1), (2) suy ra BP =P A1 =A1N ⇒

BA1

BN =

3. Mà N là trung điểm của CD, do đó, A1 là trọng tâm
của tam giácBCD.

Chọn đáp án D

Câu 86. Cho tứ diện ABCD.GọiM, N lần lượt là trung điểm của AB, AC;E là điểm trên cạnh CD với
ED= 3EC.Thiết diện tạo bởi mặt phẳng(M N E) và tứ diện ABCD là

A. Tam giácM N E.

B. Tứ giác M N EF vớiF là điểm bất kì trên cạnh BD.

C. Hình bình hànhM N EF với F là điểm trên cạnh BDmà EF kBC.

D. Hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD màEF kBC.

-Lời giải.

Ta có E là điểm chung của hai mặt phẳng (M N E) và (BCD). Lại có








M N ⊂(M N E)

BC ⊂(BCD)
M N kBC

⇔ Giao tuyến của hai mặt phẳng (M N E) và(BCD)
là đường thẳngdđi qua điểm E và song song với BC và M N.

D
N

C
E
M

B F

Trong mặt phẳng(BCD), gọiF =d∩BC. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (M N E)và tứ diệnABCD
là hình thang M N EF với F là điểm trên cạnh BD màEF kBC.

Chọn đáp án D

Câu 87. Cho hai đường thẳng avàb.Điều kiện nào sau đây đủ kết luậnavà bchéo nhau?

A. avàb khơng có điểm chung.

B. avàb là hai cạnh của một hình tứ diện.

</div>
<span class='text_page_counter'>(95)</span><div class='page_container' data-page=95>

D. avàb khơng cùng nằm trên bất kì mặt phẳng nào.

-Lời giải.

Sửa lại cho đúng:avà bkhơng có điểm chung và khơng đồng phẳng.
Sửa lại cho đúng:avà blà hai cạnh đối của một hình tứ diện.
Sai vì avàb có thể song song.

Chọn đáp án D

Câu 88. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0. Có bao nhiêu cạnh của hình lập phương chéo nhau với
đường chéo AC0 của hình lập phương?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.

-Lời giải.

Các cạnh chéo nhau với đường chéo AC0 của hình lập phương là:

A0B0, A0D0, DD0, CD, BC, BB0. A

0 <sub>D</sub>0

B C

A
B0

D
C0

Chọn đáp án D

Câu 89. Cho hai đường thẳng phân biệt avàb trong khơng gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữaavà
b?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

-Lời giải.

Hai đường thẳng phân biệt a và b trong khơng gian có ba vị trí tương đối là: cắt nhau, song song, chéo
nhau.

Chọn đáp án B

Câu 90. Cho hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng. Có bao nhiêu vị trí tương đối
giữa hai đường thẳng đó?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

-Lời giải.

Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng có hai vị trí tương đối là: cắt nhau, song song.

Chọn đáp án B

Câu 91. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.

C. Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.

D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.

-Lời giải.

Theo định nghĩa của hai đường thẳng chéo nhau thì B là mệnh đề đúng.

Chọn đáp án C

Câu 92. Cho hai đường thẳngavàbchéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứaavà song song vớib?

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

-Lời giải.

Hai đường thẳng avàb chéo nhau có duy nhất một mặt phẳng chứaavà song song vớib.

Chọn đáp án B

Câu 93. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. GọiI, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC
vàA0B0C0.Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ) với hình lăng trụ đã cho là

A. Tam giác cân. B. Tam giác vng. C. Hình thang. D. Hình bình hành.

</div>
<span class='text_page_counter'>(96)</span><div class='page_container' data-page=96>

Kéo dài AI cắtBC tạiM, suy ra M là trung điểmBC.

Ta có












(AIJ)∩ A0B0C0
=J
AI ⊂(AIJ)

A0J ⊂ A0B0C0
AI kA0J

⇔(AIJ)∩(A0B0C0) =A0J.

Trong mặt phẳng(A0B0C0), gọiM0 =A0J ∩B0C0.
Khi đó thiết diện là tứ giácAA0J I, tứ giác này có

A0M0 kAM
AA0kM M0 ⇔
AA0J I là hình bình hành.

A0 C0

M0
B0

B
I
A

M
C

Chọn đáp án D

Câu 94. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì khơng chéo nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt nhau thì chéo nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt khơng song song thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.

-Lời giải.
Chọn A.

Đáp án B sai: hai đường thẳng đó có thể song song nhau.
Đáp án C sai: hai đường thẳng đó có thể cắt nhau.

Đáp án D sai: hai đường thẳng đó có thể song song hoặc cắt nhau.

Chọn đáp án A

Câu 95. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng(SAD)và
(SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào dưới đây?

A. AC. B. BD. C. AD. D. SC.

-Lời giải.
Ta có







(SAD)∩(SBC) =S

AD⊂(SAD), BC ⊂(SBC)
ADkBC

⇔(SAD)∩(SBC) =SxkADkBC.

S x

B C

Chọn đáp án C

Câu 96. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. Giả sửM thuộc đoạn thẳng SB.Mặt
phẳng(ADM) cắt hình chópS.ABCD theo thiết diện là hình gì?

A. Hình tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.

-Lời giải.
Ta có








(ADM)∩(SBC) =M
AD⊂(ADM), BC ⊂(SBC)
AD//BC

⇔ (ADM)∩(SBC) =
M N kADkBC vớiN ∈SC.

B C

M N

</div>
<span class='text_page_counter'>(97)</span><div class='page_container' data-page=97>

Tứ giácAM N D có M N kAD⇔AM N D là hình thang.

Chọn đáp án B

ĐÁP ÁN

</div>
<span class='text_page_counter'>(98)</span><div class='page_container' data-page=98>

<b>BÀI</b>

<b>3.</b>

<b>ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG</b>

<b>A</b> <b>TĨM TẮT LÝ THUYẾT</b>

<b>1</b> <b>VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG</b>

Cho đường thẳngavà mặt phẳng(P). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta
có ba trường hợp sau

a) Đường thẳnga và mặt phẳng(P) khơng có điểm chung, tức là
a∩(P) =∅⇔ak(P).

b) Đường thẳngavà mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là
a∩(P) =A⇔acắt(P) tạiA.

M
d

c) Đường thẳng avà mặt phẳng(P) có hai điểm chung, tức là
a∩(P) ={A, B} ⇔a⊂(P).

<b>2</b> <b>ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG</b>

Định lí 1. Nếu đường thẳng a khơng nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng

nào đó trong(P) thìa song song với (P).

Tức là a6⊂(P) thì nếu akd⊂(P)⇒ak(P).

Định lí 2. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt

(P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a.

Tức là









ak(P)
a⊂(Q)
(Q)∩(P) =d

⇒akd.

b
a

Hệ quả 1. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường
thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu
có) của chúng song song với đường thẳng đó.

Tức là







(P)∩(Q) =d

(P)ka
(Q)ka

</div>
<span class='text_page_counter'>(99)</span><div class='page_container' data-page=99>

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Phương pháp.

Để chứng minh đường thẳng dsong song với mặt phẳng(α) ta chứng minhdkhông nằm trong(α) và

song song với một đường thẳng anào đó nằm trong (α).

Ví dụ 1. Cho tứ diệnABCD cóGlà trọng tâm tam giácABD. Trên đoạnBC lấy điểmM sao cho
M B= 2M C. Chứng minh rằng đường thẳngM Gsong song với mặt phẳng (ACD).

-Lời giải.

GọiN là trung điểm của AD. Ta có: BG
BN =

3 (VìGlà trọng tâm tam giác ABD).
Theo giả thiết, ta có:M B= 2M C ⇒ BM

BC =
2
3.
Tam giácBCN có BG

BN =
BM

BC =
2

3 ⇒M GkCN.
MàM G6⊂(ACD),CN ⊂(ACD)⇒M Gk(ACD).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N,P lần lượt
là trung điểm của các cạnhSD,CD,BC.

<b>1</b> Chứng minh đường thẳngOM song song với các mặt phẳng(SAB),(SBC).
<b>2</b> Chứng minh đường thẳngSP song song với mặt phẳng (OM N).

</div>
<span class='text_page_counter'>(100)</span><div class='page_container' data-page=100>

O
A

N C

<b>1</b> Tam giác SBD có OB = OD và M S = M D nên OM là đường trung bình của tam giác SBD
⇒OM kSB.

MàOM không chứa trong các mặt phẳng (SAB) và(SBC)nên OM k(SAB) vàOM k(SBC).
<b>2</b> Trong mặt phẳng(ABCD), gọi I là giao điểm củaON vàDP.

Tam giácBCDcó OB =OD vàN C =N D nên ON là đường trung bình của tam giácBCD ⇒I là
trung điểm củaDP.

Tam giácSDP cóM S =M D vàIP =ID nên IM là đường trung bình của tam giácSDP ⇒IM k
SP.

MàSP 6⊂(OM N),IM ⊂(OM N)⇒SP k(OM N).

Ví dụ 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên
hai đường chéo AC, BF lần lượt lấy hai điểm M,N sao cho AM

AC =
BN

BF =k (k6= 0, k 6= 1). Mặt
phẳng(α)chứa đường thẳngM N, song song với đường thẳngAB, cắtAD vàAF lần lượt tạiM0 và
N0. Chứng minh rằng đường thẳngM0N0 song song với mặt phẳng(DEF).

-Lời giải.

N
F

B
M

C
E

</div>
<span class='text_page_counter'>(101)</span><div class='page_container' data-page=101>

Tam giácACD có M M0 kCD ⇒ AM

0
AD =

AC =k(1).
Tam giácABF có N N0kAB⇒ AN

0
AF =

BF =k (2).
Từ(1)và (2), ta có: AM

0
AD =

AN0

AF =k⇒M

0<sub>N</sub>0 <sub>k</sub><sub>DF</sub><sub>.</sub>

MàM0N0 6⊂(DEF),DF ⊂(DEF)⇒M0N0 k(DEF).
<b>2</b> <b>BÀI TẬP RÈN LUYỆN</b>

Bài 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. GọiM và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Chứng minh
M N k(ABCD).

-Lời giải.

Xét tam giácSAC có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC.
Suy raM N kAC nênM N kmp(ABCD).

A
M

C
D
N

Bài 2. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình bình hành,M vàN là hai điểm trên SA,SB sao
cho SM

SA =
SN

SB =

3. Chứng minh M N song song (ABCD).

-Lời giải.

Theo định lí Talet, ta có SM
SA =

SB suy raM N song song với ABMà AB
nằm trong mặt phẳng (ABCD) suy ra M N k(ABCD)

B C

N
D

Bài 3. Cho tứ diệnABCD. GọiGlà trọng tâm của tam giácABD,Qthuộc cạnhABsao choAQ= 2QB,
P là trung điểm của AB. Chứng minh GQk(BCD).

-Lời giải.

GọiM là trung điểm của BD.

VìGlà trọng tâm tam giác ABD⇒ AG
AM =

2
3.
ĐiểmQ∈AB sao cho AQ= 2QB ⇔ AQ

AB =
2
3.
Suy ra AG

AM =
AQ

AB ⇒GQkBD.

Mặt khácBD nằm trong mặt phẳng (BCD) suy ra GQk(BCD)

M B
P

Bài 4. Cho tứ diệnABCD. GọiM,N,P,Q,R,S theo thứ tự là trung điểm của các cạnhAC,BD,AB,
CD,AD,BC. Chứng minh:M, R, S, N đồng phẳng

</div>
<span class='text_page_counter'>(102)</span><div class='page_container' data-page=102>

Theo tính chất của đường trung bình của tam giác ta có
P SkACkQR suy ra P, Q, R, S đồng phẳng

Tương tự, ta có đượcP M kBC kN Qsuy ra P, M, N, Qđồng phẳng.
VàN RkCDkSN suy raM, R, S, N đồng phẳng.

S
B

C
R

Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC, (α) là mặt phẳng đi qua H
song song vớiAB vàCD. Thiết diện của(α) của tứ diện là hình gì?

-Lời giải.

QuaH kẻ đường thẳng(d) song songAB và cắt BC, AC lần lượt tạiM, N
Từ N kẻ N P song song vớ CD (P ∈ CD) Từ P kẻ P Q song song với
AB (Q∈BD)

Ta cóM N kP QkAB suy raM, N, P, Q đồng phẳng và ABk(M N P Q)
Suy raM N P Q là thiết diện của (α) và tứ diện.

Vậy tứ diện là hình bình hành.

B
P

D
Q

M C

N
H

Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCD có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho SM

SA =
2
3.
Một mặt phẳng(α) đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một tứ giác, tính diện tích tứ
giác đó.

-Lời giải.

Ta có(α)kABvàCDmàA, B, C, Dđồng phẳng suy ra(α)k(ABCD).
Giả sử(α)cắt các mặt bên (SAB),(SBC),(SCD),(SDA)lần lượt tại
các điểmN, P, Q vớiN ∈SB, P ∈SC, Q∈SD.

Suy ra(α)≡(M N P Q)

Khi đóM N kAB⇒M N là đường trung bình tam giácSAB
⇒ SM

SA =
M N

AB =
2
3
Tương tự, ta có được N P

BC =
P Q
CD =

QM
DA =

2
3
vàM N P Q là hình vng.

Suy raSM N P Q=
Å

2
3

ã2

SABCD=

9SABCD =
4

9.10.10 =
400

9 .

A
M

B C

N P

Q
D

Bài 7. Cho hình chópS.ABCDcó ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. GọiM, N lần lượt là hai trung
điểm củaAB vàCD, (P) là mặt phẳng quaM N và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết diện
của(P) và hình chóp là hình gì?

</div>
<span class='text_page_counter'>(103)</span><div class='page_container' data-page=103>

Xét hình thangABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
Suy raM N là đường trung bình của hình thangABCD⇒M N kBC.
Lấy điểmP ∈SB, quaP kẻ đường thẳng song song vớiBC và cắtBC
tạiQ

Suy ra (P)∩(SBC) =P Q nên thiết diện (P) và hình chóp là tứ giác
M N QP cóM N kP QkBC. Vậy thiết diện là hình thangM N QP.

B C

D
N
Q

Bài 8. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm thuộc cạnh SA
(không trùng với S hoặcA) (P) là mặt phẳng qua OM và song song với AD. Thiết diện của(P) và hình
chóp là hình gì?

-Lời giải.

QuaM kẻ đường thẳng M N kADvà cắt SDtại N
⇒M N kAD

Qua O kẻ đường thẳngP Qk AD và cắtAB, CD lần lượt tại Q, P ⇒
P QkAD

Suy ra M N k P Q k AD đồng phẳng ⇒ (P) cắt hình chóp S.ABCD
theo thiết diện là hình thangM N P Q.

B C

D
P
Q

N
M

Bài 9. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt thuộc cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và J B = 2J C Gọi
(P) là mặt phẳng quaIJ và song song vớiAB Thiết diện của(P) và tứ diện ABCDhình gì?

-Lời giải.

Giả sử(P) cắt các mặt của tứ diện (ABC) và(ABD) theo hai giao tuyến J H
vàIK

Ta có(P)∩(ABC) =J H, (P)∩(ABD) =IK.
(ABC)∩(ABD) =AB,(P) IK kAB

Theo định lí Thalet, ta có J B
J C =

HC = 2 suy ra
HA
HC =

ID ⇒IH kCD
MàIH ∈(P).

Suy raIH song song với mặt phẳng (P)

Vậy (P) cắt các mặt phẳng (ABC), (ABD) theo các giao tuyến IH, J K với
IH kJ K

Do đó, thiết diện của (P) và tứ diệnABCD là hình bình hành.

J
H

D
K

</div>
<span class='text_page_counter'>(104)</span><div class='page_container' data-page=104>

Dạng 2. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi biết một mặt phẳng song song với đường
thẳng cho trước

Phương pháp: Cho đường thẳng avà mặt phẳng (P) song song

với nhau. Nếu mặt phẳng(Q) chứa avà cắt (P) theo giao tuyến

b thìb song song với a. <sub>a</sub>

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình thang, đáy lớn AD. Gọi I là trung điểm củaSB.
Gọi(P) là mặt phẳng quaI, song song với SDvàAC.

<b>1</b> Tìm giao tuyến của mặt phẳng của(P) và(SBD).
<b>2</b> Tìm giao tuyến của mặt phẳng của(P) và(ABCD).

-Lời giải.

<b>1</b> Ta có:







I ∈(P)∩(SBD)
(P)kSD

SD⊂(SBD)

⇒(P)∩(SBD) =Ixtrong đó IxkSD.
GọiIx∩BD=K⇒(P)∩(SBD) =IK.

<b>2</b> Ta có:







K∈(P)∩(ABCD)
(P)kAC

AC⊂(ABCD)

⇒(P)∩(SBD) =Ky trong đó KykAC.
GọiKy∩AD=E, Ky∩CD=F

⇒(P)∩(SBD) =EF.

K
E

F
A

B C

D
S

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD,M là điểm thuộc cạnh AC. Gọi (P) là mặt phẳng quaM song song
vớiAB vàCD. Tìm giao tuyến của (P) với mặt phẳng(BCD).

-Lời giải.

Tìm giao tuyến của(P) với(ABC).
Ta có:








M ∈(P)∩(ABC)
(P)kAB

AB⊂(ABC)

⇒(P)∩(ABC) =M x trong đóM xkAB.
GọiM x∩BC =N ⇒(P)∩(ABC) =M N.
Tìm giao tuyến của(P) với(BCD).

Ta có:







N ∈(P)∩(ABC)
(P)kCD

CD⊂(BCD)

⇒(P)∩(BCD) =N y trong đóN ykCD.
GọiN y∩BD=P ⇒(P)∩(BCD) =N P.

P
M

N
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(105)</span><div class='page_container' data-page=105>

Ví dụ 3. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnhSC,(P)
là mặt phẳng chứaA, M và song song vớiBD.

<b>1</b> Xác định điểmE, F lần lượt là giao điểm của (P)với các cạnh SB, SD. Tìm tỉ số diện tích của
4SM E với 4SBC và tỉ số diện tích của4SM F với4SCD.

<b>2</b> Gọi K là giao điểm của M E với CB, J là giao điểm của M F với CD. Chứng minh rằng ba
điểmK, A, J nằm trên một đường thẳng song song vớiEF.Tính tỉ số EF

KJ.

-Lời giải.

F M

A B

C
D

<b>1</b> GọiAC∩BD=O và SO∩AM =I.

Ta có:







I ∈(P)∩(SBD)
(P)kBD

BD⊂(SBD)

⇒(P)∩(SBD) =Ixtrong đó IxkBD.
GọiIx∩SB=E, Ix∩SD=F

⇒E, F lần lượt là giao điểm của SB và SDvới (P).

<b>2</b> VìI =AM ∩SO màAM, SO là đường trung tuyến của4SAC nên I là trọng tâm4SAC.
Ta có: SE

SB =

SF
SD =

SI
SO =

2
3.
Do đó:

S4SM E

S4SBC

= SM
SC.

SE
SB =

1
2.

2
3 =

1
3.
S4SM F

S4SCD

= SM
SC.

SF
SD =

1
2.

2
3 =

1
3.

<b>3</b> Ta cóK, A, J là ba điểm chung của hai mặt phẳng(P) và (ABCD) nên chúng nằm trên giao tuyến
d= (P)∩(ABCD). VìBDk(P) vàBD⊂(ABCD) nêndkBD⇒dkEF.

Khi đó: EF
BD =

SI
SO =

3;KJ = 2BD ( VìE, F lần lượt là trọng tâm của4SCK,4SCJ).
Suy ra EF

KJ =
1
3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(106)</span><div class='page_container' data-page=106>

<b>1</b> Chứng minh(P) ln chứa một đường thẳng cố định.

<b>2</b> Tính tổng bình phương các cạnh của 4SM N khi AM =x. Tìm x để tổng này đạt giá trị bé
nhất.

-Lời giải.

N
A

C
S

<b>1</b> Ta có:







S∈(P)∩(SBC)
(P)kBC

BC⊂(SBC)

⇒(P)∩(SAB) =St trong đóStkBC.

Mặt khác:S, BC cố định nênStcố định. Vậy (P) ln chứa đường thẳngStcố định.

<b>2</b> Vì







(P)kBC
BC⊂(ABC)
(P)∩(ABC) =M N

⇒M N kBC.

Vì tam giácABC đều nên 4AM N đều cạnh bằngx.
Ta có:4SAM =4SAN ⇒SM =SN.

Xét4SAM ⇒SM2=SA2+AM2−2SA.AM.cos 60◦
⇒SM2 =a2+x2−2ax.1

2 =a

2<sub>+</sub><sub>x</sub>2<sub>−</sub><sub>ax.</sub>

Tổng bình phương các cạnh làS=SM2+SN2+M N2 = 2a2+ 3x2−2ax
⇒S= 3x−a

3
2

+5a

3 .
Suy raS ≥ 5a

3 ⇒minS=
5a2

3 ⇔x=
a
3.

Dạng 3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho hình chópS.A1A2. . . An và mp(α).

Nếu (α) cắt một mặt nào đó của hình chóp thì (α) sẽ cắt mặt này theo một đoạn thẳng gọi là đoạn

giao tuyến của(α) với mặt đó.

Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau tạo thành một đa giác phẳng gọi là thiết diện.

Như vậy, muốn tìm thiết diện của hình chóp với (α), ta tìm các đoạn giao tuyến (nếu có).

Đa giác tạo bởi các đoạn giao tuyến là thiết diện cần tìm.
Sử dụng thêm định lý:

Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt mặt phẳng (α)

</div>
<span class='text_page_counter'>(107)</span><div class='page_container' data-page=107>

Ví dụ 1. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật tâmO, M là trung điểm củaOC,
mặt phẳng(α) đi quaM và song song vớiSA vàBD. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(α).

-Lời giải.

Trong mặt phẳng(ABCD)quaM kẻ đường thẳng song song
vớiBD, cắt BC tại N và cắt CD tại Q.

Trong mặt phẳng (SAC) qua M kẻ đường thẳng song song
vớiSA, cắt SC tạiP. Khi đó ta có:

(α)∩(ABCD) =N Q, (α)∩(SBC) =N P, (α)∩(SCD) =
P Q.

Do đó:(α)∩S.ABCD=N P Q.
Vậy thiết diện là tam giácN P Q.

D
S

C
P

O N

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi(α) là mặt phẳng qua trung điểm của cạnh AC, song song với
AB vàCD. Tìm thiết diện của tứ diệnABCD cắt bởi(α).

-Lời giải.

GọiI, J, L, K lần lượt là trung điểm củaAC, BC, BD, AD. Ta có:
(α)∩(ABC) =IJ

(α)∩(BCD) =J L
(α)∩(ABD) =LK
(α)∩(ACD) =IK

Do đó,(α)∩(ABCD) =IJ LK. Dễ thấyIJ LK là hình bình hành.

B
L

C
I
K

D
J

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình thoi. Gọi E, F lần lượt là trung điểm củaSA, SB.
ĐiểmM bất kì thuộc cạnh BC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi(M EF).

-Lời giải.

Dễ thấyEF kAB, trong mặt phẳng(ABCD)quaM kẻ đường thẳng
song song vớiAB cắtAD tạiN. Ta có:

(M EF)∩(SBC) =M F.
(M EF)∩(SAB) =EF.
(M EF)∩(SAD) =EN.
(M EF)∩(ABCD) =M N.

Do đó,(M EF)∩S.ABCD=M N EF.

Vậy thiết diện là hình thangM N EF, hai đáy là M N vàEF.

D
S
E

C
F

M
N

Ví dụ 4. Cho hình vngABCDcạnha, tâmO. GọiSlà một điểm nằm ngoài mặt phẳng(ABCD)
sao choSB =SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM =x. Mặt phẳng (α) đi qua M song song
với SA, BD và cắt SO, SB, AB lần lượt tại N, P, Q. ChoSA =a, tính diện tích M N P Q theo avà
x, biết N M ⊥M Q.

</div>
<span class='text_page_counter'>(108)</span><div class='page_container' data-page=108>

Do







(α)kBD
BD⊂(ABO)
(α)∩(ABO) =M Q

⇒ M Q k BD. Tương tự, ta có N P k BD,

M N kSA vàP QkSA. Vậy tứ giác M N P Qcó hai cặp cạnh đối song song
với nhau, suy raM N P Q là hình bình hành.

DoN M ⊥M Qnên M N P Q là hình chữ nhật.

DoM N P Q là hình chữ nhật nênSM N P Q=M N.M Q(1).

Xét tam giác AQM có Ab=Q“= 45◦, Mc= 90◦ ⇒ ∆AQM vng cân. Vậy
M Q=AM =x.

Xét tam giácSAO, ta cóM N kSA⇒ M N
SA =

OA. Từ đó suy ra

M N =SA.OM

OA =a.
a√2

2 −x
a√2

=a−x√2.

ThayM Q vàM N vào (1), ta cóSM N P Q=

1
√

2.x.
√

2Äa−x√2ä.

A
B

S
P

Q D

C
I
N

M
O

<b>C</b> <b>CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM</b>

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng khơng cắt nhau thì song song.

B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.

C. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.

D. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có vơ số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

-Lời giải.

Trong khơng gian, hai mặt phẳng có3vị trí tương đối: trùng nhau, cắt nhau,
song song với nhau. Vì vậy,2mặt phẳng khơng cắt nhau thì có thể song song
hoặc trùng nhau⇒A là mệnh đề sai.

Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song
song với nhau (hình vẽ)⇒ B là mệnh đề sai.

Ta có:ak(P), ak(Q) nhưng(P) và(Q)vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.

Chọn đáp án C

Câu 2. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luậnmp(α)kmp(β)?

A. (α)k(γ) và(β)k(γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó).

B. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc(β).

C. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với(β).

D. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β).

-Lời giải.

a b
α

Hình 1.

a <sub>b</sub>

α β

Hình 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(109)</span><div class='page_container' data-page=109>

(α)kavà(α)kb với a, blà hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và(β) vẫn có thể cắt nhau (hình
1)⇒ Loại B.

(α)kavà(α)kbvớia, blà hai đường thẳng phân biệt cùng song song với(β) thì(α) và(β) vẫn có thể cắt
nhau (hình 2)⇒ Loại C.

Chọn đáp án D

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hai mặt phẳng(α) và(β)song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với(β).

B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong(β).

C. Nếu hai đường thẳng phân biệt avà bsong song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân
biệt thìak(β).

D. Nếu đường thẳngdsong song vớimp(α)thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp(α).

-Lời giải.

b
α

Hình 1.

b
a

Hình 2.

Hình 3.

Nếu hai mặt phẳng (α) và(β) song song với nhau thì hai đường thẳng bất kì lần lượt thuộc (α) và(β) có
thể chéo nhau (Hình 1)⇒Loại B. Nếu hai đường thẳng phân biệt avàbsong song lần lượt nằm trong hai
mặt phẳng (α) và (β) phân biệt thì hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau (Hình 2) ⇒ Loại C. Nếu
đường thẳng dsong song với mp(α) thì nó có thể chéo nhau với một đường thẳng nào đó nằm trong (α).
(Hình 3).

Chọn đáp án A

Câu 4. Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β), đường thẳng ak (α). Có mấy vị trí tương đối của avà
(β)?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

-Lời giải.

Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có3vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng.ak(α) mà(α)k(β)⇒avà(α) khơng
thể cắt nhau. Vậy cịn2 vị trí tương đối.

Chọn đáp án B

Câu 5. Cho hai mặt phẳng song song(P)và(Q). Hai điểmM, N lần lượt thay đổi trên (P) và(Q).GọiI
là trung điểm của M N.Chọn khẳng định đúng.

A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều(P) và (Q).

B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P)và (Q).

C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P).

D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt(P).

</div>
<span class='text_page_counter'>(110)</span><div class='page_container' data-page=110>

Ta có:I là trung điểm củaM N ⇒Khoảng cách từIđến(P)bằng khoảng
cách từI đến (Q)⇒ Tập hợp các điểmI là mặt phẳng song song và cách
đều (P) và(Q).

Chọn đáp án B

Câu 6. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳngasong song với mặt phẳng(P)?

A. akb vàb⊂(P). B. akb vàbk(P).

C. ak(Q) và (Q)k(P). D. a⊂(Q) vàb⊂(P).

-Lời giải.

Ta có: a k b và b ⊂ (P) suy ra a k (P) hoặc a ⊂ (P) ⇒ Loại A. a k b và b k (P) suy ra a k (P) hoặc
a⊂(P)⇒ Loại B.ak(Q)và (Q)k(P) suy raak(P) hoặca⊂(P)⇒ Loại C.

Chọn đáp án D

Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì akb.

B. Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì avàb chéo nhau.

C. Nếu akbvà a⊂(α), b⊂(β) thì(α)k(β).

D. Nếu (γ)∩(α) =a, (γ)∩(β) =bvà(α)k(β) thì akb.

-Lời giải.

Nếu(α) k(β) và a⊂(α), b⊂(β) thì akb hoặc a chéo b⇒ A, B sai. Nếu akb và a⊂(α), b⊂(β) thì
(α)k(β) hoặc(α)và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với avàb.

Chọn đáp án D

Câu 8. Cho đường thẳnga⊂(P)và đường thẳng b⊂(Q).Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. (P)k(Q)⇒akb. B. akb⇒(P)k(Q).

C. (P)k(Q)⇒ak(Q) vàbk(P). D. a vàbchéo nhau.

-Lời giải.

Với đường thẳnga⊂(P) và đường thẳng b⊂(Q).
Khi (P)k(Q)⇒akb hoặca, bchéo nhau ⇒ A sai.

Khi akb⇒(P)k(Q) hoặc(P),(Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với avàb⇒B sai.
avàb có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau⇒ D sai.

Chọn đáp án C

Câu 9. Hai đường thẳnga vàb nằm trongmp(α).Hai đường thẳng a0 và b0 nằm trong mp(β).Mệnh đề
nào sau đây đúng?

A. Nếuaka0 và bkb0 thì(α)k(β). B. Nếu (α)k(β)thì aka0 vàbkb0.

C. Nếu akb vàa0kb0 thì(α)k(β). D. Nếuacắtbvà aka0, bkb0 thì (α)k(β).

-Lời giải.

a0
b
a

∆

Hình 1.

a0
α

</div>
<span class='text_page_counter'>(111)</span><div class='page_container' data-page=111>

Nếuaka0 vàbkb0 thì(α)k(β) hoặc(α) cắt(β)(Hình 1) ⇒A sai. Nếu (α)k(β)thì aka0 hoặca, a0 chéo
nhau (Hình 2)⇒ B sai.

Nếuakbvà a0 kb0 thì (α)k(β) hoặc(α) cắtCC0.(Hình 1) ⇒C sai.

Chọn đáp án D

Câu 10. Cho hai mặt phẳng(P) và(Q) cắt nhau theo giao tuyến∆.Hai đường thẳngpvàq lần lượt nằm
trong(P)và (Q).Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. p vàq cắt nhau. B. p và q chéo nhau.

C. p vàq song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

-Lời giải.

Ta cópvà q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).

q
p

∆

q
p

∆ q

∆

Chọn đáp án D

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm củaSA, SD và AB.Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (N OM) cắt(OP M). B. (M ON)k(SBC).

C. (P ON)∩(M N P) =N P. D. (N M P)k(SBD).

-Lời giải.

Ta cóM N là đường trung bình của tam giácSADsuy raM N kAD
(1).

VàOP là đường trung bình của tam giácBAD suy raOP kAD (2).
Từ(1),(2) suy raM N kOP kAD⇒M, N, O, P đồng phẳng.
Lại cóM P kSB, OP kBC suy ra(M N OP)k(SBC)hay(M ON)k
(SBC).

D C

B
M

P
N

Chọn đáp án B

Câu 12. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình bình hành tâmO. Tam giácSBD đều. Một mặt
phẳng(P)song song với(SBD) và qua điểmI thuộc cạnhAC (khơng trùng vớiAhoặcC). Thiết diện của
(P) và hình chóp là hình gì?

A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều.

-Lời giải.

Gọi M N là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt đáy
(ABCD). Vì (P) k (SBD),(P) ∩(ABCD) = M N và (SBD) ∩
(ABCD) =M N suy raM N kBD.

Lập luận tương tự, ta có

(P) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyếnN P vớiN P kSD.
(P) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến M P vớiM P kSB.
Vậy tam giácM N P đồng dạng với tam giácSBDnên thiết diện của
(P) và hình chópS.ABCDlà tam giác đều M N P.

O
I

D N A

M
P

</div>
<span class='text_page_counter'>(112)</span><div class='page_container' data-page=112>

Câu 13. Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giácABC thỏa mãnAB=AC = 4,BAC’ = 30◦.Mặt phẳng

(P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2M A. Diện tích thiết diện của (P) và hình
chópS.ABC bằng bao nhiêu?

A. 16

9 . B.

9 . C.

9 . D. 1.

-Lời giải.
Ta có S∆ABC =

2 ·AB ·AC ·sinBAC’ =
1

2 ·4·4·sin 30

0 <sub>= 4.</sub> <sub>Gọi</sub>

N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SB, SC. Vì
(P) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có SM

SA =
SN
SB =
SP
SC =
2
3.
Khi đó(P)cắt hình chópS.ABC theo thiết diện là tam giácM N P đồng
dạng với tam giácABC theo tỉ số k= 2

VậyS∆M N P =k2·S∆ABC =

Å<sub>2</sub>

ã2

·4 = 16
9 .
S

A
M
C
N
B
P

Chọn đáp án A

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bênBC = 2,hai đáy AB=
6, CD = 4.Mặt phẳng (P) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3SM. Diện tích
thiết diện của(P) và hình chóp S.ABCDbằng bao nhiêu?

A. 5
√

9 . B.

2√3

3 . C. 2. D.

7√3
9 .

-Lời giải.

C
P
D
B
A
M
Q
N
C
D

A H K B

GọiH, K lần lượt là hình chiếu vng góc củaD, C trên AB.
ABCD là hình thang cân⇒

AH=BK;CD =HK

AH+HK+BK =AB ⇒BK = 1.

Tam giác BCK vng tại K, có CK = √BC2<sub>−</sub><sub>BK</sub>2 <sub>=</sub> √<sub>2</sub>2<sub>−</sub><sub>1</sub>2 <sub>=</sub> √<sub>3.</sub> <sub>Suy ra diện tích hình thang</sub>

ABCD làSABCD=CK·

AB+CD
2 =

√

3·4 + 6
2 = 5

√
3.

GọiN, P, Q lần lượt là giao điểm củaP và các cạnh SB, SC, SD.Vì(P)k(ABCD)nên theo định lí Talet,
ta có M N

AB =
N P
BC =
P Q
CD =
QM
AD =
1
3.

Khi đó(P) cắt hình chóp theo thiết diệnM N P Q có diện tích SM N P Q=k2·SABCD =

5√3
9 .

Chọn đáp án A

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = 6.
Gọi(P) là mặt phẳng qua O và song song với(SAB). Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD có diện
tích bằng

A. 5√5. B. 6√5. C. 12. D. 13.

</div>
<span class='text_page_counter'>(113)</span><div class='page_container' data-page=113>

QuaO kẻ đường thẳngdsong songAB và cắtBC, AD lần lượt tại
P, Q. Kẻ P N song song với SB(N ∈SB), kẻ QM song song với
SA(M ∈SA). Khi đó (M N P Q) k (SAB) ⇒ thiết diện của (P)
và hình chópS.ABCDlà tứ giác M N P Q.

Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là
trung điểm của SC, SD. Do đó M N là đường trung bình tam
giác SCD ⇒ M N = CD

2 =
AB

2 = 4. Và N P =
SB

2 = 3;
QM = SA

2 = 3⇒N P =QM ⇒M N P Q là hình thang cân.

C
P

D
Q
B

A
M

Hạ N H, M K vng góc với P Q.Ta cóP H =KQ⇒P H = 1

2(P Q−M N) = 2.
Tam giácP HN vng, cóN H =√5.

Vậy diện tích hình thangM N P Q làSM N P Q=N H·

P Q+N M
2 = 6

√
5.

Chọn đáp án B

Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.

B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.

C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.

D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.

-Lời giải.

Xét hình lăng trụ có đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ), ta thấy rằng hình lăng trụ ln có các cạnh
bên song song và bằng nhau. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song. Hai đáy
của lăng trụ là hai đa giác bằng nhau (tam giác, tứ giác, . . . ). Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình
hành vì có hai cạnh là hai cạnh bên của hình lăng trụ, hai cạnh còn lại thuộc hai đáy song song.

Chọn đáp án C <sub></sub>

Câu 17. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?

A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.

B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.

D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

-Lời giải.

Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam
giác đều.

Chọn đáp án C <sub></sub>

Câu 18. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?

A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đơi một song song.

B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.

C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.

D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.

-Lời giải.

Xét hình chóp cụt có đáy là đa giác (tam giác, tứ giác, . . . ) ta thấy rằng: Các cạnh bên của hình chóp cụt
đơi một cắt nhau. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. Hai đáy của hình chóp cụt là hai
đa giác đồng dạng.

Chọn đáp án C

Câu 19. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?

A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.

B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.

D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(114)</span><div class='page_container' data-page=114>

Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

Chọn đáp án C

Câu 20. Cho hình lăng trụABC.A0B0C0.GọiM, N lần lượt là trung điểm củaBB0 vàCC0.Gọi∆là giao
tuyến của hai mặt phẳng(AM N) và (A0B0C0).Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ∆kAB. B. ∆kAC. C. ∆kBC. D. ∆kAA0.

-Lời giải.
Ta có








M N ⊂(AM N)
B0C0 ⊂ A0B0C0
M N kB0C0

−

→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(AM N) và(A0B0C0) sẽ song song vớiM N và B0C0. Suy ra ∆kBC.

A0 C0

C
M

∆

Chọn đáp án C

Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0.GọiH là trung điểm củaA0B0.Đường thẳngB0C song song với
mặt phẳng nào sau đây?

A. (AHC0). B. (AA0H). C. (HAB). D. (HA0C).

-Lời giải.

GọiM là trung điểm của AB suy raM B0 kAH

⇒M B0k(AHC0). (1)

VìM H là đường trung bình của hình bình hànhABB0A0 suy raM H
song song và bằngBB0 nên M H song song và bằngCC0

⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒M C kHC0 ⇒M C k(AHC0). (2)
Từ(1)và (2), suy ra(B0M C)k(AHC0)⇒B0C k(AHC0).

A C

B0
B

Chọn đáp án A

Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0.Mặt phẳng (AHC0) song song
với đường thẳng nào sau đây?

A. CB0. B. BB0. C. BC. D. BA0.

-Lời giải.

Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH ⇒ M B0 k (AHC0).
(1)

VìM H là đường trung bình của hình bình hànhABB0A0 suy raM H
song song và bằngBB0 nên M H song song và bằngCC0

⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒M C kHC0 ⇒M C k(AHC0). (2)
Từ(1)và (2), suy ra(B0M C)k(AHC0)⇒B0C k(AHC0).

A C

B0
B

Chọn đáp án A

Câu 23. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1.Trong các khẳng định sau, khẳng định nàosai?

</div>
<span class='text_page_counter'>(115)</span><div class='page_container' data-page=115>

C. ABk(A1B1C1). D. AA1B1B là hình chữ nhật.

-Lời giải.

Vì mặt bênAA1B1B là hình bình hành, cịn nó là hình chữ nhật nếuABC.A1B1C1 là hình lăng trụ đứng.

Chọn đáp án D

Câu 24. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0.Khẳng định nào dưới đây làsai?

A. ABCD là hình bình hành.

B. Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B đồng quy.

C. (ADD0A0)k(BCC0B0).

D. AD0CB là hình chữ nhật.

-Lời giải.

Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy
rằng:

Hình hộp có đáyABCD là hình bình hành.

Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B cắt nhau tại tâm
củaAA0C0C, BDD0B0.

Hai mặt bên(ADD0A0),(BCC0B0) đối diện và song song
với nhau.

AD0 vàCB là hai đường thẳng chéo nhau suy raAD0CB
khơng phải là hình chữ nhật.

B C

A0 D0

A D

Chọn đáp án D

Câu 25. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có các cạnh bênAA0, BB0, CC0, DD0. Khẳng định nào dưới đây

sai?

A. (AA0B0B)k(DD0C0C). B. (BA0D0)k(ADC0).

C. A0B0CD là hình bình hành. D. BB0D0D là một tứ giác.

-Lời giải.

Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
Hai mặt bên(AA0B0B) và(DD0C0C) đối diện, song song
với nhau.

Hình hộp có hai đáy (ABCD),(A0B0C0D0) là hình bình
hành ⇒ A0B0 = CD và A0B0 k CD suy ra A0B0CD là
hình hình hành.

BD k B0D0 suy ra B, B0, D0, D đồng phẳng ⇒ BB0D0D
là tứ giác.

Mặt phẳng (BA0D0) chứa đường thẳng CD0 mà CD0 cắt
C0D suy ra (BA0D0) không song song với mặt phẳng
(ADC0).

B C

A0 D0

A D

Chọn đáp án B

Câu 26. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có
nhiều nhất mấy cạnh?

A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6cạnh.

-Lời giải.

Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc
các mặt của hình lăng trụ tam giác.

Chọn đáp án C

Câu 27. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất
mấy cạnh?

A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7cạnh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(116)</span><div class='page_container' data-page=116>

Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất
kì là một đa giác có nhiều nhất6 cạnh.

Chọn đáp án C

Câu 28. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. GọiI là trung điểm của AB. Mặt phẳng(IB0D0) cắt hình hộp
theo thiết diện là hình gì?

A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.

-Lời giải.
Ta có








B0D0 ⊂ IB0D0
BD⊂(ABCD)
B0D0 kBD

−

→ Giao tuyến của(IB0D0) với (ABCD)
là đường thẳngdđi qua I và song song với BD. Trong mặt phẳng
(ABCD), gọiM =d∩AD−→IM kBDkB0D0. Khi đó thiết diện
là tứ giácIM B0D0 và tứ giác này là hình thang.

A0 M D0

B C

D
C0
I

Chọn đáp án B

Câu 29. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi(α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt hình
hộp theo thiết diện là một tứ giácT. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành.

C. T là hình thoi. D. T là hình vng.

-Lời giải.

Giả sử mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ
giác T. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (α) và mặt phẳng
(A0B0C0D0). Ta chứng minh đượcAB kdsuy ra tứ giác T là một
hình bình hành.

B C

A0 D0

A D

Chọn đáp án B

Câu 30. Cho hình chóp cụt tam giácABC.A0B0C0 có 2 đáy là 2 tam giác vng tạiAvàA0 và có AB
A0<sub>B</sub>0 =

1
2.
Khi đó tỉ số diện tích S∆ABC

S∆A0<sub>B</sub>0<sub>C</sub>0 bằng

A. 1

2. B.

4. C. 2. D. 4.

-Lời giải.

Hình chóp cụt ABC.A0B0C0 có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song
nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A0B0C0 suy ra S∆ABC

S∆A0<sub>B</sub>0<sub>C</sub>0

=
1

2·AB·AC
1

2 ·A

0<sub>B</sub>0<sub>·</sub><sub>A</sub>0<sub>C</sub>0

= AB
A0<sub>B</sub>0 ·

AC
A0<sub>C</sub>0 =

1
4.

A C

B0
C0

Chọn đáp án B

Câu 31. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

</div>
<span class='text_page_counter'>(117)</span><div class='page_container' data-page=117>

C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương.

-Lời giải.

Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

Chọn đáp án A

Câu 32. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;

(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vng;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;

(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3.

-Lời giải.

Các mệnh đề(1),(3)và (4)đúng.

Chọn đáp án D

Câu 33. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho M A
AD =
N C

CB =
1

3. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng M N và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ
diệnABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là

A. một hình bình hành. B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.

C. một hình thang với đáy lớn gấp 3lần đáy nhỏ. D. một tam giác.

-Lời giải.

QuaM, kẻ đường thẳng song song vớiCD cắtAC tại E.
QuaN, kẻ đường thẳng song song với CD cắtBD tạiF.
Khi đóM E kN F kCD và(P)≡(M EN F).

Ta có







N F
CD =

BN
BC =

2
3
M E

CD =
AM

AD =
1
3

⇒N F = 2M E.

Vậy thiết diện củaABCDcắt bởi(P)là hình thangM EN F, trong đó đáy
lớnN F gấp 2 lần đáy nhỏM E.

F
B

Chọn đáp án B

Câu 34. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. GọiI là trung điểm của AB. Mặt phẳng(IB0D0) cắt hình hộp
theo thiết diện là

A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác.

-Lời giải.
Ta có








B0D0 ⊂(IB0D0)
BD⊂(ABCD)
BDkB0D0

nên giao tuyến của(IB0D0)với(ABCD)là đường
thẳngIE quaI và song song với BD(E∈AD).

VìIEkB0D0 nên thiết diện là hình thangIED0B0.

A
A0

B
B0

C
D

I
E

Chọn đáp án B

</div>
<span class='text_page_counter'>(118)</span><div class='page_container' data-page=118>

Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 cạnha. Xét tứ diện
AB0CD0. Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua tâm của
hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC). Tính
diện tích của thiết diện thu được.

A0 D0

B C

B0 C0

A. a

3 . B.

2a2

3 . C.

2. D.

3a2
4 .

-Lời giải.

Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của
AC0.

Gọi(P)là mặt phẳng quaI và song song với(ABC). Khi đó
(P) cắt các đường thẳng AB0, B0C, CD0, AD0 lần lượt tại
các trung điểm M,N,P,Q.

Khi đóM N =P Q= 1
2AC =

a√2
2 và
N P =M Q= 1

0<sub>D</sub>0 <sub>=</sub> a

√
2
2 .

Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là
hình thoi M N P Qcạnh bằng a

√
2
2 .
Mặt khácN Q=M P =BC =a.
Diện tích hình thoiM N P Q làS= 1

2N Q·M P =

2 .

A0 D0

B C

I
M

D
P
N

Chọn đáp án C

Câu 36. Cho bốn mệnh đề sau

(1) Nếu hai mặt phẳng(α)và(β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng(α) đều
song song với(β).

(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong khơng gian hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.

(4) Tồn tại hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho
trước.

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đềsai?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

-Lời giải.

Mệnh đề(1) là mệnh đề đúng.

Mệnh đề(2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Mệnh đề(3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng khơng có điểm chung.

Mệnh đề(4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy có3 mệnh đềsai.

</div>
<span class='text_page_counter'>(119)</span><div class='page_container' data-page=119>

Câu 37. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?

A. 31. B. 30. C. 22. D. 33.

-Lời giải.

Hình lăng trụ có đúng11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có11 đỉnh⇒ đa giác đáy có11 cạnh.

Vậy hình lăng trụ có đúng11 cạnh bên thì có 11 + 11·2 = 33 cạnh.

Chọn đáp án D

Câu 38. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Tìm mệnh đề saitrong các mệnh đề sau

A. (ABB0A0)k(CC0D0D). B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau.

C. AA0kCC0. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.

-Lời giải.

Mệnh đềsai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”.

Chọn đáp án B

Câu 39. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC0 và 4AB0C0.
Mặt phẳng nào sau đây song song với(IJ K)?

A. (BC0A). B. (AA0B). C. (BB0C). D. (CC0A).

-Lời giải.

GọiM, N, P lần lượt là trung điểm BC,CC0 và B0C0.
Ta có AK

AP =
AJ
AN =

AI
AM =

2
3.

Suy ra(IJ K)k(M N P) hay (IJ K)k(BB0C). P

B
I
B0

M
J
A0

C
N
K

Chọn đáp án C

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vng cạnha, tam giác SAB đều. Gọi M là điểm trên
cạnh AD sao cho AM =x, x ∈ (0;a). Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với (SAB) lần lượt cắt các
cạnhCB, CS, SD tạiN, P, Q. Tìmx để diện tích M N P Qbằng 2a

2√<sub>3</sub>

9 .

A. 2a

3 . B.

4. C.

2. D.

a
3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(120)</span><div class='page_container' data-page=120>

Ta có






(α)k(SAB)

(SAB)∩(SAD) =SA
M ∈(α)∩(SAD)

⇒(α)∩(SAD) =M QkSA
vớiQ∈SD.








(α)k(SAB)

(SAB)∩(ABCD) =AB
M ∈(α)∩(ABCD)

⇒ (α)∩(ABCD) = M N k AB
vớiN ∈BC.








(α)k(SAB)

(SAB)∩(SCB) =SB
N ∈(α)∩(SBC)

⇒ (α)∩(SBC) = N P k SB với

P ∈SC. D

P
S E

B N C

Suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCDcắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giácM N P Q.

Ta có










(α)∩(SCD) =P Q

(SCD)∩(ABCD) =CD
(ABCD)∩(α) =M N
CDkM N

⇒ P Q, M N, CD đôi một song song. Khi đó M N P Q là hình thang với

đáy lớnCD.
Hơn nữa ta có








M N kAB
P N kSB
M QkSA

⇒M N P÷ =ABS’= 60◦ vàN M Q÷ =BAS’= 60◦.

Do dó tứ giácM N P Q là hình thang cân.
Ta có P Q

CD =
SQ
SD =

AD ⇒P Q=AM =x.

Suy ra∆EM N đều cạnhavà∆EP Qlà tam giác đều cạnhx. Khi đó

SM N P Q=S∆EM N −S∆EP Q=

a2√3
4 −

x2√3
4 .
Theo giả thiếtSM N P Q=

2a2√3
9 ⇔

a2√3
4 −

x2√3
4 =

2a2√3

9 ⇔x=
a
3.
Vậy giá trị xcần tìm là a

Chọn đáp án D

Câu 41. Cho hai mặt phẳng (P) và(Q)song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đường thẳng d⊂(P)và d0 ⊂(Q) thìdkd0.

B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A∈(P) và song song với(Q) đều nằm trong(P).

C. Nếu đường thẳng ∆cắt (P) thì∆cũng cắt(Q).

D. Nếu đường thẳnga⊂(Q) thìak(P).

-Lời giải.

Đường thẳng d⊂(P)và d0 ⊂(Q) thì dvàd0 song song hoặc chéo nhau.

Mọi đường thẳng đi qua điểmA∈(P) và song song với(Q) đều nằm trong (P)là mệnh đề đúng.
Nếu đường thẳng∆cắt (P) thì∆cũng cắt(Q) đúng (tính chất 2 mặt phẳng song song).

Nếu đường thẳnga⊂(Q) thìak(P) là mệnh đề đúng.

Chọn đáp án A <sub></sub>

Câu 42. Cho đường thẳnganằm trong mặt phẳng(α)và đường thẳngbnằm trong mặt phẳng(β). Mệnh
đề nào sau đây sai?

A. (α)k(β)⇒akb. B. (α)k(β)⇒ak(β).

C. (α)k(β)⇒bk(α). D. a vàbhoặc song song hoặc chéo nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(121)</span><div class='page_container' data-page=121>

Nếu(α)k(β) thì ngồi trường hợpakb thìavà bcó thể chéo nhau.

Chọn đáp án A

Câu 43. Lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?

A. 6. B. 3. C. 9. D. 5.

-Lời giải.
Theo lý thuyết.

Chọn đáp án D

Câu 44. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A0B0C0. M là
điểm trên cạnhAC sao cho AM = 2M C. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. GG0 k(ACC0A0). B. GG0 k(ABB0A0).

C. Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0). D. (M GG0)k(BCC0B0).

-Lời giải.

VìG,G0 lần lượt là trọng tâm các tam giácABC,A0B0C0 nên ta cóGG0 k
(ACC0A0),GG0 k(ABB0A0),GG0 k(BCC0B0).

GọiN là trung điểm BC, ta có AG
GN =

M C = 2nên suy ra M GkCN ⇒
M Gk(BCC0B0).

Từ GG0 k (BCC0B0) và M Gk (BCC0B0) ta có (M GG0) k (BCC0B0). Do
vậyM G0 k(BCC0B0).

Vậy, mệnh đề sai là: “Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0)”.

C0
G0

C
G

M
N

Chọn đáp án C

Câu 45. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm các tam giácABC và A0B0C0,M là

điểm trên cạnhAC sao cho AM = 2M C. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. GG0 k(ACC0A0). B. GG0 k(ABB0A0).

C. Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0). D. (M GG0)k(BCC0B0).

-Lời giải.

Ta cóGG0kAA0 và M GkBC nên
GG0 k(ACC0A0) là mệnh đề đúng,
GG0 k(ABB0A0)là mệnh đề đúng,
(M GG0)k(BCC0B0)là mệnh đề đúng,

Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0)là mệnh đề sai.

M
G0

N
B

G
A

C
C0

Chọn đáp án C

Câu 46. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0. GọiM là trung điểm củaAB, mặt phẳng(M A0C0)cắt cạnhBC
tạiN. Tính tỉ số k= M N

A0<sub>C</sub>0.
A. k= 1

2. B. k=
1

3. C. k=
2

3. D. k= 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(122)</span><div class='page_container' data-page=122>

Ba mặt phẳng phân biệt(ABCD),(ACC0A0),(M A0C0)đôi một cắt
nhau theo ba giao tuyếnAC,A0C0 vàM N. Theo tính chất hình hộp
ta có ACkA0C0 nên M N kAC kA0C0.

Lại cóM là trung điểm củaABnên M N là đường trung bình trong
tam giácABC.

Vì vậy M N = 1
2AC=

0<sub>C</sub>0 <sub>⇒</sub><sub>k</sub><sub>=</sub> M N
A0C0 =

1
2.

A0 D0

B N C

A
B0

Chọn đáp án A

Câu 47. Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) đôi một song song. Hai đường thẳng d, d0 lần lượt cắt ba mặt
phẳng này tạiA, B, C vàA0, B0, C0 (B nằm giữaAvàC,B0 nằm giữaA0 vàC0). Giả sửAB= 5,BC = 4,
A0C0 = 8. Tính độ dài hai đoạn thẳng A0B0,B0C0.

A. A0B0 = 10, B0C0 = 8. B. A0B0 = 8, B0C0 = 10.

C. A0B0 = 12, B0C0 = 6. D. A0B0 = 6, B0C0 = 12.

-Lời giải.
Ta có AB

A0B0 =
BC
B0C0 =

AB+BC
A0B0+B0C0 =

AC
A0C0 ⇒A

0<sub>B</sub>0 <sub>= 10, B</sub>0<sub>C</sub>0 <sub>= 8.</sub>

Chọn đáp án A

Câu 48. Trong không gian, cho các mệnh đề sau

I. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

II. Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai
đường thẳng đó.

III. Nếu đường thẳng asong song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì asong
song với (P).

IV. Qua điểmA không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α).
Số mệnh đề đúng là

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.

-Lời giải.

Xét từng mệnh đề ta có

I. “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề
sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.

II. “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai
đường thẳng đó” là mệnh đề sai, vì hai mặt phẳng đó có thể song song nhau.

III. “Nếu đường thẳngasong song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng(P) thìasong
song với (P)” là mệnh đề sai, vì đường thẳngavẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P).

IV. “Qua điểmA không thuộc mặt phẳng(α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với(α)” là mệnh
đề sai, vì có vô số đường thẳng đi qua điểmA và song song với(α).

Vậy khơng có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên.

Chọn đáp án B

Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, ADk BC,AD = 2BC. Gọi E là trung
điểmAD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng
(α)qua I song song với(SBE) cắt hình chópS.ABCD theo một thiết diện là

A. Một hình tam giác.

B. Một hình thang.

</div>
<span class='text_page_counter'>(123)</span><div class='page_container' data-page=123>

D. Một hình bình hành.

-Lời giải.
Ta có








(α)k(SBE)

(SBE)∩(ABCD) =BE
(α)∩(ABCD) =Ix
⇒IxkBE

⇒IxcắtBC tạiM,AD tạiQ.
Ta có








(α)k(SBE)

(α)∩(SBC) =M x
(SBE)∩(SBC) =SB
⇒M xkSB ⇒M xcắtSC tạiN.
Ta có








(α)k(SBE)
(α)∩(SAD) =Qx
(SBE)∩(SAD) =SE
⇒QxkSE ⇒Qxcắt SDtại P.

A
N

E Q

B C

D
O

Tứ giácBCDE là hình bình hành ⇒CDkBE kM Q⇒CDk(α).
Ta có








CD k(α)
CD ⊂(SCD)
(SCD)∩(α) =P N
⇒CDkP N ⇒M QkP N

Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α)với hình chóp S.ABCDlà hình thang M N P Q.

Chọn đáp án B

Câu 50. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là một hình bình hành. GọiA0,B0,C0,D0 lần lượt là trung điểm
của các cạnhSA, SB, SC, SD.Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. A0B0 k(SBD). B. A0B0 k(SAD). C. (A0C0D0)k(ABC). D. A0C0 kBD.

-Lời giải.

Ta cóA0C0 kAC⇒(A0C0D0)k(ABC).

B
A0

D
C0

Chọn đáp án C

Câu 51. Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0cạnha. GọiMlà trung điểm củaAB,N là tâm hình vng
AA0D0D. Tính diện tích thiết diện của hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 tạo bởi mặt phẳng(CM N).

A. a

2√<sub>14</sub>

4 . B.

3a2√14

2 . C.

3a2

4 . D.

a2√14
2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(124)</span><div class='page_container' data-page=124>

D0 C0

E A0

A M B

C
Q

P
N

Thiết diện như hình vẽ. Tứ giácCQP M là hình thang có

CM = a

√
5

2 ,P M =
a√13

6 ,P Q=
a√10

3 ,CQ=
a√13

3 .
Suy raM F =P Q= a

√
10

3 ,CF =P M =
a√13

6
Ta cóSCM P Q= 3SCM F.

SCM F =

p(p−CM)(p−CF)(p−M F) vớip= CM +M F +F C

2 . Thay giá trị các cạnh ta có SCM F =

…

7
72a

2<sub>⇒</sub><sub>S</sub>

CM P Q =

a2√14
4 .

Chọn đáp án A

Câu 52. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đềsai?

A. (BA0C0)k(ACD0). B. (ADD0A0)k(BCC0B0).

C. (BA0D)k(CB0D0). D. (ABA0)k(CB0D0).

-Lời giải.
Ta có

BA0kCD0

A0C0 kAC ⇒(BA

0<sub>C</sub>0<sub>)</sub><sub>k</sub><sub>(ACD</sub>0<sub>).</sub>

ADkBC

AA0kBB0 ⇒(ADD

0<sub>A</sub>0<sub>)</sub><sub>k</sub><sub>(BCC</sub>0<sub>B</sub>0<sub>).</sub>

BDkB0D0

A0DkB0C ⇒(BA

0<sub>D)</sub><sub>k</sub><sub>(CB</sub>0<sub>D</sub>0<sub>).</sub>

A
D

B
A0

C
B0

C0
D0

Mặt khácB0∈(ABA0)∩(CB0D0)⇒ (ABA0)k(CB0D0) là mệnh đề sai.

Chọn đáp án D

Câu 53. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. (ABCD)k(A0B0C0D0). B. (AA0D0D)k(BCC0B0).

C. (BDD0B0)k(ACC0A0). D. (ABB0A0)k(CDD0C0).

-Lời giải.
Ta thấy








(ABCD)k(A0B0C0D0)
(AA0D0D)k(BCC0B0)
(ABB0A0)k(CDD0C0)

luôn đúng.

và hai mặt phẳng(BDD0B0),(ACC0A0) là cắt nhau.

A0 D0

C0
B0

A D

</div>
<span class='text_page_counter'>(125)</span><div class='page_container' data-page=125>

Chọn đáp án C
Câu 54. Cho đường thẳng athuộc mặt phẳng (P) và đường thẳngb thuộc mặt phẳng (Q). Mệnh đề nào
sau đâyđúng?

A. akb⇒(P)k(Q). B. (P)k(Q)⇒akb.

C. (P)k(Q)⇒ak(Q) vàbk(P). D. a vàbchéo nhau.

-Lời giải.

(P) k (Q) suy ra (P) và (Q) khơng có điểm chung. Mặt khác a ∈ (P) nên a và (Q) cũng khơng có điểm
chung. Suy raak(Q). Tương tự ta cũng có bk(P).

Chọn đáp án C

Câu 55. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0. Mặt phẳng(AB0D0)song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. (BDA0). B. (A0C0C). C. (BDC0). D. (BCA0).

-Lời giải.

Mặt phẳng(AB0D0) song song với mặt phẳng (BDC0).

Thật vậy, ta có AB0 k DC0 và AD0 k BC0, có điều cần chứng
minh.

D
C

D0
C0

B
B0

A
A0

Chọn đáp án C

Câu 56. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0. Mặt phẳng(AB0D0)song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. (BA0C0). B. (C0BD). C. (BDA0). D. (ACD0).

-Lời giải.

Ta cóBDB0D0 là hình bình hành nên BDkB0D0. Tương tự
ta có AD0 kBC0.

Từ đó suy ra BDk(AB0D0) vàBC0k(AB0D0).
Vậy(AB0D0)k(C0BD)

C
B0

Chọn đáp án B

Câu 57. Cho tứ diện ABCDcó AB= 6,CD = 8. Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song vớiAB,CD
để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng

A. 31

7 . B.

7 . C.

7 . D.

15
7 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(126)</span><div class='page_container' data-page=126>

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với
các cạnhAC,BC,BD,AD, khi đó theo giả thiết tứ giácM N P Qlà hình
thoi.

Cũng từ giả thiết ta suy raP Qk M N k AB, M QkN P kCD nên ta có
CM

AC =
M N

AB ,
AM

AC =
M Q

CD ⇒

AC−CM
AC =

M Q
CD
⇔ 1−CM

AC = 1−
M N

AB =
M Q

CD =
M N

CD
⇒ M N = 1

1
AB +

1
CD

= 1
1
6 +

1
8

= 24
7 .

Vậy cạnh của hình thoi cần tìm là 24
7 .

A
Q

N
M

B
P
D

Chọn đáp án C

Câu 58. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. Gọidlà giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. dquaS và song song vớiAB. B. dqua S và song song với BC.

C. dquaS và song song vớiDC. D. dqua S và song song với BD.

-Lời giải.
Có












S∈(SAD)∩(SBC)
AD⊂(SAD)

BC⊂(SBC)
ADkBC

⇒(SAD)∩(SBC) =dkADkBC và dđi quaS.

B C

D
S

Chọn đáp án B

Câu 59. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
QuaM vẽ mặt phẳng (α) song song với(SIC). Thiết diện tạo bởi (α)với tứ diện SABC là

A. hình thoi. B. tam giác cân tạiM. C. tam giác đều. D. hình bình hành.

</div>
<span class='text_page_counter'>(127)</span><div class='page_container' data-page=127>

C
M

N
P

Trong mặt phẳng(SAB), qua M kẻ đường thẳng song song vớiSI cắtSA tại P.
Trong mặt phẳng(ABC), qua M kẻ đường thẳng song song vớiIC cắtAC tạiN.
Thiết diện là tam giácM N P. Ta có

M P
SI =

M N

CI ⇒M P =M N (vì SI =CI).

Vậy thiết diện là tam giácM N P cân tại M.

Chọn đáp án B

Câu 60. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 và điểmM nằm giữa hai điểmAvà B. Gọi(P)là mặt phẳng đi

quaM và song song với mặt phẳng(AB0D0). Mặt phẳng(P)cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?

A. Hình ngũ giác. B. Hình lục giác. C. Hình tam giác. D. Hình tứ giác.

-Lời giải.

Nhận thấy(BC0D)k(AB0D0)⇒(BC0D)k(AB0D0)k(P). (1)
Do(1), ta giả sử(P)cắtBB0tạiN, suy ra(P)∩(ABB0A0)≡M N,
kết hợp với (AB0D0)∩(ABB0A0) ≡ AB0 suy ra M N k AB0, suy
raN thuộc cạnh BB0.

Tương tự, giả sử(P)∩(B0C0)≡P suy ra(P)∩(BCC0B0)≡N P.
Kết hợp với(1)suy ra N P kBC0.

Tương tự,(P)∩(C0D0)≡Q sao cho P QkB0D0;(P)∩DD0≡G
sao cho QGkC0D;(P)∩AD≡H sao cho GH kAD0.

Từ đó suy ra thiết diện là lục giácM N P QGH.

B C

P
H

G
D
A

C0
Q
D0
A0

Chọn đáp án B

Câu 61. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0, AC∩BD = O, A0C0 ∩B0D0 = O0. M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CC0. Khi đó thiết diện do mặt phẳng (M N P) cắt hình lập phương là
hình

A. Tam giác. B. Từ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác.

</div>
<span class='text_page_counter'>(128)</span><div class='page_container' data-page=128>

Ta có M N k AC nên (M N P)∩(ACC0A0) = P x k AC k
M N, gọi Q=P x∩AA0, P x∩OO0 =I. MàP là trung điểm
củaCC0 nên Q, I lần lượt là trung điểm của AA0, OO0.
Xét mặt phẳng (BDD0B0) gọi IJ ∩B0D0 = H. Theo tính
chất đối xứng của hình lập phương và J là trung điểm của
BOnên H là trung điểm củaD0O0.

(M N P) k AC k A0C0 nên (M N P)∩(A0B0C0D0) = Hy k
A0C0. GọiE=Hy∩A0D0, F =Hy∩C0D0. Khi đó thiết diện
là lục giácM N P F EQ.

A
M

B N C

D
F

A0 E D0

H
C0

Chọn đáp án D

Câu 62. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.

B. Trong khơng gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với
nhau.

C. Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song
song với nhau.

D. Trong khơng gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.

-Lời giải.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Do đó mệnh đề
"Trong khơng gian hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung" đúng.

Chọn đáp án A

Câu 63. Cho tứ diện ABCD. ĐiểmM thuộc đoạnAC (M khácA,M khácC). Mặt phẳng(α)đi quaM
và song song vớiAB và AD. Thiết diện của(α)với tứ diện ABCD là hình gì?

A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình vng. D. Hình chữ nhật.

-Lời giải.

Trong mặt phẳng(ACD) kẻM N kAD, N ∈CD.
Trong mặt phẳng(ABC) kẻ M P kAB, P ∈BC.

Từ đó suy ra(α)≡(M N P). Mà thiết diện của (M N P)và tứ diện
ABCD là tam giácM N P.

N
P

B D

M
A

Chọn đáp án A

Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N,P theo thứ tự là
trung điểm củaSA,SDvàAB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (N OM) cắt(OP M). B. (M ON)k(SBC).

C. (P ON)∩(M N P) =N P. D. (N M P)k(SBD).

</div>
<span class='text_page_counter'>(129)</span><div class='page_container' data-page=129>

M N kAD (đường trung bình 4SAD)

OP kAD (đường trung bình4BAD) ⇒ M N k
OP ⇒O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.

M N kADkBC ⊂(SBC)
OM kSC⊂(SBC)

⇒(OM N)k(SBC). <sub>A</sub>

D
N

Chọn đáp án B

Câu 65. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a và G là trọng tâm tam giác ABC. Cắt tứ diện bởi mặt phẳng
(P) quaGvà song song với mặt phẳng (BCD) thì diện tích thiết diện bằng bao nhiêu?

A. a

2√<sub>3</sub>

4 . B.

a2√3

18 . C.
a2√3

16 . D.
a2√3

9 .

-Lời giải.

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song
vớiBC cắtAC, AB lần lượt tại H, K.

Trong mặt phẳng(ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song
vớiCD cắt ADtại I.

Thiết diện cần tìm làKHI.

∆KHI v∆BCD theo tỉ số đồng dạng bằng 2
3.
Do đó SKHI =

9SBCD =
4
9

a2√<sub>3</sub>

4 =
√

3a2

9 .

D
G

K I

Chọn đáp án D

Câu 66. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của cạnh AB,M là điểm di động trên đoạn thẳng
AI. Gọi(α) là mặt phẳng đi qua điểmM đồng thời song song với mặt phẳng(SIC). Thiết diện của tứ diện
SABC cắt bởi mặt phẳng(α) là

A. một hình thoi. B. một tam giác cân tại M.

C. một tam giác đều. D. một hình bình hành.

-Lời giải.

QuaM kẻ đường thẳng song song với SI cắtSA tạiP.
QuaM kẻ đường thẳng song song với IC cắtAC tại N.
Thiết diện củaS.ABC cắt bởi(α) là tam giácM N P.
Ta có M P

SI =
AM

AI =
M N

CI =
AN
AC =

N P
SC,
Suy ra4M N P v4ICS.

Mà4ICS cân tạiS (không đều) nên tam giácM N P cân tạiM
và cũng không đều.

N
P

</div>
<span class='text_page_counter'>(130)</span><div class='page_container' data-page=130>

Câu 67. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình thang ABCD,AB//CD,AB = 2CD. M là điểm thuộc
cạnhAD,(α) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Biết diện tích thiết diện của hình
chóp cắt bởi mặt phẳng(α) bằng 2

3 diện tích tam giácSAB. Tính tỉ số x=
M A
M D.

A. x= 1

2. B. x= 1. C. x=
3

2. D. x=
2
3.

-Lời giải.

A
Q

B
P

C
D

N
H

K
S

Ta có







(α)k(SAB)

(ABCD)∩(SAB) =AB
M ∈(α)∩(ABCD)

suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là đường thẳng qua M và

song songAB, đường thẳng này cắtBC tại N. Tương tự giao tuyến của(α) và(SBC) là đường thẳng qua
N song song SB cắtSC tạiP, giao tuyến của (α) và(SCD)là đường thẳng qua P song song CD cắtSD
tạiQ. Thiết diện củaS.ABCD khi cắt bởi(α) là hình thang M N P Q.

Đặt CD=a, ta có P Q
CD =

SQ
SD =

AM
AD =

x+ 1 ⇔P Q=
ax
x+ 1.
Trong hình thangABCD ta có M N = x

x+ 1CD+
1

x+ 1AB=

a(x+ 2)
x+ 1 .

Gọi K là hình chiếu củaS lên AB, H là giao của M N và CK, khi đó P H kSK và do đó P H⊥M N,
thêm nữa P H

SK =
CH
CK =

DM
DA =

1
x+ 1
Ta có SM N P Q

SABC

= (P Q+M N)P H
SK·AB =

x+ 1. Theo giả thiết
1
x+ 1 =

3 ⇔x=
1
2.

Chọn đáp án A

Câu 68. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành. Gọidlà giao tuyến của hai mặt phẳng(SAD)
và(SBC). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. dđi qua S và song song vớiBD. B. dđi qua S và song song với BC.

C. dđi qua S và song song vớiAB. D. dđi qua S và song song với DC.

-Lời giải.
Vì








S∈(SAD)∩(SBC)

AD⊂(SAD), BC ⊂(SBC)
ADkBC

nên d= (SAD)∩(SBC)là đường thẳng quaS và song song vớiBC.

B C

S d

Chọn đáp án B

Câu 69. Cho tứ diệnABCD.GọiG1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD.Phát

biểu nào sau đây đúng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(131)</span><div class='page_container' data-page=131>

C. (G1G2G3)k(BCA). D. (G1G2G3) khơng có điểm chung(ACD).

-Lời giải.

GọiM, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD.
Khi đó: SG1

SM =
SG2

SN =
SG3

SP =
2
3
⇒G1G2kM N, ⇒G1G3 kM P.

Suy ra(G1G2G3)k(BCD).

M N

P
G1 G2

Chọn đáp án B

Câu 70. Hãy chọn mệnh đề đúngtrong các mệnh đề sau đây.

A. Hai mặt phẳng phân biệt khơng song song thì cắt nhau.

B. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi
đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia.

C. Nếu hai mặt phẳng (P) và(Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau.

D. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

-Lời giải.

Hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối là : song song, cắt nhau, trùng nhau.

Do đó, hai mặt phẳng phân biệt khơng song song thì cắt nhau.

Chọn đáp án A

Câu 71. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB0, BC. Mặt phẳng
(DM N) cắt hình hộp theo một thiết diện hình

A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tam giác. D. Tứ giác.

-Lời giải.

N C

B
M

Trong mặt phẳng(ABCD), gọi E là giao điểm của N D và AB.

Trong mặt phẳngABB0A0, gọiF,Glần lượt là giao điểm của EM vớiBB0,AA0.
Khi đó mặt phẳng(DM N) cắt hình hộp theo một thiết diện là tứ giácN F GD.

Chọn đáp án D

</div>
<span class='text_page_counter'>(132)</span><div class='page_container' data-page=132>

A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

B. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.

C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương.

-Lời giải.

Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

Chọn đáp án A

Câu 73. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;

(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vng;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;

(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3.

-Lời giải.

Các mệnh đề(1),(3)và (4)đúng.

Chọn đáp án D

Câu 74. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho M A
AD =
N C

CB =
1

3. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng M N và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ
diệnABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là

A. một hình bình hành. B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.

C. một hình thang với đáy lớn gấp 3lần đáy nhỏ. D. một tam giác.

-Lời giải.

QuaM, kẻ đường thẳng song song vớiCD cắtAC tại E.

QuaN, kẻ đường thẳng song song với CD cắtBD tạiF.
Khi đóM E kN F kCD và(P)≡(M EN F).

Ta có







N F
CD =

BN
BC =

2
3
M E

CD =
AM

AD =
1
3

⇒N F = 2M E.

Vậy thiết diện củaABCDcắt bởi(P)là hình thangM EN F, trong đó đáy
lớnN F gấp 2 lần đáy nhỏM E.

C
N

F
B

Chọn đáp án B

Câu 75. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. GọiI là trung điểm của AB. Mặt phẳng(IB0D0) cắt hình hộp
theo thiết diện là

A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác.

-Lời giải.
Ta có








B0D0 ⊂(IB0D0)
BD⊂(ABCD)
BDkB0D0

nên giao tuyến của(IB0D0)với(ABCD)là đường
thẳngIE quaI và song song với BD(E∈AD).

VìIEkB0D0 nên thiết diện là hình thangIED0B0.

A
A0

B
B0

C
D

I
E

</div>
<span class='text_page_counter'>(133)</span><div class='page_container' data-page=133>

Câu 76.

A0 D0

B C

B0 C0

A. a

3 . B.

2a2

3 . C.

2. D.

3a2
4 .

-Lời giải.

Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của
AC0.

Gọi(P)là mặt phẳng quaI và song song với(ABC). Khi đó
(P) cắt các đường thẳng AB0, B0C, CD0, AD0 lần lượt tại
các trung điểm M,N,P,Q.

Khi đóM N =P Q= 1
2AC =

a√2
2 và
N P =M Q= 1

0<sub>D</sub>0 <sub>=</sub> a

√
2
2 .

Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là
hình thoi M N P Qcạnh bằng a

√
2
2 .
Mặt khácN Q=M P =BC =a.
Diện tích hình thoiM N P Q làS= 1

2N Q·M P =
a2

2 .

A0 D0

B C

I
M

D
P
N

Chọn đáp án C

Câu 77. Cho bốn mệnh đề sau

(1) Nếu hai mặt phẳng(α)và(β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng(α) đều
song song với(β).

(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong không gian hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.

(4) Tồn tại hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho
trước.

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đềsai?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

-Lời giải.

Mệnh đề(1) là mệnh đề đúng.

Mệnh đề(2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Mệnh đề(3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng khơng có điểm chung.

Mệnh đề(4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy có3 mệnh đềsai.

</div>
<span class='text_page_counter'>(134)</span><div class='page_container' data-page=134>

Câu 78. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?

A. 31. B. 30. C. 22. D. 33.

-Lời giải.

Hình lăng trụ có đúng11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có11 đỉnh⇒ đa giác đáy có11 cạnh.
Vậy hình lăng trụ có đúng11 cạnh bên thì có 11 + 11·2 = 33 cạnh.

Chọn đáp án D

Câu 79. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Tìm mệnh đề saitrong các mệnh đề sau

A. (ABB0A0)k(CC0D0D). B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau.

C. AA0kCC0. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.

-Lời giải.

Mệnh đềsai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”.

Chọn đáp án B

Câu 80. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC0 và 4AB0C0.
Mặt phẳng nào sau đây song song với(IJ K)?

A. (BC0A). B. (AA0B). C. (BB0C). D. (CC0A).

-Lời giải.

GọiM, N, P lần lượt là trung điểm BC,CC0 và B0C0.
Ta có AK

AP =
AJ
AN =

AI
AM =

2
3.

Suy ra(IJ K)k(M N P) hay (IJ K)k(BB0C). P

B
I
B0

M
J
A0

C
N

Chọn đáp án C

Câu 81 (Tác giả: Lê Thị Thu Hằng, Email: ).

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, đáy lớn BC = 2a, AD=a, AB= b. Mặt bên(SAD) là tam
giác đều. Mặt phẳng(α) qua điểmM trên cạnhABvà song song với các cạnhSA,BC. Mặt phẳng(α)cắt
CD, SC, SBlần lượt tại N, P, Q. Đặtx=AM(0< x < b). Giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện tạo bởi
(α)và hình chóp S.ABCDlà

A. a

2√<sub>3</sub>

6 . B.

a2√<sub>3</sub>

12 . C.
a2√<sub>3</sub>

3 . D.

a2√<sub>3</sub>

2 .

-Lời giải.

(α)kSA vàBC nên (α)k(SAD)⇒M QkSA, N P kSD.
Ta cóM N kP QkADkBC.

Theo định lý Talét trong hình thangABCD ta có
BM

BA =
CN
CD.(1)
Theo định lý Talét trong4SAB ta có

BM
BA =

BQ
BS =

M Q
SA .(2)
Theo định lý Talét trong4SCD ta có

CN
CD =

CP
CS =

P N
SD.(3)

B
Q

N
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(135)</span><div class='page_container' data-page=135>

Từ (1), (2), (3) suy raM Q=N P = b−x

b a;P Q=
x

b2a;M N =a+
x
ba.
Suy ra thiết diện là hình thang cân và

Std =

2(M N+P Q)

M Q2<sub>−</sub>

Å<sub>M N</sub> <sub>−</sub><sub>P Q</sub>

ã2

= 1
2

Å<sub>ab</sub><sub>+</sub><sub>ax</sub>

b +
2ax

a2(b−x)2
b2 −

a2(b−x)2
4b2 =

1
2 ·

a(b+ 3x)
b ·

a√3(b−x)
2b
= a

2√<sub>3</sub>

12b2 (3x+b)(3b−3x)≤

a2√3
12b2

Å<sub>3x</sub><sub>+</sub><sub>b</sub><sub>+ 3b</sub><sub>−</sub><sub>3x</sub>

2
ã2
= a
√
3
3 .
Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là a

2√<sub>3</sub>

3 khi x=
b
3.

Chọn đáp án C

Câu 82 (Tác giả: Đặng Duy Hùng). cho hình hộpABCD.A0B0C0D0. Trên cạnhAB lấy điểm M khác
A và B. Gọi (P) là mặt phẳng đi quaM và song song với mặt phẳng (ACD0). Đặt AM

AB =k,0 < k <1.
Tìmk để thiết diện của hình hộp và mặt phẳng(P) có diện tích lớn nhất.

A. k= 1

2. B. k=
3

4. C. k=
1

4. D. k=
2
5.

-Lời giải.

A M B

D0 C0

R
Q

D
B0
N
K
P
A0
C
S

Trong mặt phẳng(ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song vớiAC cắtDB,BC lần lượt tạiE,N.
Trong mặt phẳng(BDD0), qua E kẻ đường thẳng song song với OD0 cắtB0D0 tạiF.

Trong mặt phẳng(A0B0C0D0), quaF kẻ đường thẳng song song vớiAC cắtA0D0,D0C0 lần lượt tại R,Q.
Trong mặt phẳng(AA0DD0)qua R kẻ đường thẳng song song vớiAD0 cắtAA0 tạiS.

Trong mặt phẳng(CC0D0D), quaQ kẻ đường thẳng song song vớiCD0 cắtCC0 tại P.
Vậy thiết diện là lục giácM N P QRS.

Do các mặt đối diện của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diệnM N P QRS song song
và3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giácACD0. Các tam giácJ KI,ACD0,RQI,J M S,
N KP đồng dạng

⇒ M J
M N =

M A
M B =

N C
N B =

N K
N M =

P C
P C0 =

P K
P Q =

QD0
QC0 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(136)</span><div class='page_container' data-page=136>

Suy ra các tam giácRQI,J M S,N KP bằng nhau (gọi diện tích của chúng làS1 và diện tích các tam giác

J KI,ACD0 lần lượt làS2,S).

Ta có S1
S =

J M
AC

ã2

AM
DC

ã2

AM
AB

ã2

=k2 ⇒S1 =k2S.

S =

J K
AC

ã2

J M+M K
AC

ã2

= (k+ 1)2⇒S2 = (k+ 1)2S.

Diện tích thiết diện

Std =S2−3S1 = 2S(−k2+k+

1
2)≤

3S
2 .
Dấu đẳng thức xảy ra khik= 1

Chọn đáp án A

Câu 83. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là
trung điểm củaSA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (N OM) cắt(OP M). B. (M ON)//(SBC).

C. (P ON)∩(M N P) =N P. D. (N M P)//(SBD).

-Lời giải.

Xét hai mặt phẳng(M ON) và(SBC).
Ta có:OM//SC vàON//SB.

MàBS∩SC=C vàOM∩ON =O.
Do đó (M ON)//(SBC).

C
D
O

Chọn đáp án B

Câu 84. Cho hình lăng trụ ABCDA0B0C0D0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. (AA0B0B) song song với(CC0D0D). B. Diện tích hai mặt bên bất ki bằng nhau.

C. AA0 song song vớiCC0. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.

-Lời giải.

A0 D0

B C

B0 C0

Đáp án là B.

Chọn đáp án B

Câu 85. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây

A. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt(P) và(Q) thì
(P) và(Q) song song với nhau.

B. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.

C. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P)

đều song song với mặt phẳng(Q).

D. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P)
đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Q).

</div>
<span class='text_page_counter'>(137)</span><div class='page_container' data-page=137>

Chọn đáp án C
Câu 86. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.

C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.

D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt
phẳng song song..

-Lời giải.

Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.

Chọn đáp án C

Câu 87. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.

B. Hai đường thẳng khơng có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.

C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.

D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.

-Lời giải.

Mệnh đề “Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung” sai vì hai đường thẳng chéo nhau thì
chúng khơng có điểm chung.

Chọn đáp án B

Câu 88. Cho ba mặt phẳng phân biệt (α), (β), (γ) có (α)∩(β) =d1;(β)∩(γ) =d2;(α)∩(γ) =d3. Khi

đó ba đường thẳng d1, d2, d3

A. đôi một cắt nhau. B. đôi một song song.

C. đồng quy. D. đôi một song song hoặc đồng quy.

-Lời giải.

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc
đôi một song song.

Chọn đáp án D

Câu 89. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.

B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.

C. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.

D. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có vơ số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

-Lời giải.

Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song
song với nhau (hình vẽ)⇒ B là mệnh đề sai.

Ta có:ak(P), ak(Q) nhưng(P) và(Q)vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.

Chọn đáp án C

Câu 90. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp(α)kmp(β)?

</div>
<span class='text_page_counter'>(138)</span><div class='page_container' data-page=138>

B. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc(β).

C. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với(β).

D. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β).

-Lời giải.

a b
α

Hình 1.

a <sub>b</sub>

α β

Hình 2.

Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒
Loại A.

(α)kavà(α)kb với a, blà hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và(β) vẫn có thể cắt nhau (hình
1)⇒ Loại B.

(α)kavà(α)kbvớia, blà hai đường thẳng phân biệt cùng song song với(β) thì(α) và(β) vẫn có thể cắt
nhau (hình 2)⇒ Loại C.

Chọn đáp án D

Câu 91. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hai mặt phẳng(α) và(β)song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với(β).

B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong(β).

C. Nếu hai đường thẳng phân biệt avà bsong song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân
biệt thìak(β).

D. Nếu đường thẳngdsong song vớimp(α)thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp(α).

-Lời giải.

b
α

Hình 1.

b
a

Hình 2.

Hình 3.

Chọn đáp án A

Câu 92. Cho hai mặt phẳng song song (α) và(β), đường thẳng ak(α). Có mấy vị trí tương đối củaavà
(β)?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

-Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(139)</span><div class='page_container' data-page=139>

Chọn đáp án B
Câu 93. Cho hai mặt phẳng song song (P) và(Q). Hai điểmM, N lần lượt thay đổi trên (P) và(Q).Gọi
I là trung điểm củaM N. Chọn khẳng định đúng.

A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều(P) và (Q).

B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P)và (Q).

C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P).

D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt(P).

-Lời giải.

Ta có:I là trung điểm củaM N ⇒Khoảng cách từIđến(P)bằng khoảng
cách từI đến (Q)⇒ Tập hợp các điểmI là mặt phẳng song song và cách
đều (P) và(Q).

Q
P

Chọn đáp án B

Câu 94. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳngasong song với mặt phẳng(P)?

A. akb vàb⊂(P). B. akb vàbk(P).

C. ak(Q) và (Q)k(P). D. a⊂(Q) vàb⊂(P).

-Lời giải.

Ta có: a k b và b ⊂ (P) suy ra a k (P) hoặc a ⊂ (P) ⇒ Loại A. a k b và b k (P) suy ra a k (P) hoặc
a⊂(P)⇒ Loại B.ak(Q)và (Q)k(P) suy raak(P) hoặca⊂(P)⇒ Loại C.

Chọn đáp án D

Câu 95. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì akb.

B. Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì avàb chéo nhau.

C. Nếu akbvà a⊂(α), b⊂(β) thì(α)k(β).

D. Nếu (γ)∩(α) =a, (γ)∩(β) =bvà(α)k(β) thì akb.

-Lời giải.

Nếu(α) k(β) và a⊂(α), b⊂(β) thì akb hoặc a chéo b⇒ A, B sai. Nếu akb và a⊂(α), b⊂(β) thì
(α)k(β) hoặc(α)và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với avàb.

Chọn đáp án D

Câu 96. Cho đường thẳnga⊂(P) và đường thẳng b⊂(Q).Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. (P)k(Q)⇒akb. B. akb⇒(P)k(Q).

C. (P)k(Q)⇒ak(Q) vàbk(P). D. a vàbchéo nhau.

-Lời giải.

Với đường thẳnga⊂(P) và đường thẳng b⊂(Q).
Khi (P)k(Q)⇒akb hoặca, bchéo nhau ⇒ A sai.

Khi akb⇒(P)k(Q) hoặc(P),(Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với avàb⇒B sai.
avàb có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau⇒ D sai.

Chọn đáp án C

Câu 97. Hai đường thẳngavàbnằm trongmp(α).Hai đường thẳnga0 vàb0 nằm trong mp(β).Mệnh đề
nào sau đây đúng?

A. Nếuaka0 và bkb0 thì(α)k(β). B. Nếu (α)k(β)thì aka0 vàbkb0.

C. Nếu akb vàa0kb0 thì(α)k(β). D. Nếuacắtbvà aka0, bkb0 thì (α)k(β).

</div>
<span class='text_page_counter'>(140)</span><div class='page_container' data-page=140>

a0
b
a

∆

Hình 1.

a0
α

Hình 2.

Nếuaka0 vàbkb0 thì(α)k(β) hoặc(α) cắt(β)(Hình 1) ⇒A sai. Nếu (α)k(β)thì aka0 hoặca, a0 chéo
nhau (Hình 2)⇒ B sai.

Nếuakbvà a0 kb0 thì (α)k(β) hoặc(α) cắtCC0.(Hình 1) ⇒C sai.

Chọn đáp án D

Câu 98. Cho hai mặt phẳng(P) và(Q) cắt nhau theo giao tuyến∆.Hai đường thẳngpvàq lần lượt nằm
trong(P)và (Q).Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. p vàq cắt nhau. B. p và q chéo nhau.

C. p vàq song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

-Lời giải.

Ta cópvà q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).

q
p

∆

q
p

∆ q

∆

Chọn đáp án D

Câu 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm củaSA, SD và AB.Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (N OM) cắt(OP M). B. (M ON)k(SBC).

C. (P ON)∩(M N P) =N P. D. (N M P)k(SBD).

-Lời giải.

Ta cóM N là đường trung bình của tam giácSADsuy raM N kAD
(1).

VàOP là đường trung bình của tam giácBAD suy raOP kAD (2).
Từ(1),(2) suy raM N kOP kAD⇒M, N, O, P đồng phẳng.
Lại cóM P kSB, OP kBC suy ra(M N OP)k(SBC)hay(M ON)k
(SBC).

D C

B
M

P
N

Chọn đáp án B

Câu 100. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO.Tam giácSBDđều. Một mặt
phẳng(P)song song với(SBD) và qua điểmI thuộc cạnhAC (khơng trùng vớiAhoặcC). Thiết diện của
(P) và hình chóp là hình gì?

A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều.

</div>
<span class='text_page_counter'>(141)</span><div class='page_container' data-page=141>

Gọi M N là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt đáy
(ABCD). Vì (P) k (SBD),(P) ∩(ABCD) = M N và (SBD) ∩

(ABCD) =M N suy raM N kBD.

Lập luận tương tự, ta có

O
I

D N A

B
M
P

Chọn đáp án D

Câu 101. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.

B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.

C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.

D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.

-Lời giải.

Chọn đáp án C

Câu 102. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nàosai?

A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.

B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.

D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

-Lời giải.

Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam
giác đều.

Chọn đáp án C

Câu 103. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?

A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đơi một song song.

B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.

C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.

D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.

-Lời giải.

Chọn đáp án C

Câu 104. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nàosai?

A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.

B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.

D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.

-Lời giải.

Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

Chọn đáp án C

</div>
<span class='text_page_counter'>(142)</span><div class='page_container' data-page=142>

A. ∆kAB. B. ∆kAC. C. ∆kBC. D. ∆kAA0.

-Lời giải.
Ta có








M N ⊂(AM N)
B0C0 ⊂ A0B0C0
M N kB0C0

−

→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(AM N) và(A0B0C0) sẽ song song vớiM N và B0C0. Suy ra ∆kBC.

A0 C0

B
B0

C
M

∆

Chọn đáp án C

Câu 106. Cho hình lăng trụABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0. Mặt phẳng(AHC0) song song
với đường thẳng nào sau đây?

A. CB0. B. BB0. C. BC. D. BA0.

-Lời giải.

Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH ⇒ M B0 k (AHC0).
(1)

VìM H là đường trung bình của hình bình hànhABB0A0 suy raM H
song song và bằngBB0 nên M H song song và bằngCC0

⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒M C kHC0 ⇒M C k(AHC0). (2)
Từ(1)và (2), suy ra(B0M C)k(AHC0)⇒B0C k(AHC0).

A C

B0
B

Chọn đáp án A

Câu 107. Cho hình lăng trụABC.A1B1C1.Trong các khẳng định sau, khẳng định nàosai?

A. (ABC)k(A1B1C1). B. AA1 k(BCC1).

C. ABk(A1B1C1). D. AA1B1B là hình chữ nhật.

-Lời giải.

Vì mặt bênAA1B1B là hình bình hành, cịn nó là hình chữ nhật nếuABC.A1B1C1 là hình lăng trụ đứng.

Chọn đáp án D

Câu 108. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0.Khẳng định nào dưới đây làsai?

A. ABCD là hình bình hành.

B. Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B đồng quy.

C. (ADD0A0)k(BCC0B0).

D. AD0CB là hình chữ nhật.

</div>
<span class='text_page_counter'>(143)</span><div class='page_container' data-page=143>

Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy
rằng:

Hình hộp có đáyABCD là hình bình hành.

Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B cắt nhau tại tâm
củaAA0C0C, BDD0B0.

Hai mặt bên(ADD0A0),(BCC0B0) đối diện và song song
với nhau.

AD0 vàCB là hai đường thẳng chéo nhau suy raAD0CB
khơng phải là hình chữ nhật.

B C

A0 D0

A D

Chọn đáp án D

Câu 109. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 có các cạnh bênAA0, BB0, CC0, DD0.Khẳng định nào dưới đây

sai?

A. (AA0B0B)k(DD0C0C). B. (BA0D0)k(ADC0).

C. A0B0CD là hình bình hành. D. BB0D0D là một tứ giác.

-Lời giải.

Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
Hai mặt bên(AA0B0B) và(DD0C0C) đối diện, song song
với nhau.

Hình hộp có hai đáy (ABCD),(A0B0C0D0) là hình bình
hành ⇒ A0B0 = CD và A0B0 k CD suy ra A0B0CD là
hình hình hành.

BD k B0D0 suy ra B, B0, D0, D đồng phẳng ⇒ BB0D0D
là tứ giác.

Mặt phẳng (BA0D0) chứa đường thẳng CD0 mà CD0 cắt
C0D suy ra (BA0D0) không song song với mặt phẳng
(ADC0).

B C

A0 D0

A D

Chọn đáp án B

Câu 110. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có
nhiều nhất mấy cạnh?

A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6cạnh.

-Lời giải.

Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc
các mặt của hình lăng trụ tam giác.

Chọn đáp án C

Câu 111. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất
mấy cạnh?

A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7cạnh.

-Lời giải.

Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất
kì là một đa giác có nhiều nhất6 cạnh.

Chọn đáp án C

Câu 112. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0. Gọi I là trung điểm của AB.Mặt phẳng(IB0D0)cắt hình hộp
theo thiết diện là hình gì?

A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.

</div>
<span class='text_page_counter'>(144)</span><div class='page_container' data-page=144>

Ta có







B0D0 ⊂ IB0D0
BD⊂(ABCD)
B0D0 kBD

−

A0 M D0

B C

D
C0
I

Chọn đáp án B

Câu 113. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt
hình hộp theo thiết diện là một tứ giácT. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành.

C. T là hình thoi. D. T là hình vng.

-Lời giải.

B C

A0 D0

A D

Chọn đáp án B

Câu 114. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A0B0C0 có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A0 và có
AB

A0<sub>B</sub>0 =
1

2.Khi đó tỉ số diện tích

S∆ABC

S∆A0<sub>B</sub>0<sub>C</sub>0 bằng

A. 1

2. B.

4. C. 2. D. 4.

-Lời giải.

Hình chóp cụt ABC.A0B0C0 có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song
nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A0B0C0 suy ra S∆ABC

S∆A0<sub>B</sub>0<sub>C</sub>0 =

2·AB·AC
1

2 ·A

0<sub>B</sub>0<sub>·</sub><sub>A</sub>0<sub>C</sub>0

= AB
A0<sub>B</sub>0 ·

AC
A0<sub>C</sub>0 =

1
4.

A C

Chọn đáp án B

Câu 115. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4,BAC’ = 30◦. Mặt

phẳng(P) song song với (ABC) cắt đoạnSA tại M sao choSM = 2M A. Diện tích thiết diện của (P) và
hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

A. 16

9 . B.

9 . C.

9 . D. 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(145)</span><div class='page_container' data-page=145>

Ta có S∆ABC =

2 ·AB ·AC ·sinBAC’ =
1

2 ·4·4·sin 30

0 <sub>= 4.</sub> <sub>Gọi</sub>

N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SB, SC. Vì
(P) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có SM

SA =
SN
SB =

SP
SC =

2
3.
Khi đó(P)cắt hình chópS.ABC theo thiết diện là tam giácM N P đồng
dạng với tam giácABC theo tỉ số k= 2

VậyS∆M N P =k2·S∆ABC =

Å<sub>2</sub>

ã2

·4 = 16
9 .

A
M

C
N

B
P

Chọn đáp án A

Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy
AB= 6, CD= 4.Mặt phẳng (P) song song với(ABCD) và cắt cạnh SAtại M sao cho SA= 3SM. Diện
tích thiết diện của (P) và hình chópS.ABCDbằng bao nhiêu?

A. 5
√

9 . B.

2√3

3 . C. 2. D.

7√3
9 .

-Lời giải.

C
P

B
A
M

C
D

A H K B

GọiH, K lần lượt là hình chiếu vng góc củaD, C trên AB.
ABCD là hình thang cân⇒

AH=BK;CD =HK

AH+HK+BK =AB ⇒BK = 1.

ABCD làSABCD=CK·

AB+CD
2 =

√

3·4 + 6
2 = 5

√
3.

GọiN, P, Q lần lượt là giao điểm củaP và các cạnh SB, SC, SD.Vì(P)k(ABCD)nên theo định lí Talet,
ta có M N

AB =
N P
BC =

P Q
CD =

QM
AD =

1
3.

Khi đó(P) cắt hình chóp theo thiết diệnM N P Q có diện tích SM N P Q=k2·SABCD =

5√3
9 .

Chọn đáp án A

Câu 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình bình hành có tâmO, AB = 8,SA =SB = 6.
Gọi(P) là mặt phẳng qua O và song song với(SAB). Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD có diện
tích bằng

A. 5√5. B. 6√5. C. 12. D. 13.

</div>
<span class='text_page_counter'>(146)</span><div class='page_container' data-page=146>

Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là
trung điểm của SC, SD. Do đó M N là đường trung bình tam
giác SCD ⇒ M N = CD

2 =
AB

2 = 4. Và N P =
SB

2 = 3;
QM = SA

2 = 3⇒N P =QM ⇒M N P Q là hình thang cân.

C
P

D
Q
B

A
M

Hạ N H, M K vng góc với P Q.Ta cóP H =KQ⇒P H = 1

2(P Q−M N) = 2.
Tam giácP HN vng, cóN H =√5.

Vậy diện tích hình thangM N P Q làSM N P Q=N H·

P Q+N M
2 = 6

√
5.

Chọn đáp án B

Câu 118. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0. Đường thẳng B0C song song
với mặt phẳng nào sau đây?

A. (AHC0). B. (AA0H). C. (HAB). D. (HA0C).

-Lời giải.

GọiM là trung điểm của AB suy raM B0 kAH

⇒M B0k(AHC0). (1)

VìM H là đường trung bình của hình bình hànhABB0A0 suy raM H
song song và bằngBB0 nên M H song song và bằngCC0

⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒M C kHC0 ⇒M C k(AHC0). (2)
Từ(1)và (2), suy ra(B0M C)k(AHC0)⇒B0C k(AHC0).

A C

B0
B

Chọn đáp án A

Câu 119. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. Nếu hai mặt phẳng(α) và(β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong(α) đều song song
với(β).

B. Nếu hai mặt phẳng(α) và(β)song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với mọi đường thẳng nằm trong(β).

C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β) thì
(α)và (β) song song với nhau.

D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.

-Lời giải.

Đáp án B, C sai. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau thì có thể chéo
nhau.

Đáp án D sai vì qua một điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước ta vẽ được vơ số đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.

Chọn đáp án A

Câu 120. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, CD,
AD,BC.Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?

A. P, Q, R, S. B. M, P, R, S. C. M, R, S, N. D. M, N, P, Q.

</div>
<span class='text_page_counter'>(147)</span><div class='page_container' data-page=147>

Dễ thấy(M P R)k(BCD),màS ∈(BCD)⇔S /∈(M P R).

VậyM, P, R, S không đồng phẳng. A

C
N
S

B
P

Chọn đáp án B

Câu 121. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu(α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β) thì akb. B. Nếu ak(α) và bk(β) thì akb.

C. Nếu (α)k(β) vàa⊂(α) thìak(β). D. Nếuakbvàa⊂(α), b⊂(β) thì (α)k(β).

Câu 122. Trong khơng gian, cho hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β).Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
(α)và (β)?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

-Lời giải.

Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt(α) và(β) có hai vị trí tương đối là: cắt nhau hay song song.

Chọn đáp án B

Câu 123. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI.
QuaM vẽ mặt phẳng (α) song song với(SIC).Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là

A. Tam giác cân tạiM. B. Tam giác đều. C. Hình bình hành. D. Hình thoi.

-Lời giải.

Gọi N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, AC sao cho

M N kSI
M P kIC .
⇔(M P N)k(SIC)⇔(M N P)≡(α).

Vậy thiết diện là tam giácM N P.

Tứ diện SABC đều nên tam giácSIC cân tại I.
Ngoài ra ta có AM

AI =
M P

IP =
M N

M P ⇔M N =M P.
Suy ra tam giácM N P cân tại M.

P C

B
A

M
I
N

Chọn đáp án A

Câu 124. Cho tứ diện đềuSABC cạnh bằnga.GọiI là trung điểm của đoạnAB,M là điểm di động trên
đoạnAI. QuaM vẽ mặt phẳng (α)song song với(SIC).Tính chu vi của thiết diện tạo bởi(α) với tứ diện
SABC, biết AM =x.

A. xÄ1 +√3ä. B. 2xÄ1 +√3ä. C. 3xÄ1 +√3ä. D. Khơng tính được.

</div>
<span class='text_page_counter'>(148)</span><div class='page_container' data-page=148>

Để ý hai tam giác M N P và SIC đồng dạng với tỉ số AM
AI =
2x

a ⇒

CM N P

CSIC

= 2x

a ⇔ CM N P =

a (SI+IC+SC) =
2x

a√3
2 +

a√3
2 +a

= 2xÄ√3 + 1ä.

P C

B
A

M
I
N

Chọn đáp án B

Câu 125. Cho hình bình hànhABCD.GọiBx, Cy, Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi
quaB, C, D và nằm về một phía của mặt phẳng(ABCD)đồng thời không nằm trong mặt phẳng(ABCD).
Một mặt phẳng đi quaA cắt Bx, Cy, Dz lần lượt tạiB0, C0, D0 vớiBB0 = 2, DD0 = 4. Khi đó độ dàiCC0
bằng bao nhiêu?

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

-Lời giải.

GọiOlà tâm của hình bình hànhABCD.Dựng đường thẳng qua
O song song BB0 và cắt B0D0 tạiO0.

Theo cách dưng trên, ta có OO0 là đường trung bình của hình
thangBB0D0D⇔OO0 = BB

0<sub>+</sub><sub>DD</sub>0
2 = 3.

Ngồi ra ta có OO0 là đường trung bình của tam giác ACC0
⇔CC0 = 2OO0 = 6.

A B

O
D
D0

Chọn đáp án D

Câu 126. Cho hình vng ABCD và tam giác đềuSAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là
điểm di động trên đoạnAB.QuaM vẽ mặt phẳng(α) song song với(SBC). Thiết diện tạo bởi(α) và hình
chópS.ABCD là hình gì?

A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình vng.

-Lời giải.

Lần lượt lấy các điểmN, P, Q thuộc các cạnh CD, SD, SAthỏa M N k
BC, N P kSC, P QkAD.

Suy ra (α) ≡(M N P Q) và (α)k(SBC). Theo cách dựng trên thì thiết
diện là hình thang.

D N

B
P

Chọn đáp án C

</div>
<span class='text_page_counter'>(149)</span><div class='page_container' data-page=149>

A. Đường thẳng song song vớiAB. B. Nửa đường thẳng.

C. Đoạn thẳng song song với AB. D. Tập hợp rỗng.

-Lời giải.

Lần lượt lấy các điểmN, P, Qthuộc các cạnhCD, SD, SAthỏa
M N k BC, N P k SC, P Q k AD. Suy ra (α) ≡ (M N P Q) và
(α)k(SBC).

Vì I = M Q∩N P ⇔

I, S∈(SCD)

I, S∈(SAB) ⇔ I nằm trên đường
thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng(SAB) và(SCD).
Khi

M ≡B ⇒I ≡S

M ≡A⇒I ≡T vớiT là điểm thỏa mãn tứ giácABST
là hình bình hành.

D N

O
Q
I
T

B
P

Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song vớiAB.

Chọn đáp án C

ĐÁP ÁN

</div>
<span class='text_page_counter'>(150)</span><div class='page_container' data-page=150>

<b>BÀI</b>

<b>4.</b>

<b>HAI MẶT PHẲNG SONG SONG</b>

<b>A</b> <b>TĨM TẮT LÍ THUYẾT</b>

<b>1</b> <b>ĐỊNH NGHĨA</b>

Định nghĩa 1. Hai mặt phẳng(α) và(β)gọi là song song với nhau nếu chúng khơng có điểm chung,
kí hiệu(α)k(β).

Hệ quả 1.

Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β). Nếu đường thẳng d
nằm trong(α)thì dk(β).

Định lí 1.

Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng

song song với mặt phẳng(β) thì (α)k(β).

a
b
M

Định lí 2.

Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước, có một và
chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Hệ quả 2. Nếu đường thẳngdsong song với mặt phẳng (α) thì qua dcó duy nhất một mặt phẳng
song song với(α).

Hệ quả 3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hệ quả 4. Cho điểmA không nằm trên mặt phẳng(α). Mọi đường thẳng đi quaA và song song với
(α)đều nằm trong mặt phẳng quaA và song song với(α).

</div>
<span class='text_page_counter'>(151)</span><div class='page_container' data-page=151>

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì
cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

a
b

β
α

Hệ quả 5.

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn
thẳng bằng nhau.

B0
a

β
α

<b>3</b> <b>ĐỊNH LÝ TA-LÉT (THALÈS)</b>

Định lí 4.

Ba mặt phẳng đơi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì
những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

C0
B

B0
d

A A

R
Q

4

! <sub>Nếu hai cát tuyến</sub> <sub>d</sub><sub>và</sub> <sub>d</sub>0 <sub>cắt</sub> <sub>3</sub> <sub>mặt phẳng song song</sub><sub>(P)</sub> k<sub>(Q)</sub>k<sub>(R)</sub> <sub>lần lượt tại các giao điểm</sub>

A, B, C và A0, B0, C0 thì AB

A0<sub>B</sub>0 =
BC
B0<sub>C</sub>0 =

CA
C0<sub>A</sub>0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(152)</span><div class='page_container' data-page=152>

Cho hai mặt phẳng (α) k (α0). Trong (α) cho đa giác
lồi A1A2. . . An. Qua các điểm A1, A2, . . . , An ta dựng các

đường song song với nhau và cắt(α0) tại A0<sub>1</sub>, A0<sub>2</sub>, . . . , A0<sub>n</sub>.
Hình tạo thành bởi hai đa giác A1A2. . . An, A01A02. . . A0n

cùng với các hình bình hànhA1A2A02A01,A2A3A03A02, . . . ,

AnA1A01A0n được gọi là hình lăng trụ và được ký hiệu bởi

A1A2. . . An.A01A02. . . A0n.

Hai đa giácA1A2. . . An,A01A02. . . A0n được gọi là hai

mặt đáy (bằng nhau) của hình lăng trụ.

Các đoạn thẳng A1A01, A2A02,. . . , AnA0n gọi là các

cạnh bên của hình lăng trụ.

Các hình bình hành A1A2A02A01, A2A3A03A03,. . . ,

AnA1A01A0n gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

Các đỉnh của hai đa giác đáy gọi là cácđỉnh của hình
lăng trụ.

A01

A2 A3

A02 A

A04

A05

α
α0

Tính chất 1.

Các cạnh bên của hình lăng trụ thì song song và bằng nhau.
Các mặt bên của hình lăng trụ đều là hình bình hành.
Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
Người ta gọi tên hình lăng trụ theo đáy của nó như sau:

Lăng trụ tam giác Lăng trụ tứ giác

Hình hộp Lăng trụ ngũ giác

Hình lăng trụ có đáy là tam giác gọi làhình lăng trụ tam giác.
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi làhình hộp.

Định nghĩa 3. Cho hình chóp S.A1A2. . . An. Một mặt phẳng(P) song song với mặt đáy của hình

chóp và khơng đi qua đỉnh lần lượt cắt các cạnh SA1, SA2, . . . , SAn tại A01, A02, . . . , A0n. Hình tạo

thành bởi hai đa giácA0<sub>1</sub>A0<sub>2</sub>. . . A0<sub>n</sub>,A1A2. . . Anvà các tứ giác A1A2A02A01,A2A3A03A30,. . . ,AnA1A01A0n

gọi làhình chóp cụt.

ĐáyA1A2. . . An của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt.

</div>
<span class='text_page_counter'>(153)</span><div class='page_container' data-page=153>

A01

A02 A

A04

A05

Tính chất 2.

Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ lệ giữa các cặp
cạnh tương tứng bằng nhau.

Các mặt bên là hình thang.

Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại1 điểm.

Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song

Phương pháp giải:

Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh:

Phương pháp 1.

Trên mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng
song song với mặt phẳng còn lại.








a⊂(α), b⊂(α)
a∩b=M
ak(β), bk(β)

⇒(α)k(β).

a b

β
α

Phương pháp 2.

Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ
3.

(α)6= (β)

(α)k(γ),(β)k(γ) ⇒(α)k(β). β
α

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N lần lượt là
trung điểm củaSA,SD. Chứng minh(OM N)k(SBC).

</div>
<span class='text_page_counter'>(154)</span><div class='page_container' data-page=154>

Ta cóM, O lần lượt là trung điểm của SA,AC nên OM
là đường trung bình của tam giácSAC ứng với cạnh SC,
do đóOM kSC.

Vậy

OM kSC

SC⊂(SBC) ⇒OM k(SBC) (1)
Tương tự, ta cóN,O lần lượt là trung điểm củaSD,BD
nên N O là đường trung bình của tam giác SBD ứng với
cạnhSB do đóON kSB.

Vậy

ON kSB

SB ⊂(SBC ⇒ON k(SBC) (2)
Từ (1) và (2) ta có









OM k(SBC)
ON k(SBC)
OM ∩ON =O

⇒(OM N)k(SBC).

B C

D
A

M N

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là một hình bình hành. GọiA0,B0,C0,D0 lần lượt là trung
điểm của các cạnhSA, SB, SC, SD.Chứng minh rằng (A0C0D0)k(ABCD).

-Lời giải.

Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta sẽ tìm trên mặt phẳng này 2
đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng còn lại.

Dễ thấy

A0C0 kAC
A0D0 kAD ⇒

A0C0 k(ABCD)
A0D0 k(ABCD) ⇒(A

0<sub>C</sub>0<sub>D</sub>0<sub>)</sub><sub>k</sub><sub>(ABCD).</sub>

B
A0

D
C0

D0
S

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là

trung điểm củaSA vàCD.

Chứng minh hai mặt phẳng(M N O) và(SBC) song song.

-Lời giải.

Ta cóM là trung điểm SA,O là trung điểm AC
⇒M O là đường trung bình4SAC

⇒M OkSC.

Tương tựON kBC.
Do đó (OM N)k(SBC).

B C

D
N
A

Dạng 2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(α) với mặt phẳng(β) biết(α) qua điểm A; song
song với mặt phẳng (γ)

</div>
<span class='text_page_counter'>(155)</span><div class='page_container' data-page=155>

Sử dụng tính chất








(α)k(β)
(γ)∩(α) =a
(γ)∩(β) =b

⇒akb

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâmH. Mặt phẳng (P) đi quaH
và song song với(SAB). Tìm giao tuyến của

<b>1</b> Mặt phẳng(P) và mặt phẳng(ABCD).
<b>2</b> Mặt phẳng(P) và mặt phẳng(SBC).

-Lời giải.

A
S

B E

D
H

<b>1</b> Giao tuyến của mặt phẳng(P) và mặt phẳng(ABCD).








(P)k(SAB)

(ABCD)∩(SAB) =AB
(P)∩(ABCD) =H

⇔(P)∩(ABCD) =EF với








EF qua H
EF kAB

E ∈BC, F ∈AD
.

<b>2</b> Giao tuyến của mặt phẳng(P) và mặt phẳng(SBC).








(P)k(SAB)

(SBC)∩(SAB) =SB
(P)∩(SBC) =E

⇔(P)∩(ABCD) =EK với

EK∩SC=K
EKkSB .

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiM là điểm bất kỳ trênAB.
Gọi(α) là măt phẳng quaM và song song với (SBC). Tìm giao tuyến của(α) với cắt mặt của hình
chóp.

</div>
<span class='text_page_counter'>(156)</span><div class='page_container' data-page=156>

M
Q

A
S

B C

D
N

Ta có:







(α)k(SBC)

(SBC)∩(ABCD) =BC
(α)∩(ABCD) =M

⇔(α)∩(ABCD) =M N với

M N∩CD =N
M N kBC .








(α)k(SBC)

(SBC)∩(SCD) =SC
(α)∩(SCD) =N

⇔(α)∩(SCD) =N P với

N P ∩SD=P
N P kSC .








(α)k(SBC)

(SBC)∩(SAB) =SB
(α)∩(SAB) =M

⇔(α)∩(SAB) =M Qvới

M Q∩SA=Q
M QkBC .

Suy ra, (P)∩(SAD) =P Q.

Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0. Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm các cạnh
AB,AD,A0D0. Xác định giao tuyến của (M N P) và các mặt(A0B0C0D0),(AA0B0B).

-Lời giải.

A0
M

D0
N

C0
P

Ta có:

M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnhAB,AD,A0D0.
Suy ra

M N kBDkB0D0

</div>
<span class='text_page_counter'>(157)</span><div class='page_container' data-page=157>

Khi đó







(M N P)k(BDD0B0)

(BDD0B0)∩(A0B0C0D0) =B0D0
(M N P)∩(A0B0C0D) =P

⇔(M N P)∩(A0B0C0D0) =P Qvới

P Q∩A0B0=Q
P QkB0D0 .

Suy ra(M N P)∩(ABB0A0) =M Q.

Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (H, d) và
mặt phẳng (ABC) trong đó H là trung điểm A0B0, d là giao tuyến của hai mặt phẳng(AB0C0) và
mặt phẳng(A0BC).

-Lời giải.

A F C

A0
H

Ta cóAB0∩A0B =M,AC0∩A0C=N. Khi đó (AB0C0)∩(A0BC) =M N =d.
Vậy(H, d) = (HM N).

Ta có

HM kBB0

M N kB0C0 ⇒(HN M)k(BB
0<sub>C</sub>0<sub>C).</sub>

KẻHM cắt ABtại E. Khi đó:








(HM N)k(BB0C0C)
(BB0C0C)∩(ABC) =BC

(HM N)∩(ABC) =E

⇔(HM N)∩(ABC) =EF với

EF ∩AC =F

EF kB0C0 kBC.
Dạng 3. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước

Phương pháp giải:

Trong khơng gian cho hình chóp hoặc lăng trụ S. Xác định thiết diện của chóp cắt bởi mặt phẳng(α)

đi qua điểm I cho trước và song song với một mặt phẳng (β) cho trước.

Ta đi xác định đường thẳng d⊂(β).

Vì (α)k(β) nên (α)kd. Do đó (α) giao với mặt phẳng chứad theo giao tuyếnakd.

Suy ra (α) = (I, a)

Ta tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (I, a) với các mặt của chóp hoặc lăng trụ S.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác
SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng(α) di động song song với mặt phẳng(SBD) và đi qua điểm
I trên đoạnAC.

<b>1</b> Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).
<b>2</b> Tính diện tích thiết diện theoa, b vàx=AI.

</div>
<span class='text_page_counter'>(158)</span><div class='page_container' data-page=158>

M
K

H
P

L
N

B C

D
A

<b>1</b> Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).
TH1:I ∈OA. Ta có






(α)k(SBD)

(ABD)∩(SBD) =BD
I ∈(α)∩(ABD)

⇒(α)∩(ABD) =M N .

vớiM N quaI và M N kBD.

Tương tự (α) cắt (SAB) theo đoạn giao tuyến M P song song với SB, cắt (SAD) theo đoạn giao
tuyếnN P kSD.

Thiết diện là tam giác đềuM N P (vì đồng dạng với tam giác đềuSBD)

TH2:I ∈OC. Ta có thiết diện là tam giác đều HKLcó các cạnh tương ứng song song với cạnh tam
giácSBD.

TH3:I =O, thiết diện là tam giác SBD
<b>2</b> Tính diện tích thiết diện theoa, b vàx=AI.

Ta cóS4BCD =

b2√3
4 .
TH1:I ∈OA ⇔0< x < a

S4M N P

S4BCD

Å<sub>M N</sub>

ã2

. DoM N kBD, ta có M N
BD =

AI
AO =

2x
a .
Suy raS4M N P =

b2x2√3
a2

TH2:I ∈OC ⇔ a

2 < x < a
S4HKL

S4BCD

Å<sub>HL</sub>

ã2

. Do HLkBD, ta có HL
BD =

CI
CO =

2(a−x)
a .
Suy raS4M N P =

b2(a−x)2√3
a2

TH3:I =O, thiết diện là tam giác SBD có S= b

2√<sub>3</sub>

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnhAD, CC0 sao
cho AM

M D =
CN

N C0. Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng qua M N và song song với
(ACB0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(159)</span><div class='page_container' data-page=159>

Gọi I là điểm trên AA0 sao cho AI
IA0 =

M D suy ra IM k A

0<sub>D</sub> <sub>suy ra</sub>
IM kCB0

Ta lại có AI
IA0 =

N C0 suy ra IN kAC suy ra (M N I)k (ACB

0<sub>), do đó</sub>
M N k(ACB0)

QuaM kẻ M E kAC; qua N kẻ N F kB0C0, qua F kẻ F K kA0C0. Đa
giácM EN F KI là thiết diện cần tìm.

A0
I
A

D0
M

D E C

K B0

C0
F

N
B

<b>C</b> <b>BÀI TẬP RÈN LUYỆN</b>

Bài 1. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. GọiG1,G2,G3lần lượt là trọng tâm các

tam giácSAB,ABC,SBD. GọiM là một điểm thuộc đường thẳng G2G3. Chứng minhG1M k(SBC).

-Lời giải.

B C

D
S

O
G1

N M

GọiO là tâm hình bình hànhABCD và N là trung điểm AB, suy ra G1∈SN,G2∈CM,G3 ∈SO.

DoG1,G2 lần lượt là trọng tâm tam giácSAB,ABC nên ta có:










N G1

M S =
1
3

N G2

M C =
1
3
⇒ G1G2 kSC (Định lý Ta-lét trong∆N SC)

⇒ G1G2k(SBC).

DoG2,G3 lần lượt là trọng tâm tam giácABC,SBDnên ta có:










OG2

OB =
1
3
OG3

OS =
1
3

⇒ G2G3 kSB (Định lý Ta-lét trong ∆SOB).

⇒ G2G3k(SBC).

Ta đã có:

G1G2k(SBC)

G2G3k(SBC)

⇒ (G1G2G3)k(SBC)

</div>
<span class='text_page_counter'>(160)</span><div class='page_container' data-page=160>

Bài 2. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO. GọiM,N lần lượt là trung điểm củaSA
vàCD.

<b>1</b> Chứng minh hai mặt phẳng(OM N) và(SBC) song song với nhau.

<b>2</b> GọiI là trung điểm củaSD,J là một điểm trên(ABCD)và cách đềuAB,CD. Chứng minhIJ song
song với(SAB).

<b>3</b> Giả sử hai tam giácSAD,ABC cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các đường phân giác trong của
tam giácACD vàSAB. Chứng minh EF song song với(SAD).

-Lời giải.

<b>1</b> Chứng minh(OM N)k(SBC).

DoON,OM theo thứ tự là đường trung bình của các

tam giácBCDvà SAC nên OM kBC,ON kSC.
Hơn nữa, ON,OM không chứa trong (SBC). Do đó
ON k(SBC),OM k(SBC).

Mặt khác,OM∩ON =O nên (OM N)k(SBC).
<b>2</b> Chứng minhIJ k(SAB).

Trong mặt phẳng(ABCD),OvàJcách đều hai đường
thẳng song song AB và CD nên OJ k AB k CD.
Hơn nữa,OJ không chứa trong(SAB). Do đó, OJ k
(SAB).

N
J

C
A

Mặt khác,OI là đường trung bình trong tam giácSBDnên OI kSB. Do đó, OJ k(SAB).

Mặt phẳng(OIJ) chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với(SAB) nên(OIJ)k(SAB).
Hơn nữa,IJ ⊂(OIJ). Vì vậy,IJk(SAB).

<b>3</b> Chứng minh EF k (SAD). Theo tính chất đường phân giác ta
có

ES
EB =−

AS
AB và

F D
F C =−

AC. (?)
Mặt khác, các tam giácSAD vàABC cân tại Anên

AS =AD và AB=AC. (??)
Từ (?) và (??) suy ra

ES
EB =

F D
F C.

Suy raEF,SD,BC cùng song song với một mặt phẳng.
DoSD⊂(SAD),BCkAD nên BCk(SAD).

VậyEF k(SAD).

D
F
O

C
A

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có AB k CD và AB = 2CD, I là giao điểm
củaAC vàBD. GọiM là trung điểm củaSD,E là trung điểm đoạnCM vàGlà điểm đối xứng củaE qua
M,SE cắtCD tại K. Chứng minh (IKE)k(ADG).

</div>
<span class='text_page_counter'>(161)</span><div class='page_container' data-page=161>

DoCE=M E=M Gnên
CE= 1

3CG. (1)

Mặt khác

(

‘

BAI =’DCI, (so le trong),
‘

AIB =’CID, (đối đỉnh).

Do đó 4ABI <sub>v</sub>4CDI, (g-g). Khi đó
CI

IA =
CD
AB =

1
2 hay

CI
CA =

3. (2)
Từ (1) và (2) suy ra

EI kGA. (?)

C K D

A
S

Hơn nữa, tứ giác SGDE có SM =M D vàEM =M G, nên tứ giác SGDE là hình bình hành. Do đó

SEkGD hay EK kGD. (??)

Từ (?) và (??) suy ra(IEK)k(ADG).

Bài 4. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của
SA,SDvà SB.

<b>1</b> Chứng minh rằng (M N P)k(ABCD).
<b>2</b> Chứng minh rằng (OM N)k(SBC).

-Lời giải.

B C

P <sub>D</sub>

O
S

<b>1</b> Chứng minh(M N P)k(ABCD).
Ta có

M N kAD, (do M N là đường trung bình của4SAD)
AD⊂(ABCD).

Suy raM N k(ABCD).
Ta lại có

N P kAB, (do N P là đường trung bình của4SAB)
AB⊂(ABCD).

Suy raN P k(ABCD).

</div>
<span class='text_page_counter'>(162)</span><div class='page_container' data-page=162>

<b>2</b> Chứng minh(OM N)k(SBC).

Ta cóM N kAD, (M N là đường trung bình của∆SAD) vàADkBC, (doABCDlà hình bình hành)
nên M N kBC.

MàBC ⊂(SBC)nên M N k(SBC).

Ta lại cóOM kSC, (doOM là đường trung bình của∆SAC).
MàSC ⊂(SBC) nên OM k(SBC).

Mặt khác(M N, OM ⊂(OM N).
Vậy(OM N)k(SBC).

Bài 5. Cho tứ diệnABCD gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh AB vàCD, E là điểm chia BC theo tỉ
số BE

BC =
2

1. Trên đoạn thẳngAM lấy điểmH. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(P) đi quaH và song song
với mặt phẳng(M N E). Tìm giao tuyến của

<b>1</b> Mặt phẳng(P) và mặt phẳng(BCD).
<b>2</b> Mặt phẳng(P) và mặt phẳng(ABD).

-Lời giải.

B
M

D
F

C
E

N
L

<b>1</b> Giao tuyến của mặt phẳng(P) và mặt phẳng(BCD).
Ta có:








(P)k(M N E)

(M N E)∩(ABC) =M E
(P)∩(ABC) =H

⇔(P)∩(ABC) =HK với

HK∩BC=K
HK kM E .

Khi đó:







(P)k(M N E)

(M N E)∩(BCD) =EN
(P)∩(BCD) =K

⇔(P)∩(BCD) =KL với

KL∩CD=L
KLkEN .

<b>2</b> Giao tuyến của mặt phẳng(P) và mặt phẳng(ABD).
Ta có :

EN kBD

M ∈(M N E)∩(SBD) ⇒(M N E)∩(SBD) =M F với

M F ∩AD=F
M F kBD
Khi đó:








(P)k(M N E)

(M N E)∩(ABD) =M F
(P)∩(ABD) =H

⇔(P)∩(ABD) =HG với

HG∩AD=G
HGkM F .

</div>
<span class='text_page_counter'>(163)</span><div class='page_container' data-page=163>

<b>1</b> Mặt phẳng(α)và mặt phẳng (ABC).

<b>2</b> Mặt phẳng(α)và mặt phẳng (SAC).

-Lời giải.

O
I
A

E M

C
F

B
J

<b>1</b> Tìm giao tuyến của mặt phẳng(IEF) và mặt phẳng(ABC).

GọiM F =AO∩BC.

Ta có:







(α)k(SBC)

(SAM)∩(SBC) =SM
(α)∩(SAM) =I

⇔(α)∩(SAM) =Ix với

Ix∩SA=G

Ix∩AM =J IxkSM.
Do đó,








(α)k(SBC)

(ABC)∩(SBC) =SM
(α)∩(ABC) =J

⇔(α)∩(ABC) =EF với







EF quaJ

E∈AB, F ∈AC
EF kSM

<b>2</b> Tìm giao tuyến của mặt phẳng(IEF) và mặt phẳng(SAC).
Ta có:








(α)k(SBC)

(SAB)∩(SBC) =SB
(α)∩(SAB) =E

⇔(α)∩(SAB) =EG với

G∈SA
EGkSB.

Bài 7. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hànhABCD. GọiM,N,E lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB,AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K. Mặt phẳng qua K song song với M N E cắt SB, AD
lần lượt tạiP,Q. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(KP Q) và mặt phẳng(SAD).

</div>
<span class='text_page_counter'>(164)</span><div class='page_container' data-page=164>

K <sub>x</sub>

D
J

B
P

F
N

Q
I

R
GọiO là tâm hình bình hànhABCD.
Suy ra(SBD)∩(SAC) =SO.

GọiI =M N∩AC;J =AI ∩SO.












(M N E)∩(SBD) =I
M N kBD

M N ⊂(M N E)
BD⊂(SBD)

⇒

(M N E)∩(SBD) =J x
J xkBD .

GọiF =J x∩SB,(α) là mặt phẳng quaK và song song với (M N E).








(α)∩(SAB) =K
(α)k(M N E)

(M N E)∩(SAB) =M F

⇒(α)∩(SAB) =KP kM F vớiP ∈SB.
Tương tự ta có(α)∩(ABCD) =KQkM N vớiQ∈AD.

Ta có:KQ∩SA=R⇒(KP Q)∩(SAD) =QR.

Bài 8. Cho hình chópS.ABCDđáy là hình bình hành tâm O có AC=a,BD=b. Tam giác SBDlà tam
giác đều. Một mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (SBD)và qua điểm I trên đoạn AO.

<b>1</b> Tìm giao tuyến của mặt phẳng(α) với các mặt phẳng(SAB),(SAD),(ABCD).
<b>2</b> Tính diện tích hình phẳng được tạo bởi các giao tuyến đó.

-Lời giải.

A
P

C
I

</div>
<span class='text_page_counter'>(165)</span><div class='page_container' data-page=165>









(α)k(SBD)

(ABCD)∩(SBD) =BD
I ∈(α)∩(ABCD)

⇔(α)∩(ABCD) =M N với

M N quaI

M N kBD vớiM ∈AB,N ∈AD.
Tương tựα cắtSAB theo giao tuyếnM P kSB và cắt(SAD)theo giao tuyếnN P kSDvớiP ∈SA.

<b>2</b> Tính diện tích hình phẳng được tạo bởi các giao tuyến đó.

Ta có tam giácM N P là tam giác đều vì đồng dạng với tam giác đềuSBD.
Ta cóSSBD=

BD2√3
4 =

b2√3

4 I ∈OA⇔0< x <
a
2.
Khi đó SM N P

SBCD

M N
BD

ã2

.
DoM N kBD, ta có:
M N

BD =
AI
AO =

a ⇒SM N P =

b2√3
4

2x
a

ã2

= b

2<sub>x</sub>2√<sub>3</sub>

a2 .

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD có AD k BC, AD = 2BC. Gọi E là trung
điểmADvàO giao điểm củaAC vàBE;I là một điểm di động trên cạnhAC khác Acà C. QuaI vẽ mặt
phẳng(α) song song với(SBE). Tìm thiết diện tạo bởi(α) và hình chópS.ABCD.

-Lời giải.

HD: TH1: I ∈ OA, (α) k (SBE) nên (α) k BE và (α) k SO, suy ra (α) cắt (ABE) theo giao tuyến
M N k BE, M N qua I, và (α) cắt (SAC) theo giao tuyến EI k SO, EI qua I. Thiết diện là tam giác
EM N.

TH2:I ∈OC, thiết diện là hình thang HKLP(HKkLP kBE kCD)

TH3:I =O thiết diện là tam giácSBE.

Bài 10. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0. GọiO là tâm hình bình hànhABCD;K là trung điểm C0D0;E

là trung điểm của B0O. Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua điểm K và song
song mặt phẳng(EA0C0).

-Lời giải.

HD: Ta có BOO0B0 là hình bình hành, do đóE =BO0∩B0O, suy ra (EA0C0) = (BA0C0). Mặt phẳng (P)
qua K song song với BA0C0. Từ K kẻ đường thẳng song song với A0C0 cắt A0D0, C0B0, A0B0 lần lượt tại
M, N, P. Từ P kẻ đường thẳng song song A0B cắt AA0, AB, BB0 lần lượt tại I, J, Q. Nối Q vàN cắt BC
tạiS, cắt CC0 tạiR. Thiết diện là lục giácKM IJ SR có các cạnh đối song song với nhau.
Bài 11. Cho hình chópS.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớnAB= 3a,AD=CD =a. Mặt bên(SAB)
là tam giác cân đỉnhS vớiSA= 2a, gọiM là điểm thuộc cạnh AD. Mặt phẳng(α) đi quaM và song song
với(SAB). Xác định thiết diện của chóp với mặt phẳng (α). Thiết diện là hình gì?

-Lời giải.

HD: QuaM kẻ M N kAB, từN kẻ N P kSB, từM kẻ M QkSA. Thiết diện là hình thang cânM N P Q.

Bài 12. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giácBCD. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng
AG. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua O và song song với mặt phẳng (ABC) là tam giác
M N P. GọiS1,S2 lần lượt là diện tích của hai tam giácM N P vàABC. Tính tỉ số

</div>
<span class='text_page_counter'>(166)</span><div class='page_container' data-page=166>

HD: Ta có M N = 5

6BC nên
S1

= 25

36. A

G
O

I J

N
M

Bài 13. Cho hình chópS.ABC cóM là điểm di động trên cạnhSAsao cho SM

SA =k, với0< k <1, k∈R.

Gọi(α) là mặt phẳng đi quaM và song song với mặt phẳng(ABC). Tìmk để mặt phẳng(α)cắt cắt hình
chóp theo một thiết diện có diện tích bằng nửa diện tích của tam giácABC.

-Lời giải.

Thiết diện là tam giácM N P.
Ta có: SM N P

SABC

= M N
AB

M P
AC =k

2 <sub>=</sub> 1

2.
Vậyk=

√
2
2 .

C
M

<b>D</b> <b>CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM</b>

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.

B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.

C. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.

D. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có vơ số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

-Lời giải.

Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song
song với nhau (hình vẽ)⇒ B là mệnh đề sai.

Ta có:ak(P), ak(Q) nhưng(P) và(Q)vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.

Chọn đáp án C

Câu 2. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luậnmp(α)kmp(β)?

A. (α)k(γ) và(β)k(γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó).

B. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc(β).

C. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với(β).

D. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β).

</div>
<span class='text_page_counter'>(167)</span><div class='page_container' data-page=167>

a b
α

Hình 1.

a <sub>b</sub>

α β

Hình 2.

Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒
Loại A.

(α)kavà(α)kb với a, blà hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và(β) vẫn có thể cắt nhau (hình
1)⇒ Loại B.

(α)kavà(α)kbvớia, blà hai đường thẳng phân biệt cùng song song với(β) thì(α) và(β) vẫn có thể cắt
nhau (hình 2)⇒ Loại C.

Chọn đáp án D

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hai mặt phẳng(α) và(β)song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với(β).

B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong(β).

C. Nếu hai đường thẳng phân biệt avà bsong song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân
biệt thìak(β).

D. Nếu đường thẳngdsong song vớimp(α)thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp(α).

-Lời giải.

b
α

Hình 1.

b
a

Hình 2.

Hình 3.

Chọn đáp án A

Câu 4. Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β), đường thẳng ak (α). Có mấy vị trí tương đối của avà
(β)?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

-Lời giải.

Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có3vị trí tương đối: đường thẳng cắt mặt phẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng.ak(α) mà(α)k(β)⇒avà(α) không
thể cắt nhau. Vậy cịn2 vị trí tương đối.

Chọn đáp án B

Câu 5. Cho hai mặt phẳng song song(P)và(Q). Hai điểmM, N lần lượt thay đổi trên (P) và(Q).GọiI
là trung điểm của M N.Chọn khẳng định đúng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(168)</span><div class='page_container' data-page=168>

B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P)và (Q).

C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P).

D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt(P).

-Lời giải.

Ta có:I là trung điểm củaM N ⇒Khoảng cách từIđến(P)bằng khoảng
cách từI đến (Q)⇒ Tập hợp các điểmI là mặt phẳng song song và cách
đều (P) và(Q).

Q
P

Chọn đáp án B

Câu 6. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳngasong song với mặt phẳng(P)?

A. akb vàb⊂(P). B. akb vàbk(P).

C. ak(Q) và (Q)k(P). D. a⊂(Q) vàb⊂(P).

-Lời giải.

Ta có: a k b và b ⊂ (P) suy ra a k (P) hoặc a ⊂ (P) ⇒ Loại A. a k b và b k (P) suy ra a k (P) hoặc
a⊂(P)⇒ Loại B.ak(Q)và (Q)k(P) suy raak(P) hoặca⊂(P)⇒ Loại C.

Chọn đáp án D

Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì akb.

B. Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì avàb chéo nhau.

C. Nếu akbvà a⊂(α), b⊂(β) thì(α)k(β).

D. Nếu (γ)∩(α) =a, (γ)∩(β) =bvà(α)k(β) thì akb.

-Lời giải.

Nếu(α) k(β) và a⊂(α), b⊂(β) thì akb hoặc a chéo b⇒ A, B sai. Nếu akb và a⊂(α), b⊂(β) thì
(α)k(β) hoặc(α)và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với avàb.

Chọn đáp án D

Câu 8. Cho đường thẳnga⊂(P)và đường thẳng b⊂(Q).Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. (P)k(Q)⇒akb. B. akb⇒(P)k(Q).

C. (P)k(Q)⇒ak(Q) vàbk(P). D. a vàbchéo nhau.

-Lời giải.

Với đường thẳnga⊂(P) và đường thẳng b⊂(Q).
Khi (P)k(Q)⇒akb hoặca, bchéo nhau ⇒ A sai.

Khi akb⇒(P)k(Q) hoặc(P),(Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với avàb⇒B sai.
avàb có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau⇒ D sai.

Chọn đáp án C

Câu 9. Hai đường thẳnga vàb nằm trongmp(α).Hai đường thẳng a0 và b0 nằm trong mp(β).Mệnh đề
nào sau đây đúng?

A. Nếuaka0 và bkb0 thì(α)k(β). B. Nếu (α)k(β)thì aka0 vàbkb0.

C. Nếu akb vàa0kb0 thì(α)k(β). D. Nếuacắtbvà aka0, bkb0 thì (α)k(β).

</div>
<span class='text_page_counter'>(169)</span><div class='page_container' data-page=169>

a0
b
a

∆

Hình 1.

a0
α

Hình 2.

Nếuaka0 vàbkb0 thì(α)k(β) hoặc(α) cắt(β)(Hình 1) ⇒A sai. Nếu (α)k(β)thì aka0 hoặca, a0 chéo
nhau (Hình 2)⇒ B sai.

Nếuakbvà a0 kb0 thì (α)k(β) hoặc(α) cắtCC0.(Hình 1) ⇒C sai.

Chọn đáp án D

Câu 10. Cho hai mặt phẳng(P) và(Q) cắt nhau theo giao tuyến∆.Hai đường thẳngpvàq lần lượt nằm
trong(P)và (Q).Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. p vàq cắt nhau. B. p và q chéo nhau.

C. p vàq song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

-Lời giải.

Ta cópvà q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).

q
p

∆

q
p

∆ q

∆

Chọn đáp án D

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm củaSA, SD và AB.Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (N OM) cắt(OP M). B. (M ON)k(SBC).

C. (P ON)∩(M N P) =N P. D. (N M P)k(SBD).

-Lời giải.

Ta cóM N là đường trung bình của tam giácSADsuy raM N kAD
(1).

VàOP là đường trung bình của tam giácBAD suy raOP kAD (2).
Từ(1),(2) suy raM N kOP kAD⇒M, N, O, P đồng phẳng.
Lại cóM P kSB, OP kBC suy ra(M N OP)k(SBC)hay(M ON)k
(SBC).

D C

B
M

P
N

Chọn đáp án B

Câu 12. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình bình hành tâmO. Tam giácSBD đều. Một mặt
phẳng(P)song song với(SBD) và qua điểmI thuộc cạnhAC (không trùng vớiAhoặcC). Thiết diện của
(P) và hình chóp là hình gì?

A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vuông. D. Tam giác đều.

</div>
<span class='text_page_counter'>(170)</span><div class='page_container' data-page=170>

Gọi M N là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt đáy
(ABCD). Vì (P) k (SBD),(P) ∩(ABCD) = M N và (SBD) ∩
(ABCD) =M N suy raM N kBD.

Lập luận tương tự, ta có

O
I

D N A

M
P

Chọn đáp án D

Câu 13. Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giácABC thỏa mãnAB=AC = 4,BAC’ = 30◦.Mặt phẳng

(P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2M A. Diện tích thiết diện của (P) và hình
chópS.ABC bằng bao nhiêu?

A. 16

9 . B.

9 . C.

9 . D. 1.

-Lời giải.
Ta có S∆ABC =

2 ·AB ·AC ·sinBAC’ =

2 ·4·4·sin 30

0 <sub>= 4.</sub> <sub>Gọi</sub>

N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SB, SC. Vì
(P) k (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có SM

SA =
SN
SB =

SP
SC =

2
3.
Khi đó(P)cắt hình chópS.ABC theo thiết diện là tam giácM N P đồng
dạng với tam giácABC theo tỉ số k= 2

VậyS∆M N P =k2·S∆ABC =

Å<sub>2</sub>

ã2

·4 = 16
9 .

A
M

C
N

B
P

Chọn đáp án A

A. 5
√

9 . B.

2√3

3 . C. 2. D.

7√3
9 .

-Lời giải.

C
P

B
A
M

C
D

A H K B

GọiH, K lần lượt là hình chiếu vng góc củaD, C trên AB.
ABCD là hình thang cân⇒

AH=BK;CD =HK

AH+HK+BK =AB ⇒BK = 1.

ABCD làSABCD=CK·

AB+CD
2 =

√

3·4 + 6
2 = 5

√
3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(171)</span><div class='page_container' data-page=171>

ta có M N
AB =

N P
BC =

P Q
CD =

QM
AD =

1
3.

Khi đó(P) cắt hình chóp theo thiết diệnM N P Q có diện tích SM N P Q=k2·SABCD =

5√3
9 .

Chọn đáp án A

A. 5√5. B. 6√5. C. 12. D. 13.

-Lời giải.

Vì P, Q là trung điểm của BC, AD suy ra N, M lần lượt là
trung điểm của SC, SD. Do đó M N là đường trung bình tam
giác SCD ⇒ M N = CD

2 =
AB

2 = 4. Và N P =
SB

2 = 3;
QM = SA

2 = 3⇒N P =QM ⇒M N P Q là hình thang cân.

C
P

D
Q
B

A
M

Hạ N H, M K vng góc với P Q.Ta cóP H =KQ⇒P H = 1

2(P Q−M N) = 2.
Tam giácP HN vng, cóN H =√5.

Vậy diện tích hình thangM N P Q làSM N P Q=N H·

P Q+N M
2 = 6

√
5.

Chọn đáp án B

Câu 16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.

B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.

C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.

D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.

-Lời giải.

Chọn đáp án C

Câu 17. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?

A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.

B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.

D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

-Lời giải.

Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam
giác đều.

Chọn đáp án C

Câu 18. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?

A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đơi một song song.

B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.

C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.

D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.

-Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(172)</span><div class='page_container' data-page=172>

đôi một cắt nhau. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân. Hai đáy của hình chóp cụt là hai
đa giác đồng dạng.

Chọn đáp án C

Câu 19. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?

A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.

B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.

D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.

-Lời giải.

Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

Chọn đáp án C

A. ∆kAB. B. ∆kAC. C. ∆kBC. D. ∆kAA0.

-Lời giải.
Ta có









M N ⊂(AM N)
B0C0 ⊂ A0B0C0
M N kB0C0

−

→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(AM N) và(A0B0C0) sẽ song song vớiM N và B0C0. Suy ra ∆kBC.

A0 C0

B
B0

C
M

∆

Chọn đáp án C

Câu 21. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0.GọiH là trung điểm củaA0B0.Đường thẳngB0C song song với
mặt phẳng nào sau đây?

A. (AHC0). B. (AA0H). C. (HAB). D. (HA0C).

-Lời giải.

GọiM là trung điểm của AB suy raM B0 kAH

⇒M B0k(AHC0). (1)

VìM H là đường trung bình của hình bình hànhABB0A0 suy raM H
song song và bằngBB0 nên M H song song và bằngCC0

⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒M C kHC0 ⇒M C k(AHC0). (2)
Từ(1)và (2), suy ra(B0M C)k(AHC0)⇒B0C k(AHC0).

A C

B0
B

Chọn đáp án A

Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0.Mặt phẳng (AHC0) song song
với đường thẳng nào sau đây?

A. CB0. B. BB0. C. BC. D. BA0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(173)</span><div class='page_container' data-page=173>

Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH ⇒ M B0 k (AHC0).
(1)

VìM H là đường trung bình của hình bình hànhABB0A0 suy raM H
song song và bằngBB0 nên M H song song và bằngCC0

⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒M C kHC0 ⇒M C k(AHC0). (2)
Từ(1)và (2), suy ra(B0M C)k(AHC0)⇒B0C k(AHC0).

A C

B0
B

Chọn đáp án A

Câu 23. Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1.Trong các khẳng định sau, khẳng định nàosai?

A. (ABC)k(A1B1C1). B. AA1 k(BCC1).

C. ABk(A1B1C1). D. AA1B1B là hình chữ nhật.

-Lời giải.

Vì mặt bênAA1B1B là hình bình hành, cịn nó là hình chữ nhật nếuABC.A1B1C1 là hình lăng trụ đứng.

Chọn đáp án D

Câu 24. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0.Khẳng định nào dưới đây làsai?

A. ABCD là hình bình hành.

B. Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B đồng quy.

C. (ADD0A0)k(BCC0B0).

D. AD0CB là hình chữ nhật.

-Lời giải.

Dựa vào hình vẽ và tính chất của hình hộp chữ nhật, ta thấy
rằng:

Hình hộp có đáyABCD là hình bình hành.

Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B cắt nhau tại tâm
củaAA0C0C, BDD0B0.

Hai mặt bên(ADD0A0),(BCC0B0) đối diện và song song
với nhau.

AD0 vàCB là hai đường thẳng chéo nhau suy raAD0CB
khơng phải là hình chữ nhật.

B C

A0 D0

A D

Chọn đáp án D

Câu 25. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có các cạnh bênAA0, BB0, CC0, DD0. Khẳng định nào dưới đây

sai?

A. (AA0B0B)k(DD0C0C). B. (BA0D0)k(ADC0).

C. A0B0CD là hình bình hành. D. BB0D0D là một tứ giác.

-Lời giải.

Dựa vào hình vẽ dưới và tính chất của hình hộp, ta thấy rằng:
Hai mặt bên(AA0B0B) và(DD0C0C) đối diện, song song
với nhau.

Hình hộp có hai đáy (ABCD),(A0B0C0D0) là hình bình
hành ⇒ A0B0 = CD và A0B0 k CD suy ra A0B0CD là
hình hình hành.

BD k B0D0 suy ra B, B0, D0, D đồng phẳng ⇒ BB0D0D
là tứ giác.

Mặt phẳng (BA0D0) chứa đường thẳng CD0 mà CD0 cắt
C0D suy ra (BA0D0) không song song với mặt phẳng
(ADC0).

B C

A0 D0

A D

</div>
<span class='text_page_counter'>(174)</span><div class='page_container' data-page=174>

Chọn đáp án B
Câu 26. Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có
nhiều nhất mấy cạnh?

A. 3 cạnh. B. 4 cạnh. C. 5 cạnh. D. 6cạnh.

-Lời giải.

Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc
các mặt của hình lăng trụ tam giác.

Chọn đáp án C

Câu 27. Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất
mấy cạnh?

A. 4 cạnh. B. 5 cạnh. C. 6 cạnh. D. 7cạnh.

-Lời giải.

Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất
kì là một đa giác có nhiều nhất6 cạnh.

Chọn đáp án C

Câu 28. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. GọiI là trung điểm của AB. Mặt phẳng(IB0D0) cắt hình hộp
theo thiết diện là hình gì?

A. Tam giác. B. Hình thang. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.

-Lời giải.
Ta có








B0D0 ⊂ IB0D0
BD⊂(ABCD)
B0D0 kBD

−

A0 M D0

B C

D
C0
I

Chọn đáp án B

Câu 29. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi(α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt hình

hộp theo thiết diện là một tứ giácT. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. T là hình chữ nhật. B. T là hình bình hành.

C. T là hình thoi. D. T là hình vng.

-Lời giải.

B C

A0 D0

A D

Chọn đáp án B

Câu 30. Cho hình chóp cụt tam giácABC.A0B0C0 có 2 đáy là 2 tam giác vng tạiAvàA0 và có AB
A0B0 =

1
2.
Khi đó tỉ số diện tích S∆ABC

S∆A0<sub>B</sub>0<sub>C</sub>0 bằng

A. 1

2. B.

4. C. 2. D. 4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(175)</span><div class='page_container' data-page=175>

Hình chóp cụt ABC.A0B0C0 có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song
nên tam giác ABC đồng dạng tam giác A0B0C0 suy ra S∆ABC

S∆A0<sub>B</sub>0<sub>C</sub>0 =

2·AB·AC
1

2 ·A

0<sub>B</sub>0<sub>·</sub><sub>A</sub>0<sub>C</sub>0

= AB
A0<sub>B</sub>0 ·

AC
A0<sub>C</sub>0 =

1
4.

A C

B0
C0

Chọn đáp án B

Câu 31. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

B. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.

C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương.

-Lời giải.

Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

Chọn đáp án A

Câu 32. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;

(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vng;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;

(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3.

-Lời giải.

Các mệnh đề(1),(3)và (4)đúng.

Chọn đáp án D

Câu 33. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho M A
AD =
N C

CB =
1

3. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng M N và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ

diệnABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là

A. một hình bình hành. B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.

C. một hình thang với đáy lớn gấp 3lần đáy nhỏ. D. một tam giác.

-Lời giải.

QuaM, kẻ đường thẳng song song vớiCD cắtAC tại E.
QuaN, kẻ đường thẳng song song với CD cắtBD tạiF.
Khi đóM E kN F kCD và(P)≡(M EN F).

Ta có







N F
CD =

BN
BC =

2
3
M E

CD =
AM

AD =
1
3

⇒N F = 2M E.

Vậy thiết diện củaABCDcắt bởi(P)là hình thangM EN F, trong đó đáy
lớnN F gấp 2 lần đáy nhỏM E.

C
N

F
B

Chọn đáp án B

Câu 34. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. GọiI là trung điểm của AB. Mặt phẳng(IB0D0) cắt hình hộp
theo thiết diện là

A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác.

</div>
<span class='text_page_counter'>(176)</span><div class='page_container' data-page=176>

Ta có







B0D0 ⊂(IB0D0)
BD⊂(ABCD)
BDkB0D0

nên giao tuyến của(IB0D0)với(ABCD)là đường
thẳngIE quaI và song song với BD(E∈AD).

VìIEkB0D0 nên thiết diện là hình thangIED0B0.

A
A0

B
B0

C
D

I
E

Chọn đáp án B

Câu 35.

A0 D0

B C

B0 C0

A. a

3 . B.

2a2

3 . C.

2. D.

3a2
4 .

-Lời giải.

Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của
AC0.

Gọi(P)là mặt phẳng quaI và song song với(ABC). Khi đó
(P) cắt các đường thẳng AB0, B0C, CD0, AD0 lần lượt tại
các trung điểm M,N,P,Q.

Khi đóM N =P Q= 1
2AC =

a√2
2 và
N P =M Q= 1

0<sub>D</sub>0 <sub>=</sub> a

√
2
2 .

Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là
hình thoi M N P Qcạnh bằng a

√
2
2 .
Mặt khácN Q=M P =BC =a.
Diện tích hình thoiM N P Q làS= 1

2N Q·M P =
a2

2 .

A0 D0

B C

D
P
N

Chọn đáp án C

Câu 36. Cho bốn mệnh đề sau

(1) Nếu hai mặt phẳng(α)và(β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng(α) đều
song song với(β).

(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong khơng gian hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(177)</span><div class='page_container' data-page=177>

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đềsai?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

-Lời giải.

Mệnh đề(1) là mệnh đề đúng.

Mệnh đề(2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Mệnh đề(3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng khơng có điểm chung.

Mệnh đề(4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy có3 mệnh đềsai.

Chọn đáp án B

Câu 37. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?

A. 31. B. 30. C. 22. D. 33.

-Lời giải.

Hình lăng trụ có đúng11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có11 đỉnh⇒ đa giác đáy có11 cạnh.
Vậy hình lăng trụ có đúng11 cạnh bên thì có 11 + 11·2 = 33 cạnh.

Chọn đáp án D

Câu 38. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Tìm mệnh đề saitrong các mệnh đề sau

A. (ABB0A0)k(CC0D0D). B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau.

C. AA0kCC0. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.

-Lời giải.

Mệnh đềsai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”.

Chọn đáp án B

Câu 39. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC0 và 4AB0C0.
Mặt phẳng nào sau đây song song với(IJ K)?

A. (BC0A). B. (AA0B). C. (BB0C). D. (CC0A).

-Lời giải.

GọiM, N, P lần lượt là trung điểm BC,CC0 và B0C0.
Ta có AK

AP =
AJ
AN =

AI
AM =

2
3.

Suy ra(IJ K)k(M N P) hay (IJ K)k(BB0C). P

B
I
B0

M
J

C
N
K

Chọn đáp án C

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnha, tam giác SAB đều. Gọi M là điểm trên
cạnh AD sao cho AM =x, x ∈ (0;a). Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với (SAB) lần lượt cắt các
cạnhCB, CS, SD tạiN, P, Q. Tìmx để diện tích M N P Qbằng 2a

2√<sub>3</sub>

9 .

A. 2a

3 . B.

4. C.

2. D.

a
3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(178)</span><div class='page_container' data-page=178>

Ta có






(α)k(SAB)

(SAB)∩(SAD) =SA
M ∈(α)∩(SAD)

⇒(α)∩(SAD) =M QkSA
vớiQ∈SD.








(α)k(SAB)

(SAB)∩(ABCD) =AB

M ∈(α)∩(ABCD)

⇒ (α)∩(ABCD) = M N k AB
vớiN ∈BC.








(α)k(SAB)

(SAB)∩(SCB) =SB
N ∈(α)∩(SBC)

⇒ (α)∩(SBC) = N P k SB với

P ∈SC. D

P
S E

B N C

Suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCDcắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giácM N P Q.

Ta có










(α)∩(SCD) =P Q
(SCD)∩(ABCD) =CD
(ABCD)∩(α) =M N
CDkM N

⇒ P Q, M N, CD đơi một song song. Khi đó M N P Q là hình thang với

đáy lớnCD.
Hơn nữa ta có









M N kAB
P N kSB
M QkSA

⇒M N P÷ =ABS’= 60◦ vàN M Q÷ =BAS’= 60◦.

Do dó tứ giácM N P Q là hình thang cân.
Ta có P Q

CD =
SQ
SD =

AD ⇒P Q=AM =x.

Suy ra∆EM N đều cạnhavà∆EP Qlà tam giác đều cạnhx. Khi đó

SM N P Q=S∆EM N −S∆EP Q=

a2√3
4 −

x2√3
4 .
Theo giả thiếtSM N P Q=

2a2√3
9 ⇔

a2√3
4 −

x2√3
4 =

2a2√3

9 ⇔x=
a
3.
Vậy giá trị xcần tìm là a

Chọn đáp án D

Câu 41. Cho hai mặt phẳng (P) và(Q)song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đường thẳng d⊂(P)và d0 ⊂(Q) thìdkd0.

B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A∈(P) và song song với(Q) đều nằm trong(P).

C. Nếu đường thẳng ∆cắt (P) thì∆cũng cắt(Q).

D. Nếu đường thẳnga⊂(Q) thìak(P).

-Lời giải.

Đường thẳng d⊂(P)và d0 ⊂(Q) thì dvàd0 song song hoặc chéo nhau.

Nếu đường thẳnga⊂(Q) thìak(P) là mệnh đề đúng.

Chọn đáp án A <sub></sub>

Câu 42. Cho đường thẳnganằm trong mặt phẳng(α)và đường thẳngbnằm trong mặt phẳng(β). Mệnh
đề nào sau đây sai?

A. (α)k(β)⇒akb. B. (α)k(β)⇒ak(β).

C. (α)k(β)⇒bk(α). D. a vàbhoặc song song hoặc chéo nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(179)</span><div class='page_container' data-page=179>

Nếu(α)k(β) thì ngồi trường hợpakb thìavà bcó thể chéo nhau.

Chọn đáp án A

Câu 43. Lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?

A. 6. B. 3. C. 9. D. 5.

-Lời giải.
Theo lý thuyết.

Chọn đáp án D

Câu 44. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A0B0C0. M là
điểm trên cạnhAC sao cho AM = 2M C. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. GG0 k(ACC0A0). B. GG0 k(ABB0A0).

C. Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0). D. (M GG0)k(BCC0B0).

-Lời giải.

VìG,G0 lần lượt là trọng tâm các tam giácABC,A0B0C0 nên ta cóGG0 k
(ACC0A0),GG0 k(ABB0A0),GG0 k(BCC0B0).

GọiN là trung điểm BC, ta có AG
GN =

M C = 2nên suy ra M GkCN ⇒
M Gk(BCC0B0).

Từ GG0 k (BCC0B0) và M Gk (BCC0B0) ta có (M GG0) k (BCC0B0). Do
vậyM G0 k(BCC0B0).

Vậy, mệnh đề sai là: “Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0)”.

C0
G0

C
G

M
N

Chọn đáp án C

Câu 45. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm các tam giácABC và A0B0C0,M là
điểm trên cạnhAC sao cho AM = 2M C. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. GG0 k(ACC0A0). B. GG0 k(ABB0A0).

C. Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0). D. (M GG0)k(BCC0B0).

-Lời giải.

Ta cóGG0kAA0 và M GkBC nên
GG0 k(ACC0A0) là mệnh đề đúng,
GG0 k(ABB0A0)là mệnh đề đúng,
(M GG0)k(BCC0B0)là mệnh đề đúng,

Đường thẳng M G0 cắt mặt phẳng(BCC0B0)là mệnh đề sai.

M
G0

N
B

G
A

C
C0

Chọn đáp án C

Câu 46. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0. GọiM là trung điểm củaAB, mặt phẳng(M A0C0)cắt cạnhBC
tạiN. Tính tỉ số k= M N

A0<sub>C</sub>0.
A. k= 1

2. B. k=
1

3. C. k=
2

3. D. k= 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(180)</span><div class='page_container' data-page=180>

Ba mặt phẳng phân biệt(ABCD),(ACC0A0),(M A0C0)đôi một cắt
nhau theo ba giao tuyếnAC,A0C0 vàM N. Theo tính chất hình hộp
ta có ACkA0C0 nên M N kAC kA0C0.

Lại cóM là trung điểm củaABnên M N là đường trung bình trong
tam giácABC.

Vì vậy M N = 1
2AC=

1
2A

0<sub>C</sub>0 <sub>⇒</sub><sub>k</sub><sub>=</sub> M N
A0C0 =

1
2.

A0 D0

B N C

A
B0

Chọn đáp án A

A. A0B0 = 10, B0C0 = 8. B. A0B0 = 8, B0C0 = 10.

C. A0B0 = 12, B0C0 = 6. D. A0B0 = 6, B0C0 = 12.

-Lời giải.
Ta có AB

A0B0 =
BC
B0C0 =

AB+BC
A0B0+B0C0 =

AC
A0C0 ⇒A

0<sub>B</sub>0 <sub>= 10, B</sub>0<sub>C</sub>0 <sub>= 8.</sub>

Chọn đáp án A

Câu 48. Trong không gian, cho các mệnh đề sau

I. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

II. Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai
đường thẳng đó.

III. Nếu đường thẳng asong song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì asong
song với (P).

IV. Qua điểmA khơng thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α).
Số mệnh đề đúng là

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.

-Lời giải.

Xét từng mệnh đề ta có

I. “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề
sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.

III. “Nếu đường thẳngasong song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng(P) thìasong

song với (P)” là mệnh đề sai, vì đường thẳngavẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P).

IV. “Qua điểmA không thuộc mặt phẳng(α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với(α)” là mệnh
đề sai, vì có vơ số đường thẳng đi qua điểmA và song song với(α).

Vậy khơng có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên.

Chọn đáp án B

A. Một hình tam giác.

B. Một hình thang.

</div>
<span class='text_page_counter'>(181)</span><div class='page_container' data-page=181>

D. Một hình bình hành.

-Lời giải.
Ta có








(α)k(SBE)

(SBE)∩(ABCD) =BE
(α)∩(ABCD) =Ix
⇒IxkBE

⇒IxcắtBC tạiM,AD tạiQ.
Ta có








(α)k(SBE)
(α)∩(SBC) =M x
(SBE)∩(SBC) =SB
⇒M xkSB ⇒M xcắtSC tạiN.
Ta có








(α)k(SBE)
(α)∩(SAD) =Qx

(SBE)∩(SAD) =SE
⇒QxkSE ⇒Qxcắt SDtại P.

A
N

E Q

B C

D
O

Tứ giácBCDE là hình bình hành ⇒CDkBE kM Q⇒CDk(α).
Ta có








CD k(α)
CD ⊂(SCD)
(SCD)∩(α) =P N
⇒CDkP N ⇒M QkP N

Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α)với hình chóp S.ABCDlà hình thang M N P Q.

Chọn đáp án B

A. A0B0 k(SBD). B. A0B0 k(SAD). C. (A0C0D0)k(ABC). D. A0C0 kBD.

-Lời giải.

Ta cóA0C0 kAC⇒(A0C0D0)k(ABC).

B
A0

D
C0

Chọn đáp án C

A. a

2√<sub>14</sub>

4 . B.

3a2√14

2 . C.

3a2

4 . D.

a2√14
2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(182)</span><div class='page_container' data-page=182>

D0 C0

E A0

A M B

C
Q

P
N

Thiết diện như hình vẽ. Tứ giácCQP M là hình thang có
CM = a

√
5

2 ,P M =
a√13

6 ,P Q=
a√10

3 ,CQ=
a√13

3 .
Suy raM F =P Q= a

√
10

3 ,CF =P M =
a√13

6
Ta cóSCM P Q= 3SCM F.

SCM F =

p(p−CM)(p−CF)(p−M F) vớip= CM +M F +F C

2 . Thay giá trị các cạnh ta có SCM F =

…

7
72a

2<sub>⇒</sub><sub>S</sub>

CM P Q =

a2√14

4 .

Chọn đáp án A

Câu 52. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đềsai?

A. (BA0C0)k(ACD0). B. (ADD0A0)k(BCC0B0).

C. (BA0D)k(CB0D0). D. (ABA0)k(CB0D0).

-Lời giải.
Ta có

BA0kCD0

A0C0 kAC ⇒(BA

0<sub>C</sub>0<sub>)</sub><sub>k</sub><sub>(ACD</sub>0<sub>).</sub>

ADkBC

AA0kBB0 ⇒(ADD

0<sub>A</sub>0<sub>)</sub><sub>k</sub><sub>(BCC</sub>0<sub>B</sub>0<sub>).</sub>

BDkB0D0

A0DkB0C ⇒(BA

0<sub>D)</sub><sub>k</sub><sub>(CB</sub>0<sub>D</sub>0<sub>).</sub>

A
D

B
A0

C
B0

C0
D0

Mặt khácB0∈(ABA0)∩(CB0D0)⇒ (ABA0)k(CB0D0) là mệnh đề sai.

Chọn đáp án D

Câu 53. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. (ABCD)k(A0B0C0D0). B. (AA0D0D)k(BCC0B0).

C. (BDD0B0)k(ACC0A0). D. (ABB0A0)k(CDD0C0).

-Lời giải.

Ta thấy








(ABCD)k(A0B0C0D0)
(AA0D0D)k(BCC0B0)
(ABB0A0)k(CDD0C0)

luôn đúng.

và hai mặt phẳng(BDD0B0),(ACC0A0) là cắt nhau.

A0 D0

C0
B0

A D

</div>
<span class='text_page_counter'>(183)</span><div class='page_container' data-page=183>

Chọn đáp án C
Câu 54. Cho đường thẳng athuộc mặt phẳng (P) và đường thẳngb thuộc mặt phẳng (Q). Mệnh đề nào
sau đâyđúng?

A. akb⇒(P)k(Q). B. (P)k(Q)⇒akb.

C. (P)k(Q)⇒ak(Q) vàbk(P). D. a vàbchéo nhau.

-Lời giải.

(P) k (Q) suy ra (P) và (Q) khơng có điểm chung. Mặt khác a ∈ (P) nên a và (Q) cũng khơng có điểm
chung. Suy raak(Q). Tương tự ta cũng có bk(P).

Chọn đáp án C

Câu 55. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0. Mặt phẳng(AB0D0)song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. (BDA0). B. (A0C0C). C. (BDC0). D. (BCA0).

-Lời giải.

Mặt phẳng(AB0D0) song song với mặt phẳng (BDC0).

Thật vậy, ta có AB0 k DC0 và AD0 k BC0, có điều cần chứng
minh.

D
C

D0
C0

B
B0

Chọn đáp án C

Câu 56. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0. Mặt phẳng(AB0D0)song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. (BA0C0). B. (C0BD). C. (BDA0). D. (ACD0).

-Lời giải.

Ta cóBDB0D0 là hình bình hành nên BDkB0D0. Tương tự
ta có AD0 kBC0.

Từ đó suy ra BDk(AB0D0) vàBC0k(AB0D0).
Vậy(AB0D0)k(C0BD)

C
B0

Chọn đáp án B

A. 31

7 . B.

7 . C.

7 . D.

15
7 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(184)</span><div class='page_container' data-page=184>

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng chứa thiết diện với
các cạnhAC,BC,BD,AD, khi đó theo giả thiết tứ giácM N P Qlà hình
thoi.

Cũng từ giả thiết ta suy raP Qk M N k AB, M QkN P kCD nên ta có
CM

AC =
M N

AB ,
AM

AC =
M Q

CD ⇒

AC−CM
AC =

M Q
CD
⇔ 1−CM

AC = 1−
M N

AB =
M Q

CD =
M N

CD
⇒ M N = 1

1
AB +

1
CD

= 1
1
6 +

1
8

= 24
7 .

Vậy cạnh của hình thoi cần tìm là 24
7 .

A
Q

N
M

B
P
D

Chọn đáp án C

Câu 58. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành. Gọidlà giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. dquaS và song song vớiAB. B. dqua S và song song với BC.

C. dquaS và song song vớiDC. D. dqua S và song song với BD.

-Lời giải.
Có












S∈(SAD)∩(SBC)
AD⊂(SAD)

BC⊂(SBC)
ADkBC

⇒(SAD)∩(SBC) =dkADkBC và dđi quaS.

B C

D
S

Chọn đáp án B

A. hình thoi. B. tam giác cân tạiM. C. tam giác đều. D. hình bình hành.

</div>
<span class='text_page_counter'>(185)</span><div class='page_container' data-page=185>

C
M

N
P

M P
SI =

M N

CI ⇒M P =M N (vì SI =CI).

Vậy thiết diện là tam giácM N P cân tại M.

Chọn đáp án B

Câu 60. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0 và điểmM nằm giữa hai điểmAvà B. Gọi(P)là mặt phẳng đi
quaM và song song với mặt phẳng(AB0D0). Mặt phẳng(P)cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?

A. Hình ngũ giác. B. Hình lục giác. C. Hình tam giác. D. Hình tứ giác.

-Lời giải.

Tương tự, giả sử(P)∩(B0C0)≡P suy ra(P)∩(BCC0B0)≡N P.
Kết hợp với(1)suy ra N P kBC0.

Tương tự,(P)∩(C0D0)≡Q sao cho P QkB0D0;(P)∩DD0≡G
sao cho QGkC0D;(P)∩AD≡H sao cho GH kAD0.

Từ đó suy ra thiết diện là lục giácM N P QGH.

B C

P
H

G
D
A

C0
Q
D0
A0

Chọn đáp án B

A. Tam giác. B. Từ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác.

</div>
<span class='text_page_counter'>(186)</span><div class='page_container' data-page=186>

(M N P) k AC k A0C0 nên (M N P)∩(A0B0C0D0) = Hy k
A0C0. GọiE=Hy∩A0D0, F =Hy∩C0D0. Khi đó thiết diện
là lục giácM N P F EQ.

A
M

B N C

A0 E D0

H
C0

Chọn đáp án D

Câu 62. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Trong khơng gian hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.

B. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với
nhau.

C. Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song
song với nhau.

D. Trong khơng gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.

-Lời giải.

Chọn đáp án A

Câu 63. Cho tứ diện ABCD. ĐiểmM thuộc đoạnAC (M khácA,M khácC). Mặt phẳng(α)đi quaM
và song song vớiAB và AD. Thiết diện của(α)với tứ diện ABCD là hình gì?

A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình vng. D. Hình chữ nhật.

-Lời giải.

Trong mặt phẳng(ACD) kẻM N kAD, N ∈CD.
Trong mặt phẳng(ABC) kẻ M P kAB, P ∈BC.

Từ đó suy ra(α)≡(M N P). Mà thiết diện của (M N P)và tứ diện
ABCD là tam giácM N P.

N
P

B D

M
A

Chọn đáp án A

Câu 64. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N,P theo thứ tự là
trung điểm củaSA,SDvàAB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (N OM) cắt(OP M). B. (M ON)k(SBC).

C. (P ON)∩(M N P) =N P. D. (N M P)k(SBD).

</div>
<span class='text_page_counter'>(187)</span><div class='page_container' data-page=187>

M N kAD (đường trung bình 4SAD)

OP kAD (đường trung bình4BAD) ⇒ M N k
OP ⇒O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.

M N kADkBC ⊂(SBC)
OM kSC⊂(SBC)

⇒(OM N)k(SBC). <sub>A</sub>

D
N

Chọn đáp án B

A. a

2√<sub>3</sub>

4 . B.

a2√3

18 . C.
a2√3

16 . D.
a2√3

9 .

-Lời giải.

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song
vớiBC cắtAC, AB lần lượt tại H, K.

Trong mặt phẳng(ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song

vớiCD cắt ADtại I.

Thiết diện cần tìm làKHI.

∆KHI v∆BCD theo tỉ số đồng dạng bằng 2
3.
Do đó SKHI =

9SBCD =
4
9

a2√<sub>3</sub>

4 =
√

3a2

9 .

K I

Chọn đáp án D

A. một hình thoi. B. một tam giác cân tại M.

C. một tam giác đều. D. một hình bình hành.

-Lời giải.

QuaM kẻ đường thẳng song song với SI cắtSA tạiP.
QuaM kẻ đường thẳng song song với IC cắtAC tại N.
Thiết diện củaS.ABC cắt bởi(α) là tam giácM N P.
Ta có M P

SI =
AM

AI =
M N

CI =

AN
AC =

N P
SC,
Suy ra4M N P v4ICS.

Mà4ICS cân tạiS (không đều) nên tam giácM N P cân tạiM
và cũng không đều.

N
P

</div>
<span class='text_page_counter'>(188)</span><div class='page_container' data-page=188>

3 diện tích tam giácSAB. Tính tỉ số x=

M A
M D.

A. x= 1

2. B. x= 1. C. x=
3

2. D. x=
2
3.

-Lời giải.

A
Q

B
P

C
D

N
H

K
S

Ta có







(α)k(SAB)

(ABCD)∩(SAB) =AB
M ∈(α)∩(ABCD)

suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là đường thẳng qua M và

Đặt CD=a, ta có P Q
CD =

SQ
SD =

AM
AD =

x+ 1 ⇔P Q=
ax
x+ 1.
Trong hình thangABCD ta có M N = x

x+ 1CD+
1

x+ 1AB=

a(x+ 2)
x+ 1 .

Gọi K là hình chiếu củaS lên AB, H là giao của M N và CK, khi đó P H kSK và do đó P H⊥M N,
thêm nữa P H

SK =
CH
CK =

DM
DA =

1
x+ 1
Ta có SM N P Q

SABC

= (P Q+M N)P H
SK·AB =

x+ 1. Theo giả thiết
1
x+ 1 =

3 ⇔x=
1
2.

Chọn đáp án A

Câu 68. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành. Gọidlà giao tuyến của hai mặt phẳng(SAD)
và(SBC). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. dđi qua S và song song vớiBD. B. dđi qua S và song song với BC.

C. dđi qua S và song song vớiAB. D. dđi qua S và song song với DC.

-Lời giải.
Vì








S∈(SAD)∩(SBC)

AD⊂(SAD), BC ⊂(SBC)
ADkBC

nên d= (SAD)∩(SBC)là đường thẳng quaS và song song vớiBC.

B C

S d

Chọn đáp án B

Câu 69. Cho tứ diệnABCD.GọiG1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD.Phát

biểu nào sau đây đúng?

</div>
<span class='text_page_counter'>(189)</span><div class='page_container' data-page=189>

C. (G1G2G3)k(BCA). D. (G1G2G3) khơng có điểm chung(ACD).

-Lời giải.

GọiM, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD.

Khi đó: SG1

SM =
SG2

SN =
SG3

SP =
2
3
⇒G1G2kM N, ⇒G1G3 kM P.

Suy ra(G1G2G3)k(BCD).

M N

P
G1 G2

Chọn đáp án B

Câu 70. Hãy chọn mệnh đề đúngtrong các mệnh đề sau đây.

A. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.

B. Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi
đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia.

C. Nếu hai mặt phẳng (P) và(Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau.

D. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

-Lời giải.

Hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối là : song song, cắt nhau, trùng nhau.
Do đó, hai mặt phẳng phân biệt khơng song song thì cắt nhau.

Chọn đáp án A

Câu 71. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB0, BC. Mặt phẳng
(DM N) cắt hình hộp theo một thiết diện hình

A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tam giác. D. Tứ giác.

-Lời giải.

N C

B
M

Trong mặt phẳng(ABCD), gọi E là giao điểm của N D và AB.

Trong mặt phẳngABB0A0, gọiF,Glần lượt là giao điểm của EM vớiBB0,AA0.
Khi đó mặt phẳng(DM N) cắt hình hộp theo một thiết diện là tứ giácN F GD.

Chọn đáp án D

</div>
<span class='text_page_counter'>(190)</span><div class='page_container' data-page=190>

A. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

B. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ đều.

C. Hình lăng trụ có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

D. Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lập phương.

-Lời giải.

Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.

Chọn đáp án A

Câu 73. Xét các mệnh đề sau
(1) Hình hộp là một hình lăng trụ;

(2) Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vng;
(3) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau;

(4) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
(5) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3.

-Lời giải.

Các mệnh đề(1),(3)và (4)đúng.

Chọn đáp án D

Câu 74. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD, BC theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho M A

AD =
N C

CB =
1

3. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng M N và song song với CD. Khi đó thiết diện của tứ
diệnABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là

A. một hình bình hành. B. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ.

C. một hình thang với đáy lớn gấp 3lần đáy nhỏ. D. một tam giác.

-Lời giải.

QuaM, kẻ đường thẳng song song vớiCD cắtAC tại E.
QuaN, kẻ đường thẳng song song với CD cắtBD tạiF.
Khi đóM E kN F kCD và(P)≡(M EN F).

Ta có







N F
CD =

BN
BC =

2
3
M E

CD =
AM

AD =
1
3

⇒N F = 2M E.

Vậy thiết diện củaABCDcắt bởi(P)là hình thangM EN F, trong đó đáy
lớnN F gấp 2 lần đáy nhỏM E.

C
N

F
B

Chọn đáp án B

Câu 75. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. GọiI là trung điểm của AB. Mặt phẳng(IB0D0) cắt hình hộp
theo thiết diện là

A. hình bình hành. B. hình thang. C. hình chữ nhật. D. tam giác.

-Lời giải.
Ta có








B0D0 ⊂(IB0D0)
BD⊂(ABCD)
BDkB0D0

nên giao tuyến của(IB0D0)với(ABCD)là đường
thẳngIE quaI và song song với BD(E∈AD).

VìIEkB0D0 nên thiết diện là hình thangIED0B0.

B
B0

C
D

I
E

</div>
<span class='text_page_counter'>(191)</span><div class='page_container' data-page=191>

Câu 76.

A0 D0

B C

B0 C0

A. a

3 . B.

2a2

3 . C.

2. D.

3a2
4 .

-Lời giải.

Gọi I là tâm của hình lập phương ⇒ I là trung điểm của
AC0.

Gọi(P)là mặt phẳng quaI và song song với(ABC). Khi đó
(P) cắt các đường thẳng AB0, B0C, CD0, AD0 lần lượt tại
các trung điểm M,N,P,Q.

Khi đóM N =P Q= 1
2AC =

a√2
2 và
N P =M Q= 1

0<sub>D</sub>0 <sub>=</sub> a

√
2
2 .

Do đó, thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm
của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC) là
hình thoi M N P Qcạnh bằng a

√
2
2 .
Mặt khácN Q=M P =BC =a.
Diện tích hình thoiM N P Q làS= 1

2N Q·M P =
a2

2 .

A0 D0

B C

I
M

D
P
N

Chọn đáp án C

Câu 77. Cho bốn mệnh đề sau

(1) Nếu hai mặt phẳng(α)và(β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng(α) đều
song song với(β).

(2) Hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng song song thì song song với nhau.
(3) Trong khơng gian hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.

(4) Tồn tại hai đường thẳng song song mà mỗi đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo nhau cho
trước.

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đềsai?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

-Lời giải.

Mệnh đề(1) là mệnh đề đúng.

Mệnh đề(2) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Mệnh đề(3) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng song song cũng khơng có điểm chung.

Mệnh đề(4) là mệnh đề sai vì nếu tồn tại hai đường thẳng như trên thì cả4 đường thẳng này đồng
phẳng (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy có3 mệnh đềsai.

</div>
<span class='text_page_counter'>(192)</span><div class='page_container' data-page=192>

Câu 78. Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?

A. 31. B. 30. C. 22. D. 33.

-Lời giải.

Hình lăng trụ có đúng11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có11 đỉnh⇒ đa giác đáy có11 cạnh.
Vậy hình lăng trụ có đúng11 cạnh bên thì có 11 + 11·2 = 33 cạnh.

Chọn đáp án D

Câu 79. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Tìm mệnh đề saitrong các mệnh đề sau

A. (ABB0A0)k(CC0D0D). B. Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau.

C. AA0kCC0. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.

-Lời giải.

Mệnh đềsai là “Diện tích hai mặt bên bất kì bằng nhau”.

Chọn đáp án B

Câu 80. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0, gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm 4ABC, 4ACC0 và 4AB0C0.
Mặt phẳng nào sau đây song song với(IJ K)?

A. (BC0A). B. (AA0B). C. (BB0C). D. (CC0A).

-Lời giải.

GọiM, N, P lần lượt là trung điểm BC,CC0 và B0C0.
Ta có AK

AP =
AJ
AN =

AI
AM =

2
3.

Suy ra(IJ K)k(M N P) hay (IJ K)k(BB0C). P

B
I
B0

M
J
A0

C
N
K

Chọn đáp án C

Câu 81 (Tác giả: Lê Thị Thu Hằng, Email: ).

A. a

2√<sub>3</sub>

6 . B.

a2√<sub>3</sub>

12 . C.
a2√<sub>3</sub>

3 . D.

a2√<sub>3</sub>

2 .

-Lời giải.

(α)kSA vàBC nên (α)k(SAD)⇒M QkSA, N P kSD.
Ta cóM N kP QkADkBC.

Theo định lý Talét trong hình thangABCD ta có
BM

BA =
CN
CD.(1)
Theo định lý Talét trong4SAB ta có

BM
BA =

BQ
BS =

M Q
SA .(2)
Theo định lý Talét trong4SCD ta có

CN
CD =

CP
CS =

P N
SD.(3)

B
Q

N
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(193)</span><div class='page_container' data-page=193>

Từ (1), (2), (3) suy raM Q=N P = b−x

b a;P Q=
x

b2a;M N =a+
x
ba.
Suy ra thiết diện là hình thang cân và

Std =

2(M N+P Q)

M Q2<sub>−</sub>

Å<sub>M N</sub> <sub>−</sub><sub>P Q</sub>

ã2

= 1
2

Å<sub>ab</sub><sub>+</sub><sub>ax</sub>

b +

2ax

a2(b−x)2
b2 −

a2(b−x)2
4b2 =

1
2 ·

a(b+ 3x)
b ·

a√3(b−x)
2b
= a

2√<sub>3</sub>

12b2 (3x+b)(3b−3x)≤

a2√3
12b2

Å<sub>3x</sub><sub>+</sub><sub>b</sub><sub>+ 3b</sub><sub>−</sub><sub>3x</sub>

2
ã2
= a
√
3
3 .
Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là a

2√<sub>3</sub>

3 khi x=
b
3.

Chọn đáp án C

AB =k,0 < k <1.
Tìmk để thiết diện của hình hộp và mặt phẳng(P) có diện tích lớn nhất.

A. k= 1

2. B. k=
3

4. C. k=

4. D. k=
2
5.

-Lời giải.

A M B

D0 C0

R
Q
D
B0
N
K
P
A0
C
S

Trong mặt phẳng(CC0D0D), quaQ kẻ đường thẳng song song vớiCD0 cắtCC0 tại P.
Vậy thiết diện là lục giácM N P QRS.

⇒ M J
M N =

M A
M B =

N C
N B =

N K
N M =

P C
P C0 =

P K
P Q =

QD0
QC0 =

</div>
<span class='text_page_counter'>(194)</span><div class='page_container' data-page=194>

Suy ra các tam giácRQI,J M S,N KP bằng nhau (gọi diện tích của chúng làS1 và diện tích các tam giác

J KI,ACD0 lần lượt làS2,S).

Ta có S1
S =

J M
AC

ã2

AM
DC

ã2

AM
AB

ã2

=k2 ⇒S1 =k2S.

S =

J K
AC

ã2

J M+M K
AC

ã2

= (k+ 1)2⇒S2 = (k+ 1)2S.

Diện tích thiết diện

Std =S2−3S1 = 2S(−k2+k+

1
2)≤

3S
2 .
Dấu đẳng thức xảy ra khik= 1

Chọn đáp án A

Câu 83. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là
trung điểm củaSA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (N OM) cắt(OP M). B. (M ON)//(SBC).

C. (P ON)∩(M N P) =N P. D. (N M P)//(SBD).

-Lời giải.

Xét hai mặt phẳng(M ON) và(SBC).
Ta có:OM//SC vàON//SB.

MàBS∩SC=C vàOM∩ON =O.
Do đó (M ON)//(SBC).

C
D
O

Chọn đáp án B

Câu 84. Cho hình lăng trụ ABCDA0B0C0D0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. (AA0B0B) song song với(CC0D0D). B. Diện tích hai mặt bên bất ki bằng nhau.

C. AA0 song song vớiCC0. D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.

-Lời giải.

A0 D0

B C

B0 C0

Đáp án là B.

Chọn đáp án B

Câu 85. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây

A. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt(P) và(Q) thì
(P) và(Q) song song với nhau.

B. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với
mặt phẳng cho trước đó.

C. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P)
đều song song với mặt phẳng(Q).

D. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P)
đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Q).

</div>
<span class='text_page_counter'>(195)</span><div class='page_container' data-page=195>

Chọn đáp án C
Câu 86. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.

C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.

D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt
phẳng song song..

-Lời giải.

Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.

Chọn đáp án C

Câu 87. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.

B. Hai đường thẳng khơng có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.

C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.

D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.

-Lời giải.

Mệnh đề “Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung” sai vì hai đường thẳng chéo nhau thì
chúng khơng có điểm chung.

Chọn đáp án B

Câu 88. Cho ba mặt phẳng phân biệt (α), (β), (γ) có (α)∩(β) =d1;(β)∩(γ) =d2;(α)∩(γ) =d3. Khi

đó ba đường thẳng d1, d2, d3

A. đôi một cắt nhau. B. đôi một song song.

C. đồng quy. D. đôi một song song hoặc đồng quy.

-Lời giải.

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc
đôi một song song.

Chọn đáp án D

Câu 89. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng khơng cắt nhau thì song song.

B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.

C. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.

D. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có vơ số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

-Lời giải.

Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì chúng có thể song
song với nhau (hình vẽ)⇒ B là mệnh đề sai.

Ta có:ak(P), ak(Q) nhưng(P) và(Q)vẫn có thể song song với nhau.
Mệnh đề C là tính chất nên C đúng.

Chọn đáp án C

Câu 90. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận mp(α)kmp(β)?

</div>
<span class='text_page_counter'>(196)</span><div class='page_container' data-page=196>

B. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc(β).

C. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với(β).

D. (α)kavà (α)kb vớia, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc(β).

-Lời giải.

a b
α

Hình 1.

a <sub>b</sub>

α β

Hình 2.

Trong trường hợp: (α) k (γ) và (β) k (γ) ((γ) là mặt phẳng nào đó) thì (α) và (β) có thể trùng nhau ⇒
Loại A.

(α)kavà(α)kb với a, blà hai đường thẳng phân biệt thuộc (β) thì (α) và(β) vẫn có thể cắt nhau (hình
1)⇒ Loại B.

(α)kavà(α)kbvớia, blà hai đường thẳng phân biệt cùng song song với(β) thì(α) và(β) vẫn có thể cắt
nhau (hình 2)⇒ Loại C.

Chọn đáp án D

Câu 91. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hai mặt phẳng(α) và(β)song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song
với(β).

B. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (α) cũng
song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong(β).

C. Nếu hai đường thẳng phân biệt avà bsong song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (α) và (β) phân
biệt thìak(β).

D. Nếu đường thẳngdsong song vớimp(α)thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong mp(α).

-Lời giải.

b
α

Hình 1.

b
a

Hình 2.

Hình 3.

Chọn đáp án A

Câu 92. Cho hai mặt phẳng song song (α) và(β), đường thẳng ak(α). Có mấy vị trí tương đối củaavà
(β)?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

-Lời giải.

</div>
<span class='text_page_counter'>(197)</span><div class='page_container' data-page=197>

Chọn đáp án B
Câu 93. Cho hai mặt phẳng song song (P) và(Q). Hai điểmM, N lần lượt thay đổi trên (P) và(Q).Gọi
I là trung điểm củaM N. Chọn khẳng định đúng.

A. Tập hợp các điểm I là đường thẳng song song và cách đều(P) và (Q).

B. Tập hợp các điểm I là mặt phẳng song song và cách đều (P)và (Q).

C. Tập hợp các điểm I là một mặt phẳng cắt (P).

D. Tập hợp các điểm I là một đường thẳng cắt(P).

-Lời giải.

Ta có:I là trung điểm củaM N ⇒Khoảng cách từIđến(P)bằng khoảng
cách từI đến (Q)⇒ Tập hợp các điểmI là mặt phẳng song song và cách
đều (P) và(Q).

Q
P

Chọn đáp án B

Câu 94. Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thẳngasong song với mặt phẳng(P)?

A. akb vàb⊂(P). B. akb vàbk(P).

C. ak(Q) và (Q)k(P). D. a⊂(Q) vàb⊂(P).

-Lời giải.

Ta có: a k b và b ⊂ (P) suy ra a k (P) hoặc a ⊂ (P) ⇒ Loại A. a k b và b k (P) suy ra a k (P) hoặc
a⊂(P)⇒ Loại B.ak(Q)và (Q)k(P) suy raak(P) hoặca⊂(P)⇒ Loại C.

Chọn đáp án D

Câu 95. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì akb.

B. Nếu (α)k(β) vàa⊂(α), b⊂(β)thì avàb chéo nhau.

C. Nếu akbvà a⊂(α), b⊂(β) thì(α)k(β).

D. Nếu (γ)∩(α) =a, (γ)∩(β) =bvà(α)k(β) thì akb.

-Lời giải.

Nếu(α) k(β) và a⊂(α), b⊂(β) thì akb hoặc a chéo b⇒ A, B sai. Nếu akb và a⊂(α), b⊂(β) thì
(α)k(β) hoặc(α)và (β) cắt nhau theo giao tuyến song song với avàb.

Chọn đáp án D

Câu 96. Cho đường thẳnga⊂(P) và đường thẳng b⊂(Q).Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. (P)k(Q)⇒akb. B. akb⇒(P)k(Q).

C. (P)k(Q)⇒ak(Q) vàbk(P). D. a vàbchéo nhau.

-Lời giải.

Với đường thẳnga⊂(P) và đường thẳng b⊂(Q).
Khi (P)k(Q)⇒akb hoặca, bchéo nhau ⇒ A sai.

Khi akb⇒(P)k(Q) hoặc(P),(Q) cắt nhau theo giao tuyến song song với avàb⇒B sai.
avàb có thể chéo nhau, song song hoặc cắt nhau⇒ D sai.

Chọn đáp án C

Câu 97. Hai đường thẳngavàbnằm trongmp(α).Hai đường thẳnga0 vàb0 nằm trong mp(β).Mệnh đề
nào sau đây đúng?

A. Nếuaka0 và bkb0 thì(α)k(β). B. Nếu (α)k(β)thì aka0 vàbkb0.

C. Nếu akb vàa0kb0 thì(α)k(β). D. Nếuacắtbvà aka0, bkb0 thì (α)k(β).

</div>
<span class='text_page_counter'>(198)</span><div class='page_container' data-page=198>

a0
b
a

∆

Hình 1.

a0
α

Hình 2.

Nếuaka0 vàbkb0 thì(α)k(β) hoặc(α) cắt(β)(Hình 1) ⇒A sai. Nếu (α)k(β)thì aka0 hoặca, a0 chéo
nhau (Hình 2)⇒ B sai.

Nếuakbvà a0 kb0 thì (α)k(β) hoặc(α) cắtCC0.(Hình 1) ⇒C sai.

Chọn đáp án D

Câu 98. Cho hai mặt phẳng(P) và(Q) cắt nhau theo giao tuyến∆.Hai đường thẳngpvàq lần lượt nằm
trong(P)và (Q).Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. p vàq cắt nhau. B. p và q chéo nhau.

C. p vàq song song. D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

-Lời giải.

Ta cópvà q có thể cắt nhau, song song, chéo nhau (hình vẽ).

q
p

∆

q
p

∆ q

∆

Chọn đáp án D

Câu 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là
trung điểm củaSA, SD và AB.Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (N OM) cắt(OP M). B. (M ON)k(SBC).

C. (P ON)∩(M N P) =N P. D. (N M P)k(SBD).

-Lời giải.

Ta cóM N là đường trung bình của tam giácSADsuy raM N kAD
(1).

VàOP là đường trung bình của tam giácBAD suy raOP kAD (2).
Từ(1),(2) suy raM N kOP kAD⇒M, N, O, P đồng phẳng.
Lại cóM P kSB, OP kBC suy ra(M N OP)k(SBC)hay(M ON)k
(SBC).

D C

B
M

P
N

Chọn đáp án B

Câu 100. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO.Tam giácSBDđều. Một mặt
phẳng(P)song song với(SBD) và qua điểmI thuộc cạnhAC (không trùng vớiAhoặcC). Thiết diện của
(P) và hình chóp là hình gì?

A. Hình hình hành. B. Tam giác cân. C. Tam giác vng. D. Tam giác đều.

</div>
<span class='text_page_counter'>(199)</span><div class='page_container' data-page=199>

Gọi M N là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt đáy
(ABCD). Vì (P) k (SBD),(P) ∩(ABCD) = M N và (SBD) ∩
(ABCD) =M N suy raM N kBD.

Lập luận tương tự, ta có

O
I

D N A

B
M
P

Chọn đáp án D

Câu 101. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

A. Hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau.

B. Hai mặt đáy của hình lăng trụ nằm trên hai mặt phẳng song song.

C. Hai đáy của lăng trụ là hai đa giác đều.

D. Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành.

-Lời giải.

Chọn đáp án C

Câu 102. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nàosai?

A. Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.

B. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

C. Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành bằng nhau.

D. Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

-Lời giải.

Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình hình hành, chúng bằng nhau nếu hình lăng trụ có đáy là tam
giác đều.

Chọn đáp án C

Câu 103. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?

A. Các cạnh bên của hình chóp cụt đơi một song song.

B. Các cạnh bên của hình chóp cụt là các hình thang.

C. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.

D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.

-Lời giải.

đa giác đồng dạng.

Chọn đáp án C

Câu 104. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nàosai?

A. Trong hình chóp cụt thì hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp
cạnh tương ứng bằng nhau.

B. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

C. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang cân.

D. Đường thẳng chứa các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.

-Lời giải.

Với hình chóp cụt, các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

Chọn đáp án C

</div>
<span class='text_page_counter'>(200)</span><div class='page_container' data-page=200>

A. ∆kAB. B. ∆kAC. C. ∆kBC. D. ∆kAA0.

-Lời giải.
Ta có








M N ⊂(AM N)
B0C0 ⊂ A0B0C0
M N kB0C0

−

→ ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(AM N) và(A0B0C0) sẽ song song vớiM N và B0C0. Suy ra ∆kBC.

A0 C0

B
B0

C
M

∆

Chọn đáp án C

Câu 106. Cho hình lăng trụABC.A0B0C0. Gọi H là trung điểm của A0B0. Mặt phẳng(AHC0) song song
với đường thẳng nào sau đây?

A. CB0. B. BB0. C. BC. D. BA0.

-Lời giải.

Gọi M là trung điểm của AB suy ra M B0 k AH ⇒ M B0 k (AHC0).
(1)

VìM H là đường trung bình của hình bình hànhABB0A0 suy raM H
song song và bằngBB0 nên M H song song và bằngCC0

⇒ M HC0C là hình hình hành ⇒M C kHC0 ⇒M C k(AHC0). (2)
Từ(1)và (2), suy ra(B0M C)k(AHC0)⇒B0C k(AHC0).

A C

B0
B

Chọn đáp án A

Câu 107. Cho hình lăng trụABC.A1B1C1.Trong các khẳng định sau, khẳng định nàosai?

A. (ABC)k(A1B1C1). B. AA1 k(BCC1).

C. ABk(A1B1C1). D. AA1B1B là hình chữ nhật.

-Lời giải.

Vì mặt bênAA1B1B là hình bình hành, cịn nó là hình chữ nhật nếuABC.A1B1C1 là hình lăng trụ đứng.

Chọn đáp án D

Câu 108. Cho hình hộpABCD.A0B0C0D0.Khẳng định nào dưới đây làsai?

A. ABCD là hình bình hành.

B. Các đường thẳng A0C, AC0, DB0, D0B đồng quy.

C. (ADD0A0)k(BCC0B0).

D. AD0CB là hình chữ nhật.

</div>

Toán 11: ĐT, MP không không gian, QH song song – Chinh phục giảng đường

<b>2</b>

<b>ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG</b>

<b>KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG</b>

<b>BÀI</b>

<b>1.</b>

<b>ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT</b>

<b>PHẲNG</b>

4

4

<b>BÀI</b>

<b>2.</b>

<b>HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI</b>

<b>ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG</b>

<b>BÀI</b>

<b>3.</b>

<b>ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG</b>

<b>BÀI</b>

<b>4.</b>

<b>HAI MẶT PHẲNG SONG SONG</b>

4

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về