Đề tài Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả. PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CÓ HIỆU QUẢ PHẦN I. MỞ ĐẦU. A.Lý do chọn đề tài. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất( GTLN và GTNN) là một bài toán tương đối khó. Bởi vì cơ sở lý thuyết ngắn , nhưng lại đa dạng về kĩ thuật và thủ thuật làm toán. Nó đòi hỏi một thời gian lớn để thấu hiểu và giải được bài toán, mà còn đòi hỏi sự nhạy cảm và khả năng tư duy cao . Đặc biệt để giải bài toán tìm GTLN và GTNN thì các kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích, hình học…thường được sử dụng. Trong phạm vi nào đó, việc dự đoán GTLN và GTNN còn đồi hỏi kinh nghiệm , lẫn sự thông minh định ra con đường và phương tiện để chứng minh. Hơn nữa, bài toán tìm GTLN và GTNN là dạng bài toán hay gặp trong các kì thi tốt nghiệp, ĐH và CĐ. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường THPT Phước Long tôi nhận thấy khi dạy phần này tôi thường gặp những khó khăn sau đây:  Khó khăn thứ nhất: Đối tượng học sinh dù có học lực khá, ham thích học toán thì cũng “ngại” giải bài toán này.  Khó khăn thứ hai: Học sinh hay mắc phải sai lầm và thiếu sót từ việc chứng minh và cả việc kết luận bài toán.  Khó khăn thứ ba :Đối với học sinh khối 10, khi áp dụng bất đẳng thức đề gỉai bài toán tìm GTLN và GTNN lại còn gặp rất nhiều khó khăn hơn. Đặc biệt, trong tài liệu tự chọn nâng cao (TLTCNC) học sinh 10 tự nhiên không dễ dàng tiếp thu và giải được. Thực tế trên đã làm cho tôi trăn trở rất nhiều năm. Phải làm sao cho học sinh hứng thú học tập khi gặp bài toán này nói chung và dễ dàng tiếp thu bài toán tìm GTLN và GTNN khi áp dụng bất đẳng thức nói riêng ? Vì vậy , tôi quyết định chọn đề tài phương pháp tìm GTLN và GTNN có hiệu quả , với mong muốn góp một phần nhỏ kinh nghiệm của mình vào công tác giảng dạy bài toán tìm GTLN và GTNN cho học sinh lớp 10 và tạo tiền đề để học sinh tiếp tục tiếp cận bài toán trên trong các kì thi tốt nghiệp , ĐH và CĐ. B. Phương pháp thực hiện. Qua nhiều năm giảng dạy chương trình đại số 10 tôi thấy học sinh khó tiếp cận bài toán và hay mắc phải một số sai lầm để đi đến kết luận bài toán. Do đó khi dạy phần này tôi cho học sinh làm thật tốt bài toán bất đẳng thức , nắm vững cơ sở lý thuyết cơ bản của bài toán GTLN và GTNN , giải bài toán trong phạm vi phương pháp 1, phương pháp 2 (được trình bày trong phần nội dung) để làm nền tảng vào phương pháp 3 (được trình bày trong phần nội dung), đồng thời chỉ ra những sai lầm mà học sinh hay mắc phải. Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt -1Trường THPT Phước Long Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả C. Thời gian thực hiện. Tiết 44 , tuần 18. Tiết 64, tuần 25 . Mà chủ yếu thực hiện trong thời gian làm bài tập tự chọn chủ đề tự chọn nâng cao. D. Tài liệu tham khảo:  Sách giáo khoa 10 nâng cao.  Phương pháp tìm GTLN và GTNN của Nguyễn Văn Nho.  Một số bài viết trên diễn đàn toán học. ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗. PHẦN II. NỘI DUNG. Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. -2-. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả A. Kiến thức cơ bản bất đẳng thức (BÑT ) : I. Tính chaát cô baûn * Quy ước: A  B  A  B  0 hay. A B  A B  0. 1) A  B  B  A A>B. A>C. 2). B>C. 3). A > B  A+C > B+C (C  A ). 4). A > B  A.C > B.C (C > 0) A > B  A.C < B.C (C < 0). II. Các phép toán về bất đẳng thức: 1) Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều: A>B C>D.  A + C> B+D. * Chú ý: Trừ 2 BĐT cùng chiều thì sai. 2) Trừ 2 bđt ngược chiều A>B C<D. A-C>B-D. 3) Nhaân 2 bñt döông cuøng chieàu A>B>0 C>D>0.  A . C > B.D > 0. 4) Bình phöông một BÑT döông A > B > 0  A2 > B2 Tq: A > B > 0  An > Bn 5) Khai caên baäc n  2 moät bñt. A B0 n A  n B A  B 1 1   A B  A, Bcungdau. 6) Nghịch đảo một BĐT: . III. Moät soá BÑT quan troïng: Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. -3-. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả 1) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a). A+B  A+B “ = “  A, B cuøng daáu TQ:. b). a1+a2+ … + ana1+ a2+…+ an. A-BA-B “ = “  A, B cuøng daáu. 2) Bất đẳng thức Cauchy Cho n soá thuoäc döông a1, a2,…, an 0. Ta coù: Daïng 1:. a1  a2  ...  an n  a1.a2 ...an n. Daïng 2:.  a  n  ...  an  aa .a2 ...an   1  n  . n. “ = “  a1 = a2 = …. = an * Ta thường dùng:  a,b  0. Ta coù : a+b. 2 ab. “=”  a = b  a, b, c  0. Ta coù:. a  b  c  3 3 abc "" a b c 3) Bất đẳng thức Shwartz ( Bunhiacovski ) Cho 2n soá thực tùy ý : a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn . Daïng 1: (a1.b1+a2.b2+ … + anbn)2  (a12+a12+…+a12) (b12+b12+…+bn2). a. Daïng2:a1.b1+a2.b2+…+an.bn . "". 2 1.  a2 2  ...  an 2 b12  b12  ...  bn 2 . a a1 a2   ...  n b1 , b2 ,...bn  0  b1 b2 bn. Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. -4-. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả * Ta thường dùng bất đẳng thức cho 4 số bất kỳ như sau:. (a 2  b 2 )( x 2  y 2 ). ax+by . * Chuù yù trong quaù trình laøm baøi taäp ta cuõng coù theå duøng caùc heä quaû sau: Heä quaû 1: cho n soá döông: a1, a2, …, an > 0. n Ta coù:. 1 1 1   ...  a1 a 2 an.  n a1 a 2 ...a n. Thaät vaäy: áp dụng BÑT Coâsi cho n soá döông: Ta coù:. 1 1 1 , ,..., a1 a 2 an. .. 1 1 1 1 1 1   ...   n . .... a1 a 2 an a1 a n a n. n . 1 1 1   ...  a1 a 2 an.  n a1 a 2 ...a. Hệ quả 2 : Cho n số dương : a1 , a2 , …., an.. a12  a2 2  ...  an 2 a  a2  ...  an  Ta có: 1 n Thaät vaäy: AD BĐT Shwartz daïng 1, ta coù: 2. 2. an  a2  a1  a2  ...  an   a1     .1  .1  ...  .1  n n n    n  a12 a2 2 an 2  2 2  2  ...  2  1  1  ...  12   n   n2 n 2. 2. 2. a1  a 2  ...  a n  a1  a 2  ...  a n      n n    a1  a2  ...  an . 2. a12  a2 2  ...  an 2 n. Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. -5-. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả B. Các phương pháp thộng dụng CM BÑT I. Phương pháp 1: Phương pháp quy ước đúng CM BĐT(biến đổi tương đương). 1. Phöông phaùp: *) Cơ sở của phương pháp là sử dụng quy ước: A>BA-B>0 Nghĩa là để CM BĐT A > B, ta làm như sau:  B1:. Xeùt A - B.  B2: CM: A - B > 0 luôn đúng. * Tương tự:. AB A-B  0 A<BA-B<0 A BA-B  0. 2. Caùc ví dụ 3. a 3  b3  a  b   Baøi 1: Cho a, b > 0. CM:  (1) 2  2  Giaûi 3. a 3  b3  a  b  4a 3  4b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3    0  0 (1)   2 8  2 . . 3 3 a  a 2b  ab 2  b3  0  8.  a 2 a  b  b 2 a  b   0  a  b a  b   0 (ĐPCM). 2. Baøi 2:. ab  CM: 2. a2  b2 (2) 2 Giaûi. + a + b  0  (2) đúng. a 2  b 2  2ab a 2  b 2  0 + a + b > 0  (2)  4 2  (a-b)2  0 (đúng) Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. -6-. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả. ab  Vaäy 2. a2  b2 (ĐPCM). 2 a b   a b b a. Baøi 3: Cho a, b > 0. CM:. (3). Giaûi (3)  a a  b a  a b  b a  a  b  a  a  b  b  0.  a  b .  a  b  0   a  b   a  b  0 2. (đúng). Bài tập 1 3 là những bất đẳng thức CM bằng cách biến đổi td trực tiếp. Sau đây là BĐT thông qua kết quả bất đẳng thức khác. Bài 4 (1.TLTCNC) Cho a, b  A .CMR: a  b  a  b  a  b . Giaûi Ta có: a  b  a  b  ( a  b )2   a  b  . 2.  a 2  b 2  2ab  a 2  b 2  2 ab   ab  ab (đúng).(1). Ta có: a  (a  b)  b  a  b  b  a  b  a  b (2). Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM. Baøi 5 : Cho a, b, c  0. CM: a). abc  3. ab  bc  ca (1) 3. 2. a2  b2  c2  a  b  c  b)   (2) 3 3  . Giaûi Ta CM: a2+b2+c2 ab + bc + ca (*) Cách 1: Ta có : (a  b) 2  a 2  b 2  2ab Tương tự a 2  c 2  2ac b 2  c 2  2bc  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac. Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. -7-. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả Caùch 2: (*)  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  0  1a 2 1 1  1 1 1  1 1 1    2 ab  b 2    a 2  2 ac  c 2    c 2  2 bc  b 2  2 2  2 2 2  2 2 2   2 . 1 a  b 2  1 a  c 2  1 b  c 2  0 2 2 2. Cách 1 a).. a  b  c  (1) . 2. 9. . ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca  3ab  3bc  3ca 3.  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca (đúng)  ĐPCM. b). a 2  b2  c2 1 2  a  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac  3 9 2 2 2  3a  3b  3c  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac. (2) .  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca. Cách 2: 2. a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca  abc  a) Ta coù:    3 9   . . a 2  b 2  c 2  cb  bc  ca cb  bc  ca ab  bc  ca   9 3 3. abc ab  bc  ca  (ĐPCM). 3 3. . b)Tacoù:. . . 3 a2  b2  c2  a2  b2  c2  2 a2  b2  c2.  a 2  b 2  c 2  2ab  bc  ca   a  b  c . 2. . . 3 a2  b2  c2  a  b  c     9 3  . 2. 2. . a2  b2  c2  a  b  c    . 3 3  . II. Dùng các bất đẳng thức thường gặp (BDT Cơsi – BDT Shwartz). Bài 1:. a, b, c  0 Cho  a  b  c  1 . Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. -8-. Lop10.com. Trường THPT Phước Long. .

<span class='text_page_counter'>(9)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả a) CMR: b + c ≥ 16abc (TLTCNC). Giải Cách 1:Ta coù b + c = (b + c) [a + (b + c)]2 ≥ (b + c)4a(b + c)=(b + c)2. 4a Maø (b + c)2 ≥ 4bc do đó b + c ≥ 16abc (đpcm) Cách 2: Ta coù b + c ≥ 16abc  b + c ≥ 16bc (1 - b - c)  b + c ≥ 16bc - 16b2c - 16bc2  16b2c + 16bc2 - 16bc + b + c ≥ 0  c (16b2 - 8b + 1) + b(16c2 - 8c + 1) ≥ 0  c (4b - 1)2 + b(c-1)2 ≥ 0. (đúng).  b + c ≥ 16abc (ñpcm) Cách 3: Ta coù b + c ≥ 16abc  b + c ≥ 16bc (1 - b - c)  b + c ≥ 16bc - 16bc (b + c)  (b + c)(1 + 16bc) ≥ 16bc (*) Để CM (*) ta xuất phát từ (b + c)2 ≥ 4bc Ta có: (b + c)2 ≥ 4bc  (b + c)2(1 + 16bc)2 ≥ 4bc (1 + 16bc)2 ≥(4bc)2  (b + c)(1 + 16bc) ≥ 16bc ((*) đúng) Suy ra:. b + c ≥16abc (ñpcm). Cách 4 : Ta coù b + c ≥ 16abc.  b + c ≥ 16bc (1 - b - c) . . 1 1   16(1  b  c) c b 1 1   16  16b  16c  0 c b. 1  1   16b  8    16c  8    0 b  c  2. 2. 1   1    4 b   4 c   0 b c    . Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. -9-. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả Suy ra: b + c ≥16abc (ñpcm) b) CM: ab + bc + ca ≥ 9abc (TLTCNC). Giải Ta coù:. a  b  c  3 3 abc ab  bc  ca  3 3 a 2b 2 c 2.  (a+b+c) (ab+bc+ca) ≥ 9abc  ab+bc+ca  9abc (a+b+c = 1) c) CM: ab + bc + ca  2abc. Giải Ta có ab + bc + ca - 2abc  0  ab(1-c) + bc (1-a) + ca ≥ 0 (đúng) Ta có : ab + bc + ca – 2abc  0  ab(1- c) + bc(1 – a) + ca  0 (đúng) Do a + b + c = 1; a, b, c > 0 ;1 > c, 1 > a ; ab, bc, ca>0) Suy ra: ab + bc + ca  2abc (ĐPCM)  1  1  1  d) CM: 1   1   1    64  a  b  c . Giải Caùch 1: Ta có : 1 + a = a + b + c + a ≥ 4 1 + b = a+ b + c + b ≥ 4 1 + c = a+ b + c + c ≥ 4  (1 + a (1 + b) (1 + c) ≥ 43. 4. 4. a 2 bc. 4. b 2 ac. 4. c 2 ab. a 4b 4 c 4. Suy ra: (1 + a)(1 + b) (1 + c) ≥ 64 abc. Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. - 10 -. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả Cách 2 : 4 2 a bc  1  a 1 a  a  b  c  4 Ta có: 1    a a a  a 4 2 b ac  1  b 1 b  a  b  c 1     4   b b b  b. 1. Suy ra:. 4 1 c 1 c  a  c  b c 2 ab   4 c c c c. 4 4 4 4 abc  1  1  1   64 1   1   1    64 abc  a  b  c . Baøi 2: Cho a1, a2, …, an > 0; a1 + a2 + … + an = 1 1 . 1  . 1 .   n CM : 1   1   ...1    n  1 . a a  a . 2.  . n. . Giải Cách 1: n 1 2 a1 a2 ...an Ta coù: 1  a1  a1  a2  ...  an  a1  n  1. 1  a2  a1  a2  ...  an  a2  n  1 n 1 a2 2 a1...an ……………………………………………………… 1  an  a1  a2  ...  an  an  n  1 n 1 an 2 a1...an 1. . 1  a1 1  a2 ... 1  an   n  1. n.  n 1 a1n 1.a2 n 1...an n 1.  1  a1 1  a2 ... 1  an   n  1 a1.a2 ...an  n.  1  1  1   1   a1   a 2.   1  ...  1    an.    n  1n (ĐPCM) . Cách 2: Ta coù: 1 . a a .a ...a a a 1  1  1  2  3  ...  n  n  1 n 1 2 3n 1 n a1 a1 a1 a1 a1. 1. a a .a ...a a a 1  1  1  1  3  ...  n  n  1 n 1 1 3n 1 n a2 a2 a2 a2 a2. …………………………………………………………. Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 11 Trường THPT Phước Long Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả 1 . Suy ra: 1  . a a a ...a a a 1  1  1  1  2  ...  n 1  n  1 n 1 1 2 n 1 n 1 an an an an an. a1n 1a2 n 1...an n 1 1  1  1 n 1 1  ... 1   n  1  (ñpcm)       a1   a2   an  a1n 1a2 n 1  ...  an n 1. Baøi 3: Cho n soá dương a1, a2, …, an . CMR:  an   1  a1   a2   an 1    ... 1   1  1   1    1   na n . a n . a n . a  n  2  3   n  1 . n. Giaûi ADBÑT Cosi, ta coù a2  a2  a2  ...  a2  a1 n 1 n  a2 .a 1 n 1.  na 2  a1  n  1n 1 a 2 n .a1 T. tö:ï na3  a 2  n  1n 1 a3 n a 2 ……………………………… nan  an 1  n  1n 1 an n .an 1 na1  an  n  1n 1 a1n .an  (na2  a1 )(na3  a2 )...(nan  an 1 )(na1  an )  n  1 a1a2 ...an n. na2  a1 na3  a2 ...(nan  an1 ) na1  an   n  1  nn na2 na3 ... nan na1 . n. n.  1  1   .  n. Suy ra :đđpcm. Baøi 4(TLTCNC): Cho a, b  A . CM:. 1 a  b 1  ab  1   (*). 2 1  a 2 1  b 2  2. Giaûi (*) . a  b 1  ab . 1  a 1  b  2. 2.  a  b 1  ab . Áp BÑT Cosi:. . 1 1 1  a  b 1  ab  (1  a 2 ) 1  b 2  1  a 2  b 2  a 2b 2  2 2 2. 1 2 2 1  ab   a  b    2. 1  ab 2  a  b 2 2. . 1  ab 2 a  b 2.  1  ab a  b.  (*) đúng  (đpcm). Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. - 12 -. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả Bài 5(TLTCNC): Cho a,b > 0.CMR:  a  b   64ab a  b  (1). 8. 2. Giaûi Đặt x  a , y  b  a  x 2 , b  y 2 ( x, y  0). (1)  x  y   64 x 2 y 2 x 2  y 2 .  x  y   8 xy x 2  y 2 .. 2. 8. 4. 4 2  x  y   8 xy x  y   2 xy   S 4  8S 2 P  16 P 2  .  S 2  4 P   0 . S , P .( với S = x + y , P = xy ). 2. Vậy (1) đúng. Bài 6 (TLTCNC): Cho a,b là số thực .CMR: 16ab a  b   a  b  (2). 2. 4. Giaûi (2)  16ab a  b   4ab   a  b   16 P S 2  4 P  S 4 .(S = a + b;P = ab ) 2. 4.  S 2  8 P   0, S , P . 2.  S 4  16 PS 2  64 P 2  0. Vậy (2) đúng. Baøi 7: a) Cho a, b  A vaø a2 + b2 = 1 CM: a8 + b8  1/8 b) a, b > 0 vaø a2 + b2 = 4 ab. CM:. a2  4. 3 2. . Giaûi 1 2. a) Ta có 12  a 2 .1  b 2 .1  a 4  b 4 12  12   a 4  b 4 2. . 2 1 1  a 4  b 4   a8  b8 12  12   a 8  b 8  4 8. b) Ta coù a  b . 2. . a  b 2 2a  b 2. 2. 2.  1  1   .( 2a )  1.b     1 2a 2  b 2   2  2 . a  b   3  a  b  3  2 2 a 4 2 a2  4 2. . Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. - 13 -. Lop10.com. 3 . 2. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả. C.ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀO BÀI TOÁN TÌM GTLN và GTNN. Cơ sở lý thuyết tìm GTLN và GTLN. Để tìm GTLN của bt A(x) với x  D ta làm như sau: CMR x  D ta có A(x)  C (C là hằng số ) CMR tồn tại x0  D sao cho A(x0) = C. Kết luận GTLN của A(x) là C tại x = x0. Để tìm GTNN của bt A(x) với x  D ta làm như sau: CMR x  D ta có A(x)  C (C là hằng số ) CMR tồn tại x0  D sao cho A(x0) = C. Kết luận GTNN của A(x) là C tại x = x0. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 1.PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP NHÓM – SO SÁNH Để tiến hành giải bài toán tìm GTNN và GTLN Ta có thể dùng các phép biến đổi đại số để nhóm các số hạng và đưa bất đẳng thức ban đầu về dạng như sau: F  A2  k  k , F  B2  k  k , F  A2  B 2  k  k , F  A2 B  k  k ;( B  0) , F  AB  kl ;( B  l  0, A  k  0) . Tất nhiên là dấu bất đẳng thức xảy ra trong miền xác định của các biến số. Chú ý : Nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu “=” xảy ra phải mang tính đồng thời ở các bất đẳng thức đó. Ví dụ1. Tìm GTNN của : a ). y  x 4  2 x 3  3 x 2  2 x  1, b).F (a, b)  a 2  b 2  2a  2b  7, c).P ( x, y )  x  2 xy  3 y  2 x  5;( x, y  0).. Giải: a).TXD : D  A . Ta có : y  x 4  2 x 3  3 x 2  2 x  1 2. 2  1  3 9  x  x  1   x      . 2  4  16  2. 2. Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. - 14 -. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả 2. 1 3 3 1  Vì  x     , dấu “=” xảy ra khi x   . 2 4 4 2  1 9 x . y Vậy Min khi D 2 16 2 2 b). F a, b   a  b  2a  2b  7  a  1  b  1  5  5, a, b  A . 2. 2. a  1 Dấu “=” xảy ra chỉ khi  . b  1 Vậy MinF = 5. c). P  x  2 xy  3 y  2 x  5;( x, y  0) 1   3 . . x 3 y. . 2. 3   2 x   2 . 2.  7 7    , x, y  0.  2 2. 9   x 3 y  0 x    4.  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  3  x 0 y  1  2  4. 9  x   4. 7 Vậy MinP = khi  2 y  1  4. Ví dụ 2. Tìm GTLN của : a). y . 2 x 2  6 x  12. 3 x 2  6 x  10 b). y  2 x  2x  2 Giải:. a). TXD : D  A . 2 1 1 y 2   . 2 x  6 x  12 ( x  3)  3 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = - 3 . 1 y  khi x = - 3. Vậy Max D 3 b). TXD: D  A . 3 x 2  6 x  10 4 4 y 2  3 2  3 7 . 2 x  2x  2 x  2x  2 x  1  1   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = - 1. y  7 khi x = - 1. Vậy Max D Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. - 15 -. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả Lời bình: Bài toán trên có nhiều cách giải khác nữa. Nhưng trong phạm vi kiến thức của học sinh lớp 10, bài toán trên ta có thể giải bằng phương pháp đại số khác. Đó là phương pháp đưa về việc khảo sát tam thức bậc hai, sẽ được trình bày ở phần 2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO. Bài 1. Cho x, y  A thõa điều kiện x + y = 2. 2 2 4 4 8 8 Tìm GTNN của A  x  y , B  x  y , C  x  y .. Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức ta được :. A  x2  y 2 . 1 1 2 2 2 x  y   x  y    x  y   2  2 .   2 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x - y = 0, kết hợp với đk x + y = 2. Suy ra x = y =1 . Vậy MinA = 2 khi x = y = 1 . Áp dụng kết quả trên ta có:. B  x4  y 4 . 1 1 ( x 2  y 2 ) 2  ( x 2  y 2 ) 2   x 2  y 2  4   2.  2 2.  x2  y 2  2  2 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  x  y  0  x  y  1 . x  y  2  Vậy MinB = 2 khi x = y = 1. Từ kết trên ta có :. C  x8  y 8 . 1 4 1 4 1 2 4 2 4 4 2 4 2 ( x  y )  x  y  x  y  2   2.      2 2  2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1. Vậy MinC = 2 khi x = y = 1. Bài 2. Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Tìm GTLN của :. A. 1 1 1   . a 3  b3  1 b3  c 3  1 c 3  a 3  1. Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. - 16 -. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả Giải: Ta có:. a  b . 2.  0  a 2  ab  b 2  ab  a  b (a 2  ab  b 2 )  ab a  b  ..  a 3  b3  ab a  b  . Từ đó : a  b  1  a  b  abc  ab a  b   abc  ab a  b  c  . 3. 3. 3. 3. 1 1 c   Suy ra : 3 a  b3  1 ab a  b  c  a  b  c . 1 1 a   Tương tự: 3 b  c 3  1 bc a  b  c  a  b  c , 1 1 b   3 c  a  1 ac a  b  c  a  b  c . 3. Suy ra A . abc  1. abc. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy MaxA = 1 khi a = b = c = 1. ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ 2.PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ VIỆC KHẢO SÁT TAM THỨC BẬC HAI. i). Xét phương trình bậc hai : Ax2 + Bx + C = 0 , A  0.  Nếu phương trình có nghiệm thì   0 .  Nếu   0 thì af(x)  0, x. ax 2  bx  c ii). Xét bài toán tìm GTLN và GTNN của y  , 2 , , với tập xác định a x  b x  c, DA. .. Ta chuyển biểu thức y về phương trình dạng Ax 2  Bx  C  0, trong đó , hiển nhiên A,B,C phụ thuộc y. Sau đó ta dựa vào i. Chú ý: Xét A = 0 và so sánh với giá trị y (miền giá trị) Xét A  0 . và so sánh với giá trị y (miền giá trị) ở hai trường hợp trước khi đ đến kết luận. Ví dụ 1. Tìm GTLN của : 2 3 x 2  6 x  10 a). y  2 b). y  2 x  6 x  12 x  2x  2 Giải: a). TXD : D  A . Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. - 17 -. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả Ta có : y   y=0 . 2  yx 2  6 yx  12 y  2  0 (1). 2 x  6 x  12.  (1) trở thành : - 2 = 0 ( vô lý ).. y  0;  '  9 y 2  12 y 2  2 y  3 y 2  2 y  0  0  y . 3 y  3 . y Vậy Maxy = 2/3 khi x = -3. b). TXD : D  A .. 2 . 3. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x . 3 x 2  6 x  10   y  3 x 2  2  y  3 x  2 y  10  0 (2). 2 x  2x  2  y = 3  (2) trở thành : - 4 = 0 ( vô lý ).  y  3;  '  ( y  3) 2  ( y  3)(2 y  10)  ( y  3)( y  7)  0  3  y  7 . Ta có: y . y 3  1. y 3 Vậy Maxy = 7 khi x = 1.. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x . Ví dụ 2 : Tìm GTNN và GTLN của: y . 4x  3 (x  A ) . x2  1. Giải: Ta có: y . 4x  yx 2  4 x  y  3  0 (3). 2 x 1. 3 . 4 y  0;  '  4  y ( y  3)   y 2  3 y  4    y  1 y  4   0  1  y  4 ..  y=0.  (3) trở thành : - 4x - 3 = 0. x.  Mặt khác : y(- 2) = - 1 và y(1/2) = 4 . Vậy Maxy = 4 khi x = 1/2 và Miny = -1 khi x = -2. Ví dụ 3 : 2x2  x 1 Tìm GTNN và GTLN của: f ( x)  2 . x  x 1 Giải: Dễ dàng ta thấy mẫu thức của y luôn luôn dương với mội x nên tập xác định của y là D  A . 2x2  x 1  0, x  A . * Ta có : f ( x)  2 x  x 1 1 2. 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x  x  1  0  x  1  x  .. Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. - 18 -. Lop10.com. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả 1 2. Suy ra Minf(x) = 0 khi x  1  x  . 2x2  x 1   y  2  x 2   y  1 x  y  1  0, (4) . * Ta có: y  2 x  x 1 + Nếu y = 0 thì (4) có nghiệm x = 1. + Nếu y  0 thì (4) có nghiệm là :.    y  1  4  y  1 y  2   3  y  13  y   0  1  y  3 2. . Khi đó ta có maxy = 3 tại x = 2 , miny = -1 tại x = 0. Suy ra Maxf(x) = Max max y ; min y  Max 3 , 1  3 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2. Vậy Minf(x) = 0 khi x  1  x . 1 và Maxf(x) = 3 khi x = 2. 2. Lời bình: Theo tôi học sinh lớp 10 muốn làm tốt những bài toán tìm GTLN và GTNN thì học sinh phải nắm vững phương pháp 1 và 2 nêu trên . Sau đó cho học sinh tiếp cận những bài toán tìm GTLN và GTNN áp dụng BẤT ĐẲNG THỨC CÔ- SI và BU- NHI- A- CỐP- XKI có phần phức tạp hơn. 3. PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY và SHWARTZ. Ví dụ 1.( bài 17 sgk đại số 10 NC). Tìm GTNN và GTLN của : A  x  1  4  x . Giải: x 1  0  1  x  4  TXD : D  1; 4. Đk:  4  x  0 Có một học sinh giải như sau: Ta có : A  x  1  4  x  0, x  D . x  1 . x  4. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . x  1  0 tại  Vậy MinA . D x  4 Nhận xét : Cách giải trên là sai. Do học sinh không hiểu được sự tồn tại đồng thời x = 1 và x = 4 là mâu thẫu. Lời giải đúng : Ta có : A2  x  1  4  x  2. ( x  1)(4  x)  3  2. x  14  x   6 .. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = 4 – x  x  Và A2  3  2.. x  14  x   3  A . Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. - 19 -. Lop10.com. 5 . 2. 3.. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> SKKH:Phương pháp tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ nhất có hiệu quả x  1. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi   . x  4  6 tại x  Vậy MaxA D. 5  3 tại và MinA D 2. x  1 x  4 . . Bài toán trên có thể áp dụng BDT Bunhiacopxki để tìm GTLN của A.. 1. Ta có A  x  1  4  x . 2.  12 x  1  4  x   6 .. 5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x -1 = 4 – x  x  . 2 Ví dụ 2. ( bài 13 sgk đại số 10 NC). 2 Tìm GTNN của hàm số f ( x)  x  ( x > 1 ). x 1 Giải: Có một bạn học sinh giải : 2 2  2  3  ( x  1)   1  3. 3 x  1 Ta có : f ( x)  x   .1  3. 2 . x 1 x 1  x 1 . x  2  2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  x  1  x  1  1   x  3 . x  2 1  x  2   3. 3 2 tại  x  3 Vậy MinA . x 1 x  2 1  a  b . b  c. Nhận xét : Cách giải trên là sai. Do học sinh hiểu a  b  c   Lời giải đúng :. 2 2  ( x  1)  1  2 2 1 . x 1 x 1 2 2  x  1  2  x  2  1(dox  1) . Dấu“=”xảyra khi và chỉ khi x  1  x 1. Ta có : f ( x)  x .  1  2 2 tại x  1  2 . Vậy MinA x 1 Ví dụ 3.( bài 78 sgk đại số 10 NC). Tìm GTNN của hàm số sau :. 1 a). f x   x  x. Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt. b). f x  . - 20 -. Lop10.com. x2  2 x2  1. .. Trường THPT Phước Long.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>