Giải phương trình chứa căn như thế nào?

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuẩn bị thi vào đại học Giải Phương Trình chứa căn như thế nào? Khi các bạn giải phương trình (PT) dạng ax  b  cx  d , chúng ta đều biết bình phương 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với PT ax  b  cx 2  dx  e có giải được bằng phương pháp đó được nữa không? Xin trả lời trừ một số trường hợp đặc biệt. Vậy thì có phương pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc ch­a tr¶ lêi ®­îc, VÝ dô khi gi¶i PT sau: 1 9 x  5  3 x 2  2 x  3 ,ta đặt 9 x  5  3 y  1, y   , rồi khi giải PT: 3 1 x 2  x  2004 1  16032 x  2004 , ta đặt 1  16032 x  2t  1, t  . 2. Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có được phép đặt như vậy( Đã có một chuyên đề được đăng trên Toán học và tuổi trẻ nói về phương pháp giải). Đặc biệt với các bạn đã học về đạo hàm thì phương pháp sau sẽ giải quyết bước chọn đặt nhanh hơn rất nhiều. Sau đây là nội dung phương pháp cụ thể: 1 a. D¹ng 1: ax  b  x 2  cx  d , (a  0) vµ tháa m·n b  ad . a 2c  c  1   (*). XÐt hµm 2  2. 1 2 2 ac x  cx  d => f ' ( x)  x  c  0  x   , khi đó bằng a a 2 ac ax  b  y  , ta sẽ đưa PT dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc. 2. sè. y. phép đặt. Chú ý: Khi bài toán đã cho thì điều kiện sẽ thỏa mãn. Do vậy ta cũng không phải kiểm tra điều kiện đó. VÝ dô: Gi¶i PT sau: 3x 2  x . 29 12 x  61  6 36. 29 1 => f ' ( x)  6 x  1  0  x   . 6 6 12 x  61 1 1 12 x  61 1 1  y  , y   <=>  y2  y  36 6 6 36 3 36. Lµm nh¸p: f ( x)  3x 2  x  Gi¶i: §Æt. <=> 12x+61 = 36y2 +12y +1 <=> 3y2 + y = x +5 (1) 29 1  y  <=> 3x2 + x = y +5 (2) 6 6 2 3 y  y  x  5 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:  2 => 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y 3 x  x  y  5 3x  2 <=> (x-y)(3y + 3x +2) = 0 <=> y = x hoÆc y   . 3. Mà theo cách đặt ta có: 3x 2  x . Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 5 1 ,( y   ). 3 6 3x  2 3x  2 * Víi y   => 3x2 + x = +5 <=> 9x2 +6x - 13 = 0 3 3  3  126 => x1, 2  . Từ đây ta tìm được y và kết luận được nghiệm của PT đã cho. 9. * Víi y = x => 3y2 = 5 =>y = x =. D¹ng 2:. 1 ax  b  cx 2  dx  e, (a  0, c  0, a  ) c. XÐt f(x) = cx2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = 0 => x  . d , khi đó bằng phép đặt 2c. ax  b  2cy  d . VÝ dô1: Gi¶i PT sau: 9 x  5  3x 2  2 x  3 Lµm nh¸p: f(x) = 3x2 + 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3. Gi¶i: §Æt 9 x  5  3 y  1, y  . 1 3. => 9x – 5 = 9y2 +6y + 1 <=> 9y2 + 6y = 9x – 6 <=> 3y2 + 2y = 3x – 2 (1) MÆt kh¸c ta cã: 3x2 + 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x2 + 2x = 3y – 2 (2) 3 y 2  2 y  3 x  2 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ  2 đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải như 3 x  2 x  3 y  2. vÝ dô trªn. VÝ dô 2: Gi¶i PT sau: x 2  x  2004 1  16032 x  2004 (Thi chän HSG B¾c Giang n¨m häc 2003 – 2004). Lµm nh¸p: XÐt hµm sè f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 = 0 <=> x =. 1 2. 1 c. Do a  , nên ta sử dụng phương pháp đặt: Gi¶i: §Æt 1  16032 x  2t  1, t . 1 => t2 – t = 4008x, (1) 2. MÆt kh¸c do tõ PT ta cã: x2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2) t 2  t  4008 x Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ PT sau:  2  x  x  4008t. => (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t) <=> (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0 <=> t = x hoÆc t = - x – 4007. * Víi t = x ta cã: x2 – 4009x = 0 <=> x = 0 vµ x = 4009. Ta cã x = 0 kh«ng tháa m·n. * Víi t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) <=> x2 +4007x – 4007.4008 = 0 => PT v« nghiÖm.. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009. 1 ax  b  cx 3  dx 2  ex  m, (a  0, c  0, a  ) c 3 2 XÐt hµm sè f(x) = cx  dx  ex  m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e. D¹ng 3:. 3. => f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => x   3. ax  b  y . d , Khi đó bằng phép đặt: 3c. d 3c. VÝ dô: Gi¶i PT sau:. 3. 63 x 3 3 2 9 3x    x  x 8 3 2 4. x3 3 2 9 Lµm nh¸p: XÐt hµm sè f(x) =  x  x => f’(x) = x2 - 3x +9/4 => 3 2 4 3 f’’(x) = 2x – 3 = 0 <=> x  . 2 63 3 63 9 27 27 Gi¶i: §Æt 3 3x   y  => 3x   y 3  y 2  y  8 2 8 2 4 8 9 9 27 <=> 3x   y 3  y 2  y <=> 12x – 18 = 4y3 – 18y2 + 27y, (1). 2 2 4 3 x3 3 9 Từ PT đã cho và theo cách đặt ta có: y    x 2  x 2 3 2 4. <=>12y – 18 = 4x3 – 18x2 + 27x, (2). 12 x  18  4 y 3  18 y 2  27 y Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:  ( viÖc gi¶i hÖ nµy xin dµnh cho 12 y  18  4 x 3  18 x 2  27 x. độc giả) 1 ax  b  cx 3  dx 2  ex  m, (a  0, c  0, a  ) c 3 2 XÐt hµm sè f(x) = cx  dx  ex  m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e. D¹ng 4:. 3. => f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => x  . d , Khi đó bằng phép đặt: 3c. ax  b  3cy  d VÝ dô: ( To¸n häc vµ Tuæi trÎ Th¸ng 6 n¨m 2001) Gi¶i PT sau: 4 3 81x  8  x 3  2 x 2  x  2 3 4 3 2 Lµm nh¸p: XÐt hµm sè f(x) = x  2 x  x  2 => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3 3 3. => f’’(x) = 6x – 4 = 0 <=> x . 2 1 do a  . 3 c. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Gi¶i: §Æt. 3. 81x  8  3 y  2 => 3x = y3 – 2y2 +. 4 y ,( Biến đổi tương tự ta có hệ) 3. 4  3 2 3 y  x  2 x  x  13 3 => (x – y)( x2 + xy +y2 - 2x – 2y + ) = 0(*),  3 3 x  y 3  2 y 2  4 y  3 13 1 1 1 1 Do x2 + xy +y2 - 2x – 2y + = ( x  y ) 2  ( x  2) 2  ( y  2) 2   0 , nªn tõ 3 2 2 2 3 3 2 6 4 (*) ta cã x = y => 3x = x3 – 2x2 + x => x1= 0 ; x2,3 = 3 3. Trªn ®©y chØ lµ mét sè vÝ dô ®iÓn h×nh.§Ó thµnh th¹o h¬n c¸c b¹n luyÖn tËp qua một số ví dụ dưới đây. Hy vọng rằng phương pháp trên đem lại cho bạn thành công khi giải phương trình chứa căn. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong học tËp ! Bµi tËp tù luyÖn: Giải các phương trình sau: 1) x 2  2  x  2 2) x 2  4 x  3  x  5 3) x 3  2  33 3x  2 4) 3x  1  4 x 2  13x  5 5) x  1  x 2  4 x  5 6). 4x  9  7x2  7x 28. Phan Hoµng Ninh. GV Trường THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>