Tài liệu DA HSG NGHE AN TOAN 12-A NAM 2010

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang )
Câu Nội dung Điểm
Câu 1.
a,
(3,0đ)
a) Đ/k xác định :
21
≤≤−
x
0,25
Khi đó phương trình
⇔

2121
2
−−=−−+−−
xxxx
(1) 0,25
Xét :
xxxxxf
−−+−−=
21)(
2
với x
∈
[-1;2]

xx
xxf
−
+
+
−−=
22
1
12
1
12)('

0,5
⇔
]
)21(212
1
1)[12()('
xxxx
xxf
−++−+
+−=
,
1
'( ) 0
2
f x x= ⇔ =

0,5

⇒
Bảng biến thiên :
x
-1
1
2
2
f’(x) - 0 +
f(x)
2 3−

32
−
6
4
1
−−
0,5
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có đúng 2 nghiệm. 0,25
Dể nhận thấy x=0; x=1 là 2 nghiệm của phương trình (1). 0,5
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là
{ }
1;0
=
S
. 0,25
b,
(3,0đ)
b) Bất phương trình đã cho tương đương với
12)2(

2
++≥−+
xxmxm

1)1(
2
+≥−⇔
xxm
(*)
0,25
Nhận thấy
1
=
x
không nghiệm đúng bất phương trình (*) 0,25
Với
[
)
1;2
−∈
x
. Ta có bpt (*)
1
1
2
−
+
≤⇔
x
x

m
(1) 0,25
Với
(
]
2;1
∈
x
. Ta có bpt (*)
1
1
2
−
+
≥⇔
x
x
m
(2) 0,25
Xét hàm số
( )
1
1
2
−
+
=
x
x
xf

, với
[
) (
]
2;11;2
∪−∈
x
0,25
Có
( )
2
2
'
)1(
12
−
−−
=
x
xx
xf
,
'
x 1 2
f (x) 0
x 1 2 (lo¹i)

= −
= ⇔


= +


0,5
Bảng biến thiên:
x -2
21
−
1 2
f’(x) + 0 - -
f(x)

222 −

∞+

3
5
−

∞−
5
0,5
Bpt(*) có nghiệm thuộc đoạn
[ ]
⇔−
2:2
hoặc bpt (1) có nghiệm thuộc 0,25
Trang 1
[

)
1;2
−
hoặc bpt (2) có nghiệm thuộc
(
]
2;1





≥
−≤
⇔
5
222
m
m
Vậy
[
)
( ;2 2 2] 5;m∈ −∞ − ∪ +∞
là tất cả các giá trị cần tìm .
0,5
Câu 2.
(2,0đ)
Điều kiện xác định của hệ phương trình là




≤≤
≤≤−
20
11
y
x
(*) 0,25
Hệ phương trình đã cho tương đương với:





−+=+−
+++=+
)2(211
)1()1()1(
2
33
yyx
xxyy
0,25
Từ(*) ta có
[ ]
[ ]
1 0;2
0;2
x
y


+ ∈


∈


. Xét:
tttf
+=
3
)(

tttf
∀>+=
013)('
2
0,5
Hàm số
tttf
+=
3
)(
đồng biến trên đoạn
[ ]
2;0
nên pt(1)
1
+=⇔
xy

,
thế vào pt(2) ta được:
xxx
−++=+−
1111
2

0,5

0
=⇔
x
1
=⇒
y
(thỏa mãn (*)).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( )
yx;
là
( )
1;0
.
0,5
Câu 3.
a,
(2,5đ)
a)Điều kiện :




>
−>
yx
yx
2
2
. Suy ra
yx 2
>
0
>⇒
x
0,25
Ta có : log
4
(x+2y)+log
4
(x-2y)=1
⇔
log
4
(x
2
-4y
2
)=1 0,25

⇔
x

2
-4y
2
=4
44
2
+=⇔
yx
(do x > 0)
0,25
Suy ra:
yyyx
−+=−
4422
2
, đặt :
, 0t y t= ≥
0,25
Xét:
tttf
−+=
442)(
2
, với
0
≥
t
.
44
448

1
44
8
)(
2
2
2
'
+
+−
=−
+
=
t
tt
t
t
tf
, 0,5
15
1
0)(
'
=⇔=
ttf
(do
0
≥
t
). 0,25

Bảng biến thiên:
t
0
15
1
+
∞
f’(t) - 0 +
f(t)
4 +
∞

15
0,5
Từ bảng biến thiên suy ra
15)(
≥
tf

⇒

152
≥−
yx
(đpcm).
Dấu đẳng thức xảy ra
15
1
,
15

8
±==⇔
yx
.
0,25
b,
(2,5đ)
b) Từ giả thiết và
])[(
2
1
2222
cbacbacabcab
−−−++=++
0,25
suy ra:
2
)(
4
1
cbacabcab
++=++
. Do đó
0,25
Trang 2















++
+






++
+






++
=
++
++
=

333
3
333
444
16
1
)(
)(4
cba
c
cba
b
cba
a
cba
cba
P
. 0,25
Đặt :
cba
a
x
++
=
4
,
cba
b
y
++

=
4
,
cba
c
z
++
=
4

0,5
Thì



+−=
−=+
⇔



=++
=++
44
4
4
4
2
xxyz
xzy

zxyzxy
zyx
.Vì
( )
yzzy 4
2
≥+
nên
3
8
0
≤≤
x
.
Ta có
( )
3 3 3 3 3
1 1
( ) 3 ( )
16 16
P x y z x y z yz y z
 
= + + = + + − +
 

⇒

( )
1612123
16

1
23
++−=
xxxP
0,25
Xét:
1612123)(
23
++−=
xxxxf
, với:
]
3
8
;0[
∈
x




=
=
⇔=⇒+−=⇒
3
2
2
0)('12249)('
2
x

x
xfxxxf
thỏa mãn
]
3
8
;0[
∈
x
0,5
Có:
9
176
)
3
8
(,
9
176
)
3
2
(,16)2(,16)0(
====
ffff
0,25
⇒
Trên
]
3

8
;0[
: min f(x)=16 , Max f(x)=
9
176
⇒
min P = 1 , chẳng hạn khi:
0,0
≠==
cba
Max P =
9
11
, chẳng hạn khi:
0,4,
≠==
aacba
0,25
Câu 4.
(2,0đ)
Gọi trung điểm của
HA,HB,HC,BC,CA,AB lần lượt là:
I,E,F,M,N,P
0,25
Ta có:
EH AC EH IF⊥ ⇒ ⊥
Mà MF//EH
MF IF⇒ ⊥

·

I FM 1v⇒ =
0,25
Tương tự
·
IEM 1v⇒ =
nên M thuộc
đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF
0,25
Tương tự ta có N,P cũng thuộc đường tròn
ngoại tiếp tam giác IEF
0,25
+. Dễ thấy:
ABC
∆
là ảnh của
MNP
∆
qua phép vị tự tâm G tỷ số k =-2 0,25
⇒
đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
là ảnh của đường tròn ngoại tiếp
MNP
∆
Ta có đường tròn ngoại tiếp
MNP
∆
có phương trình:
0442

22
=++−+
yxyx
0,25
Có tâm K(1;-2) , R =1 .Gọi K
1
,R
1
là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
thì:
1 1
2 , 2GK GK R R= − =
uuuur uuur

⇒
K
1
(1;10) , R
1
=2
0,25
⇒
Phương trình đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
là:

4)10()1(

22
=−+−
yx
0,25
Trang 3
H
A
C
M
I
E
F
P N
Câu 5.
a,
(2,0đ)
D
A
B
C
H
K
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên
mp(ABD). Kẻ CK
⊥
AB tại K
ABHK
⊥⇒
⇒
góc giữa (ABC) và (ABD) là

·
CKH = α
0,5
⇒

α
sin..
3
1
.
3
1
CKSSCHV
DABD
==
∆
0,5
Mà:
ABCKS
C
.
2
1
=
⇒
α
sin
2
3
1

AB
S
SV
C
D
=
0,5
⇒
AB
SS
V
DC
3
sin..2
α
=
0,5
G
A
B
C
S
S'
A'
C'
B'
Gọi S’ là trọng tâm tam giác ABC
⇒
SG đi qua S’ và:
4

3
'
=
SS
SG
0,5
Gọi V,V’ lần lượt là thể tích các khối tứ diện
SABC, SA’B’C’
Ta có:
( ' ) ( ' ) ( ' )dt S AB dt S BC dt S CA∆ = ∆ = ∆
0,25

SS'AB SS'BC SS'CA
V
V V V
3
⇒ = = =
0,25
mà:
SBSASS
SBSASG
V
V
ABSS
BSGA
.'.
''..
'
''
=

⇒
SGA'B'
1 SA ' SB'
V . . .V
4 SA SB
=
0,5
Tương tự:
⇒
' '
1 ' '
. .
4
SGB C
SB SC
V V
SB SC
=
,
' '
1 ' '
. .
4
SGA C
SA SC
V V
SA SC
=
0,25
Mà:

' ' ' ' ' '
'
SGA B SGB C SGA C
V V V V= + +
⇒
' 1 ' ' ' ' ' '
. . .
4
V SA SB SB SC SA SC
V SA SB SB SC SA SC
 
= + +
 ÷
 
0,25
⇒
'. '. ' 1 ' ' ' ' ' '
. . .
. . 4
SA SB SC SA SB SB SC SA SC
SA SB SC SA SB SB SC SA SC
 
= + +
 ÷
 

⇒
4
'''
=++

SC
SC
SB
SB
SA
SA
0.25

aSCSBSA
4
'
1
'
1
'
1
=++⇒
( do SA = SB = SC = a )
0,25

' ' ' ' ' '
. . .
1 1 1
Q
SA SB SB SC SC SA
= + +
2
2
1 1 1 1 16
3 SA' SB' SC' 3a

 
≤ + + =
 ÷
 
0,25
⇒
minQ =
2
3
16
a
khi SA’ = SB’ = SC’ =
4
3a
⇔
(P) qua G và song song với mp (ABC).
0,25
- - - Hết - - -
Ghi chú: - Học sinh giải cách khác đúng cho điêm phần tương ứng
- Khi chấm Giám khảo không làm tròn điểm
Trang 4
Trang 5