Tài liệu DE HSG NGHE AN TOAN 12-2010

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (6,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2
x 1 x 1 2 x x 2− + + + − = +
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình:
(m 2)x m x 1+ − ≥ +
có nghiệm thuộc đoạn
[-2;2]
.
Câu 2. (2,0 điểm): Giải hệ phương trình:
3 3 2
2
y y x 3x 4x 2
1 x y 2 y 1



− −


+ = + + +
− = −
Câu 3. (5,0 điểm)
a) Cho
x,y
là các số thực thỏa mãn:
4 4

log ( 2 ) log ( 2 ) 1x y x y+ + − =
.
Chứng minh rằng:
2x y 15− ≥
.
b) Cho
a,b,c
là ba số thực không đồng thời bằng 0, thỏa mãn:
2 2 2 2
(a b c) 2(a b c )+ + = + +
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
3 3 3
a b c
P
(a b c)(ab bc ca)
+ +
=
+ + + +
.
Câu 4. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2). Gọi H là trực
tâm của tam giác ABC. Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng
HA, HB, HC có phương trình là:
2 2
x y 2x 4y 4 0+ − + + =
. Viết phương trình
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 5. (5,0 điểm)
a) Cho tứ diện ABCD. Gọi

α
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD).
Gọi S
C
, S
D
theo thứ tự là diện tích của các tam giác ABC, ABD.
Chứng minh:
D
C
2S .S .sin
V
3AB
α
=
, với
V
là thể tích của khối tứ diện ABCD.
b) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi
qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ (khác
điểm S). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1 1
Q
SA'.SB' SB'.SC' SC'.SA'
= + +
.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:................................................................................................... Số báo danh:....................
Đề chính thức
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG B
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (3,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
3 2 2
y x 3mx m= + −

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Câu 2. (6,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2x x
2010 2010 12 12+ + =
.
b) Giải hệ phương trình :
2
2
2
1
y(x 1) x
x
1
y(x y) x
x








−
+ = −
− =
.
Câu 3. (5,0 điểm)
a) Cho
x,y
là các số thực thỏa mãn:
4 4
log (x 2y) log (x 2y) 1+ + − =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P 2x y= −

b) Cho các số thực dương
a,b,c
thỏa mãn:
a b c 1+ + =
.
Chứng minh rằng:
ab bc ca 3
ab c bc a ca b 2
+ + ≤
+ + +
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD. Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Gọi
S

C
, S
D
theo thứ tự là diện tích của các tam giác ABC, ABD.
Chứng minh rằng:
D
C
2S .S .sin
V
3AB
α
=
, với V là thể tích của khối tứ diện ABCD
Câu 5. (3,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy điểm N,
trên cạnh CD lấy điểm P sao cho AN = 2NC, DP = 2PC. Mặt phẳng (MNP) chia
khối tứ diện thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.

- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:................................................................................................... Số báo danh:...................
Đề chính thức
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC VIÊN GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn thi: TOÁN LỚP 12 GDTX CẤP THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (5,0 điểm)
a) Cho hàm số: y =
( )
( )
2

x 1 x mx m− + +
(1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt.
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =
2
x 1
x 1
+
+
trên đoạn
[ ]
1;2−
.
Câu 2. (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2 2 2 2
cos 12 cos 16 sin 4 sin 8 2x x x x+ = + +

b) Giải hệ phương trình:
2
2
x 3x 4y
y 3y 4x





= −

= −
Câu 3. (5,0 điểm)
a) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển nhị thức Niutơn
n
5
3
1
x , x 0
x
 
 ÷
 
+ >
.
Biết:
n 1
n 4
n
n 3
C C 7n 21 0
+
+
+
− − − =
, n
∈
N

*
b) Tìm giới hạn:
2
x 0
cosx cos2x
lim
x
→
−
Câu 4. (5,0 điểm)
Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân có
AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là hình chiếu vuông góc của A lên
SC.
a) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng
(AB'C')
.
b) Tính tỉ số
' '
S.ABC
S.ABC
V
V
, với
' '
S.ABC
V
và
S.ABC
V
lần lượt là thể tích các khối

chóp
S.AB'C' và S.ABC
.

- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:................................................................................................... Số báo danh:...................
Đề chính thức