Đề thi môn Lý thuyết Module k60

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trường ĐHSP Hà Nội
Khoa Toán - Tin

— *** —

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

——-

****——-ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT MODULE
Khóa 60 - thời gian: 120 phút

Đề số 1

Cho A là một vành giao hốn có đơn vị vàM là một A-module.
Câu 1. (3 điểm)

(i) Phát biểu và chứng minh Định lí Hamilton-Cayley mở rộng.

(ii) Chứng minh rằng nếu M là hữu hạn sinh thì mỗi tự tồn cấu của M là một tự
đẳng cấu.

Câu 2. (3 điểm) Chứng minh rằng:
(i) A⊗AM ∼=M.

(ii) Nếu F là một A-module tự do có hạng n >0 thì F ∼=An và F ⊗AM ∼=Mn.
(iii) (A/I)⊗AM ∼=M/IM với mỗi ideal I của A.

Câu 3. (2 điểm) Cho P là mộtA-module xạ ảnh. Chứng minh rằng:
(i) Dãy khớp các A-module:

0−→N −→M −→P −→0

là chẻ ra.

(ii) Tồn tại A-module xạ ảnh F sao cho P ⊕F là một A-module tự do.

</div>

<!--links-->